Größe
Formelzeichen
Name der Einheit
Einheitenzeichen
Beziehung zwischen den Einheiten
Arbeit, Energie
W
,
E
{\displaystyle W,E}
Joule
J
{\displaystyle \mathrm {J} }
1
J
=
1
N
⋅
m
=
1
k
g
⋅
m
2
s
2
{\displaystyle 1\,\mathrm {J} =1\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =1{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}}
Beschleunigung
a
{\displaystyle a}
Meter durch Quadratsekunde
m
s
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}
Dichte
ρ
{\displaystyle \rho }
Masse (Kilogramm) geteilt durch Volumen (Kubikmeter)
k
g
m
3
{\displaystyle {\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}}
1
k
g
m
3
=
0,001
g
c
m
3
{\displaystyle 1{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} ^{3}}}=0{,}001{\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm} ^{3}}}}
Drehimpuls
L
{\displaystyle L}
Newtonmetersekunde
N
⋅
m
⋅
s
{\displaystyle \mathrm {N} \cdot \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} }
1
N
⋅
m
⋅
s
=
1
k
g
⋅
m
2
s
{\displaystyle \mathrm {1} \!\,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} \cdot \mathrm {s} =\mathrm {1} \mathrm {kg} \cdot {\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}}
Drehmoment
M
{\displaystyle M}
Newtonmeter
N
⋅
m
{\displaystyle \mathrm {N} \cdot \mathrm {m} }
1
N
⋅
m
=
1
k
g
⋅
m
2
s
2
{\displaystyle \mathrm {1} \,\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =1\,{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}}
Druck
p
{\displaystyle p}
Pascal
P
a
{\displaystyle \mathrm {Pa} }
1
P
a
=
1
N
m
2
=
1
k
g
m
⋅
s
2
{\displaystyle \mathrm {1} \,\mathrm {Pa} =\mathrm {1} {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} ^{2}}}=1{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}}
Drehzahl
n
{\displaystyle n}
durch Sekunde
1
s
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {s} }}}
1
s
=
60
1
m
i
n
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {s} }}=60{\frac {1}{\mathrm {min} }}}
Federkonstante
D
{\displaystyle D}
k
{\displaystyle k}
Newton durch Meter
N
m
{\displaystyle {\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} }}}
1
N
m
=
1
k
g
s
2
{\displaystyle 1\,{\frac {\mathrm {N} }{\mathrm {m} }}=1\,{\frac {\mathrm {kg} }{\mathrm {s} ^{2}}}}
Fläche, Flächeninhalt
A
{\displaystyle A}
Quadratmeter
m
2
{\displaystyle \mathrm {m} ^{2}}
1
m
2
=
1
m
⋅
1
m
{\displaystyle 1\,\mathrm {m} ^{2}=1\mathrm {m} \cdot 1\mathrm {m} }
Frequenz
f
{\displaystyle f}
ν
{\displaystyle \nu }
Hertz
H
z
{\displaystyle \mathrm {Hz} }
1
H
z
=
1
s
{\displaystyle 1\,\mathrm {Hz} ={\frac {1}{\mathrm {s} }}}
Geschwindigkeit
v
{\displaystyle v}
Meter durch Sekunde
m
s
{\displaystyle {\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}}
1
m
s
=
3
,
6
k
m
h
{\displaystyle 1\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=3,6{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {h} }}}
Impuls
p
{\displaystyle p}
Kilogrammmeter durch Sekunde
k
g
⋅
m
s
{\displaystyle {\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} }}}
1
k
g
⋅
m
s
=
1
N
⋅
s
{\displaystyle 1\,{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=1\mathrm {N} \cdot \mathrm {s} }
Kraft
F
{\displaystyle F}
Newton
N
{\displaystyle \mathrm {N} }
1
N
=
1
k
g
⋅
m
s
2
{\displaystyle 1\,\mathrm {N} =1{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}
Weg
s
{\displaystyle s}
Meter
m
{\displaystyle \mathrm {m} }
Basiseinheit
Leistung, Energiestrom
P
{\displaystyle P}
Watt
W
{\displaystyle \mathrm {W} }
1
W
=
1
J
s
=
1
N
⋅
m
s
=
1
k
g
⋅
m
2
s
3
{\displaystyle 1\mathrm {W} =1\,{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {s} }}=1\,{\frac {\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=1\,{\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{3}}}}
Masse
m
{\displaystyle m}
Kilogramm
k
g
{\displaystyle \mathrm {kg} }
Basiseinheit
Schwingungsdauer, Periodendauer
T
{\displaystyle T}
Sekunde
s
{\displaystyle \mathrm {s} }
Trägheitsmoment
J
{\displaystyle J}
Kilogramm mal Quadratmeter
k
g
⋅
m
2
{\displaystyle \mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}
Volumen
V
{\displaystyle V}
Kubikmeter
m
3
{\displaystyle \mathrm {m} ^{3}}
1
m
3
=
1
m
⋅
1
m
⋅
1
m
{\displaystyle 1\,\mathrm {m} ^{3}=1\mathrm {m} \cdot 1\mathrm {m} \cdot 1\mathrm {m} }
Wellenlänge
λ
{\displaystyle \lambda }
Meter
m
{\displaystyle \mathrm {m} }
Winkelbeschleunigung
α
{\displaystyle \alpha }
Radiant durch Quadratsekunde
r
a
d
s
2
{\displaystyle {\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}}
1
r
a
d
s
2
=
1
s
2
{\displaystyle 1\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} ^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}}
Winkelgeschwindigkeit
ω
{\displaystyle \omega }
Radiant durch Sekunde
r
a
d
s
{\displaystyle {\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}}
1
r
a
d
s
=
1
s
{\displaystyle 1\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}={\frac {1}{\mathrm {s} }}}
Zeit
t
{\displaystyle t}
Sekunde
s
{\displaystyle \mathrm {s} }
Basiseinheit
Definition. Geschwindigkeit.
Für eine Punktmasse, die zum Zeitpunkt t die Strecke s (t ) zurückgelegt hat, ist
v
(
t
)
=
d
s
d
t
≈
s
(
t
)
−
s
(
t
0
)
t
−
t
0
{\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\approx {\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}}
t
≈
t
0
{\displaystyle t\approx t_{0}}
die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t .
Einheiten
m/s = 3,6 km/h = (3600/1852) kn = (3600/1609,344) mph
m: Meter, s: Sekunde, km: Kilometer, h: Stunde,
Definition. Durchschnittsgeschwindigkeit.
v
¯
:=
Δ
s
Δ
t
=
s
(
t
)
−
s
(
t
0
)
t
−
t
0
.
{\displaystyle {\bar {v}}:={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}.}
Bei einer gleichförmigen Bewegung stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit mit der momentanen Geschwindigkeit überein.
Definition. Geschwindigkeitsvektor.
Für eine Parameterkurve, die einer Punktmasse zu jedem Zeitpunkt t einen Ort
r
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)}
v
→
(
t
)
:=
d
r
→
d
t
{\displaystyle {\vec {v}}(t):={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}}
der momentane Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t .
Der Betrag
v
=
|
v
→
|
{\displaystyle v=|{\vec {v}}|}
Die Größe
s
(
t
)
:=
s
(
t
0
)
+
∫
t
0
t
|
v
→
(
t
)
|
d
t
{\displaystyle s(t):=s(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}|{\vec {v}}(t)|\,\mathrm {d} t}
ist die zurückgelegte Strecke. Es gilt
v
(
t
)
=
|
d
r
→
d
t
|
=
d
s
d
t
.
{\displaystyle v(t)={\bigg |}{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}{\bigg |}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}.}
Definition. Beschleunigung in eine Richtung.
Wird durch x (t ) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter
a
x
(
t
)
:=
v
x
′
(
t
)
≈
v
x
(
t
)
−
v
x
(
t
0
)
t
−
t
0
{\displaystyle a_{x}(t):=v_{x}'(t)\approx {\frac {v_{x}(t)-v_{x}(t_{0})}{t-t_{0}}}}
t
≈
t
0
{\displaystyle t\approx t_{0}}
die momentane Beschleunigung zum Zeitpunkt t , wobei
v
x
(
t
)
=
x
′
(
t
)
{\displaystyle v_{x}(t)=x'(t)}
die Geschwindigkeit ist.
Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit:
a
x
(
t
)
=
x
″
(
t
)
.
{\displaystyle a_{x}(t)=x''(t).}
Definition. Beschleunigungsvektor.
Der momentane Beschleunigungsvektor zum Zeitpunkt t ist
a
→
(
t
)
:=
v
→
′
(
t
)
=
a
x
e
→
x
+
a
y
e
→
y
+
a
z
e
→
z
.
{\displaystyle {\vec {a}}(t):={\vec {v}}'(t)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}.}
Für die Komponenten gilt dabei
a
x
=
v
x
′
(
t
)
≈
v
x
(
t
)
−
v
x
(
t
0
)
t
−
t
0
,
{\displaystyle a_{x}=v_{x}'(t)\approx {\frac {v_{x}(t)-v_{x}(t_{0})}{t-t_{0}}},}
a
y
=
v
y
′
(
t
)
≈
v
y
(
t
)
−
v
y
(
t
0
)
t
−
t
0
,
{\displaystyle a_{y}=v_{y}'(t)\approx {\frac {v_{y}(t)-v_{y}(t_{0})}{t-t_{0}}},}
a
z
=
v
z
′
(
t
)
≈
v
z
(
t
)
−
v
z
(
t
0
)
t
−
t
0
{\displaystyle a_{z}=v_{z}'(t)\approx {\frac {v_{z}(t)-v_{z}(t_{0})}{t-t_{0}}}}
für
t
≈
t
0
{\displaystyle t\approx t_{0}}
a
=
|
a
→
|
=
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
{\displaystyle a=|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}
wird Beschleunigung genannt.
Bei einer geradlinigen Bewegung gilt
a
(
t
)
=
v
′
(
t
)
.
{\displaystyle a(t)=v'(t).}
Bei einer krummlinigen Bewegung zerfällt die Beschleunigung jedoch in zwei Komponenten:
die Tangentialbeschleunigung
a
tangential
=
v
′
(
t
)
{\displaystyle a_{\text{tangential}}=v'(t)}
und die Normalbeschleunigung
a
normal
=
v
2
R
.
{\displaystyle a_{\text{normal}}={\frac {v^{2}}{R}}.}
Es gilt
a
→
=
a
tangential
t
^
+
a
normal
n
^
{\displaystyle {\vec {a}}=a_{\text{tangential}}{\hat {t}}+a_{\text{normal}}{\hat {n}}}
und
a
=
a
tangential
2
+
a
normal
2
.
{\displaystyle a={\sqrt {a_{\text{tangential}}^{2}+a_{\text{normal}}^{2}}}.}
Hierbei ist
R
{\displaystyle R}
r
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)}
t
^
{\displaystyle {\hat {t}}}
r
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)}
n
^
{\displaystyle {\hat {n}}}
r
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)}
Definition. Impuls in eine Richtung.
Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x (t ) die Bewegung einer Punktmasse in eine Richtung beschrieben, dann ist der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t :
p
x
(
t
)
:=
m
(
t
)
⋅
v
x
(
t
)
.
{\displaystyle p_{x}(t):=m(t)\cdot v_{x}(t).}
Definition. Impulsvektor.
Unter dem Impulsvektor versteht man das Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor:
p
→
:=
m
v
→
.
{\displaystyle {\vec {p}}:=m{\vec {v}}.}
Impulsvektor und Geschwindigkeitsvektor zeigen in die gleiche Richtung.
Für die Komponenten gilt:
p x = m v x ,p y = m v y ,p z = m v z .Für die Beträge gilt:
p = m v .
Definition. Kraft in eine Richtung.
Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x (t ) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter
F
x
(
t
)
:=
p
x
′
(
t
)
≈
p
x
(
t
)
−
p
x
(
t
0
)
t
−
t
0
{\displaystyle F_{x}(t):=p_{x}'(t)\approx {\frac {p_{x}(t)-p_{x}(t_{0})}{t-t_{0}}}}
t
≈
t
0
{\displaystyle t\approx t_{0}}
die Kraft zum Zeitpunkt t .
Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:
F
x
=
m
a
x
.
{\displaystyle F_{x}=ma_{x}.}
Einheit
[
F
]
=
N
:=
k
g
⋅
m
s
2
{\displaystyle [F]=\mathrm {N} :={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}
N: Newton, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde
Definition. Kraftvektor.
Unter dem Kraftvektor zum Zeitpunkt t versteht man die Ableitung des Impulsvektors nach der Zeit:
F
→
(
t
)
:=
p
→
′
(
t
)
=
p
x
′
(
t
)
e
→
x
+
p
y
′
(
t
)
e
→
y
+
p
z
′
(
t
)
e
→
z
.
{\displaystyle {\vec {F}}(t):={\vec {p}}'(t)=p_{x}'(t){\vec {e}}_{x}+p_{y}'(t){\vec {e}}_{y}+p_{z}'(t){\vec {e}}_{z}.}
Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:
F
→
=
m
a
→
.
{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}.}
Für die betragsmäßige Kraft gilt dann
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
mit
F
:=
|
F
→
|
{\displaystyle F:=|{\vec {F}}|}
a
:=
|
a
→
|
{\displaystyle a:=|{\vec {a}}|}
Für eine zeitlich veränderliche Masse ergibt sich jedoch
F
→
=
d
m
d
t
v
→
+
m
a
→
.
{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}\,{\vec {v}}+m{\vec {a}}.}
Definition. Arbeit bei einer geradlinigen Bewegung.
Muss während einer geradlinigen Bewegung von einem Ort x 1 zu einem Ort x 2 gegen die Kraft F (x ) gearbeitet werden, dann ist
W
:=
∫
x
1
x
2
F
(
x
)
d
x
=
∫
t
1
t
2
F
(
x
(
t
)
)
v
(
t
)
d
t
{\displaystyle W:=\int _{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,\mathrm {d} x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(x(t))\,v(t)\,\mathrm {d} t}
die aufgebrachte Arbeit, wobei
x
1
=
x
(
t
1
)
{\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}
x
2
=
x
(
t
2
)
{\displaystyle x_{2}=x(t_{2})}
Für eine konstante Kraft F gilt
W
=
F
Δ
x
=
F
⋅
(
x
2
−
x
1
)
.
{\displaystyle W=F\Delta x=F\cdot (x_{2}-x_{1}).}
Einheit
[
W
]
=
J
:=
k
g
⋅
m
2
s
2
=
N
⋅
m
=
W
⋅
s
=
V
⋅
A
⋅
s
=
V
⋅
C
{\displaystyle [W]=\mathrm {J} :={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}=\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =\mathrm {W} \cdot \mathrm {s} =\mathrm {V} \cdot \mathrm {A} \cdot s=\mathrm {V} \cdot \mathrm {C} }
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton, W: Watt, V: Volt, A: Ampere, C: Coulomb
Definition. Arbeit.
W
:=
∫
γ
⟨
F
→
(
r
→
)
,
d
r
→
⟩
:=
∫
t
1
t
2
⟨
F
→
(
r
→
(
t
)
)
,
v
→
(
t
)
⟩
d
t
,
{\displaystyle W:=\int _{\gamma }\langle {\vec {F}}({\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {r}}\rangle :=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\langle {\vec {F}}({\vec {r}}(t)),{\vec {v}}(t)\rangle \,\mathrm {d} t,}
wobei
γ
(
t
)
=
r
→
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)={\vec {r}}(t)}
r
→
(
t
1
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t_{1})}
r
→
(
t
2
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t_{2})}
Für das Skalarprodukt gilt
⟨
F
→
,
v
→
⟩
=
F
x
v
x
+
F
y
v
y
+
F
z
v
z
,
{\displaystyle \langle {\vec {F}},{\vec {v}}\rangle =F_{x}v_{x}+F_{y}v_{y}+F_{z}v_{z},}
sofern eine Orthonormalbasis vorliegt.
Für eine konstante Kraft
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
W
=
⟨
F
→
,
Δ
r
→
⟩
=
⟨
F
→
,
r
→
(
t
2
)
−
r
→
(
t
1
)
⟩
.
{\displaystyle W=\langle {\vec {F}},\Delta {\vec {r}}\rangle =\langle {\vec {F}},{\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})\rangle .}
Die Anheftung der selben konstanten Kraft an jeden Ort ist ein Potentialfeld, da die Arbeit unabhängig vom gewählten Weg von
r
→
1
=
r
→
(
t
1
)
{\displaystyle {\vec {r}}_{1}={\vec {r}}(t_{1})}
r
→
2
=
r
→
(
t
2
)
{\displaystyle {\vec {r}}_{2}={\vec {r}}(t_{2})}
s
:=
|
r
→
2
−
r
→
1
|
{\displaystyle s:=|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|}
den Abstand, das ist die kürzeste Streckenlänge, dann ergibt sich die Formel
W
=
F
⋅
s
⋅
cos
φ
{\displaystyle W=F\cdot s\cdot \cos \varphi }
mit
F
:=
|
F
→
|
{\displaystyle F:=|{\vec {F}}|}
φ
:=
∠
(
F
→
,
Δ
r
→
)
.
{\displaystyle \varphi :=\angle ({\vec {F}},\Delta {\vec {r}}).}
Beschleunigungsarbeit m von einer Geschwindigkeit v 0 auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt, dann muss gegen die Trägheit der Masse gearbeitet werden. Die Beschleunigungsarbeit beträgt
W
B
=
1
2
m
v
2
−
1
2
m
v
0
2
.
{\displaystyle W_{B}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}.}
Die Beschleunigungsarbeit ist neben der Masse und der Anfangsgeschwindigkeit nur von der erreichten Endgeschwindigkeit abhängig. Ob die Punktmasse gleichförmig beschleunigt wurde oder nicht, ist dabei unwesentlich.
Hubarbeit g als näherungsweise konstant angenommen werden. Demnach ist auch die Kraft
F
g
=
m
g
{\displaystyle F_{g}=mg}
näherungsweise konstant. Um eine Punktmasse m um eine Höhe h zu heben, muss nun die Hubarbeit
W
H
=
F
g
h
=
m
g
h
.
{\displaystyle W_{H}=F_{g}\,h=m\,g\,h.}
aufgebracht werden.
Spannarbeit x die Kraft
F
=
k
x
{\displaystyle F=kx}
entgegen, wobei k die Federkonstante ist.
Bei der Auslenkung der Feder von x 0 bis x muss die Spannarbeit
W
Spann
=
1
2
k
x
2
−
1
2
k
x
0
2
{\displaystyle W_{\text{Spann}}={\frac {1}{2}}kx^{2}-{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}}
aufgebracht werden.
Kinetische Energie
Kinetische Energie einer Masse
m
{\displaystyle m}
v
{\displaystyle v}
E
kin
=
1
2
m
⋅
v
2
bei
v
≪
c
{\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}\,m\cdot v^{2}\quad {\text{bei}}\ v\ll c}
mit c = Lichtgeschwindigkeit .
Einheiten
Energie
Masse
Geschwindigkeit
[E ] = J
[m ] = kg
[v ] = m/s = Ns/kg
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton
Kartesische Koordinaten
E
kin
=
1
2
m
(
x
˙
2
+
y
˙
2
+
z
˙
2
)
{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})}
Polarkoordinaten
E
kin
=
1
2
m
(
r
˙
2
+
r
2
φ
˙
2
)
{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2})}
Zylinderkoordinaten
E
kin
=
1
2
m
(
r
˙
2
+
r
2
φ
˙
2
+
z
˙
2
)
{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2})}
Kugelkoordinaten
E
kin
=
1
2
m
(
r
˙
2
+
r
2
θ
˙
2
+
r
2
φ
˙
2
sin
θ
)
{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta )}
Allgemein
E
kin
=
1
2
m
|
v
→
|
2
{\displaystyle E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}|^{2}}
Potentielle Energie
Potentielle Energie an der Erdoberfläche:
E
pot
=
m
⋅
g
⋅
h
{\displaystyle E_{\text{pot}}=m\cdot g\cdot h}
mit:
g
:
{\displaystyle g\colon }
h
:
{\displaystyle h\colon }
Achtung: Dies ist keine allgemeine Formel für die potentielle Energie, sondern nur ein Spezialfall in der Nähe der Erdoberfläche.
Bei anderen Problemen sieht die potentielle Energie anders aus – zum Beispiel bei Molekülen, einer Feder, im Potential einer Ladung oder
im Gravitationspotential.
Einheiten
Energie
Masse
Schwerebeschleunigung
Höhe
[E ] = J
[m ] = kg
[g ] = N/kg = m/s2
[h ] = m
J: Joule, kg: Kilogramm, N: Newton, m: Meter, s: Sekunde
Spannenergie
Spannenergie einer Feder:
E
Spann
=
E
pot
=
1
2
D
⋅
s
2
{\displaystyle E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\cdot s^{2}}
mit:
D
{\displaystyle D}
s
:
{\displaystyle s\colon }
Spannenergie einer Drehfeder:
E
Spann
=
E
pot
=
1
2
D
⋅
φ
2
{\displaystyle E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\cdot \varphi ^{2}}
mit:
D
:
{\displaystyle D\colon }
φ
:
{\displaystyle \varphi \colon }
Einheiten
Energie
Federkonstante
Auslenkung
Direktionsmoment
Auslenkungswinkel
[E ] = J
[k ] = N/m
[s ] = m
[D ] = Nm
[φ ] = rad
J: Joule, N: Newton, m: Meter, rad: Radiant
Die Leistung
P
{\displaystyle P}
Δ
W
{\displaystyle \Delta W}
Δ
E
{\displaystyle \Delta E}
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
P
=
Δ
E
Δ
t
=
Δ
W
Δ
t
{\displaystyle P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\frac {\Delta W}{\Delta t}}}
oder:
P
=
W
˙
=
F
→
⋅
d
s
→
d
t
=
F
→
⋅
v
→
.
{\displaystyle P={\dot {W}}={\vec {F}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}.}
In einem Zeitintervall der Länge
T
=
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle T=\left[t_{1},t_{2}\right]}
P
¯
:
{\displaystyle {\overline {P}}:}
P
¯
=
1
T
∫
t
1
t
2
P
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle {\overline {P}}={\frac {1}{T}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)\mathrm {d} t.}
Diese Angabe hat insbesondere Bedeutung, wenn
P
(
t
)
{\displaystyle P(t)}
T
{\displaystyle T}
η
=
W
abgegeben
W
zugeführt
⋅
100
%
=
E
abgegeben
E
zugeführt
⋅
100
%
=
P
abgegeben
P
zugeführt
⋅
100
%
<
1.
{\displaystyle \eta ={\frac {W_{\text{abgegeben}}}{W_{\text{zugeführt}}}}\cdot 100\%={\frac {E_{\text{abgegeben}}}{E_{\text{zugeführt}}}}\cdot 100\%={\frac {P_{\text{abgegeben}}}{P_{\text{zugeführt}}}}\cdot 100\%<1.}
Bei der Verkettung von Energie-umformenden Einrichtungen ist der Gesamtwirkungsgrad das Produkt der einzelnen Wirkungsgrade:
η
ges
=
η
1
⋅
η
2
⋅
…
⋅
η
n
.
{\displaystyle \eta _{\text{ges}}=\eta _{1}\cdot \eta _{2}\cdot \ldots \cdot \eta _{n}.}
Größe
Einheit
t : Zeits oder h
s : Wegm oder km
v : Geschwindigkeitm/s oder km/h
a : Beschleunigungm/s2
Einheiten
s: Sekunde, h: Stunde, m: Meter, km: Kilometer
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
s
=
v
⋅
(
t
−
t
0
)
+
s
0
{\displaystyle s=v\cdot (t-t_{0})+s_{0}}
v
=
v
0
=
s
−
s
0
t
−
t
0
{\displaystyle v=v_{0}={\frac {s-s_{0}}{t-t_{0}}}}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
s
=
a
2
⋅
(
t
−
t
0
)
2
+
v
0
⋅
(
t
−
t
0
)
+
s
0
{\displaystyle s={\frac {a}{2}}\cdot (t-t_{0})^{2}+v_{0}\cdot (t-t_{0})+s_{0}}
v
=
a
⋅
(
t
−
t
0
)
+
v
0
{\displaystyle v=a\cdot (t-t_{0})+v_{0}}
a
=
a
0
=
v
−
v
0
t
−
t
0
{\displaystyle a=a_{0}={\frac {v-v_{0}}{t-t_{0}}}}
s
=
v
2
−
v
0
2
2
a
+
s
0
{\displaystyle s={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}+s_{0}}
v
=
v
0
2
+
2
a
⋅
(
s
−
s
0
)
{\displaystyle v={\sqrt {v_{0}^{2}+2a\cdot (s-s_{0})}}}
a
=
v
2
−
v
0
2
2
(
s
−
s
0
)
{\displaystyle a={\frac {v^{2}-v_{0}^{2}}{2(s-s_{0})}}}
s
−
s
0
t
−
t
0
=
1
2
(
v
+
v
0
)
.
{\displaystyle {\frac {s-s_{0}}{t-t_{0}}}={\frac {1}{2}}(v+v_{0}).}
Weg
Geschwindigkeit
Beschleunigung
s
=
∫
t
0
t
v
d
t
+
s
0
{\displaystyle s=\int _{t_{0}}^{t}v\,\mathrm {d} t+s_{0}}
v
=
d
s
d
t
=
∫
t
0
t
a
d
t
+
v
0
{\displaystyle v={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}=\int _{t_{0}}^{t}a\,\mathrm {d} t+v_{0}}
a
=
d
v
d
t
{\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}}
Definition. Gleichförmige Kreisbewegung.
Eine gleichförmige Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:
r
→
(
t
)
:=
[
r
cos
(
φ
(
t
)
)
r
sin
(
φ
(
t
)
)
]
,
{\displaystyle {\vec {r}}(t):={\begin{bmatrix}r\cos(\varphi (t))\\r\sin(\varphi (t))\end{bmatrix}},}
φ
(
t
)
:=
ω
t
+
φ
0
.
{\displaystyle \varphi (t):=\omega t+\varphi _{0}.}
Die Parameter r , ω und φ 0 sind konstant.
r
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)}
Ortsvektor zum Zeitpunkt t
r
{\displaystyle r}
Radius
ω
{\displaystyle \omega }
Winkelgeschwindigkeit
φ
(
t
)
{\displaystyle \varphi (t)}
Winkel zum Zeitpunkt t
φ
0
{\displaystyle \varphi _{0}}
Anfangswinkel
T
{\displaystyle T}
Umlaufzeit
n
{\displaystyle n}
Drehzahl
Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:
ω
=
Δ
φ
Δ
t
=
v
r
=
2
π
T
=
2
π
n
.
{\displaystyle \omega ={\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}={\frac {v}{r}}={\frac {2\pi }{T}}=2\pi n.}
Für die Beschleunigung gilt:
a
→
=
−
ω
2
r
→
.
{\displaystyle {\vec {a}}=-\omega ^{2}{\vec {r}}.}
Die Beschleunigung stimmt mit der Zentripetalbeschleunigung überein:
a
→
=
a
→
z
p
=
−
a
→
z
f
.
{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{\mathrm {zp} }=-{\vec {a}}_{\mathrm {zf} }.}
Betragsmäßige Gleichungen:
v
=
ω
r
,
{\displaystyle v=\omega r,}
a
z
p
=
ω
2
r
.
{\displaystyle a_{\mathrm {zp} }=\omega ^{2}r.}
Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht zum Ortsvektor:
⟨
v
→
,
r
→
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle {\vec {v}},{\vec {r}}\rangle =0.}
Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor:
⟨
a
→
,
v
→
⟩
=
0.
{\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {v}}\rangle =0.}
Es gibt keine messbare Winkelbeschleunigung:
α
=
0.
{\displaystyle \alpha =0.}
Bearbeiten
Definition. Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung.
Eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:
r
→
(
t
)
:=
[
r
cos
(
φ
(
t
)
)
r
sin
(
φ
(
t
)
)
]
,
{\displaystyle {\vec {r}}(t):={\begin{bmatrix}r\cos(\varphi (t))\\r\sin(\varphi (t))\end{bmatrix}},}
φ
(
t
)
:=
α
2
t
2
+
ω
0
t
+
φ
0
.
{\displaystyle \varphi (t):={\frac {\alpha }{2}}t^{2}+\omega _{0}t+\varphi _{0}.}
Die Parameter r , α , ω 0 und φ 0 sind konstant.
Es gilt
ω
=
α
t
+
ω
0
,
{\displaystyle \omega =\alpha t+\omega _{0},}
α
=
Δ
ω
Δ
t
{\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}}
v
=
ω
r
{\displaystyle v=\omega r}
a
=
r
α
2
+
ω
4
{\displaystyle a=r{\sqrt {\alpha ^{2}+\omega ^{4}}}}
Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:
a
t
a
n
=
α
r
{\displaystyle a_{\mathrm {tan} }=\alpha r}
a
z
p
=
ω
2
r
{\displaystyle a_{\mathrm {zp} }=\omega ^{2}r}
Definition. Allgemeine Kreisbewegung.
Eine allgemeine Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:
r
→
(
t
)
:=
[
r
cos
(
φ
(
t
)
)
r
sin
(
φ
(
t
)
)
]
,
{\displaystyle {\vec {r}}(t):={\begin{bmatrix}r\cos(\varphi (t))\\r\sin(\varphi (t))\end{bmatrix}},}
wobei φ (t ) ein zeitlich veränderlicher Winkel ist.
Definition. Winkelgeschwindigkeit.
Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung des Winkels nach der Zeit:
ω
=
d
φ
d
t
=
φ
′
(
t
)
.
{\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}=\varphi '(t).}
Definition. Winkelbeschleunigung
Die Winkelbeschleunigung ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit:
α
=
d
ω
d
t
=
φ
″
(
t
)
.
{\displaystyle \alpha ={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}=\varphi ''(t).}
v
=
ω
r
{\displaystyle v=\omega r}
a
=
r
α
2
+
ω
4
{\displaystyle a=r{\sqrt {\alpha ^{2}+\omega ^{4}}}}
Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:
a
t
a
n
=
α
r
{\displaystyle a_{\mathrm {tan} }=\alpha r}
a
z
p
=
ω
2
r
{\displaystyle a_{\mathrm {zp} }=\omega ^{2}r}
a
2
=
a
t
a
n
2
+
a
z
p
2
.
{\displaystyle a^{2}=a_{\mathrm {tan} }^{2}+a_{\mathrm {zp} }^{2}.}
Die folgenden vektoriellen Beziehungen sind gültig:
v
→
=
ω
R
(
π
2
)
r
→
{\displaystyle {\vec {v}}=\omega R({\tfrac {\pi }{2}}){\vec {r}}}
a
→
t
a
n
=
α
R
(
π
2
)
r
→
{\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {tan} }=\alpha R({\tfrac {\pi }{2}}){\vec {r}}}
a
→
z
p
=
−
ω
2
r
→
{\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {zp} }=-\omega ^{2}{\vec {r}}}
a
→
=
a
→
t
a
n
+
a
→
z
p
{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{\mathrm {tan} }+{\vec {a}}_{\mathrm {zp} }}
Mit
R
(
π
2
)
=
[
0
−
1
1
0
]
{\displaystyle R({\tfrac {\pi }{2}})={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
ist die Rotationsmatrix gemeint, die einen Vektor um 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht.
Jeder Massepunkt der um eine feste Achse rotiert bewegt sich stets tangential. Um das Entfernen in diese Richtung zu verhindern bedarf es der Zentripetalkraft, welche Radial wirkt, also senkrecht zur Bewegungsrichtung, und so den Massepunkt auf eine Kreisbahn um die Achse zwingt.
Die Zentripetalkraft ist inertial und unterscheidet sich somit von der "Schein" -Zentrifugalkraft.
Für die Zentripetalkraft gilt:
F
→
z
p
:=
m
⋅
a
→
z
p
=
−
m
⋅
ω
2
⋅
r
→
,
{\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {zp} }:=m\cdot {\vec {a}}_{\mathrm {zp} }=-m\cdot \omega ^{2}\cdot {\vec {r}},}
F
z
p
:=
|
F
→
z
p
|
=
m
⋅
ω
2
⋅
r
.
{\displaystyle F_{\mathrm {zp} }:=|{\vec {F}}_{\mathrm {zp} }|=m\cdot \omega ^{2}\cdot r.}
Die Zentrifugalkraft ist im Gegensatz zur Zentripetalkraft eine Scheinkraft, da sie nicht im inertialen äußeren Bezugssystem existiert sondern nur im relativen rotierenden System anscheinend in Erscheinung tritt. Wird ein um eine Achse rotierender Körper losgelassen, bewegt er sich im rotierenden Bezugssystem im ersten Moment Radial fort.
Für die Zentrifugalkraft gilt:
F
→
z
f
=
−
m
ω
→
×
(
ω
→
×
r
)
.
{\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {zf} }=-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times r).}
Dabei ist
m
{\displaystyle m}
ω
→
{\displaystyle {\vec {\omega }}}
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
Für den Spezialfall dass der Körper im rotierenden Bezugssystem ruht, ist die Zentrifugalkraft der Trägheitswiderstand in Bezug auf die Zentripetalkraft:
F
→
z
f
=
−
F
→
z
p
.
{\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {zf} }=-{\vec {F}}_{\mathrm {zp} }.}
Dieser Trägheitswiderstand ist auch im Inertialsystem definiert.
Die folgenden Formeln beschreiben die Bewegung bei konstanter Beschleunigung.
Dies trifft zum Beispiel näherungsweise zu, wenn man Objekte in der Nähe der Erdoberfläche fallenläßt, entsprechend mit anderer Beschleunigung natürlich auch in der Nähe anderer großer Objekte wie Planeten, Monde, Sonnen etc.
g
{\displaystyle g}
h
{\displaystyle h}
ohne Reibung
Das ist der eigentliche freie Fall im Vakuum.
v
=
g
⋅
t
=
2
⋅
g
⋅
h
{\displaystyle v=g\cdot t={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}}
t
=
2
⋅
h
g
{\displaystyle t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}}
s
=
1
2
⋅
g
⋅
t
2
{\displaystyle s={\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}}
mit Reibung
Reibung an sich ist ein recht komplexer Vorgang, bei dem Bewegungsenergie verloren geht, bezogen auf den freien Fall wird dies primär dadurch bewirkt, dass etwas durch die Luft fällt oder durch Wasser als Flüssigkeit.
Je nach Geschwindigkeit und Medium, durch welches die Bewegung führt, ist hat die Reibung andere Effekte.
Fall 1: Newton-Reibung
Dabei wird die Reibungskraft proportional zum Quadrat des Betrages der Geschwindigkeit relativ zum Medium angenommen.
Das tritt besonders bei hohen Geschwindigkeiten oder dichten Medien auf.
Im Falle von Gasen erzeugt das bewegte Objekt im Medium dabei meist Turbulenzen, die einen hohen Energieverlust bedeuten.
Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibung eher zu klein abgeschätzt.
Momentanhöhe:
h
(
t
)
=
H
−
m
α
ln
[
cosh
(
α
g
m
⋅
t
)
]
{\displaystyle h(t)=H-{\frac {m}{\alpha }}\ln \left[\cosh \left({\sqrt {\frac {\alpha g}{m}}}\cdot t\right)\right]}
v
(
t
)
=
−
m
g
α
tanh
(
α
g
m
⋅
t
)
{\displaystyle v(t)=-{\sqrt {\frac {mg}{\alpha }}}\tanh \left({\sqrt {\frac {\alpha g}{m}}}\cdot t\right)}
a
(
t
)
=
−
g
cosh
2
(
α
g
m
⋅
t
)
{\displaystyle a(t)=-{\frac {g}{\cosh ^{2}\left({\sqrt {\frac {\alpha g}{m}}}\cdot t\right)}}}
Grenzgeschwindigkeit:
v
g
=
−
m
g
α
{\displaystyle v_{\mathrm {g} }=-{\sqrt {\frac {mg}{\alpha }}}}
Im Newton-Fall ist
α
=
1
2
⋅
c
w
ρ
A
{\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}\cdot c_{\mathrm {w} }\,\rho \,A}
H
{\displaystyle H}
c
w
{\displaystyle c_{\mathrm {w} }}
Strömungswiderstandskoeffizient
ρ
{\displaystyle \rho }
Luftdichte
A
{\displaystyle A}
Stirnfläche des fallenden Körpers Fall 2: Stokes-Reibung
Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibungskraft proportional zum Betrag der Geschwindigkeit abgeschätzt.
Bei hoher Dichte oder hoher Geschwindigkeit wird damit die Reibung als zu klein abgeschätzt.
h
(
t
)
=
H
+
m
α
g
[
m
α
(
1
−
e
−
(
α
/
m
)
t
)
−
t
]
{\displaystyle h(t)=H+{\frac {m}{\alpha }}g\left[{\frac {m}{\alpha }}\left(1-e^{-(\alpha /m)t}\right)-t\right]}
v
(
t
)
=
m
α
g
(
e
−
(
α
/
m
)
t
−
1
)
{\displaystyle v(t)={\frac {m}{\alpha }}g\left(e^{-(\alpha /m)t}-1\right)}
a
(
t
)
=
−
g
e
−
α
m
t
{\displaystyle a(t)=-g\,e^{-{\frac {\alpha }{m}}t}}
v
g
=
−
m
α
g
{\displaystyle v_{g}=-{\frac {m}{\alpha }}g}
Ort-Zeit-Gesetz
y
=
v
0
t
−
g
2
t
2
+
y
0
{\displaystyle y=v_{0}t-{\frac {g}{2}}t^{2}+y_{0}}
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v
=
v
0
−
g
t
{\displaystyle v=v_{0}-gt}
Ort-Geschwindigkeit-Gesetz
y
=
v
0
2
−
v
2
2
g
+
y
0
{\displaystyle y={\frac {v_{0}^{2}-v^{2}}{2g}}+y_{0}}
Steigzeit
t
u
=
v
0
g
{\displaystyle t_{u}={\frac {v_{0}}{g}}}
Gipfelpunkt
y
u
=
v
0
2
2
g
+
y
0
{\displaystyle y_{u}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}+y_{0}}
v
0
>
0
{\displaystyle v_{0}>0}
Wurf nach oben
v
0
<
0
{\displaystyle v_{0}<0}
Wurf nach unten
x
y
Ort-Zeit-Gesetz
x
=
x
0
+
v
0
t
{\displaystyle x=x_{0}+v_{0}t}
y
=
y
0
−
g
2
t
2
{\displaystyle y=y_{0}-{\frac {g}{2}}t^{2}}
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v
x
=
v
0
{\displaystyle v_{x}=v_{0}}
v
y
=
−
g
t
{\displaystyle v_{y}=-gt}
|
v
→
|
=
v
0
2
+
(
g
t
)
2
{\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{0}^{2}+(gt)^{2}}}}
Wurfparabel
y
=
y
0
−
g
2
v
0
2
(
x
−
x
0
)
2
{\displaystyle y=y_{0}-{\frac {g}{2v_{0}^{2}}}(x-x_{0})^{2}}
x
y
Ort-Zeit-Gesetz
x
=
v
x
(
0
)
t
{\displaystyle x=v_{x}(0)\,t}
y
=
v
y
(
0
)
t
−
g
2
t
2
{\displaystyle y=v_{y}(0)\,t-{\frac {g}{2}}t^{2}}
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
v
x
=
v
x
(
0
)
{\displaystyle v_{x}=v_{x}(0)}
v
y
=
v
y
(
0
)
−
g
t
{\displaystyle v_{y}=v_{y}(0)-gt}
Startgeschwindigkeit
v
x
(
0
)
=
v
0
cos
α
{\displaystyle v_{x}(0)=v_{0}\cos \alpha }
v
y
(
0
)
=
v
0
sin
α
{\displaystyle v_{y}(0)=v_{0}\sin \alpha }
v
0
:=
|
v
→
0
|
=
v
x
(
0
)
2
+
v
y
(
0
)
2
{\displaystyle v_{0}:=|{\vec {v}}_{0}|={\sqrt {v_{x}(0)^{2}+v_{y}(0)^{2}}}}
Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.
Eine auf einen Körper wirkende Kraft
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
F
→
=
d
d
t
p
→
{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\;{\vec {p}}}
Ist die Masse
m
{\displaystyle m}
F
→
=
m
d
d
t
v
→
=
m
⋅
a
→
{\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {v}}=m\cdot {\vec {a}}}
Kraft gleich Gegenkraft : Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich großen, aber entgegen gerichteten Kraft von Körper B auf Körper A einher.
F
→
A
→
B
=
−
F
→
B
→
A
{\displaystyle {\vec {F}}_{A\to B}=-{\vec {F}}_{B\to A}}
Geschwindigkeiten vor dem Stoß:
v
1
,
v
2
.
{\displaystyle v_{1},v_{2}.}
Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
u
,
u
1
,
u
2
.
{\displaystyle u,u_{1},u_{2}.}
Impulserhaltung:
m
1
⋅
v
1
+
m
2
⋅
v
2
=
m
1
⋅
u
1
+
m
2
⋅
u
2
.
{\displaystyle m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot v_{2}=m_{1}\cdot u_{1}+m_{2}\cdot u_{2}.}
Energieerhaltung:
1
2
m
1
⋅
v
1
2
+
1
2
m
2
⋅
v
2
2
=
1
2
m
1
⋅
u
1
2
+
1
2
m
2
⋅
u
2
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}\cdot v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\cdot v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}\cdot u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}\cdot u_{2}^{2}.}
Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
u
1
=
m
1
⋅
v
1
+
m
2
⋅
(
2
v
2
−
v
1
)
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle u_{1}={\frac {m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot (2\ v_{2}-v_{1})}{m_{1}+m_{2}}}.}
u
2
=
m
2
⋅
v
2
+
m
1
⋅
(
2
v
1
−
v
2
)
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle u_{2}={\frac {m_{2}\cdot v_{2}+m_{1}\cdot (2\ v_{1}-v_{2})}{m_{1}+m_{2}}}.}
Spezialfall: bei gleichen Massen:
u
1
=
v
2
u
2
=
v
1
.
{\displaystyle u_{1}=v_{2}\qquad u_{2}=v_{1}.}
Impulserhaltung:
m
1
⋅
v
1
+
m
2
⋅
v
2
=
(
m
1
+
m
2
)
⋅
u
.
{\displaystyle m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot v_{2}=(m_{1}+m_{2})\cdot u.}
Verringerung der kinetischen Energie (Verformungsenergie):
1
2
(
m
1
⋅
v
1
2
+
m
2
⋅
v
2
2
)
−
1
2
(
m
1
+
m
2
)
⋅
u
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{1}\cdot v_{1}^{2}+m_{2}\cdot v_{2}^{2})-{\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})\cdot u^{2}.}
Geschwindigkeit
u
{\displaystyle u}
u
=
m
1
⋅
v
1
+
m
2
⋅
v
2
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle u={\frac {m_{1}\cdot v_{1}+m_{2}\cdot v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}
Änderung der Bewegungsenergie ("Verlust"):
Δ
E
=
(
E
kin.vor
−
E
kin.nach
)
⋅
(
1
−
k
2
)
=
1
2
(
1
−
k
2
)
⋅
m
1
⋅
m
2
m
1
+
m
2
⋅
(
v
1
−
v
2
)
2
.
{\displaystyle \Delta E=(E_{\text{kin.vor}}-E_{\text{kin.nach}})\cdot (1-k^{2})={\frac {1}{2}}(1-k^{2})\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot (v_{1}-v_{2})^{2}.}
Stoßzahl:
k
=
u
2
−
u
1
v
1
−
v
2
.
{\displaystyle k={\frac {u_{2}-u_{1}}{v_{1}-v_{2}}}.}
Außerdem gilt:
u
1
=
v
1
⋅
(
m
1
−
k
⋅
m
2
)
+
v
2
⋅
(
1
+
k
)
⋅
m
2
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle u_{1}={\frac {v_{1}\cdot (m_{1}-k\cdot m_{2})+v_{2}\cdot (1+k)\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}
u
2
=
v
2
⋅
(
m
2
−
k
⋅
m
1
)
+
v
1
⋅
(
1
+
k
)
⋅
m
1
m
1
+
m
2
.
{\displaystyle u_{2}={\frac {v_{2}\cdot (m_{2}-k\cdot m_{1})+v_{1}\cdot (1+k)\cdot m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}.}
Dichte = Masse / Volumen:
ρ
=
m
V
.
{\displaystyle \rho ={\frac {m}{V}}.}
Druck = senkrecht wirkende Kraft / Fläche:
p
=
|
F
→
⊥
|
|
A
→
|
.
{\displaystyle p={\frac {|{\vec {F}}_{\perp }|}{|{\vec {A}}|}}.}
Einheit: Pa (Pascal)}
Schweredruck:
p
=
F
G
A
=
m
⋅
g
A
=
ρ
⋅
h
⋅
g
.
{\displaystyle p={\frac {F_{G}}{A}}={\frac {m\cdot g}{A}}=\rho \cdot h\cdot g.}
Auftriebskraft:
F
A
=
ρ
⋅
V
⋅
g
.
{\displaystyle F_{A}=\rho \cdot V\cdot g.}
(siehe Link)
Definition. Gibt es ein (auf einer offenen Teilmenge des euklidischen Raumes definiertes,
stetig differenzierbares) Skalarfeld
U
(
r
→
)
{\displaystyle U({\vec {r}})}
F
→
(
r
→
)
=
−
∇
U
(
r
→
)
,
{\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}}),}
so nennt man
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
U
{\displaystyle U}
k
{\displaystyle k}
E
pot
(
r
→
)
=
k
⋅
U
(
r
→
)
.
{\displaystyle E_{\text{pot}}({\vec {r}})=k\cdot U({\vec {r}}).}
Triviale Eichfreiheit: Das Potential ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.
Potentialfelder sind Rotationsfrei:
∇
×
F
→
=
0.
{\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}=0.}
Die Arbeit im Potentialfeld ist wegunabhängig:
W
=
−
∫
γ
⟨
∇
U
(
r
→
)
,
d
r
→
⟩
=
U
(
r
→
1
)
−
U
(
r
→
2
)
,
{\displaystyle W=-\int _{\gamma }\langle \nabla U({\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {r}}\rangle =U({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2}),}
wobei
U
=
E
p
o
t
{\displaystyle U=E_{\mathrm {pot} }}
γ
(
t
)
=
r
→
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)={\vec {r}}(t)}
γ
(
0
)
=
r
→
1
{\displaystyle \gamma (0)={\vec {r}}_{1}}
γ
(
1
)
=
r
→
2
{\displaystyle \gamma (1)={\vec {r}}_{2}}
W
<
0
{\displaystyle W<0}
Arbeit muss aufgebracht werden
W
>
0
{\displaystyle W>0}
Arbeit wird freigegeben
Einer Punktmasse, die sich auf der Parameterkurve
r
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {r}}(t)}
t die kinetische Energie
E
kin
(
t
)
=
1
2
m
|
v
→
(
t
)
|
2
=
1
2
m
|
r
→
′
(
t
)
|
2
{\displaystyle E_{\text{kin}}(t)={\tfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}(t)|^{2}={\tfrac {1}{2}}m|{\vec {r}}'(t)|^{2}}
zugeordnet. Befindet sich die Punktmasse in einem Potentialfeld, so besitzt sie am Ort
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
E
pot
(
r
→
)
.
{\displaystyle E_{\text{pot}}({\vec {r}}).}
Bei der Bewegung der Punktmasse im Potentialfeld gilt:
d
d
t
E
kin
(
t
)
+
d
d
t
E
pot
(
r
→
(
t
)
)
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}E_{\text{kin}}(t)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}E_{\text{pot}}({\vec {r}}(t))=0.}
Nach Integration bekommt die Gleichung die Gestalt:
E
kin
(
t
1
)
+
E
pot
(
r
→
(
t
1
)
)
=
E
kin
(
t
2
)
+
E
pot
(
r
→
(
t
2
)
)
.
{\displaystyle E_{\text{kin}}(t_{1})+E_{\text{pot}}({\vec {r}}(t_{1}))=E_{\text{kin}}(t_{2})+E_{\text{pot}}({\vec {r}}(t_{2})).}
In Kurzschreibweise:
T 1 +V 1 = T 2 +V 2 mit T =E kin und V =E pot .
In Worten:
Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist die Gesamtenergie einer Punktmasse in einem Potentialfeld. Die Gesamtenergie ist konstant, sie hat zu jedem Zeitpunkt den selben Wert.
Potential
Potentielle Energie
Potentialfeld
Höhenpotential
U
(
h
)
=
m
g
h
{\displaystyle U(h)=mgh}
E
pot
=
U
(
h
)
{\displaystyle E_{\text{pot}}=U(h)}
F
(
h
)
=
−
∇
U
(
h
)
=
−
m
g
{\displaystyle F(h)=-\nabla U(h)=-mg}
Potential einer Feder
U
(
s
)
=
1
2
D
s
2
{\displaystyle U(s)={\tfrac {1}{2}}Ds^{2}}
E
pot
=
U
(
s
)
{\displaystyle E_{\text{pot}}=U(s)}
F
(
s
)
=
−
∇
U
(
s
)
=
−
D
s
{\displaystyle F(s)=-\nabla U(s)=-Ds}
Gravitationspotential einer kugelförmigen Masse
M
{\displaystyle M}
U
(
r
→
)
=
−
G
M
|
r
→
|
{\displaystyle U({\vec {r}})=-{\frac {GM}{|{\vec {r}}|}}}
E
pot
=
m
U
(
r
→
)
{\displaystyle E_{\text{pot}}=mU({\vec {r}})}
g
→
(
r
→
)
=
−
∇
U
(
r
→
)
=
−
G
M
r
→
|
r
→
|
3
{\displaystyle {\vec {g}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})=-GM{\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|^{3}}}}
Elektrisches Potential einer Ladung
Q
{\displaystyle Q}
U
(
r
→
)
=
Q
4
π
ε
0
|
r
→
|
{\displaystyle U({\vec {r}})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}|{\vec {r}}|}}}
E
pot
=
q
U
(
r
→
)
{\displaystyle E_{\text{pot}}=qU({\vec {r}})}
E
→
(
r
→
)
=
−
∇
U
(
r
→
)
=
Q
r
→
4
π
ϵ
0
|
r
→
|
3
{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})=-\nabla U({\vec {r}})={\frac {Q{\vec {r}}}{4\pi \epsilon _{0}|{\vec {r}}|^{3}}}}
Das Gravitationsgesetz lautet:
F
→
=
G
⋅
m
1
⋅
m
2
r
2
{\displaystyle {\vec {F}}=G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}}}
Für die Hubarbeit im Gravitationsfeld ergibt sich:
W
H
=
F
G
⋅
h
.
{\displaystyle W_{H}=F_{G}\cdot h.}
Daraus folgt:
W
H
=
G
⋅
M
⋅
m
r
2
⋅
h
{\displaystyle W_{H}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\cdot h}
oder:
W
H
=
m
⋅
G
⋅
M
r
2
⋅
h
{\displaystyle W_{H}=m\cdot {\frac {G\cdot M}{r^{2}}}\cdot h}
oder:
W
H
=
m
⋅
g
⋅
h
.
{\displaystyle W_{H}=m\cdot g\cdot h.}
Für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld gilt:
E
p
o
t
=
−
G
⋅
m
1
⋅
m
2
r
{\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=-G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r}}}
mit:
Gravitationskraft
F
{\displaystyle F}
Massen der sich anziehenden Körper:
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
Abstand der sich anziehenden Körper:
r
{\displaystyle r}
Richtung zwischen den sich anziehenden Körpern:
e
→
r
{\displaystyle {\vec {e}}_{r}}
Gravitationskonstante:
G
=
(
6,674
2
±
0,001
0
)
⋅
10
−
11
m
3
k
g
s
2
{\displaystyle G=(6{,}6742\pm 0{,}0010)\cdot 10^{-11}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}} }
Auf der Erde gilt:
Kraft = Masse · Erdbeschleunigung
F
=
m
⋅
g
{\displaystyle F=m\cdot g}
Die Erdbeschleunigung g hängt von der geografischen Breite und der Höhe über Meeresniveau ab und ist am Äquator ca. g = 9,780 m/s² und an den Polen ca. g = 9,832 m/s².
Erdbeschleunigung:
g
=
G
⋅
M
r
2
{\displaystyle g={\frac {G\cdot M}{r^{2}}}}
mit
Erdmasse:
M
=
5,972
⋅
10
24
k
g
{\displaystyle M=5{,}972\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg} }
Erdradius:
r
=
6371
k
m
{\displaystyle r=6371\,\mathrm {km} }
Gravitationskonstante:
G
=
6,674
⋅
10
−
11
m
3
k
g
s
2
{\displaystyle G=6{,}674\cdot 10^{-11}\,{\frac {\mathrm {m^{3}} }{\mathrm {kg\,s^{2}} }}}
Diese Formel liefert etwa 9,82 m/s².
1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit)
Die 1. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:
v
K
=
G
⋅
M
r
{\displaystyle v_{K}={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}}
M
{\displaystyle M}
r
{\displaystyle r}
v
K, Erde
=
7
,
9
k
m
s
{\displaystyle v_{\text{K, Erde}}=7{,}9\,\mathrm {\frac {km}{s}} }
Herleitung :
Bei einer Kreisbewegung eines Probekörpers
m
{\displaystyle m}
M
{\displaystyle M}
F
Z
f
{\displaystyle F_{Zf}}
F
G
{\displaystyle F_{G}}
Zentrifugalkraft
F
Z
f
{\displaystyle F_{Zf}}
F
G
{\displaystyle F_{G}}
Daraus folgt:
v
2
⋅
m
r
=
G
⋅
M
⋅
m
r
2
{\displaystyle {\frac {v^{2}\cdot m}{r}}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}}
Umstellen nach
v
{\displaystyle v}
v
=
G
⋅
M
r
{\displaystyle v={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}}
2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)
Die 2. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:
v
F
=
2
⋅
G
⋅
M
r
{\displaystyle v_{F}={\sqrt {\frac {\,2\cdot G\cdot M}{r}}}}
v
F, Erde
=
11
,
2
k
m
s
{\displaystyle v_{\text{F, Erde}}=11{,}2\,\mathrm {\frac {km}{s}} }
Herleitung:
Bei der minimalen Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gerade gleich der Gravitationsenergie .
Kinetische Energie
E
kin
{\displaystyle E_{\text{kin}}}
E
G
{\displaystyle E_{G}}
Daraus folgt:
1
2
⋅
m
⋅
v
2
=
G
⋅
M
⋅
m
r
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r}}}
Umstellen nach
v
{\displaystyle v}
v
=
2
⋅
G
⋅
M
r
.
{\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{r}}}.}
Definition. Federkraft = Federkonstante · Federverlängerung:
F
=
D
⋅
Δ
l
{\displaystyle F=D\cdot \Delta l}
oder:
F
=
D
⋅
s
.
{\displaystyle F=D\cdot s.}
Es ist zu beachten, dass die Rückstellkraft die entgegengesetzte Richtung wie die Verlängerung hat (Feder wird wieder kürzer).
Für eine Verlängerung müsste ein Minus [-] eingefügt werden, um die Richtung miteinzubeziehen:
F
=
−
D
⋅
s
.
{\displaystyle F=-D\cdot s.}
Für die Spannarbeit an einer Feder ergibt sich:
W
Spann
=
1
2
D
⋅
s
2
.
{\displaystyle W_{\text{Spann}}={\frac {1}{2}}\ D\cdot s^{2}.}
Spannenergie einer Feder:
E
Spann
=
E
pot
=
1
2
D
⋅
s
2
{\displaystyle E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\cdot s^{2}}
mit:
D
{\displaystyle D}
s
:
{\displaystyle s\colon }
Spannenergie einer Drehfeder:
E
Spann
=
E
pot
=
1
2
D
⋅
φ
2
{\displaystyle E_{\text{Spann}}=E_{\text{pot}}={\frac {1}{2}}\,D\ \cdot \varphi ^{2}}
mit:
D
:
{\displaystyle D\colon }
φ
:
{\displaystyle \varphi \colon }
Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand:
σ
=
E
⋅
ε
.
{\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon .}
Daraus folgt das E-Modul:
E
=
σ
ε
{\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}}
oder für die Verzerrung:
ε
=
σ
E
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}}
wobei:
σ
{\displaystyle \sigma }
Spannung (Kraft pro Fläche)
ε
{\displaystyle \varepsilon }
Verzerrung (Längenänderung durch ursprüngliche Länge)
E
{\displaystyle E}
Elastizitätsmodul (auch Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul, E.Modul usw.).Verzerrungstensor
Der Verzerrungstensor lautet:
ε
i
j
:=
1
2
(
∂
u
i
∂
x
j
+
∂
u
j
∂
x
i
)
,
{\displaystyle \varepsilon _{ij}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right),}
wobei:
u
→
=
(
u
i
)
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle {\vec {u}}=\left(u_{i}\right)_{i\in \{1,2,3\}}}
Der Verzerrungstensor ist symmetrisch:
ε
i
j
=
ε
j
i
.
{\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}.}
Spannungstensor
(siehe Link)
Tensorielle Form des Hookschen Gesetzes
Die tensorielle Form des Hookeschen Gesetzes lautet:
σ
i
j
=
∑
k
l
c
i
j
k
l
⋅
ε
k
l
.
{\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl}.}
Für die Spannung bei einem Stab der Länge
l
0
{\displaystyle l_{0}}
σ
x
=
F
x
A
{\displaystyle \sigma _{x}={\frac {F_{x}}{A}}}
mit:
F
x
:
{\displaystyle F_{x}:}
A
:
{\displaystyle A:}
Für die Dehung eines Stabes in x-Richtung ergibt sich:
ε
=
Δ
l
l
0
.
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}.}
Das Hookesche Gesetz lautete:
σ
=
E
⋅
ε
.
{\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon .}
Durch Einsetzen und Umstellen erhält mann:
F
x
=
E
⋅
A
⋅
Δ
l
l
0
.
{\displaystyle F_{x}=E\cdot A\cdot {\frac {\Delta l}{l_{0}}}.}
Dieses erweitere Hookesche Gesetz lässt sich dort anwenden, wo die wirkende Kraft nahezu linear von der Ausdehnung bzw. Auslenkung abhängt, und ist eine Verallgemeinerung des Hookeschen Gesetzes für Federn.
Parallelschaltung
Für die Parallelschaltung von Federn ergibt sich:
D
=
D
1
+
D
2
+
D
3
+
⋯
+
D
n
=
∑
i
=
1
n
D
i
.
{\displaystyle D=D_{1}+D_{2}+D_{3}+\dots +D_{n}=\sum _{i=1}^{n}D_{i}.}
Reihenschaltung
Für die Reihenschaltung von Federn ergibt sich:
1
D
=
1
D
1
+
1
D
2
+
1
D
3
+
⋯
+
1
D
n
=
∑
i
=
1
n
1
D
i
.
{\displaystyle {\frac {1}{D}}={\frac {1}{D_{1}}}+{\frac {1}{D_{2}}}+{\frac {1}{D_{3}}}+\dots +{\frac {1}{D_{n}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{D_{i}}}.}
Federschaltungen verhalten sich in diesem Sinne wie Kondensatorschaltungen.
Jede Feder kann sich jedoch nur bis zu einem bestimmten Punkt ausdehnen.
(siehe Link)
Weg-Zeit-Gesetz des Federpendels :
s
(
t
)
=
s
^
⋅
cos
ω
t
{\displaystyle s(t)={\hat {s}}\cdot \cos \omega t}
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des Federpendels :
v
(
t
)
=
−
ω
s
^
⋅
sin
ω
t
{\displaystyle v(t)=-\omega {\hat {s}}\cdot \sin \omega t}
Beschleunigungs-Zeit-Gesetz des Federpendels :
a
(
t
)
=
−
ω
2
s
^
⋅
cos
ω
t
{\displaystyle a(t)=-\omega ^{2}{\hat {s}}\cdot \cos \omega t}
Frequenz des Federpendels :
f
=
1
2
π
D
m
{\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {D}{m}}}}
Schwingungsdauer des Federpendels :
T
=
2
π
m
D
{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{D}}}}
(siehe Link)
(siehe Link)
(siehe Link)
![{\displaystyle [F]=\mathrm {N} :={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd8a5501aee085e2422852493f23452c20c8748)
![{\displaystyle [W]=\mathrm {J} :={\frac {\mathrm {kg} \cdot \mathrm {m} ^{2}}{\mathrm {s} ^{2}}}=\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} =\mathrm {W} \cdot \mathrm {s} =\mathrm {V} \cdot \mathrm {A} \cdot s=\mathrm {V} \cdot \mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc08e8162c310169b928bf4f39c7fc02606163b7)
![{\displaystyle T=\left[t_{1},t_{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67845b4a339649bdc5978994b3d994d8fa0fac4e)
![{\displaystyle h(t)=H-{\frac {m}{\alpha }}\ln \left[\cosh \left({\sqrt {\frac {\alpha g}{m}}}\cdot t\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea40996844a65911d1238d425bd3561c7c54a2c)
![{\displaystyle h(t)=H+{\frac {m}{\alpha }}g\left[{\frac {m}{\alpha }}\left(1-e^{-(\alpha /m)t}\right)-t\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd73e10feb3029b7ec31f79c38af5943d7062a5a)
