MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand g-g 1

Vorgegeben sind zwei parallele Geraden, deren Abstand bestimmt werden soll.

Zunächst sollte festgestellt werden, dass die beteiligten Geraden auch tatsächlich parallel verlaufe. Wie das geht ist hier erklärt. Steht fest, dass die beiden Geraden parallel verlaufen, dann ist der Abstand der beiden Geraden nichts anderes als der Abstand eines beliebigen Punktes der einen Gerade zur anderen Geraden.

Die Aufgabe besteht also aus zwei Teilen:

1. Einen Punkt P der einen Gerade finden (hier erklärt).
2. Abstand diese Punktes P zur anderen Gerade bestimmen (hier erklärt).

Beispiele

$g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)$ und $g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}4\\3\\1\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)$

Die Richtungsvektoren sind kollinear und der Punkt $P\left(3|-3|0\right)$ liegt zwar auf $g_{1}$ aber nicht auf $g_{2}$. Die Geraden sind also parallel.

Bestimme den Abstand von P zu $g_{2}$.

• Hilfsebene senkrecht zu $g_{2}$ durch Punkt P
  $E:\;x_{1}-x_{2}-x_{3}=6$
• Schnittpunkt L der Hilfsebene E mit $g_{2}$
  $4+t-(3-t)-(1-t)=6\Leftrightarrow t=2\Rightarrow L\left(2|-1|0\right)$
• Abstand der Punkte P und L
  $d(P,L)=\left|{\overrightarrow {PL}}\right|={\sqrt {5}}$

$d(g_{1},g_{2})=d(P,g_{2})=d(P,L)={\sqrt {5}}$

 

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