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Linearkombination von Vektoren

Beispiel:

Im letzten Kapitel wurde unter den Beispielen der Vektor ${\vec {w}}={\begin{pmatrix}-7\\12\\9\\\end{pmatrix}}$ durch die Vektoren ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}-2\\6\\9\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\3\\\end{pmatrix}}$ in der Form

${\vec {w}}=2\cdot {\vec {u}}-3\cdot {\vec {v}}$ dargestellt. Diese Darstellung wurde als Linearkombination von ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ bezeichnet.

 

Allgemeiner formulieren wir:

Definition

Gegeben sind die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$. Dann heißt jede Summe der Form

${\vec {u}}=r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+r_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\cdots +r_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}$ oder kürzer ${\vec {u}}=\sum _{k=1}^{n}r_{k}\cdot {\vec {v}}_{k}$

mit $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\in \mathbb {R}$ eine Linearkombination der Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$. Die skalaren Faktoren $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\in \mathbb {R}$ heißen Koeffizienten der Linearkombination.

 

Lineare Unabhängigkeit

Beispiel:

Es gibt eine Linearkombination der Vektoren ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}4\\2\\\end{pmatrix}}$, ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-2\\-10\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {w}}={\begin{pmatrix}-2\\2\\\end{pmatrix}}$, die den Nullvektor ${\vec {0}}$ ergibt, nämlich $2\cdot {\vec {u}}+1\cdot {\vec {v}}+3\cdot {\vec {w}}={\vec {0}}$.

Solche Vektoren, die sich auf nichttriviale Weise zum Nullvektor (linear-) kombinieren lassen, nennt man linear abhängig.

 

Präziser und allgemeiner formuliert:

Definition

Die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ heißen linear unabhhängig, wenn die einzige mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination dieser Vektoren

$r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+r_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\cdots +r_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

diejenige ist, bei der alle Koeffizienten der Linearkombination gleich Null sind, also $r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0$.

Andernfalls heißen die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ linear abhängig, dass heißt, wenn die Gleichung

$r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+r_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\cdots +r_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$

auch eine nichttriviale Lösung $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\in \mathbb {R}$ hat, bei der nicht alle Koeffizienten gleich Null sind.

 

Zwei Vektoren, die linear abhängig sind, hießen auch kollinear.

Alternative Formulierungen

Folgende Aussagen sind äquivalent:

• Die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ sind linear abhängig.
• Mindestens einer der Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

 

Beweis

1. Teil

Die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ seien linear abhängig. Dann gibt es eine Linearkombination des Nullvektors

$r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+r_{2}\cdot {\vec {v}}_{2}+\cdots +r_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$,

bei der mindestens einer der Koeeffizienten $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\in \mathbb {R}$ ungleich Null ist. Sei $\left.r_{k}\right.$ dieser Koeefizient. Dann ist

$r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\cdots +r_{k-1}\cdot {\vec {v}}_{k-1}+r_{k+1}\cdot {\vec {v}}_{k+1}+\cdots +r_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}=r_{k}\cdot {\vec {v}}_{k}$

Mit $s_{i}={\frac {r_{i}}{r_{k}}}$ für $i=1,\dots ,k-1,k+1,\dots ,n$ ist dann nach Division der obigen Gleichung durch $\left.r_{k}\neq 0\right.$

$s_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\cdots +s_{k-1}\cdot {\vec {v}}_{k-1}+s_{k+1}\cdot {\vec {v}}_{k+1}+\cdots +s_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {v}}_{k}$

Der Vektor ${\vec {v}}_{k}$ lässt sich also als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

2. Teil

Mindestens einer der Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen. Sie dieser darstellbare Vektor ${\vec {v}}_{k}$ und die Darstellung

$r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\cdots +r_{k-1}\cdot {\vec {v}}_{k-1}+r_{k+1}\cdot {\vec {v}}_{k+1}+\cdots +r_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {v}}_{k}$.

Diese Gleichung ist äquivalent zu

$r_{1}\cdot {\vec {v}}_{1}+\cdots +r_{k-1}\cdot {\vec {v}}_{k-1}-1\cdot {\vec {v}}_{k}+r_{k+1}\cdot {\vec {v}}_{k+1}+\cdots +r_{n}\cdot {\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$.

Womit eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gefunden ist.

 

Regeln zur linearen Abhängigkeit

• Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält ist immer linear abhängig.
• In der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ ist jede Menge, die aus mindestens drei Vektoren besteht linear abhängig.
• Im Raum $\mathbb {R} ^{3}$ ist jede Menge, die aus mindestens vier Vektoren besteht linear abhängig.

 

Beispiele

• Die Vektoren ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}-2\\6\\9\\\end{pmatrix}}$, ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\3\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {w}}={\begin{pmatrix}-7\\12\\9\\\end{pmatrix}}$ sind linear abhängig, denn die Gleichung

$x_{1}\cdot {\vec {u}}+x_{2}\cdot {\vec {v}}+x_{3}\cdot {\vec {w}}={\vec {0}}$

geschrieben in Koordinaten

${\begin{array}{ccccccc}-2\,x_{1}&+&1\,x_{2}&-&7\,x_{3}&=&0\\6\,x_{1}&&&+&12\,x_{3}&=&0\\9\,x_{1}&+&3\,x_{2}&+&9\,x_{3}&=&0\\\end{array}}$

hat unendlich viele Lösungen. Neben der trivialen Lösung $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$ ist eine nichttriviale Lösung $x_{1}=2,\,x_{2}=-3,\,x_{3}=-1$.

Das Lösen solcher Linearen Gleichungssysteme ist hier erklärt.

• Die Vektoren ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}$, ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {w}}={\begin{pmatrix}4\\5\\6\\\end{pmatrix}}$ sind linear unabhängig, denn die Gleichung

$x_{1}\cdot {\vec {u}}+x_{2}\cdot {\vec {v}}+x_{3}\cdot {\vec {w}}={\vec {0}}$

geschrieben in Koordinaten

${\begin{array}{ccccccc}1\,x_{1}&+&1\,x_{2}&+&4\,x_{3}&=&0\\2\,x_{1}&+&2\,x_{2}&+&5\,x_{3}&=&0\\3\,x_{1}&+&1\,x_{2}&+&6\,x_{3}&=&0\\\end{array}}$

hat nur die triviale Lösung $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$.

• Jeder Vektor aus dem $\mathbb {R} ^{3}$ lässt sich als Linearkombination der Vektoren ${\vec {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}$, ${\vec {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}$ und ${\vec {e}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\end{pmatrix}}$ darstellen, nämlich

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}=v_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}+v_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}+v_{3}\cdot {\vec {e}}_{3}$

Die Vektoren ${\vec {e}}_{1}$, ${\vec {e}}_{2}$ und ${\vec {e}}_{3}$ sind darüber hinaus linear unabhängig. Sie bilden damit ein sogenanntes linear unabhängiges Erzeugendensystem oder kurz eine Basis des $\mathbb {R} ^{3}$.

 

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