MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ S-Multiplikation
Multiplikation mit Skalaren
BearbeitenWie bereits gezeigt wurde, ist der Vektor, der sich von einem Vektor nur in der Orientierung unterscheidet, der sogenannte Gegenvektor, geschrieben als .
Gesucht ist jetzt ein Vektor mit gleicher Richtung, aber anderem Betrag und unter Umständen anderer Orientierung. Also ein Vektor mit : Dieser Vektor wird als bezeichnet, wobei das Symbol für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Skalar = reelle Zahl) stehen soll. Es gilt:
Ist , dann ist mit derjenige Vektor, der folgende Bedingungen erfüllt:
- und haben die gleiche Richtung, d.h. die von ihnen beschriebene Verschiebung folgt der gleichen Richtung bzw. die zu dem Vektor gehörenden Pfeile sind parallel.
- Für die Beträge gilt: , d.h. die durch beschrieben Verschiebung erfolgt -mal so weit, wie die durch beschriebene, bzw. die zu gehörenden Pfeile sind -mal so lang, wie die zu gehörenden.
- und haben die gleiche Orientierung, wenn ist.
und haben entgegengesetzte Orientierung, wenn ist.
Des Weiteren gilt:
- Für alle Vektoren gilt: .
- Für alle Skalare gilt: .
Die Operation heißt Multiplikation von Vektoren mit Skalaren.
Die Multiplikation mit Skalaren wird auch als "Skalarmultiplikation" oder "S-Multiplikation" bezeichnet. Da es dann jedoch leichter zu einer Verwechselung mit dem Begriff des "Skalarproduktes" kommen kann werden diese Ausdrücke in diesem Buch vermieden. |
Es gilt: . Der Gegenvektor eines Vektors ist also sein skalares Vielfaches mit dem Faktor .
Außerdem gilt für jedes
Mit Hilfe der Strahlensätze lässt sich zeigen
Satz
Für einen Vektor und ein Skalar gilt:
- .
(Für andere Dimensionen analog)
Es gelten folgende Regeln für die Multiplikation mit Skalaren:
Regeln der Multiplikation mit Skalaren
Für beliebige Vektoren und und beliebige Skalare gilt:
- (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)
- (Distributivität der Skalare)
- (Distributivität der Vektoren)
Beispiele
- Mit Hilfe Vektoren und lässt sich der Vektor als sogenannte Linearkombination darstellen. Es gilt:
- Jeder Vektor aus dem lässt sich als Linearkombination der Vektoren , und darstellen, nämlch
- Zur Herstellung einer Mengeneinheit des Produktes P werden 5 Einheiten von Grundstoff A, 12 Einheiten von Grundstoff B, 3 Einheiten von Grundstoff C und 2 Einheiten von Grundstoff D benötigt; zur Herstellung des Produktes Q werden 1 Einheit von Grundstoff A, 8 Einheiten von Grundstoff B und 12 Einheiten von Grundstoff C benötigt.
- Dann stellt der Vektor und stellen diesen Materialbedarf vektoriell dar.
- Für 5 Mengeneinheit von Produkt P und 3 Mengeneinheit von Produkt Q zusammen wird dann der Materialbedarf durch den Vektor beschrieben.
Kollinearität
BearbeitenVektoren mit gleicher Richtung aber verschiedenem Betrag und unter Umständen verschiedener Orientierung werden nicht als parallel oder antiparallel bezeichnet. Zwei solche Vektoren unterscheiden sich nur um einen skalaren Faktor. Es gilt:
Zwei Vektoren und , die sich nur um einen skalaren Faktor unterscheiden, also , heißen kollinear.
Beispiele
- und sind nicht kollinear, denn sonst müsste es ein geben, mit . Solch ein r existiert aber nicht, denn aus den ersten beiden Zeilen würde sich ergeben, währen die letzte Zeile ergibt.
- und sind kollinear, denn .
- Dann sind auch und nicht kollinear, denn aus würde ja sonst im Widerspruch zum Vorangegangenen die Kollinearität von und folgen.
- Gegebene sind die Punkte und .
- Die Ortsvektoren und sind kollinear, denn es gilt .
- Die Ursprungsgerade durch P hat die Steigung genau wie die Ursprungsgerade durch Q. Die beiden Punkte liegen also auf derselben Ursprungsgerade. Das muss auch so sein, denn die Verschiebung, die den Ursprung in P verschiebt verläuft in der selben Richtung, wie die Verschiebung, die den Ursprung in Q verschiebt. Anders ausgedrückt: Die Ortsvektoren von P und Q waren ja kollinear.