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Linearkombination von VektorenBearbeiten

Beispiel:

Im letzten Kapitel wurde unter den Beispielen der Vektor   durch die Vektoren   und   in der Form

  dargestellt. Diese Darstellung wurde als Linearkombination von   und   bezeichnet.
 


Allgemeiner formulieren wir:

Definition

Gegeben sind die Vektoren  . Dann heißt jede Summe der Form

  oder kürzer  

mit   eine Linearkombination der Vektoren  . Die skalaren Faktoren   heißen Koeffizienten der Linearkombination.

 


Lineare UnabhängigkeitBearbeiten

Beispiel:

Es gibt eine Linearkombination der Vektoren  ,   und  , die den Nullvektor   ergibt, nämlich  .

Solche Vektoren, die sich auf nichttriviale Weise zum Nullvektor (linear-) kombinieren lassen, nennt man linear abhängig.

 


Präziser und allgemeiner formuliert:

Definition

Die Vektoren   heißen linear unabhhängig, wenn die einzige mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination dieser Vektoren

 

diejenige ist, bei der alle Koeffizienten der Linearkombination gleich Null sind, also  .

Andernfalls heißen die Vektoren   linear abhängig, dass heißt, wenn die Gleichung

 

auch eine nichttriviale Lösung   hat, bei der nicht alle Koeffizienten gleich Null sind.

 


Zwei Vektoren, die linear abhängig sind, hießen auch kollinear.

Alternative Formulierungen

Folgende Aussagen sind äquivalent:

  • Die Vektoren   sind linear abhängig.
  • Mindestens einer der Vektoren   lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.
 



Regeln zur linearen Abhängigkeit

  • Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält ist immer linear abhängig.
  • In der Ebene   ist jede Menge, die aus mindestens drei Vektoren besteht linear abhängig.
  • Im Raum   ist jede Menge, die aus mindestens vier Vektoren besteht linear abhängig.
 



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