MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Ebenen 2

Normalenvektoren

Ein Solarpanel

Damit Solarzellen optimal die Sonnenenergie in elektrischen Strom umwandeln können sollten die Sonnenstrahlen möglichst senkrecht auf das Solarpanel treffen.

Ein Solarpanel befindet sich in der Ebene:

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}8\\0\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}4\\0\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

Der Vektor ${\vec {n}}={\begin{pmatrix}3\\6\\4\\\end{pmatrix}}$ ist orthogonal zu beiden Richtungsvektoren der Ebene, denn

${\begin{pmatrix}3\\6\\4\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\\end{pmatrix}}=0$ und ${\begin{pmatrix}3\\6\\4\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\0\\-3\\\end{pmatrix}}=0$

damit ist ${\vec {n}}$ auch orthogonal zu jedem Verbindungsvektor von je zwei Punkten der Ebene. Ein solcher Vektor wird als ein Normalenvektor der Ebene bezeichnet. Kommen die Sonnenstrahlen aus Richtung dieses Vektors, dann treffen sie senkrecht auf das Solarpanel.

Definition

Ein Normalenvektor ${\vec {n}}$ einer Ebene ist orthogonal zu jedem Verbindungsvektor je zwei unterschiedlicher Punkte der Ebene. Sind P und Q Punkte der Ebene mit Ortsvektoren ${\vec {p}}$ und ${\vec {q}}$ so gilt

${\overrightarrow {PQ}}\perp {\vec {n}}$ bzw. $\left({\vec {q}}-{\vec {p}}\right)\perp {\vec {n}}$.

 

Ist die Ebene E in Parameterform gegeben

$E:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {u}}+s\cdot {\vec {v}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

so ist jeder Normalenvektor ${\vec {n}}$ orthogonal zu beiden Richtungsvektoren, d.h. ${\vec {n}}\perp {\vec {u}}$ und ${\vec {n}}\perp {\vec {v}}$.

Anders ausgedrückt ${\vec {n}}\cdot {\vec {u}}=0$ und ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}$,

bzw.

$\left|{\begin{array}{ccccccc}u_{1}\cdot n_{1}&+&u_{2}\cdot n_{2}&+&u_{3}\cdot n_{3}&=&0\\v_{1}\cdot n_{1}&+&v_{2}\cdot n_{2}&+&v_{3}\cdot n_{3}&=&0\\\end{array}}\right|$

Dieses Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen. Jede dieser Lösungen liefert einen möglichen Normalenvektor der Ebene.

Es gibt unendlich viele Normalenvektoren zu einer Ebene E, die aber alle kollinear sind.

Der vermeintlich schnellere Weg zum Normalenvektor benötigt das Vektorprodukt. Ein möglicher Normalenvektor der Ebene E ist:

${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$.

Einheitsnormalenvektoren

Definition

Ein Einheitsnormalenvektor ${\vec {n}}_{e}$ ist ein Normalenvektor mit Betrag $\left|{\vec {n}}_{e}\right|=1$.

 

Ist ${\vec {n}}$ ein Normalenvektor einer Ebene, so ist ${\vec {n}}_{e}={\frac {1}{\left|{\vec {n}}\right|}}\cdot {\vec {n}}$ ein Einheitsnormalenvektor.

Es gibt zu einer Ebene E genau zwei Einheitsnormalenvektoren, die sich nur in ihrer Orientierung unterscheiden.

Beispiele

• Beispiel 1 (ohne Vektorprodukt)

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2\\-1\\5\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix}}\;\left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

Als Gleichungssystem ergibt sich

$\left|{\begin{array}{ccccccc}2\cdot n_{1}&+&1\cdot n_{2}&&&=&0\\-2\cdot n_{1}&+&4\cdot n_{2}&+&5\cdot n_{3}&=&0\\\end{array}}\right|\Leftrightarrow \left|{\begin{array}{ccccccc}2\cdot n_{1}&+&1\cdot n_{2}&&&=&0\\&&5\cdot n_{2}&+&5\cdot n_{3}&=&0\\\end{array}}\right|$

Zu jedem vorgegeben $\left.n_{2}\right.$ ergeben sich also $n_{1}=-{\frac {1}{2}}\,n_{2}$ und $\left.n_{3}=-n_{2}\right.$. Mit $\left.n_{2}=2\right.$ ist also ein möglicher Normalenvektor zu E:

${\vec {n}}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}$

Es ist $\left|{\vec {n}}\right|=3$. Damit ist einer der beiden Einheitsnormalenvektoren zu E:

${\vec {n}}_{e}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}$

• Beispiel 2 (mit Vektorprodukt)

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-24\\11\\8\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\7\\8\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-8\\-4\\-8\\\end{pmatrix}}\;\left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

Daraus ergibt sich als ein möglicher Normalenvektor

${\vec {n}}={\begin{pmatrix}2\\7\\8\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-8\\-4\\-8\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-24\\-48\\48\\\end{pmatrix}}$

Es ist $\left|{\vec {n}}\right|=72$. Damit ist einer der beiden Einheitsnormalenvektoren zu E:

${\vec {n}}_{e}={\frac {1}{72}}\cdot {\begin{pmatrix}-24\\-48\\48\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/3\\-2/3\\2/3\\\end{pmatrix}}$

 

Die Allgemeine Normalenform

Das Solarpanel im obigen Beispiel befindet sich in der Ebene$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}8\\0\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}4\\0\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(s,t\in \mathbb {R} \right)$ Ein Punkt dieser Ebene ist der Punkt P mit Ortsvektor ${\vec {p}}={\begin{pmatrix}8\\0\\0\\\end{pmatrix}}$. Ein Normalenvektor der Ebene ist ${\vec {n}}={\begin{pmatrix}3\\6\\4\\\end{pmatrix}}$.

Dann gilt für jeden Punkt X der Ebene mit Ortsvektor ${\vec {x}}$, dass der Verbindungsvektor ${\overrightarrow {PX}}={\vec {x}}-{\vec {p}}$ orthogonal zu ${\vec {n}}$ ist, oder kurz $\left({\vec {x}}-{\vec {p}}\right)\cdot {\vec {n}}=0$.

Für jeden Punkt Y (Ortsvektor ${\vec {y}}$), der nicht auf der Ebene liegt, ist dagegen der Verbindungsvektor ${\overrightarrow {PY}}={\vec {y}}-{\vec {p}}$ auch nicht orthogonal zu ${\vec {n}}$, anders ausgedrückt $\left({\vec {y}}-{\vec {p}}\right)\cdot {\vec {n}}\neq 0$.

Damit erfüllen ausschließlich die Punkte X mit Ortsvektor ${\vec {x}}$ die zur Ebene E gehören die folgende (Punkt-)Normalen-Gleichung:

$\left[{\vec {x}}-{\begin{pmatrix}8\\0\\0\\\end{pmatrix}}\right]\cdot {\begin{pmatrix}3\\6\\4\\\end{pmatrix}}=0$

Löst man die eckige Klammer auf und rechnet das Skalarprodukt aus, so erhält man:

${\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\6\\4\\\end{pmatrix}}-24=0$

Diese Darstellungsformen der Ebene heißen Normalenformen der Ebene.

Definition

Ist ${\vec {n}}$ ein Normalenvektor einer Ebene E und ist ${\vec {p}}$ der Ortsvektoren eines Punkte von E, dann nennt man folgende Gleichungen eine Normalenform (NF) von E:

$E:\;\left({\vec {x}}-{\vec {p}}\right)\cdot {\vec {n}}=0$

bzw. mit $c:={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}$

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-c=0$

Diese erste Darstellung wird manchmal auch Punkt-Normalen-Form (PNF) und die zweite Allgemeine-Normalen-Form (ANF) genannt.

 

Beispiele

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2\\-1\\5\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix}}\;\left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

Ein möglicher Normalenvektor zu E ist:

${\vec {n}}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}$

${\vec {p}}={\begin{pmatrix}-2\\-1\\5\\\end{pmatrix}}$ ist der Ortsvektor eines Punktes von E

Mit $c={\vec {p}}\cdot {\vec {n}}=-10$ ergibt sich eine Normalenform von E zu:

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}+10=0$

 

Die Hesse'sche Normalenform

Die Wahl des Normalenvektors zur Darstellung einer Ebene in Normalenform ist nicht eindeutig. Beschränkt man sich auf einen Einheitsnormalenvektor, so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform der Ebene. Diese ist dann bis auf das Vorzeichen eindeutig.

Ist eine Ebene in Normalenform gegeben

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-c=0$

so erhällt man eine Hesse'sche Normalenform durch Division durch $\left|{\vec {n}}\right|$:

${\vec {x}}\cdot {\frac {1}{\left|{\vec {n}}\right|}}\cdot {\vec {n}}-{\frac {c}{\left|{\vec {n}}\right|}}=0$

bzw. mit ${\vec {n}}_{e}:={\frac {1}{\left|{\vec {n}}\right|}}\cdot {\vec {n}}$ und $d:={\frac {c}{\left|{\vec {n}}\right|}}$:

Definition

Die Darstellung der Ebene E durch die Gleichung

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0$,

wobei ${\vec {n}}_{e}$ ein Einheitsnormalenvektor ist, wird Hesse'sche Normalenform (HNF) genannt.

 

Regel

Die Zahl $\left|d\right|$ ist charakteristisch für die Ebene. Sie beschreibt gerade den Abstand der Ebene zum Ursprung.

 

Beweis

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0$

Die Gerade

$g:\;{\vec {x}}=t\cdot {\vec {n}}_{e}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

ist die Lotgerade vom Ursprung auf die Ebene. Sei ${\vec {l}}=t_{l}\cdot {\vec {n}}_{e}$ (*) der Ortsvektor des Lotfußpunktes.

Wegen $\left|{\vec {n}}_{e}\right|=1$ ist $\left|t_{l}\right|=\left|{\vec {l}}\right|$ der Abstand der Ebene vom Ursprung.

Da der Lotfußpunkt auch ein Punkt der Ebene ist, muss auch gelten:

${\vec {l}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0$

Einsetzen von (*) in diese Gleichung liefert

$t_{l}\cdot \underbrace {{\vec {n}}_{e}\cdot {\vec {n}}_{e}} _{=1}-d=0$

$\left.\Rightarrow d=t_{l}\right.$

$\Rightarrow \left|d\right|=\left|t_{l}\right|\qquad \Box$

 

Beispiele

Die Ebene

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2\\-1\\5\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix}}\;\left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

hat die allgemeine Normalenform

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}+10=0$

Wegen $\left|{\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}\right|=3$ ist eine Hesse'sche Normalenform:

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}=0$

Der Abstand der Ebene zum Ursprung beträgt also $d={\frac {10}{3}}$.

 

Die Koordinatenform

Die allgemeine Normalenform einer Ebene

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-c=0$

lässt sich auch schreiben als

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\\\end{pmatrix}}=c$

Führt man das Skalarprodukt aus, erhält man ein Koordinatenform der Darstellung von E.

Definition

Die Darstellung der Ebene E durch die Gleichung:

$E:\;n_{1}\cdot x_{1}+n_{2}\cdot x_{2}+n_{3}\cdot x_{3}=c$

heißt eine Koordinatenform der Ebene (KF).

 

Beispiele

Die Ebene mit allgemeiner Normalenform

$E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\\\end{pmatrix}}+10=0$

hat die Koordinatenform

$E:\;-x_{1}+2\cdot x_{2}-2\cdot x_{3}=-10$

 

Von der Normalenform oder der Koordinatenform zurück zur Parameterform

Mit Hilfe der Koordinatenform ist es sehr leicht, drei verschiedene Punkte zu finden, die auf der Ebene liegen, aber nicht auf einer gemeinsamen Gerade. Das können z.B. die drei Spurpunkte sein, falls diese existieren. Aus den drei Punkten lässt sich dann wie hier beschrieben die Parameterform der Ebene konstruieren.

Beispiele

$E:\;x_{1}-2\cdot x_{2}+2\cdot x_{3}=10$

Bestimmen der Spurpunkte

$S_{1}$: Setze $x_{2}=x_{3}=0\Rightarrow x_{1}=10\Rightarrow S_{1}\left(10|0|0\right)$

$S_{2}$: Setze $x_{1}=x_{3}=0\Rightarrow -2\cdot x_{2}=10\Rightarrow S_{2}\left(0|-5|0\right)$

$S_{3}$: Setze $x_{1}=x_{2}=0\Rightarrow 2\cdot x_{3}=10\Rightarrow S_{1}\left(0|0|5\right)$

Durch die Punkte $S_{1}\left(10|0|0\right)$, $S_{2}\left(0|-5|0\right)$ und $S_{3}\left(0|0|5\right)$ verläuft die Ebene:

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}10\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-10\\-5\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-10\\0\\5\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

 

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