Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Greensfunktion in der Elektrostatik

Hier gibt es zunächst nur eine Auflistung von Berechnungen, die sich im Folgenden noch als sehr nützlich erweisen werden:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {r}}={\underset {i=1}{\overset {3}{\sum }}}\partial _{x_{i}}x_{i}={\underset {i=1}{\overset {3}{\sum }}}\delta _{ii}={\underset {i=1}{\overset {3}{\sum }}}1=3$,

Kronecker-Symbol: $\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{c}1,\,i=j\\0,\,i\neq j\end{array}}\right.$,

${\vec {\nabla }}r={\vec {\nabla }}\left({\vec {r}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}={\frac {\vec {r}}{r}}\equiv {\hat {r}}\equiv {\hat {e}}_{r}\equiv {\vec {n}},{\hat {e}}_{r}^{2}={\frac {{\vec {r}}^{2}}{r^{2}}}=1$.

Für $r\neq 0$:

${\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}={\vec {\nabla }}\left({\vec {r}}^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left({\vec {r}}^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}2{\vec {r}}=-{\frac {\vec {r}}{r^{3}}}$, ${\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}={\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}\right)=-{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=-{\vec {\nabla }}\cdot \left[\left({\vec {r}}^{2}\right)^{-{\frac {3}{2}}}{\vec {r}}\right]=3{\frac {1}{r^{4}}}{\vec {r}}\cdot \left({\vec {\nabla }}r\right)-{\frac {1}{r^{3}}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {r}}=0$.

Doch welchen Wert nimmt ${\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}$ an, wenn die Bedingung $r\neq 0$ nicht erfüllt ist? Die Antwort auf diese Frage versuchen wir durch folgende Betrachtung zu finden:

Wir benötigen hierzu eine kleine Umgebung mit Radius $\delta$ um den Nullpunkt als Kugelfläche $A_{\delta }\left(0\right)$ / Kugelvolumen $V_{\delta }\left(0\right)$.

Fig: Integrationsgebiet unter Ausschluss des Ursprungs

Für $r\neq 0$ gilt ja ${\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}=0$.

Im Integrationsgebiet werde der Ursprung ausgeschlossen: $V\setminus V_{\delta }\left(0\right)$ bzw. $A\setminus A_{\delta }\left(0\right)$.

Dann wenden wir den Satz von Gauß an:

$0={\underset {V\setminus V_{\delta }\left(0\right)}{\int }}d^{3}x\,{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}={\underset {V\setminus V_{\delta }\left(0\right)}{\int }}d^{3}x\,{\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}\right)=$ ${\underset {A\setminus A_{\delta }\left(0\right)}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}={\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}-{\underset {A_{\delta }\left(0\right)}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}+\underbrace {{\underset {A_{1}}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}+{\underset {A_{2}}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}} _{=0}$,

weil ${\underset {A_{1}}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {F}}=-{\underset {A_{2}}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {F}}$.

Als Flächenelement verwenden wir $d{\vec {a}}=da\,{\hat {e}}_{r}$ in Kugelkoordinaten:

$da=r^{2}\sin \vartheta \,d\vartheta \,d\varphi =-r^{2}d\cos \vartheta \,d\varphi ,\;0\leq \varphi \leq 2\pi ,\,0\leq \vartheta \leq \pi$.

Hiermit erhalten wir für die Integrale

${\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}={\underset {A_{\delta }\left(0\right)}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}=-{\underset {A_{\delta }\left(0\right)}{\int }}da\,{\hat {e}}_{r}\cdot {\frac {\vec {r}}{r^{3}}}=-{\underset {0}{\overset {2\pi }{\int }}}d\varphi {\underset {-1}{\overset {1}{\int }}}d\cos \vartheta \,\delta ^{2}{\frac {\delta ^{2}}{\delta ^{4}}}=-4\pi$.

Schließlich wenden wir auf diese Integrale einen Limesprozess an, bei dem der Kugelradius um den Ursprung immer kleiner gewählt wird:

${\underset {V}{\int }}d^{3}x\,{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}={\underset {\delta \rightarrow 0}{\lim }}{\underset {V\setminus V_{\delta }\left(0\right)}{\int }}d^{3}x\,{\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}={\underset {\delta \rightarrow 0}{\lim }}{\underset {A\setminus A_{\delta }\left(0\right)}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}=$ ${\underset {A}{\int }}d{\vec {a}}\cdot {\vec {\nabla }}{\frac {1}{r}}=-4\pi =-4\pi {\underset {V}{\int }}d^{3}x\,\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)$;

Hier haben wir Diracs Deltafunktional verwendet,

$\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)=0$ für ${\vec {r}}\neq {\vec {0}}$, ${\underset {V}{\int }}d^{3}x\,\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)=1$,

mit dem wir unser Ergebnis relativ kompakt als

${\vec {\nabla }}^{2}{\frac {1}{r}}=-4\pi \,\delta ^{3}\left({\vec {r}}\right)$

schreiben können. In den Kapiteln über die Elektrostatik werden wir diese Gleichung dringend benötigen. Sie ist dort die Entsprechung dessen, was in der Elektrodynamik als Greensfunktion bezeichnet wird. Von dieser Funktion handelt das nächste Kapitel.