MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ S-Multiplikation

Multiplikation mit SkalarenBearbeiten

Wie bereits gezeigt wurde, ist der Vektor, der sich von einem Vektor   nur in der Orientierung unterscheidet, der sogenannte Gegenvektor, geschrieben als  .

Gesucht ist jetzt ein Vektor mit gleicher Richtung, aber anderem Betrag und unter Umständen anderer Orientierung. Also ein Vektor   mit  : Dieser Vektor wird als   bezeichnet, wobei das Symbol   für die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (Skalar = reelle Zahl) stehen soll. Es gilt:

Definition

Ist  , dann ist   mit   derjenige Vektor, der folgende Bedingungen erfüllt:

  •   und   haben die gleiche Richtung, d.h. die von ihnen beschriebene Verschiebung folgt der gleichen Richtung bzw. die zu dem Vektor gehörenden Pfeile sind parallel.
  • Für die Beträge gilt:  , d.h. die durch   beschrieben Verschiebung erfolgt  -mal so weit, wie die durch   beschriebene, bzw. die zu   gehörenden Pfeile sind  -mal so lang, wie die zu   gehörenden.
  •   und   haben die gleiche Orientierung, wenn   ist.
      und   haben entgegengesetzte Orientierung, wenn   ist.

Des Weiteren gilt:

  • Für alle Vektoren   gilt:  .
  • Für alle Skalare   gilt:  .

Die Operation   heißt Multiplikation von Vektoren mit Skalaren.

 


Die Multiplikation mit Skalaren wird auch als "Skalarmultiplikation" oder "S-Multiplikation" bezeichnet. Da es dann jedoch leichter zu einer Verwechselung mit dem Begriff des "Skalarproduktes" kommen kann werden diese Ausdrücke in diesem Buch vermieden.

Es gilt:  . Der Gegenvektor eines Vektors ist also sein skalares Vielfaches mit dem Faktor  .

Außerdem gilt für jedes  

Mit Hilfe der Strahlensätze lässt sich zeigen

Satz

Für einen Vektor   und ein Skalar   gilt:

 .

(Für andere Dimensionen analog)

 


Es gelten folgende Regeln für die Multiplikation mit Skalaren:

Regeln der Multiplikation mit Skalaren

Für beliebige Vektoren   und   und beliebige Skalare   gilt:

  •   (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)
  •   (Distributivität der Skalare)
  •   (Distributivität der Vektoren)
 



KollinearitätBearbeiten

Vektoren mit gleicher Richtung aber verschiedenem Betrag und unter Umständen verschiedener Orientierung werden nicht als parallel oder antiparallel bezeichnet. Zwei solche Vektoren unterscheiden sich nur um einen skalaren Faktor. Es gilt:

Definition

Zwei Vektoren   und  , die sich nur um einen skalaren Faktor unterscheiden, also  , heißen kollinear.

 



Zu den Übungsaufgaben

Das Kapitel "Lineare Unabhängigkeit" kann unter Umständen übersprungen werden. Dann geht es weiter bei   "Das Skalarprodukt"