MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ Addition

Der NullvektorBearbeiten

In der Definition eines Vektors werden Vektoren als Klasse von Pfeilen gleicher Länge, gleicher Richtung und gleicher Orientierung bezeichnet. Das ist nicht ganz korrekt, denn es ist sinnvoll auch die Verschiebung zuzulassen, die einen jeden Punkt in sich selbst verschiebt. Dieser Verschiebung lässt sich aber kein Pfeil in sinnvoller Weise zuordnen, denn der entsprechende Pfeil hätte die Länge Null und weder Orientierung noch Richtung. Ähnlich wie die Null der reellen Zahlen hat dieser Nullvektor eine gewisse Sonderstellung. In Koordinaten lässt er sich jedoch wie alle anderen Vektoren auch aufschreiben. Es gilt:

Definition

Der Vektor   (im  , entsprechend für andere Räume) heißt der Nullvektor. Er beschreibt die Verschiebung, die jeden Punkt in sich selbst verschiebt oder anders: die Nichtverschiebung.

 


Die VektoradditionBearbeiten

Schauen wir uns noch einmal das Beispiel aus der Einführung des Vektorbegriffs an: Dort wurde der Vektor betrachtet, der den Punkt   in den Punkt   verschiebt, also   beschrieben.

Ein anderer Vektor   beschreibt dagegen die Verschiebung des Punktes   in den Punkt  . Die Hintereinanderausführung der beiden Verschiebungen, erst   und dann   wird als Vektoraddition bezeichnet. Im Beispiel gilt:

 

Allgemein wird definiert

Definition
Die Verknüpfung zweier Vektoren zu einem neuen Vektor
  (im   entsprechend für andere Räume)

wird als Vektoraddition bezeichnet.

 


Aus der Abbildung ist sofort ersichtlich, dass die Hintereinanderausführung zweier Verschiebungen nicht von der Reihenfolge der beteiligten Verschiebungen abhängt, oder in der neuen Schreibweise:  . Auch andere Regeln lassen sich gut anschaulich nachvollziehen.

Regeln der Vektoraddition

Für drei beliebige Vektoren  ,   und   gilt:

  1.   (Kommutativität der Vektoraddition)
  2.   (Assoziativität der Vektoraddition)
  3.  
  4.  
 


Wegen der Assoziativität kann bei der Vektoraddition auf die Klammern verzichtet werden:  .


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