MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Spurpunkte

Spurpunkte einer GeradenBearbeiten

Achtung! Es müssen nicht alle
drei Spurpunkte existieren!

Die Spurpunkte einer Geraden g sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenebenen. Gegeben

 .

  ist der Schnittpunkt mit der 1-2-Ebene, d.h.  .

Falls der Spurpunkt existiert  , muss gelten  . Diese Gleichung lässt sich leicht nach   auflösen. Einsetzen dieses Wertes für   in die Parameterform der Geraden liefert den Ortsvektor des Spurpunktes  .

Auf dieselbe Weise lassen sich auch der Spurpunkt   als Schnittpunkt mit der 1-3-Ebene und der Spurpunkt   als Schnittpunkt mit der 2-3-Ebene bestimmen, falls sie existieren.


Spurpunkte einer EbeneBearbeiten

Achtung! Es müssen nicht alle
drei Spurpunkte existieren!

Die Spurpunkte einer Ebene E sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

Gegeben

 

  ist der Schnittpunkt mit der  -Achse, d.h.  .

Falls der Spurpunkt existiert, muss gelten   und  . Besitzt dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, so existiert der Spurpunkt. Einsetzen der Lösungen für   und   in der Parameterform der Ebene liefert den Ortsvektor des Spurpunktes  .

Auf dieselbe Weise lassen sich auch der Spurpunkt   als Schnittpunkt mit der  -Achse und der Spurpunkt   als Schnittpunkt mit der  -Achse bestimmen, falls sie existieren.


Spurgeraden einer EbeneBearbeiten

Achtung! Es müssen nicht alle
drei Spurgeraden existieren!

Die Spurgeraden einer Ebene E sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen.

Gegeben

 

  ist die Schnittgerade mit der 1-2-Ebene, d.h.  .

Falls die Spurgerade existiert   oder  , muss gelten  . Nach   oder   auflösen und in die Parameterform der Ebene einsetzten liefert die Parameterform der Spurgeraden  .

Die Spurgeraden verlaufen immer durch die Spurpunkte mit den beiden beteiligten Koordinatenachsen.   lässt sich also auch als Gerade durch   und   beschreiben, falls diese existieren.


Skizzieren einer EbeneBearbeiten

Es ist in der Regel nicht möglich, in eine zweidimensionalen Darstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems alle Punkte einer Ebene einzuzeichnen. Das Einzeichnen der Spurpunkte und Spurgeraden einer Ebene in ein Koordinatensystem liefert dagegen eine gute Vorstellung von der Lage der Ebene im Koordinatensystem.


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