Formelsammlung Physik: Klassische Mechanik


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Tabelle: Mechanische Größen und ihre EinheitenBearbeiten

Größe Formelzeichen Name der Einheit Einheitenzeichen Beziehung zwischen den Einheiten
Arbeit, Energie   Joule
   
Beschleunigung   Meter durch Quadratsekunde  
Dichte   Masse (Kilogramm) geteilt durch Volumen (Kubikmeter)    
Drehimpuls   Newtonmetersekunde    
Drehmoment   Newtonmeter    
Druck   Pascal    
Drehzahl   durch Sekunde    
Federkonstante  ,   Newton durch Meter    
Fläche, Flächeninhalt   Quadratmeter    
Frequenz  ,   Hertz    
Geschwindigkeit   Meter durch Sekunde  
Impuls   Kilogrammmeter durch Sekunde    
Kraft   Newton    
Weg   Meter   Basiseinheit
Leistung, Energiestrom   Watt    
Masse   Kilogramm   Basiseinheit
Schwingungsdauer, Periodendauer   Sekunde  
Trägheitsmoment   Kilogramm mal Quadratmeter  
Volumen   Kubikmeter    
Wellenlänge   Meter  
Winkelbeschleunigung   Radiant durch Quadratsekunde    
Winkelgeschwindigkeit   Radiant durch Sekunde    
Zeit   Sekunde   Basiseinheit

Mechanische GrößenBearbeiten

GeschwindigkeitBearbeiten

Definition. Geschwindigkeit.

Für eine Punktmasse, die zum Zeitpunkt t die Strecke s(t) zurückgelegt hat, ist

  für  

die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.

Einheiten
m/s = 3,6 km/h = (3600/1852) kn = (3600/1609,344) mph
m: Meter, s: Sekunde, km: Kilometer, h: Stunde,
kn: Knoten, mph: Meilen pro Stunde


Definition. Durchschnittsgeschwindigkeit.

 

Bei einer gleichförmigen Bewegung stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit mit der momentanen Geschwindigkeit überein.


Definition. Geschwindigkeitsvektor.

Für eine Parameterkurve, die einer Punktmasse zu jedem Zeitpunkt t einen Ort   zuordnet, ist

 

der momentane Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t.

Der Betrag   wird momentane Geschwindigkeit genannt.

Die Größe

 

ist die zurückgelegte Strecke. Es gilt

 

BeschleunigungBearbeiten

Definition. Beschleunigung in eine Richtung.

Wird durch x(t) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter

  für  

die momentane Beschleunigung zum Zeitpunkt t, wobei

 

die Geschwindigkeit ist.

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit:

 


Definition. Beschleunigungsvektor.

Der momentane Beschleunigungsvektor zum Zeitpunkt t ist

 

Für die Komponenten gilt dabei

 
 
 

für  . Der Betrag

 

wird Beschleunigung genannt.

Bei einer geradlinigen Bewegung gilt

 

Bei einer krummlinigen Bewegung zerfällt die Beschleunigung jedoch in zwei Komponenten:

die Tangentialbeschleunigung
 
und die Normalbeschleunigung
 

Es gilt

 

und

 

Hierbei ist

  •   der Radius des Krümmungskreises am Ort  ,
  •   der Tangenteneinheitsvektor am Ort  ,
  •   der Normaleneinheitsvektor am Ort  .

ImpulsBearbeiten

Definition. Impuls in eine Richtung.

Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x(t) die Bewegung einer Punktmasse in eine Richtung beschrieben, dann ist der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t:

 


Definition. Impulsvektor.

Unter dem Impulsvektor versteht man das Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor:

 

Impulsvektor und Geschwindigkeitsvektor zeigen in die gleiche Richtung.

Für die Komponenten gilt:

px = mvx,
py = mvy,
pz = mvz.

Für die Beträge gilt:

p = mv.

KraftBearbeiten

Definition. Kraft in eine Richtung.

Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x(t) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter

  für  

die Kraft zum Zeitpunkt t.

Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:

 
Einheit
 
N: Newton, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde


Definition. Kraftvektor.

Unter dem Kraftvektor zum Zeitpunkt t versteht man die Ableitung des Impulsvektors nach der Zeit:

 

Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:

 

Für die betragsmäßige Kraft gilt dann

 

mit   und  .

Für eine zeitlich veränderliche Masse ergibt sich jedoch

 

ArbeitBearbeiten

Definition. Arbeit bei einer geradlinigen Bewegung.

Muss während einer geradlinigen Bewegung von einem Ort x1 zu einem Ort x2 gegen die Kraft F(x) gearbeitet werden, dann ist

 

die aufgebrachte Arbeit, wobei   und   ist.

Für eine konstante Kraft F gilt

 
Einheit
 
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton, W: Watt, V: Volt, A: Ampere, C: Coulomb


Definition. Arbeit.

 

wobei   ein Weg von   nach   ist.

Für das Skalarprodukt gilt

 

sofern eine Orthonormalbasis vorliegt.

Für eine konstante Kraft   gilt

 

Die Anheftung der selben konstanten Kraft an jeden Ort ist ein Potentialfeld, da die Arbeit unabhängig vom gewählten Weg von   nach   ist. Geht man vom direkten Weg aus und meint mit

 

den Abstand, das ist die kürzeste Streckenlänge, dann ergibt sich die Formel

 

mit   und  


Beschleunigungsarbeit
Wird eine Punktmasse m von einer Geschwindigkeit v0 auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt, dann muss gegen die Trägheit der Masse gearbeitet werden. Die Beschleunigungsarbeit beträgt

 

Die Beschleunigungsarbeit ist neben der Masse und der Anfangsgeschwindigkeit nur von der erreichten Endgeschwindigkeit abhängig. Ob die Punktmasse gleichförmig beschleunigt wurde oder nicht, ist dabei unwesentlich.


Hubarbeit
Für einen kleinen Höhenunterschied darf die Fallbeschleunigung g als näherungsweise konstant angenommen werden. Demnach ist auch die Kraft

 

näherungsweise konstant. Um eine Punktmasse m um eine Höhe h zu heben, muss nun die Hubarbeit

 

aufgebracht werden.


Spannarbeit
Bei einer idealen Feder wirkt der Auslenkung x die Kraft

 

entgegen, wobei k die Federkonstante ist. Bei der Auslenkung der Feder von x0 bis x muss die Spannarbeit

 

aufgebracht werden.

EnergieBearbeiten

Kinetische Energie

Kinetische Energie einer Masse   mit der Geschwindigkeit  :

    mit c = Lichtgeschwindigkeit.
Einheiten
Energie Masse Geschwindigkeit
[E] = J [m] = kg [v] = m/s = Ns/kg
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton
Kartesische Koordinaten  
Polarkoordinaten  
Zylinderkoordinaten  
Kugelkoordinaten  
Allgemein  

Potentielle Energie

Potentielle Energie an der Erdoberfläche:

 

mit:

  •   Gravitationsbeschleunigung
  •   Hubhöhe.

Achtung: Dies ist keine allgemeine Formel für die potentielle Energie, sondern nur ein Spezialfall in der Nähe der Erdoberfläche. Bei anderen Problemen sieht die potentielle Energie anders aus – zum Beispiel bei Molekülen, einer Feder, im Potential einer Ladung oder im Gravitationspotential.

Einheiten
Energie Masse Schwerebeschleunigung Höhe
[E] = J [m] = kg [g] = N/kg = m/s2 [h] = m
J: Joule, kg: Kilogramm, N: Newton, m: Meter, s: Sekunde

Spannenergie

Spannenergie einer Feder:

 

mit:

  •  : Federkonstante,
  •  : Auslenkung der Feder aus der Ruhelage.

Spannenergie einer Drehfeder:

 

mit:

  •  : Direktionsmoment,
  •  : Auslenkungswinkel der Feder aus der Ruhelage.
Einheiten
Energie Federkonstante Auslenkung Direktionsmoment Auslenkungswinkel
[E] = J [k] = N/m [s] = m [D] = Nm [φ] = rad
J: Joule, N: Newton, m: Meter, rad: Radiant

LeistungBearbeiten

Die Leistung   ist der Quotient aus verrichteter Arbeit   oder dafür aufgewendeter Energie   und der dazu benötigten Zeit  :

 

oder:

 

In einem Zeitintervall der Länge   verrichtete mittlere Leistung  

 

Diese Angabe hat insbesondere Bedeutung, wenn   sich periodisch ändert und   die Periodendauer ist.

WirkungsgradBearbeiten

 

GesamtwirkungsgradBearbeiten

Bei der Verkettung von Energie-umformenden Einrichtungen ist der Gesamtwirkungsgrad das Produkt der einzelnen Wirkungsgrade:

 

Geradlinige BewegungBearbeiten

Größe Einheit
t: Zeit s oder h
s: Weg m oder km
v: Geschwindigkeit m/s oder km/h
a: Beschleunigung m/s2
Einheiten
s: Sekunde, h: Stunde, m: Meter, km: Kilometer

Gleichförmige geradlinige BewegungBearbeiten

Weg Geschwindigkeit Beschleunigung
     

Gleichmäßig beschleunigte geradlinige BewegungBearbeiten

Weg Geschwindigkeit Beschleunigung
     
     

DurchschnittsgeschwindigkeitBearbeiten

 

Allgemeine geradlinige BewegungBearbeiten

Weg Geschwindigkeit Beschleunigung
     

KreisbewegungBearbeiten

Gleichförmige KreisbewegungBearbeiten

Definition. Gleichförmige Kreisbewegung.

Eine gleichförmige Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

 
 

Die Parameter r, ω und φ0 sind konstant.

  Ortsvektor zum Zeitpunkt t
  Radius
  Winkelgeschwindigkeit
  Winkel zum Zeitpunkt t
  Anfangswinkel
  Umlaufzeit
  Drehzahl

Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:

 

Für die Beschleunigung gilt:

 

Die Beschleunigung stimmt mit der Zentripetalbeschleunigung überein:

 

Betragsmäßige Gleichungen:

 
 

Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht zum Ortsvektor:

 

Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor:

 

Es gibt keine messbare Winkelbeschleunigung:

 

Gleichmäßig beschleunigte KreisbewegungBearbeiten

Definition. Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung.

Eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

 
 

Die Parameter r, α, ω0 und φ0 sind konstant.

Es gilt

 
  = konstant,
 ,
 .

Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:

 ,
 .

Allgemeine KreisbewegungBearbeiten

Definition. Allgemeine Kreisbewegung.

Eine allgemeine Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

 

wobei φ(t) ein zeitlich veränderlicher Winkel ist.


Definition. Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung des Winkels nach der Zeit:

 


Definition. Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit:

 


Es gilt:

 ,
 .

Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:

 ,
 ,
 

Die folgenden vektoriellen Beziehungen sind gültig:

 ,
 ,
 ,
 .

Mit

 

ist die Rotationsmatrix gemeint, die einen Vektor um 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht.

ZentripetalkraftBearbeiten

Jeder Massepunkt der um eine feste Achse rotiert bewegt sich stets tangential. Um das Entfernen in diese Richtung zu verhindern bedarf es der Zentripetalkraft, welche Radial wirkt, also senkrecht zur Bewegungsrichtung, und so den Massepunkt auf eine Kreisbahn um die Achse zwingt. Die Zentripetalkraft ist inertial und unterscheidet sich somit von der "Schein" -Zentrifugalkraft.

Für die Zentripetalkraft gilt:

 
 

ZentrifugalkraftBearbeiten

Die Zentrifugalkraft ist im Gegensatz zur Zentripedalkraft eine Scheinkraft, da sie nicht im inertialen äußeren Bezugssystem existiert sondern nur im relativen rotierenden System anscheinend in Erscheinung tritt. Wird ein um eine Achse rotierender Körper losgelassen, bewegt er sich Tangential, nicht Radial, fort.

Für die Zentrifugalkraft gilt:

 

Wurfbewegungen und Freier FallBearbeiten

Freier Fall ohne und mit LuftwiderstandBearbeiten

Die folgenden Formeln beschreiben die Bewegung bei konstanter Beschleunigung. Dies trifft zum Beispiel näherungsweise zu, wenn man Objekte in der Nähe der Erdoberfläche fallenläßt, entsprechend mit anderer Beschleunigung natürlich auch in der Nähe anderer großer Objekte wie Planeten, Monde, Sonnen etc.

 : Erdbeschleunigung [m/s²] (~9.8 m/s² in der Nähe der Erdoberfläche)
 : Fallhöhe [m]

ohne Reibung

Das ist der eigentliche freie Fall im Vakuum.

 
 
 

mit Reibung

Reibung an sich ist ein recht komplexer Vorgang, bei dem Bewegungsenergie verloren geht, bezogen auf den freien Fall wird dies primär dadurch bewirkt, dass etwas durch die Luft fällt oder durch Wasser als Flüssigkeit. Je nach Geschwindigkeit und Medium, durch welches die Bewegung führt, ist hat die Reibung andere Effekte.

Fall 1: Newton-Reibung

Dabei wird die Reibungskraft proportional zum Quadrat des Betrages der Geschwindigkeit relativ zum Medium angenommen. Das tritt besonders bei hohen Geschwindigkeiten oder dichten Medien auf. Im Falle von Gasen erzeugt das bewegte Objekt im Medium dabei meist Turbulenzen, die einen hohen Energieverlust bedeuten. Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibung eher zu klein abgeschätzt.

Momentanhöhe:

 
 
 

Grenzgeschwindigkeit:

 

Im Newton-Fall ist  , mit

 : Anfangshöhe
 : Strömungswiderstandskoeffizient
 : Luftdichte
 : Stirnfläche des fallenden Körpers

Fall 2: Stokes-Reibung

Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibungskraft proportional zum Betrag der Geschwindigkeit abgeschätzt. Bei hoher Dichte oder hoher Geschwindigkeit wird damit die Reibung als zu klein abgeschätzt.

 
 
 
 

Senkrechter Wurf ohne LuftwiderstandBearbeiten

Ort-Zeit-Gesetz  
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz  
Ort-Geschwindigkeit-Gesetz  
Steigzeit  
Gipfelpunkt  
  Wurf nach oben
  Wurf nach unten

Waagerechter Wurf ohne LuftwiderstandBearbeiten

x y
Ort-Zeit-Gesetz    
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz    
 
Wurfparabel  

Schräger Wurf ohne LuftwiderstandBearbeiten

x y
Ort-Zeit-Gesetz    
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz    
Startgeschwindigkeit    
 

Axiome der MechanikBearbeiten

1. Newtonsches AxiomBearbeiten

Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.

2. Newtonsches AxiomBearbeiten

Eine auf einen Körper wirkende Kraft   ändert dessen Impuls: Die Impulsänderung pro Zeit ist gleich der auf den Körper wirkenden Kraft.

 

Ist die Masse   während der Impulsänderung konstant, ergibt sich die bekanntere Formel:

 

3. Newtonsches AxiomBearbeiten

Kraft gleich Gegenkraft: Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich großen, aber entgegen gerichteten Kraft von Körper B auf Körper A einher.

 

Kraftumformende EinrichtungenBearbeiten

HebelgesetzBearbeiten

Drehmoment = Kraft · Länge des Hebelarmes:

 

Einheit:   = Newton · Meter

Im Gleichgewicht gilt:

 

Rechts drehendes Moment = Links drehendes Moment:

 

FlaschenzugBearbeiten

Besteht der Flaschenzug aus n Rollen, so verteilt sich die Last ebenfalls auf n Seile. Im Falle des Gleichgewichts gilt:

Kraft = Last / Anzahl der Seile:

 ,

wobei   die aufzuwendende Kraft und   die Last bedeutet.

Schiefe EbeneBearbeiten

Nomenklatur
  Gewichtskraft
  Normalkomponente der Gewichtskraft
  Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft
  Normalkraft
  Haftreibungskraft
  Haftreibungskoeffizient
  Neigungswinkel
  Länge
  Höhe
  Basis
     
     

Bedingung für die Ruhe eines haftenden Körpers:

 

ReibungBearbeiten

Reibungskraft = Reibungszahl · Normalkraft:

 

Trockene Reibung (Gleitreibung):

 

ImpulsBearbeiten

Für den Impuls gilt:

 
 
 
 

Impulse bleiben (in einem kräftemäßig abgeschlossenen System) in der Summe erhalten.

KraftstoßBearbeiten

Für den Kraftstoß gilt:

 
 

DrehimpulsBearbeiten

Für den Drehimpuls gilt:

 

und außerdem:

 

mit:

 : Drehimpuls
 : Trägheitsmoment
 : Winkelgeschwindigkeit
 : Drehmoment.

Der Gesamtdrehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert.

StoßBearbeiten

Geschwindigkeiten vor dem Stoß:

 

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

 

Elastischer gerader zentraler (idealer) StoßBearbeiten

Impulserhaltung:

 

Energieerhaltung:

 

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

 
 

Spezialfall: bei gleichen Massen:

 

Unelastischer (gerader zentraler) StoßBearbeiten

Impulserhaltung:

 

Verringerung der kinetischen Energie (Verformungsenergie):

 

Geschwindigkeit   nach dem Stoß:

 

Teilelastischer StoßBearbeiten

Änderung der Bewegungsenergie ("Verlust"):

 

Stoßzahl:

 

Außerdem gilt:

 
 

Dichte und DruckBearbeiten

DichteBearbeiten

Dichte = Masse / Volumen:

 

DruckBearbeiten

Druck = senkrecht wirkende Kraft / Fläche:

 

Einheit: Pa (Pascal)}

Schweredruck:

 

Auftriebskraft:

 

Barometrische HöhenformelBearbeiten

(siehe Link)

PotentialfelderBearbeiten

Definition. Gibt es ein (auf einer offenen Teilmenge des euklidischen Raumes definiertes, stetig differenzierbares) Skalarfeld  , so dass

 

so nennt man   ein Potentialfeld und   dessen Potential. Das Potentialfeld ist nur dann ein Kraftfeld, wenn das Potential die potentielle Energie ist. Andernfalls muss eine entsprechende Proportionalitätskonstante   eingefügt werden, so dass gilt:

 

Triviale Eichfreiheit: Das Potential ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.

Potentialfelder sind Rotationsfrei:

 

Arbeit im PotentialfeldBearbeiten

Die Arbeit im Potentialfeld ist wegunabhängig:

 

wobei   und   ein Weg von   nach   ist.

  Arbeit muss aufgebracht werden
  Arbeit wird freigegeben

EnergieerhaltungssatzBearbeiten

Einer Punktmasse, die sich auf der Parameterkurve   bewegt , wird zum Zeitpunkt t die kinetische Energie

 

zugeordnet. Befindet sich die Punktmasse in einem Potentialfeld, so besitzt sie am Ort   das Potential

 

Bei der Bewegung der Punktmasse im Potentialfeld gilt:

 

Nach Integration bekommt die Gleichung die Gestalt:

 

In Kurzschreibweise:

T1+V1 = T2+V2

mit T=Ekin und V=Epot.

In Worten:

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist die Gesamtenergie einer Punktmasse in einem Potentialfeld. Die Gesamtenergie ist konstant, sie hat zu jedem Zeitpunkt den selben Wert.

PotentialeBearbeiten

Potential Potentielle Energie Potentialfeld
Höhenpotential      
Potential einer Feder      
Gravitationspotential einer kugelförmigen Masse        
Elektrisches Potential einer Ladung   im Vakuum      

GravitationBearbeiten

GravitationsgesetzBearbeiten

Das Gravitationsgesetz lautet:

 

HubarbeitBearbeiten

Für die Hubarbeit im Gravitationsfeld ergibt sich:

 

Daraus folgt:

 

oder:

 

oder:

 

Potentielle EnergieBearbeiten

Für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld gilt:

 

mit:

  • Gravitationskraft  
  • Massen der sich anziehenden Körper:   und  
  • Abstand der sich anziehenden Körper:  
  • Richtung zwischen den sich anziehenden Körpern:  
  • Gravitationskonstante:  

Auf der Erde gilt:

Kraft = Masse · Erdbeschleunigung
 

Die Erdbeschleunigung g hängt von der geografischen Breite und der Höhe über Meeresniveau ab und ist am Äquator ca. g = 9,780 m/s² und an den Polen ca. g = 9,832 m/s².

Erdbeschleunigung:

 ,

mit

  • Erdmasse:  
  • Erdradius:  
  • Gravitationskonstante:  

Diese Formel liefert etwa 9,82 m/s².

Kosmische GeschwindigkeitenBearbeiten

1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit)

Die 1. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

 
  •   = Masse des Zentralkörpers (Erde)
  •   = Bahnradius des Zentralkörpers (Erde)
 

Herleitung:

Bei einer Kreisbewegung eines Probekörpers   um eine Zentralmasse   ist die Zentrifugalkraft   gerade gleich der Gravitationskraft  .

Zentrifugalkraft   = Gravitationskraft  .

Daraus folgt:

 .

Umstellen nach   ergibt:

 .

2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)

Die 2. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

 
 

Herleitung:

Bei der minimalen Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gerade gleich der Gravitationsenergie.

Kinetische Energie   = Gravitationsenergie  .

Daraus folgt:

 .

Umstellen nach   ergibt:

 

FedergesetzeBearbeiten

Hookesches Gesetz für FedernBearbeiten

Definition. Federkraft = Federkonstante · Federverlängerung:

 

oder:

 

Rückstellkraft für FedernBearbeiten

Es ist zu beachten, dass die Rückstellkraft die entgegengesetzte Richtung wie die Verlängerung hat (Feder wird wieder kürzer).

Für eine Verlängerung müsste ein Minus [-] eingefügt werden, um die Richtung miteinzubeziehen:

 

SpannarbeitBearbeiten

Für die Spannarbeit an einer Feder ergibt sich:

 

SpannenergieBearbeiten

Spannenergie einer Feder:

 

mit:

  •  : Federkonstante
  •  : Auslenkung der Feder aus der Ruhelage.

Spannenergie einer Drehfeder:

 

mit:

  •  : Direktionsmoment,
  •  : Auslenkungswinkel der Feder aus der Ruhelage.

Hookesches GesetzBearbeiten

Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand:

 

Daraus folgt das E-Modul:

 

oder für die Verzerrung:

 

wobei:

  •   Spannung (Kraft pro Fläche)
  •   Verzerrung (Längenänderung durch ursprüngliche Länge)
  •   Elastizitätsmodul (auch Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul, E.Modul usw.).

Verzerrungstensor

Der Verzerrungstensor lautet:

 

wobei:

  •   Ortsverschiebung

Der Verzerrungstensor ist symmetrisch:

 

Spannungstensor

(siehe Link)

Tensorielle Form des Hookschen Gesetzes

Die tensorielle Form des Hookeschen Gesetzes lautet:

 

Hookesches Gesetz für den eindimensionalen FallBearbeiten

Für die Spannung bei einem Stab der Länge   in x-Richtung gilt:

 

mit:

  Zugkraft
  Querschnittsfläche des Stabes.

Für die Dehung eines Stabes in x-Richtung ergibt sich:

 

Das Hookesche Gesetz lautete:

 

Durch Einsetzen und Umstellen erhält mann:

 

Dieses erweitere Hookesche Gesetz lässt sich dort anwenden, wo die wirkende Kraft nahezu linear von der Ausdehnung bzw. Auslenkung abhängt, und ist eine Verallgemeinerung des Hookeschen Gesetzes für Federn.

Schaltung von FedernBearbeiten

Parallelschaltung

Für die Parallelschaltung von Feldern ergibt sich:

 

Reihenschaltung

Für die Reihenschaltung von Federn ergibt sich:

 

Federschaltungen verhalten sich in diesem Sinne wie Kondensatorschaltungen. Jede Feder kann sich jedoch nur bis zu einem bestimmten Punkt ausdehnen.

Harmonische Schwingung und PendelBearbeiten

FadenpendelBearbeiten

(siehe Link)

FederpendelBearbeiten

Weg-Zeit-Gesetz des Federpendels:

 

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des Federpendels:

 

Beschleunigungs-Zeit-Gesetz des Federpendels:

 

Frequenz des Federpendels:

 

Schwinungsdauer des Federpendels:

 

TorsionspendelBearbeiten

(siehe Link)

Gekoppelte PendelBearbeiten

(siehe Link)

DoppelpendelBearbeiten

(siehe Link)