Formelsammlung Physik: Relativitätstheorie

SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

 

Lorentzfaktor:

 

mit  .

Addition von Lorentzfaktoren:

 

Rapidität:

 

Beachte auch:

 

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in  -Richtung Inverse Galilei-Transformation
 
 
 
 
 
 
 
 

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in  -Richtung Inverse Lorentz-Transformation
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lorentz-Transformation in  -Richtung im Vierer-Formalismus Inverse Lorentz-Transformation
 
 
 
 

Vierer-Koordinaten:

 

Zeitdilatation

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit   als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten   im gemessenen Zeitabstand  :

 
 

Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

 

Uhrendesynchronisation

Die Relativität der Gleichzeitigkeit bewirkt eine Desynchronisation der Uhren im Abstand  , wobei sowohl dieser Abstand als auch die Bewegungsrichtung v vorzeichenbehaftet sind. Maßgeblich für den Gangunterschied   sind nur die Komponenten des Abstandes in Richtung der Bewegung:

 .

Dabei ist zu beachten, dass die Uhren bei   und   vom Beobachter gleichzeitig abgelesen werden und nicht gleichzeitig vom beobachteten System aus gesehen, genau daraus resultiert die beobachtete Uhrendesynchronisation.

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

 
mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

 

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

 

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

  insgeamt also  

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

  insgeamt also  

Der z-Faktor ergibt sich aus

 

Kinematik

Geschwindigkeit

Definition. Vierergeschwindigkeit:

 

Es gilt:

 

Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:

 

Beschleunigung

Definition. Viererbeschleunigung:

 

Ableitung des Lorentzfaktors:

 

Es gilt:

 

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

 

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

 

Dynamik

Impuls

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

 

Definition. Viererimpuls:

 

Es gilt:

 

und:

 

Energie-Impuls-Beziehung:

 

Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:

 

Kraft

Definition. Viererkraft:

 

Es gilt:

 

Mit

 

gilt:

 

Relativistische Masse

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

 
  Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
  Ruhemasse.

Energie

Einsteins Energieformel:

 
  Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
  relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
  Ruhemasse.

Ruheenergie:

 

Kinetische Energie:

 

Maclaurin-Reihe des Lorentzfaktors:

 

Vierer-Formalismus

In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:

Vierervektor
 

 

 

 

 

 

Kontravariante Koordinaten Kovariante Koordinaten
 
 

Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:

 

Es gilt   bzw.  .

Minkowski-Skalarprodukt:

 

In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.

Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.

Quadratische Form:

 

Ein Viererort   (auch Ereignis genannt) heißt

  • zeitartig, wenn  
  • raumartig, wenn  
  • lichtartig, wenn  

Minkowski-Norm:

 

Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.

Minkowski-Metrik:

 

mit  .

Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.

Linienelement:

 

Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:

 
 

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion  , die einem Ereignis   der Raumzeit ein anderes Ereignis   zuordnet, so dass gilt:

 

wobei   die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

 

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

 

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen   ist trivial isomorph zur   und wird zur Unterscheidung als   notiert.

Die   ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

 

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

 .

Aus der Definition folgt   mit  . Ausgeschrieben:

 

bzw.

 

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

 

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

 

Poincaré-Gruppe:

 

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei  . Das sind alle Poincaré-Transformationen mit  . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit  .

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

 
  •   mit SI-Einheit kg
  •   mit SI-Einheit   m/s
  •   mit SI-Einheit   m³/s²kg
  •   mit SI-Einheit m
  •   mit SI-Einheit m
  •   mit SI-Einheit m²/s²
  •   mit SI-Einheit m/s²
  •   mit SI-Einheit m/s
  •   mit SI-Einheit m/s

Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

 
 
  •  
  •  

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

 
 
  •  
  •  

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

 

und Frequenz:

 

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

 

und für die Frequenz:

 

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

 

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

 

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

 

Lokale Lichtgeschwindigkeit

In Folge der Zeitdilatation und der Lorentzkontraktion ist die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld geringer, wobei die Lorentzkontraktion nur in radialer Richtung wirksam ist:

 
 

mit dem Einfallswinkel φ zur radialen X-Achse

 

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

 

mit:

  •   mit SI-Einheit 1/m²
  •   mit SI-Einheit J/m³
  •   mit SI-Einheit 1/m²
  •   mit SI-Einheit 1
  •   mit SI-Einheit 1/m²
  •  
  •   mit SI-Einheit   1/N
  •   mit SI-Einheit   m³/s²kg
  •   mit SI-Einheit   m/s
  •  

Allgemein

Weblinks