MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Spurpunkte

Spurpunkte einer Geraden

Achtung! Es müssen nicht alle drei Spurpunkte existieren!

Die Spurpunkte einer Geraden g sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Gegeben

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$.

$S_{12}\left(s_{1}|s_{2}|s_{3}\right)$ ist der Schnittpunkt mit der 1-2-Ebene, d.h. $\left.s_{3}=0\right.$.

Falls der Spurpunkt existiert $\left(u_{3}\neq 0\right)$, muss gelten $p_{3}+t\cdot u_{3}=0$. Diese Gleichung lässt sich leicht nach $\left.t\right.$ auflösen. Einsetzen dieses Wertes für $\left.t\right.$ in die Parameterform der Geraden liefert den Ortsvektor des Spurpunktes $\left.S_{12}\right.$.

Auf dieselbe Weise lassen sich auch der Spurpunkt $\left.S_{13}\right.$ als Schnittpunkt mit der 1-3-Ebene und der Spurpunkt $\left.S_{23}\right.$ als Schnittpunkt mit der 2-3-Ebene bestimmen, falls sie existieren.

Beispiele

$g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2\\-10\\9\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\5\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

$S_{12}\left(s_{1}|s_{2}|0\right)$ ist der Schnittpunkt von g mit der 1-2-Ebene. Die Gleichung $9-3\cdot t=0$ ergibt $\left.t=3\right.$. Demnach ist $S_{12}\left(4|5|0\right)$.

Analog ergeben sich $S_{13}\left(2|0|3\right)$ und $S_{23}\left(0|-5|6\right)$

 

Spurpunkte einer Ebene

Achtung! Es müssen nicht alle drei Spurpunkte existieren!

Die Spurpunkte einer Ebene E sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

Gegeben

$\Rightarrow E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

$S_{1}\left(s_{1}|s_{2}|s_{3}\right)$ ist der Schnittpunkt mit der $x_{1}$-Achse, d.h. $\left.s_{2}=s_{3}=0\right.$.

Falls der Spurpunkt existiert, muss gelten $p_{2}+t\cdot u_{2}+s\cdot v_{2}=0$ und $p_{3}+t\cdot u_{3}+s\cdot v_{3}=0$. Besitzt dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so existiert der Spurpunkt. Einsetzen der Lösungen für $\left.t\right.$ und $\left.s\right.$ in der Parameterform der Ebene liefert den Ortsvektor des Spurpunktes $\left.S_{1}\right.$.

Auf dieselbe Weise lassen sich auch der Spurpunkt $\left.S_{2}\right.$ als Schnittpunkt mit der $x_{2}$-Achse und der Spurpunkt $\left.S_{3}\right.$ als Schnittpunkt mit der $x_{3}$-Achse bestimmen, falls sie existieren.

Beispiele

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-14\\-3\\28\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}0\\-6\\8\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-7\\3\\4\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

Bestimme den Spurpunkt $\left.S_{1}\right.$.

Es muss gelten $-3-6\cdot t+3\cdot s=0$ und $28+8\cdot t+4\cdot s=0$.

Das Gleichungssystem besitzt die eindeutige Lösung $\left.t=-2\right.$ und $\left.s=-3\right.$. Einsetzen in die Parameterform liefert $S_{1}\left(7|0|0\right)$.

Analog ergeben sich $S_{2}\left(0|6|0\right)$, $S_{3}\left(0|0|8\right)$

 

Spurgeraden einer Ebene

Achtung! Es müssen nicht alle drei Spurgeraden existieren!

Die Spurgeraden einer Ebene E sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen.

Gegeben

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

$\left.g_{12}\right.$ ist die Schnittgerade mit der 1-2-Ebene, d.h. $\left.x_{3}=0\right.$.

Falls die Spurgerade existiert $\left(u_{3}\neq 0\right.$ oder $\left.v_{3}\neq 0\right)$, muss gelten $p_{3}+s\cdot u_{3}+t\cdot v_{3}=0$. Nach $\left.s\right.$ oder $\left.t\right.$ auflösen und in die Parameterform der Ebene einsetzten liefert die Parameterform der Spurgeraden $\left.g_{12}\right.$.

Die Spurgeraden verlaufen immer durch die Spurpunkte mit den beiden beteiligten Koordinatenachsen. $\left.g_{12}\right.$ lässt sich also auch als Gerade durch $\left.S_{1}\right.$ und $\left.S_{2}\right.$ beschreiben, falls diese existieren.

Beispiele

$E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-14\\-3\\28\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}0\\-6\\8\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-7\\3\\4\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

Bestimme die Spurgerade $\left.g_{12}\right.$. Es muss gelten $28+8\cdot t+4\cdot s=0$.

$\Leftrightarrow s=-7-2\cdot t$. Einsetzen in die Parameterform liefert:

$g_{12}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-14\\-3\\28\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}0\\-6\\8\\\end{pmatrix}}+\left(-7-2\cdot t\right)\cdot {\begin{pmatrix}-7\\3\\4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}35\\-24\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}14\\-12\\0\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

Die Spurpunkte der Ebene sind $S_{1}\left(7|0|0\right)$, $S_{2}\left(0|6|0\right)$ und $S_{3}\left(0|0|8\right)$. Damit ergeben sich leicht:

$g_{13}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}7\\0\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-7\\0\\8\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

und

$g_{23}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\6\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}0\\-6\\8\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)$

 

Skizzieren einer Ebene

Es ist in der Regel nicht möglich, in eine zweidimensionalen Darstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems alle Punkte einer Ebene einzuzeichnen. Das Einzeichnen der Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene in ein Koordinatensystem liefert dagegen eine gute Vorstellung von der Lage der Ebene im Koordinatensystem.

• Skizzieren einer Ebene
• 
  3 Spurpunkte,
  3 Spurgeraden
• 
  2 Spurpunkte,
  3 Spurgeraden
• 
  1 Spurpunkt,
  2 Spurgeraden

Zu den Übungsaufgaben

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