MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Ebenen 2


NormalenvektorenBearbeiten

 
Ein Solarpanel

Damit Solarzellen optimal die Sonnenenergie in elektrischen Strom umwandeln können sollten die Sonnenstrahlen möglichst senkrecht auf das Solarpanel treffen.

Ein Solarpanel befindet sich in der Ebene:

 

Der Vektor   ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Ebene, denn

  und  

damit ist   auch orthogonal zu jedem Verbindungsvektor von je zwei Punkten der Ebene. Ein solcher Vektor wird als ein Normalenvektor der Ebene bezeichnet. Kommen die Sonnenstrahlen aus Richtung dieses Vektors, dann treffen sie senkrecht auf das Solarpanel.

Definition

Ein Normalenvektor   einer Ebene ist orthogonal zu jedem Verbindungsvektor je zwei unterschiedlicher Punkte der Ebene. Sind P und Q Punkte der Ebene mit Ortsvektoren   und   so gilt

  bzw.  .
 


Ist die Ebene E in Parameterform gegeben

 

so ist jeder Normalenvektor   orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, d.h.   und  .

Anders ausgedrückt   und  ,

bzw.

 

Dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Jede dieser Lösungen liefert einen möglichen Normalenvektor der Ebene.

Es gibt unendlich viele Normalenvektoren zu einer Ebene E, die aber alle kollinear sind.

Der vermeintlich schnellere Weg zum Normalenvektor benötigt das Vektorprodukt. Ein möglicher Normalenvektor der Ebene E ist:

 .

EinheitsnormalenvektorenBearbeiten

Definition

Ein Einheitsnormalenvektor   ist ein Normalenvektor mit Betrag  .

 


Ist   ein Normalenvektor einer Ebene, so ist   ein Einheitsnormalenvektor.

Es gibt zu einer Ebene E genau zwei Einheitsnormalenvektoren, die sich nur in ihrer Orientierung unterscheiden.


Die Allgemeine NormalenformBearbeiten

Das Solarpanel im obigen Beispiel befindet sich in der Ebene  Ein Punkt dieser Ebene ist der Punkt P mit Ortsvektor  . Ein Normalenvektor der Ebene ist  .

Dann gilt für jeden Punkt X der Ebene mit Ortsvektor  , dass der Verbindungsvektor   orthogonal zu   ist, oder kurz  .

Für jeden Punkt Y (Ortsvektor  ), der nicht auf der Ebene liegt, ist dagegen der Verbindungsvektor   auch nicht orthogonal zu  , anders ausgedrückt  .

Damit erfüllen ausschließlich die Punkte X mit Ortsvektor   die zur Ebene E gehören die folgende (Punkt-)Normalen-Gleichung:

 

Löst man die eckige Klammer auf und rechnet das Skalarprodukt aus, so erhält man:

 

Diese Darstellungsformen der Ebene heißen Normalenformen der Ebene.

Definition

Ist   ein Normalenvektor einer Ebene E und ist   der Ortsvektoren eines Punkte von E, dann nennt man folgende Gleichungen eine Normalenform (NF) von E:

 

bzw. mit  

 

Diese erste Darstellung wird manchmal auch Punkt-Normalen-Form (PNF) und die zweite Allgemeine-Normalen-Form (ANF) genannt.

 



Die Hesse'sche NormalenformBearbeiten

Die Wahl des Normalenvektors zur Darstellung einer Ebene in Normalenform ist nicht eindeutig. Beschränkt man sich auf einen Einheitsnormalenvektor, so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform der Ebene. Diese ist dann bis auf das Vorzeichen eindeutig.

Ist eine Ebene in Normalenform gegeben

 

so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform durch Division durch  :

 

bzw. mit   und  :

Definition

Die Darstellung der Ebene E durch die Gleichung

 ,

wobei   ein Einheitsnormalenvektor ist, wird Hesse'sche Normalenform (HNF) genannt.

 


Regel

Die Zahl   ist charakteristisch für die Ebene. Sie beschreibt gerade den Abstand der Ebene zum Ursprung.

 




Die KoordinatenformBearbeiten

Die allgemeine Normalenform einer Ebene

 

lässt sich auch schreiben als

 

Führt man das Skalarprodukt aus, erhält man ein Koordinatenform der Darstellung von E.

Definition

Die Darstellung der Ebene E durch die Gleichung:

 

heißt eine Koordinatenform der Ebene (KF).

 



Von der Normalenform oder der Koordinatenform zurück zur ParameterformBearbeiten

Mit Hilfe der Koordinatenform ist es sehr leicht, drei verschiedene Punkte zu finden, die auf der Ebene liegen, aber nicht auf einer gemeinsamen Gerade. Das können z.B. die drei Spurpunkte sein, falls diese existieren. Aus den drei Punkten lässt sich dann wie hier beschrieben die Parameterform der Ebene konstruieren.