Plattenbeulen/ zweites Rechenbeispiel/ DINS

GeometrieBearbeiten

Es wird die gleiche Geometrie verwendet. Für den Druckflansch muss ein b/t-Nachweis geführt werden. Grenz b/t

 
 

Beulnachweis erforderlich


kσ= 0,43
 (Hergeleitete Formel 1)
 
 
 (DIN 18800-3 Tabelle 1)
κp= 0,83998
bf:= bf ∙ κp = 0,53∙0,83998
bf:= 0,4452

Mit der verkürzten Länge des Druckflansches wird gerechnet. Der Druckflansch in der DIN ist kürzer als im Eurocode.

BruttoquerschnittswerteBearbeiten

As= bf2∙tf2 + hw∙tw + bf1∙tf1
As= 0,37∙0,011 + 0,009∙2,9 + 0,4452∙0,017
As= 0,03774m²

Der Schwerpunkt hs wird vom unteren Stegende aus nach oben gemessen.

 
 
 
hs =1,3145m

Das Flächenträgheitsmoment I besteht aus 3 Steineranteilen und 3 Eigenanteilen

 
 
I= 10-3∙(18,29 + 13,24 + 10,3 + 0,48)
I= 0,04232m4

Spannung σ2 im oberen Stegende

 
 
σ2= 282,53 - 0
σ2= 282,53N/mm²

Spannung σ1 im unteren Stegende

 
σ1= - 234,23N/mm²

Spannungsnulllinie S

 
S= 1,3145m

Spannung σsl in der Steife

 
 
σsl= - 162,96N/mm²

Berechnung von κpxBearbeiten

Der Beulnachweis wird zuerst für beide Einzelfelder geführt.

   
b= hw1 - tsl/2 b= MIN(S;hw) - hw1 - tsl/2
b= 0,4 - 0,004 b= 1,3145 - 0,4 - 0,004
b= 0,396m b= 0,9105m

Randspannungsverhältnis ψ
   
ψ= 0,695 ψ = - 1,734

Beulwert kσ Eurocode 1993-1-5 Tabelle 4.1
  kσ=5,98∙(1 - ψ)²
kσ=5,98∙(1 + 1,734)²
kσ= 4,697 kσ= 44,69

Beulschlankheitsgrad   (hergeleitete Formel 1)
   
   
   

Abminderungsfaktor ρ (DIN 18800-2 Gleichung 81 Tabelle 27)
 
  da  < 0,673 = >
κk= 0,9855 κk = 1

Bruttobreiten
Nach der DIN wird ähnlich vorgegangen, wie nach dem Eurocode. Zuerst werden die Bruttobreiten berechnet, daraus dann die wirksamen Breiten und zum Schluss die wirksamen Dicken. In der DIN ist keine Begrenzung für ψ angegeben. Da es logisch erscheint, wird für negative ψ wie im Eurocode ψ=0 gesetzt.

k1= - 0,04∙ψ² + 0,12∙ψ + 0,42 (unten) k1= - 0,04∙ψ² + 0,12∙ψ + 0,42 (unten)
k1= - 0,04∙0,695² + 0,12∙0,695 + 0,42 k1= - 0,04∙0² + 0,12∙0 + 0,42
k1= 0,484 k1= 0,42
k2= + 0,04∙ψ² - 0,12∙ψ + 0,58 (oben) k2= + 0,04∙ψ² - 0,12∙ψ + 0,58 (oben)
k2= + 0,04∙0,695² - 0,12∙0,695 + 0,58 k2= + 0,04∙0² - 0,12∙0 + 0,58
k2= 0,516 k2= 0,58

b12= b∙k12
bo= 0,396∙k1= 0,396∙0,516 bo= 0, 9104∙k1= 0, 9104∙0,58
bo= 0,2043 bo= 0,5281
bu= 0,396∙k2= 0,396∙0,484 bu= 0, 9104∙k2= 0, 9104∙0,42
bu= 0,1917 bu= 0,3824

wirksame Breiten
bu1,eff= bu∙ρ = 0,1917∙0,9855 bu2,eff= bu∙ρ = 0,3824∙1
bu1,eff= 0,1889 bu2,eff= 0,3824
bo1,eff= bo∙ρ = 0,2043∙0,9855 bo2,eff= bo∙ρ = 0,5281∙1
bo1,eff = 0,2013 bo2,eff = 0,528
Σbeff = 0,2013 + 0,1889 Σbeff = 0,5281 + 3824
Σbeff = 0,3902 Σbeff = 0,9104
Verlust= b - Σbeff Verlust= b - Σbeff
Verlust= 0,396 - 0,3902 Verlust= 0,9104 - 0,9104
Verlust= 0,0058m Verlust= 0m

Querschnittswerte der Steifen

 
Träger mit wirksame Breiten und Dicken

Die Querschnittswerte der Steifen ändern sich geringfügig, weil sich die Breiten geändert haben.  

Asl= tw∙(b1o + b2u + tsl) + bsl∙tsl
Asl= 0,009∙(0,2013 + 0,3824 + 0,008) + 0,1∙0,008
Asl= 0,0061254
 
 
xsl= 0,007118
Isl= 2 Eigen + 2 Steiner
 
 
Isl= (0,036 + 0,666 + 0,27 + 1,796)∙10-6
Isl= 2,768∙10-6m4


Beulen des Gesamtfeldes
plattenartiges Verhalten

Da die DIN keine Formeln zur Berechnung der Beulwerte für ausgesteifte Plattem enthält und stattdessen auf die Literatur verweist, wird der Beulwert nach dem Eurocode berechnet.

b1= hw1= 0,4
b= B1= hw= 2,9
b2= B1 - hw= 2,5
 (Eurocode 1993-1-5 Gleichung A.4)
 
σcr,sl= 3,6∙1013∙2,419∙10-6= 8,71∙107N/m²
σpi= 87,09∙N/mm²

Der Beulwert muss für die DIN rückgerechnet werden.

  (DIN 18800-3 Element 113)
σe= 1,82996N/mm²
kσ= σpie= 87,09/1,82996
kσ= 47,59
 
 
  (DIN 18800-3 Tabelle 1)
 
κp= 0,65319

knickstabähnliches Verhalten

  (DIN 18800-3 Element 114)
 
γ = 14,3
 (DIN 18800-3 Element 114)
δ = 0,0306
 
k= 0,5∙(1 + 0,34∙(1,66008 - 0,2) + 1,66008²)
k= 2,126
 
κk= 0,2895

Interaktion

  (DIN 18800-3 Gleichung 23)
 
 
Λ=   + 0,5 und 2< Λ <4(DIN 18800-3 Gleichung 22)
Λ= 1,66008² + 0,5
Λ= 3,256
 und 0 < ρ < 1(DIN 18800-3 Gleichung 21)
 
ρ= 0
κpx= (1 - ρ²)∙κp + ρ²∙κk (DIN 18800-3 Gleichung 24)
κpx= (1 - 0²)∙0,653 + 1²∙0,2895
κpx= 0,65319

NachweisBearbeiten

σd= 234N/mm²
σp,Rd= fyd∙MIN(κ12px)= 240∙0,653/1,1

mit κ1 und κ2 als Abminderungsfaktoren für Einzelfeldbeulen

σp,Rd= 142,51
 (DIN 18800-3 Gleichung 11)
 

Nachweis nicht erfüllt.

SchubbeulenBearbeiten

Da die DIN keine Formel für einen Schubbeulwert mit Längssteifen enthält, wird die Formel aus dem Eurocode verwendet. Da auch der Rechenweg bis  gleich ist, werden die Werte bis dahin übernommen.

kτ= 8,2233
  Hergeleitete Formel 2
 
 

Die Berechnung der Schubschlankheit für das Einzelfeld ist mit dem Eurocode identisch. Der Wert wird übernommen.

 

Einzelfeldbeulen ist maßgebend.

 = MIN(3,034;3,073)= 3,073

Für  > 1,38 und Beulfeld mit Längssteifen gilt

  (DIN 18800-3 Tabelle 1)
κτ = 0,12286

Nachweis

 
τd= 43,78N/mm²
 
τP,Rd= 15,47N/mm²
  (DIN 18800-3 Gleichung 12)
 

Nachweis nicht erfüllt

Lokales Beulen aus einer EinzellastBearbeiten

F= 330kN
ss= 0,1m
c= ss + 2∙tf2= 0,1 + 2∙0,011
c= 0,122
 
α= 2,4482
 
ß= 0,01718

Aus der Tabelle kann entnommen werden

Auszug aus Tabelle der Beulwerte für α und ß
ß↓ α→ 2 3
0 1,17 0,73
0,1 1,21 0,79
 
 
kσy= 1,17 - 0,198 + (0,04 + 0,02∙0,45)∙0,171
kσy= 0,981
σe= 1,82996N/mm²
σy,pi= kσy∙σe∙a/c
σy,pi= 0,981∙1,82996∙7,1/0,122
σy,pi= 104,49N/mm²
 
 
  (DIN 18800-3 Tabelle 1)
 
κy= 0,56405
σyki= 1,88•σe= 3,437N/mm²

Es wird laut DIN die Beulschlankheit   verwendet. Der Eurocode hingegen verlangt die Knickschlankheit  .

 
k= 0,5∙(1 + 0,34∙(1,516 - 0,2) + 1,516²)
k= 1,872
 
 
κk= 0,33659
 
Λ=   + 0,5 und 2< Λ <4(DIN 18800-3 Gleichung 22)
Λ= 1,516² + 0,5
Λ= 2,797
  (DIN 18800-3 Gleichung 21)
 
ρ= 0
κpx= (1 - ρ²)∙κp + ρ²∙κk(DIN 18800-3 Gleichung 24)
κpx= (1 - 0²)∙0,56405 + 1²∙0,33659
κpx= 0,56405
σP,Rd= fyd∙ κpx = 240∙0,56405/1,1
σP,Rd= 123,06
σy= F/(c∙tw)= 330/(0,122∙0,009)
σy= 300,5N/mm²

Nachweis

 
 

InteraktionBearbeiten

κx= 0,65319 Nachweis η1: 1,6436
κy= 0,56405 Nachweis η2: 2,4422
κτ= 0,12286 Nachweis η3: 2,8287
e1= 1 + κx4= 1 + 0,653194 (DIN 18800-3 Gleichung 15)
e1= 1,182
e2= 1 + κy4= 1 + 0,564054 (DIN 18800-3 Gleichung 16)
e2= 1,101
e3= 1 + κx∙ κy∙ κτ² = 1 + 0,65319∙0,56405∙0,12286² (DIN 18800-3 Gleichung 17)
e3= 1,005
V= (κx∙ κy)6= (0,653∙0,564)6
V= 0,0025
  < 1 (Gleichung 14)
1,6441,182 + 2,4421,101 + 2,8291,005 - 0,0025∙1,644∙2,442

7,3074 > 1 Nachweis nicht erfüllt



Allgemein:Inhaltsverzeichnis ; Glossar ; Zahlen
Rechenbeispiel: Allgemeiner Lösungsweg ; erstes ; zweites ; drittes ; viertes
Norm: EuroB ;DINS ;EuroS ;DINB ;Zusammenfassung ;Variation der Geometrie