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Das SkalarproduktBearbeiten

Neben der Vektoraddition, die zwei Vektoren zu einem neuen Vektor verknüpft, und der Multiplikation mit Skalaren, die ein Skalar und einen Vektor zu einem neuen Vektor verknüpft, soll nun eine Verknüpfung definiert werden, die zwei Vektoren zu einem Skalar verknüpft. Weil das Ergebnis dieser Verknüpfung eine skalare Größe ist, wird diese Verknüpfung Skalarprodukt genannt.

Definition

Ist   der Winkel zwischen den zu den Vektoren   und   gehörenden Pfeilen (gemeint ist der kleinere der beiden Winkel), dann ist das Skalarprodukt aus   und   definiert als:

 
 


Neben dem Punkt ( ), wie er auch für die Multiplikation von Zahlen bekannt ist, wird häufig auch ein Stern ( ) benutzt, um das Skalarprodukt von der Multiplikation mit Skalaren abzugrenzen. Weitere Schreibweisen sind   und  .

In diesem Buch wird die Schreibweise   verwendet.

Das hier definierte Skalarprodukt ist das sogenannte kanonische Skalarprodukt und die hierbei verwendete Euklidische Norm, die dem zuvor eingeführten Betrag eines Vektors entspricht, lässt sich als die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm definieren:  . Auch hinsichtlich des Winkels ist die gegebene geometrische Definition des Skalarproduktes mit dem Kosinussatz verträglich.


Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt wie folgt deuten: Ist   die senkrechte Projektion von   auf  , so ist  . Analog ist  , wenn   die senkrechte Projektion von   auf   ist. Damit ergibt sich:

 

Das Skalarprodukt aus   und   ist also in der Abbildung gleich dem Flächeninhalt der grauen Rechtecke.

Satz

Sind   und   in Koordinaten gegeben, so gilt:

 
 



Regeln für das Skalarprodukt

Für das Skalarprodukt gilt

  • das Kommutativgesetz  
  • und zusammen mit der Vektoraddition das Distributivgesetz  .
  • In Verbindung mit der Multiplikation mit einem Skalar   gilt die Homogenität  .
Das Assoziativgesetz gilt dagegen im Allgemeinen nicht, und der Term   ist nicht definiert, da nicht klar ist, welche der Multiplikationen ein Skalarprodukt und welche eine Multiplikation mit einem Skalar ist.
Im Allgemeinen ist nämlich  ,
also erst Skalarprodukt zwischen   und   und dann Multiplikation des skalaren Ergebnisses mit  ,
ungleich  ,
also erst Skalarprodukt zwischen   und   und dann Multiplikation des skalaren Ergebnisses mit  .
 



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