Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Spezielle Relativitätstheorie

Bei großen Geschwindigkeiten müssen die Gesetze der klassischen Mechanik modifiziert werden. In der Elektrodynamik ist - im Gegensatz zur klassischen Mechanik - die Lichtgeschwindigkeit ausgezeichnet:

1. Postulat: In einem Inertialsystem breitet sich das Licht in allen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit c im Vakuum aus.

Neben dem vorangegangenen 1. Postulat gibt es noch ein zweites, das die Erkenntnis ausdrückt, dass raumzeitliche Abstände der folgenden Art beim Wechsel des Inertialsystems invariant sind:

2. Postulat: Das Abstandsquadrat

$\left(ct\right)^{2}-{\vec {x}}^{2}=\left(x^{0}\right)^{2}-{\vec {x}}^{2}=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{array}}\right)={\underset {\mu ,\nu =0}{\overset {3}{\sum }}}x^{\mu }g_{\mu \nu }x^{\nu }=x^{T}{\underline {g}}x$

bleibt beim Wechsel des Inertialsystems, d.h. $x^{\prime }={\underline {\Lambda }}x$ bzw. $x^{\mu }={\underset {\nu =0}{\overset {3}{\sum }}}\Lambda _{\,\nu }^{\mu }x^{\nu }$, unverändert:

$x^{T}{\underline {g}}x=x^{\prime T}{\underline {g}}x^{\prime }=x^{T}{\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}x$, d.h. es gilt ${\underline {g}}={\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}$.

Hierin ist auch die Tatsache aus der klassischen Mechanik enthalten, dass bei einer Drehung räumliche Abstände unverändert bleiben. Außerdem ist darin auch schon das 1. Postulat enthalten, wenn wir annehmen, dass in $x^{0\prime }=c^{\prime }t^{\prime }$ die Lichtgeschwindigkeit die gleiche ist wie in $x^{0}=ct$, d.h. $c^{\prime }=c$.

Im Folgenden verwenden wir übrigens die Einstein'sche Summenkonvention, d.h. es wird immer über gleiche - tief bzw. hochgestellte - Indizes summiert und Summenzeichen werden dann weg gelassen.

Indizes werden dabei folgendermaßen hoch bzw. herunter gezogen:

$x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\nu }$,

$x^{\mu }=g_{\nu }^{\mu }x^{\nu }$,

$x^{\mu }=g^{\mu \nu }x_{\nu }$,

mit $g_{\nu }^{\mu }=\delta _{\nu }^{\mu }$ und $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$. Über die sog. Metrik (oder den sog. Metriktensor) ${\underline {g}}$ können wir weitere Aussagen treffen:

$x_{\lambda }=g_{\lambda \mu }x^{\mu }=g_{\lambda \mu }g^{\mu \nu }x_{\nu }\;\Rightarrow \;g_{\lambda \mu }g^{\mu \nu }=g_{\lambda }^{\nu }=\delta _{\lambda }^{\nu }$, $x^{\lambda }=g^{\lambda \mu }x_{\mu }=g^{\lambda \mu }g_{\mu \nu }x^{\nu }\;\Rightarrow \;g^{\lambda \mu }g_{\mu \nu }=g_{\nu }^{\lambda }=\delta _{\nu }^{\lambda }\;\Rightarrow \;{\underline {g}}=\left(g_{\mu \nu }\right),\;{\underline {g}}^{-1}=\left(g^{\mu \nu }\right)$.

Die sog. Vierer-Ortsvektoren (die sowohl die drei Orts- als auch eine Zeitkomponente enthalten) ergeben sich somit zu

$x=\left(x^{\mu }\right)=\left(x^{0},{\vec {x}}\right)$,

$\left(x_{\mu }\right)=\left(x_{0},-{\vec {x}}\right)=\left(x^{0},-{\vec {x}}\right)$.

Die folgenden Ausdrücke in Komponentenschreibweise sind zudem sehr nützlich:

${\underline {g}}={\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}\;\Rightarrow \;g_{\mu \nu }=g_{\alpha \beta }\Lambda _{\;\mu }^{\alpha }\Lambda _{\;\nu }^{\beta }$,

${\underline {\Lambda }}^{T}={\underline {g}}{\underline {\Lambda }}^{-1}{\underline {g}}^{-1}\;\Rightarrow \;\left({\underline {\Lambda }}^{T}\right)_{\;\nu }^{\mu }=g_{\alpha }^{\mu }\left({\underline {\Lambda }}^{-1}\right)_{\;\beta }^{\alpha }g_{\nu }^{\beta }=\left({\underline {\Lambda }}^{-1}\right)_{\;\nu }^{\mu }$.

Das gestrichene Inertialsystem bewege sich jetzt relativ zum ungestrichenen mit konstanter Geschwindigkeit v in Richtung der x-Achse:

$\left(x^{0\prime }+x^{1\prime }\right)\left(x^{0\prime }-x^{1\prime }\right)=\left(x^{0\prime }\right)^{2}-\left(x^{1\prime }\right)^{2}=\left(x^{0}\right)^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}=\left(x^{0}+x^{1}\right)\left(x^{0}-x^{1}\right)$.

D.h. (a) es gilt entweder $x^{0\prime }+x^{1\prime }=f\left(v\right)\left(x^{0}-x^{1}\right)$ und $x^{0\prime }-x^{1\prime }={\frac {1}{f\left(v\right)}}\left(x^{0}+x^{1}\right)$

oder (b) $x^{0\prime }+x^{1\prime }=f\left(v\right)\left(x^{0}+x^{1}\right)$ und $x^{0\prime }-x^{1\prime }={\frac {1}{f\left(v\right)}}\left(x^{0}-x^{1}\right)$.

Bei $v=0$ soll $x^{0\prime }+x^{1\prime }=x^{0}+x^{1}$ und $x^{0\prime }-x^{1\prime }=x^{0}-x^{1}$ sein, d.h. $f\left(0\right)=1$ und (b) müssen gelten.

Zum Zeitpunkt 0 stimmen die Ursprünge beider Systeme überein. Im ungestrichenen System hat sich nach einer Zeit t der Ursprung des gestrichenen Systems gegenüber dem des ungestrichenen um die Strecke $x^{1}=vt$ fortbewegt. Für das gestrichene System befindet sich sein eigener Ursprung natürlich weiterhin an Ort und Stelle: $x^{1\prime }=0$. Hiermit folgt aus (b):

$ct^{\prime }=x^{0\prime }=f\left(v\right)\left(c+v\right)t$, $ct^{\prime }=x^{0\prime }={\frac {1}{f\left(v\right)}}\left(c-v\right)t$,

was zu

$f\left(v\right)=\pm {\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}$

führt.

Wegen $f\left(0\right)=1$ gilt: $f\left(v\right)={\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}$.

(b) nach $x^{0\prime }$ und $x^{1\prime }$ aufgelöst:

$x^{0\prime }={\frac {1}{2}}\left(f\left(v\right)+{\frac {1}{f\left(v\right)}}\right)x^{0}+{\frac {1}{2}}\left(f\left(v\right)-{\frac {1}{f\left(v\right)}}\right)x^{1}$, $x^{1\prime }={\frac {1}{2}}\left(f\left(v\right)-{\frac {1}{f\left(v\right)}}\right)x^{0}+{\frac {1}{2}}\left(f\left(v\right)+{\frac {1}{f\left(v\right)}}\right)x^{1}$

mit

${\frac {1}{2}}\left(f\left(v\right)+{\frac {1}{f\left(v\right)}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}=\gamma$, ${\frac {1}{2}}\left(f\left(v\right)-{\frac {1}{f\left(v\right)}}\right)=-{\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}{\frac {v}{c}}=-\gamma \beta$, $\beta ={\frac {v}{c}}$.

Im nicht relativistischen Limes, d.h. für kleine Geschwindigkeiten, ergeben sich wieder die gewohnten Galilei-Transformationen der klassischen Mechanik:

$x^{0\prime }=\gamma \left(x^{0}-\beta x^{1}\right){\underset {\beta \ll 1}{\approx }}x^{0}-\beta x^{1}{\underset {\beta \ll 1}{\approx }}x^{0}$, $x^{1\prime }=\gamma \left(x^{1}-\beta x^{0}\right){\underset {\beta \ll 1}{\approx }}x^{1}-\beta x^{0}=x^{1}-vt$.

Die übrigen Raumkoordinaten (nämlich jene senkrecht zur Geschwindigkeit) bleiben unter der Transformation unverändert: $x^{2\prime }=x^{2}$, $x^{3\prime }=x^{3}$. Zusammengefasst ergibt sich daher:

$x^{\prime }=\left({\begin{array}{c}x^{0\prime }\\x^{1\prime }\\x^{2\prime }\\x^{3\prime }\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{array}}\right)={\underline {\Lambda }}\left(v{\hat {e}}_{x_{1}}\right)x$.

Als Vektorgleichung können wir dies auch wie folgt zusammenfassen:

$x^{0\prime }=\gamma \left(x^{0}-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {x}}\right)$, ${\vec {x}}^{\prime }={\vec {x}}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left({\vec {\beta }}\cdot {\vec {x}}\right){\vec {\beta }}-\gamma {\vec {\beta }}x^{0}={\vec {x}}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\left({\vec {\beta }}\cdot {\vec {x}}\right){\vec {\beta }}-\gamma {\vec {\beta }}x^{0}$,

weil $\beta ^{2}={\frac {\gamma ^{2}-1}{\gamma ^{2}}}={\frac {\left(\gamma +1\right)\left(\gamma -1\right)}{\gamma ^{2}}}$. Diese Vektorgleichungen sind für beliebige ${\vec {\beta }}$ gültig.

Außerdem gilt ${\underline {\Lambda }}^{-1}\left({\vec {v}}\right)={\underline {\Lambda }}\left(-{\vec {v}}\right)$, weil sich vom ungestrichenen System aus das gestrichene System mit $-{\vec {v}}$ entfernt.

${\underline {\Lambda }}\left(v{\hat {e}}_{x_{1}}\right)$ ist ein sog. "Lorentz-Boost". Er ist eine "eigentliche, orthochrone Lorentztransformation", weil

$\det {\underline {\Lambda }}=\gamma ^{2}\left(1-\beta ^{2}\right)=1$ (eigentlich) und $\Lambda _{0}^{0}=\gamma \geq 1$ (orthochron). Man schreibt hierfür auch ${\underline {\Lambda }}\in L_{+}^{\uparrow }$.

Hierzu gehören auch Drehungen:

Drehung ${\underline {R}}$ im dreidimensionalen Raum: ${\underline {R}}^{T}{\underline {R}}={\underline {R}}{\underline {R}}^{T}={\underline {1}}$ mit $\det {\underline {R}}=1$;

${\underline {\Lambda }}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&{\underline {R}}\end{array}}\right)$ erfüllt daher auch ${\underline {g}}={\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}$, $\det {\underline {\Lambda }}=\det {\underline {R}}=1$, $\Lambda _{0}^{0}=1\geq 1$.

Es kann gezeigt werden, dass sich eigentliche, orthochrone Lorentztransformationen immer in Lorentz-Boosts und Drehungen zerlegen lassen.

Beispiele für Transformationen, die ${\underline {g}}={\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}$ erfüllen, aber keine eigentlichen, orthochronen Lorentztransformationen sind:

Raumspiegelung ${\underline {P}}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-{\underline {1}}_{3\times 3}\end{array}}\right)$,

Zeitspiegelung ${\underline {T}}=\left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&{\underline {1}}_{3\times 3}\end{array}}\right)$,

totalen Spiegelung ${\underline {P}}{\underline {T}}$

und somit auch das Produkt aus ${\underline {P}}$, ${\underline {T}}$ oder ${\underline {P}}{\underline {T}}$ mit ${\underline {\Lambda }}\in L_{+}^{\uparrow }$.

Bei einer Längenmessung im gestrichenen System gilt $dx^{0\prime }=0$, sodass wir aus der Lorentz-transformierten x-Koordinate für das ungestrichene System folgern können:

$dx^{1}=\gamma \left(dx^{1\prime }+\beta dx^{0\prime }\right){\underset {dx^{0\prime }=0}{=}}\gamma dx^{1\prime }\geq dx^{1\prime }$.

Im gestrichenen System erscheint die Länge $dx^{1}$ des relativ dazu (mit $-{\vec {v}}$) bewegten ungestrichenen Systems um einen Faktor ${\frac {1}{\gamma }}\leq 1$ verkürzt:

$dx^{1\prime }={\frac {1}{\gamma }}dx^{1}\leq dx^{1}$

Man spricht daher von einer sog. »Längenkontraktion«.

Bei einer Zeitmessung im ungestrichenen System gilt $d{\vec {x}}=0$, sodass wir aus der Lorentz-transformierten Zeit für das gestrichene System folgern können:

$dx^{0\prime }=\gamma \left(dx^{0}-\beta dx^{1}\right){\underset {dx^{1\prime }=0}{=}}\gamma dx^{0}\geq dx^{0}$.

Im gestrichenen System erscheint die Zeitspanne $dx^{0}$ des relativ dazu (mit $-{\vec {v}}$) bewegten ungestrichenen Systems um einen Faktor $\gamma \geq 1$ größer. Dies wird daher »Zeitdilatation« genannt.

• Additionstheorem für Geschwindigkeiten: Im ungestrichenen System

bewege sich ein Körper entlang der x-Achse mit der konstanten Geschwindigkeit $u={\frac {\Delta x^{1}}{\Delta t}}$. Die vom gestrichenen System aus betrachtete Geschwindigkeit $u^{\prime }={\frac {\Delta x^{1\prime }}{\Delta t^{\prime }}}$ des Körpers ergibt sich wie folgt:

$\Delta x^{1\prime }=\gamma \left(\Delta x^{1}-v\Delta t\right),\Delta t^{\prime }=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v}{c^{2}}}\Delta x^{1}\right)\;\Rightarrow u^{\prime }={\frac {\Delta x^{1\prime }}{\Delta t^{\prime }}}={\frac {u-v}{1-{\frac {uv}{c^{2}}}}}$.

• Die sog. Eigenzeit $\tau$ wird über die »Bogelänge«

in der vierdimensionalem Raumzeit eingeführt (${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}$):

$\left(c\,d\tau \right)^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\left(c\,dt\right)^{2}-\left(d{\vec {x}}\right)^{2}=\left(1-\left({\frac {\vec {v}}{c}}\right)^{2}\right)\left(c\,dt\right)^{2}={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left(c\,dt\right)^{2}\;\Rightarrow \;dt=\gamma d\tau$.

• Die 4er-Geschwindigkeit ist

$u=\left(u^{\mu }\right)=\left({\frac {d}{d\tau }}x^{\mu }\right)=\left(c{\frac {dt}{d\tau }},\,-{\frac {d}{d\tau }}{\vec {x}}\right)=\left(\gamma c,\,\gamma {\vec {v}}\right)$

mit ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}$, sodass

$u_{0}=\left(c,\,{\vec {0}}\right)\;\Rightarrow \;u={\underline {\Lambda }}\left({\vec {v}}\right)u_{0}$

gilt. Die herkömmliche Zeitableitung ist nämlich wie z.B. in ${\vec {v}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}$ nicht Lorentz-invariant. Daher wird in der 4er-Geschwindigkeit stattdessen nach der relativistisch invarianten Eigenzeit $\tau$ abgeleitet.

• Aus der Vierergeschwindigkeit ergibt sich der 4er-Impuls, bei

dem Energie und Impuls zu einer physikalischen Größe zusammen gefasst werden :

$p=mu=\left(m\gamma c,\,m\gamma {\vec {v}}\right)=\left({\frac {E}{c}},\,{\vec {p}}\right)$.

• Aus dem 4er-Impuls-Quadrat können wir die relativistische Energie

bestimmen:

$\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}-{\vec {p}}^{2}=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\mu }p^{\mu }=p\cdot p=p^{2}=\left(mc\right)^{2}\gamma ^{2}\left(1-\left({\frac {\vec {v}}{c}}\right)^{2}\right)=\left(mc\right)^{2}$

oder $E=\pm {\sqrt {\left(mc^{2}\right)^{2}+\left({\vec {p}}c\right)^{2}}}$.

• Für das relativistische Kraftgesetz gilt: $m{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=f^{\mu }$.

Wegen $x^{\mu }=\left(ct,{\vec {x}}\right)$ und $d\tau ={\frac {1}{\gamma }}dt$ und $\gamma \left(v=0\right)=1$ folgt:

$f^{\mu }=m{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}{\underset {v=0}{\longrightarrow }}m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\left(ct,{\vec {x}}\right)=\left(0,\,m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {x}}\right)=\left(0,\,{\vec {F}}\right)=\left(f_{0}^{0},{\vec {f}}_{0}\right)=f_{0}^{\mu }$,

wenn $m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {x}}={\vec {F}}$ das klassische Kraftgesetz ist. Umgekehrt folgt dann mittels Lorentz-Boost aus $f_{0}^{\mu }=\left(0,\,{\vec {F}}\right)$ die 4er-Kraft $f^{\mu }=\left(f^{0},{\vec {f}}\right)$:

$f^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }\left(-{\vec {v}}\right)f_{0}^{\nu }\;\Rightarrow$ $f^{0}=\gamma \left(f_{0}^{0}+{\vec {\beta }}\cdot {\vec {f}}_{0}\right)=\gamma {\vec {\beta }}\cdot {\vec {F}}$, ${\vec {f}}={\vec {f}}_{0}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\left({\vec {\beta }}\cdot {\vec {f}}_{0}\right){\vec {\beta }}+\gamma {\vec {\beta }}f^{0}={\vec {F}}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\left({\vec {\beta }}\cdot {\vec {F}}\right){\vec {\beta }}$.

Für die Lorentzkraft auf eine Punktladung gilt im Ruhesystem: ${\vec {F}}=q{\vec {E}}+q\left({\vec {\beta }}\times {\vec {B}}\right)=q\left({\vec {E}}_{\bot }+{\vec {\beta }}\times {\vec {B}}_{\bot }\right)+q{\vec {E}}_{\Vert }$. Hieraus resultiert im relativ dazu (mit $-{\vec {v}}$) bewegten System für die Null-Komponente der zugehörigen relativistischen Kraft:

$f^{0}=\gamma {\vec {\beta }}\cdot {\vec {F}}=\gamma {\vec {\beta }}\cdot q{\vec {E}}$.