Formelsammlung Physik: Astronomie

Formelsammlung Physik

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Vorwort

Die Astronomie ist eine eigenständige Naturwissenschaft, die aber viele Querverbindungen zu anderen Disziplinen aufweist. Besonders eng ist die Verflechtung mit der Physik und damit zwangsläufig auch der Mathematik. Jedoch bestehen auch Beziehungen zur Chemie, der Biologie und den Geowissenschaften. Aufgrund dieser vielen Schnittmengen mit anderen Wissenschaften enthält diese Sammlung daher zahlreiche Formeln, welche auch in anderen Übersichtswerken aufgelistet sind. Der Unterschied besteht darin, dass solche Formeln hier spezifisch astronomische Anwendungen finden.

Dem Charakter einer Formelsammlung entsprechend, können Beweise für einzelne Beziehungen nur kurz angedeutet bzw. anhand einfach zu behandelnder Spezialfälle plausibel gemacht werden. Hinsichtlich einer exakten Beweisführung muss auf entsprechende Artikel in der Wikipedia und der dort angegebenen Literatur verwiesen werden.

Häufig benutzte Größen und Naturkonstanten

In diesem Kapitel werden in dieser Formelsammlung häufig verwendete Größen und Naturkonstanten vorab zusammengestellt.

Größen der Erde

Abkürzung	Bezeichnung	Wert in SI-Einheiten
RE	Mittlerer Radius	6371 km
ME	Masse	5.974 1024 kg
$\rho$E	Dichte	5.515 g cm-3
gE	Fallbeschleunigung an Oberfläche	9.80665 m s-2
aE	Große Halbachse der Bahn um die Sonne	149.6 10 6 km

Größen des Erdmondes

Abkürzung	Bezeichnung	Wert in SI-Einheiten
RM	Mittlerer Radius	1738 km
MM	Masse	7.349 1022 kg
$\rho$M	Dichte	3.341 g cm-3
gM	Fallbeschleunigung an Oberfläche	1.623 m s-2
aM	Große Halbachse der Bahn um die Erde	384400 km

Größen der Sonne

Abkürzung	Bezeichnung	Wert in SI-Einheiten
R☉	Radius	696342 km
M☉	Masse	1.9884 1030 kg
$\rho$☉	Dichte	1.408 g cm-3
g☉	Fallbeschleunigung an Oberfläche	273.7 m s-2
L☉	Leuchtkraft	3.846 1026 W

Naturkonstanten

Konstante	Bezeichnung	Wert
G	Gravitationskonstante	(6.67408 $\pm$ 0.00031) 10-11 m3 kg-1 s-2
c	Lichtgeschwindigkeit	299792458 m s-1 exakt per Definition
h	Plancksches Wirkungsquantum	(6.626070040 $\pm$ 0.000000081) 10-34 J s
k	Boltzmann-Konstante	(1.38064852 $\pm$ 0.00000079) 10-23 J K-1
$\sigma$	Stefan-Boltzmann-Konstante	(5.670367 $\pm$ 0.000013) 10-8 W m-2 K-4
b	Wiensche Verschiebungskonstante	(2897.7729 $\pm$ 0.0017) $\mu$m K
$m_{e}$	Elektronenmasse	(9.10938356 $\pm$ 0.00000011) 10-31 kg
$m_{P}$	Protonenmasse	(1.672621898 $\pm$ 0.000000021) 10-27 kg

Elektromagnetische Strahlung

Von sehr wenigen Ausnahmen abgesehen (z. B. kosmische Strahlung und Gravitationswellen), beruhen alle von Himmelskörpern empfangenen Signale auf elektromagnetischer Strahlung. In diesem Kapitel sollen daher zahlreiche Gesetzmäßigkeiten zusammengestellt werden, welche zur Interpretation entsprechender Beobachtungen benötigt werden.

Fundamentale Eigenschaften

Wellenlänge und Frequenz

Wie viele klassische Experimente (z. B. der Doppelspalt-Versuch) zeigen, stellt elektromagnetische Strahlung ein Wellenphänomen dar. Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $f$ einer elektromagnetischen Schwingung sind dabei folgendermaßen über die Lichtgeschwindigkeit miteinander verknüpft:

$\lambda f=c$

Doppler-Effekt

Eine der wichtigsten astronomischen Anwendungen der Wellennatur elektromagnetischer Strahlung ist der Doppler-Effekt. Bewegt sich eine Lichtquelle mit einer Geschwindigkeit $v$ relativ zum Betrachter weg, kommt das Licht bei diesem im Vergleich zu einer ruhenden Lichtquelle verspätet an, was einer geringen Frequenz bzw. größeren Wellenlänge entspricht. Das strahlende Objekt erscheint somit gerötet. Kommt die Lichtquelle auf den Beobachter zu, verhält es sich umgekehrt, der leuchtende Körper erscheint blauer. Für die Änderung der Frequenz $\Delta f$ bzw. der Wellenlänge $\Delta \lambda$ gilt im Falle kleine Geschwindigkeiten $v\ll c$:

${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {v}{c}}$

${\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}={\frac {v}{c}}$

Kennt man die Wellenlängenverschiebung (z. B. durch Vergleich der beobachteten Wellenlängen von Spektrallinien mit den unverschobenen Werten), so folgt daraus unmittelbar die Geschwindigkeit, mit der sich die Lichtquelle in Blickrichtung relativ zum Beobachter bewegt.

Bei der Beobachtung von Sternen unserer Galaxis liegt $v$ üblicherweise in der Größenordnung von 10 bis 100 km/s und damit $\Delta \lambda /\lambda$ in der Größenordnung von 10^-5 bis 10^-4. Im Falle sehr weit entfernter Galaxien kann $v$ jedoch eine Größenordnung von 100000 km/s und damit $\Delta \lambda /\lambda$ eine solche von 0.1 bis 1 erreichen. Dieses Szenario einer im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit nicht vernachlässigbaren Geschwindigkeit der Lichtquelle wird im Kapitel Relativitätstheorie behandelt.

In der Praxis wird das Verhältnis zwischen der Änderung der Frequenz bzw. Wellenlänge und deren unverschobenem Wert oft mit dem Buchstaben $z$ abgekürzt:

$z={\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta \lambda }{\lambda }}$

Energie eines Lichtquants

Erscheinungen wie der photoelektrische Effekt offenbaren, dass elektromagnetischer Strahlung nicht nur eine Wellen-, sondern zugleich auch eine Teilchennatur innewohnt. Gemäß dieser Vorstellung tritt Licht einer Frequenz $f$ nur in bestimmten Energieportionen, sogenannten Lichtquanten oder Photonen auf. Die Energie $E$ eines solchen Lichtquants beträgt:

$E=hf$

Strahlungsleistung

Die Strahlungsleistung ist eine der wichtigsten Größen in der Astronomie, sowohl in Bezug auf die von einer Lichtquelle abgegebene Leistung, als auch in Bezug auf die von einem Beobachter registrierte. Für die Strahlungsleistung werden etliche nun vorgestellte Größen verwendet, je nachdem ob man sich auf die gesamte Leistung bezieht oder nur auf einen pro Fläche oder Raumwinkel entfallenden Anteil.

Leuchtkraft und Lichtstrom

Die Leuchtkraft $L$ bezeichnet die gesamte von einem selbstleuchtenden Himmelskörper abgegebenen Leistung, summiert sowohl über das ganze elektromagnetische Spektrum, als auch über alle Richtungen. Als Einheit wird, wie generell für Leistungen, Watt benutzt.

Die Leistung irdischer Lichtquellen wird meist durch den Lichtstrom $\Phi$ ausgedrückt. Im Unterschied zur Leuchtkraft wird nicht die über alle Richtungen summierte Leistung betrachtet, sondern nur der Anteil, der in einen Raumwinkel von 1 Steradiant fällt. Um kenntlich zu machen, dass man sich auf die Leistung einer Lichtquelle bezieht, wird als gesonderte Einheit Lumen (abgekürzt lm) verwendet. Da der alle Richtungen umfassende Raumwinkel $4\pi$ beträgt, gilt bei richtungsunabhängiger Ausstrahlung:

$L=4\pi \Phi$

Wegen des in Watt üblicherweise sehr hohen Zahlenwertes für die Leuchtkraft eines Himmelskörpers wird diese fast immer als Vielfaches der Sonnenleuchtkraft ausgedrückt. Als logarithmisches Maß für die Leuchtkraft wird häufig zudem die bolometrische Helligkeit verwendet, welche im Kapitel Physik der Sterne näher erläutert wird.

Lichtstärke

Für Lichtquellen, die nicht in alle Richtungen gleichmäßig strahlen, interessiert man sich oft nicht nur für die gesamte Leistung, sondern auch für deren Abhängigkeit von der Strahlrichtung. Zu diesem Zweck dient die Lichtstärke $I$. Diese gibt an, welcher Anteil $d\Phi$ des Lichtstroms in einen kleinen Raumwinkel $d\Omega$ fällt:

$I={\frac {d\Phi }{d\Omega }}$

Die Einheit ist per Definition Lumen pro Steradiant (Watt pro Steradiant), wofür sich als eigenständige Bezeichnung Candela (abgekürzt cd) durchgesetzt hat. In der Astronomie wird die Lichtstärke selten verwendet.

Spezifische Lichtausstrahlung

Anstatt die pro Raumwinkel abgestrahlte kann man auch die durch eine kleine Fläche $dA$ abgegebene Leistung betrachten. Sie wird als spezifische Lichtausstrahlung $M$ bezeichnet, mitunter auch als Ausstrahlungsstromdichte oder Abstrahlungsstärke. Für irdische Lichtquellen lautet die Definition:

$M={\frac {d\Phi }{dA}}$

Dies entspricht einer Einheit Lumen pro Quadrameter (Watt pro Quadratmeter). Als spezifische Bezeichnung wird Lux (abgekürzt lx) verwendet.

Im Gegensatz zur Lichtstärke ist die spezifische Lichtausstrahlung im Hinblick auf das nachfolgend skizzierte Stefan-Boltzmann-Gesetz für die Astronomie von großer Bedeutung. Jedoch wird für Himmelskörper nicht der Lichtstrom, sondern die gesamte Leuchtkraft im Verhältnis zur Oberfläche betrachtet. Weist z. B. ein Stern einen Radius $R$ auf, so gilt:

$M={\frac {L}{4\pi R^{2}}}$

Leuchtdichte

Die Leuchtdichte $L$ (leider ist das gleiche Symbol üblich wie für die Leuchtkraft) gestattet die genaueste Beschreibung einer Lichtquelle, welche Inhomogenitäten der Abstrahlung sowohl hinsichtlich der Richtung als auch der Oberfläche berücksichtigt. Entsprechend wird jetzt der Anteil $d^{2}\Phi$ des Lichtstroms betrachtet, der durch eine kleine Fläche $dA$ in einen kleinen Raumwinkel $d\Omega$ ausgesandt wird:

$L={\frac {d^{2}\Phi }{d\Omega dA\cos \beta }}$

Der Winkel $\beta$ berücksichtigt, dass die Fläche $dA$ nicht senkrecht zur Blickrichtung ausgerichtet sein muss ($\beta$ = 0), sondern gegenüber dieser geneigt sein kann. In diesem Fall kommt eine um den Faktor $\cos \beta$ reduzierte Lichtenergie am Beobachter an. Um ein davon unabhängiges Resultat zu erhalten, wird schon bei der Definition der Leuchtdichte dieser Effekt herauskorrigiert.

Die Einheit der Leuchtdichte ist entsprechend der Definition Lumen pro Steradient und Quadratmeter (Watt pro Steradient und Quadratmeter). Eine gesonderte Bezeichnung existiert offiziell nicht. Man kann jedoch anhand der anderen Strahlungsgrößen die Einheiten Candela pro Quadratmeter bzw. Lux pro Steradiant ableiten.

Alle hier vorgestellten Größen kann man im Prinzip anstatt auf das gesamte elektromagnetische Spektrum auch auf einen Ausschnitt desselben beziehen, also auf ein Frequenz- bzw. Wellenlängenintervall. In dieser Form ist gerade die Leuchtdichte eines Schwarzen Körpers als Resultat des Plackschen Strahlungsgesetzes von großer Wichtigkeit.

Beleuchtungsstärke und Intensität

Alle bisher unter dem Thema Strahlungsleistung vorgestellten Größen beziehen sich auf die Lichtquelle. In der Astronomie ist diese jedoch nie direkt zugänglich, sondern nur die am Beobachtungsinstrument ankommende Strahlung. Die wichtigste Größe, um den Lichteinfall zu beschreiben, ist im Falle irdischer Lichtquellen die Beleuchtungsstärke $E$. Sie gibt den Anteil des von der Quelle ausgesandten Lichtstroms $d\Phi$ an, welcher auf eine kleine Fläche $dA$ trifft.

$E={\frac {d\Phi }{dA}}$ (irdische Lichtquellen)

Im Falle von Himmelskörpern spricht man anstatt von Beleuchtungsstärke von der Intensität des einfallenden Lichts, welche leider das gleiche Symbol $I$ trägt wie die Lichtstärke. Zudem wird nun nicht der vom Lichtstrom, sondern von der Leuchtkraft $L$ aufgenommene Anteil betrachtet.

$I={\frac {dL}{dA}}$ (Himmelskörper)

Formell entsprechen diese Definitionen denjenigen der spezifischen Ausstrahlung, doch bezieht sich nun $dA$ nicht auf eine abstrahlende, sondern eine beleuchtete Fläche. Dementsprechend werden auch die gleichen Einheiten verwendet, nämlich Watt pro Quadratmeter bzw. im Falle einer Beleuchtung durch irdische Lichtquellen Lux. Die von Himmelskörpern ankommende Strahlung ist meist so schwach, dass statt der Intensität als handlicheres (und logarithmisches) Maß die scheinbare Helligkeit verwendet wird (siehe Kapitel Physik der Sterne).

Zusammenfassung

Abschließend seien alle mit der Strahlungsleistung in Zusammenhang stehenden Größen durch nachfolgende Tabelle zusammengefasst.

Abkürzung	Bezeichnung	SI-Einheit	Dimension
$\Phi$	Lichtstrom	Lumen (lm)	W
$L$	Leuchtkraft	W	W
$I$	Lichtstärke	Candela (cd)	W sr-1
$M$	Spezifische Lichtausstrahlung	Lux (lx)	W m-2
$L$	Leuchtdichte	W m-2 sr-1	W m-2 sr-1
$E$	Beleuchtungsstärke	Lux (lx)	W m-2
$I$	Intensität	W m-2	W m-2

Strahlungsausbreitung

Photometrisches Entfernungsgesetz

Aus den Definitionen von Lichtstärke $I$ und Beleuchtungsstärke $E$ lässt sich leicht ableiten, wie diese beiden Größen für eine Lichtquelle in einer Entfernung $d$ zusammenhängen. Per Definition ist $E=d\Phi /dA$ und $d\Phi =Id\Omega$. Für den Raumwinkel $d\Omega$, welchen ein Empfänger der Fläche $dA$ von der Quelle aus gesehen einnimmt, gilt wiederum $d\Omega =dA/d^{2}$. Einsetzen in die Definition der Beleuchtungsstärke liefert:

$E={\frac {I}{d^{2}}}$

Für einen in alle Richtungen gleichmäßig abstrahlenden Himmelskörper besteht zwischen Lichtstärke und Leuchtkraft der Zusammenhang $I=L/4\pi$. Daraus resultiert für die Intensität (man achte wieder auf die zusätzliche Verwendung des Symbols $I$ auch für die Lichtstärke):

$I={\frac {L}{4\pi d^{2}}}$

Astronomische Beobachtungen liefern primär die Intensität und die Entfernung, so dass dann das photometrische Entfernungsgesetz die Leuchtkraft der Lichtquelle liefert. Ein Beispiel hierfür ist die Bestimmung der Leuchtkraft der Sonne. Die Solarkonstante, die außerhalb der Erdatmosphäre bei senkrechtem Lichteinfall im Mittel einfallende Intensität, beträgt 1367 W/m². Die in der Einleitung gegebene mittlere Entfernung der Sonne liefert dann die dort ebenfalls erwähnte Leuchtkraft.

Lambert-Beersches-Gesetz

Das soeben vorgestellte Entfernungsgesetz gilt nur, wenn zwischen Lichtquelle und Empfänger kein absorbierendes bzw. streuendes Medium vorhanden ist. Tatsächlich unterliegen aber alle bodengebundenen astronomischen Beobachtungen der Absorption und Streuung durch die Erdatmosphäre und müssen dementsprechend korrigiert werden. Schon bevor das Sternenlicht die Atmosphäre erreicht, wird es zudem durch interstellare Materie geschwächt (und gerötet). Auf dieses Problem wird später eingegangen, hier sollen nur die Grundtatsachen der Lichtschwächung durch ein Medium dargelegt werden.

Man betrachte eine dünne Schicht der Dicke $dr$, auf der Licht mit einer Intensität $I$ auftrifft. Der Verlust an Intensität $dI$ ist der Schichtdicke direkt proportional und natürlich auch zu $I$ selbst, d. h. es gilt eine Beziehung der Form $dI=-Ikdr$. Diese Differentialgleichung lässt sich unmittelbar lösen, woraus das Lambert-Beersche Gesetz folgt ($I_{0}$ bezeichnet die vor der schwächenden Schicht ankommende Intensität):

$I=I_{0}e^{-kr}$

Die von einem Medium durchgelassene Intensität fällt also exponentiell mit zunehmender Schichtdicke $r$ ab. $k$ wird als Extinktionskoeffizient bezeichnet. Er hängt vom streuenden bzw. absorbierenden Material und vor allem von dessen Teilchendichte (der Anzahl der absorbierenden Partikel pro Volumen) ab.

In der Literatur gibt es unterschiedliche Darstellungen des Lambert-Beersche-Gesetzes. Oft wird die Teilchendichte $n$ aus dem Extinktionskoeffizienten herausgezogen, was zu folgender Form führt.

$I=I_{0}e^{-knr}$

In der Chemie wird anstatt der Teilchendichte zudem meist die Stoffmengenkonzentration verwendet. In diesem Buch soll wie in der Astronomie in der Regel üblich $n$ im Extinktionskoeffizienten enthalten sein. Dann wird das Produkt $kr$ als Optische Tiefe $\tau$ bezeichnet:

$\tau =kr$

Ist dieses sehr viel kleiner als 1, darf die Näherung $e^{-\tau }=1-\tau$ verwendet werden. In diesem Fall ist der Verlust an Intensität durch die absorbierende Schicht proportional zu deren Dicke als auch dem Extinktionskoeffizienten und damit der Dichte der Absorber. Man spricht dann von einer optisch dünnen Schicht; eine solche ist weitgehend durchsichtig. Umgekehrt entspricht der Fall $kr\gg 1$ einer optisch dicken Schicht, welche nahezu undurchsichtig ist.

Sehr oft ist eine absorbierende Schicht inhomogen, wodurch sich $k$ längs des Weges $r$ ändert. Dann muss anstelle des einfachen Produkts $kr$ das Integral des Extinktionskoeffizienten über dem Weg genommen werden:

$\tau =\int _{r}k(r)rdr$

Wellenlängenabhängigkeit der Extinktion

$k$ ist nicht nur von der Teilchendichte und der Art des absorbierenden Materials, sondern im Allgemeinen auch von der Wellenlänge $\lambda$ des einfallenden Lichts abhängig. Hierfür existieren drei Szenarien. Sind die Partikel viel kleiner als die Wellenlänge (z. B. Luftmoleküle), liegt Rayleigh-Streuung vor. In diesem Fall ist:

$k\sim {\frac {1}{\lambda ^{4}}}$

Sind Partikel und Wellenlänge etwa gleich groß (z. B. bei Aerosolen), befindet man sich im Bereich der Mie-Streuung. Diese ist mathematisch sehr schwierig zu behandeln, wobei aber ungefähr gilt:

$k\sim {\frac {1}{\lambda }}$

Bei großen Partikeln liegt schließlich eine rein geometrische Abschattung vor, welche von $\lambda$ unabhängig ist. In der Praxis wird die Extinktion jedoch von kleinen Partikeln dominiert, so dass stets eine deutliche Wellenlängenabhängigkeit gegeben ist. Die Mie- und erst recht die Rayleigh-Streuung liefert eine deutliche Zunahme der Extinktion zu kürzeren Wellenlängen hin, was die Rötung des Sternenlichts sowohl durch die Erdatmosphäre als auch interstellare Materie erklärt.

Strahlungsgesetze

Sehr oft interessiert man sich nicht nur für die gesamte Leuchtkraft eines Himmelskörpers, sondern auch für deren spektrale Verteilung. Ein recht grobes, aber durchaus schon nützliches Modell hierfür ist die Strahlung eines sogenannten Schwarzen Körpers, deren Spektrum exakt berechnet werden kann. Auf die Herleitung der entsprechenden Gesetzmäßigkeiten muss hier jedoch auf die Wikipedia und die einschlägige Literatur verwiesen werden.

Plancksches Strahlungsgesetz

Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt die spektrale Verteilung der Leuchtdichte eines Schwarzen Körpers in Abhängigkeit von dessen Temperatur $T$ an, wobei $k$ nun die Boltzmann-Konstante bezeichnet. Es gibt sowohl eine Frequenz- als auch eine Wellenlängendarstellung, wobei letztere in der astronomischen Praxis bevorzugt wird

$L_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}$

$L_{f}={\frac {2hf^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{hf/kT}-1}}$

Wellenlängendarstellung des Spektrums eines schwarzen Körpers in Abhängigkeit von der Temperatur

Wiensches Strahlungsgesetz und Rayleigh-Jeans-Gesetz

Bei diesen beiden Gesetzmäßigkeiten handelt es sich um Näherungen des Planckschen Strahlungsgesetzes, welche schon vor dessen Herleitung durch Max Planck bekannt waren. Falls $\lambda T\ll 1$, d. h. für genügend kleine Wellenlängen, kann man im Nenner obigen Ausdrucks die 1 gegenüber der Exponentialfunktion vernachlässigen. Dies entspricht dem Wienschen Strahlungsgesetz:

$L_{\lambda }={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}}}$

Im umgekehrten Fall $\lambda T\gg 1$, d. h. für ausreichend große Wellenlängen, gilt näherungsweise $e^{x}=1+x$. Wendet man diese Beziehung auf das Plancksche Strahlungsgesetz an, so ergibt sich das Rayleigh-Jeans-Gesetz:

$L_{\lambda }={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}$

Wiensches Verschiebungsgesetz

Obige Veranschaulichung des Planckschen Strahlungsgesetzes zeigt, dass die spektrale Verteilung der Leuchtdichte eines Schwarzen Körpers genau ein Maximum aufweist, das mit zunehmender Temperatur sich zu einer immer kürzeren Wellenlänge hin verschiebt. Die Lage $\lambda _{\text{max}}$ dieses Maximum lässt sich durch eine klassische Kurvendiskussion ermitteln, indem man die 1. Ableitung der Plancksche Formel nach $\lambda$ bildet und deren Nullstelle bestimmt. Das daraus resultierende Wiensche Verschiebungsgesetz lautet:

$\lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}$

Dieser Zusammenhang ermöglicht es, auf einfache Weise die Oberflächentemperatur eines selbstleuchtenden Himmelskörpers abzuschätzen (wobei bei Sternen, die ja keine feste Oberfläche aufweisen, damit die Photosphäre gemeint ist). So erreicht z. B. das Spektrum der Sonne bei etwa 0.45 $\mu$m sein Maximum, was gemäß dem Wienschen Verschiebungsgesetz einer Temperatur von ungefähr 6400 K entspricht.

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Integriert man die von einer kleinen Fläche eines Schwarzen Körpers ausgesandte Strahlung über das gesamte Spektrum und alle Richtungen, so gewinnt man dessen spezifische Ausstrahlung $M$. Die entsprechende Gesetzmäßigkeit, das Stefan-Boltzmann-Gesetz, stellt einen weiteren Zusammenhang zwischen dem Abstrahlverhalten und der Temperatur eines Schwarzen Körpers her. Es gilt:

$M=\sigma T^{4}$

Betrachtet man einen kugelförmigen Schwarzen Körper mit Radius $R$, so beträgt wegen $L=4\pi R^{2}M$ dessen Leuchtkraft:

$L=4\pi \sigma R^{2}T^{4}$

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt eine zweite Methode an die Hand, um die Oberflächentemperatur eines (kugelförmigen) Himmelskörpers abzuschätzen. Sind dessen Radius und Leuchtkraft bekannt, folgt daraus unmittelbar seine Oberflächentemperatur. Im Fall der Sonne resultiert aus den für $L$ und $R$ gegebenen Werten eine Oberflächentemperatur von circa 5800 K, was um etwa 600 K von dem Ergebnis des Wienschen Verschiebungsgesetzes abweicht. Die Ursache für diese Differenz liegt darin begründet, dass die Sonne (wie alle Sterne) kein wirklicher Schwarzer Körper ist. Die Spektren von Sternen sind durch Absorptionsvorgänge in deren Photosphären zum Teil sehr diskontinuierlich und zeigen damit von der Planckschen Strahlungsformel erheblich abweichende Leistungsverteilungen.

Die Temperaturbestimmung aus Leuchtkraft und Radius ist nur möglich, solange der Himmelskörper noch als flächiges Objekt beobachtet werden kann. Meist ist ein solcher nur als Punktquelle sichtbar. Sind nun aber Leuchtkraft und Temperatur aus unabhängigen Messungen bekannt, liefern diese umgekehrt den Radius.

Gleichgewichtstemperatur eines Planeten

Die hier zusammengestellten Gesetze über elektromagnetische Strahlung erlauben es, die auf der Oberfläche eines Planeten herrschende durchschnittliche Temperatur $T$ abzuschätzen. In einem Abstand $d$ von einem Zentralgestirn der Leuchtkraft $L$ kommt eine Intensität $I=L/4\pi d^{2}$ an. Nur die Tagseite des Planeten nimmt ankommende Strahlung auf, welche zudem meist nicht senkrecht, sondern schräg auf die Oberfläche einfällt. Effektiv trägt so nur der kreisförmige Querschnitt des Planeten mit der Fläche $\pi R^{2}$ zur Energieaufnahme bei. Weiterhin reflektiert jede Oberfläche und eventuell vorhandene Atmosphäre einen Teil des ankommenden Lichts sofort wieder zurück, welcher Albedo $A$ genannt wird. Damit verbleibt eine aufgenommene Leistung $P=(1-A)\pi R^{2}I=(1-A)L(R/d)^{2}/4$.

Gemäß dem Stefan-Boltzmann-Gesetz beträgt die vom Planeten abgestrahlte Leistung $P=4\pi \sigma R^{2}T^{4}$. Tatsächlich gibt jedes Material jedoch nur einen Anteil $\epsilon$ von diesem theoretisch möglichen Höchstwert ab, welcher als Emissionsgrad bezeichnet wird. Im Falle einer Atmosphäre halten Treibhausgase zusätzlich einen Teil der von der Oberfläche abgestrahlten Energie zurück, welchen man formell ebenfalls $\epsilon$ zurechnen kann. Die abgegebene Leistung lautet also $P=4\pi \sigma \epsilon R^{2}T^{4}$.

Im Mittel müssen die vom Zentralgestirn ankommende und vom Planeten abgestrahlte Leistung gleich sein. Daraus ergibt sich:

$T=\left({\frac {(1-A)L}{16\pi \epsilon \sigma d^{2}}}\right)^{1/4}$

Setzt man für $L$ die Sonnenleuchtkraft und für $d$ den Abstand Erde-Sonne ein, so gewinnt man die auf irdische Verhältnisse zugeschnittene Beziehung:

$T[K]=278.7\left({\frac {1-A}{\epsilon }}\right)^{1/4}$

Für die Erde ist derzeit $A$ etwa 0.3 und $\epsilon$ ungefähr 0.6, was eine Durchschnittstemperatur von circa 289 K bzw. +16° C liefert. Eine Änderung des Emissionsgrads um 0.01 würde bei sonst unveränderten Bedingungen eine solche der Gleichgewichtstemperatur von 1.2 K bewirken. Eine Änderung der Albedo ebenfalls um 0.01 würde eine Temperaturänderung um 1.0 K nach sich ziehen.

Instrumente

Optische Teleskope

Trotz des Vordringens der Astronomie in andere Wellenlängenbereiche spielen optische Beobachtungen weiterhin eine bedeutsame Rolle, wobei man hinsichtlich der Abbildungstechnik auch noch das Ultraviolett und nahe Infrarot mit einschließen kann. Im Folgenden sollen einige wichtige Eigenschaften optischer Teleskope diskutiert werden.

Öffnungsverhältnis

Eine überragende in viele andere Kenngrößen eingehende Eigenschaft eines Teleskops ist dessen Öffnungsverhältnis $o$, das Verhältnis zwischen dem Durchmesser $D$ der Eintrittspupille des Objektivs und dessen Brennweite $f_{\text{Ob}}$:

$o={\frac {D}{f_{\text{Ob}}}}$

Bildgröße

Ein Objektiv erzeugt von einem sehr weit entfernten Gegenstand ein Bild, das direkt in der Fokalebene liegt. Der Abstand des Bilds vom Objektiv beträgt also genau $f_{\text{Ob}}$. Erscheint der Gegenstand unter einem Winkeldurchmesser $\omega$, so weist das Bild folgende lineare Ausdehnung $l$ auf:

$l=f_{\text{Ob}}\tan \omega$

Bei Himmelsobjekten ist $\omega$ immer sehr klein, so dass die Näherung $\tan \omega =\omega$ verwendet werden darf. $\omega$ muss dabei im Bogenmaß eingesetzt werden. Handlicher ist jedoch das Gradmaß, was einen zusätzlichen Umrechnungsfaktor von $\pi$ / 180 bzw. von etwa 0.0175 erfordert. Damit vereinfacht sich obige Formel zu:

$l[m]=0.0175f_{\text{Ob}}[m]\omega [^{\circ }]$

Winkelvergrößerung

Das vom Objektiv erzeugte Bild wird anschließend durch ein Okular mit einer kürzeren Brennweite $f_{\text{Ok}}$ betrachtet. Ein Objekt mit einem vorherigen kleinen Winkeldurchmesse $\omega$ erscheint unter dem wie eine Lupe wirkenden Okular unter einem größeren Winkel $\Omega$. Als Winkelvergrößerung $V$ ist folgendes Verhältnis definiert:

$V={\frac {\tan \Omega }{\tan \omega }}$

Die oben für das Objektiv gegebene Beziehung zwischen linearer Bildgröße und Brennweite gilt analog auch für das Okular. Daraus folgt, dass die Winkelvergrößerung direkt durch das Verhältnis der Brennweiten der beiden Komponenten gegeben ist:

$V={\frac {f_{\text{Ob}}}{f_{\text{Ok}}}}$

Auflösungsvermögen

Infolge der Beugung des einfallenden Lichts am Objektiv wird auch eine Punktquelle flächenhaft, nämlich als Beugungsscheibchen abgebildet. Zwei unmittelbar benachbarte Punktquellen können noch klar voneinander getrennt werden, wenn das Hauptmaximum des einen Scheibchens auf dem ersten Minimum des benachbarten zu liegen kommt. Nach der Beugungstheorie entspricht dies für Licht einer Wellenlänge $\lambda$ folgendem Winkelabstand $\alpha$:

$\alpha =1.22{\frac {\lambda }{D}}$

In der Praxis kann man gemäß des Dawes-Kriteriums noch einen etwas geringeren Winkelabstand zulassen, nämlich:

$\alpha ={\frac {\lambda }{D}}$

Folgende Abbildung zeigt zwei Beugungsbilder, welche diese Anforderung gerade noch erfüllen.

Nach dem Dawes-Kriterium gerade noch auflösbare Beugungsbilder

Für obige Formel ist es wünschenswert, den sehr kleinen Winkel $\alpha$ in Bogensekunden anstatt Bogenmaß und die Wellenlänge in Nanometern statt Metern auszudrücken. Dann lautet die Beziehung:

$\alpha [^{\prime \prime }]={\frac {\lambda [nm]}{4848D[m]}}$

Tatsächlich ist das Auflösungsvermögen bei größeren Instrumenten durch die Luftunruhe und nicht durch die Beugung beschränkt, und zwar auf etwa 1 Bogensekunde. Betrachtet man Licht einer Wellenlänge von 500 Nanometern, bewirkt schon bei einem Objektivdurchmesser von etwa 0.11 Metern die Luftunruhe die gleiche "Verschmierung" einer Punktquelle wie die Beugung.

Die hier skizzierte Gesetzmäßigkeit für die Begrenzung der Auflösung durch Beugung gilt auch außerhalb des optischen Bereichs, z. B. für Radioteleskope.

Aufgenommene Leistung (Punktquelle)

Die von einer Punktquelle aufgenommene Leistung $P$ ist der Fläche der Eintrittspupille des Objektivs und somit dem Quadrat dessen Durchmessers $D$ direkt proportional:

$P\sim D^{2}$

Aufgenomme Intensität (Flächenquelle)

Wie schon geschildert, ist die lineare Ausdehnung des Abbilds eines flächigen Gegenstands der Brennweite $f_{\text{Ob}}$ des Objektivs direkt proportional, dementsprechend die Fläche des Abbilds proportional zum Quadrat der Brennweite. Die pro Flächenelement am Empfänger (man denke z. B. an die Pixel einer CCD-Kamera) ankommende Leistung, d. h. die Intensität $I$, ist somit umgekehrt proportional zu $f_{\text{Ob}}^{2}$. Berücksichtigt man zusätzlich wieder die Rolle des Objektivdurchmessers, so gilt:

$I\sim {\frac {D^{2}}{f_{\text{Ob}}^{2}}}$ (Auflösungsvermögen durch Luftunruhe begrenzt)

Je stärker die Vergrößerung des Teleskops ist, umso dunkler erscheint das Bild, da das einfallende Licht über eine größere Fläche am Empfänger verteilt wird. Dies betrifft auch Punktquellen wie Sterne, welche durch die Beugung bzw. Luftunruhe ebenfalls flächig abgebildet werden. Bei großen Instrumenten ($D\gg 10\,\mathrm {cm}$) ist der Winkeldurchmesser des Abbilds durch die Luftunruhe bestimmt, wodurch obige Formel zu verwenden ist.

Bei kleinen Teleskopen dominiert die Beugung, welche wie gerade erläutert ein Abbild liefert, dessen Winkeldurchmesser proportional zu $\lambda /D$ und dessen Fläche damit proportional zu $\lambda ^{2}/D^{2}$ ist. Die einfallende Intensität ist so nicht nur zu $D^{2}/f_{\text{Ob}}^{2}$ proportional, sondern auch zu $D^{2}/\lambda ^{2}$. Die Multiplikation beider Proportionalitäten liefert:

$I\sim {\frac {D^{4}}{\lambda ^{2}f_{\text{Ob}}^{2}}}$ (Auflösungsvermögen durch Beugung begrenzt)

Zwar interessiert man sich bei Sternen nur für die gesamte aufgenommene Leistung, welche weiterhin proportional zu $D^{2}$ ist. Jedoch wird bei starker Vergrößerung das ankommende Licht infolge des endlichen Winkeldurchmessers des Sternscheibchens wie bei einer echten Flächenquelle über viele Pixel des Empfängers verteilt, was angesichts eines gleichbleibenden Rauschens pro Pixel den Nachweis schwacher Sterne erschwert.

Bei kleinen Teleskopen erzielt man in dieser Hinsicht mit einem größeren Objektivdurchmesser einen enormen Mehrwert, da man nicht nur mehr Licht aufsammelt, sondern dieses zusätzlich auf ein kleineres Beugungsscheibchen konzentriert. Bei großen Instrumenten verbessert wegen der Luftunruhe ein größeres Objektiv die Konzentration des Lichts auf ein kleineres Sternscheibchen nicht mehr. Es bleibt nur noch der zusätzliche Gewinn an einfallendem Licht.

Die hier getätigten Aussagen über die aufgenommene Leistung bzw. Intensität lassen sich ebenfalls auf andere Bereiche des elektromagnetischen Spektrums übertragen.

Radioastronomie

Das Herzstück eines Radioteleskops ist wie bei einem optischen Fernrohr zumeist ein Parabolspiegel. Als Empfänger dient nun aber eine Antenne, welche sich im Brennpunkt des Spiegels befindet. Im Folgenden sollen sowohl einige allgemeine Eigenschaften von Antennen als auch spezifische Eigenheiten von Radioteleskopen genannt werden.

Antennengewinn

Eine Funkantenne strahlt und empfängt nicht gleichmäßig, sondern bevorzugt in bzw. aus bestimmten Richtungen. Dieses gerichtete Abstrahl- und Empfangsverhalten wird im Detail durch das sogenannte Antennendiagramm beschrieben, welches die in/aus einer beliebigen Richtung abgegebene/aufgenommene Leistung pro Raumwinkel mit derjenigen in der Hauptstrahlrichtung (dem Maximum) vergleicht. Das untenstehende Bild zeigt als Beispiel das Antennendiagramm einer Parabolantenne.

Gemessenes horizontales Antennendiagramm einer Parabolantenne in Polarkoordinaten. Die Blickrichtung steht hierbei senkrecht zur Antenne. Von einem Kreis zum nächsten ändert sich die abgegebene bzw. aufgenommene Leistung pro Raumwinkel um einen Faktor 10

Ein übersichtliches Maß, wie stark die Antenne gerichtet ist, stellt der Antennengewinn $G$ dar. Hierbei vergleicht man die tatsächliche Leistung pro Raumwinkel in Hauptstrahlrichtung $P_{\text{real}}$ mit derjenigen $P_{\text{iso}}$, welche von einer isotropen Antenne gleicher Gesamtleistung ausgehen würde:

$G={\frac {P_{\text{real}}}{P_{\text{iso}}}}$

Antennenwirkfläche

Die Antennenwirkfläche $A_{W}$ gibt die effektiv absorbierende Fläche einer Antenne an. Kommt elektromagnetische Strahlung einer Intensität $I$ an und wird dabei eine gesamte Leistung $P$ aufgenommen, so gilt aufgrund der Definition der Intensität:

$A_{W}={\frac {P}{I}}$

Die Antennenwirkfläche ist mit dem Antennengewinn über folgende Beziehung verknüpft, wobei $\lambda$ abermals die Wellenlänge darstellt:

$A_{W}={\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}G$

Andererseits hängt $A_{W}$ von den geometrischen Abmessungen des Radioteleskops (dem Durchmesser $D$ des Parabolspiegels) und dem Wirkungsgrad $\eta$ der Empfangsvorrichtung ab:

$A_{W}=\eta \pi D^{2}$

Die von einem Radioteleskop aufgenommene Leistung ist ebenso dem Quadrat des Durchmessers des Hauptspiegels proportional wie für ein optisches Fernrohr. Der Wirkungsgrad einer Parabolantenne beträgt zumeist etwa 50%.

Auflösungsvermögen

Die beiden obigen Beziehungen für die Antennenwirkfläche liefern einen direkten Zusammenhang zwischen $G$, $D$ und $\lambda$. Es zeigt sich, dass der Antennengewinn eines Radioteleskops direkt durch dessen beugungsbegrenztes Auflösungsvermögen $\alpha =\lambda /D$ gegeben ist:

$G=4\pi ^{2}\eta \left({\frac {D}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {4\pi ^{2}\eta }{\alpha ^{2}}}$

Wegen der großen Wellenlängen der Radiostrahlung ist das Auflösungsvermögen selbst gewaltiger Radioteleskope bescheiden. Für das Teleskop in Effelsberg erhält man mit einem Durchmesser von 100 m bei einer Wellenlänge von 21 cm (ein wichtiger Bereich für die Messung der Radiostrahlung interstellaren Wasserstoffs) ein Auflösungsvermögen von gerade einmal 0.124 Grad, entsprechend etwa einem Viertel des Winkeldurchmessers von Sonne und Vollmond. Jedoch können mittels der sogenannten Langbasisinterferometrie die von mehreren auch weit voneinander entfernten Radioteleskopen empfangenen Signale rechnerisch kohärent miteinander kombiniert werden. Damit ist das Auflösungsvermögen nicht mehr durch die Durchmesser der Parabolspiegel, sondern die viel größeren Abstände der Teleskope untereinander bestimmt. Mit maximalen Abständen in der Größenordnung von 10000 km lässt sich im Wellenlängenbereich von 21 cm so eine Auflösung von etwa 0.004 Bogensekunden erreichen (die Luftunruhe spielt im Radiobereich keine Rolle).

Spektrographen

Für astronomische Spektroskopie wird im Optischen und den unmittelbar angrenzenden Bereichen des elektromagnetischen Spektrums zumeist ein Beugungsgitter eingesetzt. Die wichtigsten Charakteristika solcher Gitter sollen nun aufgezeigt werden.

Winkeldispersion eines Beugungsgitters

Man betrachte ein Gitter der Ausdehnung $D$, dessen Spalten untereinander einen festen Abstand $g$ haben. Der Einfachheit halber soll das Licht senkrecht einfallen (siehe nachfolgende Zeichnung).

Beugung am Gitter

Betrachtet man nun aufeinanderfolgende Spalte, so beträgt in Richtung eines Ausfallswinkels $\phi$ der Gangunterschied $d$ der entsprechenden Lichtstrahlen $g\sin \phi$. Konstruktive Interferenz liegt vor, wenn $d$ ein ganzzahliges Vielfaches $n$ der Wellenlänge $\lambda$ ist, also $g\sin \phi _{n}=n\lambda$. Für kleine Ausfallswinkel darf man (in Bogenmaß) $\sin \phi _{n}=\phi _{n}$ setzen, woraus folgt:

$\phi _{n}={\frac {n\lambda }{g}}$

Unter der Winkeldispersion versteht man die Änderung des Ausfallswinkels mit der Wellenlänge, also den Ausdruck $d\phi _{n}/d\lambda$. Mit obiger Näherung gilt:

${\frac {d\phi _{n}}{d\lambda }}={\frac {n}{g}}$

Die Winkeldispersion ist demnach von der Wellenlänge unabhängig, ein Vorteil des Beugungsgitters gegenüber dem Prisma.

Spektrales Auflösungsvermögen

Eine wichtige Eigenschaft eines Spektrographen besteht darin, zwei Spektrallinien mit fast identischen Wellenlängen $\lambda$ und $\lambda +d\lambda$ noch trennen zu können. Dies ist dann der Fall, wenn unter dem gleichen Ausfallswinkel $\phi _{n}$ für die eine Linie das $n$-te Hauptmaximum, für die andere Linie dagegen das entsprechende erste Minimum erscheint. Das Auflösungsvermögen wird durch das dann vorliegende Verhältnis $\lambda /d\lambda$ ausgedrückt.

Der kleinste Winkel, der mit einem Gitter der Größe $D$ noch aufgelöst werden kann, beträgt analog zu einem Teleskop mit dem gleichen Durchmesser $d\phi =\lambda /D$. Andererseits ist wie oben gezeigt für konstruktive Interferenz $d\phi =nd\lambda /g$, woraus durch Gleichsetzen $\lambda /d\lambda =nD/g$ folgt. $D/g$ entspricht der Anzahl $N$ der Gitterspalte. Daraus resultiert schließlich:

${\frac {\lambda }{d\lambda }}=Nn$

Das Auflösungsvermögen hängt also allein von der Anzahl der Gitterspalte und der Ordnung $n$ ab, unter welcher man das Spektrum betrachtet. Demnach ist es erstrebenswert, ein Beugungsmaximum möglichst hoher Ordnung zu verwenden. Jedoch folgen dann (die Näherung $\sin \phi =\phi$ gilt für große $n$ nicht mehr) die Maxima immer dichter aufeinander, so dass die Spektren zu überlappen beginnen. Weiterhin nimmt bei einem gewöhnlichen Gitter die Intensität der Maxima mit zunehmender Ordnung stark ab. Zumindest dieses Problem lässt sich durch ein sogenanntes Blazegitter umgehen. Es hat die Eigenschaft, dass bei schrägem Lichteinfall der Ausfallswinkel für eine bestimmte Ordnung $n$ demjenigen einer einfachen Reflexion entspricht, wodurch weit mehr Licht in diese Richtung gebeugt wird.

Wie schon geschildert, liegt die relative Dopplerverschiebung für Sterne der Milchstraße zumeist bei etwa 10^-5 bis 10^-4. Um deren Geschwindigkeiten relativ zu uns mit einer Genauigkeit von 1% messen zu können, ist eine spektrale Auflösung in der Größenordnung von 10⁶ bis 10⁷ erforderlich. Beobachtet man in der 10.Ordnung, werden somit 10⁵ bis 10⁶ Gitterspalte benötigt.

Astrometrie

Die Astrometrie befasst sich mit der Messung und Berechnung der Positionen der Gestirne am Himmel, der sogenannten Sternörter. Sie bezieht sich dabei sowohl auf die (Fix)sterne als auch auf Körper des Sonnensystems wie Sonne, Mond, Planeten und Kometen. Hier soll aber nur die Berechnung von Sternpositionen ausführlicher behandelt werden. Auf die wesentlich kompliziertere Berechnung der Positionen von Mitgliedern des Sonnensystems kann im Rahmen dieser Formelsammlung nicht eingegangen werden.

Sternzeit

Für die Beschreibung der Sternörter wird eine Zeitskala benötigt, welche die scheinbare Bewegung der Gestirne um die Erde aufgrund deren Eigenrotation beschreibt. Diese Zeitskala wird als Sternzeit bezeichnet.

Die Sternzeit wird wie die im Alltag benutzte Sonnenzeit (welche sich auf die scheinbare Bewegung der Sonne um die Erde bezieht) in Tage, Stunden, Minuten und Sekunden eingeteilt. Ein Sterntag (und dementsprechend auch dessen Untereinheiten) ist dabei kürzer als ein Sonnentag. Ursache hierfür ist, dass die scheinbare Bewegung der Sonne um die Erde nicht nur von der Rotation, sondern auch der Bahnbewegung der Erde um die Sonne bestimmt ist. Dadurch bleibt die Sonne auf ihrer scheinbaren Bahn gegenüber den Sternen täglich um einen kleinen Betrag zurück (siehe nachfolgende Abbildung).

Sterntag und Sonnentag

Ein Sterntag ist exakt um den Faktor 1 / 365.2422 (entsprechend der Dauer eines Jahres in Sonnentagen) kürzer als ein Sonnentag. In Einheiten der Sonnenzeit ausgedrückt, dauert ein Sterntag 23 h 56 m 4.091 s. Ungeachtet dessen gilt die Einteilung 1 Sterntag = 24 Sternstunden, 1 Sternstunde = 60 Sternminuten usw.

Die Dauer eines Sterntages lässt sich anschaulich messen, indem man von einem festen Standort aus beobachtet, wann ein bestimmter Stern hinter einer Mauer verschwindet. Wiederholt man diese Beobachtung in der darauffolgenden Nacht, so stellt man fest, dass unterdessen noch keine 24 Sonnenstunden vergangen sind, sondern noch einige Minuten fehlen. In der astronomischen Praxis ist der Sterntag durch die Zeit definiert, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen des Frühlingspunkts durch den Nullmeridian verstreicht.

Für die Berechnung von Sternörtern ist die Kenntnis der lokalen Sternzeit unerlässlich. Diese lässt sich durch folgende Schritte ermitteln:

1. Julianisches Datum für 0 h mittlere Greenwicher Sonnenzeit
2. Mittlere Greenwicher Sternzeit für 0 h mittlere Greenwicher Sonnenzeit
3. Mittlere Greenwicher Sternzeit für tatsächliche Beobachtungszeit
4. Mittlere lokale Sternzeit für tatsächlichen Standort (geographische Länge) des Beobachters

Julianisches Datum für 0 h mittlere Greenwicher Sonnenzeit

Das Julianische Datum gibt an, wie viele Tage seit dem 1. Januar 4713 v.Chr. 12 h vergangen sind. Es stellt eine fortlaufende Tageszählung dar, welche in der Astronomie oft verwendet wird. Es hat gegenüber im Alltag verwendeten Kalendern den Vorteil, dass Zeitdifferenzen sehr leicht berechnet werden können, ohne sich um Besonderheiten wie ungleich lange Momate und Schaltjahre kümmern zu müssen.

Ist ein Datum mit Tag, Monat und Jahr gegeben, so wird das entsprechende Julianische Datum $JD$ folgendermaßen berechnet. Für die Monate März bis Dezember wird $MM$ gleich dem tatsächlichen Monat und $YYYY$ gleich dem tatsächlchen Jahr gesetzt. Für Januar und Februar ist jedoch für $MM$ der Wert Monat + 12 und für $YYYY$ der Wert Jahr - 1 zu verwenden. Für $DD$ wird einfach die Tageszahl genommen. Dann gilt für Daten seit der Einführung des gregorianischen Kalenders am 15. Oktober 1582:

$A=Int(YYYY/100)$

$B=2-A+Int(A/4)$

$JD=Int[365.25\cdot (YYYY+4716)]+Int[30.6001\cdot (MM+1)]+DD+B-1524.5$

Die Funktion Int bezeichnet das Wegschneiden der Nachkommastellen (es wird unabhängig vom Ergebnis stets auf die nächstkleinere ganze Zahl abgerundet).

Als Beispiel sei der 31. Januar 2018 betrachtet. Gemäß obiger Regel ist dann als Jahreszahl 2017 und als Monatszahl 13 einzusetzen. Es ergibt sich ein Julianisches Datum von 2458149.5.

Mittlere Greenwicher Sternzeit für 0 h mittlere Greenwicher Sonnenzeit

Aus dem Julianischen Datum folgt die mittlere Greenwicher Sternzeit in Sekunden für 0 h mittlere Greenwicher Sonnenzeit $GMST(0)$ gemäß der Vorschrift:

$T={\frac {JD-2451545}{36525}}$

$GMST(0)[s]=(24110.54841+8640184.812866\cdot T+0.093104\cdot T^{2}-0.0000062\cdot T^{3}){\bmod {8}}6400$

Die aus $JD$ folgende Zeit muss auf Werte zwischen 0 und 86400 Sekunden normiert werden, wozu die Modulo-Operation dient.

Wieder sei der 31. Januar 2018 diskutiert. Aus obigem Julianischen Datum folgt eine $GMST(0)$ von 31240.5 Sekunden bzw. 8 h 40 m 40.5 s.

Mittlere Greenwicher Sternzeit für tatsächliche Beobachtungszeit

Findet die Beobachtung nicht um 0 h, sondern zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ mittlerer Greenwicher Sonnenzeit statt, so muss $t$ ausgedrückt in Sternzeit zur $GMST(0)$ hinzuaddiert und das Resultat erneut normiert werden:

$GMST(t)[s]=(GMST(0)+1.00273790935\cdot t){\bmod {8}}6400$

Der Faktor 1.00273790935 berücksichtigt den Unterschied zwischen mittlerem Sonnen- und Sterntag.

Man betrachte z. B. eine Beobachtung um 20 h Mitteleuropäischer Zeit, was einer solchen um 19 h Greenwicher Zeit entspricht. 19 Sonnenstunden ergeben 68400 Sonnensekunden, welche wiederum 68587 Sternsekunden entsprechen. Addiert man diesen Betrag zu den oben genannten 31240.5 Sekunden hinzu, ergeben sich normiert 13427.8 Sekunden bzw. 3 h 43 m 47.8 s.

Mittlere lokale Sternzeit für tatsächlichen Standort (geographische Länge) des Beobachters

Schließlich muss berücksichtigt werden, dass der Beobachter sich auf einem beliebigen Längengrad $\lambda$ befinden kann. Um aus der Greenwicher die lokale Sternzeit zu gewinnen, muss die Länge in Zeitsekunden ausgedrückt und zur $GMST(t)$ addiert werden:

$ST(t,\lambda )[s]=\left(GMST(t)+{\frac {\lambda [\prime \prime ]}{15}}\right){\bmod {8}}6400$

360 Längengraden entsprechen 24 Zeitstunden. Dementsprechend ist der Umrechnungsfaktor von Winkelsekunden zu Zeitsekunden 24 / 360 bzw. 1 / 15.

Befindet man sich z. B. auf 10 Grad östlicher Länge, so ist man der Greenwicher Zeit 36000 Winkelsekunden bzw. 2400 Zeitsekunden voraus. Zu obigen 13427.8 Sekunden addiert, erhält man eine lokale Sternzeit von 15827.8 Sekunden bzw. 4 h 23 m 47.8 s.

Koordinatensysteme

Horizontsystem

Um die Positionen der Gestirne festzulegen, muss man sich auf exakt definierte Bezugssysteme beziehen. Um ein Teleskop auf einen bestimmten Himmelskörper auszurichten, verwendet man hierbei ein System, welches unmittelbar die Anschauung des Beobachters wiedergibt, das sogenannte Horizontsystem. Der Beobachter befindet sich in dessen Ursprung.

Horizontsystem (Konvention für Nordhalbkugel)

In diesem System gibt man die Position eines Gestirns durch zwei Winkel relativ zum Horizont und der Südrichtung bzw. Nordrichtung an, je nachdem ob man sich auf der nördlichen oder südlichen Hemisphäre befindet. Die Koordinate relativ zum Horizont wird durch die Elevation (Höhenwinkel) $h$ repräsentiert, diejenige relativ zur Süd- bzw. Nordrichtung durch den Azimut $a$. Der Azimut wird dabei von der Bezugsrichtung ausgehend im Uhrzeigersinn gemessen. Häufig wird anstatt des Horizonts auch der Zenit als Bezugspunkt genommen. Anstelle der Elevation tritt dann die Zenitdistanz $z$ mit $z=90^{o}-h$.

Äquatorsystem

Ruhendes Äquatorsystem

Das Horizontsystem folgt zwar direkt der Perspektive des Beobachters, doch hat es den Nachteil, dass sich darin die Positionen der Gestirne infolge der Erdrotation fortlaufend ändern. Ein wichtiger Schritt hin zu einem Koordinatensystem, welches der Erdrotation folgt und damit (fast) zeitunabhängige Positionen für die Sterne liefert, ist das ruhende Äquatorsystem. Es unterscheidet sich vom Horizontsystem dadurch, dass als Bezugsebene nicht der Horizont, sondern der Himmelsäquator (die Projektion des Erdäquators an das Firmament) verwendet wird.

ruhendes Äquatorsystem (Konvention für Nordhalbkugel)

An die Stelle des Höhenwinkels über dem Horizont tritt nun derjenige über dem Himmelsäquator, die sogenannte Deklination $\delta$. Der Azimut wird durch den Stundenwinkel $\tau$ ersetzt, wobei dieser sich jedoch weiterhin auf die Süd- bzw. Nordrichtung bezieht.

Im Gegensatz zur üblichen Konvention wird der Stundenwinkel nicht in Grad, sondern in Stunden angegeben, entsprechend der Tatsache, dass die Änderung des Stundenwinkels der Sonne genau dem Fortschreiten der Tageszeit entspricht. Im Verlauf eines mittleren Sonnentages ändert sich der Stundenwinkel der Sonne um 360 Grad, d. h. pro Stunde um 15 Grad.

Rotierendes Äquatorsystem

Für (Fix)sterne ist die Deklination bereits eine (nahezu) zeitunabhängige Größe. Der Stundenwinkel jedoch unterliegt noch der Erdrotation. Um daraus einen zweiten festen Winkel zu gewinnen, lässt man das Koordinatensystem sich mit der Erde drehen, woraus das rotierende Äquatorsystem hervorgeht.

rotierendes Äquatorsystem

Die Deklination bleibt hierbei unverändert. An die Stelle des Stundenwinkels tritt nun aber mit der sogenannten Rektaszension $\alpha$ wie gewünscht eine zweite von der Erdrotation freie Koordinate. Als Bezugspunkt für die Rektaszension dient der Frühlingspunkt - der Schnittpunkt von Himmelsäquator und Ekliptik, auf welchem sich die Sonne zum Frühlingsanfang befindet. Wie der Stundenwinkel wird auch die Rektaszension in Stunden anstatt Grad angegeben.

Das rotierende Äquatorsystem ist dem für geographische Ortsangaben benutzten Gradnetz völlig analog. Die Deklination entspricht dem Breitengrad, die Rektaszension dem Längengrad.

Transformation Rotierendes Äquatorsystem -> Horizontsystem

Für die Beobachtungspraxis am wichtigsten ist die Umrechnung vom rotierenden Äquatorsystem ins Horizontsystem, um das Teleskop auf ein gewünschtes Objekt ausrichten zu können. Hierfür gelten folgende Beziehungen, wobei $\phi$ die geographische Breite bedeutet:

$\tau =\Theta -\alpha$

$a=\arctan {\frac {Z}{N}}=\arctan {\frac {\sin \tau }{\sin \phi \cos \tau -\cos \phi \tan \delta }}$

$h=\arcsin \left(\sin \phi \sin \delta +\cos \phi \cos \delta \cos \tau \right)$

Der Höhenwinkel $h$ kann nur Werte von -90 bis +90 Grad annehmen, so dass die Arcussinus-Funktion eindeutige Werte liefert. Hingegen kann der Azimuth $a$ zwischen 0 und 360 Grad liegen, so dass die Arcustangens-Funktion entsprechend den Vorzeichen von Zähler $Z$ und Nennen $N$ ausgewertet muss:

$Z>0,N>0:a=\arctan {\frac {Z}{N}}$

$Z>0,N<0:a=180^{o}+\arctan {\frac {Z}{N}}$

$Z<0,N<0:a=180^{o}+\arctan {\frac {Z}{N}}$

$Z<0,N>0:a=360^{o}+\arctan {\frac {Z}{N}}$

Als Beispiel sei der Stern Beteigeuze betrachtet. Auf das Jahr 2000 bezogen (wie nachfolgend gezeigt wird, ändern sich die Sternörter im Laufe der Zeit vor allem durch die Präzession) hat er eine Deklination von +07 Grad 24 mm 25 ss und eine Rektaszension von 05 h 55 m 10.3 s. Für die oben diskutierte Beobachtung am 31. Januar 2018 um 20 Uhr Mitteleuropäischer Zeit auf 10 Grad östlicher Länge beträgt die Sternzeit wie bereits gezeigt 4 h 23 m 47.8 s. Befindet sich man auf 50 Grad nördlicher Breite, so liefern die Transformationsformeln einen Azimut von 326 Grad 53 mm 45 ss und eine Zenitdistanz von 46 Grad 49 mm 20 ss. Beteigeuze findet sich dann also im Südosten auf mittlerer Höhe über dem Horizont.

Transformation Horizontsystem -> Rotierendes Äquatorsystem

Die umgekehrte Transformation vom Horizont- ins rotierende Äquatorsystem lautet:

$\alpha =\Theta -\tau$

$\tau =\arctan {\frac {\sin a}{\sin \phi \cos a+\cos \phi \tan h}}$

$\delta =\arcsin \left(\sin \phi \sin h-\cos \phi \cos h\cos a\right)$

Die Arcustangens-Funktion ist genauso zu behandeln wie für die Umrechnung vom Äquator- ins Horizontsystem.

Dauer des längsten Tages

Aus der Transformation des Äquator- ins Horizontsystem lässt sich folgendermaßen die Dauer des längsten Tages ableiten. Man betrachte die Stundenwinkel der Sonne zum Zeitpunkt ihres Aufgangs und Untergangs, wenn also deren Elevation $h$ gleich 0 ist. Die Deklination der Sonne am längsten Tag des Jahres ist auf der Nordhalbkugel gleich der Schiefe der Ekliptik $+\epsilon$ (auf der Südhalbkugel entsprechend gleich $-\epsilon$). Unter diesen Voraussetzungen liefert die Formel zur Berechnung der Elevation die Beziehung $\cos \tau =-\sin \phi \sin \epsilon /\cos \phi \cos \epsilon$. Da die beiden möglichen Stundenwinkel betragsmäßig gleich sind, folgt daraus für die maximale Tageslänge:

$\tau _{\text{max}}=2\left|\arccos \left(-{\frac {\sin \phi \sin \epsilon }{\cos \phi \cos \epsilon }}\right)\right|$

Auf 50 Grad nördlicher Breite erhält man mit einer Schiefe der Ekliptik von 23.45 Grad eine maximale Tageslänge von 16 h 9 m 1 s. Am Polarkreis, entsprechend einer Breite $90^{o}-\epsilon$, nimmt der Bruch in obiger Formel den Wert -1 an, d. h. die Sonne geht exakt bei einem Stundenwinkel von -12 h (d. h. genau um Mitternacht) auf und bei einem solchen von +12 h (d. h. erneut exakt um Mitternacht) wieder unter, so dass die maximale Tageslänge über volle 24 Stunden geht. Für Gebiete noch weiter nördlich bleibt der Bruch kleiner als -1, d. h. die Sonne geht dort zur Zeit der Sommersonnenwende überhaupt nicht mehr unter.

Dauer des kürzesten Tages

Für den kürzesten Tag des Jahres ist auf der Nordhalbkugel für die Deklination der Sonne der Wert $-\epsilon$ (und auf der Südhalbkugel analog $+\epsilon$) einzusetzen. Aus den Eigenschaften der Sinus- und Cosinusfunktion bezüglich negativer Winkel folgt dann unmittelbar:

$\tau _{\text{min}}=2\left|\arccos \left({\frac {\sin \phi \sin \epsilon }{\cos \phi \cos \epsilon }}\right)\right|$

Für 50 Grad nördlicher Breite gewinnt man ein Ergebnis von 7 h 50 min 59 s. Am Polarkreis wird der Bruch nun gleich +1. Die Sonne geht dann bei einem Stundenwinkel von genau 0 h auf und wieder unter, d. h. die minimale Tageslänge liegt bei 0. Noch weiter nördlicher ist der Bruch größer als +1, die Sonne geht dort zur Zeit der Wintersonnenwende gar nicht mehr auf.

Bei den hier skizzierten Berechnungen der Tageslänge sind die endliche Ausdehnung der Sonnenscheibe und die nachfolgend behandelte Refraktion nicht berücksichtigt. Durch letztere erscheinen Gestirne am Horizont um 34 Bogenminuten - mehr als der Winkeldurchmesser der Sonne - angehoben. Wenn die Sonne rein geometrisch betrachtet sich schon komplett unter dem Horizont befindet, ist sie tatsächlich noch vollständig sichtbar, was einen entsprechend verlängerten Tag zur Folge hat.

Ekliptikales Koordinatensystem

Um die Positionen von Körpern des Sonnensystems anzugeben, ist es oft praktischer, nicht die vom Himmelsäquator, sondern von der Ekliptik definierte Ebene als Bezugspunkt zu nehmen. Als Ekliptik bezeichnet man den Weg, den die Sonne im Verlauf eines Jahres infolge der Bahnbewegung der Erde vor dem Hintergrund der (Fix)sterne abschreitet.

Anstelle von Deklination und Rektaszension treten nun ekliptikale Breite $\beta$ und Länge $\lambda$. Die Länge bezieht sich wie die Rektaszension auf den Frühlingspunkt.

Für das ekliptikale Koordinatensystem gibt es zwei Varianten. Bei der einen Abart steht die Erde, bei der anderen die Sonne im Ursprung des Koordinatensystems. Ersteres entsteht aus dem rotierenden Äquatorsystem, indem dieses entsprechend der Neigung der Erdachse gegenüber der Erdbahn um 23.45 Grad gekippt wird.

Transformation Äquatorsystem -> Ekliptikales System (Erde im Ursprung)

Für die Umrechnung von Äquator- in ekliptikale Koordinaten werden zunächst Deklination und Rektaszention in geozentrische kartesische Koordinaten transformiert. Hierbei bezeichnet $\epsilon$ die Neigung der Erdachse gegenüber der Bahnebene.

$x=\sin \epsilon \sin \delta +\cos \epsilon \cos \delta \sin \alpha$

$y=\cos \delta \cos \alpha$

$z=\cos \epsilon \sin \delta -\sin \epsilon \cos \delta \sin \alpha$

Aus den kartesischen Koordinaten folgen anschließend ekliptikale Breite und Länge:

$\beta =\arcsin z$

$\lambda =\arccos \left({\frac {y}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)$

Transformation Ekliptikales System -> Äquatorsystem

Due Rückkehr von ekliptikalen zu Äquatorkoordinaten beruht auf folgenden Beziehungen:

$\alpha =\arctan {\frac {\cos \epsilon \sin \lambda -\sin \epsilon \tan \beta }{\cos \lambda }}$

$\delta =\arcsin \left(\cos \epsilon \sin \beta +\sin \epsilon \cos \beta \sin \lambda \right)$

Galaktisches Koordinatensystem

Für Objekte der Milchstraße wird als Bezugspunkt für deren Positionen oft das galaktische Zentrum verwendet, wodurch aus dem rotierenden Äquatorsystem das galaktische Koordinatensystem hervorgeht. Im rotierenden Äquatorsystem hat das Milchstraßenzentrum (bezogen auf das Jahr 1950) die Koordinaten $\delta =$ 28 Grad 55 mm und $\alpha =$ 17h 42.4 m. Die Position des galaktischen Nordpols lautet $\delta =$ +27 Grad 24 mm und $\alpha =$ 12h 49.0 m. Die galaktische Ebene ist gegenüber dem Himmelsäquator um 62 Grad 36 mm geneigt.

Aus Deklination unf Rektaszension werden im galaktischen Koordinatensystem galaktische Breite $b$ und Länge $l$.

Transformation Äquatorsystem -> Galaktisches System

Die Transformation von Äquator- in galaktische Koordinaten geschieht wie folgt:

$\cos b\cos(l-33)=\cos \delta \cos(\alpha -282.25)$

$\cos b\sin(l-33)=\sin \delta \sin 62.6+\cos \delta \cos 62.6\sin(\alpha -282.25)$

$\sin b=\sin \delta \cos 62.6-\cos \delta \sin 62.6\sin(\alpha -282.25)$

Transformation Galaktisches System -> Äquatorsystem

Die Umkehrtransformation lautet:

$\cos \delta \cos(\alpha -282.25)=\cos b\cos(l-33)$

$\cos \delta \sin(\alpha -282.25)=\cos b\cos 62.6\sin(l-33)-\sin b\sin 62.6$

$\sin \delta =\cos b\sin 62.6\sin(l-33)+\sin b\cos 62.6$

Korrekturen

Präzession

Die Positionen der Sterne im rotierenden Äquatorsystem sind nicht wirklich fix, sondern ändern sich langsam im Laufe der Zeit. Eine wesentliche Ursache hierfür ist die Präzession der Erdachse, welche nicht fest im Raum orientiert ist, sondern vor allem unter dem Einfluß des Mondes sich wie die Achse eines Kreisels bewegt. Im Verlaufe von etwa 25700 Jahren zeichnet die Erdachse dadurch einen Kegel um den Pol der Ekliptik, dessen Öffnungswinkel mit der Schiefe der Ekliptik $\epsilon$ identisch ist. Die Kreiselbewegung der Erdachse zieht eine entsprechende Verschiebung des Frühlingspunktes und damit des Koordinatensystems mit sich.

Die jährliche durch den Mond bewirkte Verschiebung des Frühlungspunktes wird als Präzessionskonstante $P_{M}$ bezeichnet und beläuft sich auf 50"3878 pro Jahr (bezogen auf das Jahr 2000). Die Planeten stören die Erdachse zusätzlich geringfügig und liefern einen weiteren Beitrag zur Präzession $P_{P}$ von 0"1055 pro Jahr.

Um die jährliche Änderung der Koordinaten eines Sterns zu berechnen, muss man zunächst die allgemeine jährliche Drift des Koordinatensystem $n_{P}$ in Deklination und $m_{P}$ in Rektaszension betrachten. Es gilt:

$n_{P}=P_{M}\sin \epsilon$

$m_{P}=P_{M}\cos \epsilon -P_{P}$

$n_{P}$ beläuft sich auf 20"0431 = 1.33621 s und $m_{P}$ auf 46"1244 = 3.07496 s pro Jahr, Aus diesen beiden Größen und den aktuellen Sternkoordinaten folgen deren jährliche Änderungen gemäß:

$\Delta \alpha =m_{P}+n_{P}\tan \delta \sin \alpha$

$\Delta \delta =n_{P}\cos \alpha$

Aufgrund der durch die Präzession hervorgerufenen Verschiebung der Sternpositionen muss man für solche stets auch den Zeitpunkt angeben, auf welchen sich diese beziehen sollen. Meist wird als Zeitreferenz der Beginn des Jahres 2000 genommen.

Die Präzessionskonstante selbst ist ebenfalls nicht wirklich konstant. Aufgrund geringer Änderungen der Mondbahn nimmt sie gegenwärtig um circa 0"0002 pro Jahr zu. Deshalb muss auch für den Wert von $P_{M}$ stets der Zeitbezug genannt werden.

Für das hier behandelte Beispiel mit Beteigeuze liefern die Präzessionsformeln für den gewünschten Beobachtungszeitpunkt eine Deklination von +07 Grad 7 mm 59 ss und eine Rektaszension von 5 h 56 m 12.0 s. Für die Deklination fällt hier die Korrektur vergleichsweise gering aus, da die Rektaszension nahe bei 6 h bzw. 90 Grad und damit $\cos \alpha$ fast bei 0 liegt. Die Korrektur der Rektaszension ist hier weitgehend durch $m_{P}$ bestimmt, da die Deklination und damit deren Tangens nur wenig über 0 liegt. Die Umrechnung der korrigierten Koordinaten ins Horizontsystem liefert eine Zenitdistanz von 46 Grad 54 mm 16 ss und einen Azimut von 326 Grad 33 mm 10 ss. Erstere erfährt hier eine Korrektur von etwa 5, letzterer sogar um ungefähr 20 Winkelminuten entsprechend circa 2/3 des scheinbaren Durchmessers des Vollmonds.

Nutation

Zusätzlich zur Kreisel- führt die Erdache eine kleine Nickbewegung aus, welche als Nutation bezeichnet wird. Sie wird überwiegend durch die Präzession der Mondbahn verursacht, deren Knotenlinie eine Umlaufperiode von 18.6 Jahren aufweist. Im Laufe dieser Zeit beschreibt die Erdachse eine Ellipse, deren große und kleine Halbachse 9"21 und 6"86 betragen. Aufgrund dieser kleinen zusätzlichen Bewegung ist der Präzessionskegel nicht glatt, sondern durch kleine wellenförmige Ausschläge leicht deformiert.

Überlagerung von Präzession P und Nutation N, wobei letztere stark überzeichnet ist

Die Nutation zieht zwei Effekte nach sich, eine Änderung der Schiefe der Ekliptik $\Delta \epsilon$ und wiederum eine Verschiebung des Frühlingspunkts in ekliptikaler Länge $\Delta \lambda$. Beide folgen unmittelbar aus der ekliptikalen Länge $\Omega$ des Mondknotens:

$\Delta \epsilon =9^{\prime \prime }21\cos \Omega$

$\Delta \lambda =-17^{\prime \prime }24\sin \Omega$

Aus $\Delta \lambda$ folgt ein zusätzlicher Versatz des Äquatorsystems $n_{N}$ und $m_{N}$ in Deklination und Rektaszension.

Neben dem Hauptbeitrag durch die Präzession der Mondbahn existieren noch weitere Komponenten mit kürzeren Perioden und geringeren Amplituden, die unter 1" liegen. Die exakte Behandlung der Nutation ist recht aufwändig, so dass auf den entsprechenden Artikel in der Wikipedia verwiesen sei.

Aberration

Vor allem aufgrund der Bahnbewegung der Erde um die Sonne bewegt sich ein Beobachter mit einer bestimmten Geschwindigkeitskomponente $v$ senkrecht zur Einfallsrichtung des Lichts. Deshalb darf er das Teleskop nicht direkt zum Gestirn hin ausrichten, sondern muss es um einen Winkel $\alpha$ leicht in Bewegungsrichtung neigen, damit das Licht zunächst die Mitte des Objektivs und anschließend das Okular trifft (so wie ein Spaziergänger seinen Schirm neigen muss, damit der Regen diesen und nicht den Fußgänger trifft).

Das Fernrohr muss um einen Winkel $\alpha$ geneigt werden, damit der Lichtstrahl zunächst die Mitte des Objektivs und danach das Okular trifft. Denn während das Licht die Strecke $ct$ zwischen Objektiv und Okular zurücklegt, bewegt sich der Beobachter um die Strecke $vt$ weiter

Da $v$ viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit $c$ ist, darf klassich gerechnet werden (mit Ergebnis in Bogenmaß) gemäß

$\tan \alpha ={\frac {v}{c}}$

Die Aberration ist am stärksten, wenn das Licht senkrecht zur Bahnebene der Erde einfällt. Aus einer Bahngeschwindikeit von 30 km/s folgt daraus ein Aberrationswinkel von etwa 21". Jeder Stern beschreibt am Himmel im Verlaufe eines Jahres eine Ellipse, deren große Halbachse eben jenen Betrag aufweist.

Die Erdrotation liefert ebenfalls einen noch meßbaren, aber sehr geringen Beitrag. Selbst am Äquator wird mit einer Rotationsgeschwindigkeit von ungefähr 0.46 km/s ein $\alpha$ von höchstens 0"32 erreicht.

Refraktion

Durch die Brechung des Lichts in der Erdatmosphäre erscheinen die Gestirne angehoben, wie nachfolgendes Bild zeigt. Die aus den Äquatorkoordinaten folgende Höhe über dem Horizont $h$ wird dementsprechend um einen Zusatzbeitrag $r$ vergrößert. Für $h>30^{\circ }$ reicht es aus, die Atmosphäre als eine Abfolge ebener paralleler Schichten zu betrachten. Dann gilt mit $r$ in Bogenmaß:

$r=(n-1)\tan(90-h)$

Durch die Lichtbrechung in der Atmosphäre erscheint ein Strahl, welcher unter einer Zenitdistanz $z=90-h$ einfällt, um einen Winkel $r$ angehoben

$n$ bezeichnet den Brechungsindex der Luft am Beobachtungsstandort. Unter Normalbedingungen ist $n$ = 1.000293, was zur folgenden handlicheren Darstellung in Bogensekunden führt:

$r=60^{\prime \prime }44\tan(90-h)$

Für Gestirne, die nahe dem Horizont stehen, muss die Krümmung der Atmosphäre berücksichtigt, diese also als eine Abfolge kugelförmiger Schichten diskutiert werden. Es ergeben sich Korrekturen, die bis zu $h>15^{\circ }$ noch relativ einfach berechnet werden können. Es gilt dann unter Normalbedingungen wiederum in Bogensekunden:

$r=60^{\prime \prime }44\tan(90-h)-0^{\prime \prime }07\tan ^{3}(90-h)$

Für das Beteigeuze-Beispiel darf mit einer Zenitdistant von 46 Grad 54 mm 16 ss die einfache Refraktionsformel genommen werden. Es ergibt sich eine Korrektur von 70 Winkelsekunden.

Himmelsmechanik

Die Himmelsmechanik befasst sich mit der Fragestellung, wie sich Himmelskörper unter dem Einfluss der gegenseitigen Massenanziehung bewegen. Im Prinzip lassen sich solche Probleme mit Hilfe der aus der Mechanik bekannten Gesetzmäßigkeiten behandeln. Das Vorgehen wird jedoch oft sehr erleichtert, wenn man auf die konkrete Anwendung zugeschnittene Methoden heranzieht.

Schwerpunkt

Oft ist es sehr nützlich, die Bewegungen der Mitglieder eines Ensembles von Himmelskörpern relativ zu dessen Schwerpunkt zu betrachten. Man betrachte ein System von $N$ Körpern mit Massen $m_{1}$ bis $m_{N}$ und Positionen (Ortsvektoren) ${\vec {r}}_{1}$ bis ${\vec {r}}_{N}$. Die Position des Schwerpunkts ${\vec {R}}_{S}$ lautet dann:

${\vec {R}}_{S}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}+\dots +m_{N}{\vec {r}}_{N}}{m_{1}+m_{2}+\dots +m_{N}}}$

Für die Geschwindigkeit ${\vec {V}}_{S}$ des Schwerpunkts gilt analog, wobei ${\vec {v}}_{1}$ bis ${\vec {v}}_{N}$ die Geschwindigkeiten der individuellen Mitglieder des Systems bezeichnen:

${\vec {V}}_{S}={\frac {m_{1}{\vec {v}}_{1}+m_{2}{\vec {v}}_{2}+\dots +m_{N}{\vec {v}}_{N}}{m_{1}+m_{2}+\dots +m_{N}}}$

Sowohl ${\vec {R}}_{S}$ als auch ${\vec {V}}_{S}$ stellt also ein gewichtetes Mittel dar, wobei jedes Einzelobjekt mit seiner Masse gewichtet wird. Auf den Schwerpunkt bezogene Positionen ${\vec {r}}_{Si}$ und Geschwindigkeiten ${\vec {v}}_{Si}$ gewinnt man folgendermaßen:

${\vec {r}}_{Si}={\vec {r}}_{i}-{\vec {R}}_{S}$

${\vec {v}}_{Si}={\vec {v}}_{i}-{\vec {V}}_{S}$

Gravitationsgesetz und einfache Anwendungen

Skalare Formulierung

Die wichtigste Gesetzmäßigkeit der Himmelsmechanik ist das Newtonsche Gravitationsgesetz. Es gibt an, mit welcher Kraft $F_{12}$ zwei Massen $m_{1}$ und $m_{2}$, welche einen Abstand $d_{12}$ voneinander aufweisen, sich gegenseitig anziehen:

$F_{12}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{d_{12}^{2}}}$

Vektorielle Formulierung

Das Newtonsche Gravitationsgesetz gibt nicht nur den Betrag der Anziehungskraft $F_{12}$ an, sondern auch deren Richtung, welche der Verbindungslinie der beiden Massen entspricht. Die Kraft ${\vec {F}}_{12}$, welche $m_{1}$ auf $m_{2}$ ausübt, lautet demgemäß:

${\vec {F}}_{12}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{d_{12}^{2}}}{\vec {e}}_{12}$

${\vec {e}}_{12}={\frac {{\vec {d}}_{12}}{|{\vec {d}}_{12}|}}$

${\vec {d}}_{12}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}$

Die von $m_{2}$ auf $m_{1}$ ausgeübte Kraft ${\vec {F}}_{21}$ ist betragsmäßig der Kraft ${\vec {F}}_{12}$ gleich, doch zeigt diese in die entgegengesetzte Richtung, nämlich ${\vec {d}}_{21}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}$.

Greift man aus einem System mit $N$ Körpern eine beliebige Masse $m_{j}$ heraus, muss man über alle von den übrigen Mitgliedern ausgeübten Kräfte vektoriell summieren, um die auf $j$ einwirkende Kraft zu erhalten:

${\vec {F}}_{j}=\sum _{i\neq j}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{d_{ij}^{2}}}{\vec {e}}_{ij}$

Schwerebeschleunigung - nicht rotierender Körper

Das Gravitationsgesetz ermöglicht auf einfache Weise, die auf der Oberfläche eines Himmelskörpers herrschende Schwerebeschleunigung $g$ abzuleiten, wobei eine mögliche Rotation zunächst vernachlässigt werden soll. Man betrachte einen kugelförmigen Körper mit Masse $M$ und Radius $R$, welcher eine radialsymmetrische Dichteverteilung aufweist (also eine nur vom Abstand vom Mittelpunkt abhängige lokale Dichte). Eine Probemasse $m$ auf dessen Oberfläche erfährt eine Kraft $F=GMm/R^{2}$. Andererseits ist gemäß des Newtonschen Kraftgesetzes $F=mg$, woraus folgt:

$g={\frac {GM}{R^{2}}}$

Ist die Schwerebeschleunigung aus unabhängigen Messungen bekannt, liefert sie bei bekanntem Radius die Masse und über die Beziehung $\rho =M/(4\pi R^{3}/3)$ auch die mittlere Dichte $\rho$ des Körpers:

$\rho ={\frac {3g}{4\pi GR}}$

Schwerebeschleunigung - rotierender starrer Körper

Rotiert ein Körper, tritt zur Schwerebeschleunigung $g$ eine Zentrifugalbeschleunigung $z$ hinzu, so dass man in der Summe eine entsprechend verminderte Fallbeschleunigung $g_{\text{eff}}$ registriert. Der Effekt hängt von der geographischen Breite ab, er ist am Äquator am stärksten, an den Polen verschwindet er ganz. Da die Breitenabhängigkeit relativ kompliziert ist, sollen hier nur die Verhältnisse am Äquator skizziert werden. Liegt dort eine Rotationsgeschwindigkeit $v$ vor, so gilt $z=v^{2}/R$. Andererseits ist $v=2\pi R/P$, wobei $P$ die Rotationsperiode des Körpers ist. Damit erhält man:

$g_{\text{eff}}=g-z={\frac {GM}{R^{2}}}-{\frac {4\pi ^{2}R}{P^{2}}}$

Auf der Erde sollte sich die Korrektur gemäß dieser Formel auf etwa 0.034 m s^-2 belaufen, ein zwar kleiner, aber meßbarer Betrag. Um die Masse und somit auch die Dichte des rotierenden Körpers zu bestimmen, muss die Zentrifugalkraft folgendermaén berücksichtigt werden:

$\rho ={\frac {3(g_{\text{eff}}+z)}{4\pi GR}}$

Da $g_{\text{eff}}+z=g$, ändert sich formell an der Beziehung für $\rho$ nichts. Jedoch liefert eine Messung auf einem rotierenden Körper nicht direkt $g$, sondern nur $g_{\text{eff}}$. Zu dieser gemessenen Fallbeschleunigung muss $z$ addiert werden, um ein korrektes Ergebnis zu erhalten.

In der Praxis bewirkt die Zentrifugalkraft zusätzlich eine Verformung des rotierenden Körpers, er wird abgeplattet. Am Äquator ist man weiter vom Schwerezentrum entfernt als an den Polen, wodurch sich eine noch deutlichere Abhängigkeit der Fallbeschleunigung von der Breite einstellt. Tatsächlich nimmt diese auf der Erde vom Äquator zu den Polen hin um 0.054 m s^-2 zu, d. h. deutlich stärker als oben berechnet. Auf eine Herleitung der zu erwartenden Abplattung soll hier jedoch verzichtet werden.

Potentielle Energie

Die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld $E_{\text{pot}}$ bezeichnet die Hubarbeit, welche man an einer Probemasse $m$ verrichten muss, um sie vollständig aus dem Anziehungsbereich einer Masse $M$ zu entfernen. Der Abstand der beiden Massen betrage zunächst $r$. Um $m$ um eine kleine Strecke $dr$ von $M$ wegzubewegen, ist nach dem Prinzip Arbeit = Kraft $\cdot$ Weg die Arbeit $dE_{\text{pot}}=(GMm/r^{2})dr$ erforderlich. Die Integration dieses Ausdrucks von $r$ bis ins Unendliche liefert:

$E_{\text{pot}}=-{\frac {GMm}{r}}$

Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass man die genannte Energie aufwenden muss, um die beiden Massen voneinander zu trennen. Betrachtet man die potentielle Energie eines beliebigen Mitglieds eines $N$-Körper-Systems, muss man die Einzelenergien bezüglich aller anderen Massen aufaddieren:

$E_{pot,j}=\sum _{i\neq j}-{\frac {Gm_{i}m_{j}}{|{\vec {d}}_{ij}|}}$

Gravitationspotential

Für viele Probleme der Himmelsmechanik ist auch das Gravitationspotential $\Phi$ eine Größe von eminenter Bedeutung. Es gibt die pro Masse $m$ auf einen Probekörper entfallende potentielle Energie an, ist also per Definition von dieser unabhängig. Befindet sich die Probemasse in einem Abstand r von der Masse $M$, so herrscht dort ein Potential:

$\Phi =-{\frac {GM}{r}}$

Eine Masse $m_{j}$ innerhalb eines Ensembles von $N$ Körpern unterliegt demgemäß einem Potential:

$\Phi _{j}=\sum _{i\neq j}-{\frac {Gm_{i}}{|{\vec {d}}_{ij}|}}$

Das Gravitationspotential wird vor allem für solche Fragestellungen herangezogen, die vorzugsweise auf Grundlage einer kontinuerlichen Dichteverteilung zu bearbeiten sind, anstatt mit einem Modell diskreter Massen. Die sogenannte Poisson-Gleichung gestattet es, aus der Verteilung der Dichte diejenige des Gravitationspotentials und damit auch der Schwerebeschleunigung zu ermitteln.

Kosmische Geschwindigkeiten

Die hier vorgestellten Gesetzmäßigkeiten über die Gravitation und ihr Potential gestatten es, zwei häufig benutze Geschwindigkeitsskalen herzuleiten, welche als kosmische Geschwindigkeiten bezeichnet werden. Die 1. kosmische Geschwindigkeit gibt die Kreisbahngeschwindigkeit $v_{K}$ im niedrigsten möglichen Orbit um einen Himmelskörper an (dieser soll wieder eine Masse $M$ und einen Radius $R$ aufweisen). Sie folgt aus der Gleichsetzung der auf einer solchen Bahn herrschenden Zentripetalkraft $F_{Z}=mv_{K}^{2}/R$ mit der Anziehungskraft $F_{G}=GMm/R^{2}$:

$v_{K}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}$

Die 2. kosmische Geschwindigkeit gibt an, auf welche Mindestgeschwindigkeit $v_{F}$ eine Probemasse $m$ beschleunigt werden muss, um von der Oberfläche startend die von $M$ ausgehende Gravitation überwinden zu können. Man gewinnt diese sogenannte Fluchtgeschwindigkeit, indem man die erforderliche kinetische Energie $E_{\text{kin}}=mv_{F}^{2}/2$ mit der potentiellen Energie $E_{\text{pot}}=GMm/R$ im Gravitationsfeld von $M$ gleichsetzt:

$v_{F}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}={\sqrt {2}}v_{K}$

Mit den in der Einleitung genannten Werten für die Masse und den Radius der Erde erhält man einen Wert von 7.9 km/s für die 1. und von 11.2 km/s für die 2. kosmische Geschwindigkeit.

Gezeiten

Gezeitenkraft

Für viele Anwendungen der Himmelsmechanik reicht es aus, Himmelskörper als punktförmig zu betrachten. Kommen sich zwei solche aber sehr nahe, ist diese Vorgehensweise nicht mehr zulässig. Die Schwerebeschleunigungen, welche die beiden Körper wechselseitig spüren, unterschieden sich nun auf diesen von Ort zu Ort deutlich. Diese lokalen Differenzen machen sich als Gezeitenkräfte bemerkbar.

Man betrachte einen Körper mit Masse $M$ und Radius $R$ sowie einen zweiten mit Masse $m$ und Radius $r$. Der Abstand der Mittelpunkte sei $d$.

Der Mittelpunkt von $M$ erleidet durch $m$ eine Schwerebeschleunigung $g=Gm/d^{2}$. Der Ort an der Oberfläche von $M$, welcher $m$ direkt zugewandt ist, hat von dem zweiten Körper aber nur einen Abstand $d-R$. Dementsprechend herrscht dort eine höhere Beschleunigung $g'=Gm/(d-R)^{2}$. Subtrahiert man die beiden Beschleunigungen voneinander und benutzt dabei die für $R\ll d$ zulässige Näherung $1/(1-R/d)^{2}\approx 1+2R/d$, so folgt für das Beschleunigungsgefälle innerhalb von $M$

$\Delta g={\frac {2GmR}{d^{3}}}$

Betrachtet man die Rückseite von $M$, wo ein Abstand vom zweiten Körper von bis zu $d+R$ gegeben ist, erhält man mittels des obigen Vorgehens das gleiche Resultat. Selbstverständlich unterliegt $m$ ebenfalls einer Gezeitenkraft, welche analog lautet:

$\Delta g={\frac {2GMr}{d^{3}}}$

Als Beispiel seien die Gezeitenkräfte betrachtet, welche Mond und Sonne auf die Erde ausüben. Aus den eingangs gegebenen Daten für den Mond folgt eine Gezeitenbeschleunigung von etwa 1.1 10^-6 m/s². Die Sonne liefert einen Beitrag von ungefähr 5.0 10^-7 m/s². Aufgrund ihrer enormen Masse stellt die Sonne trotz ihrer großen Entfernung noch fast 1/3 der auf der Erde herrschenden Gezeitenkraft.

Roche-Grenze

Für das Erde-Mond-System sind die Gezeitenbeschleunigungen im Vergleich zu den absoluten Schwerebeschleunigungen sehr gering. Die $1/d^{3}$-Abhängigkeit der Gezeitenkraft legt jedoch nahe, dass dies bei Abständen, die nur noch wenig größer als die Radien der beteiligten Körper sind, nicht mehr gilt. Tatsächlich gibt es einen Minimalabstand $d_{\text{min}}$, die sogenannte Roche-Grenze, unterhalb dessen ein Mond nicht mehr stabil ist.

Es seien abermals die beiden obigen Körper betrachtet. Sie sollen zunächst als starr betrachtet werden. Auf der $M$ zugewandten Seite von $m$ soll ein kleines Steinchen liegen. $m$ kann dieses nur festhalten, solange die darauf einwirkende Schwerebeschleunigung $Gm/r^{2}$ mindestens gleich der Gezeitenbeschleunigung $2GMr/d^{3}$ ist. Daraus resultiert ein Mindestabstand $d_{\text{min}}=r(2M/m)^{1/3}$. Ersetzt man noch die Massen durch die mittleren Dichten $\rho _{M}$ und $\rho _{m}$, erhält man die übliche Formulierung:

$d_{\text{min}}=R\left({\frac {2\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}$

Nicht nur unter den Einfluss der eigenen Rotation, sondern auch unter demjenigen von Gezeiten verhalten sich Himmelskörper nicht starr, sondern reagieren plastisch mit Verformung (wie man es auch von Ebbe und Flut her kennt). Aus Kugeln werden näherungsweise Ellipsoide, die mit ihren Spitzen aufeinander zeigen. Die großen Halbachsen der Ellipsoide sind natürlich größer als die ursprünglichen Kugelradien, was die lokalen Unterschiede hinsichtlich der Schwerebeschleunigung und damit die Gezeiten noch verstärkt. Je näher sich die beiden Körper kommen, umso mehr weichen sie von der Kugelgestalt ab. Aus diesem Mechanismus folgt ein im Vergleich zum einfachen Modell starrer Körper bedeutend größerer Mindestabstand von:

$d_{\text{min}}=2.423R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}$

Der umfangreiche Beweis kann im Rahmen eines Nachschlagewerkes nicht gezeigt werden, es sei daher auf die Wikipedia verwiesen. Gemäß obiger Formel könnte sich der Mond der Erde bis auf circa 18000 km nähern, bevor er von den Gezeiten zerrissen würde.

Maximale Abweichung von der Kugelgestalt

Alle größeren Himmelskörper mit Abmessungen ab etwa 1000 km zeigen kaum Abweichungen von der Kugelgestalt. Um dies zu verstehen, betrachte man einen Körper mit Masse $M$ und Radius $R$, auf welchem ein Berg der Höhe $H$ errichtet werden soll. Die potentielle Energie des Berges liegt in der Größenordnung $E_{\text{pot}}\approx mgH$, wobei $m$ die Masse der Erhebung und $g$ die auf dem Himmelskörper herrschende Fallbeschleunigung darstellt. Der Berg bleibt stabil, solange dessen chemische Bindungsenergie $E_{B}$ der potentiellen Energie im Schwerefeld von $M$ zumindest gleich ist.

Besteht der Berg aus $N$ Teilchen der Masse $\mu$, so gilt $m=N\mu$. Analog gilt mit einer Bindungsenergie $\epsilon$ pro Teilchen $E_{B}=N\epsilon$. Drückt man noch die Fallbeschleunigung mit Hilfe der Dichte $\rho$ des Himmelskörpers gemäß $g=4\pi GR\rho /3$ aus, so liefert die Gleichgewichtsbedingung $E_{\text{pot}}=E_{B}$ folgenden Ausdruck für das die Abweichung von der Kugelgestalt beschreibende Verhältnis $H/R$:

${\frac {H}{R}}\approx {\frac {3\epsilon }{4\pi \mu G\rho R^{2}}}=\left({\frac {R_{m}}{R}}\right)^{2}$

Die maximal mögliche Abweichung von der Kugelgestalt, welche ein Himmelskörper aufweisen kann, ist umgekehrt proportional zum Quadrat dessen Radius. Absolut betrachtet verhält sich die maximale Höhe eines Berges umgekehrt proportional zum Radius.

Der Ausdruck $3\epsilon /4\pi \mu G\rho$ hat die Dimension einer Fläche $R_{m}^{2}$, er stellt eine Materialeigenschaft des Körpers dar. Typische Werte sind $\epsilon \approx$ 0.1 Elektronenvolt, $\mu \approx$ 50 Atommassen und $\rho \approx$ 3 g cm^-3, womit sich $R_{m}\approx$ 500 km ergbt.

Planetenbewegung

Keplersche Gesetze

Diese klassischen Gesetze der Planetenbewegung stellen gleichwohl eine Idealisierung dar. Sie gelten streng genommen nur für ein lediglich aus zwei Körpern bestehendes System. Jedoch ist im Sonnensystem die Anziehungskraft der Sonne so dominant, dass Sonne und ein Planet in guter Näherung als ein Zweikörpersystem betrachtet werden dürfen, das durch die übrigen Planeten und sonstige kleinere Massen nur sehr geringfügig gestört wird. Die Keplerschen Gesetze lauten folgendermaßen:

1. Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einen Brennpunkt die Sonne steht. Exakt betrachtet, steht jedoch nicht die Sonne, sondern der Schwerpunkt von Sonne und Planet in einem Brennpunkt.
2. Die Verbindungslinie Sonne - Planet, der sogenannte Fahrstrahl, überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (siehe Abbildung). Physikalisch bedeutet dieses Gesetz die Erhaltung des Bahndrehimpulses.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Halbachsen.

Zweites Keplersche Gesetz

Die Keplerschen Gesetze können auf Grundlage des Newtonschen Gravitationsgesetzes hergeleitet werden, wozu jedoch auf die Wikipedia verwiesen wird. Das 3. Keplersche Gesetz kann anhand einer kleinen Masse $m$, die auf einer Kreisbahn mit Radius $a$ eine Zentralmasse $M$ umläuft, jedoch leicht plausibel gemacht werden. Wie bereits dargelegt, gilt für die Umlaufgeschwindikeit nämlich $v^{2}=GM/a$ (analog zum Ausdruck für die 1. kosmische Geschwindigkeit). Andererseits ist $v=2\pi a/T$, wobei T die Umlaufzeit ist. Das Gleichsetzen der beiden Ausdrücke liefert unmittelbar $a^{3}/T^{2}=GM/4\pi ^{2}$. Die exakte Herleitung liefert, dass in Wahrheit allerdings die Summe beider beteiligten Massen einzusetzen ist:

${\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}$

Das 3. Keplersche Gesetz stellt eine weitere Methode dar, die Massen von Himmelskörpern zu bestimmen. Sind $a$ und $T$ bekannt, liefert es ja unmittelbar die Summe der Massen der beiden einander umlaufenden Körper. Als beispielsweise im 18.Jh. auf Grundlage eines Venustransits erstmals der Abstand der Erde zur Sonne exakt bestimmt werden konnte, war damit auch die Sonnenmasse bekannt.

Gesamtenergie auf einer Planetenbahn

Die Gesamtenergie $E$ auf einer Planetenbahn kann anhand des soeben skizzierten Kreisbahn-Szenarios ebenfalls plausibel diskutiert werden. Für den kinetischen Anteil gilt $E_{\text{kin}}=mv^{2}/2=GMm/2a$. Die potentielle Energie ist wie bereits besprochen $E_{\text{pot}}=-GMm/a$. Somit ist:

$E=-{\frac {1}{2}}{\frac {GMm}{a}}$

Dieser Zusammenhang gilt auch für Ellipsenbahnen. Im Fall einer gegen Unendlich tendierenden großen Halbachse geht die Gesamtenergie gegen Null. Die beiden Massen sind dann nicht mehr durch die Schwerkraft aneinander gebunden. Der Begleiter umläuft die Zentralmasse auf einer Parabel ein einziges Mal und verschwindet dann erneut auf Nimmerwiedersehen. Auch das Szenario einer positiven Gesamtenergie ist möglich. In diesem Fall liegt eine Hyperbelbahn vor, auf welcher die kleine Masse der großen bis auf einen Abstand $a$ nahekommt und dann abermals wieder verschwindet. Hyperbelbahnen werden oft bei einmalig auftauchenden Kometen beobachtet.

Position und Geschwindigkeit auf einer Planetenbahn

Mit Hilfe der ersten beiden Keplerschen Gesetze, aus welchen wiederum die Kepler-Gleichung folgt, lassen sich Position und Geschwindigkeit eines Planeten auf seiner Bahn in Abhängigkeit von der Zeit bestimmen. Dazu dient die folgende Konstruktion.

Positionsbestimmung auf Planetenbahn

Im 1. Schritt zeichnet man um die elliptische Bahn den dazugehörigen Umkreis. Man nimmt zunächst an, dass der Planet auf diesem Kreis anstatt der Ellipse und dementsprechend mit konstanter Winkelgeschwindigkeit umläuft. Nun betrachtet man den Winkel, der durch die Verbindungslinie Kreismittelpunkt - Perihel CZ und die Verbindungslinie Kreismittelpunkt - fiktive Planetenposition auf dem Kreis CY definiert ist. Dieser wird mittlere Anomalie genannt. Wegen der konstanten Winkelgeschwindigkeit des Planeten auf dem Kreis gilt für die Zeitabhängigkeit von $M$ einfach (wobei nun die Umlaufdauer mit $U$ bezeichnet wird und zu Beginn der Planet sich im Perihel Z befinden soll):

$M=2\pi {\frac {t}{U}}$

Im 2. Schritt wird die sogenannte exzentrische Anomalie $E$ betrachtet. Dazu wird die tatsächliche Position des Planeten auf der Ellipse P in Richtung der kleinen Halbachse b auf den Umkreis projeziert, wodurch man den Punkt X erhält. $E$ ist durch die beiden Verbindungslinien CZ und CX festgelegt und kann aus $M$ mittels der Keplergleichung bestimmt werden, wobei $e$ die Exzentrizität der Bahn angibt.

$E=M+e\sin E$

Algebraisch lässt sich diese Beziehung nicht nach $E$ auflösen. Man kann sie jedoch iterativ lösen, z. B. mit dem Ansatz:

$E_{0}=M$

$E_{n+1}=M+e\sin E_{n}$

Die Kenntnis der exzentrischen Anomalie reicht bereits aus, um den Abstand $d$ des Planeten vom Brennpunkt S anzugeben, denn es gilt:

$d=a(1-e\cos E)$

Um die Positionsangabe zu vervollständigen, muss in einem 3. Schritt auch noch der durch die Verbindungslinien SZ und SP definierte Winkel bestimmt werden. Dieser wird wahre Anomalie genannt und kann wie der Abstand aus der exzentrischen Anomalie abgeleitet werden, wofür mehrere Vorschriften bekannt sind:

$\cos T={\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}$

$\tan {\frac {T}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}$

Die wahre Anomalie liefert ebenfalls den Abstand, und zwar gemäß

$d=a{\frac {1-e^{2}}{1+e\cos T}}$

Um zusätzlich zur momentanen Position auch die dazugehörige Geschhwindigkeit $v$ zu gewinnen, muss man die Erhaltung der Gesamtenergie mit heranziehen. Der gesuchte Zusammenhang zwischen Abstand und Geschwindigkeit ist durch die sogenannte Vis-Viva-Gleichung gegeben.

$v^{2}=G(M+m)\left({\frac {2}{d}}-{\frac {1}{a}}\right)$

Obige Gleichung gilt auch für Hyperbelbahnen. In diesem Fall muss für $a$ jedoch der Zahlenwert negativ eingesetzt werden. Hinsichtlich der Beweise der Kepler- und Vis-Viva-Gleichung sei ein weiteres Mal auf die Wikipedia verwiesen.

Relativitätstheorie

Eine detaillierte Darstellung der Relativitätstheorie und damit exakte Beweisführung der in diesem Kapitel zusammengestellten Beziehungen kann wegen des dafür erforderlichen Umfangs nicht gegeben werden. Für viele in der Astronomie bedeutsame Effekte kann anhand physikalisch plausibler Argumente aber auch ohne den für eine genaue Beschreibung notwendigen mathematischen Apparat zumindest die Größenordnung abgeschätzt werden.

Speziell

Die spezielle Relativitätstheorie widmet sich der Struktur von Raum und Zeit in Bezugssystemen, die sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit gegeneinander bewegen, d. h. sie vernachlässigt auf diese einwirkende Kräfte, insbesondere die Gravitation. Dennoch sind die von ihr gelieferten Resultate von großer Bedeutung.

Lorentzfaktor

Wie die nachfolgend behandelten Beispiele zeigen, ist das quantitative Ausmaß vieler relativistischer Effekte vom Verhältnis $v/c$ bestimmt gemäß folgender, als Lorentzfaktor bezeichnete Größe:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

Der Lorentzfaktor ist nachstehend als Funktion von $v/c$ dargestellt.

Lorentzfaktor als Funktion des Verhältnisses $v/c$

Beziehung zwischen Gesamtenergie $E$, Ruhemasse $m_{0}$ und Impuls $p$ eines Körpers

Der allgemeine Zusammenhang zwischen diesen Größen lautet:

$E={\sqrt {m_{0}^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}$

Der Sonderfall $p=0$ entspricht der berühmten Masse-Energie-Äquivalenz

$E=m_{0}c^{2}$

Weitere Spezialfälle sind sind $p\ll m_{0}c$ (klassischer Grenzfall) und $p\gg mc$ (extrem relativistischer Grenzfall):

$E=m_{0}c^{2}+{\frac {p^{2}}{2m_{0}}}$ (klassisch)

$E=pc$ (extrem relativistisch)

Relativistische Massenzunahme

Wird ein Körper beschleunigt, so kann die an ihm verrichtete Arbeit nicht beliebig in Bewegungsenergie umgesetzt werden, weil eine Beschleunigung über die Lichtgeschwindigkeit hinaus nicht möglich ist. Nach der Masse-Energie-Äquivalenz muss somit zumindest ein Teil der dem Körper zugeführten Energie sich als zusätzliche Masse bemerkbar machen. Für die bewegte Masse $m$ als Funktion der Geschwindigkeit $v$ gilt (siehe dazu auch unter relativistische Masse)

$m=\gamma m_{0}$

Beziehung zwischen Gesamtenergie $E$ und Geschwindigkeit $v$ eines Körpers

Die klassische Beziehung $p=mv$ gilt auch in der Relativitätstheorie, sofern man die bewegte Masse verwendet. Setzt man diese Beziehung mitsamt derjenigen für die relativistischen Massenzunahme in obige Energieformel ein, so ergibt sich:

$E=\gamma m_{0}c^{2}$

Zeitdilatation

Die Zeitdilatation ist ebenfalls ein recht bekannter relativistischer Effekt. Er besagt, dass in einem relativ zu einem ruhenden Beobachter bewegten Bezugssystem alle physikalischen Prozesse langsamer abzulaufen scheinen. Ist für den ruhenden Betrachter ein Zeitintervall $t$ verstrichen, scheint in dem bewegten System erst eine kürzere Zeit $\tau$ vergangen zu sein gemäß:

$\tau ={\frac {t}{\gamma }}$

Dopplereffekt

Die Zeitdilatation führt in zweierlei Hinsicht zu einer Korrektur für den bereits skizzierten Dopplereffekt. Sie bewirkt eine Modifikation der Frequenzverschiebung $\Delta f/f$ für eine relativ zum Beobachter in Blickrichtung sich bewegende Lichtquelle. Sie lautet nun:

${\frac {\Delta f}{f}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}}}}-1$

Weiterhin gilt, dass sich vom Beobachter weg bewegendes Licht eine Rotverschiebung, auf den Beobachter zukommendes Licht eine Blauverschiebung erleidet.

Die zweite Korrektur ist besonders interessant. Selbst eine senkrecht zur Blickrichtung sich bewegende Lichtquelle erleidet eine Frequenzänderung, was als transversaler Dopplereffekt bezeichnet wird. Für diesen gilt:

${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {1}{\gamma }}-1$

Der transversale Dopplereffekt bewirkt immer eine Rotverschiebung. Im Vergleich zum gewöhnlichen Dopplereffekt handelt es sich um einen Beitrag 2.Ordnung. Während der gewöhnliche Dopplereffekt, solange $v$ der Lichtgeschwindigkeit nicht sehr nahe kommt, von der Größenordnung $v/c$ ist, liegt der transversale Dopplereffekt hingegen bei einer solchen von $(v/c)^{2}$.

Allgemein

Die allgemeine Relativitätstheorie betrachtet gegeneinander beschleunigte Bezugssysteme, so dass auf diese einwirkende Kräfte berücksichtigt werden. Sie muss dann herangezogen werden, wenn starke Gravitationsfelder ins Spiel kommen. Wie im Folgenden aufgezeigt wird, ist das wichtigste Maß für die Stärke eines solchen Feldes das Verhältnis zwischen Schwarzschildradius $R_{S}$ und dem tatsächlichen Radius $R$ eines Körpers. Folgerichtig bestimmt es auch die Größenordnung allgemein relativistischer Effekte.

Schwarzschildradius

Der Schwarzschildradius gibt an, auf welchen Radius eine Masse $M$ komprimiert werden muss, damit von deren Oberfläche selbst Licht nicht mehr entweichen kann, diese also zu einem Schwarzen Loch wird. Laplace erkannte schon im 18.Jh., dass ein genügend massereicher Körper unsichtbar sein müsse. Setzt man nämlich die Lichtgeschwindigkeit in die klassische Formel für die Fluchtgeschwindigkeit ein, so lautet der entsprechende Radius $R=GM/c^{2}$. Die allgemeine Relativitätstheorie bestätigt, dass die klassische Rechnung bereits die richtige Größenordnung liefert. Für ein nicht rotierendes Schwarzes Loch liefert die exakte Betrachtung jedoch zusätzlich einen Faktor 2:

$R_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}$

In der Praxis muss man davon ausgehen, dass viele Schwarze Löcher rotieren, da sie ja aus dem Kollaps von bereits rotierenden Objekten wie massereiche Sterne hervorgehen. Ein rotierendes Schwarzes Loch weist in Abhängigkeit von seinem Drehimpuls $L$ einen verminderten Schwarzschildradius auf.

$R_{S}={\frac {GM}{c^{2}}}+{\sqrt {\left({\frac {GM}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {L}{Mc}}\right)^{2}}}$

Qualitativ lässt sich das leicht nachvollziehen. Mit der Rotation ist eine der Schwerkraft entgegengesetzte Zentripetalkraft verbunden, so dass man näher an das Gravitationszentrum heranrücken muss, um eine Fluchtgeschwindigkeit gleich $c$ zu erreichen.

Der Drehimpuls kann maximal einen Wert $GM^{2}/c$ annehmen. In diesem Fall verschwindet die Wurzel, und es stellt sich ein minimaler Schwarzschildradius ein, welcher als Gravitationsradius $R_{G}$ bezeichnet wird. Dieser stimmt sogar mit der einfachen klassischen Rechnung überein:

$R_{G}={\frac {GM}{c^{2}}}$

Für aus Sternen hervorgegangene Schwarze Löcher liegt der Schwarzschildradius in der Größenordnung von einigen 1-10 km. So erhält man z. B. für einen nicht rotierenden Körper mit einer Sonnenmasse einen Wert von 2.953 km. Supermassive Löcher, wie sie in den Zentren von Galaxien vermutet werden, weisen entsprechend ihren Massen Schwarzschildradien in der Größenordnung von Millionen bis Milliarden km auf, d. h. sie können Abmessungen vom Ausmaß des Planetensystems erreichen.

Für Hauptreihensterne wie die Sonne liegt das Verhältnis zwischen $R_{S}$ und $R$ in der Größenordnung 10^-6. Für Weiße Zwerge beträgt $R_{S}/R$ etwa 10^-4. Neutronensterne erreichen ein $R_{S}/R$ von einigen 0.1 und Schwarze Löcher per Definition $R_{S}/R$ = 1.

Schwarzschilddichte

Aus dem Schwarzschildradius lässt sich unmittelbar eine entsprechende Dichte $\rho _{S}$ ableiten, indem man die Masse des Schwarzen Loches mit dem durch $R_{S}$ definierten Kugelvolumen dividiert. Es ist:

$\rho _{S}={\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}$

Die Dichte, auf welche Materie komprimiert werden muss, um daraus ein Schwarzes Loch zu bilden, nimmt umgekehrt proportional mit dem Quadrat deren Masse ab. Dies macht zumindest ein Stück weit plausibel,dass eine Entstehung supermassiver Schwarzer Löcher tatsächlich möglich ist. Damit eine Sonnenmasse zu einem Schwarzen Loch wird, muss eine Dichte von 1.843 10¹⁹ kg m^-3 erreicht werden, was etwa eine Größenordnung über der Dichte eines Neutronensterns liegt. Um eine Milliarde Sonnenmassen in ein Schwarzes Loch zu verwandeln, sind jedoch nur 18.43 kg m^-3 erforderlich, also etwa 1/50 der Dichte von Wasser.

Rotverschiebung und Zeitdilatation im Gravitationsfeld

Lichtquanten der Frequenz $f$ weisen eine Masse $m=hf/c^{2}$ auf. Um dem Gravitationspotential $\Phi =GM/R$ einer Masse $M$ mit Radius $R$ zu entkommen, müssen sie eine Hubarbeit $\Delta E=m\Phi$ verrichten. Diese entspricht wiederum einer Verringerung der Frequenz $\Delta f=\Delta E/h$. Setzt man in letztere Beziehung das Potential und die Photonenmasse ein, so gewinnt man für die relative Frequenzänderung den Ausdruck $\Delta f/f=GM/Rc^{2}$ und mit Hilfe des Schwarzschildradius schließlich:

${\frac {\Delta f}{f}}={\frac {R_{S}}{2R}}$

Die Rotverschiebung des Lichts durch ein von einer kugelförmigen Masse ausgehendes Gravitationsfeld ist also direkt durch das Verhältnis zwischen deren Schwarzschild- und tatsächlichem Radius gegeben.

Bei obiger Herleitung handelt es sich um eine Näherung, die nur für schwache Gravitationsfelder gültig ist. Mit der Rotverschiebung ist ja zugleich auch eine Änderung der Photonenmasse gegeben, welche hier vernachlässigt wurde Die genaue Diskussion liefert für die Rotverschiebung das Resultat:

${\frac {\Delta f}{f}}={\sqrt {1-{\frac {R_{S}}{R}}}}-1$

Mit der Regel ${\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2$ für $x\ll 1$ folgt daraus wiederum die hergeleitete Approximation. Doch auch gemäß des allgemeingültigen Ergebnisses bleibt das Verhältnis $R_{S}/R$ für den Effekt maßgeblich. Schrumpft eine Masse bis auf den Schwarzschildradius zusammen, so wird $\Delta f=-f$. Das von dieser ausgesandte Licht kommt dann mit verschwindender Frequenz bzw. unendlich stark gedehnter Wellenlänge an einem weit entfernten Beobachter an.

Die Rotverschiebung im Gravitationsfeld hat unmittebar als weiteren Effekt eine Zeitdilatation zur Folge, welche nicht mit der bei hohen Geschwindigkeiten auftretenden Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie verwechselt werden darf. Man stelle sich Lichtquanten der Frequenz $f$ als Uhr vor. Werden solche am Ort eines weitab der Masse $M$ sich aufhaltenden Beobachters emittiert, so registriert dieser tatsächlich $f$ Wellenzüge pro Sekunde. Sendet jedoch $M$ solche Photonen aus, kommen am Beobachter nur $f-\Delta f$ Wellenzüge pro Sekunde an. Von diesem aus gesehen, erscheinen somit alle Vorgänge auf der Oberfläche der Masse verlangsamt abzulaufen. Ist am Ort des Beobachters eine Zeit $t$ verflossen, so scheint auf $M$ erst eine kürzere Zeit $\tau =(1-\Delta f/f)t$ verstrichen zu sein:

$\tau ={\sqrt {1-{\frac {R_{S}}{R}}}}t\approx \left(1-{\frac {R_{S}}{2R}}\right)t$

Erwartungsgemäß spielt abermals das Verhältnis Schwarzschild- zu wirklichem Radius eine Schlüsselrolle. Mit $R=R_{S}$ wird $\tau$ = 0, d. h. von einem fernen Beobachter aus gesehen scheint dann die Zeit auf $M$ still zu stehen. Dies hat Schwarzen Löchern im Russischen die Bezeichung "Gefrorener Stern" eingetragen.

Lichtablenkung im Gravitationsfeld

Die Tatsache, dass die Schwerkraft auch auf Licht einwirkt, ruft ein weiteres Phänomen hervor. Passiert ein Lichtstrahl eine Masse $M$ in einem Abstand $r$, so erfährt dieser eine Ablenkung um einen Winkel $\alpha$ (siehe Zeichnung).

Lichtablenkung im Gravitationsfeld

Um $\alpha$ abzuschätzen, soll folgendes einfaches Modell angewandt werden. Das Licht soll auf der Strecke $2r$ in Y-Richtung eine konstante Beschleunigung $g=GM/r^{2}$ spüren, sonst sich aber kräftefrei bewegen. Damit lautet die Bewegungsglecichung in X-Richtung $X=ct$ und in Y-Richtung $Y=0.5gt^{2}$. Das Licht umläuft dann die Masse auf einer Parabel $Y(X)=(GM/2r^{2}c^{2})X^{2}$. Der Ablenkwinkel ist durch die Steigung derselben an der Stelle $X=2r$ gegeben. Es gilt $Y'(X)=(GM/r^{2}c^{2})X$ und damit $Y'(2r)=2GM/rc^{2}$. Mit dem Schwarzschildradius von $M$ vereinfacht sich dieser Ausdruck zu $\alpha =R_{S}/r$. Das Ergebnis stimmt mit der Vorhersage der Allgemeinen Relativitätstheorie der Größenordnung nach überein. Die exakte Rechnung liefert abermals einen zusätzlichen Faktor 2:

$\alpha ={\frac {2R_{S}}{r}}$

Dieses Mal zeigt sich das Verhältnis $R_{S}/r$ - das Verhältnis Schwarzschildradius / Mindestabstand zur Zentralmasse - für das Ausmaß des Effekts als entscheidend. Die Lichtablenkung durch große dichte Massen hat z.T. spektakulär verzerrte Abbildungen kosmischer Objekte zur Folge (siehe Gravitationslinseneffekt), da diese dadurch wie eine Linse wirken (siehe untenstehende Skizze)

Prinzip der Gravitationslinse

Periheldrehung der Planeten

Um die Einwirkung der Gravitation auf Licht zu beschreiben, darf die klassische $1/r^{2}$ Abhängigkeit vom Abstand zur anziehenden Masse weiterhin als gültig betrachtet werden. Um die relativistische Periheldrehung der Planeten korrekt zu beschreiben, muss jedoch das Newtonsche Gravitationsgesetz um eine Komponente erweitert werden, welche einem $1/r^{3}$ Gesetz folgt. Diese setzt sich wiederum aus zwei Anteilen zusammen, der relativistischen Zunahme der Ruhemasse $m_{0}$ des umlaufenden Trabanten sowie der im Vergleich zur physischen Masse des Zentralgestirns größeren effektiven Masse $M_{\text{eff}}$.

Ein mit einer Geschwindigkeit $v$ auf einer Kreisbahn mit Radius $r$ sich bewegender Planet weist gemäß der speziellen Relativitätstheorie eine Masse $m=m_{0}/(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}$ auf. Wegen $v\ll c$ gilt in guter Näherung $m=m_{0}(1+v^{2}/2c^{2})$. Setzt man $v^{2}=GM/r$ und erneut den Schwarzschildradius ein, so gewinnt man den Ausdruck:

$m=m_{0}\left(1+{\frac {R_{S}}{4r}}\right)$

Die effektive Masse des Zentralgestirns ist eine Folge des Energiegehalts des Gravitationsfeldes, welches dieses umgibt. So wie ein elektrisches Feld weist auch ein Schwerefeld eine bestimmte Energiedichte auf. Nach dem Masse-Energie-Prinzip entspricht diese wiederum einer Massendichte. Nach dem Birkhoff-Theorem spürt man im Abstand $r$ von einer Masse $M$ somit nicht nur diese selbst, sondern auch die gesamte zusätzliche Masse, welche sich aufgrund der Energiedichte des Gravitationsfeldes innerhalb einer Kugel mit Radius $r$ um $M$ herum befindet.

Die lokale Energiedichte $\rho _{E}$ eines Schwerefeldes ist unmittelbar mit der lokalen Schwerebeschleunigung verknüpft gemäß:

$\rho _{E}=-{\frac {g^{2}}{8\pi G}}$

Setzt man $g=GM/r^{2}$ und die Masse-Energie-Äquivalenz ein, so gewinnt man für die entsprechende Massendiche $\rho _{m}$:

$\rho _{m}=-{\frac {GM^{2}}{8\pi c^{2}r^{4}}}$

Entsprechend der vorliegenden Dichteverteilung spürt man in der Entfernung $r$ von $M$ so eine effektive Masse

$M_{\text{eff}}=M+\int _{V}\rho _{m}dV$

Das Integral über die Kugel um die Masse herum lässt sich am besten mit Hilfe von Kugelkoordinaten auswerten. Die Winkelkomponenten liefern einen Beitrag von $4\pi$, das Volumenelement $dV$ zudem einen solchen von $r^{2}$. Damit bleibt die vereinfachte Beziehung:

$M_{\text{eff}}=M-{\frac {GM^{2}}{2c^{2}}}\int _{r}{\frac {1}{r^{2}}}dr$

Das verbliebene Integral läuft vom Abstand $r$ von $M$ bis ins Unendliche. Löst man dieses auf und zieht abermals den Schwarzschildradius heran, so lautet das Endresultat:

$M_{\text{eff}}=M\left(1+{\frac {R_{S}}{4r}}\right)$

Wendet man schließlich beide Korekturen auf das Newtonsche Gravitationsgesetz an, so lautet unter Vernachlässigung höherer Potenzen von $R_{S}/r$ die auf einen Planeten einwirkende Kraft:

$F={\frac {Gm_{0}M}{r^{2}}}\left(1+{\frac {R_{S}}{2r}}\right)$

Erneut stellt sich $R_{S}/r$ - hier Schwarzschildradius der Zentralmasse / Radius der Kreisbahn um derselben - als Maß aller Dinge heraus. Für eine Kreisbahn liefert die exakte Theorie für die Periheldrehung folgende Winkelgeschwindigkeit, wobei $T$ die aus der klassischen Mechanik folgende Umlaufdauer bedeutet:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}{\frac {3R_{S}}{2r}}$

In der Praxis liefert die Relativitätstheorie nur einen sehr kleinen Anteil der beobachteten Periheldrehung. Diese geht vielmehr größtenteils auf die Bahnstörungen zurück, welche die Planeten gegenseitig auf sich ausüben. Obige Formel liefert für den Perihel selbst des sonnennächsten Planeten Merkur ($T$ = 87.969 Tage, $r$ = 57.909 10⁶ km) eine winzige Winkelgeschwindigkeit von nur 6.323 10^-14 rad s^-1, entsprechend circa 41 Bogensekunden pro Jahrhundert (das Verhältnis $R_{S}/r$ liegt nur bei einigen 10^-8). Tatsächlich beläuft sich dessen Periheldrehung jedoch auf 5602 Bogensekunden pro Jahrhundert. Um den nicht einmal 1% ausmachenden relativistischen Beitrag zu erkennen, ist also eine extrem sorgfältige Diskussion der klassischen Bahnstörungen erforderlich.

Gravitationswellen

Diese kürzlich weltberühmt gewordene Erscheinung stellt kleine Schwingungen der Raum-Zeit dar, welche sich durch winzige Streckungen und Stauchungen von Längenabmessungen bemerkbar machen. Gravitationswellen werden von beschleunigten Massen mit nicht kugelsymmetrischer Dichteverteilung abgestrahlt, so wie beschleunigte elektrische Ladungen elektromagnetische Strahlung aussenden. Die Abweichung einer Massenverteilung von der Kugelsymmetrie wird durch das Quadrupolmoment $Q$ ausgedrückt, dieses bestimmt gemäß folgender Beziehung die Strahlungsleistung $P$:

$P={\frac {G}{c^{5}}}\sum \limits _{i,j=1}^{3}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}Q_{i,j}^{2}$

Wiederum soll eine um eine Zentralmasse auf einem Kreis umlaufende Probemasse betrachtet werden. Die Zeitabhängigkeit des Quadrupolmoments ist dann von der Art $\sin(\omega t)$, wobei $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit auf der Kreisbahn angibt. Jede Zeitableitung liefert einen Beitrag $\omega$. Mit drei derartigen Ableitungen ergibt sich so ein Beitrag $\omega ^{3}$ und durch das Quadrat von $Q$ letzlich ein solcher von $\omega ^{6}$. Der von der Zeit unabhängige Anteil des Quadrupolmoments ist von der Größenordnung $mr^{2}$, dessen Quadrat also etwa $m^{2}r^{4}$. Für die Winkelgeschwindigkeit gilt weiterhin $\omega ^{2}=v^{2}/r^{2}=GM/r^{3}$. Einsetzen in obige Definition liefert:

$P\approx {\frac {G^{4}m^{2}M^{3}}{c^{5}r^{5}}}$

Verwendet man zuletzt die Schwarzschildradien beider Massen, so ergibt sich als Endergebnis:

$P\approx {\frac {c^{5}}{G}}\left({\frac {R_{Sm}}{r}}\right)^{2}\left({\frac {R_{SM}}{r}}\right)^{3}$

Der Vorfaktor $c^{5}/G$ ist mit einer Größenordnung von 10⁵² W gigantisch, er entspricht der Leuchtkraft von 10²⁶ Sonnen bzw. von 10¹⁴ großen Galaxien. Kommen sich zwei sehr kompakte Objekte wie Neutronensterne oder gar schwarze Löcher sehr nahe, können sie für einen Augenblick eine Leistung erbringen, welche die Leuchtkraft aller Sterne des Universums zusammen bei weitem übertirfft.

Physik der Sterne

Zustandsgrößen

Unter den Zustandsgrößen eines Sterns versteht man einen Satz physikalischer Parameter, welche seine wichtigsten Eigenschaften beschreiben. Der bedeutenste dieser Parameter ist die Masse, da diese weitere Größen wie die Temperatur und den Radius (und damit die Leuchtkraft) stark dominiert. Vom Standpunkt des unmittelbaren Beobachtens aus betrachtet, sind die scheinbare Helligkeit und Farbe die naheliegensten Eigenschaften eines Sterns. Um die scheinbare Helligkeit als Anhaltspunkt für die Leuchtkraft verwenden zu können, muss die Entfernung des Himmelskörpers bekannt sein.

Helligkeit

Scheinbare Helligkeit

Die scheinbare Helligkeit ist ein schon von den Astronomen der Antike entwickeltes Maß für die Stärke, mit welcher das von einem Gestirn ankommende Licht mit dem Auge wahrgenommen wird. Die hellsten Sterne bezeichneten sie als solche 1.Größe, die schwächsten gerade noch sichtbaren als solche 6.Größe. Dementsprechend wird auch noch heute die scheinbare Helligkeit in Größenklassen bzw. Magnituden angegeben und dafür das Symbol $m_{V}$ benutzt, wobei der Buchstabe V für eine visuelle (mit dem Auge erfolgende) Beobachtung steht.

Später stellte sich heraus, dass die Magnitude ein logarithmisches Maß für die Intensität $I_{V}$ des einfallenden Lichts darstellt und dass ein Helligkeitsunterschied von 5 Größenklassen einem Intensitätsverhältnis von etwa 100 entspricht. Dementsprechend lautet die moderne Definition der Magnitude (es wird bei den folgenden Diskussionen stets der Logarothmus zur Basis 10 verwendet):

$m_{V}=-2.5\lg I_{V}+C_{V}$

Das Minuszeichen berücksichtigt, dass mit zunehmender Helligkeit kleinere Zahlenwerte für die Magnitude auftreten. $C_{V}$ ist eine Konstante, die durch Beobachtung von Sternen bekannter scheinbarer Helligkeit, sogenannter Standardsterne, für jedes Instrument individuell ermittelt werden muss. In der Praxis ist $C_{V}$ zudem eine Funktion der Sternfarbe, was hier jedoch nicht weiter diskutiert werden soll.

Schon seit langem wird die scheinbare Helligkeit von Sternen nicht mit Hilfe des Auges, sondern wohldefinierter Filter gemessen, welche jeweils bestimmte Wellenlängenbereiche passieren lassen. Das bekannteste dieser Filtersysteme ist das von Johnson und Morgan 1951 eingeführte UBV-System, welche aus drei Filtern besteht. Der V-Vilter (V = visuell) entspricht weitgehend dem menschlichen Auge, der B-Filter (B = blau) einer klassischen Photoplatte. Der U-Filter (U = ultraviolett) repräsentiert das nahe, von der Erdatmosphäre noch durchgelassene Ultraviolett. Die Schwerpunktewellenlängen der Filter liegen bei 540 nm (V), 442 nm (B) und 364 nm (U).

Filter des UBV-Systems nach Johnson und Morgan zur Messung von Sternhelligkeiten und -farben (Quelle siehe Bildbeschreibung)

Die Filter liefern jeweils eigene Helligkeitswerte, welcher anstatt mit $m_{V}$, $m_{B}$ und $m_{U}$ einfach mit $V$, $B$ und $U$ bezeichnet werden. Mit drei Filtern gibt es auch drei Konstanten $C_{V}$, $C_{B}$ und $C_{U}$, die wiederum für jede Meßvorrichtung einzeln ermittelt werden müssen und allesamt erneut von der Sternfarbe abhängig sind. Später wurde das UBV-System durch weitere Filter erweitert, welche für Beobachtungen im Roten und Infraroten verwendet werden.

Absolute Hellgkeit

Die scheinbare Helligkeit eines Himmelskörpers hängt von zwei Größen ab: seiner Leuchtkraft innerhalb des vom Fiter erfassten Wellenlängenbereichs und seiner Entfernung. Als ein von der Entfernung unabhängiges, allein die Leuchtkraft widerspiegelndes Helligkeitsmaß wird die absolute Helligkeit benutzt, welche für visuelle Beobachtung mit dem Symbol $M_{V}$ bezeichnet wird. Diese gibt an, welche scheinbare Helligkeit ein Stern aufweisen würde, wenn er anstatt seiner tatsächlichen Entfernung $r$ eine Standartdistanz $r_{S}$ von 10 Parsec aufweisen würde.

Gemäß dem photometrischen Entfernungsgesetz würde aus der Standardentfernung nicht Licht der Intensität $I_{V}$, sondern der Intensität $(I_{V})_{S}=(r/r_{S})^{2}I_{V}$ zu uns gelangen. Aus der Definition der Magnitude folgt für die Differenz zwischen scheinbarer und absoluter Helligkeit (welche als Entfernungsmodul bezeichnet wird) $m_{V}-M_{V}=-2.5\lg(I_{V}/(I_{V})_{S})$ und daraus wiederum $m_{V}-M_{V}=-2.5\lg(r_{S}/r)^{2}=-5\lg(r_{S}/r)=-5(\lg r_{S}-\lg r)$. Einsetzen der Standartentfernung in Parsec liefert schließlich:

$m_{V}-M_{V}=5\lg r[pc]-5$

Tatsächlich ist die Beziehung zwischen scheinbarer und absoluter Helligkeit komplizierter. Ein wesentlicher Teil des von einem Stern ausgesandten Lichts wird von interstellarem Staub absorbiert, woraus eine Absenkung der beobachteten scheinbaren Magnitude um einen Betrag $A_{V}$ resultiert. Damit $M_{V}$ tatsächlich die Leuchtkraft des Sterns repräsentiert, muss obige Formel entsprechend korrigiert werden.

$m_{V}-M_{V}=5\lg r[pc]-5+A_{V}$

Die Bestimmung von $A_{V}$ erfolgt über diejenige der interstellaren Verfärbung, wie nachfolgend erläutert wird.

Wie nachfolgendes Diagramm zeigt, liegt die Sonne hinsichtlich der absoluten Helligkeit im unteren Mittelfeld der Gestirne. Blaue Hauptreihensterne sowie Überriesen generell überbieten sie um mehr als 10 Größenklassen, d. h. um mehr als das 10000-fache. Rote Zwerge liegen um bis zu 8 Größenklassen, d. h. um bis zu einem Faktor 1000 unter unserem Heimatstern.

Absolute Helligkeit für Hauptreihemsterne, Riesen und Überriesen als Funktion des Spektraltyps nach Schmidt-Kaler (Quelle siehe Bildbeschreibung)

Bolometrische Helligkeit

Die scheinbare Helligkeit $m_{F}$ bezieht sich auf die Intensität $I_{F}$, welche innerhalb eines durch einen Filter $F$ festgelegten Wellenlängenintervalls empfangen wird. Jedoch ist auch ein Hellgkeitsmaß wünschenswert, welches die über das gesamte elektromagnetische Spektrum aufgenommene Intensität $I$ repräsentiert. Ein solches ist die scheinbare bolometrische Helligkeit, welche wie die scheinbare Helligkeit in Magnituden ausgedrückt wird:

$m_{\text{bol}}=-2.5\lg I+C$

Die Konstante $C$ muss wiederum durch Messungen ermittelt werden und erweist sich als sehr stark von der Sternfarbe abhängig. In der Praxis wird die bolometrische Helligkeit aus der scheinbaren visuellen Helligkeit $m_{V}$ abgeleitet, indem von dieser eine sogenannte bolometrische Korrektur $BC$ subtrahiert wird:

$m_{\text{bol}}=m_{V}-BC$

Für die Sonne ist $BC$ auf 0.13 Magnituden festgelegt worden. Für andere Sterntypen kann die bolometrische Korrektur bestimmt werden, indem man deren spektrale Intensitätsverteilung mit derjenigen der Sonne vergleicht. Derartige Messungen sind allerdings extrem aufwendig, da sie je nach Wellenlängenbereich den Einsatz sehr unterschiedlicher Instrumente und wegen der im Ultravioletten und Infraroten sehr beschränkten Durchlässigkeit der Erdatmisphäre den Einsatz von Satelliten erfordern.

Mit bekannter bolometrischer Korrektur kann schließlich die absolute visuelle Helligkeit $M_{V}$ in eine absolute bolometrische Helligkeit $M_{\text{bol}}$ umgerechnet werden:

$M_{\text{bol}}=M_{V}-BC$

$M_{\text{bol}}$ ist ein unmittelbares Maß für die Leuchtkraft $L$ eines Sterns. Kennt man die entsprechenden Größen für die Sonne, so gilt für einen beliebigen Stern:

$M_{\text{bol}}=(M_{\text{bol}})_{S}-2.5\lg {\frac {L}{L_{S}}}$

Für Sterne, deren Energieverteilungen sich sehr stark von derjenigen der Sonne unterschieden, beträgt die bolometrische Korrektur mehrere Größenklassen. Sowohl blaue als auch rote Sterne sind über das gesamte elektromagnetische Spektrum betrachtet wesentlich heller, als der visuelle Sinneseindruck nahelegt. Im Falle blauer Sterne erfasst die visuelle Helligkeit nur noch den langwelligen Schwanz des Spektrums, dessen Schwerpunkt im Ultravioletten liegt. Bei roten Sternen liegt das umgekehrte Extrem vor. Die visuelle Helligkeit deckt nur den kurzwelligen Ausläufer der Energieverteilung ab, der Löwenanteil der ankommenden Intensität fällt in das Infrarote.

Bolometrische Korrektur für Hauptreihemsterne als Funktion des Spektraltyps nach Schmidt-Kaler (Quelle siehe Bildbeschreibung)

Farbe

Farbenindex

Schon mit bloßem Auge kann man bei genügend hellen Sternen nicht nur Unterschiede hinsichtlich der scheinbaren Helligkeit, sondern auch der Farbe erkennen. Das Auge ist wie ein zur Messung von scheinbaren Helligkeiten verwendetes Teleskop mit Filtern ausgestattet, die unterschiedliche Wellenlängenbereiche abdecken (nämlich für rotes, grünes und blaues Licht). Der Farbeindruck entsteht dadurch, dass die in den verschiedenen Bereichen einfallenden Intensitäten miteinander verglichen werden. Rote Lichtquellen liefern im Roten eine höhere Intensität als im Grünen oder gar Blauen, bei blauen Strahlern verhält es sich umgekehrt.

Dies legt folgendes Vorgehen nahe, um die Farbe eines Sterns zu bestimmen. Man betrachtet zunächst das Verhältnis der in verschiedenen Wellenlängenintervallen registrierten Intensitäten und wendet darauf abermals die Definition der Magnitude an. Für das UBV-System können so zwei voneinander unabhängige Farben definiert werden:

$B-V=-2.5\lg {\frac {I_{B}}{I_{V}}}+C_{BV}=m_{B}-m_{V}$

$U-B=-2.5\lg {\frac {I_{U}}{I_{B}}}+C_{UB}=m_{U}-m_{B}$

Um die Konstanten $C_{BV}$ und $C_{UB}$ - welche erneut von Instrument, aber auch der Sternfarbe selbst abhängig sind - bestimmen zu können, wurde festgelegt, dass für die Wega (ein Hauptreihenstern mit Spektraltyp A0) die Farben $B-V$ und $U-B$ beide den Wert 0 haben. Sterne mit positiven Farbwerten sind also röter, solche mit negativen Farbwerten blauer als dieser Referenzstern.

Üblicherweise wird der das blauere Wellenlängenintervall darstellende Filter zuerst genannt. Anstelle von Farben spricht man in der Regel von Farbenindizes. Durch zusätzliche Filter in anderen Wellenlängenbereichen kann man weitere Farbenindizes definieren.

Eigenfarbe und Verfärbung

Jeweils auf den Verhältnissen zweier Intensitäten beruhend, sind die Farbenindizes eines Sterns von dessen Entfernung unabhängig. Dennoch entsprechen die gemessenen Werte keineswegs dem tatsächlichen Zustand des Himmelskörpers. Das Sternenlicht wird durch den interstellaren Staub nicht nur geschwächt, sondern auch gerötet, da die Absorption in verschiedenen Wellenlängenbereichen unterschiedlich stark ausfällt. Im Ultravioletten ist diese stärker als im Blauen, und dort immer noch stärker als im Visuellen. Die gemessenen Farben bestehen somit aus zwei Komponenten, den tatsächlicne Farben (Eigenfarben) $(B-V)_{0}$ und $(U-B)_{0}$ des Sterns und den erlittenen Rötungen (Verfärbungen) $E_{B-V}$ und $E_{U-B}$:

$B-V=(B-V)_{0}+E_{B-V}$

$U-B=(U-B)_{0}+E_{U-B}$

Der Verlauf der Eigenfarben $(B-V)_{0}$ und $(U-B)_{0}$ in Abhängigkeit vom Spektraltyp ist in nachfolgenden Diagrammen für Hauptreihensterne, Riesen und Überriesen zusammengefasst. Während $(B-V)_{0}$ durchgängig einen monotonen Verlauf aufweist, zeigt $(U-B)_{0}$ eine recht komplizierte Abhängigkeit vom Spektraltyp.

Eigenfarbe (B-V)o für Hauptreihemsterne, Riesen und Überriesen als Funktion des Spektraltyps nach Schmidt-Kaler (Quelle siehe Bildbeschreibung)

Eigenfarbe (U-B)o für Hauptreihemsterne, Riesen und Überriesen als Funktion des Spektraltyps nach Schmidt-Kaler (Quelle siehe Bildbeschreibung)

Die Verfärbungen $E_{B-V}$ und $E_{U-B}$ sind miteinander korreliert, worin sich Eigenschaften des interstellaren Staubs wiederspiegeln. Zahlreiche Arbeiten wie z. B. von Turner (1989) zeigen, dass das Verhältnis $E_{U-B}/E_{B-V}$ einem Gesetz der folgenden Form folgt:

${\frac {E_{U-B}}{E_{B-V}}}=\alpha +\beta E_{B-V}$

Der Hauptbeitrag $\alpha$ weist beträchtliche regionale Variationen auf, d. h. der interstellare Staub verhält sich keineswegs überall gleich. So gibt Turner (1989) auf Grundlage von Beobachtungen blauer Sterne in der Milchstraße je nach Ort Werte von 0.62 bis 0.80 an. Der durch $\beta$ repräsentierte Anteil ist dagegen sehr gering, laut der zitierten Arbeit liegt $\beta$ nur bei 0.02.

Die enge Korrelation zwischen $E_{B-V}$ und $E_{U-B}$ kann man sich im sogenannten Zwei-Farben-Diagramm folgendermaßen zunutze machen, um die Verfärbung eines Sterns zu bestimmen. Man trägt $U-B$ gegen $B-V$ auf und schiebt den Stern gedanklich entlang des durch obige Gesetzmaßigkeit definierten Pfades, dem sogenannten Verfärbungsweg, zurück auf die Kurve, welche durch die Eigenfarben seiner Leuchtkraftklasse definiert ist. Wegen des sehr kleinen Wertes von $\beta$ ist der Verfärbungsweg fast eine Gerade, nur bei sehr starken Verfärbungen ab etwa 1 Magnitude weist er eine signifikante Krümmung auf.

Man hat bei diesem Verfahren jedoch mit mehreren Schwierigkeiten zu kämpfen. Die Eigenfarben eines Stern sind von dessen Leuchtkraftlasse abhängig, so dass diese aus spektroskopischen Beobachtungen abgeleitet werden muss. Im mittleren Bereich des unten gezeigten Zwei-Farben-Diagramms schneidet der Verfärbungsweg die Eigenfarben-Kurve drei Mal, so dass auch der Spektraltyp bekannt sein muss, um die richtige Auswahl zu treffen. Detaillierte Untersuchungen zeigen zudem, dass der Verfärbungsweg für rote Sterne steiler ist als für blaue.

Bestimmung der interstellaren Verfärbung im Zwei-Farben-Diagramm. Die Kurve zeigt die Eigenfarben für Hauptreihensterne nach Schmidt-Kaler (Quelle siehe Bildbeschreibung)

Ist die Verfärbung bekannt, kann daraus schließlich die Absorption $A_{V}$ ermittelt werden. Seit langem ist bekannt, dass lokal betrachtet das Verhältnis $A_{V}/E_{B-V}$ in guter Näherung als konstant betrachtet werden darf:

${\frac {A_{V}}{E_{B-V}}}=R$

Wie der Verfärbungsweg unterliegt auch $R$ signifikanten regionalen Schwankungen. Turner (1994) findet für blaue Sterne der Galaxis in der Regel Werte zwischen 2.8 und 3.3, doch existieren auch Gebiete mit Werten von 4 und höher. Wird eine solche Anomalie nicht erkannt, wird die interstellare Absorption $A_{V}$ erheblich unterschätzt.

Für andere Wellenlängenintervalle definierte Farbenindizes unterliegen ebenfalls interstellaren Verfärbungen. Im Roten und Infraroten sind diese jedoch im Vergleich zu den im UBV-Bereich auftretenden Verfärbungen erheblich geringer.

Entfernung

Wie bereits aufgezeigt, muss zur Bestimmung der absoluten Helligkeit eines Sterns dessen Entfernung bekannt sein. Diese lässt sich direkt bestimmen, indem man dessen jährliche Parallaxe misst.

Scheinbare Bewegung eines Sterns gegenüber dem Himmelshintergrund infolge der Bahnbewegung der Erde um die Sonne

Aufgrund der Bahnbewegung der Erde um die Sonne ändert sich im Laufe des Jahres die Blickrichtung zu einem Stern, wodurch dieser im allgemeinen eine Ellipse gegenüber dem Himmelshintergrund beschreibt, deren große Halbachse einem Winkel $p$ entspricht. Wird $p$ in Bogensekunden ausgedrückt, so ergibt sich daraus unmittelbar die Entfernung in Parsec:

$r[pc]={\frac {1}{p[^{\prime \prime }]}}$

Die 2013 gestartete Raumsonde Gaia hat inzwischen für circa 1.7 Milliarden Sterne deren Parallaxen mit einer durchschnittlichen Genauigkeit von etwa 0.0001" bestimmt. Dies entspricht einem relativen Fehler von höchstens 10% bis hin zu einer Entfernung von 1000 Parsec. Damit ist es möglich, für viele verschiedene Sterntypen absolute Helligkeiten mit hoher Genauigkeit zu ermitteln, d. h. deren Spektren als Maß für $M_{v}$ zu eichen.

Dadurch wiederum können auch für solche Sterne zuverlässige Distanzen abgeleitet werden, welche nicht mehr von Gaia erfasst werden. Man leitet für solche die absolute Helligkeit $M_{V}$ aus deren Spektren ab, woraus sich zusammen mit der scheinbaren Helligkeit $m_{V}$ und der interstellaren Absorption $A_{V}$ die Entfernung ergibt:

$\lg r[pc]={\frac {m_{V}-M_{V}-A_{V}}{5}}+1$

Radius

Winkeldurchmesser

Bei bekannter Entfernung $r$ folgt der Radius $R$ eines Sterns unmittelbar aus dessen Winkeldurchmesser $\phi$. Mit $\phi$ in Bogenmaß und sowohl $r$ als auch $R$ in km gilt:

$R={\frac {\phi r}{2}}$

In der Praxis ist jedoch der Winkeldurchmesser in Bogensekunden und die Entfernung in Parsec gegeben, womit sich der Radius in Astronomischen Einheiten AE ergibt. Daraus folgt unmittelbar:

$R[km]=149.6\cdot 10^{6}{\frac {\phi [^{\prime \prime }]r[pc]}{2}}$

Die Winkeldurchmesser der Sterne sind leider extrem klein, selbst für die nähesten (Über)riesen weisen diese nur eine Größenordung von einigen 0.01" auf. Moderne Interferometer erzielen andererseits für ausreichend helle Objekte eine extrem hohe Meßgenauigkeit von bis zu 0.00002", so dass inzwischen für zahlreiche Sterntypen zuverlässige Resultate gewonnen werden konnten.

Bedeckungsveränderliche

Wird ein Doppelsternsystem von der Kante gesehen, bedecken sich dessen beide Mitglieder während eines Umlaufs gegenseitig, was zu meßbaren Helligkeitseinbrüchen führt. Bedeckt der leuchtkräftigere Stern den leuchtschwächeren, tritt nur ein schwach ausgeprägtes Minimum auf. Im umgekehrten Fall ist hingegen ein deutlich ausgeprägter Helligkeitsabfall sichtbar.

Animation eines bedeckungsveränderlichen Doppelsterns mit resultierender Lichtkurve

Für einen solchen Bedeckungsveränderlichen können die Durchmesser $D$ und $d$ (und damit die Radien) beider Komponenten bestimmt werden, indem man folgende 4 Zeitpunkte betrachtet.

$t_{\text{BF}}$ - der schwächere Stern scheint den helleren gerade zu berühren (Beginn der Verfinsterung)

$t_{\text{BH}}$ - der schwächere Stern steht gerade schon komplett vor dem helleren (Beginn des Hauptminimums)

$t_{\text{EH}}$ - der schwächere Stern steht gerade noch komplett vor dem helleren, aber auf der anderen Seite dessen Scheibe (Ende des Hauptminimums)

$t_{\text{EF}}$ - der schwächere Stern scheint den helleren gerade noch zu berühren (Ende der Verfinsterung)

Während der gesamten Dauer der Verfinsterung $t_{F}=t_{\text{EF}}-t_{\text{BF}}$ legt der schwächere Stern eine Strecke $D+d$ zurüch. Der Dauer des Hauptmaximums $t_{H}=t_{\text{EH}}-t_{\text{BH}}$ entspricht eine Strecke $D-d$. Kennt man jetzt auch noch die Umlaufdauer $T$ des schwächeren Sterns und den Umfang $U$ seiner Bahn, so kann man für Kreisbahnen folgende Beziehungen aufstellen, welche durch Addition bzw. Subtraktion nach $D$ bzw. $d$ aufgelöst werden können.

${\frac {t_{F}}{T}}={\frac {D+d}{U}}$

${\frac {t_{H}}{T}}={\frac {D-d}{U}}$

Die Bahnumfang kann durch spektroskopische Beobachtungen ermittelt werden, indem auf Grundlage des Dopplereffekts die Umlaufgeschwindigkeit des schwächeren Sterns bestimmt wird.

In der Praxis treten mehrere Komplikationen auf. Meist umkreisen sich Doppelsterne auf elliptischen Bahnen. Zudem werden auch Bedeckungsveränderliche oft nicht perfekt von der Kante gesehen, so dass die gegenseitigen Verfinsterungen dann nur partiell sind.

Stefan-Boltzmann-Gesetz

In den meisten Fällen versagen beide hier skizzierten Verfahren. Dann muss der Sternradius indirekt wie bereits erläutert auf Grundlage des Stefan-Boltzmann-Gesetzes aus der Leuchkraft $L$ und Oberflächentemperatur $T$ abgeleitet werden.

Zusammenfassung

In folgende Tabelle sind typische Werte für Sternradien für Hauptreihensterne, Riesen und Überriesen nach Röser und Tscharnuter (2012) zusammengestellt. Die Radien sind als Vielfaches des Sonnenradius angegeben.

Spektraltyp	Hauptreihe	Riesen	Überriesen
O5	12	-	30
B0	7.4	15	30
A0	2.4	5	60
F0	1.5	-	80
G0	1.1	6	100
K0	0.85	15	200
M0	0.60	40	500
M5	0.27	-	-

Oberflächentemperatur

Die Oberflächentemperatur eines Sterns kann generell nur indirekt ermittelt werden, wozu mehrere Möglichkeiten existieren. Die meisten dieser Methoden sind eng mit dem Thema Sternatmosphären verknüpft, was im nächsten Abschnitt ausführlich behandelt wird. An dieser Stelle soll daher eine knappe Schilderung genügen.

Spektrale Energieverteilung

Die spektrale Energieverteilung eines selbstleuchtenden Körpers ist stark von dessen Temperatur abhängig, wie das schon erwähnte Plancksche Strahlungsgesetz aufzeigt. Für Sternspektren ist dieses jedoch eine recht grobe Näherung, da Phänomene wie Spektrallinien nicht berücksichtigt werden. Für zuverlässige Resultate ist man auf sehr komplizierte Modelle angewiesen, welche die in Sternatmosphären stattfindenden Emissons- und Absorptionsvorgänge detailliert beschreiben. Zudem muss die beobachtete Energieverteilung hinsichtlich der interstellaren Absorption korrigiert werden.

Breite von Spektrallinien

Die thermische Bewegung von Gasteilchen weist eine temperaturabhängige Geschwindigkeitsverteilung auf und zieht aufgrund des Dopplereffekts eine dementsprechende Verbreiterung der Spektrallinien nach sich. Für dieses Verfahren sind Messungen hoher spektraler Auflösung erforderlich, zudem hängt die Breite von Spektrallinien auch vom Gasdruck ab. Es bietet jedoch den Vorteil, dass es von der interstellaren Absorption unabhängig ist.

Stärke von Spektrallinien

Die Temperatur bestimmt nicht nur die thermische Bewegung von Gasteilchen, sondern auch die Häufigkeit, mit welcher Atome in angeregten Energiezuständen auftreten. Zusammen mit dem Druck entscheidet die Temperatur zudem über die Häufigkeit von Ionisationsstufen und damit letztendlich über die Stärke von Spektrallinien. Abermals ist man auf Beobachtungen hoher Wellenlängenauflösung angewiesen, doch erneut keine Kenntnis der interstellaren Absorption erforderlich.

Eigenfarben

Die soeben skizzierten spektroskopischen Techniken ermöglichen es, Eigenfarben als Maß für die Oberflächentemperatur zu eichen, was in der untenstehenden Abbildung für Hauptreihensterne dargestellt ist. Die Farbe $(B-V)_{0}$ ist vor allem für kühle Sterne mit Oberflächentemperaturen unterhalb von 10000 K, d. h. die Spektraltypen A bis M, ein brauchbares Thermometer. Für heiße Sterne entsprechend den Spektraltypen O und B ist $(B-V)_{0}$ dagegen zu unempfindlich gegenüber selbst großen Temperaturunterschieden, weil die Filter $B$ und $V$ nur noch den langwelligen Schwanz des Spektrums erfassen. Die Farbe $(U-B)_{0}$ kommt zumindest für B-Sterne - entsprechend Oberflächentemperaturen von 10000 bis 30000 K - noch genügend nahe an das Strahlungsmaximum heran, um auf Temperaturunterschiede hinreichend reagieren zu