MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Abstand P-g
Der Tower eines Flughafens steht im Ursprung eines Koordinatensystems. Ein Fluglotse befindet sich im Kontrollraum des Towers in 75 m Höhe. Ein startendes Flugzeug verlässt am Punkt die Rollbahn in Richtung . Wie nah kommt das Flugzeug dem Fluglotsen? Nimm zur Vereinfachung an, dass sich das Flugzeug zunächst auf einer geradlinigen Flugbahn bewegt.
Die Aufgabe besteht darin, den Abstand des Punktes P (in dem sich der Fluglotse befindet) zur Geraden g (der Bahn des Flugzeuges) zu bestimmen.
Gegeben sind eine Gerade und eine Punkt . Das Lot vom Punkt P auf die Gerade g ist diejenige Gerade, die durch P geht und g senkrecht schneidet. Der Lotfußpunkt L ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden g. Der Abstand des Punktes P von der Geraden g ist dann der Abstand des Punktes P vom Punkt L.
Praktisches Vorgehen
Bearbeiten- Bestimme den Lotfußpunkt L. Dazu:
- Konstruiere eine Hilfsebene E, die von der Geraden g senkrecht durchstoßen wird und auf der der Punkt P liegt. Ein möglicher Normalenvektor für diese Hilfsebene ist der Richtungsvektor der Gerade. Mit ist eine Normalenforn dieser Ebene .
- Bestimme den Durchstoßpunkt L der Geraden g durch die Ebene E.
- Bestimme den Abstand d der Punkte P und L.
Dieser Abstand d ist auch der Abstand des Punktes P von der Geraden g.
Beispiele
- Das Einstiegsbeispiel:
- Die Bahn des Flugzeuges wird beschrieben durch
- Der Fluglotse befindet sich im Punkt
- Die Hilfsebene ist
- in Koordinatenform:
- Als Schnittpunkt von g und E erhält man den Lotfußpunkt
- Der gesuchte Abstand ist
- Ein weiters Beispiel
- und
- Die Hilfsebene
- Der Schnittpunkt von g und E ist .