Till Eulenspiegels lustige Serie/ Druckversion

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Till Eulenspiegels lustige Serie

HauptteilBearbeiten

Dieses Wikibook beschäftigt sich mit der verblüffenden Ähnlichkeit bei den Verhältnissen der Schwingungsfrequenzen der Balmer-Serie mit den Verhältnissen der Schallfrequenzen des einleitenden Motivs der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche von   Richard Strauss (* 1864; † 1949).

Es steht außer Zweifel, dass für solche kompositorischen Transferleistungen nicht nur eine überragende Musikalität eine Voraussetzung ist, sondern dass Richard Strauss auch über die erforderliche Genialität und den Einfallsreichtum verfügte, um aus dem physikalischen Basismaterial derart hochrangige Werke zu erschaffen.

EinleitungBearbeiten

 
Titelblatt des Buches Ein kurtzweilig lesen von Dyl Ulenspiegel gebore vß dem land zu Brunßwick : wie er sein leben volbracht hatt ; XCVI seiner geschichten, Straßburg, 1515

  Till Eulenspiegel soll im 14. Jahrhundert ein umherstreifender gerissener Schalk gewesen sein, der sich dumm stellte und seinen Mitmenschen viele Streiche spielte.

Die nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker   Johann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannte Balmer-Serie beschreibt eine Folge von Spektrallinien im Spektrum von Wasserstoffatomen, die durch spezifische Frequenzen oder Wellenlängen elektromagnetischer Strahlung beschrieben werden können und von denen fünf Linien im Bereich des sichtbaren Lichts liegen. Diese sind zunächst im Sonnenlicht nachgewiesen worden, da das chemische Element Wasserstoff Hauptbestandteil von Sternen ist und das Sonnenlicht wegen seiner großen Helligkeit sehr gut untersucht werden kann. Später wurden die Wasserstofflinien auch im Licht heller Sterne nachgewiesen, wie zum Beispiel beim hellsten Stern des Nachthimmels, nämlich Sirius (α Canis Majoris) im Sternbild Großer Hund.

In der Zeit als die Komposition entstand, hatten die Komponisten Richard Strauss und der Mathematiker und Komponist   Hans Sommer (* 1837; † 1922, eigentlich Hans Zincken genannt Sommer), der in der Optik sehr bewandert war, in Weimar Freundschaft geschlossen.[1] Es könnte daher gut sein, dass Richard Strauss damals über seinen väterlichen Freund Hans Sommer von aktuellen physikalischen Entdeckungen und somit auch von der optischen Balmer-Serie erfahren hat. Mit dessen Hilfe könnte er die auf Schallfrequenzen übertragenen Frequenzen der fünf sichtbaren Spektrallinien - quasi schalkhaft - für die fünf Töne c - f - g - gis - a des Eingangsmotivs seiner Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche verwendet haben.

Die Balmer-SerieBearbeiten

Die Atome oder Moleküle eines Gases können durch Energiezufuhr angeregt werden. Hierbei werden die Elektronen in der Atomhülle auf höhere diskrete Energieniveaus gebracht. Durch spontane Emission fallen die Elektronen irgendwann zufällig in ein niedrigeres Energieniveau zurück, wobei die dabei frei werdende Energie als elektromagnetische Strahlung in Form eines Photons abgestrahlt wird, dessen Schwingungsfrequenz   über die Lichtgeschwindigkeit   ausgedrückt werden kann, die eine festgelegte Größe von 299792458 Meter pro Sekunde hat:

 

Hierbei ist   die Wellenlänge des vom Atom emittierten Lichtteilchens, und jede Wellenlänge entspricht einer bestimmten gesättigten Farbe. Weißes Licht hat ein kontinuierliches Spektrum mit praktisch allen sichtbaren Wellenlängen:

 

Werden Atome durch Licht angeregt, werden die Photonen mit den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen dabei vernichtet (absorbiert), und im entsprechenden Absorptionsspektrum ist bei der dazugehörigen Wellenlänge eine dunkle Linie zu sehen. Wird ein Gas zu einem Plasmaleuchten angeregt, werden nur bei den zu den Energieniveaus passenden Wellenlängen Photonen erzeugt (emittiert), die im Emissionsspektrum dann als helle Linien zu sehen sind.

Die Lage dieser Linien auf dem Bildschirm eines optischen Spektrometers hängt von den von der Wellenlänge des untersuchten Lichtes abhängigen Brechungswinkeln des verwendeten Glasprismas beziehungsweise von den Eigenschaften des verwendeten Beugungsgitters ab. Die erzielten Brechungswinkel werden also durch die geometrische Anordnung in den eingesetzten optischen Geräten bestimmt.

 
Gewinnung des Wasserstoffemissionsspektrums mit einem optischen Prisma: Die Lichtquelle auf der linken Seite mit zum Leuchten angeregtem Wasserstoff wird über eine Sammellinse in einen Spalt abgebildet. Der Spalt wird durch eine Kollimatorlinse nach Unendlich abgebildet, und diese Strahlen werden durch ein Dreiecksprisma geschickt. Dieses Prisma spaltet das einfallende Licht je nach Wellenlänge in verschiedene Richtungen auf (Dispersion); rotes Licht wird schwächer abgelenkt als violettes Licht. Mit einer weiteren Linse wird der Spalt auf einen Schirm (rechts unten) abgebildet, wo die Spektrallinien erkennbar werden.
→ Siehe hierzu auch Wikibook Digitale bildgebende Verfahren / Ablenkung von Lichtstrahlen

Diese Wellenlängen sind auch vom Absorptionsspektrum des Lichtes der Sterne bekannt, allen voran unserer Sonne, da diese zu einem sehr großen Teil aus Wasserstoff bestehen und einen hohen Energieumsatz haben. Der englische Arzt, Physiker und Chemiker   William Hyde Wollaston (* 1766; † 1828) hat 1802 als erster solche dunklen Linien im Sonnenspektrum beschrieben. Sie wurden unabhängig von ihm 1814 auch vom deutschen Optiker und Physiker   Joseph von Fraunhofer (* 1787; † 1826) entdeckt und systematisch untersucht.

 
Johann Jakob Balmer um 1880.

Wenn das angeregte Elektron sich in einem Wasserstoffatom befindet und von einem höheren Energieniveau   zum zweittiefsten Energieniveau   übergeht, ergeben sich die Wellenlängen   der Balmer-Serie. Die Spektrallinien dieser Serie sind nach dem Schweizer Mathematiker und Physiker Johann Jakob Balmer (* 1825; † 1898) benannt, der die mathematische Gesetzmäßigkeit 1884 anhand seiner empirisch gefundenen, verallgemeinerten Balmer-Formel für die Wellenlängen   in den Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel darstellen konnte:[2]

  mit   und  

Hierbei ist   eine konstante Wellenlänge im Ultravioletten. Balmer nannte sie die Grundzahl des Wasserstoffs und gab ihren Wert mit 3645,6 Angström beziehungsweise 364,56 Nanometer bedingt durch die damaligen Messgenauigkeiten geringfügig höher an.

Die Existenz von Energieniveaus war zu dieser Zeit allerdings noch gar nicht bekannt, und die zeitgenössischen Forscher waren wegen der fehlenden Erklärung wie elektrisiert. Johann Jakob Balmer schrieb hierzu in seiner Veröffentlichung:

Es sind besonders die numerischen Verhältnisse der Wellenlängen der ersten vier Wasserstofflinien, welche die Aufmerksamkeit reizen und fesseln. Die Verhältnisse dieser Wellenlängen lassen sich nämlich überraschend genau durch kleine Zahlen ausdrücken.

Der Unterschied zwischen den berechneten und beobachteten Wellenlängen ist so klein, dass die Übereinstimmung im höchsten Grade überraschen muss.

Aus diesen Vergleichungen ergibt sich [...], dass die Formel auch für die fünfte [...] Wasserstofflinie zutrifft.

Die Koeffizienten   der Balmer-Serie, die sich für   aus dem Klammerausdruck ergeben, hat Johann Jakob Balmer ebenfalls angegeben:

 

Diese Koeffizienten   und die dazugehörigen Wellenlängen   lauten mit der zusätzlichen Definition   für die ersten fünf Spektrallinien der Balmer-Serie mit  :

m Rationaler Wert von   Dezimalwert von   Verhältnis   Dezimalwert des Kehrwerts   Wellenlänge   in Nanometer
3         656,112
4         486,009
5         433,937
6         410,070
7         396,907
 
Die Intensität der fünf langwelligsten und sichtbaren Spektrallinien der Balmer-Serie  ,  ,  ,   und   über der Lichtwellenlänge  .

Balmer gab in seiner Veröffentlichung unter anderem die von   Anders Jonas Ångström (* 1814; † 1874) in seinem Werk über das Sonnenspektrum von 1862 experimentell bestimmten Wellenlängen für die sichtbaren Wasserstofflinien an:[3]

m Wellenlänge
  in Nanometer
Bezeichnung Bezeichnung
nach Fraunhofer
Farbbezeichnung Farbe Frequenz der Wasserstofflinie
  in Hertz
3 656,2   C-Linie Rot  
4 486,1   F-Linie Blaugrün  
5 434,0   vor G Blau  
6 410,1   h-Linie Violett  
7 396,8   nahe vor   Violett  
 
Der sichtbare Bereich des Wasserstoffspektrums mit den Linien der Balmer-Serie. Die Wellenlängen des emittierten Lichtes werden von links (violett) nach rechts (rot) immer größer, die Frequenzen immer kleiner. Solche Lichtspektren können beispielsweise durch die Brechung von Licht, das aus einer Lichtquelle stammt, an einem Prisma gewonnen werden. Je nach Dispersion des optischen Glases, aus dem das Prisma besteht, ergeben sich für verschiedene Wellenlängen unterschiedliche Brechungswinkel.

Alternativ können diese Serien auch mit der Rydberg-Konstante   für die Frequenzen   beschrieben werden:

  mit   und  

Die Frequenz  , die sich mit der Grundzahl des Wasserstoffs für   bei der Balmer-Serie mit   ergibt, kann also folgendermaßen berechnet werden:

 

Die KompositionBearbeiten

Till Eulenspiegels lustige StreicheBearbeiten

 
Richard Strauss im Entstehungsjahr 1894 der sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche.
Till Eulenspiegels lustige Streiche im Jahr 2001 gespielt von der United States Navy Band.

Till Eulenspiegels lustige Streiche sind neun Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie vom deutschen Komponisten Richard Strauss (* 1864; † 1949) komponiert worden. Es handelt sich um eine Tondichtung für großes Orchester mit einer Aufführungsdauer von fünfzehn Minuten, die zwischen 1893 und 1894 entstanden ist, nachdem Richard Strauss mehrere Monate in Griechenland und Ägypten verbracht hatte, um sich von den Spätfolgen einer Lungenentzündung zu erholen, und nachdem seine Oper Guntram fertig geworden worden war.

Ursprünglich hatte Richard Strauss offenbar geplant, das Werk unmittelbar mit dem bekannten und markanten sechstaktigen Till-Eulenspiegel-Motiv beginnen zu lassen. Der fünftaktige Prolog wurde von Richard Strauss erst im Laufe der Überarbeitung als Beginn der Komposition hinzugefügt. Im Verlauf der Komposition taucht das Till-Eulenspiegel-Motiv dann erst am Ende erneut auf.

Der Prolog wurde vom Komponisten schließlich mit den Worten "Es war einmal ein Schalknarr..." und "gemächlich" betitelt, das unmittelbar darauffolgende Till-Eulenspiegel-Motiv mit den Worten "...Namens „Till Eulenspiegel“" und "allmählich" lebhafter".[4]

Der Beginn der Komposition ist in F-Dur notiert, und die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs sind c - f - g - gis - a. Sie werden zwei Mal wiederholt:

 
Die sechs Takte direkt nach dem Prolog der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche mit dem vollständigen von einem Solohorn zu spielenden Till-Eulenspiegel-Motiv.
Die dreimal hintereinander erklingenden ersten fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs.

Die Sinfonische Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche trägt die Opus-Zahl 28, und sie wurde unter der Leitung des deutschen Komponisten Franz Wüllner (* 1832; † 1902) am 5. November 1895 in Köln uraufgeführt.

Also sprach ZarathustraBearbeiten

Bemerkenswert ist in diesem Zusammenhang, dass die kurz danach entstandene Sinfonische Dichtung von Richard Strauss mit der Opus-Zahl 30, Also sprach Zarathustra, ebenfalls sehr deutliche Bezüge physikalischen Zahlenverhältnissen hat und ein Eingangsmotiv mit fünf Tönen verwendet.

Das in der Einleitung Sonnenaufgang verwendete Eingangsmotiv ist auch aus einer physikalischen Zahlenreihe, nämlich der Naturtonreihe abgeleitet, wobei deren erster, zweiter, dritter, vierter und fünfter Ton mit den Frequenzverhältnissen 1:1, 2:1, 3:2, 4:3 und 5:4 in Bezug auf den Grundton eine zentrale Rolle spielen.

 
Die ersten acht Takte der Sinfonischen Dichtung Also sprach Zarathustra mit den Stimmen der Trompeten, der Posaunen, der Pauken und der großen Trommel.
Orchesteraufnahme der gesamten Einleitung mit der Überschrift Sonnenaufgang.

Strauss verwendet erneut das C als Basiston, der als Oktave auf Groß-C und Klein-c zunächst vier Takte lang in den Kontrabässen, im Orgelpedal und im Kontrafagott ausgehalten wird, bevor die vier C-Trompeten mit ihrem markanten aufsteigenden Motiv dazukommen. Für sein Trompetenmotiv verwendet Richard Strauss die nächsten vier Töne der Naturtonreihe c', g', c" und e", so dass schließlich ein fast vom gesamten Orchester gespielter, strahlender C-Dur-Akkord erklingt, der durch die Alteration des Terztons sogleich nach c-Moll verändert wird. Nach einem kurzen triolischen Zwischenspiel der Pauken mit den beiden Quarttönen G und c erklingt das Trompetenmotiv erneut mit umgekehrter Akkordfolge c-Moll und C-Dur. Wie auch in der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspielgels lustige Streiche wird das Motiv ein drittes Mal gespielt und dann weiterentwickelt, wobei der aufgebaute C-Dur-Akkord bei diesem Mal als Dominante zu dem danach folgenden F-Dur gedeutet werden kann. Nach vier Takten schließt die Einleitung mit einem erneuten und lang ausgehaltenen C-Dur im Fortissimo, welches von allen Instrumenten gespielt wird.

Im weiteren Verlauf des Orchesterstückes spielt Richard Strauss im Abschnitt Der Genesende auch noch mit der in der Astronomie bedeutenden Zahl Zwölf, indem er eine Zwölftonreihe einführt.[5]

 
Zwölftonmotiv zu Beginn des Abschnitts "Der Genesende" der Sinfonischen Dichtung "Also sprach Zarathustra" von Richard Strauss in den Celli, Kontrabässen und Posaunen. Die ersten drei Töne e - h - e' entsprechen den drei Naturtönen des Trompetenmotivs aus der Einleitung der Komposition, bei denen es erst eine Quinte und dann eine weitere Quarte nach oben geht. Die zwölf Töne von dem Ton e' bis zum letzten Ton c' liegen innerhalb einer Oktave und stellen eine Zwölftonreihe dar, da alle eine andere Tonhöhe haben: e' - es' - b - ges - g - h - d' - cis' - gis - f - a - c'. Beim vom vorletzten zum letzten Takt übergebundenen Ton eis handelt es sich um eine enharmonische Verwechslung des darauffolgenden Tones f.
Zwölftonmotiv zu Beginn des Abschnitts "Der Genesende" der Sinfonischen Dichtung "Also sprach Zarathustra" von Richard Strauss.

Beim letzten Abschnitt der Komposition mit der Bezeichnung Nachtwandlerlied verwendet er zwölf mitternächtliche Glockenschläge. Die Zwölf hat nicht nur enge astronomische Bezüge zur Aufteilung der Nacht in die zwölf Nachtstunden, sondern auch zu den zwölf nachts sichtbaren Lebewesenkreiszeichen der Ekliptik, die von den sieben Wandelgestirnen durchlaufen werden und in denen sich der Planet Jupiter von der Erde aus gesehen jeweils ein Jahr lang aufhält.

Siehe hierzu auch → Wikibook Konjunktionen.

Diese Sinfonische Tondichtung wurde Ende November 1896 durch unter Leitung von Richard Strauss in Frankfurt am Main uraufgeführt.

Es gibt nur wenige weitere physikalische Zahlenreihen, die für die Tonhöhen von musikalischen Motiven geeignet wären. Ferner ist festzuhalten, dass Richard Strauss kein Pionier und auch kein Anhänger der Zwölftonmusik war, so dass die Tatsache, dass er dennoch damit arbeitet, als symbolisch und durchaus auch als ein wenig schalkhaft angesehen werden kann.

Siehe hierzu auch → Wikibook Zahlen / Zur Zwölf.

Drei Lieder nach Gedichten von Otto Julius BierbaumBearbeiten

Übrigens beschäftigen sich auch die drei Gedichte Traum durch die Dämmerung, Schlagende Herzen und Nachtgang der zwischen den beiden Sinfonischen Dichtungen geschaffenen Komposition Drei Lieder nach Gedichten von Otto Julius Bierbaum von 1895 mit der Opus-Zahl 29 mit den astronomischen Objekten Sonne, Mond und Sterne und deren Betrachtung in der Natur.

  • Nummer 1: Traum durch die Dämmerung (Fis-Dur / B-Dur / Fis-Dur, sehr ruhig, 2/4-Takt)
    • ... im Dämmergrau, die Sonne verglomm, die Sterne ziehn,
    • ... in ein blaues, mildes Licht.
    • ... in ein mildes, blaues Licht.
  • Nummer 2: Schlagende Herzen (G-Dur, lebhaft und heiter, Allegro giocoso, 2/4-Takt)
    • ... du gold'ne Sonne in Himmelshöhn! (in strahlendem C-Dur)
  • Nummer 3: Nachtgesang (c-Moll, mäßig langsam, 3/4-Takt)
    • Der Mond goss silbernes Licht ...
    • ... rein wie die liebe Sonne.

BezügeBearbeiten

IntervalleBearbeiten

Die mit dem menschlichen Auge sichtbaren Lichtfrequenzen der ersten fünf Wasserstofflinien ( ) der Balmer-Serie ( ) entsprechen recht genau den Verhältnissen der Tonfrequenzen der unmittelbar danach zwei Mal wiederholten fünf Töne des ersten Motivs der Sinfonischen Dichtung Till Eulenspiegels lustige Streiche:

Tonbezeichnung Tonfrequenz
  in Hertz
Frequenzverhältnis
zum nächsten Ton
m Frequenz der Wasserstofflinie
  in Hertz
Frequenzverhältnis
zur nächsten Linie
Wellenlänge
  in Nanometer
c 261,6 1,335 3   1,350 656,1
f 349,2 1,122 4   1,120 486,0
g 392,0 1,059 5   1,058 433,9
gis 415,3 1,059 6   1,033 410,1
a 440,0 7   396,9

Die in der zweiten Spalte angegebenen Tonfrequenzen beziehen sich also auf den Kammerton A mit 440 Hertz. Die in der letzten Spalte angegebenen Wellenlängen entsprechen fast exakt den fünf in der Veröffentlichung von Balmer 1884 für die Wasserstofflinien im sichtbaren Bereich angegebenen Wellenlängen (siehe oben).

Werden die Lichtfrequenzen   mit dem mittleren Umrechnungsfaktor   multipliziert, ergeben sich die entsprechenden Tonfrequenzen   und die musikalischen Intervalle des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.

StimmtonBearbeiten

An dieser Stelle muss noch festgehalten werden, dass dieser Umrechnungsfaktor willkürlich gewählt werden kann, aber irgendwie festgelegt werden muss. Die Stimmung der Musikinstrumente bei Ensemblemusik muss seit jeher durchgeführt werden, damit alle Instrumente harmonische Zusammenklänge erzeugen können. Hierzu wurden auch Stimmtöne oder ein Kammerton verwendet, deren Tonhöhe festgelegt war. Der französische Gelehrte   Joseph Sauveur (* 1653; † 1716) und später auch der deutsche Physiker und Astronom   Ernst Chladni (* 1756; † 1827) schlugen vor, als grundlegendes Zeitmaß einer physikalischen Stimmung die Einheit einer Sekunde für die Festlegung des Grundtons C zu verwenden. Dies bedeutet, dass der Grundton C0 exakt die Frequenz 1 Hertz hat und alle Oktaven dieses Grundtons nach oben immer exakt die doppelte Frequenz haben. Dies führt zu der folgenden Reihe:

Tonbezeichnung Faktor Tonfrequenz   in Hertz
C0   1
C1   2
C2   4
C3   8
C4   16
C5   32
C6   64
C7   128
C8   256
C9   512

Wenn eine Referenztonhöhe für die Übertragung von Frequenzen elektromagnetischer Wellen zu Schallwellen gesucht wird, ist es für Physiker naheliegend, sich an dem Grundton C dieser physikalischen Stimmung zu orientieren.

Die ersten fünf Töne dieser Reihe haben aus musikalischer Sicht nur eine theoretische Bedeutung und sind für Menschen praktisch nicht mit einer Tonhöhe wahrnehmbar. Der Ton A ist eine große Sexte (respektive neun Halbtöne) höher als das direkt darunterliegende C beziehungsweise eine kleine Terz (respektive drei Halbtöne) tiefer als das direkt darüberliegende C. Wenn das A in der letzten Oktave zwischen C8 und C9 in dieser Reihe als Kammerton festgelegt wird, hat er bei gleichschwebender Stimmung (alle zwölf aufeinanderfolgenden Halbtonintervalle haben dasselbe Frequenzverhältnis  ) die folgende Frequenz:

 

Mit einer Frequenz von 430,539 Hertz für den Kammerton A ergeben sich die folgenden Tonhöhen für die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs beziehungsweise die ersten fünf Linien der Balmer-Serie (3 ≤ m ≤ 7):

Tonbezeichnung Tonfrequenz
gleichschwebende Stimmung
  in Hertz
Tonfrequenz
reine Stimmung
  in Hertz
m
c 256,000 256,000 3
f 341,719 341,333 4
g 383,567 384,000 5
gis 406,375 409,600 6
a 430,539 426,667 7

Hieraus resultiert ein etwas kleinerer mittlerer Faktor   als Proportionalitätskonstante zwischen den Licht- und den Schallfrequenzen   des aufsteigenden Motivs von Richard Strauss.

Diese Tonhöhen wurden beispielsweise bei der frühen Pariser Stimmung von 1829 im 19. Jahrhundert verwendet. Im Laufe der Zeit wurde die Referenztonhöhe allerdings aus praktischen Erwägungen immer höher - Saiteninstrumente klingen voller und lauter, wenn die Saiten etwas stärker gespannt werden, wobei sie allerdings eine höhere Eigenfrequenz bekommen. Richard Strauss war sich der damit verbundenen Problematik bewusst und kommentierte die gestiegene Höhe des Kammertons einige Jahre vor seinem Tod folgendermaßen:[6]

Die hohe Stimmung unserer Orchester wird immer unerträglicher. Es ist doch unmöglich, dass eine arme Sängerin A-Dur-Koloraturen, die ich Esel schon an der äußersten Höhengrenze geschrieben habe, in H-Dur herausquetschen soll.

Rückkehr zum Pariser A, bevor sich unsere armen Sänger die Paar letzten noch vorhanden Stimmen verschrien haben!

Zufall oder KoinzidenzBearbeiten

Es ergibt sich die Frage, ob es diese physikalischen und musikalischen Sachverhalte koinzident sind, oder ob sich um einen Zufall handeln kann. Da es offenbar keine belastbaren Belege für eine Koinzidenz gibt, ist die Frage nicht zu beantworten.

Zumindest muss festgehalten werden, dass es sich um einen äußerst bemerkenswerten Zufall handeln würde. Es gibt allein schon   Möglichkeiten, genau vier Töne aus einem Vorrat von zwölf Tönen auf einen beliebigen Anfangston folgen zu lassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau die fünf Töne des Till-Eulenspiegel-Motivs aus diesem Tonvorrat zufällig ausgewählt werden, beträgt demnach knapp 0,00005. Andere Motive haben weniger oder mehr als fünf Töne, haben einen größeren Tonumfang oder haben einen anderen Anfangston, was die Anzahl der Möglichkeiten noch zusätzlich und deutlich erhöht und die Wahrscheinlichkeit eines Zufalls entsprechend verringert.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Motiv mit den fünf Tönen c' - f' - g' - gis' - a', das im Gegensatz zu den vielen anderen tatsächlich komponierten Motiven noch nicht einmal diatonisch ist, sondern chromatische Bestandteile hat, ausgerechnet und zufällig nur wenige Jahre nach der Entdeckung der Balmer-Serie und deren Diskussion in Fachkreisen komponiert wird, ist noch geringer.

Schließlich ist zu berücksichtigen, dass das in der Tonart F-Dur notierte Motiv mit dem Ton C beginnt, dessen Tonhöhe im 18. und 19. Jahrhundert häufig mithilfe der Definition der Zeiteinheit der Sekunde rein physikalisch festgelegt war.

Im sehr umfangreichen Répertoire International des Sources Musicales (RISM) findet sich in über einer Million Notendokumente kein anderes Beispiel, das mit einem Motiv nur aus exakt diesen fünf Tönen beginnt. Nur zwei weitere, in der Tonart C-Dur stehende Beispiele mit einer Entstehungszeit vor 1893 lassen sich finden. Die beiden Folgen mit den fünf Tönen verwenden fast die gleichen Tonlängen wie das Till-Eulenspiegel-Motiv (drei Achtelnoten, eine Viertelnote und eine Achtelnote), und das Motiv wird in beiden Beispielen einmal unmittelbar wiederholt:

  • Carl Czerny (* 1791; † 1857): Klavierübung in C-Dur (6/8-Takt), opus 599, Nummer 38: Tonfolge: g", c"', d"', dis"', e"'[7]
  • Anonymus: Ländler in C-Dur (3/4-Takt), Tonfolge: g', c", d", dis", e"[8]

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Till-Eulenspiegel-Motiv von Richard Strauss 1983 rein zufällig entsprechend der Frequenzverhältnisse der Balmer-Serie gewählt wurde, ist nach diesen Überlegungen gewiss nicht null, sie ist aber äußerst gering.

Weitere BeispieleBearbeiten

 
Die Energieniveaus und daraus resultierenden Spektrallinien des Wasserstoffatoms der verschiedenen Serien.

Es möge bedacht werden, dass eine rationale Folge mit fünf aufeinanderfolgenden Zahlen wie bei der Balmer-Serie keineswegs ästhetisch empfundene Tonhöhenverhältnisse ergeben muss. Bei den höheren Ordnungen in der Balmer-Serie sowie beispielsweise bei der 1906 von dem US-amerikanischen Physiker   Theodore Lyman (* 1874; † 1954) gefundenen Lyman-Serie oder der 1908 von dem deutschen Physiker   Friedrich Paschen (* 1865; † 1947) gefundenen Paschen-Serie ist das zum Beispiel nicht der Fall.

Es sind daher nur sehr wenige Fälle bekannt, bei denen sich physikalische Zahlenfolgen, insbesondere wenn diese auch noch mit den menschlichen Sinnen unmittelbar wahrgenommen werden können, in musikalischen Tonfolgen widerspiegeln. Ein bedeutendes Beispiel ist die natürliche Obertonreihe, die sich aus ganzzahligen Verhältnissen bei schwingenden Saiten oder in Luftsäulen ergibt und von Richard Strauss in der Sinfonischen Dichtung Also sprach Zarathustra verarbeitet wurde (siehe oben).

 
Titelseite der sieben Orchestersuiten "Pythagorische Schmids=Fuencklein" von Rupert Ignaz Mayr aus dem Jahr 1692 mit einer Illustration des deutschen Malers Johann   Andreas Wolff (* 1652; † 1716).
 
Kanon mit blauen Markierungen bei den vier pythagoreischen Tönen g'-c"-d"-g" auf der Titelseite der sieben Orchestersuiten "Pythagorische Schmids=Fuencklein" von Rupert Ignaz Mayr aus dem Jahr 1692.

Vierstimmiger Kanon auf der Titelseite der sieben Orchestersuiten "Pythagorische Schmids=Fuencklein" von Rupert Ignaz Mayr aus dem Jahr 1692.

Ein weiteres Beispiel mit den vier pythagoreischen Tönen c' - f' - g' - c" ist in der Legende von Pythagoras in der Schmiede überliefert. Die ersten drei dieser Töne entsprechen den ersten drei Tönen des Till-Eulenspiegel-Motivs. Das dort unter anderem eine Rolle spielende ganzzahlige Verhältnis zwischen den Zahlen Vier und Drei beschreibt das musikalische Intervall der reinen Quarte, die sowohl beim ersten Intervall des Till-Eulenspiegel-Motivs als auch beim zweiten Intervall des Zarathustra-Motivs auftaucht.

Die durch Hammerschläge verursachten Klänge wurden 1690 vom französisch-deutschen Organisten und Komponisten   Georg Muffat (* 1653; † 1704) mit der Orgelkomposition Nova Cyclopeias Harmonica in Töne gesetzt. Diese Komposition ist von einer Aria eingerahmt, umfasst acht Variationen zum Thema Ad Malleorum Ictus Allusio (Zur Anspielung auf die Schläge der Hämmer) und endet mit dem Spruch Summo Deo Gloria.

Zwei Jahre darauf veröffentlichte der deutsche Geiger, Komponist und Hofkapellmeister   Rupert Ignaz Mayr (* 1646; † 1712), der wie Georg Muffat Schüler des italienischen Komponisten   Jean-Baptiste Lully (* 1632; † 1687) war, die sieben dem Kurfürsten von Bayern Maximilian II. Emanuel gewidmeten Orchestersuiten:

Pythagorische Schmids=Fuencklein
Bestehend in unterschiedlichen Arien / Sonatinen / Ouverturen / Allemanden / Couranten / Gavotten / Sarabanden / Giquen / Menueten / &c.
Mit 4.Instrumenten und beygefügten General-Baß, Bey Tafel=Musicken / Comœdien / Serenaden / und zu anderen fröhlichen Zusammenkunfften zu gebrauchen.

Die Haupttonarten der sieben Suiten für Sologeige sind F-Dur, D-Dur, G-Dur, d-Moll, F-Dur, D-Dur und B-Dur.

→ Siehe auch Wikibook Pythagoras in der Schmiede.

Schon die Pythagoreer waren der Auffassung, dass sich in der Astronomie dieselben zahlenmäßigen Gesetzmäßigkeiten zeigen wie in der Musik. Daher gab es immer wieder Versuche, die Umlaufbahnen der Planeten mit harmonischen Klängen in Verbindung zu bringen, wie zum Beispiel durch   Johannes Kepler (* 1571; † 1630) in seinem Werk Harmonices mundi libri V (fünf Bücher über die Harmonien der Welt) von 1619, in dem er astronomische Zahlenverhältnisse auf musikalische Intervalle übertrug. Der deutsche Komponist   Paul Hindemith (* 1895; † 1963) griff dieses Thema auf und schuf 1951 die Symphonie Die Harmonie der Welt mit den drei Sätzen Musica instrumentalis, Musica humana und Musica mundana sowie 1957 das Libretto und die Musik zur gleichnamigen Oper in fünf Akten. In der Einleitung zu seinem musiktheoretischen Werk Unterweisung im Tonsatz schreibt er:

Ich weiß mich mit dieser Einstellung zum Handwerklichen des Tonsatzes einig mit den Anschauungen, die gültig waren lange vor der Zeit der großen klassischen Meister. Wir finden ihre Vertreter im frühen Altertum; weitblickende Künstler des Mittelalters und der Neuzeit bewahren die Lehre und geben sie weiter. Was war ihnen das Tonmaterial? Die Intervalle waren Zeugnisse aus den Urtagen der Weltschöpfung; geheimnisvoll wie die Zahl, gleichen Wesens mit den Grundbegriffen der Fläche und des Raumes, Richtmaß gleicherweise für die hörbare wie die sichtbare Welt; Teile des Universums, das in gleichen Verhältnissen sich ausbreitet wie die Abstände der Obertonreihe, so daß Maß, Musik und Weltall in eins verschmolzen.

Quantenphysikalischer HintergrundBearbeiten

Als die Spektrallinien entdeckt worden waren und selbst 1884 als Johann Jakob Balmer die mathematischen Gesetzmäßigkeiten empirisch gefunden und mit der Balmer-Formel beschrieben hatte, waren die physikalischen und theoretischen Ursachen für die Entstehung solcher diskreten Spektrallinien noch völlig unbekannt. Erst in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts gelang es mit Hilfe der Quantenmechanik, den Bau der Atome und die Wechselwirkung zwischen geladenen Materieteilchen (beispielsweise Elektronen) und den Lichtteilchen (Photonen) sehr genau zu beschreiben.

Das elektromagnetische Lichtfeld reagiert mit anderen Teilchen so, dass ein Quantum mit der Energie   entweder aufgefangen oder abgegeben wird. Die Konstante   ist das Plancksche Wirkungsquantum und   ist die Frequenz einer elektromagnetischen Welle.

Die Teilchennatur des Lichts folgerten in den Jahren von 1899 bis 1905 der deutsche Forscher   Max Planck (* 1858; † 1947) aus den Gesetzmäßigkeiten der Wärmestrahlung und in verschärfter Form sein jüngerer Kollege   Albert Einstein (* 1879; † 1955) in der Veröffentlichung Ueber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt aus dem lichtelektrischen Effekt (oder Photoeffekt). 1918 wurde Max Planck für die Entdeckung der Energiequanten und 1921 Albert Einstein für die Entdeckung des Gesetzes des photoelektrischen Effekts der Nobelpreis für Physik verliehen. Das Schlagwort vom Dualismus Welle-Korpuskel durchzieht seither die schwierigen Diskussionen darüber, wie die Physik der mikroskopisch kleinen Dinge zu verstehen ist. Ja, selbst die Schallwellen der Musik haben klitzekleine Körner: die Phononen mit einer Energie proportional zur Frequenz nach der Planck-Einstein-Formel.

Auch ein Teilchen mit einer Ruhemasse, wie zum Beispiel ein Elektron, kann als eine Materiewelle aufgefasst werden. Die nach dem französischen Physiker   Louis-Victor de Broglie (* 1892; † 1987) benannten De-Broglie-Gleichungen von 1924 stellen die Bezüge zwischen Wellenlänge   und Frequenz   für Materiewellen her, die für Teilchen mit der Energie   beziehungsweise mit dem Impuls   gelten:

 
 

Für die Entdeckung der Wellennatur der Elektronen wurde ihm 1929 der Nobelpreis für Physik verliehen

Als Max Planck das Wirkungsquantum einführte, ahnte er noch nicht, welche universelle Tragweite die Konstante hat. Sie verkettet die Werteskala von Raum und Zeit eindeutig und fundamental mit der von Masse, Energie und Impuls. Im modernen Internationalen Einheitensystem kennt die Mechanik nur noch eine willkürliche Größe, die Sekunde. Meter und Kilogramm werden über die endgültig festgeschriebenen Werte der universellen Lichtgeschwindigkeit   (seit 1983) und der Planck-Konstanten   (seit 2019) von der Sekunde abgeleitet. Letztere hat ein Dekret von 1967 festgenagelt auf 9 192 631 770 Perioden eines Quantenübergangs von Caesium-Atomen.

WasserstoffatomBearbeiten

Die angegebenen Formeln betreffen die Materiewellen von freifliegenden Teilchen. Wenig später baute ein brillanter Theoretiker die allgemeineren Wellengleichungen mit Kräften, die Teilchen anziehen oder abstoßen. Platz frei für das Paradebeispiel dieser neuen Wellenmechanik!

Die Bindung zwischen dem Elektron und dem Proton des Wasserstoffatoms nimmt genau dann eine relativ zeitstabile, also stationäre, Form an, wenn es eine räumlich konzentrierte stehende Welle gibt, die die berühmte Schrödinger-Gleichung erfüllt, die 1926 vom österreichischen Physiker   Erwin Schrödinger (* 1887; † 1961) aufgestellt wurde. Wie bei großen mechanischen Objekten auch, etwa Saiten und Orgelpfeifen, sind die möglichen Frequenzen ihrer verschiedenen Schwingungsformen oder stehenden Wellen sehr gut mit kleinen ganzen Zahlen verbunden. Seit Pythagoras wissen wir, dass die harmonischen Intervalle von Tönen nichts anderes sind als solche Frequenzen, deren Verhältnisse zwei ganze Zahlen sind. Sie treten gern in Erscheinung als die Eigenfrequenzen von schwingenden Objekten.

 
Zustandsbasis des Wasserstoffatoms mit den Hauptquantenzahlen 1 bis 4 (von oben nach unten).

Die Eigenfrequenzen des Wasserstoffatoms folgen mit   der Formel  , wo   die höchste vorkommende Frequenz ist. Die Bindungsenergien des Atoms werden negativ gemessen in Bezug auf ein ungebundenes Paar aus Elektron und Proton. Die Folge lautet  . Wieder zieht die Plancksche Konstante   ein. Die tiefste Energie für die Hauptquantenzahl 1   (eV steht für die Energieeinheit Elektronenvolt) gehört zur kugelförmigen stehenden Welle, in der keine Knoten vorkommen. Die angeregten Energien   haben eine symmetrische räumliche Struktur mit Knotenflächen, welche die Wellenform in eine Anzahl von 'Keulen' oder 'Bäuchen' aufteilen. Beispiele rechts im Bild zu den Hauptquantenzahlen n von 1 bis 4. Zu sehen sind Flächen konstanter Amplitude und Farben konstanter Phase.

Die Quantenmechanik erklärt, wie das Wasserstoffatom leuchtet. Es geht vom Zustand   in den tieferen Zustand   mit   über. Die Energie   wird dabei an ein Photon übergeben, dessen Frequenz in der Spektralserie liegt und die mit der folgenden Rydberg-Formel bestimmt werden kann:

 

Zu den Methoden der Physik gehört eine Störungsrechnung, wonach bereits eine klassisch gedachte elektrische Schwingung die stimulierten Quantenübergänge des Wasserstoffs hervorruft, und zwar genau mit dem experimentell bestätigten Spektrum von Frequenzen. Aber um die spontane Emission von Lichtquanten zu erklären, musste eine gründliche teilchenartige Behandlung des Lichtfeldes her: die Quantenfeldtheorie. Mit deren Rechenmethoden kommt dann korrekt heraus, dass die angeregten Zustände des Atoms nicht ganz stabil sind. Aus dem Vakuum können die Photonen auftauchen, die an die passenden Zustände von Elektronen ankoppeln.

Eine tiefschürfende Deutung des Wasserstoff-Spektrums verdanken wir dem österreichischen Physiker   Wolfgang Pauli (* 1900; † 1958), der mit den Physikern   Niels Bohr (* 1885; † 1962) aus Dänemark,   Werner Heisenberg (* 1901; † 1976) aus Deutschland, dem oben bereits erwähnten Erwin Schrödinger und anderen maßgeblich zur wissenschaftlichen Revolution der Quantenmechanik beitrug. Niels Bohr wurde 1922 für seine Verdienste um die Erforschung der Struktur der Atome und der von ihnen ausgehenden Strahlung der Nobelpreis für Physik verliehen. Werner Heisenberg wurde 1932 für die Begründung der Quantenmechanik, deren Anwendung unter anderem zur Entdeckung der allotropen Formen des Wasserstoffs geführt hat, damit geehrt.

Wolfgang Pauli gelang 1926 eine algebraische Formulierung des Wasserstoff-Modells dank einer in sich geschlossenen Gruppe von Symmetrie-Operatoren.[9] Er konnte das Spektrum ganz ohne die lästigen Schrödingerschen Differenzialgleichungen herleiten. Die spezielle Form der Coulomb-Anziehung zwischen Elektron und Proton erlaubt einen hohen Grad von Symmetrie.

Seither spielten die Symmetriegruppen eine steigende Rolle in der Physik. Häufig werden solche Gruppen in der Natur dargestellt in Verbindung mit Serien von ganzen Quantenzahlen. Symmetrie und Harmonie sind offenbar eng miteinander verbunden. Der deutsche theoretische Physiker   Arnold Sommerfeld (* 1868; † 1951) schrieb im September 1919 in München im Vorwort seines Buches Atombau und Spektrallinien:

Seit der Entdeckung der Spektralanalyse konnte kein Kundiger zweifeln, daß das Problem des Atoms gelöst sein würde, wenn man gelernt hätte, die Sprache der Spektren zu verstehen. Das ungeheure Material, welches 60 Jahre spektroskopischer Praxis aufgehäuft haben, schien allerdings in seiner Mannigfaltigkeit zunächst unentwirrbar. Fast mehr haben die sieben Jahre Röntgenspektroskopie zur Klärung beigetragen, indem hier das Problem des Atoms an seiner Wurzel erfaßt und das Innere des Atoms beleuchtet wird. Was wir heutzutage aus der Sprache der Spektren heraus hören, ist eine wirkliche Sphärenmusik des Atoms, ein Zusammenklingen ganzzahliger Verhältnisse, eine bei aller Mannigfaltigkeit zunehmende Ordnung und Harmonie. Für alle Zeiten wird die Theorie der Spektrallinien den Namen Bohrs tragen. Aber noch ein anderer Name wird dauernd mit ihr verknüpft sein, der Name Plancks. Alle ganzzahligen Gesetze der Spektrallinien und der Atomistik fließen letzten Endes aus der Quantentheorie. Sie ist das geheimnisvolle Organon, auf dem die Natur die Spektralmusik spielt und nach dessen Rhythmus sie den Bau der Atome und Kerne regelt.

Siehe auch:

Musiktheoretischer HintergrundBearbeiten

Auditive WahrnehmungBearbeiten

Das menschliche Ohr ist ein bemerkenswertes Messinstrument, das sowohl für die Amplituden wie für die Frequenzen von Schallwellen eine logarithmische Empfindlichkeit aufweist. Das bedeutet, dass für uns die Lautstärke um den gleichen Schritt zunimmt, wenn die Amplitude mit demselben Faktor multipliziert wird - nicht etwa wenn derselbe Betrag addiert wird. Genauso steigt die Tonhöhe für uns um den gleichen Schritt, wenn die Frequenz um einen Faktor erhöht wird. Der Faktor zwei wird besonders deutlich wahrgenommen, nämlich als eine Oktave. Im Abstand von Oktaven klingen die Melodien so ähnlich, dass man den Tönen den gleichen Namen gibt, versehen mit Strichlein oder Ziffern, wenn man die Oktavenlage angeben will.

Vielen ist das logarithmische Maß geläufig, mit dem wir die Verhältnisse von Amplituden beschreiben. Ein Faktor zehn wurde als 20 Dezibel definiert. Ein Amplitudenfaktor   kann mit dem dekadischen Logarithmus   beziehungsweise   oder mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis   in einen Pegel   in der Maßeinheit Dezibel (dB) umgerechnet werden:

 

Das gleiche Prinzip funktioniert bei den Frequenzen respektive den wahrgenommenen Tonhöhen. Ein Faktor zwei wurde als 1200 Cent definiert. Alle zwölf Halbtöne - beziehungsweise alle kleine Sekunden - haben in der Musiktheorie bei der gleichstufigen Stimmung definitionsgemäß eine Größe von 100 Cent. Zwölf gleichgroße Halbtöne direkt übereinander ergeben eine Oktave, die demzufolge eine Größe von 1200 Cent hat. Der Tonhöhenunterschied   in der Maßeinheit Cent (C) bei einem vorgegebenen Frequenzverhältnis   kann mit der folgenden Formel ebenfalls mit einem Logarithmus zu einer beliebigen Basis   oder mit dem Logarithmus dualis   beziehungsweise   berechnet werden:

 

IntervalleBearbeiten

Zwei Töne, die als ein musikalisches Intervall im ganzzahligen Schwingungsverhältnis zueinanderstehen, werden als konsonant klingend empfunden. Dies ist besonders deutlich bei der Prime und bei der Oktave, bei denen das Frequenzverhältnis 1:1 beziehungsweise 1:2 ist. Je größer die beiden ganzen Zahlen werden, desto geringer wird der Effekt wahrgenommenen Konsonanz und somit einer harmonischen Wahrnehmung. Dieser Effekt ist für geübte Ohren auch bei der reinen Quinte (Frequenzverhältnis 2:3) und bei der reinen Quarte (Frequenzverhältnis 3:4) noch gut zu hören. Instrumente ohne fest vorgegebene Tonhöhen wie Streicher oder Posaunen sowie Gesangsensembles können auch große und kleine Terzen (Frequenzverhältnis 4:5 und 5:6) beziehungsweise kleine und große Sexten (Frequenzverhältnis 5:8 und 3:5) rein intonieren. Insbesondere bei Dur- und Moll-Dreiklängen, die aus drei Tönen im Abstand einer großen und einer kleinen Terz beziehungsweise einer Quinte zusammengesetzt sind, entsteht durch die Verwendung reiner Intervalle ein besonders harmonisch empfundener Klang.

Die folgende Tabelle gibt die Frequenzverhältnisse bei den musikalischen Intervallen von der Prime bis zur Oktave in der reinen Stimmung und in Bezug auf die Quarte, Quinte und Oktave in pythagoreischer Stimmung wieder:

Intervall Frequenzverhältnis
in reiner Stimmung
Frequenzverhältnis
in reiner Stimmung
als Dezimalwert
Frequenzverhältnis
in gleichstufiger Stimmung
als Dezimalwert
Abweichung zwischen
reiner Stimmung und
gleichstufiger Stimmung
in Cent
Prime 1:1 1,0000 1,0000 0
Kleine Sekunde 15:16 0,9375 0,9439 12
Große Sekunde 8:9 0,8889 0,8909 4
Kleine Terz 5:6 0,8333 0,8409 16
Große Terz 4:5 0,8000 0,7937 -14
Quarte 3:4 0,7500 0,7492 -2
Tritonus 25:36 0,6944 0,7071 31
Quinte 2:3 0,6667 0,6674 2
Kleine Sexte 5:8 0,6250 0,6300 14
Große Sexte 3:5 0,6000 0,5946 -16
Kleine Septime 9:16 0,5625 0,5612 -4
Große Septime 8:15 0,5333 0,5297 -12
Oktave 1:2 0,5000 0,5000 0

Der Tritonus ist also das Intervall zwischen der Quarte und der Quinte. Am großen Zahlenverhältnis 25:36 liest man ab, ohne den Zweiklang gehört zu haben: da kommt eine Dissonanz heraus. In gleichstufiger Stimmung haben die beiden Töne das folgende irrationale Frequenzverhältnis (auch kein sanfter Klang):

 

Positive Abweichungen in der letzten Spalte mit der Maßeinheit Cent bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung höher ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung, und negative Abweichungen bedeuten, dass der Ton der reinen Stimmung tiefer ist als der Ton der gleichstufigen Stimmung.

Bemerkenswert ist, dass bei den oben in der Tabelle angegebenen ganzzahligen Verhältnissen unter den Zahlen mit nur einer Ziffer allein die Sieben nicht auftaucht, was unterstreicht, dass sie aus Sicht einiger mittelalterlicher Autoren eine besondere Zahl ist.

Mehr zu den Stimmungen und mancherlei pingelige Berechnungen gibt es hier zu lesen:

→ Siehe hierzu auch:

Die nächste Tabelle stellt die entsprechenden musikalischen reinen Intervalle den Frequenzverhältnissen bei der Balmer-Serie gegenüber:

Intervall Frequenzverhältnis
in reiner Stimmung
Frequenzverhältnis
in der Balmer-Serie
Verhältnis der Frequenzverhältnisse
bei der Balmer-Serie und
bei reiner Stimmung
Abweichung zwischen
Balmer-Serie und
gleichstufiger Stimmung
in Prozent
Abweichung zwischen
Balmer-Serie und
gleichstufiger Stimmung
in Cent
Prime 1:1 1:1 1:1 0 0
Quarte 3:4 20:27 80:81 -1,6 -20
Quinte 2:3 125:189 375:378 -1,3 -16
Kleine Sexte 5:8 5:8 1:1 0 0
Große Sexte 3:5 49:81 245:243 0,8 14
 
Die Töne der Balmer-Serie auf dem Monochord. Oben das Spektrum mit den fünf Linien des Wasserstoffs und deren Koeffizienten der Balmer-Formel. Darunter das Monochord mit den fünf entsprechenden Saitenlängen, die alle dieselbe Saitenspannung und Saitendicke haben und durch die Verkürzung der Saitenlänge eine kürzere Wellenlänge und somit eine höhere Frequenz aufweisen. Die Konstante   stammt aus der Balmer-Formel und repräsentiert die Wellenlänge für  .
 
Vergleich der Frequenzverhältnisse bei reiner und gleichstufiger Stimmung sowie bei der Balmer-Serie.

Schließlich noch eine Tabelle, die die entsprechenden musikalischen Intervalle aus der Balmer-Serie mit den Frequenzverhältnissen bei gleichstufiger Stimmung vergleicht:

Intervall Frequenzverhältnis
in der Balmer-Serie
Frequenzverhältnis
in gleichstufiger Stimmung
Abweichung zwischen
Balmer-Serie und
gleichstufiger Stimmung
in Prozent
Abweichung zwischen
Balmer-Serie und
gleichstufiger Stimmung
in Cent
Prime 1:1 1,0000 0 0
Quarte 20:27 0,7492 -1,1 20
Quinte 125:189 0,6674 0,9 16
Kleine Sexte 5:8 0,6300 0,8 14
Große Sexte 49:81 0,5946 -1,7 -30
 
Die Töne der Balmer-Serie auf dem Griffbrett einer Gitarre. Oben das Spektrum mit den fünf Linien des Wasserstoffs mit den dazugehörigen Wellenlängenverhältnissen. Darunter das Griffbrett der Gitarre mit den Bünden bei den Halbtönen in gleichstufiger Stimmung. Das Till-Eulenspiegel-Motiv kann auf allen sechs Saiten in verschiedenen Tonhöhen gespielt werden.

Von Schwingungen, Wellen und Obertönen handelt das technische Kapitel, das etwa 30 Papierseiten entspricht:

→ Till Eulenspiegels lustige Serie/ Schwingende Objekte.

Es schürft in den physikalischen Grundlagen für Schwingungen und Wellen in Stoffen und bemüht reichlich Formeln und Algorithmen dazu.

Hans SommerBearbeiten

 
Hans Sommer um 1890.

Der Komponist und Naturwissenschaftler Hans Sommer könnte Richard Strauss den Sachverhalt über die akustisch-musikalisch Variante der optisch-physikalischen Balmer-Serie vermittelt haben. Es ist leicht nachvollziehbar, dass er über Entdeckungen in der Optik und der Physik bestens unterrichtet war.

Hans Sommer hieß als Sohn von Otto Gustav Zincken (* 1809; † 1940) eigentlich Hans Friedrich August Zincken genannt Sommer. Der Vater von Otto Gustav Zincken war der promovierte Herzoglich Braunschweigischer Hofmedicus   Julius Leopold Theodor Friedrich Zincken (* 1770; † 1856), der wiederum der Sohn des Justizbeamten   Carl Friedrich Wilhelm Zincken (* 1729; † 1806) und seiner Frau Sophie Schläger war. Diese Ehe wurde geschieden und beide Ehepartner heirateten erneut. Sophie Schläger heiratete 1782   Johann Christoph Sommer (* 1741; † 1802), der als Hofrat und Professor für Anatomie am Anatomisch-Chirurgischen Institut in Braunschweig tätig war und dessen Nachname fortan bei ihren Nachfahren der Familie Zincken geführt wurde.

Hans Sommers Vater starb als er zweieinhalb Jahre alt war. Seine verwitwete Mutter, Nanny Langenheim (* 1813; † 1902), heiratete 1845 den Unternehmer, Optiker und Pionier der Photographie   Peter Wilhelm Friedrich von Voigtländer (* 1812; † 1878). Dessen Vater war der Optiker   Johann Friedrich Voigtländer (* 1779; † 1859), der seit 1808 die Firma J. F. Voigtländer, Werkstätte für optische und feinmechanische Instrumente führte und der Nachfahre des Optikers und Erfinders   Johann Christoph Voigtländer war (* 1732; † 1797).

Hans und Antonie Sommer hatten die beiden Söhne Otto und Richard.

 
Der Stammbaum von Hans Friedrich August Zincken, genannt Hans Sommer

Hans Sommer war ausgebildeter Mathematiker, und er war in Göttingen auch von dem Physiker   Wilhelm Eduard Weber (* 1804; † 1891) unterrichtet worden. Bereits 1866 wurde er in Braunschweig am Polytechnikum Collegium Carolinum Professor für Mathematik. Zwölf Jahre später wurde er zum Rektor ernannt, und er war bei der Überführung des Collegiums in die Herzogliche Technische Hochschule Carolo-Wilhelmina beteiligt, die heute die Technische Universität Braunschweig ist. Er forschte in Braunschweig bis 1884 insbesondere auf dem Gebiet der angewandten Optik.

Er half als einer der Pioniere in der angewandten Optik auch seinem Stiefvater Peter Wilhelm Friedrich Ritter von Voigtländer, der zusammen mit seinem Vater Johann Friedrich Voigtländer ab 1849 als Unternehmer die optischen Werke Voigtländer & Sohn in Braunschweig führte.[10]

Im Jahr 1858 veröffentlichte Hans Sommer in Göttingen seine Inaugural-Dissertation zur Erlangung der philosophischen Doktorwürde mit dem Titel Zur Bestimmung der Brechungsverhältnisse. Hierin widmet er sich auch und ausführlich der Brechung am Prisma, mit dessen Hilfe weißes Licht spektral aufgespalten werden kann, um zum Beispiel Spektrallinien erkennen und vermessen zu können.[11]

Im Jahr 1870 veröffentlichte Hans Sommer in Braunschweig ein Buch mit dem Titel Über die Dioptik der Linsen-Systeme, in dem er ebenfalls auf den Brechungseffekt eingeht.[12]

→ Siehe hierzu auch Wikibook Digitale bildgebende Verfahren / Ablenkung von Lichtstrahlen

Hans Sommer und Richard Strauss gründeten 1903 gemeinsam die Anstalt für musikalische Aufführungsrechte (AFMA), die als erste Vorgängerorganisation der späteren Gesellschaft für musikalische Aufführungs- und mechanische Vervielfältigungsrechte (GEMA) gilt.

2019 wurde der Briefwechsel zwischen Richard Strauss und Hans Sommer in Buchform herausgegeben.[13]

NachwortBearbeiten

Ohne die vielfältigen Forschungsergebnisse und bemerkenswerten Entdeckungen aus dem 19. Jahrhundert wäre es sehr schwierig gewesen, die Quantentheorie zu entwickeln. Und ohne das tiefere Verständnis der Quantenmechanik gäbe es vermutlich keine Halbleiter, die heute fast in jedem Haushalt vorhanden sind. In expliziten Bezug auf die Lichtemission möge zur Kenntnis genommen werden, dass durch die Kenntnis der vielen verschiedenen diskreten Energieniveaus von Halbleitern, heute unter anderem Leuchtdioden hergestellt werden können, die praktisch bei jeder beliebigen Wellenlänge in einem weiten Spektralbereich vom Infraroten bis zum Ultravioletten monochromatisches Licht emittieren. Leuchtdioden werden heute als energieeffiziente Leuchtmittel in der Beleuchtungstechnik und bei fast allen Bildschirmen eingesetzt.

→ Siehe auch Wikibook Digitale bildgebende Verfahren / Beleuchtung / Lichtquellen

Bislang sind für die hier aufgestellte interdisziplinäre Hypothese, dass die Entdeckung der ganzzahligen Verhältnisse bei der optisch-physikalischen Balmer-Serie die Umsetzung in ein akustisch-musikalisches Motiv angeregt haben könnte, keine schriftlichen Quellen bekannt. Diese Geschichte wurde allerdings über Generationen von Physikern mündlich tradiert. Der Hauptautor hatte sie Mitte der 1980er Jahre in einer Lehrveranstaltung der Technischen Universität Berlin von Professor Gerd Koppelmann (* 5. September 1929; † 21. September 1992) erfahren. Der Hauptautor dankt seinem Doktorvater Professor   Heinz Niedrig für den Nachruf auf dessen Kollegen Gerd Koppelmann.[14]

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Siehe auch: Briefwechsel Hans Sommer an Richard Strauss, Weimar, 14. April 1893, in Christian Cöster (Herausgeber): Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Schott Music, 2020, ISBN 9783795718060
  2. Johann Jakob Balmer: Notiz über die Spektrallinien des Wasserstoffes, in: Verhandlungen der Naturforschenden Gesellschaft in Basel, Band 7, Seiten 548 bis 560, H. Georg's Verlag, 1884
  3. Anders Jonas Ångström: Ueber die Fraunhofer'schen Linien im Sonnenspectrum, Annalen der Physik, Volume 193, Issue 10, 1862, Seiten 290 bis 302
  4. Till Eulenspiegels lustige Streiche opus 28, Abenteuer Klassik
  5. Siehe zum Beispiel zu Beginn des Abschnitts "Der Genesende" mit der Anweisung marcato zunächst in den Celli, Kontrabässen und den Posaunen, dann in den Hörnern und den Bratschen und danach in den Oboen und den zweiten Geigen.
  6. Aus: Brief von Richard Strauss vom 7. Oktober 1942 aus den Hotels Verenahof - Ochsen, Baden bei Zürich, Schweiz
  7. Czerny, Carl <1791-1857>, Exercises in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
  8. Anonymus, Ländler in C-Dur, Répertoire International des Sources Musicales (RISM)
  9. Wolfgang Pauli: Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, Zeitschrift für Physik, Band 36, 5. Heft, 27. März 1926, Seite 336 bis 665, Julius Springer, Berlin
  10. Bernhard Braunecker und Reinmar Wagner: Hans Zincke-Sommer (1837–1922) / Physiker und Komponist, Zeitschrift Musik & Theater, September 2012, Schweizerische Physikalische Gesellschaft
  11. Hans Sommer: Zur Bestimmung der Brechungsverhältnisse, Google Books
  12. Hans Sommer: Über die Dioptik der Linsen-Systeme, Google Books
  13. Christian Cöster: Richard Strauss im Briefwechsel mit Hans Sommer, Hermann Bahr und Willy Levin, Seiten 23 bis 178, Schott, Mainz, 2019
  14. Heinz Niedrig: Gerd Koppelmann zum Gedenken, Physikalische Blätter, Jahrgang 48, 1992, Nummer 12


StimmungBearbeiten

Zur Stimmung der MusikinstrumenteBearbeiten

In diesem Abschnitt geht es um den physikalischen Hintergrund des konventionellen Tonsystems der europäischen Musik. Zu den künstlerischen Aspekten wird nichts Kluges gesagt und auch wer sich als unmusikalisch ansieht, darf anfangen zu lesen.

Der vorliegende Text verwendet einige Begriffe aus diesem Abschnitt:

Till Eulenspiegels lustige Serie / Musiktheoretischer Hintergrund

SchwebungenBearbeiten

 
Schwebung bei der Addition von Signalen ähnlicher Frequenz

Die Schwebungen sind ein Phänomen bei Schwingungen, das für die Stimmung von Instrumenten eine große Rolle spielt. In diesem Abschnitt gilt der Begriff "Frequenz" als Synonym für "Tonhöhe"; er beschreibt sie physikalisch. Außerdem haben technisch vorbelastete Leute die Angewohnheit, Töne, Klänge und Wellenformen als "Signal" zu bezeichnen.

Das Bild zeigt oben zwei periodische Kurven, cyan und magenta, die eine leicht verschiedene Frequenz haben. Die horizontale Achse ist als die Zeit anzusehen. Am Anfang sind beide Kurven in Phase, beide gleichzeitig am Maximum. Nach etwa 9 Perioden haben sie eine entgegengesetzte Phase, später wieder die gleiche Phase. Die untere Kurve ist die Summe, also die Überlagerung, der zwei Schwingungen. Das Ergebnis ist eine schnelle Schwingung, deren Amplitude langsam zwischen Null und dem Maximalwert pendelt. Diese Wellenform heißt eine Schwebung. Ein anderer technischer Name spricht von einer Amplitudenmodulation. Die Amplitude der Schwingung wird mit einer sinusförmigen Hüllkurve moduliert. Eine künstlerisch angehauchte Bezeichnung sieht in der Kurve ein Tremolo.

Machen wir ein einfaches mathematisches Modell der Schwebungen. Wie sich herausstellt, gibt es sie auch beim Zusammenklang von zwei Tönen, die beinahe harmonisch zueinander sind, wenn also ihre Frequenzen ungefähr in einem einfachen Zahlenverhältnis stehen. Gleichungsallergiker dürfen die Berechnungen überspringen. Wir tun uns einen Block von trigonometrischen Formeln an.

 
 
 
 

Herleitung:

 
 
 
 
 
 
 
 

Umkehrungen:

 
 
 
 
 
 
 

Ergebnis:

 
 
 
 

Die letzten vier Gleichungen beschreiben alle möglichen Überlagerungen von zwei Schwingungen der Frequenzen   und   wenn gesetzt wird:

  ist die Zeit.

Eine allgemeine Überlagerung ist eine Linearkombination dieser vier Terme.

Die rechten Seiten sagen dann folgendes aus: so ein Signal ist ein Produkt aus der Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenzen,  , und der Schwingung mit der halben Differenzfrequenz  . Das ergibt genau eine Amplitudenmodulation mit einem langsamen Faktor, wenn   und   zwei eng benachbarte Frequenzen sind.

Der Absolutbetrag der Amplitude hat nun zwei 'Bäuche' pro Periode des langsam modulierenden Faktors. Das Ohr hört das Vibrato also mit der ganzen Frequenzdifferenz  . Wenn die Frequenz dieser Differenz im Hörbereich liegt, wird ein sogenannter Kombinationston wahrgenommen, insbesondere wenn die Amplituden hoch sind und die Perzeption durch Nichtlinearitäten im Innenohr noch deutlicher wird. Solche Töne werden nach dem italienischen Geigenvirtuosen Guiseppe Tartini (* 1692; † 1770) auch Tartini-Töne genannt, da dieser sie bei laut gespielten Doppelgriffen auf seiner Geige wahrgenommen und 1754 beschrieben hatte. Bereits 1745 wurden sie vom deutschen Organisten, Komponisten und Musiktheoretiker Georg Andreas Sorge (* 1703; † 1778) entdeckt.[1]

Summen/Differenzen von Schwingungen wurden hier in Produkte verwandelt. Die resultierende Schwingung mit dem Mittelwert der Frequenz bekommt dabei eine Modulation, also eine einhüllende Sinuskurve. Die Modulation vibriert mit der halben Differenz der Frequenzen und die Hüllkurve pulsiert mit der Differenz.

Vielfach wird in der Technik die andere Richtung der Gleichungen benutzt: man liefert zwei Frequenzen an und erzeugt zuerst ihr Produkt. Das nennt sich eine Mischung, nicht eine Überlagerung. Am Ausgang finden sich die Summe und die Differenz der Frequenzen. Besonders die (niederfrequente) Differenz ist wichtig, wenn die hohen schwierig zu handhaben sind. Man hat dann ein Signal runtergemischt auf eine komfortable "Zwischenfrequenz". Das Ohr hat einen eingebauten Mischer, wie die Tartini-Töne zeigen. Allgemeine Mischprodukte zweier Frequenzen   heißen im technischen Jargon Intermodulationen, vielleicht auch Kombinationstöne.

Kuriosität. Es gab früher (gibt?) bei grottenschlechten Lautsprecherboxen einen billigen Trick, um die Illusion von guten Basstönen zu erwecken. Wenn die Box eine tiefe Frequenz F nicht wiedergeben kann, werden einfach die zwei Obertöne 2*F und 3*F durch Klirren, also nichtlineares Scheppern irgendwelcher Bauteile, erzeugt. Das Ohr denkt sich den fehlenden Grundton dazu, also die Differenz dieser zwei Harmonischen. Aus dem gleichen Grund kann man bei kleinen Orgeln etwa im Pedal diskret ein Register in Quintenlage zuschalten, um den satten Bass eine Oktave tiefer anzudeuten, um nicht zu sagen vorzutäuschen. Wer weiß, wieviel Jahrhunderte der Trick schon dauert. Ein akustischer Bass von "32-Fuß" kommt an als Residualton, wenn offene Pfeifen (16 Fuß) kombiniert werden mit gedeckten Pfeifen (10-2/3 Fuß). Der Komponist und Organist Abt Vogler (1749-1814) setzte solche "akustischen" Register ein.

Behauptung 1: Haben zwei Frequenzen   ein exaktes Zahlenverhältnis   dann kann es in der Überlagerung keine tieffrequente Schwebung geben.

Denn beispielsweise:

 

Diese Formel enthält nur relativ "hohe" Frequenzen im Produkt. Zum Beispiel   macht aus 200 Hz und 300 Hz in den Faktoren die Frequenzen 250 Hz und 50 Hz. Selbes Argument ist anzuwenden für die drei anderen Fälle der Überlagerung.

Behauptung 2: Wenn eine kleine Abweichung   der Frequenzen vom exakten Verhältnis vorliegt   dann zerfällt die Überlagerung in Terme vom Typ: Reiner Zweiklang mal Amplitudenmodulation mit der Frequenz   Eine Schwebung mit der langsamen Frequenz   ist hörbar.

Zum Beweis werde gesetzt:

 
 
 
 

Die Ausdrücke   und   sind schwebungsfreie reine Überlagerungen nach der Behauptung 1.

 

Das allgemeine   ist also die Linearkombination aus den reinen Zweiklängen mal je eine langsame Amplitudenmodulation mit der Frequenz  . Die Ausrechnung verläuft genauso für jede von vier Summen/Differenzen der Cosinus und Sinus. Also gilt sie für allgemeine Überlagerungen.

Damit ist gezeigt, dass bei den Terzen, Quarten, Quinten das Phänomen der Schwebung vorkommt. Deren Modulationsfrequenz ist gleich der halben Abweichung der Frequenzdifferenz   vom Sollwert für rein gestimmte Intervalle. Die Frequenz eines Tremolos ist gleich dieser Abweichung.

Einen Haken hat die Sache noch, weil bei so einer Schwebung die Differenz von zwei Produkten, nicht ein Produkt, anfällt. Die zwei Terme fressen sich im Mittel auf, genauer, sie liefern sich ein Tauziehen. Der langsame Faktor sin(u) geht durch Null, wenn der andere, cos(u), betragsmäßig maximal wird. Und umgekehrt. Kombiniert kommt nur eine schwache Amplitudenmodulation (Hüllkurve) heraus. Wenn allerdings die zwei Schwingungen statt der Sinusform eine komplexere periodische Form haben, wie die Schallwellen aus interessanten Instrumenten, dann verstärkt sich der Schwebungseffekt. Dann sind die Obertöne da, die Vielfachen der zwei überlagerten Frequenzen. Bei der Quinte etwa gleichen sich der zweite des einen und der dritte des anderen Tons. Die tragen dann gehörig zum Tremolo-Effekt bei.

Folgerung. Um eine Quinte, Quarte oder Terz rein zu stimmen, wird eine der Saiten oder Pfeifen usw. so manipuliert, dass der Zweiklang ohne Tremolo (Schwebung) stehen bleibt. Um sie um Cent-Beträge enger oder weiter zu stimmen, wird die langsame Frequenz der Schwebung ausgezählt und je nach Frequenz der Töne auf bestimmte Zielwerte eingepegelt.

Überlagern sich zwei Töne mit ungefährem Frequenzverhältnis f:g = n:m, dann können der Oberton mf und der Oberton ng sich periodisch auslöschen, man hört die Schwebungsfrequenz | mf - ng |.

 
Die grüne Schwingung wird vom roten Signal gesteuert und ergibt die blaue frequenzmodulierte Form

Eine andere, häufig auch in Synthesizern vorkommende Schwingungsform ist die Frequenzmodulation. Dabei hat die schnelle Schwingung eine konstante Amplitude, doch ihre Frequenz ändert sich im langsamen Rhythmus. Musikalisch entspricht das einem Vibrato. Ein ganzer Kamm von Nebenfrequenzen wäre nötig, um die FM aus einer Überlagerung zu erzeugen.

Andere Herleitung: Schwebung bei harmonischen FrequenzenBearbeiten

Mit etwas umständlichen Argumenten soll dieser Abschnitt ein Paar von Tönen analysieren. Angenommen wird nur, dass es periodische Signale sind, die Zerlegung in Obertöne wird nicht hinzugezogen. Die intuitiv leicht zu merkende Obertonregel wird doch wieder herauskommen.

Zwei Töne mit Frequenzen f und g sollen nahe daran sein, im harmonischen Verhältnis f:g = n:m zu stehen. Anders gesagt, es gibt einen gemeinsamen Unterton mit der Frequenz u, sowie eine Abweichung s, so dass gilt: f = nu + s/2 und g = mu - s/2.

Es folgt: | mf - ng | = (m+n) s/2 =: S.

Die Zahlen n,m mit n<m haben keinen gemeinsamen Teiler.

Nun soll herausgefunden werden, warum man eine Schwebung mit der Frequenz S wahrnehmen kann. Dieser Wert S ist größer als der minimale Wert s, der für Sinuswellen im vorigen Abschnitt ausgerechnet wurde. Auch bei den Letzteren kommt die Schwebefrequenz S vor, etwa wenn man aufmerksam den Verlauf der Spitzen der Signalsumme verfolgt.

Wenn die Harmonie perfekt ist, also mf = ng, dann kann der Klang der Summe beider Töne nur davon abhängen, in welcher Phase sie zueinander liegen.

Zum Beispiel mit f:g = 2:3 gibt es in einer Periode T = 1/u des Untertons u zwei Maxima von f und drei Maxima von g.

Phase Null: Maxima von f bei 0 und T/2, Maxima von g bei 0, T/3, 2T/3.
Phase verschoben: Maxima von f bei T/4 und 3T/4, Maxima von g unverändert.

In zweiten Fall gibt es keine gemeinsamen Maxima, die Summe klingt anders.

Allgemein mit n<m, f:g = n:m passen ins Intervall T, n bzw. m Perioden:

f hat seine Maxima bei kT/n + p (k = 0...n-1; p= Phasenverschiebung).
g hat seine Maxima bei jT/m + q (j = 0...m-1; q= Verschiebung).

Hier sind j,k ganze Zahlen. Welchen Wertebereich kann die Phasenverschiebung haben, so dass der Klang variiert?

Halten wir etwa p=0 fest und verändern wir q im Intervall von 0 bis T/m, das heißt, wir spielen alle Phasen der Frequenz g durch. Das ist aber viel zu viel, denn es passiert folgendes: Bei q=0 haben f und g ihr gemeinsames Maximum zur Zeit 0, aber schon bei q = (T/n - T/m) trifft das nächste Maximum von g auf das nächste von f und die Töne klingen wie bei q=0. Der sinnvolle Phasenspielraum von Frequenz g ist höchstens T/n - T/m = (T/m)(m-n)/n, also ein Bruchteil der vollen Periode von g.

Ist das nicht immer noch zu viel? Gibt es nicht ein Paar von Positionen auf dem Raster T, wofür eine noch kleinere Verschiebung die Signalspitzen deckungsgleich macht? Mit optimaler Wahl von Zahlen j,k soll jT/m + q = kT/n; q = (jn-km)T/(nm) minimal werden, aber nicht Null. n und m sind teilerfremd, m>n. Ist vielleicht jn-km = 1 lösbar mit j>0, k>0? Das wäre der bestmögliche Fall.

Vorbemerkung: jn-km = 0 hat m als kleinste Lösung für j: j=m,k=n. Denn jn = km; n/m = k/j. Es kann also weder k<n noch j<m sein, sonst hätten n,m einen Teiler (zerlege alle n,m,j,k in Primzahlen).

Nun durchlaufe j den interessanten Bereich 1...m-1.

Behauptung. In dieser Menge gibt es keine zwei gleichen Differenzen
 

Wegen n<m könen die k1,k2 so gewählt werden, dass x1,x2 positiv und kleiner als m sind. Warum sind die x-Werte verschieden?

Wäre x1=x2, dann   Im Widerspruch zur Teilerfremdheit. Den Werten   werden also verschiedene Werte   zugeordnet. Daher kommt irgendwann der Wert x=1 vor.

Folglich ist die minimale Zeitverschiebung

U = min(q) = T/(nm).

Nach diesem Betrag wiederholen sich die Klangfarben mit periodischer Verschiebung und sind mit reellen Zahlen 0<p<U zu unterscheiden.

Bei perfekter Harmonie gilt T = n/f = m/g, also U = 1/(mf) = 1/(ng).

Pro Sekunde ist die Zahl der Perioden U gleich: N(f) = N(g); mf = ng.

Eine Schwebung mit Frequenz S kommt vor, wenn die Periodenzahlen N(f) = mf und N(g) = ng sich um S Zyklen unterscheiden. So viele Perioden der Klangveränderung gibt es dann nämlich. Also gilt wie erwartet: S = | mf - ng |. Ende des Beweises, endlich.

Die Schwebung bei harmonischen Intervallen ist nicht einfach eine Amplitudenmodulation, sondern eine allgemeinere Modulation der Wellenform, der Klangfarbe. Die nichtlineare Komponente des Hörens kann dabei helfen, sie wahrzunehmen.

Zitate aus der Musikalischen Bibliothek von Lorenz Mizler werden mit Mus.Bib. markiert.[2] Die Schwebung erklärt nach Werckmeister, "Kurtzer Unterricht Wie man ein Clavier stimmen und wohl temperiren könne."

"Da nun eine Consonantia gegen die andere etwa zu hoch oder zu niedrig stehet, so nennet man dasselbe eine Schwebung. Dieser Nahme kommt fürnehmlich von den Orgelmachern her, denn wenn sie zwo Pfeiffen zusammen stimmen, und dieselben bald reine sind, so machen solche Pfeiffen, wenn sie zugleich mit einander angehalten werden, einen Tremorem, oder Zittern, je näher nun die Zusammen-Stimmung ist, je langsamer wird der Tremor, wenn sie aber endlich zusammen gestimmt sind, so lässet sich der Tremor oder daß Beben nicht mehr hören, und klingen solche zwo Pfeiffen ofte, als wenn es eine Pfeiffe wäre. Wenn der oberste Clavis gegen den andern zu hoch ist, so heist man es, in die Höhe schweben, ist er zu niedrig, nennet man dasselbe niedrig schweben." (Mus.Bib. I.2 S.160)

Die reine oder natürliche StimmungBearbeiten

Gut gesungene mehrstimmige a-cappella-Chormusik sollte rein gestimmt erklingen, genauso wie Streicher-Ensembles. Wir reden hier von altmodischer tonaler Musik. Eine Musik, der streckenweise die eine oder andere Tonart anheftet.

In der reinen C-Dur-Tonleiter sind alle Intervalle zum Grundton rational.

Note Frequenzverhältnis Intervall
C 1:1 Prime
D 9:8 große Sekunde
E 5:4 große Terz
F 4:3 Quarte
G 3:2 Quinte
A 5:3 große Sexte
H 15:8 große Septime
C 2:1 Oktave

Zwischen den Nachbarn gibt es große (9/8) oder kleine (10/9) Ganztöne und bei E-F und H-C den diatonischen Halbton (16/15). Die Dreiklänge auf Tonika C, Dominante G und Subdominante F sind rein.

Soll das Prinzip der reinen Akkorde und Intervalle beim Wechsel in eine benachbarte Tonart zu C-Dur beibehalten werden (Modulation), dann passiert mehr als nur eine schwarze Taste einzubauen. Es müssen auch manche Tonhöhen der weißen Tasten angepasst werden!

Indiz dafür: die Quinte D-A ist in Rein-C-Dur verstimmt. D wäre die Molltonart parallel zur Subdominante. Die Modulation in Richtung Subdominante braucht in der Tat zwei Alterationen für ein reines F-Dur. H wird zu B und D wird um ein syntonisches Komma gedrückt.

Eine Modulation nach a-Moll braucht zwar keine "schwarze Taste", aber auch hier muss D etwas sinken, um zur reinen Subdominante von A zu werden.

Eine Modulation von der reinen Tonleiter in C-Dur zur derjenigen in G-Dur braucht auch zwei Änderungen: aus F wird Fis und A wird um ein syntonisches Komma angehoben, von 440 Hz nach 445,5 Hz.

Die Terzen im reinen C-Dur sind rein bis auf D-F. Taucht diese auf, sollte wieder eine Modulation im Spiel sein und der Ton D abgesenkt werden.

Was ist das syntonische Komma? Das Verhältnis von zwei pythagoreischen Ganztönen (9/8) zu einer reinen großen Terz (5/4),

SK =   = 81/80 = 1,0125 = 21,51 Cent.

Dieses Komma tritt auf, weil die reine Terz aus einem großen und einem kleinen Ganzton besteht:  

Gleichwertig definiert man das syntonische Komma als den Unterschied zwischen vier reinen Quinten und zwei Oktaven plus großer Terz:

SK =  

Weiter unten wird eine Methode der Stimmung erwähnt, die Terzen dadurch rein macht, dass Quinten im Vierergespann gleichmäßig gestaucht werden.

Fazit: eine reine Intonation benutzt viel mehr Töne als zwölf. Nicht nur sind beispielsweise As und Gis verschiedene Noten und Frequenzen, sondern diese und auch alle 'weißen Tasten' kommen in Varianten vor, die sich um das syntonische Komma unterscheiden.

Rechenübung zum Wechsel der Tonart.
 
Greensleeves, England um 1500

Nichts befiehlt einem, dass ein Lied in C-Dur zu sein hat, also auf dem ersten Ton beginnt und endet. Mit der gleichen Folge von ganzen und halben Tönen können Melodien sich um jeden anderen Ton als Ruhepol entwickeln. Das Lied Greensleeves zum Beispiel sitzt auf dem zweiten Ton (hier bezogen auf F-Dur). Solche Melodien sind modal auf dem zweiten, dritten, vierten, fünften ... Ton; auch genannt Dorisch, Phrygisch, Lydisch, Mixolydisch usw. Unzählige traditionelle und volkstümliche Lieder haben modale Tonarten.

Die Vorherrschaft von Dur und Moll brach erst mit der Renaissance allmählich aus. Welche Besonderheit haben die Stufen 1 und 6, also Dur und natürliches Moll? Bei ihnen gibt es die nächstverwandten Töne (Quinte=Dominante und Quarte=Subdominante) und sie haben denselben perfekten Dreiklang wie der Grundton. Vielleicht wurden damit die vielstimmige Polyphonie und die schriftlich fixierte Musik besser machbar. Ging nicht auch im zwanzigsten Jahrhundert die Dur-Moll-Ära zu Ende?

Zum Vergleich der Tonleitern auf dem ersten, vierten und fünften Ton (Tonika, Subdominante, Dominante) rechnen wir die jeweiligen Frequenzen im Verhältnis zum Anfang aus.

C D E F G A H C
1:1 9:8 5:4 4:3 3:2 5:3 15:8 2:1
F G A H C D E F
1:1 9:8 5:4 45:32 3:2 27:32 15:8 2:1
G A H C D E F G
1:1 10:9 5:4 4:3 3:2 5:3 16:9 2:1

Nun werde verlangt, warum auch immer, die Skalen nach Dur zu verbiegen. Die Tonleiter auf F hat zwei Unterschiede zur Dur-Skala, die Töne H und D. Um folgende Intervalle muss abgesenkt werden, um ein F-Dur zu erzwingen:

  (45/32) / (4/3) = 135/128
  (27/32) / (5/3) = 81/80

Die Tonleiter auf G hat die Töne A und F, die von Dur abweichen.

Zwei Anhebungen erzeugen ein G-Dur:

  (9/8) / (10/9) = 81/80
  (15/8) / (16/9) = 135/128

Das syntonische Komma 81/80=1,0125 taucht jedes Mal auf. Neu ist ein Halbtonschritt, der einen Leitton entweder abschafft oder herstellt. Die halbtönige Alteration ist kleiner, um ein Prozent, also etwa ein Komma, als ein diatonischer Halbton. Denn: (16/15) / (135/128) = 1,011...

Die gleichstufige StimmungBearbeiten

Die Begriffe temperierte, gleichstufige oder gleichschwebende Stimmung bezeichnen die gleiche Technik, die bei Tasteninstrumenten vorherrscht. Man teilt die Oktave streng in zwölf gleiche Intervalle auf. Das bringt eine brutale Vereinfachung, die

  • erstens die Unterschiede zwischen As und Gis und Kollegen ausradiert (enharmonische Verwechslung),
  • zweitens alle Feinstruktur (Verschiebung ums syntonische Komma) unterdrückt.

Weil zwölf temperierte Halbton-Intervalle I eine Oktave ausmachen, gilt:

  100 Cent.
 
Der Quintenzirkel

Das pythagoreische Komma ist der Fehlbetrag, der herauskommt, wenn zwölf Intervallschritte von reinen Quinten verglichen werden mit einem Intervall von sieben Oktaven:

PK =   = 1,01364 = 23,46 Cent.

Die Folge reiner Quinten schießt um einen Achtel Ton (Erinnerung, ein Halbton = 100 Cent) über die Oktaven hinaus. Die Kette von 12 Quinten heißt der Quintenzirkel. Zu schön wäre es, wenn er wieder beim Ausgangston ankäme. Töne, die sich um Oktaven (Faktoren zwei) unterscheiden, sind hier äquivalent. In der reinen Stimmung wäre der Quintenzirkel eine Quintenspirale. Der Kreis schließt sich nur wegen leicht unsauberer Quinten.

"Aus der Erfahrung weiß man, daß, wenn man z.E. alle Quinten etc. rein stimmet, bey der Fortschreitung die Tone zu hoch kommen, und mit andern Tonen eine unleidliche Dissonanz verursachen. Diesem Uebel abzuhelffen, nimmt man einer Consonanz bald etwas ab, oder leget ihr bald etwas zu, und temperiret die Verhältnisse der Tone so gegeneinander, daß sie das Gehöre alle wohl vertragen kan, welches Temperatur heist, und zur Absicht hat, daß man aus allen 24 Tonarten, ohne die Ohren zu beleidigen, spielen kan." (Mus.Bib. I.3 S.237)

Bei der gleichstufigen Stimmung wird jede Quinte nur um knapp 2 Cent eingeengt, so dass die Folge passgenau und gleichmäßig eine Oktave mit zwölf Tönen bevölkert. Der Fehler erklingt als eine dezente Schwebung der Quinten, ein Tremolo, das nicht weiter schockiert. Beim Klavierstimmen stellt man die langsamen Perioden dieser Schwebungen auf Sollwerte ein. Daher auch der Name gleichschwebende Stimmung.

Eine gleichwertige Definition des pythagoreischen Kommas ist das Verhältnis von sechs 'großen' Ganztönen zu einer Oktave,

PK =  

Diese Zahl wurde zuerst von Euklid erwähnt.

Es kam Kritik auf. Die gleichstufig großen und kleinen Terzen weichen hörbar von den reinen Vertretern der Gattung ab. Um die 15 Cent beträgt der Fehler.

Intervall gleichstufig rein
kleine Terz 300 Cent 315,5 Cent
große Terz 400 Cent 386,5 Cent

Die gleichschwebend gestimmten Terzen klingen also kratzig wegen schneller Schwebungen. Die großen Terzen sind "scharf".

Rechenbeispiel.

Den Kammerton A =  440 Hertz nennen wir a', er gehört zur Oktave von c' bis h'. Die Töne in der Oktave darunter bezeichnen wir ohne Strich. Die Frequenz vom Ton c' folgt aus der von a', wenn neunmal durchs Halbtonintervall I geteilt wird. Die Frequenz von c ist dann die Hälfte.

Was macht die Schwebung zwischen den temperierten Tönen

c = 130,812 Hz,
e = 164,813 Hz ?

Das Intervall c-e ist eine große Terz, das ideale Verhältnis wäre 4:5.

Die Obertöne   und   liegen also sehr nahe zusammen. Ein Tremolo mit der Differenzfrequenz dieser Obertöne soll wahrnehmbar sein.

 

Diese gleichstufig gestimmte Terz vibriert mit der Frequenz 5 Hertz.

Die Stimmung ist ein Kompromiss, der für Tasteninstrumente erfunden wurde. Gute Streicher und Sänger neigen spontan dazu, mit den reinen Intervallen aufzuwarten.

Früher wurden daher noch andere Kompromisse bevorzugt, in der Richtung: Wir geben die Hälfte der möglichen Tonarten auf. Dafür verschönern wir aber viele der Terzen.

Schon im 16. Jahrhundert und Anfang des 17. Jahrhunderts haben sich viele gebildete Leute mit dem Problemen der ungleichschwebenden Stimmung beschäftigt und verschiedene Vorschläge erarbeitet, wie diese abgemildert werden kann. Zu diese Gelehrten zählen unter anderen Johannes Kepler (* 1571; † 1630), Leonhard Euler (* 1707; † 1783), Wolfgang Caspar Printz (* 1641; † 1717), Andreas Werckmeister (* 1645; † 1706) und Gottfried Silbermann (* 1683; † 1753). In der Mitte des 17. Jahrhunderts machte vor allen anderen Johann Philipp Kirnberger (* 1721; † 1783) von sich reden. Bis zum Ende des 17. Jahrhunderts wurde auf dieser Basis schließlich die gleichschwebende Temperatur entwickelt, wobei sich untern vielen anderen die folgenden Personen bei der Umsetzung und Einführung hervorgetan haben: Johann Georg Neidhardt (* 1680; † 1739), Georg Andreas Sorge (* 1703; † 1778), Johann Heinrich Lambert (* 1728; † 1777), Christoph Gottlieb Schröter (* 1699; † 1782), Barthold Fritze (* 1697; † 1766), Jean-Philippe Rameau (* 1683; † 1764), Jean-Baptiste le Rond d'Alembert (* 1717; † 1783), Friedrich Wilhelm Marpurg (* 1718; † 1795) und Moses Mendelssohn (* 1729; † 1786).[3]

Mehr zur natürlichen StimmungBearbeiten

Die Dur-Tonleiter ist ein Quint-Terz-System. Abgesehen von Transpositionen um Oktaven, erreicht man die Töne mit der kleinstmöglichen Zahl von Sprüngen mit Quinten, Faktor (3/2), und großen Terzen, Faktor (4/5), vom Grundton aus. Eine Quinte nach unten gleicht dabei einer Quarte aufwärts.

Will man die Skala noch einfacher nur mit reinen Quinten nachbilden, bekommt das System die pythagoreische Stimmung und hat unreine Terzen, denn vier Quinten modulo Oktaven übertreiben die Terz um ein syntonisches Komma. Die so gestimmte Terz wäre mit 408 Cent noch schriller als die temperierte.

Dogmatische Theoretiker des Mittelalters hatten tatsächlich die Terz zur Dissonanz erklärt, Pythagoras erlaube sie nicht. Wer dem Ukas folgte, machte sterbenslangweilige mittelalterliche Musik mit nur Quinten als Harmonie.

Symbolisch erzeugen die Algorithmen die Tonleitern, modulo Oktaven:

Ton C D E F G A H
Quint/Terz-System 0 2Q T -Q Q -Q+T Q+T
Quinten-System 0 2Q 4Q -Q Q 3Q 5Q

Das Rechnen sei mit Logarithmen definiert. Werte von Oktave, Quinte, großer Terz:

 

Alle Töne haben Werte zwischen 0 und   Intervalle werden kombiniert durch Addition und Subtraktion modulo Oktave; also Summen/Differenzen um Oktaven verschoben, so dass das Ergebnis im halboffenen Intervall   liegt. Mathematisch sind die Töne und Intervalle eine kommutative Gruppe und isomorph zum Einheitskreis. Der Ton C sei das Null-Element. Das Inverse einer Quinte ist die Quarte, also die Umkehrung. Terzen sind invers zu Sexten, Sekunden invers zu Septimen. Die Gruppenverknüpfung "+" ist die Addition modulo Oktave, bei Negation "-" erfolgt auch die Oktaven-Verschiebung danach. Die Symbole   sind Gruppenelemente, und wie bei jeder abelschen Gruppe ist die Multiplikation derselben mit ganzen Zahlen möglich.

  • Das Pythagoreische Komma   23,46 Cent
  • Das Syntonische Komma   21,51 Cent

Ein System aus 13 reinen Quinten kann so notiert werden:

As-Es-B-F-C-G-D-A-E-H-Fis-Cis-Gis

As hat den Wert -4Q und Gis den Wert 7Q.

Ausgehend vom Quintensystem können wir die Terzen bereinigen, indem wir den Überschuss abziehen, den 4 Quinten gegenüber der großen Terz haben, modulo 2 Oktaven. Er beträgt ein syntonisches Komma. Eine Tiefkomma-Notation dokumentiert, wie die Dur-Skala vom pythagoreischen Quintensystem abweicht:

{ C D ,E F G ,A ,H C } = {0, 2Q, 4Q-S, -Q, Q, 3Q-S, 5Q-S, 0}

Auch ein Hochkomma-Präfix wird benutzt, um positive S-Verschiebungen anzuzeigen. Allgemein, wenn Note X den Wert x hat:

 

Alle Dur-Tonleitern haben das Muster mit Kommata an denselben drei Stellen.

Beispiele:

Des-Dur: { Des Es ,F Ges As ,B ,C Des}
As-Dur: { As B ,C Des Es ,F ,G As}
Cis-Dur: { Cis Dis ,Eis Fis Gis ,Ais ,His Cis}

Weil   ist ihre Differenz ein pythagoreisches Komma. Dagegen ist der Unterschied von ,Cis und Des weniger als 2 Cent.

Mittelalterlich konnte durch 12 wiederholte Quintensprünge die Tonleiter gefüllt werden mit den 'pythagoreischen' Halbtönen. Nachdem endlich rein klingende Terzen eingeführt wurden, brachten geordnete Modulationen zu den Nachbartönen der Quintenreihe immer neue Korrekturen ums syntonische Komma ein.

Zulässige Ungenauigkeit der TonhöheBearbeiten

Die Differenz zwischen dem Pythagoreischem und Syntonischen Komma (P-S) ist kleiner als 2 Cent. P-S heißt ein Schisma. Genauso klein ist der zwölfte Teil (P/12), um den die reinen Quinten in der temperierten Stimmung reduziert werden.

Die Ungenauigkeit bei der Tonhöhe darf relativ groß sein, wenn ein Ton nur kurze Zeit dauert. Das Produkt aus Frequenzbreite und Dauer ist von der Größenordnung Eins:   An der Schwebung ist es zu sehen: Zwei Frequenzen mit Abstand   machen eine Schwebung mit der Frequenz   Der Ton kommt in Hüllkurven an, die mindestens eine Periode von der Schwebung dauern,

 

Das Produkt aus Frequenzverbreiterung und Zeitdauer des Tremolos ist in der Gegend von Eins.

Bemerkung: In der Quantenphysik regiert Heisenbergs Unschärfe. Bezogen aufs Produkt aus Energie und Zeit spielt sich da genau das Gleiche ab. Denn die Energie ist das Produkt einer Frequenz mit dem Wirkungsquantum.

Wieviel Zeit dauert es denn nach dieser Unschärferelation, wenn man einen Reinheitsfehler von 2 Cent beim Kammerton A messen will?

 

So etwa 2 Sekunden, schneller ist der Fehler weder messbar noch wahrnehmbar.

Die lange gängige Theorie (Hermann von Helmholtz) sah im Ohr einen linearen Detektor, der auf Resonatoren beruhe. Sie ergab einen Widerspruch. Auf der einen Seite hat das Gehör eine hohe Auflösung für Frequenzen, etwa 1,5 Hz. Auf der anderen Seite eine hohe Zeitauflösung, genannt Trillerempfindlichkeit, bis zu 18 Amplitudenspitzen pro Sekunde. Also   erheblich unter der Einheit. Mit einem linearen System ist das nicht gleichzeitig möglich. Es wird verständlicher, wenn ein Detektor abhängig vom Inhalt des "Signals" seine Arbeitsweise in Echtzeit anpassen kann. Schon an den Tartini-Tönen waren nichtlineare Fähigkeiten des Gehörs zu erkennen.

Approximation des reinen TonsystemsBearbeiten

Die Näherungsmethode geht so: Wird eine Oktave in 53 gleiche Stufen eingeteilt, kann man mit solchen Tönen alle reinen Dur- und Moll-Tonleitern hinreichend genau annähern und alle Modulationen streng nach Regel durchführen. Der Fehler zur theoretischen Reinheit bleibt kleiner als 2 Cent.

Gioseffo Zarlino (1517-1590), genannt der Vater der modernen Musiktheorie, hat im 16. Jahrhundert folgende Rechenaufgabe gelöst:

Finde zwei ganze Zahlen   so dass:
  • die Oktave in   gleiche Intervalle   geteilt ist,
  • die reine Quinte möglichst gut in   gleiche Intervalle   zerfällt,
  • das Intervall   möglichst nahe am syntonischen Komma liegt.
Die Lösung lautet:  
Zarlinos Komma   22.6415 Cent. Er liegt wunderbar mitten zwischen den folgenden.
Syntonisches Komma   21.5063 Cent
Pythagoreisches Komma   23.46 Cent

Das Intervall bekam im englischen Sprachraum den Namen Holdersches Komma, nach William Holder (1616-1698), der sich offenbar den Vortritt erschlichen hat. Der Fehler zwischen der reinen Quinte und der Approximation mit   beträgt   Cent. Also bei zwölf Quinten immer noch unter 1 Cent, sehr klein verglichen mit den Kommata. Das Syntonische Komma bekommt mit   einen gut angenäherten Wert, auch mit einem Fehler um 1 Cent.

Mit dem Mikro-Intervall   sind die Dur-Tonleitern im Raster der 53 Töne zuhause. Denn die Töne dieser Skala sind Linearkombinationen aus   und   mit ganzen Koeffizienten. Die Töne sind durch ganze Zahlen als Vielfache des Intervalls   gegeben.

Tonleiter n = {nj,(n+2)j,(n+4)j-1, (n-1)j, (n+1)j, (n+3)j-1, (n+5)j-1, nj+i} modulo i; j=31, i=53.

Mit n von -6 bis 6 werden 13 Tonleitern erfasst.

C-Dur hat zum Beispiel den Code {0,9,17,22,31,39,24,53}.

Der große Ganzton beträgt   der kleine Ganzton   der diatonische Halbton  

Wenn n um 12 erhöht wird, kommt der Grundton   um ein pythagoreisches Komma höher wieder an. Das wird angenähert durch eine Verschiebung   ausgedrückt, und der Anordnung, dass n modulo 12 zu nehmen ist.

Insgesamt gibt es ein Raster von Tonleitern mit zwei Indizes und den Tönen:

L(n,k)= {nj+k,(n+2)j+k,(n+4)j+k-1, (n-1)j+k, (n+1)j+k, (n+3)j+k-1, (n+5)j+k-1} modulo i, mit ganzen Zahlen n,k.

Durch genügend viele Modulationen kann man das ganze Netz durchwandern. Der Wertebereich von k braucht nicht sehr groß zu sein, denn wenn n 13 Werte bekommt, ist schon ein Raster von Halbtönen mit Schritten von   vorhanden. Also wird mit k von 0 bis 5 alles was geht erfasst. Notieren kann man die so fein abgestuften Töne etwa als ",,,,B" mit dem oben erwähnten Komma-Präfix.

Die voll ausgebaute natürliche Stimmung hat angenähert 53 Töne pro Oktave. Die Fehler dieses Systems sind kleiner als 2 Cent und damit unhörbar.

Wandert man in einem Raster von großen Terzen, kommt ein anderer minimaler Fehlbetrag vor, das Kleisma   modulo Oktave, von etwa 8 Cent. Dies erlaubt die kleismatische Verwechslung von Tönen.

Die Moll-Tonarten werden hier nicht behandelt, sie passen ebenfalls nahtlos in die Skala aus 53 Tönen. Auch die temperierte und andere Stimmungen lassen sich hinreichend gut hineinpressen. Sogar Tonsysteme, die nicht in Europa entstanden, wie die traditionelle türkische Musik, kommen mit der Mikrotonleiter klar.

Mitteltönige StimmungenBearbeiten

Nur ein Beispiel dieser Rezepturen, die besonders auf reine Terzen Wert legen. In der Viertelkomma-mitteltönigen Stimmung werden Quinten um ein Viertel des syntonischen Kommas verengt, damit große Terzen rein herauskommen.

Regel: Es werden schwarze Tasten Cis, Es, Fis, Gis und B so intoniert, dass ihre Abweichung vom Stammton einen kleinen Halbton von K=76,049 Cent ausmacht. Alle anderen Schritte in der Zwölftonreihe sind große Halbtöne, G=117,108 Cent. Wer möchte, kann nachprüfen,  . Gestimmt wird mit Hilfe der Schwebungen bei Quinten; nach vier engen Quinten wird die Reinheit einer Terz geprüft.

In leichter Abwandlung wird das Gis geopfert und durch ein As ersetzt. Der Unterschied zwischen Gis und As beträgt der Regel nach (G-K) = 41 Cent, knapp einen Viertelton! Mit As statt Gis gibt es sechs spielbare Dur-Tonarten (und die parallelen Moll-Tonarten):

C F G B D Es. Für Kirchenmusik reichte das allemal aus.

Mit dem Gis kommt A-Dur herein und ersetzt Es-Dur. Im Endeffekt erhält man eine Menge guter Terzen, 11 verkleinerte aber noch wohlklingende Quinten und einen Problemfall: die zu große Quinte Gis-Es. Diese Wolfsquinte sollte die Organistin tunlichst vermeiden.

Mitteltönig heißt die Stimmtechnik, weil in den großen Terzen nicht mehr verschieden große, sondern zwei gleichartige Ganztöne vorkommen.

Aufgabe 1.

Der Ton a'=440 Hz soll eine Quinte e" bekommen, die um ein Viertel des syntonischen Kommas verengt ist. Welche Frequenz hat die Schwebung?

 
Frequenz der Schwebung:  

Das Tremolo muss auf 4,1  Hertz abgeglichen werden.

Aufgabe 2.

Die Werte des großen und des kleinen Halbtons sollen hergeleitet werden. Im Quintenzirkel gehen 5 Schritte von C nach H, 7 Schritte von B nach H. Jede enge Quinte bekommt den Faktor   aus Aufgabe 1. Daher folgt mit der Berichtigung um Oktaven:

der große Halbton H-C ist   mal eine Potenz von 2, Ergebnis 1,06998 = 117,11 Cent,
der kleine Halbton B-H ist   geteilt durch eine Potenz von 2, Ergebnis 1,04491 = 76,05 Cent.

Aufgabe 3.

Wie unrein ist die Wolfsquinte?

Von Es nach Gis braucht man im Zirkel 11 Faktoren der Quinte, also ergibt sich Gis-Es, geteilt durch den Faktor der reinen Quinte,

  mal eine Potenz von 2, Ergebnis 1.0208 = 35.68 Cent.

Gis-Es ist zu groß um ein doppeltes Komma, etwa ein Drittel vom Halbton.

Wohltemperierte StimmungenBearbeiten

Das Adjektiv "wohltemperiert" wird nicht nur für die gleichstufige Stimmung verwendet, sondern allgemeiner für eine Sammlung von Vorschriften, die gut ausgeglichen sind. So gut, dass das betroffene Tasteninstrument in allen 24 Dur- und Moll-Tonarten gespielt werden kann, ohne dass die ganz sensiblen Hörer weglaufen. Ein Pionier dieser Technik war der Musiker und Theoretiker Andreas Werckmeister (1645-1706). Er erarbeitete vier und mehr von solchen Algorithmen. Im Spezialfall der heute üblichen gleichen Halbtonschritte klingt die Musik in allen Transpositionen gleich. Bei einer der subtileren Stimmungen behalten bestimmte Tonarten aber eine charakteristische Färbung. (Jedoch sinkt man niemals auf das Niveau des Pianos im Wild-West-Saloon.) Je gebräuchlicher eine Tonart ist, um so reiner soll sie klingen.

  • Gleichstufige Stimmung: alle 12 Dur-Tonleitern gleichen sich.
  • Mitteltönige Stimmung: alle 6 "erlaubten" Dur-Tonleitern gleichen sich.
  • Reine Stimmung: Nur eine Tonleiter ist wirklich einwandfrei.
  • Wohltemperierte Stimmung: alle Tonleitern sind möglich, doch sie haben verschiedenen Charakter.

Beispiel: In der Werckmeisterschen Stimmung Nummer III werden sieben der zwölf Quinten des Quintenzirkels rein gestimmt und vier Quinten werden um ein Viertel des pythagoreischen Kommas verengt.

  • Reine Quinten: A-E E-H Fis-Cis Cis-Gis Gis-Es Es-B B-F F-C
  • Enge Quinten: C-G G-D D-A H-Fis

Trotz seiner Erfindungen trat Werckmeister in seiner letzten Veröffentlichung als Befürworter der gleichstufigen Stimmung auf. Es ist leider nicht überliefert, welche Art der Stimmung der geniale Johann Sebastian Bach benutzt hat. Diesbezügliche Vermutungen, Hypothesen, Theorien, Annahmen, Spekulationen, können Bände füllen. Einzelheiten kommen in einem Abschnitt weiter unten.

Folgende Tabelle zeigt, wie die Oktave bei verschiedenen Stimmungen in Cent aufgeteilt wird.

Temperament/Ton: C Cis D Es E F Fis G Gis A B H C
Mitteltönig 0 75.5 193 310.5 386 503.5 579 696.5 772 889.5 1007 1082.5 1200
Gleichstufig 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Vallotti 0 94 196 298 392 502 592 698 796 894 1000 1090 1200
Werckmeister-III 0 92 193 294 391.5 498 590 696.5 793 889.5 996 1093.5 1200
Kirnberger-III 0 90 193 294 386 498 590 696.5 792 889.5 996 1088 1200

Die Tabelle wurde aus alten Informationen bei archive.org gebaut: piano_repair/temperaments

Aufgabe. Ein Skript soll die Werckmeister-Skala ausrechnen.

Zahlen dazu:

Das pythagoreische Komma:  
Seine vierte Wurzel:  
Die reine Quinte:  
Die enge Quinte:  
# getestet mit Python 2.7
from math import exp, log

def werckmeister() :  # Tonskala streng nach Vorschrift
  rq= 3/2.0; kq= 16/9.0 * exp(-log(2)/4.0) # reine und kleinere quinte
  skala='C Cis D Es E F Fis G Gis A B H c' # 13 Toene
  enge='C-G G-D D-A H-Fis' # 4 enge Quinten
  reine='A-E E-H Fis-Cis Cis-Gis Gis-Es Es-B B-F F-c' # reine Quinten
  ton= skala.split(' ')
  freq= [1]*13 # C hat relative frequenz 1, c hat 2.
  i= 0; k= (i+7) % 12; fertig=False # quintenschritte i-k
  while not fertig :
    quint = ton[i]+'-'+ton[k] # Code der Quinte
    rein= reine.find(quint)>=0;  eng= enge.find(quint)>=0
    if not (eng or rein) : print('Fehler: '+quint); exit()
    fk = freq[i] * (rq if rein else kq); big = (fk>2)
    freq[k] = fk/2.0 if big else fk # oktave berichtigt
    i=k; k= (i+7) % 12; k= 12 if (k==0) else k
    fertig= (i==12)
  for i in range(13) :
    fr=freq[i]; cent=1200*log(fr)/log(2) # frequenz auch in Cent
    print('%5s %8.3f %8.2f' % (ton[i],fr,cent))

def mittelton() : # Bonus. Selbe Uebung fuer mitteltoenig
  skala='C Cis D Es E F Fis G Gis A B H c' # 13 Toene
  ton= skala.split(' ')
  halbton='KGGKGKGKGGKG' # Halbtonfolge klein/gross
  q= exp(log(5)/4) # Quinte
  q5= q*q*q*q*q; q7= q5*q*q; gh= 1.0/q5; kh= q7 # grosser,kleiner Halbton
  while gh<1 :    gh= 2*gh    # oktaven wegwerfen
  while kh>=2.0 : kh= kh/2.0
  freq=[1]*13
  for i in range(12) :
    z= (kh if (halbton[i]=='K') else gh); freq[i+1]= freq[i]*z
  for i in range(13) :
    fr= freq[i]; cent= 1200*log(fr)/log(2) # frequenz auch in Cent
    print('%5s %8.3f %8.2f' % (ton[i],fr,cent))

print('Werckmeister-III-Tonleiter:');        werckmeister()
print('Viertelkomma-mitteltoenige Skala:');  mittelton()

Das Ergebnis stimmt nur ungefähr mit der Tabelle überein.

Entschieden missbilligte Werckmeister die mitteltönige Stimmung:

"Die letzte Quinta volte den Hunden und Raben zu Theile werden. Uber dieses dissoniren die Quinten so 1/4 Com. zu klein ist, sonderlich wenn sie allein, ohne Zuthuung der Tertien angeschlagen und ein wenig zu niedrig gestimmet werden, so heßlich, daß man sie kaum vertragen kan, kein gesundes Ohr wird solche lahme und faule Quinten wohl billigen. Eine Tertia, so 2/3 biß 3/4 Com. zu groß ist, klinget dem Gehör angenehmer, als eine solche faule Quinta." (Mus.Bib. I.2 S.169)

Dynamische StimmungenBearbeiten

Mit der Computertechnik gab es neue Perspektiven für Orgeln, Synthesizer, Tasteninstrumente. Eine Software erkennt, welche Tonart gerade gespielt wird und stimmt in Echtzeit die Töne so um, dass optimal reine Akkorde und Melodien zu hören sind. Elektronisch unterstützt sollte ein Instrument, sogar eine aufwändig ausgestattete Pfeifenorgel, so gut intonieren wie ein professionelles Streichorchester.

 
Tonskala in Cent des Archicembalos von Nicola Vicentino (1555)
 
Clavemusicum omnitonum (1609) von Vito Trasuntino
 
Ein Orthotonophonium nach Arthur von Oettingen aus der Schiedmayer Pianofabrik von 1914 mit 72 Tonstufen pro Oktave.

Kuriosität.

Ein futuristisches Instrument, das Archicembalo wurde im 16. Jahrhundert entworfen. Auf zwei Manualen hatte die Oktave jeweils über 20 Tasten für insgesamt 31 gleichmäßig verteilte Töne. Die Begründung dafür war: so wird die Viertelkomma-mitteltönige Stimmung zu einem Zirkel geschlossen, statt an einer Wolfsquinte anzuecken. Genauer, 31 Mal die verengte Quinte ergibt praktisch ein Vielfaches der Oktave.  

Der größere Tonraum sollte weitreichende Modulationen mit immer sauberen Terzen und Quinten ermöglichen. Denn in jeder Tonart ist symmetrisch dasselbe Umfeld wie in C-Dur vorhanden. In der Praxis waren die Prototypen so gut wie unspielbar und landeten wohlverdient im Museum. Das Gerät war vor fast 500 Jahren eine technische und intellektuelle Meisterleistung. Im Geist der Renaissance lag der Wunsch, damit auch antike Musik wieder zu beleben. Kein Original ist erhalten. Das Foto zeigt ein etwas späteres Exemplar.

Insgesamt wären mindestens drei interessante gleichmäßige Aufteilungen der Oktave auf elektronischen Instrumenten ohne Schwierigkeiten machbar: mit 12, 31 oder 53 Stufen. Das Orthotonophonium (in Anlehnung an die griechischen Wörter ορθός = richtig, τόνος = Ton und φωνή = Klang) von 1914 ist ein Harmonium, das sogar mit 72 Tonstufen pro Oktave ausgestattet ist. Darauf können in allen diatonischen Tonarten reine Intervalle und Akkorde gespielt werden.

Das erweiterte mitteltönige System.

Berechnung in natürlichen Logarithmen der Archicembalo-Tonskala.

Die Oktave hat 31 gleiche Stufen B, also 31*B = ln(2). Es soll die diatonische Leiter 5 gleiche Ganztöne und 2 gleiche Halbtöne haben, nur Vielfache von B. Mit Ganzton G und Halbton H: 5*G+2*H = 31*B. G muss ungerade sein, G>H und H~G/2.

Die Lösung lautet: G = 5*B, H = 3*B.

Für Modulationen wird alteriert mit dem kleinen Halbton K = G-H = 2*B. Der Unterschied zwischen Gis und As beträgt D = H-K = B. Die Quinte hat den Wert Q = 3*G+H = 18*B. Die Oktave hat ein Raster von 31 Mikrotönen mit dem Intervall B.

Vergleichen wir die Intervalle in Cent mit der Original-mitteltönigen Stimmung, deren Quinte den Logarithmus Q = ln(5)/4 hat. Unhörbarer Unterschied.

Stimmung Gis-As Kl.Halbton Gr.Halbton Ganzton Quinte
Archicembalo 38.71 77.42 116.13 193.55 696.77
Mitteltönig 41.06 76.05 117.11 193.16 696.58
Code-Punkte der Dur-Tonleiter: {C,D,E,F,G,A,H,c} = {0,5,10,13,18,23,28,31}.

Jeder dieser Töne X braucht noch eine erhöhte Variante Xis (+2 Punkte) und eine erniedrigte Xes (-2 Punkte), insgesamt schon 21 Tasten pro Oktave. Wenn besonders energiegeladene Musik stellenweise doppelt erhöht oder erniedrigt, werden auch die restlichen 10 Töne des Rasters angefordert.

Zum Beispiel {F,Geses,Fis,Ges,Fisis,G} = {13,14,15,16,17,18}.

In der Halbton-Gegend zeigen sich die ersten Verwechslungen, Hisis gleich Deses ungleich C.

Die Vierklänge mit einer natürlichen Septime können auch gut im 31-Ton-System dargestellt werden. Der Akkord "c-e-g-ais" etwa entspricht gut den Harmonischen 4:5:6:7 aus der Obertonreihe des Tons "C," zwei Oktaven tiefer.

Das so erweiterte mitteltönige System setzt also die geschriebenen Noten Eins-zu-Eins um ohne die enharmonischen Verwechslungen. Spielt jemand eine angelernte Komposition mit nur 12 Tasten, wüsste ein Instrument mit Datenspeicher automatisch, was gemeint ist. Nur die Tonhöhe würde geschaltet, ohne sonst den Künstler zu gängeln.

Die Stimmung in der VokalmusikBearbeiten

Die Ergebnisse eines klassischen Artikels (1893), kurz zusammengefasst:

  • Max Planck: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik[4]

Max Planck (1858-1974), der berühmte Begründer der Quantentheorie, war auch ein ausgezeichneter Musiker mit absolutem Gehör und konnte Töne mit Unterschieden von einem Komma in einer Polyphonie heraushören. Er hatte Zugriff auf ein Harmonium mit 104 Tonhöhen pro Oktave. Das Instrument erlaubte ihm, alle Stimmungen, Intervalle, Akkorde zu testen und seine Wahrnehmung zu schulen.

Planck untersuchte nach Gehör die Praxis des Chorgesangs und fand, dass je nach den Umständen in reiner oder temperierter Stimmung gesungen wird. Mehrere psychoakustische Effekte kommen ins Spiel.

  • Akkommodation:

Wenn ein Intervall wenig vom reinen Zahlenverhältnis abweicht, zieht das Ohr die Abweichung ab und täuscht sich die Reinheit vor (etwa wie im Einfangbereich einer PLL-Elektronik, pardon für die technische Analogie). Nur Kritiker und Dirigenten stellen bewusst die Bandbreite der Toleranz ganz klein. Viel Akkommodation leisten zu müssen, ermüdet die Hörer:innen. Was die Oktave angeht, herrscht praktisch Null-Toleranz.

Beiläufig wird erwähnt, dass die Natur-Septime mit Frequenzen im Verhältnis 4:7, die in unseren Tonleitern nie vorkommt (vereinzelt in Orgel-Registern?) einen ganz angenehmen Zusammenklang hat.

  • Gedächtnis:

Das Gehör braucht eine gewisse Verzögerung, um sich eine neue Klangfarbe anzueignen. Man empfindet den zuerst gehörten Akkord bei einem Wechsel als angenehmer. Das um so mehr, je weniger ähnlich oder verwandt die zwei Klänge sind.

Max Planck: „So finde ich bei der Vergleichung des Molldreiklangs in temperirter und in natürlicher Stimmung, daß dieser Dreiklang immer in derjenigen Stimmung besser klingt, in welcher er zuerst angegeben und lange genug ausgehalten wird.“
Quelle: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik, Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, 9, S.418-440, 1893
  • Gewöhnung:

Die Macht der Gewohnheit lässt die seit Jahrhunderten vom Klavier vorgegebene temperierte Stimmung den Sängern in Fleisch und Blut übergehen. In A-cappella-Chören wurden laut der Studie die Dur-Dreiklänge überwiegend temperiert gesungen. Tonleitern intonierten die Sänger auch lieber temperiert.

  • Entspannung:

Je weniger konsonant die Zusammenklänge sind, umso mehr Konzentration und Anstrengung brauchen die Sänger, um sie zu halten. Bei langen und harmonisch perfekten Akkorden stellt sich von selbst die ermüdungsfreie reine Stimmung ein. Am besten, wenn pianissimo gesungen wird.

An einer Folge von Dur-Akkorden, bei denen jeder mit dem nächsten einen Ton gemeinsam hat, zeigte sich theoretisch und praktisch, dass die Tonhöhe des Chors vom Anfang zum Ende absinkt. Nicht weil der Chor schlecht ist, sondern weil wiederholt bei den eingebauten Modulationen die Töne in reiner Stimmung sich um Komma-Beträge verschieben.

In einem Chorstück von Heinrich Schütz sinkt so bei langsamer Harmonie über die Worte "So schlaf ich ein und ruhe fein" die Tonlage automatisch um ein Komma. Die darauf folgende lebhafte Passage mit dissonanten Klängen gibt dann dem Chor die Gelegenheit, wieder auf das Soll-Niveau zu klettern. Die Komposition setzt bewusst auf die reine Stimmung, die einen stärkeren Kontrast von Konsonanzen zu Dissonanzen bietet als die temperierte.

Max Planck: „Denn die Kunst findet ihre Begründung in sich selbst, und kein theoretisches System der Musik, wäre es noch so logisch begründet und konsequent durchgeführt, ist im Stande, alle Forderungen der zugleich mit dem menschlichen Geiste ewig wechselnden Kunst ein für alle Mal zu fixiren. In dieser Beziehung hat das natürliche System durchaus keinen Vorzug vor dem temperirten, und es ist daher auch durch Nichts gerechtfertigt, bekannte Kompositionen ohne Weiteres in natürliche Stimmung zu übertragen.“
Quelle: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik, Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, 9, S.418-440, 1893

Fazit. Die Stimmung ist eines der Ausdrucksmittel der Musik und gibt ihr verschiedene Klangfarben. Zur Wahl der Stimmung bestehen keine dogmatischen Heilslehren und die Kunst sollte das letzte Wort haben. Kein Theoretiker soll den Komponisten irgendwas vorschreiben.

Welche wohltemperierte Stimmung hatte J.S. Bach?Bearbeiten

 
Titelseite des Klavierzyklus' "Das Wohltemperierte Klavier" von Johann Sebastian Bach aus dem Jahr 1722.
 
Das Wohltemperirte Clavier, Kopf der Titelseite des ersten Buchs, 1722

Im achtzehnten Jahrhundert fühlten sich die Musiker wie von Fesseln befreit. Sie konnten unbeschränkt modulieren, ohne wie bei den vorher üblichen mitteltönigen Stimmungen auf allzu falsche Intervalle zu stoßen. Die Zeit der gleichstufigen und der wohltemperierten Tasteninstrumente war angebrochen. Johann Sebastian Bach feierte diesen Fortschritt mit seiner Sammlung von Präludien und Fugen durch alle Tonarten: Das Wohltemperirte Clavier.

Der Komponist hat die Titelseite eigenhändig geschrieben und verziert. Kontroverse Interpretationen umranken die Figur am Kopf als Stimmanleitung. Die Girlande hat zwölf Bögen, die nach oben gerichtet sind. Sie sollen den zwölf Tönen des Quintenzirkels entsprechen. Zwischen den Bögen kommen drei Typen von Schnörkeln vor: mit eins, zwei oder drei Schleifen. Man stelle sich das rechte Ende zum linken hin geschlossen vor, dann enthält der Zirkelschluss auch explizit gezeichnet drei Schleifen zusammen. Sind die Schnörkel die Codes für die Art der Verstimmung der Quinten? Je mehr Schleifen, umso enger sind die Quinten zu nehmen. Bedeuten die Stellen etwas, wo die Buchstaben D und C die Verzierung berühren?

Johann Sebastian Bach gefiel es ja, seinen Mitmenschen Rätsel aufzugeben, die er in den Partituren verpackte. So ist auch nicht unwahrscheinlich, dass er sein Rezept zur Stimmung der Tasteninstrumente graphisch verkleidete.

Andreas Sparschuh war der Erste, der dies 1999 vermutete. Er schrieb den Code etwa so:

{Start=1}-1-1-1-0-0-0-2-2-2-2-2-{End=2}.

Aber meinen die Variablen konkret Bruchteile vom Komma, oder meinen sie die Periode der Schwebungen (in Sekunden) in einer Bezugs-Oktave um 400 Hertz? Mit welchem Ton fangen wir an? Ist die Reihe von rechts nach links oder von links nach rechts zu lesen? In Quarten oder Quinten fortschreitend?

Andere StimmungenBearbeiten

Bevor wir den Bach-Code versuchsweise und haarklein interpretieren, einiges zu historisch dokumentierten wohltemperierten Stimmungen. Viele Informationen enthält die musikwissenschaftliche Dissertation von Sergio Martínez Ruiz.[5]

Bei der Stimmung kämpfen Quinten und große Terzen gegeneinander, was die Reinheit betrifft. Vier reine Quinten ergeben eine Terz, die um ein syntonisches Komma zu groß ist. Eine reine Terz entsteht aus vier Quinten, die um ein Viertelkomma zu klein sind. Im Quintenzirkel gibt es grob gesehen den nahen Halbkreis F-C-G-D-A-E-H, der die diatonische Leiter von C-Dur enthält, und den entfernten Halbkreis H-Fis-Cis-[Gis=As]-[Dis=Es]-B-F, in dem die anderen der zwölf Töne stecken. Ungleichmäßige, aber wohltemperierte Skalen haben die Tendenz, in Fernbereich reine oder sogar leicht überhöhte Quinten, und damit sehr scharfe Terzen, unterzubringen. Im nahen Sektor aber soll das beste Gleichgewicht zwischen wenig verengten Quinten und nicht zu hoch schwebenden großen Terzen entstehen. Die Randbedingung ist immer, dass die Summe aller Quintenfehler (Erinnerung, es wird mit Logarithmen gerechnet) genau ein Pythagoräisches Komma kompensiert. Die besten großen Terzen sollten die drei im Nahbereich sein, nämlich F-A, C-E, G-H. In Richtung "Fis-Ais" dürfen die Terzen sich gleichmäßig monoton verschlechtern.

Die Methode Kirnberger-II, die man oberflächlich als quick-and-dirty ansehen könnte, verdient besondere Aufmerksamkeit. Kirnberger war ein Schüler Bachs und war viel damit beschäftigt, die Instrumente in seinem Umkreis zu stimmen. So geht das Rezept:

Mache neun von zwölf Quinten alle rein. Abgesehen von D-A und A-E, die je um ein halbes syntonisches Komma S/2 verengt werden. Das geht recht schnell, man braucht nur die umklammernde Terz G-H auf totale Reinheit zu prüfen. Die etwas entfernte Quinte Fis-Cis wird um einen Restbetrag verengt, ein Elftel des syntonischen Kommas S. Denn (12/11)*S ist praktisch gleich P, dem Pythagoräischen Komma.

Übrigens wurde Bach bewundert für die Geschwindigkeit, mit der er selbst sein Clavichord stimmte, eine Viertelstunde. Nahm er Kirnberger-II, und war das eigentlich seine Erfindung? Den Erwartungen zum Trotz – zwei nach Werckmeister ganz faule Quinten – lassen alle Tonarten sich spielen.

Werckmeister-Typ: Hier die Disposition einiger der Stimmungen, die mit Werckmeister-III verwandt sind: Man verengt vier bis sieben Quinten im diatonischen Sektor, alle anderen sind rein. Die Daten sind Bruchteile des Pythagoräischen Kommas P, ihre Summe ergibt P.

Stimmung Quintenfolge Komma-Bruchteile
Werckmeister-III C-G-D-A-E-H-Fis -{P/4, P/4, P/4, 0, 0, P/4}
Tartini-Vallotti C-G-D-A-E-H-Fis -{P/6, P/6, P/6, P/6, P/6, P/6}
Kellner C-D-G-A-E-H-Fis -{P/5, P/5, P/5, P/5, 0, P/5}
Billeter F-C-G-D-A-E-H-Fis -{P/11, P/12, P/12, P/3, P/3, P/12, P/12}
Barnes F-C-G-D-A-E-H-Fis -{P/6, P/6, P/6, P/6, P/6, 0, P/6}
Kelletat F-C-G-D-A-E -{P/12, P/4, P/4, P/4, P/6}

Stimmung nach dem Titelblatt des WTCBearbeiten

Sparschuh (Variante von Zapf) legt links an der Bach-Girlande den ersten Ton C=250 Hertz fest. Ab dort kommen Quintengruppen mit drei verschiedenen Verkleinerungen, die durch Schwebung (statt Komma-Bruchteilen) definiert sind:

C-G-D-A : drei Quinten, Schwebungsfrequenz 1 Hertz.
A-E-H-Fis : drei Quinten, keine Schwebung.
Fis-Cis-Gis-Dis-B-F : fünf Quinten, höhere Schwebungfrequenz 2 Hertz.
F-C : Zirkel geschlossen, rein oder schwebend bis maximal 1 Hertz.

Alternativ kann das Pythagoräische Komma P durch 14 geteilt werden. Die drei ersten und die letzte Quinte werden um -P/14 verkleinert, die fünf anderen unreinen mit -P/7.

Die Praxis der Schwebung sieht hier zum Beispiel so aus: Es wird in der Oktave C-c von 250 bis 500 Hertz Quintaufwärts eng gestimmt. Wenn zu einem Ton die nächsthöhere Quinte aus der Oktave ausbricht, wird stattdessen die Quarte unter dem Ton vergrößert gestimmt. Aber die anzupeilende Schwebungsfrequenz ist genau dieselbe! Wieso?

Beispiel Quinte von G nach d. Geforderte Schwebungsfrequenz f= 3*f[G] - 2*f[d]. Die gespreizte Quarte D-G darunter schwebt mit (-f') = 4*f[D] - 3*f[G]. Also ist f=f' genau dann, wenn f[d] = 2*f[D] gilt, wie gefordert.

Nach jeder Quinte oder Quarte werden die Oktaven über und unter den neuen Tönen rein gestimmt. Wo das Rezept nach der Schwebefrequenz 2 Hertz verlangt, kann die Stimmung eine Oktave tiefer mit der Frequenz 1 Hertz erfolgen. Insgesamt gilt also ein "gleichschwebender" Algorithmus, der mit immer der gleichen Periode der Schwebung funktioniert. Trotzdem keine gleichstufige Stimmung, aber doch unkomplizierte Vorschriften.

Rechnet man die Zwölfton-Skalen mit einem kleinen Python-Skript nach, sowohl nach dem Rezept Komma-durch-14 als auch der Vorschrift Eine-Sekunde-Schwebung, so kommt praktisch ununterscheidbar dieselbe Stimmung heraus. [Anhang?]

Vergleichstest der wohltemperierten StimmungenBearbeiten

Die Arbeit von Martínez Ruiz analysiert mit Hilfe eines gezielt angefertigten Software-Pakets, welche Klang-Unterschiede auftreten, wenn das Wohltemperierte Klavier in einer großen Menge verschiedener Stimmungen durchgespielt wird.

Der Ansatz dieser Untersuchung ist, einer vorgegebenen Musik ein quantitatives Maß von "Schönheit" oder "Wohlklang" zuzuordnen. Danach wird über eine Sammlung wie die 48 Präludien und Fugen eines Bandes vom "Wohltemperirten Clavier" Statistik getrieben; der Mittelwert und die Streuung (Standardabweichung) des "Wohlklangs" kommen heraus. Die Komposition geht ein zum Beispiel als MIDI-Datei, zerlegt in eine Reihe von Zusammenklängen. Die Elemente der Reihe bekommen alle Gewichtsfaktoren je nach Tonlagen, Längen, Betonung im Takt, Auffälligkeit usw. Die Einzeltöne jedes Akkords haben Modelle von je etwa zehn Amplituden und Oberton-Frequenzen. Alle Paare von vorkommenden Frequenzen werden dann mit einer Dissonanzquote bewertet, die Null ist bei gleichen Frequenzen und typisch bei Differenzfrequenzen von 10 bis 50 Hertz durch ein Maximum geht. Die Form der Dissonanzfunktion soll die subjektive Empfindung simulieren. Die gewichtete Summe all dieser Werte über das ganze Stück beziffert dann den Wohlklang, beziehungsweise den Mangel desselben -- nur eine Sache des Vorzeichens.

Für jede der getesteten historischen und modernen rekonstruierten wohltemperierten Zwölftonskalen rechnet der Computer die ganze Statistik durch. Fallen gewisse Stimmungen auf durch besonders hohen oder besonders breit gestreuten "Wohlklang"?

Ja. Den höchsten mittleren Wohlklang hat Kirnberger-II, hat aber auch die höchste Standardabweichung. Die Musik klingt damit halt kontrastreich. Danach kommt mit gutem Wohlklang zum Beispiel Kelletat, gefolgt von Kellner, Tartini-Vallotti et cetera. Die vermuteten Stimmungen mit der Gruppierung 3-3-5 aus Bachs Girlande haben schlechtere Werte.

Der Autor legt zwar das Ergebnis vor, dass einige Indizien für Kirnberger-II sprechen als die wahrscheinlichste Temperatur im Umfeld von Bach. Aber er hat auch Zweifel, dass die bisherige Definition und Computersimulation des Wohlklangs überhaupt künstlerisch relevant ist und eine Liste der Testsieger ermitteln kann. Wie so viele akademische Arbeiten schließt das Dokument mit einem Ausblick darauf, welche weiteren Forschungen nötig sind.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Carl Gottfried Wilhelm Vollmer (* 1797; † 1864, alias W. F. A. Zimmermann): Der Tartinisch'sche Ton, in: Naturkräfte und Naturgesetze - Populäres Handbuch der Physik zum Selbstunterricht für die Gebildeten jeden Standes, Band 2: Akustik, Kalorik, Optik, Gustav Hempel, 1857
  2. Lorenz Christoph Mizler (* 1711, † 1778), Musikalische Bibliothek; Veröffentlicht in 4 Bänden, I - IV von 1736 bis 1754. Seitenangaben für das Digitalisat des Internet Archive.
  3. Arrey von Dommer(* 1828; † 1905): Handbuch der Musik-Geschichte von den ersten Anfängen bis zum Tode Beethovens in gemeinfasslicher Darstellung, XVI. Kapitel Theoretiker und Schriftsteller bis um 1800, Friedrich Wilhelm Grunow, Leipzig, 1878
  4. Max Planck: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik, Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, 1893, Seiten 418 bis 440
  5. Sergio Martínez Ruiz: Temperament in Bach's Well-Tempered Clavier - A historical survey and a new evaluation according to dissonance theory, Doktorarbeit, Universitat Autònoma de Barcelona, Facultat de Filosofia i Lletres, Departament d’Art i de Musicologia, July 2011

Schwingende ObjekteBearbeiten

Schwingende Objekte, Saiten, Balken und andereBearbeiten

Dieser Abschnitt handelt von Modellrechnungen, die mechanische Schwingungen und Wellen von drahtförmigen und ähnlich langgezogenen Objekten voraussagen wollen. Speziell sind die Saiten der Musikinstrumente betroffen. Es ist Physikunterricht hier und er stoppt nicht vor der zugehörigen angewandten Mathematik: Differenzial-, Integral-, Variationsrechnung, Wirkungsprinzip, Lagrange-Funktionen. Keine Panik bitte.

Zuerst kommt das einfachste Modell der gespannten Saite, das den Prototyp einer sogenannten Wellengleichung liefert. Wandernde und stehende Wellen und Eigenschwingungen auf einem gespannten Draht werden erklärt. Danach wird berücksichtigt, dass die Saiten wie Stangen und Balken nicht unendlich dünn sind und mit Widerstandskraft gegen das Verbiegen reagieren. Das verfeinerte Modell des Balkens ist schon sehr alt und stammt von Euler und Bernoulli. Es erklärt die inharmonischen Oberschwingungen dicker Saiten, die beim Klavierstimmen für die Spreizung von Oktaven berücksichtigt werden. Auch nichtlineare Effekte können da einziehen und bei großen Amplituden die Tonfrequenz anheben. Schließlich gibt es ein nochmal verfeinertes Modell aus dem zwanzigsten Jahrhundert, die Theorie von Timoshenko und Ehrenfest. Diese räumt ein, dass Elemente elastisch verformter dicker Drähte sich nicht nur senkrecht zur Achse, sondern auch je nach Lage im Querschnitt in Achsrichtung auslenken. Die zusätzlichen Freiheitsgrade rufen dabei eine Materialkonstante namens Schubmodul auf den Plan.

Die Hookeschen GesetzeBearbeiten

Es geht hier um elastische feste Körper. Wirkt eine Kraft an irgendeiner Stelle auf solche Körper ein, dann verformen sie sich proportional zur Größe der Kraft. Verschwindet die Kraft, kommt die ursprüngliche Form zurück. Diese Vorstellung funktioniert gut bis zu einem Grenzwert, ab dem sich das Material dauerhaft verformt, anfängt zu fließen und dann zu zerbrechen. Die schwingenden Körper seien immer im Geltungsbereich der Elastizität betrachtet, also bei hinreichend schwacher Belastung.

Unter anderem gibt es vier Parameter, die an einer elastischen Formveränderung von Klötzen von Metall beispielsweise zu messen sind.

  • Erster Fall:

Der Klotz vom Volumen V kommt in eine Druckkammer und wird von allen Seiten gleichmäßig dem Druck p (Einheit 1 Pascal = 1 Newton/m2) ausgesetzt. Die Abnahme des Volumens ist proportional zum Volumen selbst und zum angelegten Druck. In Formeln, die dimensionslose Größe   ist proportional zur Druckänderung:

 

χ ist die Kompressibilität; ihr Kehrwert K= 1/χ heißt der Kompressionsmodul und hat die Dimension Pascal,  

  • Zweiter Fall:

Ein Quader von Länge mal Breite mal Höhe L x B x H wird auf seiner Deckfläche belastet mit einer senkrechten Kraft F, die gleichmäßig auf der Fläche A= L x B verteilt ist. Die Kraft pro Flächeneinheit S = F / A (Einheit Pascal) heißt in diesem Fall eine Spannung, nicht ein Druck. Das deshalb, weil sowohl die Kraft F wie auch die Normale der Bezugsfläche A verschiedene Richtungen haben können. Während ein Druck eine skalare Größe ist, sind zwei Vektoren nötig, um eine Spannung genau zu definieren. Man stelle sich einen Probestempel vor, der mit Sekundenkleber auf einem Stück Oberfläche haftet und dann in alle Richtungen gedrückt oder gezogen werden kann.

Das Hookesche Gesetz sagt aus, dass die Höhe des Quaders abnimmt proportional zur Höhe und zur vertikalen Spannung. Die Parameter Länge und Breite fallen heraus. In Formeln,   Die Konstante E (Dimension Pascal) ist der Elastizitätsmodul.

Im Arsenal der Physik gibt es also Skalare, Vektoren und Größen, genannt Tensoren, deren Wert von mehreren Vektoren zugleich bestimmt ist. Die allgemeine Spannung ist ein Tensor. Im Inneren eines belasteten komplizierten Objekts, wie dem Kolben eines altmodischen Verbrennungsmotors, herrscht an jeder Stelle eine andere Spannung; es existiert insgesamt ein Tensorfeld.

  • Dritter Fall:

Dieser ist nur ein Zusatz zum zweiten Fall. Derselbe Quader mit derselben Art Belastung wird etwas in die Breite gehen, weil nicht einzusehen ist, dass der ganze gerichtete Höhenverlust auch als verlorenes Volumen aufwartet. Länge oder Breite nehmen zu mit der Proportionalität:

 

Der dimensionslose Parameter ν ist die Poissonzahl. Das Phänomen ist eine Querkontraktion, wenn die Spannung als Zugbelastung einwirkt.

  • Vierter Fall:

Derselbe Quader, doch nun wird eine Schubspannung S an der Deckfläche mit einer horizontalen Kraft, etwa in x-Richtung ausgeübt, während die Grundfläche des Quaders festgenagelt bleibt. Der Quader wird schief, denn die Deckfläche wird ein Stück   abwandern. Wieder ist der Effekt proportional zur Höhe und zur angelegten Spannung.

 

Die Konstante G (Dimension Pascal) ist der Schubmodul und der Effekt kann auch durch den Neigungswinkel α beschrieben werden.

Ein isotroper Festkörper hat in allen Richtungen die gleichen Eigenschaften. Anisotrope Objekte wie etwa faseriges Holz oder Kristalle haben elastische Parameter, die von den Richtungen abhängen. Für ein isotropes homogenes Material hängen die vier Werte   folgendermaßen zusammen:

 

Nur zwei sind unabhängig. Folglich gilt, wenn K sehr groß ist (inkompressible Materie):

 

Im allgemeinen Fall hängt eine innere Spannung an jeder Stelle eines kompliziert belasteten Objekts nichttrivial von einer gedachten Flächennormalen ab, sie ist kein bloßes Skalarprodukt mit einer einfachen Kraftrichtung. Sondern der Spannungsvektor   hat allgemeinere lineare Beziehungen zu jedem Normalenvektor   Das Objekt σ ist das Cauchy-Tensorfeld, es hat 9 Komponenten (wegen Symmetrie nur sechs unabhängige) und variiert von Ort zu Ort. Dies ist wohl das historisch älteste und namensgebende Beispiel eines Tensors.

Mehr Elastizitäts-FormalismusBearbeiten

Der folgende Stoff wird nur weiter unten zum Timoshenko-Modell gebraucht. Wer das langweilig findet kann beide Abschnitte überspringen.

 
Cauchy-Spannungstensor σ hat das Indexpaar Flächennormale, Kraftrichtung

Cauchy hat die Kräfte auf einen belasteten Körper beliebiger Form als Summe von Oberflächenkräften beschrieben. An jedem infinitesimalen Testquader im Körper ziehen solche Kräfte auf gegenüberliegenden Flächen in Gegenrichtung, daher sollte am Ende nur ein Oberflächenintegral über den ganzen Körper bleiben. Aus der Impulserhaltung wird bewiesen, dass die Kraft auf beliebig orientierter Fläche eine Linearkombination aus Kräften für drei orthogonale Flächen sind. Genauer, die Kraft ist eine lineare Funktion der Flächennormalen und des Flächeninhalts. Aus der Drehimpulserhaltung an allen Testquadern wird bewiesen, dass die Kraft auf der Fläche A die Form hat

 

mit der Flächennormalen   und dem symmetrischen Cauchy-Spannungstensor  . Seine Komponenten haben die Dimension Pa. Seine Symmetrie garantiert, dass er kein Drehmoment hervorruft.

Die unverformten Koordinaten eines Punktes seien  . Durch eine elastische Verformung wandert der Punkt an die Position  . Die Verformung oder Verzerrung ist die Tabelle der partiellen Ableitungen, genannt die Jacobimatrix, der Abbildung   misst, wie weit sich der Punkt   verschiebt. Ihre Verzerrung dagegen gibt linear angenähert an, wie weit nahe gelegene Punkte sich von einander weg oder aufeinander zu entwickeln.

 

Das allgemeine Hookesche Gesetz besagt, dass diese Verformung in einer linearen Beziehung zur Cauchy-Spannung steht. Nun stellt jede Abbildung, deren Jacobimatrix antisymmetrisch ist, eine infinitesimale Drehung der benachbarten Punkte um den Auswertungspunkt dar. Ein symmetrischer Cauchy-Tensor entwickelt keine Drehmomente. Reine Drehungen rufen keine elastischen Kräfte auf den Plan. Daher kann nur der Verzerrungstensor, der symmetrische Anteil der Jacobimatrix, zur Hookeschen Regel beitragen. In Koordinaten:

 

Zum Glück bleiben von den 81 C-Koeffizienten nur zwei übrig in den homogenen und isotropen Medien, die hier auf dem Programm stehen.

Mathematischer Exkurs. Drehungen konvergieren bei kleinen Winkeln zur Identität plus einer schief- oder anti-symmetrischen Matrix, wegen

 

In allen höheren Dimensionen erfüllen Drehungen als orthogonale Matrizen R die Bedingung   (Einheitsmatrix).

Auf einer glatten Matrixfunktion   liefert das Differenzieren die Antisymmetrie:

 

Das heißt, die lineare Näherung   einer Rotation ist schiefsymmetrisch.

Die Lehre von den kontinuierlichen Transformationen und von ihren sogenannten infinitesimalen Versionen wurde voll ausgebaut zur mathematischen Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

In folgenden Formeln sind R,T,U orthogonale Matrizen. Jede symmetrische reelle Matrix   kommt mit orthogonalen Ähnlichkeitstransformationen auf Diagonalform,  , und die Zahlen auf der Diagonalen sind die reellen Eigenwerte. Dieses wichtige Resultat hat Korollare.

Jede quadratische Matrix kann als Produkt einer orthogonalen und einer symmetrischen Matrix geschrieben werden. Zumindest für umkehrbare Matrizen M folgt das daraus, dass MTM symmetrisch und positiv definit ist und daher eine umkehrbare Quadratwurzel hat.

 

  ist dann orthogonal, denn auch S-1 ist symmetrisch:

 

Mit einer Diagonalisierung   kann dann die Matrix M weiter in Produkte von drei Matrizen zerlegt werden,  , so dass zwischen zwei Drehungen eine Diagonalmatrix D steht. Diese D macht die eigentliche Arbeit der Verformung. Sie verwandelt Kugeln in Ellipsoide, welche orthogonale Hauptachsen in Richtung der Koordinatenachsen haben.

Auf dem komplexen Zahlenkörper sehen die privilegierten Matrizen etwas anders aus. Die Eigenschaften {Symmetrisch, Orthogonal} werden zu {Hermitesch, Unitär}.

 
Abbildung   verformt kleine Quadrate zu Parallelogrammen. Partielle Ableitungen messen die relative Verschiebung.
  • Spezialfall von σ, ε bei Standardparametern E,G,ν.

Ein Testquader sei mit einer Ecke bei (0,0,0) festgenagelt und habe die Dimension  .

Die Scherspannung   setzt auf einer xz-Fläche an (Normale in y-Richtung, erster Index) und wirkt in Richtung x-Achse, anderer Index. Punkt (x,y,z) wird verschoben nach  , so dass

 .

Es gilt   Laut Postulat soll die Spannung linear mit   zusammenhängen. Weil hier

 

Weil es intuitiv nicht so einleuchtet, noch ein Erklärungsversuch. Die Verformung, die zur Definition des Schubmoduls herhielt, zählt nur halb als eine gegenseitige Bewegung der Materie. Die andere (schiefsymmetrische) Hälfte ist eine kleine Drehung ohne Einfluss auf die Form und wird abgezogen. Daher nun: Schubspannung = 2G mal eigentliche, effektive Verzerrung.

Eine Zugspannung   auf einer yz-Fläche verlängert die x-Dimensionen mit dem Elastizitätsmodul (1/E) und verkürzt die Dimensionen y,z um den Faktor (ν/E). Also:

 

Mit Beiträgen aller sigma-Komponenten gilt mit Indizes (xyz)=(123) für die Verzerrung

 
 

Symmetrische Formeln betreffen die anderen Indexpaare des ε-Tensors.

Mit der Drehsymmetrie des isotropen Materials sei nun gezeigt, dass die drei Materialkonstanten E,G,ν nicht unabhängig sind. Gespielt wird in der xy-Ebene mit einer symmetrischen spurfreien Cauchy-Spannung. Unter einer Rotation, dargestellt als die 3x3-Matrix R, transformieren sich folgende Objekte alle gleich: Kräfte,Flächennormalen,Ortsvektoren,freie Vektoren

 

Die Matrizen für σ, ε verbinden Vektor-Objekte miteinander, etwa

 

Damit solche Beziehungen nach der Rotation zutreffen, müssen die Transformationen gelten

 

Denn  . Hier meint   die inverse Matrix. Bei Rotationen, dargestellt als orthogonale Matrizen, ist sie netterweise identisch mit der transponierten Matrix  .

Wir drehen um 45 Grad im Uhrzeigersinn in der xy-Ebene und bearbeiten symmetrische 2x2-Matrizen.

 
 
 

Die allgemein postulierte Form der Epsilon-Matrix kann also nur dann im gedrehten Koordinatensystem zutreffen, wenn gilt, was der vorige Abschnitt unbewiesen erwähnte:  . Das zeigt der Vorher-Nachher-Vergleich der Spannungen und Verzerrungen. Anders gesagt, E=2(1+ν)G.

Der Parameter ν kann daher mit E,G eliminiert werden:  .
 
 
 

In der Zeile zuletzt taucht die Spur von σ auf, so heißt die Diagonalsumme.

Noch kurz die Relation für den Kompressionsmodul K geprüft. Ein Druck p entspricht der Cauchy-Spannung   mit Spur -3p. Die relative Änderung des Volumens ist die Summe der diagonalen  ,

also  
Vergleich mit der Definition:  
Einsetzen von  
  • Die Energiedichte.

Der Testquader sei wieder   mit kleinen Dimensionen, so dass lineare Näherungen gut zutreffen. Sein Mittelpunkt wird von   verschoben. Der Inhalt wird linear so verformt, dass seine Punkte in Koordinaten   relativ zu seinem Zentrum, die lineare Transformation erfahren:

 

Verallgemeinert nach Hooke bewirkt die Spannung   auf der Fläche mit Normalenrichtung (l) in Achsrichtung (j) lineare, windschiefe Verformungen des Quaders in allen 3 Koordinaten (i). Jede Koordinate im Quader   bekommt Schübe proportional zu den Abständen   zum relativen Ursprung,

 

Also pro Spannungselement eine allgemeine lineare Funktion von  . Nach Summierung über alle Paare (j,l) zeigt der Vergleich mit der Formel der Jacobimatrix:

 

Hier wird die Symmetrie von σ vorausgesetzt, also verschwindende Drehmomente, und eine 'drehfreie' Matrix  . Es gilt eine lineare Umkehrformel:

 

Was ist die potenzielle elastische Energie, die im Testquader gespeicht wird, wenn bekannte Spannungen   an den Flächen angelegt werden? Die Mittelpunkte der Flächen k liegen bei   mit Normalenvektor  . Sie wandern nach  

Mit dem Flächeninhalt   unterliegen die zwei Flächen senkrecht zur Achse (k) dem Kräftepaar  . Nach Hooke ist die Matrix σ eine Funktion der Verzerrungsmatrix [F]. Die Verschiebungswege der Flächenzentren, Angriffspunkte von Kraft, sind ebenfalls lineare Funktionen von [F]. Daher wird die eingespeiste Arbeit, Summe von Kraft mal Weg, wie folgt berechnet. In der Zeit t=0 bis t=1 wird die Verzerrung linear hochgefahren gemäß  . Die Arbeit ist das Zeitintegral

 , Integral von Kraft mal Geschwindigkeit.

Die Abhängigkeit von t ist linear in beiden Faktoren, weshalb das Integral den Faktor   ergibt. Summiert über alle Flächen und Gegenflächen,

 

Der erste Faktor ist das Volumen des Testquaders. Wegen der Symmetrie von σ können die Ableitungen symmetrisiert werden. Es ergibt sich die Energiedichte pro Volumeneinheit,

 

Die elastische Energiedichte ist eine quadratische Form der Verzerrungsmatrix, deren Elemente später als dynamische Feldvariablen dienen. In einem beliebigen elastischen Körper variieren   von Punkt zu Punkt und die gesamte gespeicherte elastische Energie ist das Volumenintegral der lokalen Energiedichte.

Die gespannte SaiteBearbeiten

Eine Saite ist etwa ein Draht aus Stahl oder ein Faden aus Katzendarm, der an zwei Enden festgehalten wird, die Länge L hat und mit einer kontrollierten Kraft F gespannt wird. Hat sie die Schnittfläche A und die Materialdichte ρ, dann ist   die Masse der Saite pro Längeneinheit. Es zeigt sich, dass die Schwingungen und Wellen auf der ausgelenkten Saite nur von F und μ abhängen, aber in erster Ordnung gar nicht vom Elastizitätsmodul. Nur bei dicken Saiten werden wir eine Korrektur berechnen.

Erste Herleitung der Wellengleichung. Es geht um die Mechanik eines elastischen Gegenstands. Jeder Massenpunkt bewegt sich nach Newtons Gesetz: Masse mal Beschleunigung gleich Summe aller einwirkenden Kräfte. Eine Kraft wird in Newton gemessen, was dimensionsgleich zu [kg m / s2] ist wegen der Newton-Gleichung. Die Erdanziehung auf ein Gewicht der Masse 1 kg beträgt 9,81 Newton, denn die Erdbeschleunigung beim freien Fall ist 9,81 m/s2.

Die Saite sei in x-Richtung gespannt. Jeder Massenpunkt im Intervall x=0 bis L darf sich nur in z-Richtung auslenken. Eine momentane vertikale Auslenkung der Saite ist eine Funktion w(x,t) von zwei Variablen, der Position und der Zeit t. Es bestehen die Randbedingungen w(0,t) = w(L,t) = 0. In Ruhestellung w(x,t)=0 ist die Saite mit der horizontalen Kraft F vorgespannt. Der Draht habe die Dichte ρ und den Radius r; also den Querschnitt A= π r2 und die Masse pro Längeneinheit μ = ρ A. Ein kleines Stück Saite von x bis x+ Δx hat die Masse M = μ Δx und die vertikalen Positionen von w(x,t) bis w(x+ Δx,t). Es wird angenommen, dass w() als Funktion von x beliebig aber glatt verläuft und dass die Ableitungen nach der Variablen x ebenfalls glatt verlaufen. Der Winkel, mit dem die Saite am Punkt x momentan schief steht zur Horizontalen ist gegeben durch die Ableitung

 

Die Saite kann nur deshalb schief verlaufen, weil sie eine elastische Ausdehnung hat und weil eine Kraft   genau in der Richtung von w'(x) angreift, die betragsmäßig größer ist als die Horizontalkraft F. Das Massenstück von x bis x+ Δx wird am linken Punkt horizontal von der Kraft -F gezogen und vertikal mit der richtungsmäßig passenden Komponente von   nämlich zwangsläufig  . Am rechten Punkt zieht horizontal die Kraft F nach rechts und es muss vertikal   vorhanden sein. Die horizontalen Kräfte auf dem Drahtstück gleichen sich aus, aber die kleine Differenz der vertikalen Kräfte bewirkt nach Newton eine Beschleunigung, also eine zweite Zeitableitung von w(x,t) am Mittelpunkt:

 

Wird nun durch Δx geteilt und dessen Grenzwert gegen Null genommen, kommt auf der rechten Seite die zweite Ableitung nach x heraus:

 

Diese Differenzialgleichung ist eine Wellengleichung. Die Notation mit den runden   ist üblich, wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt und nur nach einer bestimmten davon abgeleitet wird, während die anderen Argumente festgezurrt bleiben. Es ist eine partielle Ableitung. Wir erlauben uns manchmal, die partiellen Ableitungen nach der Zeit t mit Punkten und die nach der Position x mit Strichen anzudeuten. Hier gleichbedeutend:

 

Umgeformt gilt einfach:   Der Faktor in der Klammer hat die Dimension (Länge durch Zeit) zum Quadrat. Also definiert er eine Geschwindigkeit:

 

Hat nun w(x,t) die spezielle Form w(x,t)=u(x-ct) oder auch w(x,t)=v(x+ct), dann wird die Wellengleichung erfüllt. Denn die zweiten Ableitungen sind nach der Kettenregel auszurechnen und beispielsweise

 

Die Funktionen u(x) und v(x) könne beliebige Buckel oder Wellenpakete sein. u(x-ct) beschreibt dann eine wandernde Welle mit Geschwindigkeit c nach rechts, v(x+ct) eine wandernde Welle nach links. Beliebig geformte Wellen können sich in beiden Richtungen auf dem gespannten Draht fortpflanzen. Größere Spannung macht die Wellen schneller, größere Masse der Saite macht sie langsamer.

Nun soll aber der Draht als Saite an beiden Enden festgehalten werden und daher sollen keine Wanderwellen hindurch laufen. Die Lösungen der Gleichung sind dann stehende Wellen, die bei x=0 und x=L die Randbedingungen w(x,t)=0 erfüllen. Dies nennt man eine Randwertaufgabe der Differenzialgleichung. Unsere Gleichung ist linear und homogen; als erste Idee kommt immer ein Separationsansatz auf:

 
 

Es ist lösbar wenn

  eine Konstante z, unabhängig von (x,t).

Sei also die Gleichung in einer Variablen

 

Einige elementare Funktionen lösen sie:

 

Weil etwas mit Schwingungen auf dem Programm steht, sieht es besser aus mit den trigonometrischen Funktionen und deren Ableitungsregeln:

 

Damit folgt   ist die Kreisfrequenz der zeitperiodischen Funktion   ist die eigentliche Frequenz und   ist die Periode der Schwingung.

Bleibt noch der x-Anteil der Saitenbewegung zu diskutieren:

 . Die Lösung ist auch eine Sinusfunktion  

Hier wird f(0)=f(L)=0 verlangt. Das bedeutet, dass kL ein Vielfaches von π sein muss: kL = nπ. Andererseits folgt  ,

also  , oder
für die Frequenzen   mit n=1,2,3...

Ergebnis: die Saite kann sich mit Eigenschwingungen bewegen, deren Frequenzen ganze Vielfache der Grundfrequenz sind. Die Oberschwingung der Ordnung n hat n Bäuche längs der Seite und (n-1) Knotenpunkte, die sich nicht bewegen. Die Formel der Frequenzen in Parametern   lautet demnach  . Die Frequenz steigt, wenn die Saite kürzer gemacht wird, oder die Spannkraft vergrößert, oder die Masse verkleinert. Wenig zählt, aus welchem Stoff die Saite ist. Die Masse wächst nun wie das Quadrat des Durchmessers D der Saite, die Wurzel der Masse also wie D. Daher folgt die Grundschwingung dem gefühlt seit Jahrtausenden bekannten Gesetz

 
Siehe dazu Pythagoras in der Schmiede.

Andere Herleitung der SaitenschwingungBearbeiten

Es mag erstaunen, dass die Saitenformel gleich ist für Katzendarm, Nylon und Stahl und dass das Hookesche Gesetz mit seiner Materialkonstanten E nicht eingeht. Daher eine Betrachtung dazu, wann und wie E sich wegkürzt. Wird ein Klotz mit Grundfläche A und Höhe h mit Druck oder Zug belastet, hängt die Kraft F(z) mit der Höhenänderung z zusammen: F(z)/A = E (z/h). Die Arbeit, die geleistet wird, wenn die Form von 0 nach z gestreckt/gepresst wird, ist das Integral der Kraft als Funktion des Wegs:

 .

Dies ist die gespeicherte potenzielle Energie, die wegen der perfekten Elastizität wiederverwertbar sein soll.

Die kinetische Energie einer Saite, die an einem gewissen Zeitpunkt t eine Auslenkung mit der Funktion w(x,t) durchläuft, ist die Summe der Energien (mv2/2) aller "Atome" oder infinitesimalen Teilstücke der Länge Δx, nämlich  . Der Grenzwert einer solchen Summe, wenn die Länge der Stücke gegen Null geht, ist das Integral

 .

Auch die potenzielle Energie soll nun aus ihren Elementen aufsummiert werden.

Die Saite ist in Ruhestellung w(x,t)=0 mit der Kraft F vorgespannt. Das heißt, das Längenstück   besteht aus der kraftfreien Länge h und der Streckung  . Das Hookesche Gesetz besagt   und die gespeicherte Energie in Stück Δx ist, wegen h=Δx/(1+δ),

 

Der Wert von δ hängt nicht vom Intervall Δx ab, sondern er enthält die Kraft und die Eigenschaft des Materials: δ=F/(EA).

Ist nun die Saite beliebig vertikal ausgelenkt mit der Funktion w(x,t), dann steht das Stück über der Horizontalen Δx schräg mit der Steigung  . Die Streckung betrage nun  , wo ε größer ist als δ. Die potenzielle Energie im Segment Δx wird

 

Mit der Steigung der Funktion w(x,t) und dem Satz von Pythagoras:

 

Mit der Abkürzung   schreibt sich die potenzielle Energie der Saite so, mit abgezogener Nullpunktsenergie:

 

Die letzte Klammer wird:

 

Es kann einmal (1+δ) gekürzt werden und man bekommt:

 

Nun sei angenommen, dass die Steigung der Saite so klein ist, dass

  • erstens gut angenähert:  
  • zweitens höhere Potenzen von (u-1) vernachlässigt werden.

Dann kommt als Dichte der potenziellen Energie des Kleinsignals heraus

 

Diese hängt also nicht mehr von materialspezifischer Dehnung δ ab.

Die gesamte potenzielle Energie der Saite ist zur Zeit t das Integral über x

 

Die Hilfsfunktion u(x,t) misst die die Länge des Graphs der Funktion w(x,t). Denn   ist die Länge eines verformten Saitenstücks über der horizontalen Achse,   ist die Gesamtlänge der Saite zum Zeitpunkt t.

Bis hierhin wird nach der Analyse der kinetischen und der potenziellen Energie klar, dass die Saite nur bei kleinen Auslenkungen mit quadratischen Formen darin beschrieben wird. Bei großen Amplituden tauchen nichtquadratische Terme auf und der Elastizitätsmodul des Materials spielt auch mit.

Aber wo bleibt die Bewegungsgleichung der Saite, also eine Differenzialgleichung für w(x,t) mit partiellen Ableitungen nach allen Variablen? Sie kommt jetzt, mit Hilfe eines der wichtigsten mathematischen Sätze der ganzen Mechanik.

Das Wirkungsprinzip (Variationsprinzip der kleinsten Wirkung)Bearbeiten

Die Saite ist ein dynamisches System mit einem Kontinuum von Freiheitsgraden. Ihr Verhalten in Ort und Zeit wird durch eine Funktion w(x,t) beschrieben. Die Funktion w(x,t) der Auslenkung ist der Spezialfall einer Feldfunktion f(x) = fi(xk) eines dynamischen Systems. Die Koordinaten xk sind oft die Vierervektoren  , welche die Raumzeitpunkte des Systems beschreiben. Die Zahl der Komponenten von fi() hängt davon ab, ob es Skalare, Vektoren, Tensoren oder andere geometrische Gebilde sind, die an jedem Raumzeitpunkt dynamisch veränderliche Werte annehmen.

Das Wirkungsprinzip der Kontinuumsmechanik behauptet nun folgendes:

  • Es gibt ein Wirkungsfunktional auf der Menge der Feldfunktionen f(), also eine Abbildung, die jedem f einen reellen Wert W{f} zuordnet.
  • Eine Funktion f() beschreibt genau dann eine physikalisch mögliche Entwicklung des Systems in Raum und Zeit, wenn W{f} einen Extremwert hat bezüglich aller (genügend kleinen) Variationen von f.
  • Das Funktional ist lokal, indem es ein Raumzeit-Integral über eine Dichtefunktion ist:  
Die Dichtefunktion oder Lagrange-Dichte L am Raumzeit-Punkt x hängt ab:
vom Punkt x und von den Werten f(x)
und von den ersten, zweiten (und höheren) partiellen Ableitungen von f, ausgewertet am selben Punkt x.
  • Die Lagrange-Dichte der Newtonschen Mechanik ist die Differenz L = T - V, Dichte der kinetischen minus Dichte der potenziellen Energie.

Beispiel: Die Lagrange-Dichte unserer Saite am Punkt (x,t) ist aus den oben eingeführten Dichten für T(t) und V(t) aufgebaut:

 
 

Die Wirkung ist das Doppelintegral  .

Im Grenzfall kleiner Auslenkungen ist der Integrand L quadratisch:

 

Das Integral über die Ortskoordinate ergibt dimensionsmäßig eine Energie. Das Doppelintegral über Ort und Zeit hat die Dimension einer Wirkung, nämlich Energie mal Zeit. Daher kommt der Name Wirkungsprinzip.

Das Potenzial V sieht mit seinem Zusatzterm zum quadratischen schöner so aus:

 

Wann ist der Störterm wirklich vernachlässigbar?

Grob gesagt, wenn w'2 sehr viel kleiner ist als die bereits winzige Dehnung δ! Denn (u-1)2 geht los mit der vierten Potenz von w' .

Zahlenbeispiel.

Kraft F=10 Newton, Querschnitt A=1 mm2, Elastizitätsmodul E=200 GPa, Länge 500 mm, Auslenkung ~ 1 mm. δ = 10/(200e9 x 1e-6) = 5 x 10-5.

Sei die maximale Steigung w' ~ (1/200), ihr Quadrat ~ 2,5 x 10-5. Sie kommt da schon gefährlich nahe ins nichtlineare Gebiet dieses Modells.

Die Suche nach Extremwerten von Funktionalen ist als Variationsrechnung bekannt und ist eine Verallgemeinerung der Suche nach Maxima und Minima von gewöhnlichen Funktionen. Eine gewöhnliche Funktion y(x) von mehreren Variablen ist extremal am Punkt x, notwendige aber nicht hinreichende Bedingung, wenn alle partiellen Ableitungen an diesem Punkt verschwinden. Ein (glattes) Funktional, das als Integral einer Dichte definiert ist, kandidiert dann als Extremwert für die Funktion f, wenn f() eine partielle Differenzialgleichung erfüllt, die aus der Lagrange-Dichte entsteht. Sie heißt die Euler-Lagrange-Gleichung. Die Bewegungsgleichungen der Mechanik sind die Euler-Lagrange-Gleichungen des Wirkungsfunktionals. Genau genommen, es kommen so viele EL-Gleichungen vor wie reelle Komponenten im Wertebereich des Feldes f.

Die relevanten Feldsysteme der Physik, Mechanik, Elektrodynamik, die Dynamik der Gravitationsfelder, also die allgemeine Relativität, sowie das Standardmodell der Elementarteilchen, sie alle haben Euler-Lagrange-Gleichungen.

Nehmen wir einfachheitshalber f(x) einkomponentig an und definieren: Die Variation W'(f,x) des Funktionals   existiert, wenn die Werte von W für alle wenig abweichenden Funktionen   sich linear mit demselben Integralkern W' approximieren lassen:

 

Ist f ist ein Extremwert des Funktionals, dann verschwindet die Variation W'(f,x) an jedem Punkt x des Definitionsbereichs. Denn sonst könnte man mit einer gezielt konzentrierten Beule   den Wert des Funktionals in beide Richtungen verändern, Widerspruch. Die Variation ist für Funktionale W{} das Analoge zu den ersten Ableitungen für Funktionen   denn solche erzeugen die linearen Näherungen

 

Die explizite Formel der Variation liefert die gesuchte Differenzialgleichung, wenn man sie zu Null macht. Ohne Beweis und mit der Notation   hier aufgeschrieben, wird der Integrand für Variationen hergeleitet mit partiellen Integrationen und Annahmen über verschwindende Randwerte. Man beachte das Minuszeichen bei ungerader Zahl der Ableitungen:

 
 

Unser Beispiel zum Aufwärmen macht nur Terme vom Typ der Einfachsumme,

 

Variationsgleichung für extremale Funktionen w(x,t):

 
 
 

Nach all dem Aufwand, die Wellengleichung! Sie ist linear, weil die Lagrange-Dichte nur aus Termen von zweiter Potenz in den Funktionsargumenten besteht, eine quadratische Form also. Die linearen Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus entstammen genauso einer quadratischen Lagrange-Dichte. Auch die linearen Schrödinger-Gleichungen und Dirac-Gleichungen der Quantenmechanik.

Ein erprobter Vorteil des Lagrange-Formalismus besteht darin, dass man nicht mühsam mit diversen Kräfteparallelogrammen hantieren muss, um an die Bewegungsgleichungen zu kommen. Sondern man kümmert sich nur um die oft einfacher herzuleitenden Energiesummen des Systems. Weiter unten bei den biegesteifen Saiten und Balken zahlt es sich aus.

Rechnen wir aus, was an Stelle des Terms   im nichtlinearen Modell als Wellengleichung für große Auslenkungen auftritt. Mit dem definierten

 
 
 

Von diesem Ausdruck wird die Ableitung nach x gebraucht. Der erste Term ohne 'delta' macht den bekannten linearen Anteil. Im anderen Term ist ein Faktor (w'/u) abzuleiten:

 
 

Damit bleibt eine im Argument w nichtlineare Wellengleichung

 

Sie hat keine einfachen Lösungen vom Typ   mehr.

Mit der Approximation   wird die Gleichung zu:

 

Sobald die Steigungen einer weit ausgelenkten Saite dem Dehnungsfaktor δ zu nahekommen, wächst die effektive Kraft. Die Frequenz einer Schwingung wird im nichtlinearen Bereich höher als bei kleinen Amplituden.

Simulation.

Der nichtlineare Effekt kann numerisch an der vollen Gleichung durchprobiert werden. In etwa 60 Zeilen Python teilt man eine Saite (1 m lang) in 50 Punkte, approximiert die erste und zweite Ortsableitung der Auslenkungen w(x,t) als endliche Differenzen, teilt das Zeitintervall in 1000 Punkte und integriert Schritt für Schritt mit der Runge-Kutta-Formel vierter Ordnung. Die Anfangsbedingung w(x,t=0) ist eine Sinus-Halbwelle mit maximalen Amplituden von 1 mm bis 10 mm. Die Dehnung der ruhend gespannten Saite sei δ=0,001. Die Halbperiode zwischen zwei Nulldurchgängen der Saite wird "gestoppt", mit Parabel-Interpolation um die Minima von Amplitudenquadraten herum. Denn im nichtlinearen Modell behalten die Orte der Saite nicht exakt die gleiche Phase. Bei mehr als 1 mm Auslenkung wächst die Grundfrequenz gewaltig mit der Amplitude, verglichen mit der Frequenz des linearen Modells. Hier als Ergebnis die Faktoren des Frequenzanstiegs, nach wenigen Sekunden Laufzeit auf dem Raspberry Pi. Anhang: Script...

Amplitude 1 mm 2mm 5 mm 10mm
Faktor 1,0014 1,0055 1,0335 1,1235

Die longitudinale Welle im elastischen StabBearbeiten

Der Stab hat die horizontalen Ortskoordinaten x von 0 bis zur Länge L, die Querschnittsfläche A und eine Materialdichte ρ. Aus der Ruhestellung sei der Querschnitt bei x um den kleinen Betrag w(x) horizontal verschoben. Ein kleines Segment von x bis x+Δx ist also komprimiert oder gestreckt, um dem Wert w(x+Δx)-w(x). Die potenzielle Energie dieser Dimensionsänderung ist  , ganz wie bei der vorgestreckten Saite. Für einen kleinen Abstand ist das einfach  . Die gesamte potenzielle Energie im Stab hat also eine lineare Dichte und beträgt zum Zeitpunkt t:

 

Soll die Verschiebung mechanisch vibrieren, tut sie es mit der kinetische Energie eines Segments  . Die Lagrange-Dichte lautet daher:

 

Die Euler-Lagrange-Gleichung ergibt wie oben eine Wellengleichung, wo hier der Querschnitt A herausfällt: