„Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 60 % fertig
Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik
In vorangegangenen Kapiteln wurden bereits die wesentlichsten Resultate
der Elektrostatik und Elektrodynamik vorgestellt. Aus diesen kristallisierten
sich insbesondere die sog. »Maxwell'schen Gleichungen« der Elektrodynamik
heraus. Im Folgenden soll der umgekehrte Weg beschritten werden: Ausgehend
von den Maxwell-Gleichungen wird gezeigt, wie sich aus ihnen die Gesetze
der klassischen Elektrodynamik und Elektrostatik ergeben. Der Begriff
»klassisch« bedeute hier »nicht quantenmechanisch«. Auf eine (speziell-)
relativistische Formulierung der Maxwell-Gleichungen wird hingegen
eingegangen.
Die Maxwell-Gleichungen geben Beziehungen zwischen folgenden
physikalischen Größen an, die wir als bekannt voraussetzen, da sie bereits in
den früheren Kapiteln über Elektrodynamik und Elektrostatik vorgestellt
und diskutiert wurden:
Ladung q : Neben der Masse m kann ein mechanischer Körper auch
eine Ladung besitzen. Ladungen können im Gegensatz zu Massen auch
negativ sein;
eine Ladungsdichte
ρ
{\displaystyle \rho }
ist von der Dimension
»Ladung pro Volumen«, d.h.
q
=
∫
d
3
x
ρ
{\displaystyle q=\int d^{3}x\,\rho }
, wobei
wir hier über das Volumen des Körpers integriert haben;
die Stromdichte
J
→
{\displaystyle {\vec {J}}}
gibt Auskunft über die
Ladungsmenge, die durch eine Fläche je Zeiteinheit fließt, und hängt
daher mit dem sog. (elektrischen) Strom I zusammen:
I
=
∫
d
2
a
→
⋅
J
→
{\displaystyle I=\int d^{2}{\vec {a}}\cdot {\vec {J}}}
,
wobei wir hier über z.B. die Querschnittsfläche eines Leiters integriert
haben;
In einem elektrisches Feld
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
erfahren geladene
Körper Kräfte. Diese Körper können dabei auch durchaus ruhen;
In einem magnetischen Feld erfahren bewegte geladene Körper Kräfte.
In Abwesenheit von sog. »Dielektrika« oder »Magnetika« brauchen wir
nicht zwischen der magnetische Induktion/ Flussdichte
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
und dem Magnetfeld (später mit
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
bezeichnet)
unterscheiden;
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum werde zudem mit c bezeichnet.
Wenn keine dielektrische oder (z.B. dia-, para-, ferro-)magnetische
Materialien vorhanden sind, lauten die somit »mikroskopischen« Maxwell-Gleichungen
(in ihrer differenziellen Formulierung):
∇
→
⋅
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}
: Diese Gleichung sagt
u.a. etwas darüber aus, dass es keine magnetischen Monopole gibt,
während die folgende Gleichung zeigt, dass elektrische Monopole hingegen
möglich sind.
∇
→
⋅
E
→
=
4
π
ρ
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho }
: Hieraus lässt
sich nämlich u.a. das bekannte Coulomb-Gesetz der Elektrostatik herleiten.
Eine Ladungsdichte ist also die Quelle eines elektrischen Feldes.
∇
→
×
B
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
E
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}}
:
Diese Gleichung enthält das gleichermaßen bereits als bekannt vorausgesetzte
Ampère'sches Durchflutungsgesetz und ist zudem noch um den sog. Maxwell'schen
Verschiebungsstrom-Term erweitert. D.h. sowohl Ströme (bzw. wie hier:
Stromdichten) als auch ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld
bewirken ein magnetisches Wirbelfeld.
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}
:
Jedes sich ändernde Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.
Diese Gleichung beschreibt also Faradays Induktionsgesetz. Im Minuszeichen
vor der (partiellen) Zeitableitung der magnetischen Induktion liegt
die Ursache der sog. Lentz'schen Regel.
Bei Anwesenheit von Dielektrika oder Magnetika werden vom elektrischen
Feld
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
und von der magnetischen Flussdichte
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
noch die elektrische Flussdichte
D
→
{\displaystyle {\vec {D}}}
bzw. das magnetisches Feld
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
unterschieden.
Die somit makroskopischen Maxwell'schen Gleichungen lauten dann:
∇
→
⋅
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}
(keine magnet. Monopole),
∇
→
⋅
D
→
=
4
π
ρ
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=4\pi \rho }
(Coulomb-Gesetz),
∇
→
×
H
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
D
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}}
(Ampère'sches Durchflutungsgesetz, Verschiebungsstrom),
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}
(Induktionsgesetz; Minuszeichen: Lentz'sche Regel).
Die elektrische Flussdichte hängt dabei mit dem elektrischen Feld
über die elektrische Polarisation
P
→
{\displaystyle {\vec {P}}}
zusammen:
D
→
=
E
→
+
4
π
P
→
{\displaystyle {\vec {D}}={\vec {E}}+4\pi {\vec {P}}}
.
Die magnetische Flussdichte wird mit dem magnetischen Feld über die
magnetische Polarisation
M
→
{\displaystyle {\vec {M}}}
verknüpft:
B
→
=
H
→
+
4
π
M
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\vec {H}}+4\pi {\vec {M}}}
.
Man bezeichnet manchmal die Dielektrika bzw. Magnetika auch als polarisierbare
Medien.
In sog. isotropen Dielektrika gilt
D
→
=
ε
E
→
⇒
P
→
=
1
4
π
(
ε
−
1
)
E
→
=
χ
E
E
→
{\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}\,\Rightarrow \,{\vec {P}}={\frac {1}{4\pi }}\left(\varepsilon -1\right){\vec {E}}=\chi _{E}{\vec {E}}}
und in isotropen Magnetika gilt entsprechend:
B
→
=
μ
H
→
⇒
M
→
=
1
4
π
(
μ
−
1
)
H
→
=
χ
M
H
→
{\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}\,\Rightarrow \,{\vec {M}}={\frac {1}{4\pi }}\left(\mu -1\right){\vec {H}}=\chi _{M}{\vec {H}}}
,
wobei wir zudem die elektrische Suszeptibilität
χ
E
=
1
4
π
(
ε
−
1
)
{\displaystyle \chi _{E}={\frac {1}{4\pi }}\left(\varepsilon -1\right)}
,
und die magnetische Suszeptibilität
χ
M
=
1
4
π
(
μ
−
1
)
{\displaystyle \chi _{M}={\frac {1}{4\pi }}\left(\mu -1\right)}
eingeführt haben.
Im nicht isotropen Fall existiert somit folgender Zusammenhang zwischen
den mikroskopischen und den makroskopischen Maxwellgleichungen:
∇
→
⋅
E
→
=
4
π
ρ
~
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi {\tilde {\rho }}}
,
∇
→
×
B
→
=
4
π
c
J
→
~
+
1
c
∂
t
E
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\tilde {\vec {J}}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}}
mit
ρ
~
=
ρ
−
∇
→
⋅
P
→
{\displaystyle {\tilde {\rho }}=\rho -{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}}
,
J
→
~
=
J
→
+
c
∇
→
×
M
→
+
∂
t
P
→
{\displaystyle {\tilde {\vec {J}}}={\vec {J}}+c{\vec {\nabla }}\times {\vec {M}}+\partial _{t}{\vec {P}}}
.
Im isotropen Fall erhalten wir für diesen hingegen:
∇
→
⋅
E
→
=
4
π
ρ
~
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi {\tilde {\rho }}}
,
∇
→
×
B
→
=
4
π
ε
μ
c
J
→
~
+
ε
μ
c
∂
t
E
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi \varepsilon \mu }{c}}{\tilde {\vec {J}}}+{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\partial _{t}{\vec {E}}}
mit
ρ
~
=
1
ε
ρ
{\displaystyle {\tilde {\rho }}={\frac {1}{\varepsilon }}\rho }
,
J
→
~
=
1
ε
J
→
{\displaystyle {\tilde {\vec {J}}}={\frac {1}{\varepsilon }}{\vec {J}}}
,
der Lichtgeschwindigkeit im Medium
c
n
=
c
n
{\displaystyle c_{n}={\frac {c}{n}}}
und dem Brechungsindex
n
=
ε
μ
{\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}}
.
Die homogenen Maxwellgleichungen, d.h.
∇
→
⋅
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}
und
∇
→
×
E
→
+
1
c
∂
t
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}=0}
(also jene ohne Quellterme wie Ladungs- bzw. Stromdichten), bleiben
hingegen bei Anwesenheit polarisierbarer Medien unverändert.
Mit Hilfe des Stokes'schen Integralsatzes können wir die Maxwell-Gleichung
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}
in eine Integralgleichung umwandeln:
∫
C
=
∂
A
d
x
→
⋅
E
→
=
∫
A
d
a
→
⋅
(
∇
→
×
E
→
)
=
−
1
c
∫
A
d
a
→
⋅
∂
t
B
→
=
−
1
c
d
d
t
∫
A
d
a
→
⋅
B
→
+
1
c
∫
A
d
a
→
⋅
[
(
v
→
⋅
∇
→
)
B
→
]
{\displaystyle {\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}={\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \partial _{t}{\vec {B}}=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}+{\frac {1}{c}}{\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \left[\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {B}}\right]}
,
weil
d
d
t
B
→
(
t
,
x
→
(
t
)
)
=
∂
t
B
→
+
(
v
→
⋅
∇
→
)
B
→
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\left(t\right)\right)=\partial _{t}{\vec {B}}+\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {B}}}
mit
v
→
=
x
→
˙
{\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\overrightarrow {x}}}}
gilt. Mit den
folgenden weiteren Umformungen (über gleiche Indizes werde dabei von
1 bis 3 summiert)
[
∇
→
×
(
v
→
×
B
→
)
]
i
=
ε
i
k
l
∂
k
[
v
→
×
B
→
]
l
=
ε
i
k
l
ε
l
m
n
∂
k
v
m
B
n
=
(
δ
i
m
δ
k
n
−
δ
i
n
δ
k
n
)
∂
k
v
m
B
n
=
∇
→
⋅
(
v
i
B
→
)
−
(
v
→
⋅
∇
→
)
B
i
=
−
(
v
→
⋅
∇
→
)
B
i
{\displaystyle \left[{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right]_{i}=\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]_{l}=\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lmn}\partial _{k}v_{m}B_{n}=\left(\delta _{im}\delta _{kn}-\delta _{in}\delta _{kn}\right)\partial _{k}v_{m}B_{n}={\vec {\nabla }}\cdot \left(v_{i}{\vec {B}}\right)-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)B_{i}=-\left({\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)B_{i}}
,
weil
∇
→
⋅
(
v
i
B
→
)
=
(
∇
→
v
i
)
⋅
B
→
+
v
i
(
∇
→
⋅
B
→
)
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \left(v_{i}{\vec {B}}\right)=\left({\vec {\nabla }}v_{i}\right)\cdot {\vec {B}}+v_{i}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)=0}
mit
∇
→
v
i
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}v_{i}=0}
und
∇
→
⋅
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}
gilt,
erhalten wir schließlich durch erneutes Anwenden des Stokes'schen
Satzes das Induktionsgesetz in Integralform:
∫
C
=
∂
A
d
x
→
⋅
E
→
=
−
1
c
d
d
t
∫
A
d
a
→
⋅
B
→
−
1
c
∫
A
d
a
→
⋅
[
∇
→
×
(
v
→
×
B
→
)
]
=
−
1
c
d
d
t
∫
A
d
a
→
⋅
B
→
−
1
c
∫
C
=
∂
A
d
x
→
⋅
(
v
→
×
B
→
)
{\displaystyle {\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot \left[{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right]=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}-{\frac {1}{c}}{\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot \left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)}
.
Hierin führen wir die Induktionsspannung U und den magnetische Fluss
Φ
M
{\displaystyle \Phi _{M}}
ein:
U
=
∫
C
=
∂
A
d
x
→
⋅
E
¯
→
=
∫
C
=
∂
A
d
x
→
⋅
(
E
→
+
1
c
(
v
→
×
B
→
)
)
=
−
1
c
d
d
t
∫
A
d
a
→
⋅
B
→
=
−
1
c
d
d
t
Φ
M
{\displaystyle U={\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot {\vec {\bar {E}}}={\underset {C=\partial A}{\int }}d{\vec {x}}\cdot \left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right)=-{\frac {1}{c}}{\underset {A}{{\frac {d}{dt}}\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {B}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\Phi _{M}}
.
Multiplizieren wir das dort auftretende elektrische Feld
E
¯
→
{\displaystyle {\vec {\bar {E}}}}
mit einer Ladung q , so ergibt sich offensichtlich die bekannte Lorentzkraft
auf eine mit der Geschwindigkeit
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
bewegten
Ladung:
F
→
=
q
E
¯
→
=
q
E
→
+
q
c
(
v
→
×
B
→
)
{\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {\bar {E}}}=q{\vec {E}}+{\frac {q}{c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)}
.
Wellengleichung für die elektrische Feldstärke
Bearbeiten
Für die elektrische Feldstärke lässt sich aus den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen
folgendermaßen eine Wellengleichung gewinnen:
Durch Einsetzen von
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}\,}
in jene inhomogene Maxwell-Gleichung mit der Stromdichte,
∇
→
×
B
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
E
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}}
,
die zusätzlich noch partiell nach der Zeit abgeleitet wurde,
−
1
c
∂
t
∇
→
×
B
→
=
−
4
π
c
2
∂
t
J
→
−
1
c
2
∂
t
2
E
→
{\displaystyle -{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=-{\frac {4\pi }{c^{2}}}\partial _{t}{\vec {J}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {E}}}
,
d.h.
−
4
π
c
2
∂
t
J
→
−
1
c
2
∂
t
2
E
→
=
−
1
c
∂
t
∇
→
×
B
→
=
∇
→
×
(
∇
→
×
E
→
)
=
∇
→
(
∇
→
⋅
E
→
)
⏟
4
π
ρ
−
∇
→
2
E
→
{\displaystyle -{\frac {4\pi }{c^{2}}}\partial _{t}{\vec {J}}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)={\vec {\nabla }}\underbrace {\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\right)} _{4\pi \rho }-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}}
,
weil
[
∇
→
×
(
∇
→
×
E
→
)
]
i
=
ε
i
k
l
∂
k
[
∇
→
×
E
→
]
l
=
ε
i
k
l
ε
l
m
n
∂
k
∂
m
E
n
{\displaystyle \left[{\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)\right]_{i}=\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right]_{l}=\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lmn}\partial _{k}\partial _{m}E_{n}}
=
(
δ
i
m
δ
k
n
−
δ
i
n
δ
k
m
)
∂
k
∂
m
E
n
=
∂
i
(
∇
→
⋅
E
→
)
−
∇
→
2
E
i
{\displaystyle =\left(\delta _{im}\delta _{kn}-\delta _{in}\delta _{km}\right)\partial _{k}\partial _{m}E_{n}=\partial _{i}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}\right)-{\vec {\nabla }}^{2}E_{i}}
.
Die sich somit ergebende Wellengleichung lautet:
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
E
→
=
−
4
π
∇
→
ρ
−
4
π
c
2
∂
t
J
→
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {E}}=-4\pi {\vec {\nabla }}\rho -{\frac {4\pi }{c^{2}}}\partial _{t}{\vec {J}}}
.
Wenn weder Ladungen noch Ströme vorhanden sind, gilt:
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
E
→
=
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {E}}=0}
.
Eine allgemeine Lösung der letzteren Wellengleichung ist
E
→
(
t
,
x
→
)
=
∫
d
3
k
(
2
π
)
3
(
E
→
0
e
−
i
ω
t
+
i
k
→
⋅
x
→
+
E
→
0
⋆
e
+
i
ω
t
−
i
k
→
⋅
x
→
)
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\,\left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}+{\vec {E}}_{0}^{\star }e^{+i\omega t-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\right)}
,
wobei
ω
=
k
c
{\displaystyle \omega =kc}
. Die Lösung
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
ist reell, während die Amplitude
E
→
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{0}}
aber im Allg. komplex sein kann.
Wellengleichung für das magnetische Feld
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Für die magnetische Flussdichte ergibt sich aus den mikroskopischen
Maxwellgleichungen wie beim elektrischen Feld eine Wellengleichung:
∇
→
×
B
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
E
→
⇒
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}\,\Rightarrow \,}
4
π
c
∇
→
×
J
→
+
1
c
∂
t
∇
→
×
E
→
⏟
−
1
c
∂
t
B
→
=
∇
→
×
(
∇
→
×
B
→
)
=
∇
→
(
∇
→
⋅
B
→
)
⏟
0
−
∇
→
2
B
→
{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}} _{-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\right)={\vec {\nabla }}\underbrace {\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)} _{0}-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {B}}}
.
Diese lautet also:
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
B
→
=
4
π
c
∇
→
×
J
→
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}
.
Auch die Kontinuitätsgleichung ist nur eine Folge der Maxwell-Gleichungen.
Wir bilden die Divergenz von folgender Gleichung:
∇
→
×
B
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
E
→
⇒
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}\,\Rightarrow \,}
0
=
∇
→
⋅
(
∇
→
×
B
→
)
=
4
π
c
∇
→
⋅
J
→
+
1
c
∂
t
∇
→
⋅
E
→
⏟
4
π
ρ
{\displaystyle 0={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\right)={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}} _{4\pi \rho }}
.
D.h.
∂
t
ρ
+
∇
→
⋅
J
→
=
0
{\displaystyle \partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=0}
.
Anm.: Hingegen ergibt sich durch Divergenzbildung von
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}
mit
0
=
∇
→
⋅
(
∇
→
×
E
→
)
=
−
1
c
∂
t
∇
→
⋅
B
→
⏟
=
0
{\displaystyle 0={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}} _{=0}}
nichts Neues. Letzteres gilt, weil
∇
→
⋅
(
∇
→
×
E
→
)
=
ε
i
k
l
∂
i
∂
k
E
l
=
1
2
(
ε
i
k
l
+
ε
i
k
l
)
∂
i
∂
k
E
l
=
1
2
(
ε
i
k
l
∂
i
∂
k
E
l
+
ε
k
i
l
∂
k
∂
i
E
l
)
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)=\varepsilon _{ikl}\partial _{i}\partial _{k}E_{l}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{i}\partial _{k}E_{l}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}\partial _{i}\partial _{k}E_{l}+\varepsilon _{kil}\partial _{k}\partial _{i}E_{l}\right)}
=
1
2
(
ε
i
k
l
+
ε
k
i
l
)
∂
i
∂
k
E
l
=
1
2
(
ε
i
k
l
−
ε
i
k
l
)
∂
i
∂
k
E
l
=
0
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{kil}\right)\partial _{i}\partial _{k}E_{l}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}-\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{i}\partial _{k}E_{l}=0}
.
Für eine Punktladung q mit Stromdichte
J
→
(
t
,
x
→
)
=
ρ
(
x
→
)
x
→
˙
{\displaystyle {\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\rho \left({\vec {x}}\right){\dot {\vec {x}}}}
und Ladungsdichte
ρ
(
x
→
)
=
q
δ
3
(
x
→
−
x
→
′
)
{\displaystyle \rho \left({\vec {x}}\right)=q\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)}
im elektrischen Feld
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
lässt sich die Leistung
der Joule'schen Wärme wie folgt angeben:
−
d
W
d
t
=
F
→
⋅
x
→
˙
=
q
E
→
⋅
x
→
˙
=
E
→
⋅
q
x
→
˙
=
∫
d
3
x
′
E
→
(
t
,
x
→
′
)
⋅
q
δ
3
(
x
→
−
x
→
′
)
x
→
˙
′
{\displaystyle -{\frac {dW}{dt}}={\vec {F}}\cdot {\dot {\vec {x}}}=q{\vec {E}}\cdot {\dot {\vec {x}}}={\vec {E}}\cdot q{\dot {\vec {x}}}=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot q\delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right){\dot {\vec {x}}}^{\prime }}
=
∫
d
3
x
′
E
→
(
t
,
x
→
′
)
⋅
ρ
(
x
→
′
)
x
→
˙
′
=
∫
d
3
x
′
E
→
(
t
,
x
→
′
)
⋅
J
→
(
x
→
′
)
{\displaystyle =\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot \rho \left({\vec {x}}^{\prime }\right){\dot {\vec {x}}}^{\prime }=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)}
.
Verwenden wir folgenden Zusammenhang zwischen elektrischen Strom I'
und Stromdichte
J
→
{\displaystyle {\vec {J}}}
,
I
∫
d
x
→
′
⋅
.
.
.
=
∫
d
3
x
′
J
→
(
x
→
′
)
.
.
.
{\displaystyle I\int d{\vec {x}}^{\prime }\cdot ...=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)...}
,
dann erhalten wir für die als Joule'sche Wärme erzeugte Leistung:
−
d
W
d
t
=
∫
d
3
x
′
E
→
(
t
,
x
→
′
)
⋅
J
→
(
x
→
′
)
=
I
∫
d
x
→
′
⋅
E
→
(
t
,
x
→
′
)
=
I
U
{\displaystyle -{\frac {dW}{dt}}=\int d^{3}x^{\prime }\,{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\cdot {\vec {J}}\left({\vec {x}}^{\prime }\right)=I\int d{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)=IU}
mit der Spannung
U
=
∫
d
x
→
′
⋅
E
→
(
t
,
x
→
′
)
{\displaystyle U=\int d{\vec {x}}^{\prime }\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}
.
Die Leistungsdichte der Joule'schen Wärme ist somit
−
J
→
⋅
E
→
{\displaystyle -{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}}
.
Die Leistungsdichte der Joule'schen Wärme
−
J
→
⋅
E
→
{\displaystyle -{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}}
lässt sich mittels
∇
→
×
H
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
D
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}}
folgendermaßen angeben:
−
J
→
⋅
E
→
=
−
c
4
π
(
∇
→
×
H
→
)
⋅
E
→
−
1
4
π
E
→
⋅
∂
t
D
→
{\displaystyle -{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}=-{\frac {c}{4\pi }}\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\cdot {\vec {E}}-{\frac {1}{4\pi }}{\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {D}}}
.
Verwenden wir hierin
∇
→
⋅
(
E
→
×
H
→
)
=
ε
j
k
l
∂
j
(
E
k
H
l
)
=
ε
j
k
l
H
l
∂
j
E
k
+
ε
j
k
l
E
k
∂
j
H
l
=
H
→
⋅
(
∇
→
×
E
→
)
⏟
=
−
1
c
∂
t
B
→
−
E
→
⋅
(
∇
→
×
H
→
)
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)=\varepsilon _{jkl}\partial _{j}\left(E_{k}\,H_{l}\right)=\varepsilon _{jkl}\,H_{l}\,\partial _{j}E_{k}+\varepsilon _{jkl}\,E_{k}\,\partial _{j}H_{l}={\vec {H}}\cdot \underbrace {\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)} _{=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}-{\vec {E}}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)}
,
dann resultiert daraus
−
J
→
⋅
E
→
=
c
4
π
∇
→
⋅
(
E
→
×
H
→
)
⏟
=:
4
π
c
S
→
⋅
E
→
+
1
4
π
(
E
→
⋅
∂
t
D
→
+
H
→
⋅
∂
t
B
→
)
⏟
=:
∂
t
w
{\displaystyle -{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\cdot \underbrace {\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)} _{=:{\frac {4\pi }{c}}{\vec {S}}}\cdot {\vec {E}}+{\frac {1}{4\pi }}\underbrace {\left({\vec {E}}\cdot \partial _{t}{\vec {D}}+{\vec {H}}\cdot \partial _{t}{\vec {B}}\right)} _{=:\partial _{t}w}}
,
d.h.
∂
t
w
+
∇
→
⋅
S
→
=
−
J
→
⋅
E
→
{\displaystyle \partial _{t}w+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}}
mit dem Poynting-Vektor
S
→
=
c
4
π
(
E
→
×
H
→
)
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}\left({\vec {E}}\times {\vec {H}}\right)}
und der Energiedichte w .
Poynting-Vektor für Felder mit harmonischer Zeitabhängigkeit
Bearbeiten
Wir nehmen Felder mit harmonischer Zeitabhängigkeit
e
−
i
ω
t
{\displaystyle e^{-i\omega t}}
an:
E
→
(
t
,
x
→
)
=
ℜ
(
E
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
)
=
1
2
[
E
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
+
E
→
⋆
(
x
→
)
e
i
ω
t
]
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]}
,
H
→
(
t
,
x
→
)
=
ℜ
(
H
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
)
=
1
2
[
H
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
+
H
→
⋆
(
x
→
)
e
i
ω
t
]
{\displaystyle {\vec {H}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]}
.
Mit diesen lässt sich der Poynting-Vektor angeben:
S
→
(
t
,
x
→
)
=
c
4
π
E
→
(
t
,
x
→
)
×
H
→
(
t
,
x
→
)
{\displaystyle {\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left(t,{\vec {x}}\right)}
=
c
16
π
[
E
→
(
x
→
)
×
H
→
(
x
→
)
e
−
i
2
ω
t
+
E
→
⋆
(
x
→
)
×
H
→
⋆
(
x
→
)
e
i
2
ω
t
+
E
→
⋆
(
x
→
)
×
H
→
(
x
→
)
+
E
→
(
x
→
)
×
H
→
⋆
(
x
→
)
]
{\displaystyle ={\frac {c}{16\pi }}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]}
.
Hieraus resultiert der zeitliche Mittelwert des Poynting-Vektors:
⟨
S
→
(
t
,
x
→
)
⟩
=
lim
T
→
∞
1
2
T
∫
T
−
T
d
t
S
→
(
t
,
x
→
)
=
c
16
π
[
E
→
⋆
(
x
→
)
×
H
→
(
x
→
)
+
E
→
(
x
→
)
×
H
→
⋆
(
x
→
)
]
=
c
8
π
ℜ
(
E
→
(
x
→
)
×
H
→
⋆
(
x
→
)
)
{\displaystyle \left\langle {\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\underset {T\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {1}{2T}}{\underset {-T}{\overset {T}{\int }}}dt\,{\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {c}{16\pi }}\left[{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]={\frac {c}{8\pi }}\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right)}
,
weil
1
2
T
∫
T
−
T
d
t
e
±
i
2
ω
t
=
±
1
4
i
ω
T
(
e
±
i
2
ω
T
−
e
∓
i
2
ω
T
)
=
sin
2
ω
T
2
ω
T
⟶
T
→
∞
0
{\displaystyle {\frac {1}{2T}}{\underset {-T}{\overset {T}{\int }}}dt\,e^{\pm i2\omega t}=\pm {\frac {1}{4i\omega T}}\left(e^{\pm i2\omega T}-e^{\mp i2\omega T}\right)={\frac {\sin 2\omega T}{2\omega T}}{\underset {T\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0}
,
ℜ
(
z
)
=
1
2
(
z
+
z
⋆
)
{\displaystyle \Re \left(z\right)={\frac {1}{2}}\left(z+z^{\star }\right)}
.
Wenn wir in
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}}
die zuvor bereits präsentierte Darstellung von
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
und
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
mit
E
→
(
x
→
)
=
E
→
0
e
i
k
→
⋅
x
→
{\displaystyle {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}}
bzw.
B
→
(
x
→
)
=
B
→
0
e
i
k
→
⋅
x
→
{\displaystyle {\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {B}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}}
einsetzen, wobei
B
→
=
μ
H
→
{\displaystyle {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}}
gilt, dann erhalten wir:
∇
→
×
E
→
(
t
,
x
→
)
=
1
2
[
∇
→
×
E
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
+
∇
→
×
E
→
⋆
(
x
→
)
e
i
ω
t
]
=
1
2
[
∇
→
×
E
→
0
e
i
k
→
⋅
x
→
e
−
i
ω
t
+
∇
→
×
E
→
0
⋆
e
−
i
k
→
⋅
x
→
e
i
ω
t
]
=
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]={\frac {1}{2}}\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{-i\omega t}+{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}_{0}^{\star }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{i\omega t}\right]=}
=
1
2
[
i
k
→
×
E
→
0
e
i
k
→
⋅
x
→
e
−
i
ω
t
−
i
k
→
×
E
→
0
⋆
e
−
i
k
→
⋅
x
→
e
i
ω
t
]
=
−
1
c
∂
t
B
→
(
t
,
x
→
)
=
1
2
[
−
B
→
(
x
→
)
1
c
∂
t
e
−
i
ω
t
−
B
→
⋆
(
x
→
)
1
c
∂
t
e
i
ω
t
]
=
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left[i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{-i\omega t}-i{\vec {k}}\times {\vec {E}}_{0}^{\star }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{i\omega t}\right]=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {1}{2}}\left[-{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right){\frac {1}{c}}\partial _{t}e^{-i\omega t}-{\vec {B}}^{\star }\left({\vec {x}}\right){\frac {1}{c}}\partial _{t}e^{i\omega t}\right]=}
=
1
2
[
B
→
(
x
→
)
i
ω
c
e
−
i
ω
t
−
B
→
⋆
(
x
→
)
i
ω
c
e
i
ω
t
]
=
1
2
[
i
ω
c
B
→
0
e
i
k
→
⋅
x
→
e
−
i
ω
t
−
i
ω
c
B
→
0
⋆
e
−
i
k
→
⋅
x
→
e
i
ω
t
]
⇒
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left[{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)i{\frac {\omega }{c}}e^{-i\omega t}-{\vec {B}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)i{\frac {\omega }{c}}e^{i\omega t}\right]={\frac {1}{2}}\left[i{\frac {\omega }{c}}{\vec {B}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{-i\omega t}-i{\frac {\omega }{c}}{\vec {B}}_{0}^{\star }e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}e^{i\omega t}\right]\;\Rightarrow }
ω
c
B
→
0
=
k
→
×
E
→
0
⇒
B
→
(
x
→
)
=
c
ω
k
→
×
E
→
(
x
→
)
{\displaystyle {\frac {\omega }{c}}{\vec {B}}_{0}={\vec {k}}\times {\vec {E}}_{0}\;\Rightarrow \;{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)={\frac {c}{\omega }}{\vec {k}}\times {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)}
.
Bei verschwindenden Ladungen und Strömen (d.h. im Vakuum, aber bei
Anwesenheit polarisierbarer, isotroper Medien) gilt zudem:
D
→
=
ε
E
→
,
∇
→
⋅
D
→
=
0
⇒
k
→
⋅
E
→
(
x
→
)
=
0
{\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}},\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=0\;\Rightarrow \;{\vec {k}}\cdot {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)=0}
.
Somit erhalten wir
E
→
×
B
→
⋆
=
c
ω
E
→
×
(
k
→
×
E
→
⋆
)
=
c
ω
(
|
E
→
|
2
k
→
−
(
k
→
⋅
E
→
)
⏟
=
0
E
→
⋆
)
=
c
ω
k
→
|
E
→
|
2
{\displaystyle {\vec {E}}\times {\vec {B}}^{\star }={\frac {c}{\omega }}{\vec {E}}\times \left({\vec {k}}\times {\vec {E}}^{\star }\right)={\frac {c}{\omega }}\left(\left|{\vec {E}}\right|^{2}{\vec {k}}-\underbrace {\left({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}\right)} _{=0}{\vec {E}}^{\star }\right)={\frac {c}{\omega }}{\vec {k}}\left|{\vec {E}}\right|^{2}}
und daraus wiederum
⟨
S
→
(
t
,
x
→
)
⟩
=
c
8
π
ℜ
(
E
→
(
x
→
)
×
H
→
⋆
(
x
→
)
)
=
c
2
8
π
μ
ω
k
→
|
E
→
|
2
=
|
k
→
|
=
ω
c
n
,
n
=
ε
μ
,
c
n
=
c
/
n
c
n
8
π
ε
|
E
→
|
2
k
→
|
k
→
|
{\displaystyle \left\langle {\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {c}{8\pi }}\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\times {\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right)={\frac {c^{2}}{8\pi \mu \omega }}{\vec {k}}\left|{\vec {E}}\right|^{2}{\underset {\left|{\vec {k}}\right|={\frac {\omega }{c_{n}}},\,n={\sqrt {\varepsilon \mu }},\,c_{n}=c/n}{=}}{\frac {c_{n}}{8\pi }}\varepsilon \left|{\vec {E}}\right|^{2}{\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}}
.
Jetzt berechnen wir noch die mittlere Energie,
⟨
u
(
t
,
x
→
)
⟩
=
lim
T
→
∞
1
2
T
∫
T
−
T
d
t
u
(
t
,
x
→
)
,
u
=
1
8
π
(
E
→
⋅
D
→
+
H
→
⋅
B
→
)
{\displaystyle \left\langle u\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\underset {T\rightarrow \infty }{\lim }}{\frac {1}{2T}}{\underset {-T}{\overset {T}{\int }}}dt\,u\left(t,{\vec {x}}\right),u={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {H}}\cdot {\vec {B}}\right)}
.
Hierzu benötigen wir
E
→
(
t
,
x
→
)
⋅
D
→
(
t
,
x
→
)
=
1
4
[
E
→
(
x
→
)
⋅
D
→
(
x
→
)
e
−
i
2
ω
t
+
E
→
⋆
(
x
→
)
⋅
D
→
⋆
(
x
→
)
e
i
2
ω
t
+
E
→
⋆
(
x
→
)
⋅
D
→
(
x
→
)
+
E
→
(
x
→
)
⋅
D
→
⋆
(
x
→
)
]
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\frac {1}{4}}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i2\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]}
,
also
⟨
E
→
(
t
,
x
→
)
⋅
D
→
(
t
,
x
→
)
⟩
=
1
4
[
E
→
⋆
(
x
→
)
⋅
D
→
(
x
→
)
+
E
→
(
x
→
)
⋅
D
→
⋆
(
x
→
)
]
=
1
2
ε
|
E
→
(
x
→
)
|
2
{\displaystyle \left\langle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left[{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {D}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\varepsilon \left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}}
und dazu analog:
⟨
H
→
(
t
,
x
→
)
⋅
B
→
(
t
,
x
→
)
⟩
=
1
4
[
H
→
⋆
(
x
→
)
⋅
B
→
(
x
→
)
+
H
→
(
x
→
)
⋅
B
→
⋆
(
x
→
)
]
=
1
2
μ
|
B
→
(
x
→
)
|
2
{\displaystyle \left\langle {\vec {H}}\left(t,{\vec {x}}\right)\cdot {\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left[{\vec {H}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)+{\vec {H}}\left({\vec {x}}\right)\cdot {\vec {B}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)\right]={\frac {1}{2\mu }}\left|{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}}
.
Wegen
B
→
=
c
ω
k
→
×
E
→
,
k
→
⋅
E
→
=
0
⇒
{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {c}{\omega }}{\vec {k}}\times {\vec {E}},\;{\vec {k}}\cdot {\vec {E}}=0\;\Rightarrow }
|
B
→
|
2
=
B
→
⋅
B
→
⋆
=
(
c
ω
)
2
(
k
→
×
E
→
)
⋅
(
k
→
×
E
→
⋆
)
=
(
c
ω
)
2
k
→
⋅
(
E
→
×
(
k
→
×
E
→
⋆
)
)
=
(
c
ω
)
2
k
→
⋅
(
|
E
→
|
2
k
→
−
(
k
→
⋅
E
→
)
⏟
=
0
E
→
⋆
)
=
(
c
ω
)
2
k
→
2
|
E
→
|
2
{\displaystyle \left|{\vec {B}}\right|^{2}={\vec {B}}\cdot {\vec {B}}^{\star }=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}\left({\vec {k}}\times {\vec {E}}\right)\cdot \left({\vec {k}}\times {\vec {E}}^{\star }\right)=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}\cdot \left({\vec {E}}\times \left({\vec {k}}\times {\vec {E}}^{\star }\right)\right)=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}\cdot \left(\left|{\vec {E}}\right|^{2}{\vec {k}}-\underbrace {\left({\vec {k}}\cdot {\vec {E}}\right)} _{=0}{\vec {E}}^{\star }\right)=\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}^{2}\left|{\vec {E}}\right|^{2}}
erhalten wir somit folgenden Ausdruck für die mittlere Energie:
⟨
u
(
t
,
x
→
)
⟩
=
1
2
ε
|
E
→
(
x
→
)
|
2
+
1
2
μ
|
B
→
(
x
→
)
|
2
=
1
16
π
(
ε
|
E
→
(
x
→
)
|
2
+
1
μ
(
c
ω
)
2
k
→
2
|
E
→
|
2
)
=
ε
8
π
|
E
→
(
x
→
)
|
2
|
k
→
|
=
ω
c
n
,
n
=
ε
μ
,
c
n
=
c
/
n
{\displaystyle \left\langle u\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {1}{2}}\varepsilon \left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}+{\frac {1}{2\mu }}\left|{\vec {B}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}={\frac {1}{16\pi }}\left(\varepsilon \left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}+{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {c}{\omega }}\right)^{2}{\vec {k}}^{2}\left|{\vec {E}}\right|^{2}\right){\underset {\left|{\vec {k}}\right|={\frac {\omega }{c_{n}}},\,n={\sqrt {\varepsilon \mu }},\,c_{n}=c/n}{={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\left|{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)\right|^{2}}}}
.
Der Zusammenhang zwischen dem Mittelwert des Poyntingvektors und der
elektromagnetischen Energie lautet daher
⟨
S
→
(
t
,
x
→
)
⟩
=
c
n
8
π
ε
|
E
→
|
2
k
→
|
k
→
|
=
c
n
⟨
u
(
t
,
x
→
)
⟩
k
→
|
k
→
|
{\displaystyle \left\langle {\vec {S}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle ={\frac {c_{n}}{8\pi }}\varepsilon \left|{\vec {E}}\right|^{2}{\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}=c_{n}\left\langle u\left(t,{\vec {x}}\right)\right\rangle {\frac {\vec {k}}{\left|{\vec {k}}\right|}}}
mit der Lichtgeschwindigkeit
c
n
=
c
/
n
{\displaystyle c_{n}=c/n}
in einem Medium mit dem
Brechungsindex
n
=
ε
μ
{\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}}
.
Im Vakuum, d.h. bei Abwesenheit von Quellen wie Ladungen und Ströme,
sind bereits ebene Wellen Lösungen der Maxwell-Gleichungen:
E
→
(
t
,
x
→
)
=
ℜ
(
E
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
)
=
1
2
[
E
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
+
E
→
⋆
(
x
→
)
e
i
ω
t
]
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\left[{\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}+{\vec {E}}^{\star }\left({\vec {x}}\right)e^{i\omega t}\right]}
,
E
→
(
x
→
)
=
E
→
0
e
i
k
→
⋅
x
→
{\displaystyle {\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)={\vec {E}}_{0}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}}
Zudem gilt für die Wellen die Transversalität im Vakuum:
k
→
⋅
E
→
0
=
0
⇒
E
→
0
=
E
1
e
^
1
+
E
2
e
^
2
,
k
→
⋅
e
^
i
=
0
,
e
^
i
2
=
1
(
i
=
1
,
2
)
,
e
^
1
⋅
e
^
2
=
0
,
⇒
e
^
1
×
e
^
2
=
k
→
k
{\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}=0\;\Rightarrow \;{\vec {E}}_{0}=E_{1}{\hat {e}}_{1}+E_{2}{\hat {e}}_{2},\;{\vec {k}}\cdot {\hat {e}}_{i}=0,\;{\hat {e}}_{i}^{2}=1\,\left(i=1,2\right),\;{\hat {e}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{2}=0,\;\Rightarrow \;{\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}={\frac {\vec {k}}{k}}}
E
→
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{0}}
ist hierbei im Allg. komplex:
E
j
=
|
E
j
|
e
i
φ
j
,
(
i
=
1
,
2
)
{\displaystyle E_{j}=\left|E_{j}\right|e^{i\varphi _{j}},\,\left(i=1,2\right)}
.
Mit letzterer Gleichung und mit Hilfe der Euler-Formel
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
(
⇒
e
±
i
π
2
=
±
i
{\displaystyle \Rightarrow e^{\pm i{\frac {\pi }{2}}}=\pm i}
) können
wir die ebene Welle umschreiben:
E
→
(
t
,
x
→
)
=
ℜ
(
E
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
)
=
ℜ
(
E
→
0
e
−
i
ω
t
+
i
k
→
⋅
x
→
)
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\Re \left({\vec {E}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}\right)=\Re \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\right)}
=
ℜ
(
e
^
1
|
E
1
|
e
−
i
ω
t
+
i
k
→
⋅
x
→
+
i
φ
1
+
e
^
2
|
E
2
|
e
−
i
ω
t
+
i
k
→
⋅
x
→
+
i
φ
2
)
{\displaystyle =\Re \left({\hat {e}}_{1}\left|E_{1}\right|e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+i\varphi _{1}}+{\hat {e}}_{2}\left|E_{2}\right|e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}+i\varphi _{2}}\right)}
=
e
^
1
|
E
1
|
cos
(
ω
t
−
k
→
⋅
x
→
−
φ
1
)
+
e
^
2
|
E
2
|
cos
(
ω
t
−
k
→
⋅
x
→
−
φ
2
)
{\displaystyle ={\hat {e}}_{1}\left|E_{1}\right|\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\varphi _{1}\right)+{\hat {e}}_{2}\left|E_{2}\right|\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\varphi _{2}\right)}
.
Je nach der gegenseitigen Beziehung der Phasen
φ
1
{\displaystyle \varphi _{1}}
bzw.
φ
2
{\displaystyle \varphi _{2}}
werden gerne folgende Formen der sog. Polarisation
unterschieden:
Lineare Polarisation:
E
1
{\displaystyle E_{1}}
und
E
2
{\displaystyle E_{2}}
sind in Phase, d.h.
φ
1
=
φ
2
{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}}
, z.B.
φ
1
=
φ
2
=
0
{\displaystyle \varphi _{1}=\varphi _{2}=0}
.
Zirkulare Polarisation:
|
E
1
|
=
|
E
2
|
=
E
0
{\displaystyle \left|E_{1}\right|=\left|E_{2}\right|=E_{0}}
,
|
φ
1
−
φ
2
|
=
π
2
{\displaystyle \left|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right|={\frac {\pi }{2}}}
,
z.B.
φ
1
=
0
,
φ
2
=
±
π
2
{\displaystyle \varphi _{1}=0,\;\varphi _{2}=\pm {\frac {\pi }{2}}}
:
E
→
(
t
,
x
→
)
=
e
^
1
E
0
cos
(
ω
t
−
k
→
⋅
x
→
)
±
e
^
2
E
0
sin
(
ω
t
−
k
→
⋅
x
→
)
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\hat {e}}_{1}E_{0}\cos \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}\right)\pm {\hat {e}}_{2}E_{0}\sin \left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}\right)}
erfüllt die Kreisgleichung
(
e
^
1
⋅
E
→
(
t
,
x
→
)
)
2
+
(
e
^
2
⋅
E
→
(
t
,
x
→
)
)
2
=
E
0
2
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \left({\hat {e}}_{1}\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right)^{2}+\left({\hat {e}}_{2}\cdot {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right)^{2}=E_{0}^{2}=const.}
;
E
→
0
=
E
1
e
^
1
+
E
2
e
^
2
=
E
0
(
e
^
1
±
i
e
^
2
)
{\displaystyle {\vec {E}}_{0}=E_{1}{\hat {e}}_{1}+E_{2}{\hat {e}}_{2}=E_{0}\left({\hat {e}}_{1}\pm i{\hat {e}}_{2}\right)}
,
woraus die Definition der zirkularen Einheitsvektoren folgt:
ϵ
^
±
=
1
2
(
e
^
1
±
i
e
^
2
)
,
ϵ
3
=
k
→
k
⇒
ϵ
^
±
⋅
ϵ
3
=
0
,
ϵ
^
±
⋅
ϵ
^
±
⋆
=
ϵ
^
±
⋅
ϵ
^
∓
=
1
,
ϵ
^
±
⋅
ϵ
^
∓
⋆
=
ϵ
^
±
⋅
ϵ
^
±
=
0
{\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{\pm }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {e}}_{1}\pm i{\hat {e}}_{2}\right),\;\epsilon _{3}={\frac {\vec {k}}{k}}\;\Rightarrow \;{\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot \epsilon _{3}=0,\;{\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\pm }^{\star }={\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\mp }=1,\;{\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\mp }^{\star }={\hat {\epsilon }}_{\pm }\cdot {\hat {\epsilon }}_{\pm }=0}
.
Eine Zerlegung von
E
→
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{0}}
ist daher auch bezüglich
der
ϵ
^
±
{\displaystyle {\hat {\epsilon }}_{\pm }}
möglich:
E
→
0
=
E
+
ϵ
^
+
+
E
−
ϵ
^
−
{\displaystyle {\vec {E}}_{0}=E_{+}{\hat {\epsilon }}_{+}+E_{-}{\hat {\epsilon }}_{-}}
.
Die sog. Helizität ist der Drehsinn der Welle parallel zum Wellenvektor
k
→
:
ϵ
^
±
{\displaystyle {\vec {k}}:{\hat {\epsilon }}_{\pm }}
gehören zu den Helizitäten
±
1
{\displaystyle \pm 1}
.
Ausgehend von der Lorentz-Kraft können wir eine Größe gewinnen, die
etwas über den Impuls eines Strahlungsfeldes ausdrückt:
1
c
∂
t
P
→
M
=
F
→
=
∫
d
3
x
(
ρ
(
t
,
x
→
)
⏟
=
1
4
π
∇
→
⋅
D
→
E
→
(
t
,
x
→
)
+
1
c
J
→
(
t
,
x
→
)
⏟
=
c
4
π
∇
→
×
H
→
−
1
4
π
∂
t
D
→
×
B
→
(
t
,
x
→
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {P}}_{M}={\vec {F}}=\int d^{3}x\,\left(\underbrace {\rho \left(t,{\vec {x}}\right)} _{={\frac {1}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}}{\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)+{\frac {1}{c}}\underbrace {{\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}\right)} _{={\frac {c}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}-{\frac {1}{4\pi }}\partial _{t}{\vec {D}}}\times {\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)\right)}
=
1
4
π
∫
d
3
x
(
E
→
(
∇
→
⋅
D
→
)
+
(
∇
→
×
H
→
)
×
B
→
−
1
c
∂
t
D
→
×
B
→
)
{\displaystyle ={\frac {1}{4\pi }}\int d^{3}x\,\left({\vec {E}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)+\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\times {\vec {B}}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)}
.
Hierin verwenden wir
1
c
∂
t
(
D
→
×
B
→
)
=
1
c
∂
t
D
→
×
B
→
+
D
→
×
1
c
∂
t
B
→
⏟
=
−
∇
→
×
E
→
=
1
c
∂
t
D
→
×
B
→
−
D
→
×
(
∇
→
×
E
→
)
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}\left({\vec {D}}\times {\vec {B}}\right)={\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}\times {\vec {B}}+{\vec {D}}\times \underbrace {{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}} _{=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}}={\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {D}}\times {\vec {B}}-{\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)}
,
sodass
1
c
∂
t
P
→
M
+
1
c
∂
t
∫
d
3
x
1
4
π
D
→
×
B
→
⏟
=
P
→
F
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {P}}_{M}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {\int d^{3}x\,{\frac {1}{4\pi }}{\vec {D}}\times {\vec {B}}} _{={\vec {P}}_{F}}}
=
1
4
π
∫
d
3
x
(
E
→
(
∇
→
⋅
D
→
)
+
H
→
(
∇
→
⋅
B
→
)
⏟
=
0
−
B
→
×
(
∇
→
×
H
→
)
−
D
→
×
(
∇
→
×
E
→
)
)
{\displaystyle ={\frac {1}{4\pi }}\int d^{3}x\,\left({\vec {E}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)+{\vec {H}}\underbrace {\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)} _{=0}-{\vec {B}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)-{\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)\right)}
,
D
→
×
(
∇
→
×
E
→
)
=
∑
k
,
l
,
m
,
n
ε
i
k
l
ε
l
m
n
D
k
∂
m
E
n
=
∑
k
,
l
,
m
,
n
(
δ
i
m
δ
k
n
−
δ
i
n
δ
k
m
)
D
k
∂
m
E
n
=
D
→
⋅
∂
i
E
→
−
(
D
→
⋅
∇
→
)
E
i
{\displaystyle {\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)={\underset {k,l,m,n}{\sum }}\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lmn}D_{k}\partial _{m}E_{n}={\underset {k,l,m,n}{\sum }}\left(\delta _{im}\delta _{kn}-\delta _{in}\delta _{km}\right)D_{k}\partial _{m}E_{n}={\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}-\left({\vec {D}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)E_{i}}
,
(
D
→
⋅
∇
→
)
E
i
=
∇
→
⋅
(
D
→
E
i
)
−
E
i
(
∇
→
⋅
D
→
)
{\displaystyle \left({\vec {D}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)E_{i}={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {D}}E_{i}\right)-E_{i}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)}
.
Außerdem nehmen wir einen linearen Zusammenhang zwischen
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
und
D
→
{\displaystyle {\vec {D}}}
(wie z.B. isotrope Dielektrika:
ε
_
=
ε
1
_
{\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon {\underline {1}}}
)
an:
D
→
=
ε
_
E
→
⇒
{\displaystyle {\vec {D}}={\underline {\varepsilon }}{\vec {E}}\;\Rightarrow }
∂
i
(
D
→
⋅
E
→
)
=
∂
i
(
D
→
T
⋅
E
→
)
=
∂
i
(
E
→
T
ε
_
T
E
→
)
{\displaystyle \partial _{i}\left({\vec {D}}\cdot {\vec {E}}\right)=\partial _{i}\left({\vec {D}}^{T}\cdot {\vec {E}}\right)=\partial _{i}\left({\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}^{T}{\vec {E}}\right)}
=
(
∂
i
E
→
)
T
ε
_
T
E
→
+
E
→
T
ε
_
T
∂
i
E
→
=
(
∂
i
E
→
)
T
(
E
→
T
ε
_
)
T
+
D
→
⋅
∂
i
E
→
{\displaystyle =\left(\partial _{i}{\vec {E}}\right)^{T}{\underline {\varepsilon }}^{T}{\vec {E}}+{\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}^{T}\partial _{i}{\vec {E}}=\left(\partial _{i}{\vec {E}}\right)^{T}\left({\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}\right)^{T}+{\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}}
;
Skalarprodukt:
a
→
⋅
b
→
=
a
→
T
b
→
=
b
→
⋅
a
→
=
b
→
T
a
→
⇒
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}^{T}{\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}={\vec {b}}^{T}{\vec {a}}\;\Rightarrow }
Wenn
ε
_
{\displaystyle {\underline {\varepsilon }}}
symmetrisch ist, d.h.
ε
_
T
=
ε
_
{\displaystyle {\underline {\varepsilon }}^{T}={\underline {\varepsilon }}}
(
∂
i
E
→
)
T
(
E
→
T
ε
_
)
T
=
E
→
T
ε
_
∂
i
E
→
=
(
ε
_
T
E
→
)
T
∂
i
E
→
=
(
ε
_
E
→
)
T
∂
i
E
→
=
D
→
⋅
∂
i
E
→
⇒
{\displaystyle \left(\partial _{i}{\vec {E}}\right)^{T}\left({\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}\right)^{T}={\vec {E}}^{T}{\underline {\varepsilon }}\partial _{i}{\vec {E}}=\left({\underline {\varepsilon }}^{T}{\vec {E}}\right)^{T}\partial _{i}{\vec {E}}=\left({\underline {\varepsilon }}{\vec {E}}\right)^{T}\partial _{i}{\vec {E}}={\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}\;\Rightarrow }
∂
i
(
D
→
⋅
E
→
)
=
2
D
→
⋅
∂
i
E
→
{\displaystyle \partial _{i}\left({\vec {D}}\cdot {\vec {E}}\right)=2{\vec {D}}\cdot \partial _{i}{\vec {E}}}
Somit erhalten wir :
[
D
→
×
(
∇
→
×
E
→
)
]
i
=
∑
k
∂
k
(
1
2
δ
k
i
D
→
⋅
E
→
−
E
i
D
k
)
+
E
→
(
∇
→
⋅
D
→
)
{\displaystyle \left[{\vec {D}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}\right)\right]_{i}={\underset {k}{\sum }}\partial _{k}\left({\frac {1}{2}}\delta _{ki}{\vec {D}}\cdot {\vec {E}}-E_{i}D_{k}\right)+{\vec {E}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}\right)}
.
Ganz analog hierzu nehmen wir einen linearen Zusammenhang zwischen
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
und
H
→
{\displaystyle {\vec {H}}}
(wie z.B. isotrope
Magnetika:
μ
_
=
μ
1
_
{\displaystyle {\underline {\mu }}=\mu {\underline {1}}}
) an:
B
→
=
μ
_
H
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\underline {\mu }}{\vec {H}}}
.
μ
_
{\displaystyle {\underline {\mu }}}
sei symmetrisch:
μ
_
T
=
μ
_
{\displaystyle {\underline {\mu }}^{T}={\underline {\mu }}}
:
[
B
→
×
(
∇
→
×
H
→
)
]
i
=
∑
k
∂
k
(
1
2
δ
k
i
B
→
⋅
H
→
−
B
i
H
k
)
+
H
→
(
∇
→
⋅
B
→
)
{\displaystyle \left[{\vec {B}}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\right]_{i}={\underset {k}{\sum }}\partial _{k}\left({\frac {1}{2}}\delta _{ki}{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}-B_{i}H_{k}\right)+{\vec {H}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}\right)}
.
Somit ergibt sich folgender Zusammenhang,
1
c
∂
t
[
P
→
M
]
i
+
1
c
∂
t
[
P
→
F
]
i
=
∑
k
∫
d
3
x
∂
k
T
i
k
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}\left[{\vec {P}}_{M}\right]_{i}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}\left[{\vec {P}}_{F}\right]_{i}={\underset {k}{\sum }}\int d^{3}x\,\partial _{k}T^{ik}}
,
zwischen dem mechanischen Impuls
P
→
M
{\displaystyle {\vec {P}}_{M}}
und dem
Impuls des elektromagnetischen Feldes
P
→
F
=
∫
d
3
x
1
4
π
D
→
×
B
→
{\displaystyle {\vec {P}}_{F}=\int d^{3}x\,{\frac {1}{4\pi }}{\vec {D}}\times {\vec {B}}}
.
Hierin kommt der Maxwell'sche Spannungstensor
T
i
k
=
δ
i
k
w
−
1
4
π
(
E
i
D
k
+
H
i
B
k
)
{\displaystyle T^{ik}=\delta _{ik}w-{\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}\,D_{k}+H_{i}\,B_{k}\right)}
mit der Energiedichte
w
=
1
8
π
(
D
→
⋅
E
→
+
B
→
⋅
H
→
)
{\displaystyle w={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {D}}\cdot {\vec {E}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}\right)}
vor.
Die elektromagnetischen Feldvektoren lassen sich mittels sog. Potentiale
darstellen, wie z.B. die magnetische Flussdichte als Rotation eines
Vektorpotentials
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
:
B
→
=
∇
→
×
A
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}
,
weil dies automatisch die Maxwell-Gleichung
∇
→
⋅
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}
erfüllt. Für das elektrische Feld schließen wir hieraus auf die Existenz
eines Skalarpotentials
A
0
{\displaystyle A_{0}}
:
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
⇒
0
=
∇
→
×
(
E
→
+
1
c
∂
t
A
→
)
=
−
∇
→
×
∇
→
A
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}\,\Rightarrow \,0={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\right)=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}A_{0}}
,
weil:
[
∇
→
×
∇
→
A
0
]
i
=
ε
i
k
l
∂
k
∂
l
A
0
=
1
2
(
ε
i
k
l
+
ε
i
k
l
)
∂
k
∂
l
A
0
=
1
2
(
ε
i
k
l
∂
k
∂
l
A
0
+
ε
i
l
k
∂
l
∂
k
A
0
)
{\displaystyle \left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}A_{0}\right]_{i}=\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\partial _{l}A_{0}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{k}\partial _{l}A_{0}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}\partial _{k}\partial _{l}A_{0}+\varepsilon _{ilk}\partial _{l}\partial _{k}A_{0}\right)}
=
1
2
(
ε
i
k
l
+
ε
i
l
k
)
∂
k
∂
l
A
0
=
1
2
(
ε
i
k
l
−
ε
i
k
l
)
∂
k
∂
l
A
0
=
0
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}+\varepsilon _{ilk}\right)\partial _{k}\partial _{l}A_{0}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{ikl}-\varepsilon _{ikl}\right)\partial _{k}\partial _{l}A_{0}=0}
.
Das elektrische Feld lässt sich also wie folgt mit Hilfe des Skalarpotentials
A
0
{\displaystyle A_{0}}
und des Vektorpotentials
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
angeben:
E
→
=
−
∇
→
A
0
−
1
c
∂
t
A
→
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}}
.
Wellengleichungen für elektromagnetische Potentiale
Bearbeiten
Genau so wie die elektromagnetischen Felder Wellengleichungen erfüllen,
ist dies auch für die elektromagnetischen Potentiale der Fall, aus
denen sie berechnet werden können.
(1) Wellengleichung für das Vektorpotential:
∇
→
×
B
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
E
→
,
B
→
=
∇
→
×
A
→
,
E
→
=
−
∇
→
A
0
−
1
c
∂
t
A
→
⇒
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}},\;{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}},\;{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\,\Rightarrow }
∇
→
(
∇
→
⋅
A
→
)
−
∇
→
2
A
→
=
∇
→
×
(
∇
→
×
A
→
)
=
∇
→
×
B
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\right)={\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}}
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
E
→
=
4
π
c
J
→
−
∇
→
1
c
∂
t
A
0
−
1
c
2
∂
t
2
A
→
{\displaystyle ={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}{\vec {A}}}
.
D.h. wir erhalten die Wellengleichung
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
→
=
4
π
c
J
→
−
∇
→
(
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)}
.
Anm.: Die Schlussfolgerungen aus folgenden analogen Operationen sind
hingegen eher trivial:
∇
→
×
E
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
,
B
→
=
∇
→
×
A
→
,
E
→
=
−
∇
→
A
0
−
1
c
∂
t
A
→
⇒
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}},\;{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}},\;{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\,\Rightarrow }
−
∇
→
×
1
c
∂
t
A
→
=
−
1
c
∂
t
B
→
=
∇
→
×
E
→
=
−
∇
→
×
∇
→
A
0
⏟
=
0
−
∇
→
×
1
c
∂
t
A
→
=
−
∇
→
×
1
c
∂
t
A
→
{\displaystyle -{\vec {\nabla }}\times {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\underbrace {{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}A_{0}} _{=0}-{\vec {\nabla }}\times {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}=-{\vec {\nabla }}\times {\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}}
.
Bei Anwesenheit isotroper Magnetika bzw. Dielektrika müssen wir statt
∇
→
×
B
→
=
4
π
c
J
→
+
1
c
∂
t
E
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}}
die Gleichung
∇
→
×
B
→
=
4
π
ε
μ
c
J
→
~
+
ε
μ
c
∂
t
E
→
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi \varepsilon \mu }{c}}{\tilde {\vec {J}}}+{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\partial _{t}{\vec {E}}}
mit
J
→
~
=
1
ε
J
→
{\displaystyle {\tilde {\vec {J}}}={\frac {1}{\varepsilon }}{\vec {J}}}
verwenden
und erhalten daher:
(
1
c
n
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
→
=
4
π
n
c
n
ε
J
→
−
∇
→
(
n
c
n
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{c_{n}^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi n}{c_{n}\varepsilon }}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {n}{c_{n}}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)}
mit der Lichtgeschwindigkeit im Medium
c
n
=
c
n
{\displaystyle c_{n}={\frac {c}{n}}}
und dem Brechungsindex
n
=
ε
μ
{\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}}
.
(2) Wellengleichung für das skalare Potential:
E
→
=
−
∇
→
A
0
−
1
c
∂
t
A
→
⇒
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\;\Rightarrow }
−
∇
→
2
A
0
−
1
c
∂
t
∇
→
⋅
A
→
=
∇
→
⋅
E
→
=
4
π
ρ
{\displaystyle -{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho }
.
Bei Anwesenheit isotroper Magnetika bzw. Dielektrika müssen wir statt
∇
→
⋅
E
→
=
4
π
ρ
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho }
die Gleichung
∇
→
⋅
E
→
=
4
π
ε
ρ
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {4\pi }{\varepsilon }}\rho }
verwenden:
−
∇
→
2
A
0
−
1
c
∂
t
∇
→
⋅
A
→
=
4
π
ε
ρ
{\displaystyle -{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\frac {4\pi }{\varepsilon }}\rho }
.
Bei Abwesenheit von Ladungen und Strömen gilt ja
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
E
→
=
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {E}}=0}
,
wobei die allgemeine Lösung
E
→
(
t
,
x
→
)
=
∫
d
3
k
(
2
π
)
3
(
E
→
0
e
−
i
ω
t
+
i
k
→
⋅
x
→
+
E
→
0
⋆
e
+
i
ω
t
−
i
k
→
⋅
x
→
)
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int {\frac {d^{3}k}{\left(2\pi \right)^{3}}}\,\left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}+{\vec {E}}_{0}^{\star }e^{+i\omega t-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\right)}
mit
ω
=
k
c
{\displaystyle \omega =kc}
lautet (die Lösung
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
ist reell, aber die Amplitude
E
→
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{0}}
wird im
Allg. komplex sein).
Analoges gilt für
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
:
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
B
→
=
0
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {B}}=0}
.
Hieraus folgt auch der Spezialfall ebener Wellen:
E
→
(
t
,
x
→
)
=
E
→
0
e
−
i
ω
t
+
i
k
→
⋅
x
→
{\displaystyle {\vec {E}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}}
,
B
→
(
t
,
x
→
)
=
B
→
0
e
−
i
ω
t
+
i
k
→
⋅
x
→
{\displaystyle {\vec {B}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\vec {B}}_{0}e^{-i\omega t+i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}}
.
Mit
∇
→
⋅
B
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0}
und
∇
→
⋅
E
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0}
(d.h. es sind keine Ladung vorhanden) folgt hieraus:
k
→
⋅
B
→
0
=
0
{\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {B}}_{0}=0}
und
k
→
⋅
E
→
0
=
0
{\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {E}}_{0}=0}
,
d.h. die Wellen sind transversal.
A
0
{\displaystyle A_{0}}
und
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
besitzen zusammen vier Komponenten. Wegen der beiden Transversalitätsbedingung
sind also zwei Komponenten zuviel, um die Welle beschreiben zu wollen:
Es sind vier Komponenten vorhanden, es werden aber wegen der Transversalität
der elektromagnetischen Wellen nur zwei benötigt. Die überschüssigen
Freiheitsgrade werden daher »weggeeicht« .
Eine Transformation
A
0
→
A
0
−
1
c
∂
∂
t
Λ
,
A
→
→
A
→
+
∇
→
Λ
{\displaystyle A_{0}\rightarrow A_{0}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Lambda ,{\vec {A}}\rightarrow {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\Lambda }
ändert
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
und
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
nicht (und
heißt »Eichtransformation«):
E
→
=
−
∇
→
A
0
−
1
c
∂
t
A
→
→
−
∇
→
A
0
−
1
c
∂
t
A
→
+
∇
→
1
c
∂
∂
t
Λ
−
1
c
∂
t
∇
→
Λ
=
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\,\rightarrow -{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}+{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\Lambda -{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\Lambda ={\vec {E}}}
,
B
→
=
∇
→
×
A
→
→
∇
→
×
A
→
+
∇
→
×
∇
→
Λ
⏟
=
0
=
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\rightarrow {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}+\underbrace {{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\Lambda } _{=0}={\vec {B}}}
,
Letzteres weil
r
o
t
g
r
a
d
≡
0
{\displaystyle rot\,grad\equiv 0}
. Folgender Term aus
den Wellengleichungen verhält sich unter dieser Transformation hingegen
wie:
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
→
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
−
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
Λ
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\rightarrow {\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}-\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)\Lambda }
.
Die bekanntesten Beispiele für Eichungen sind:
Lorenz-Eichung: Wähle
Λ
{\displaystyle \Lambda }
so, dass unter
der Transformation
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
→
0
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\rightarrow 0}
gilt, d.h.
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
Λ
=
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)\Lambda ={\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}}
.
Coulomb-Eichung: Wähle
Λ
{\displaystyle \Lambda }
so, dass unter der Transformation
∇
→
⋅
A
→
→
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\rightarrow 0}
gilt, d.h.
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
Λ
=
∇
→
⋅
A
→
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)\Lambda ={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}}
.
In den folgenden beiden Kapiteln möchten wir gerne diese beiden Sorten
von Eichungen auf die mikroskopischen Wellengleichungen anwenden.
Mikroskopische Wellengleichungen in Coulomb-Eichung
Bearbeiten
Die mikroskopische Wellengleichung für Skalar- und Vektorpotential
möchten wir hier in der Coulomb-Eichung, d.h.
∇
→
⋅
A
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}
,
betrachten. Für das Vektorpotential gilt dann:
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
→
=
4
π
c
J
→
−
∇
→
(
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
)
⇒
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)\;\Rightarrow \;}
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
→
=
4
π
c
J
→
−
∇
→
1
c
∂
t
A
0
=:
4
π
c
J
→
⊥
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}=:{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{\perp }}
.
Für das Skalarpotential erhalten wir die Gleichung:
−
∇
→
2
A
0
−
1
c
∂
t
∇
→
⋅
A
→
=
4
π
ρ
⇒
∇
→
2
A
0
=
−
4
π
ρ
{\displaystyle -{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=4\pi \rho \;\Rightarrow \;{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}=-4\pi \rho }
,
woraus wir wie folgt das Skalarpotential bestimmen können:
∇
→
2
A
0
(
t
,
x
→
)
=
−
4
π
ρ
(
t
,
x
→
)
=
∫
d
3
x
′
ρ
(
t
,
x
→
′
)
(
−
4
π
δ
3
(
x
→
−
x
→
′
)
)
⏟
∇
→
2
1
|
x
→
−
x
→
′
|
{\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=-4\pi \rho \left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)\underbrace {\left(-4\pi \delta ^{3}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right)\right)} _{{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}}
=
∫
d
3
x
′
ρ
(
t
,
x
→
′
)
∇
→
2
1
|
x
→
−
x
→
′
|
=
∇
→
2
∫
d
3
x
′
ρ
(
t
,
x
→
′
)
|
x
→
−
x
→
′
|
{\displaystyle =\int d^{3}x^{\prime }\,\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right){\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}={\vec {\nabla }}^{2}\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}
,
d.h.
A
0
(
t
,
x
→
)
=
∫
d
3
x
′
ρ
(
t
,
x
→
′
)
|
x
→
−
x
→
′
|
{\displaystyle A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}
.
Hieraus und aus der Kontinuitätsgleichung
∂
t
ρ
+
∇
→
⋅
J
→
=
0
{\displaystyle \partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=0}
folgt zum einen
∂
t
A
0
(
t
,
x
→
)
=
∫
d
3
x
′
∂
t
ρ
(
t
,
x
→
′
)
|
x
→
−
x
→
′
|
=
−
∫
d
3
x
′
∇
→
′
⋅
J
→
(
t
,
x
→
′
)
|
x
→
−
x
→
′
|
{\displaystyle \partial _{t}A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\partial _{t}\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}=-\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {{\vec {\nabla }}^{\prime }\cdot {\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}
und die Transversalität von
J
→
⊥
{\displaystyle {\vec {J}}_{\perp }}
:
4
π
c
J
→
⊥
=
4
π
c
J
→
−
∇
→
1
c
∂
t
A
0
⇒
{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{\perp }={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}\,\Rightarrow }
4
π
c
∇
→
×
J
→
⊥
=
4
π
c
∇
→
×
J
→
{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}_{\perp }={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}}
,
4
π
c
∇
→
⋅
J
→
⊥
=
4
π
c
∇
→
⋅
J
→
−
1
c
∂
t
∇
→
2
A
0
⏟
−
4
π
ρ
=
4
π
c
(
∇
→
⋅
J
→
+
∂
t
ρ
)
=
0
{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}_{\perp }={\frac {4\pi }{c}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}} _{-4\pi \rho }={\frac {4\pi }{c}}\left({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}+\partial _{t}\rho \right)=0}
.
Die Stromdichte können wir daher in einen transversalen und einen
longitudinalen Anteil zerlegen:
J
→
=
J
→
⊥
+
J
→
∥
,
∇
→
⋅
J
→
⊥
=
0
,
∇
→
×
J
→
∥
:=
0
⇒
{\displaystyle {\vec {J}}={\vec {J}}_{\perp }+{\vec {J}}_{\parallel },\;{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}_{\perp }=0,\;{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}_{\parallel }:=0\;\Rightarrow }
∇
→
⋅
J
→
=
∇
→
⋅
J
→
∥
,
∇
→
×
J
→
=
∇
→
×
J
→
⊥
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}_{\parallel },\;{\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {J}}_{\perp }}
mit dem longitudinalen Anteil
J
→
∥
=
1
4
π
∇
→
∂
t
A
0
(
t
,
x
→
)
{\displaystyle {\vec {J}}_{\parallel }={\frac {1}{4\pi }}{\vec {\nabla }}\partial _{t}A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)}
.
Mikroskopische Wellengleichungen in Lorenz-Eichung
Bearbeiten
Die mikroskopische Wellengleichung für Skalar- und Vektorpotential
möchten wir hier in der Lorenz-Eichung,
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}
,
diskutieren. Für das Vektorpotential erhalten wir
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
→
=
4
π
c
J
→
−
∇
→
(
1
c
∂
t
A
0
−
∇
→
⋅
A
→
)
⇒
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)\;\Rightarrow \;}
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
→
=
4
π
c
J
→
{\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}}
,
während für das Skalarpotential Folgendes gilt:
4
π
ρ
=
−
∇
→
2
A
0
−
1
c
∂
t
∇
→
⋅
A
→
⏟
=
−
1
c
∂
t
A
0
=
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
0
{\displaystyle 4\pi \rho =-{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}\underbrace {{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}} _{=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}}=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)A_{0}}
.
Zusammengefasst zu einer Gleichung mittels (der. sog. »Vierervektoren«)
A
μ
=
(
A
0
,
A
→
)
{\displaystyle A^{\mu }=\left(A_{0},{\vec {A}}\right)}
,
J
μ
=
(
J
0
,
J
→
)
=
(
c
ρ
,
J
→
)
{\displaystyle J^{\mu }=\left(J_{0},{\vec {J}}\right)=\left(c\rho ,{\vec {J}}\right)}
,
x
=
(
x
0
,
x
→
)
=
(
c
t
,
x
→
)
{\displaystyle x=\left(x_{0},{\vec {x}}\right)=\left(ct,{\vec {x}}\right)}
,
wobei hier und in Zukunft griechische Indizes immer Werte von 0 bis
3 annehmen sollen,
μ
=
0
,
1
,
2
,
3
{\displaystyle \mu =0,1,2,3}
, (während wir vereinbaren,
dass römische Indizes nur die Werte von 1 bis 3 durchlaufen) erhalten
wir
◻
A
μ
=
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
μ
=
4
π
c
J
μ
{\displaystyle \square A^{\mu }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)A^{\mu }={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }}
.
Mit der »Vierer-Ableitung«,
∂
μ
=
(
∂
0
,
∇
→
)
=
(
1
c
∂
t
,
∇
→
)
{\displaystyle \partial _{\mu }=\left(\partial _{0},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {1}{c}}\partial _{t},{\vec {\nabla }}\right)}
,
können wir auch die Lorenz-Eichbedingung folgendermaßen schreiben:
∑
4
μ
=
0
∂
μ
A
μ
=
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
=
0
{\displaystyle {\underset {\mu =0}{\overset {4}{\sum }}}\partial _{\mu }A^{\mu }={\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}
.
Lösungen der mikroskopischen Wellengleichungen
Bearbeiten
Mit Hilfe der zuvor bereits vorgestellten Greensfunktion der Elektrodynamik
können wir jetzt sogar eine Lösung der Wellengleichungen in Lorenz-Eichung
(
1
c
∂
t
A
0
+
∇
→
⋅
A
→
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}
),
d.h.
◻
A
μ
=
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
μ
=
4
π
c
J
μ
{\displaystyle \square A^{\mu }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)A^{\mu }={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }}
,
bzw. in Coulomb-Eichung (
∇
→
⋅
A
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0}
),
d.h.
◻
A
→
=
(
1
c
2
∂
t
2
−
∇
→
2
)
A
→
=
4
π
c
J
→
−
∇
→
1
c
∂
t
A
0
=:
4
π
c
J
→
⊥
{\displaystyle \square {\vec {A}}=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}{\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}=:{\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{\perp }}
,
∇
→
2
A
0
=
−
4
π
ρ
{\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}A_{0}=-4\pi \rho }
(mit der bereits bekannten
Lösung
A
0
(
t
,
x
→
)
=
∫
d
3
x
′
ρ
(
t
,
x
→
′
)
|
x
→
−
x
→
′
|
{\displaystyle A_{0}\left(t,{\vec {x}}\right)=\int d^{3}x^{\prime }\,{\frac {\rho \left(t,{\vec {x}}^{\prime }\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}^{\prime }\right|}}}
)
angeben. Für die Greensfunktion gilt ja:
◻
G
(
x
−
x
′
)
=
4
π
δ
4
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle \square G\left(x-x^{\prime }\right)=4\pi \delta ^{4}\left(x-x^{\prime }\right)}
.
Am Beispiel der Lorenz-Eichung folgt hieraus:
◻
A
μ
(
x
)
=
4
π
c
J
μ
(
x
)
=
1
c
∫
d
4
x
′
J
μ
(
x
′
)
4
π
δ
4
(
x
−
x
′
)
=
1
c
∫
d
4
x
′
J
μ
(
x
′
)
◻
G
(
x
−
x
′
)
⇒
{\displaystyle \square A^{\mu }\left(x\right)={\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)4\pi \delta ^{4}\left(x-x^{\prime }\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)\square G\left(x-x^{\prime }\right)\;\Rightarrow }
A
μ
(
x
)
=
1
c
∫
d
4
x
′
G
(
x
−
x
′
)
J
μ
(
x
′
)
{\displaystyle A^{\mu }\left(x\right)={\frac {1}{c}}\int d^{4}x^{\prime }\,G\left(x-x^{\prime }\right)J^{\mu }\left(x^{\prime }\right)}
.
Im nächsten Kapitel werden wir diese formale Lösung verbunden mit
der bereits bekannten Gestalt der Greensfunktion verwenden, um Strahlungssysteme
zu betrachten.
Strahlungsquellen, d.h. Ladungen und Ströme, sollen (als Spezialfall
einer Fourier-Zerlegung) eine harmonische Zeitabhängigkeit besitzen:
ρ
(
t
,
x
→
)
=
ρ
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle \rho \left(t,{\vec {x}}\right)=\rho \left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}}
,
J
→
(
t
,
x
→
)
=
J
→
(
x
→
)
e
−
i
ω
t
{\displaystyle {\vec {J}}\left(t,{\vec {x}}\right)={\vec {J}}\left({\vec {x}}\right)e^{-i\omega t}}