Formelsammlung Physik: Elektrodynamik

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Maxwell-Gleichungen

Im SI-System gilt:

Ampèresches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {j}$
Induktionsgesetz Faradaysches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Coulombsches Gesetz	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Elektrische Flussdichte	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} +\mathbf {P}$
Magnetische Flussdichte	$\mathbf {B} =\mu _{0}\,(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$

Wobei $\mathbf {H}$ die magnetische Feldstärke, $\mathbf {B}$ die magnetische Flussdichte, $\mathbf {E}$ das elektrische Feld, $\mathbf {D}$ die elektrische Flussdichte,$\mathbf {P}$ die Polarisation, $\mathbf {M}$ die Magnetisierung, $\mathbf {j}$ die Stromdichte und $\rho$ die Ladungsdichte ist

Kontinuitätsgleichung

Für den stationären Fall gilt:

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Ohmsches Gesetz

Für isotrope Medien mit der Leitfähigkeit $\sigma$ gilt:

$\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E}$

Potentiale

$\mathbf {A}$ ist das Vektorpotential, mit dem man das $\mathbf {B}$-Feld berechnen kann.

$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

$\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

Mithilfe des skalaren Potentials $\mathbf {\Phi }$, kann man auch das $\mathbf {E}$-Feld berechnen.

$\mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

Induktion

Lorentz-Kraft

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

unter Vernachlässigung des E-Feldes folgt

$\mathbf {F} =\int d\mathbf {r} \rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} =\int d\mathbf {r} \mathbf {j} \times \mathbf {B}$

Gegeninduktivität

$L_{jm}={\frac {\mu _{r}\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C}\oint _{D}{\frac {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=L_{mj}$ wobei C und D geschlossene Leiterwege um die Leiterkreise j und m sind

Elektromagnetische Wellen

Um die inhomogene Wellengleichung zu lösen, benutzt man retardierende Potentiale. Man erhält dann folgendes: $\mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ',t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

$\Phi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\mathbf {\rho } (\mathbf {r} ',t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}r'$

Poynting-Vektor

$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

Poynting-Theorem

$-\mathbf {j} \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial w}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S}$

Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

$w={\frac {1}{2}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )$

Eichungen

Lorenz-Eichung

$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=0$

$\Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j}$

$\Box \Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

Coulomb-Eichung

$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

$\Box \mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {j} -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

$\nabla ^{2}\Phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

wobei $\Box$ der d'Alembertoperator ist.

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