Maxwell-Gleichungen in der klassischen Elektrodynamik/ Relativistische Formulierung der Maxwell-Gleichungen

In unseren bisherigen Ausführungen über die Maxwell'schen Gleichungen, ausgedrückt mit Hilfe eines Skalar- und eines Vektorpotentials, haben wir bereits von folgenden »Vierervektor-Schreibweisen« Gebrauch gemacht:

• Viererpotential: $A^{\mu }=\left(A^{0},\,{\vec {A}}\right)$,

$A_{\mu }=\left(A_{0},\,-{\vec {A}}\right)$, d.h. $A^{0}=A_{0}$, $A^{i}=-A_{i}\,\left(i=1,2,3\right)$;

• Viererstromdichte: $J^{\mu }=\left(J^{0},\,{\vec {J}}\right)=\left(c\rho ,\,{\vec {J}}\right)$,

$J_{\mu }=\left(J^{0},\,-{\vec {J}}\right)=\left(c\rho ,\,-{\vec {J}}\right)$, $J_{0}=J^{0}=c\rho$;

• Vierdifferenzial: $\partial _{\mu }=\left(\partial _{0},\,{\vec {\nabla }}\right)$,

$\partial ^{\mu }=\left(\partial ^{0},\,-{\vec {\nabla }}\right)$, $\partial _{0}=\partial ^{0}={\frac {\partial }{\partial x^{0}}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}$ .

Jetzt gehen wir noch einen Schritt weiter und formulieren auch die elektromagnetischen Felder in einer relativistisch einheitlichen (d.h. »kovarianten«) Weise. Hierzu werden das elektrische Feld und die magnetische Flussdichte in einen sog. »Feldstärketensor« (2. Stufe, d.h. eine Matrix) zusammen gefasst:

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }=-F^{\nu \mu }$,

$F_{\alpha \beta }=g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu }F^{\mu \nu }$,

$F_{\,\nu }^{\mu }=g_{\nu \beta }F^{\mu \beta }=-F_{\nu }^{\,\mu }$.

Mit Hilfe der bereits bekannten Möglichkeit, das elektrische Feld und die magnetische Flussdichte mit Hilfe des Skalar- und des Vektorpotentials darzustellen, erhalten wir folgenden Zusammenhang zwischen Feldstärketensor und Feldern:

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {A}}\;\Rightarrow$ $E^{i}=-\partial _{i}A_{0}-\partial _{0}A^{i}=\partial ^{i}A^{0}-\partial ^{0}A^{i}=F^{i0}$

und

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}\;\Rightarrow B^{i}=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}A^{k}\;\Rightarrow$ $\varepsilon _{lmi}B^{i}=\varepsilon _{lmi}\varepsilon _{ijk}\partial _{j}A^{k}=\left(\delta _{lj}\delta _{mk}-\delta _{mj}\delta _{lk}\right)\partial _{j}A^{k}=\partial _{l}A^{m}-\partial _{m}A^{l}=\partial ^{m}A^{l}-\partial ^{l}A^{m}=F^{ml}$

oder umgekehrt

$B^{i}=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}A^{k}=-\varepsilon _{ijk}\partial ^{j}A^{k}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\left(\partial ^{j}A^{k}+\partial ^{j}A^{k}\right)=-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\left(\partial ^{j}A^{k}-\partial ^{k}A^{j}\right)=-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}F^{jk}$.

In Matrix-Darstellung sieht also der elektromagnetische Feldstärketensor wie folgt aus:

$\left(F^{\mu \nu }\right)=\left({\begin{array}{cccc}0&-E^{1}&-E^{2}&-E^{3}\\E^{1}&0&-B^{3}&B^{2}\\E^{2}&B^{3}&0&-B^{1}\\E^{3}&-B^{2}&B^{1}&0\end{array}}\right)$.

Mit seiner Hilfe können wir nun die Maxwell-Gleichungen relativistisch kovariant formulieren. Dies führen wir zunächst für die beiden inhomogenen Gleichungen durch:

• Ampère'sches Durchflutungsgesetz, Verschiebungsstrom: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {E}}\;\Rightarrow$

${\frac {4\pi }{c}}J^{i}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}E^{i}+\left[{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\right]^{i}=-\partial _{0}F^{i0}+\varepsilon _{ikl}\partial _{k}B^{l}=\partial _{0}F^{0i}+\partial _{k}F^{ki}=\partial _{\mu }F^{\mu i}$.

• Coulomb-Gesetz: ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho \;\Rightarrow$

${\frac {4\pi }{c}}J^{0}={\frac {4\pi }{c}}c\rho =4\pi \rho ={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=\partial _{i}E^{i}=\partial _{i}F^{i0}=\partial _{0}\underbrace {F^{00}} _{=0}+\partial _{i}F^{i0}=\partial _{\mu }F^{\mu 0}$.

Beide Gleichungen zusammengefasst ergeben die »inhomogene Maxwell-Gleichung«:

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}J^{\nu }$.

Aus den beiden homogenen Maxwell-Gleichungen erhalten wir hingegen:

• Induktionsgesetz, Lenz'sche Regel: ${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {B}}\;\Rightarrow$

$0=\varepsilon _{ikl}\partial _{0}B^{l}+\varepsilon _{ikl}\varepsilon _{lmn}\partial _{m}E^{n}=\partial _{0}F^{ki}+\left(\delta _{im}\delta _{kn}-\delta _{in}\delta _{km}\right)\partial _{m}E^{n}$ $=\partial _{0}F^{ki}+\partial _{i}E^{k}-\partial _{k}E^{i}=\partial _{0}F^{ki}-\partial _{k}F^{i0}+\partial _{i}F^{k0}=\partial _{0}F_{ki}+\partial _{k}F_{i0}+\partial _{i}F_{0k}$.

• Nicht-Existenz magnetischer Ladungen/ Monopole: ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0\;\Rightarrow$

$0=\partial _{i}B^{i}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\partial _{i}F^{jk}\;\Rightarrow$ $0={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ijk}\partial _{i}F^{jk}={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1jk}\partial _{1}F^{jk}+\varepsilon _{2jk}\partial _{2}F^{jk}+\varepsilon _{3jk}\partial _{3}F^{jk}\right)$ $=\partial _{1}F^{23}+\partial _{2}F^{31}+\partial _{3}F^{12}=\partial _{1}F_{23}+\partial _{2}F_{31}+\partial _{3}F_{12}$.

Die letzten beiden Gleichungen zusammengefasst, ergeben die »homogene Maxwell-Gleichung«:

$0=\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }+\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }$.

Mit Hilfe des elektromagnetischen Feldstärketensors ist es nun auch möglich, die Lorentz-Kraft relativistisch kovariant zu formulieren: Aus

$f^{0}=\gamma {\vec {\beta }}\cdot q{\vec {E}}=-{\frac {q}{c}}\gamma v_{i}F^{i0}=-{\frac {q}{c}}u_{i}F^{i0}=-{\frac {q}{c}}u_{\mu }F^{\mu 0}={\frac {q}{c}}F^{0\mu }u_{\mu }$

und

${\vec {F}}=q{\vec {E}}+q\left({\vec {\beta }}\times {\vec {B}}\right)$

resultiert

$F^{i}=qE^{i}+q\left[{\vec {\beta }}\times {\vec {B}}\right]^{i}=qF^{i0}+q\varepsilon _{ikl}\beta ^{k}B^{l}=qF^{i0}+q\beta ^{k}F^{ki}$ $=-{\frac {q}{c}}{\frac {1}{\gamma }}\left(\gamma cF^{0i}+\gamma v_{k}F^{ki}\right)=-{\frac {q}{c}}{\frac {1}{\gamma }}\left(u_{0}F^{0i}+u_{k}F^{ki}\right)=-{\frac {1}{\gamma }}{\frac {q}{c}}u_{\mu }F^{\mu i}={\frac {1}{\gamma }}{\frac {q}{c}}F^{i\mu }u_{\mu }$.

Das zweite Newton'sche Axiom nimmt ja relativistisch folgende Gestalt an:

$f^{i}={\frac {d}{d\tau }}\left(mu^{i}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}\left(mu^{i}\right)=\gamma F^{i}$.

Dies alles zusammengefasst ergibt

$m{\frac {d}{d\tau }}u^{\lambda }={\frac {q}{c}}F^{\lambda \mu }u_{\mu }$

oder als 4er-Vektor-Gleichung geschrieben:

$m{\frac {d}{d\tau }}u={\frac {q}{c}}{\underline {F}}{\underline {g}}u$.

Als 4er-Vektor verhält sich die Geschwindigkeit u unter einer Lorentz-Transformation wie $u^{\prime }={\underline {\Lambda }}u$, woraus für die Lorentz-Kraft folgt:

$m{\frac {d}{d\tau }}u^{\prime }=m{\frac {d}{d\tau }}{\underline {\Lambda }}u={\underline {\Lambda }}m{\frac {d}{d\tau }}u={\frac {q}{c}}{\underline {\Lambda }}{\underline {F}}{\underline {g}}u={\frac {q}{c}}{\underline {\Lambda }}{\underline {F}}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}^{-1}u^{\prime }={\frac {q}{c}}{\underline {\Lambda }}{\underline {F}}{\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}u^{\prime }={\frac {q}{c}}{\underline {F}}^{\prime }{\underline {g}}u^{\prime }$,

d.h. ${\underline {F}}^{\prime }={\underline {\Lambda }}{\underline {F}}{\underline {\Lambda }}^{T}$ oder in Komponenten $F^{\prime \mu \nu }=\Lambda _{\,\alpha }^{\mu }\Lambda _{\,\beta }^{\mu }F^{\alpha \beta }$.

Dies folgt auch aus dem Transformationsverhalten von ${\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$ und $A^{\mu }$:

$x^{\prime \alpha }=\Lambda _{\,\mu }^{\alpha }x^{\prime \mu }\;\Rightarrow$

$x^{\alpha }=\left({\underline {\Lambda }}^{-1}\right)_{\,\mu }^{\alpha }x^{\prime \mu }=\left({\underline {\Lambda }}^{T}\right)_{\,\mu }^{\alpha }x^{\prime \mu }=\Lambda _{\mu }^{\,\alpha }x^{\prime \mu }$

so dass

$\partial _{\mu }^{\prime }={\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\Lambda _{\mu }^{\,\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\Lambda _{\mu }^{\,\alpha }\partial _{\alpha }\,\Rightarrow$ $\partial ^{\prime \mu }=\Lambda _{\,\alpha }^{\mu }\partial ^{\alpha }$

gilt und

$A^{\prime \nu }=\Lambda _{\,\beta }^{\nu }A^{\beta }$.

Hieraus resultiert:

$F^{\prime \mu \nu }=\partial ^{\prime \mu }A^{\prime \nu }-\partial ^{\prime \nu }A^{\prime \mu }=\Lambda _{\,\alpha }^{\mu }\Lambda _{\,\beta }^{\nu }\left(\partial ^{\alpha }A^{\beta }-\partial ^{\beta }A^{\alpha }\right)=\Lambda _{\,\alpha }^{\mu }\Lambda _{\,\beta }^{\nu }F^{\alpha \beta }$.

Unter einem Lorentz-Boost mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse verhält sich der elektromagnetische Feldstärketensor also folgendermaßen:

${\underline {\Lambda }}{\underline {F}}{\underline {\Lambda }}^{T}=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}0&-E^{1}&-E^{2}&-E^{3}\\E^{1}&0&-B^{3}&B^{2}\\E^{2}&B^{3}&0&-B^{1}\\E^{3}&-B^{2}&B^{1}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=$

$\left({\begin{array}{cccc}-\gamma \beta E^{1}&-\gamma E^{1}&-\gamma E^{2}+\gamma \beta B^{3}&-\gamma E^{3}-\gamma \beta B^{2}\\\gamma E^{1}&\gamma \beta E^{1}&\gamma \beta E^{2}-\gamma B^{3}&\gamma \beta E^{3}+\gamma B^{2}\\E^{2}&B^{3}&0&-B^{1}\\E^{3}&-B^{2}&B^{1}&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right)=$

$\left({\begin{array}{cccc}0&-E^{1}&-\gamma \left(E^{2}-\beta B^{3}\right)&-\gamma \left(E^{3}+\beta B^{2}\right)\\E^{1}&0&\gamma \left(\beta E^{2}-B^{3}\right)&\gamma \left(\beta E^{3}+B^{2}\right)\\\gamma \left(E^{2}-\beta B^{3}\right)&-\gamma \left(\beta E^{2}-B^{3}\right)&0&-B^{1}\\\gamma \left(E^{3}+\beta B^{2}\right)&-\gamma \left(\beta E^{3}+B^{2}\right)&B^{1}&0\end{array}}\right)=$

${\underline {F}}^{\prime }=\left({\begin{array}{cccc}0&-E^{\prime 1}&-E^{\prime 2}&-E^{\prime 3}\\E^{\prime 1}&0&-B^{\prime 3}&B^{\prime 2}\\E^{\prime 2}&B^{\prime 3}&0&-B^{\prime 1}\\E^{\prime 3}&-B^{\prime 2}&B^{\prime 1}&0\end{array}}\right)$

Mit den Bezeichnungen

${\vec {\beta }}=\beta {\hat {e}}_{1}$,

und Rechnungen

${\vec {\beta }}\times {\vec {B}}=\beta {\hat {e}}_{1}\times {\vec {B}}=\beta \varepsilon _{j1k}B_{k}{\hat {e}}_{j}=\beta \varepsilon _{1kj}B_{k}{\hat {e}}_{j}=\beta \left(B_{2}{\hat {e}}_{3}-B_{3}{\hat {e}}_{2}\right)$

sowie den folgenden Konventionen

${\vec {E}}_{\Vert }=E_{1}{\hat {e}}_{1}$, ${\vec {E}}_{\bot }=E_{2}{\hat {e}}_{2}+E_{3}{\hat {e}}_{3}$

und analoges gelte für ${\vec {B}}$ und die gestrichenen Felder,

erhalten wir für die elektromagnetischen Felder unter Lorentz-Boosts:

${\vec {E}}_{\Vert }^{\prime }={\vec {E}}_{\Vert }$, ${\vec {E}}_{\bot }^{\prime }=\gamma \left({\vec {E}}_{\bot }+{\vec {\beta }}\times {\vec {B}}\right)$, ${\vec {B}}_{\Vert }^{\prime }={\vec {B}}_{\Vert },{\vec {B}}_{\bot }^{\prime }=\gamma \left({\vec {B}}_{\bot }-{\vec {\beta }}\times {\vec {E}}\right)$.

Mittels elektromagnetischen Feldstärketensor lassen sich natürlich auch umgekehrt die Maxwell-Gleichung, ausgedrückt mit Hilfe des 4er-Vektorpotentials, formulieren: Aus

$F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }$

folgt

${\frac {4\pi }{c}}J^{\nu }=\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)$,

woraus sich wegen

$J^{\mu }=\left(J^{0},\,{\vec {J}}\right)=\left(c\rho ,\,{\vec {J}}\right),\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)$

und

$\partial _{\mu }A^{\mu }={\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}$

die beiden Gleichungen

$\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}\right){\vec {A}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}-{\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{c}}\partial _{t}A_{0}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}\right)$

und

$-{\vec {\nabla }}^{2}A_{0}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=4\pi \rho$

ergeben.

Lorentz-Invariante sind Größen, die sich unter Lorentz-Transformationen nicht verändern. Im Folgenden stellen wir zwei Lorentz-Invariante vor:

Wegen ${\underline {F}}^{\prime }={\underline {\Lambda }}{\underline {F}}{\underline {\Lambda }}^{T}$ und der Spur-Eigenschaft $Sp\left({\underline {A}}{\underline {B}}\right)=Sp\left({\underline {B}}{\underline {A}}\right)$ gilt

$Sp\left({\underline {g}}{\underline {F}}^{\prime }{\underline {g}}{\underline {F}}^{\prime T}\right)=Sp\left({\underline {g}}{\underline {\Lambda }}{\underline {F}}\underbrace {{\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}} _{={\underline {g}}}{\underline {F}}^{T}{\underline {\Lambda }}^{T}\right)=$ $Sp\left({\underline {g}}{\underline {\Lambda }}{\underline {F}}{\underline {g}}{\underline {F}}^{T}{\underline {\Lambda }}^{T}\right)=Sp\left(\underbrace {{\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}} _{={\underline {g}}}{\underline {F}}{\underline {g}}{\underline {F}}^{T}\right)=Sp\left({\underline {g}}{\underline {F}}{\underline {g}}{\underline {F}}^{T}\right)$,

d.h. der Skalar

$Sp\left({\underline {g}}{\underline {F}}{\underline {g}}{\underline {F}}^{T}\right)=g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }F^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }=F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

ist eine Lorentz-Invariante.

Der Skalar

$J_{\mu }A^{\mu }=J^{\alpha }g_{\alpha \mu }A^{\mu }=J^{T}{\underline {g}}A$

ist wegen $J^{\prime }={\underline {\Lambda }}J$ und $A^{\prime }={\underline {\Lambda }}A$ gleichermaßen eine Lorentz-Invariante:

$J^{\prime T}{\underline {g}}A^{\prime }=J^{T}\underbrace {{\underline {\Lambda }}^{T}{\underline {g}}{\underline {\Lambda }}} _{={\underline {g}}}A=J^{T}{\underline {g}}A$.

Um eine sog. »Lagrangedichte« aufzustellen, benötigen wir eine Ableitung der Lorentz-Invarianten $F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ nach $\partial ^{\alpha }A^{\beta }$, weswegen wir die Lorentz-Invariante wie folgt ausschreiben:

$F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)=$ $2\left[\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right)\left(\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)\right]=2g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }\left(\partial ^{\alpha }A^{\beta }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)$.

Jetzt lässt sie die Ableitung relativ einfach bilden:

${\frac {\partial }{\partial \left(\partial ^{\alpha }A^{\beta }\right)}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=2g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }\underbrace {\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)} _{=F^{\mu \nu }}+2g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }\left(\partial ^{\kappa }A^{\lambda }\right){\frac {\partial }{\partial \left(\partial ^{\alpha }A^{\beta }\right)}}\underbrace {\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)} _{=\left(g_{\alpha }^{\mu }g_{\beta }^{\nu }-g_{\alpha }^{\nu }g_{\beta }^{\mu }\right)\partial ^{\alpha }A^{\beta }}$ $=2\underbrace {g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }F^{\mu \nu }} _{=F_{\alpha \beta }}+2g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }\left(\delta _{\alpha }^{\mu }\delta _{\beta }^{\nu }-\delta _{\alpha }^{\nu }\delta _{\beta }^{\mu }\right)\left(\partial ^{\kappa }A^{\lambda }\right)=4F_{\alpha \beta }$.

Daher folgt aus der sog. »Lagrangedichte« ${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-{\frac {1}{c}}J_{\mu }A^{\mu }$ mit der Euler-Lagrange-Gleichung ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A^{\nu }}}-\partial ^{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)}}=0$ die inhomogene Maxwell-Gleichung $\partial _{\mu }F^{\mu \nu }={\frac {4\pi }{c}}J^{\nu }$. Die Lagrangedichte ist eine Lorentz-invariante skalare Größe. Die aus der Mechanik geläufige Lagrangefunktion hängt übrigens folgendermaßen mit der Lagrangedichte zusammen: $L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}$.

Energie-Impuls- und Spannungstensor werden in der relativistischen Formulierung mit Hilfe des elektromagnetischen Feldstärketensors zusammengefasst. Hier die Herleitung für den mikroskopischen Fall:

${\frac {4\pi }{c}}J^{\nu }=\partial _{\mu }F^{\mu \nu }\;\Rightarrow$ $F_{\lambda \mu }{\frac {4\pi }{c}}J^{\mu }=F_{\lambda \mu }\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=\partial _{\nu }\left(F_{\lambda \mu }F^{\nu \mu }\right)-F^{\nu \mu }\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }$,

worin der letzte Term mittels der homogenen Maxwell-Gleichung berechnet werde kann:

$0=\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }+\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }\;\Rightarrow$ $F^{\nu \mu }\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}\left(F^{\nu \mu }\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-F^{\mu \nu }\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }\right)=$ ${\frac {1}{2}}F^{\nu \mu }\left(\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\underbrace {\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }} _{=-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }}\right)={\frac {1}{2}}F^{\nu \mu }\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }={\frac {1}{4}}\partial _{\lambda }\left(F_{\nu \mu }F^{\nu \mu }\right)$.

D.h.

${\frac {4\pi }{c}}F_{\lambda \mu }J^{\mu }=\partial _{\kappa }\left(F_{\lambda \mu }F^{\kappa \mu }-{\frac {1}{4}}g_{\lambda }^{\kappa }F_{\nu \mu }F^{\nu \mu }\right)$,

wobei der Energie-Impuls- und Spannungstensor

$T_{\lambda }^{\kappa }={\frac {1}{4\pi }}\left(-F_{\lambda \mu }F^{\kappa \mu }+{\frac {1}{4}}g_{\lambda }^{\kappa }F_{\nu \mu }F^{\nu \mu }\right)$

ist, da wir daraus mit Hilfe der folgenden Gleichung

$F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=F_{0\nu }F^{0\nu }+F_{m\nu }F^{m\nu }=F_{0n}F^{0n}+F_{m0}F^{m0}+F_{m\nu }F^{m\nu }=$

$2\underbrace {F_{n0}} _{-E^{n}}\underbrace {F^{n0}} _{E^{n}}+\underbrace {\varepsilon _{mni}\varepsilon _{mnj}} _{=\delta _{nn}\delta _{ij}-\delta _{nj}\delta _{in}=2\delta _{ij}}B^{i}B^{j}=2\left({\vec {B}}^{2}-{\vec {E}}^{2}\right)$.

Energie- und Impulsdichte/ den Poyntingvektor und den Maxwell'schen Spannungstensor bestimmen können:

• Energiedichte:

$4\pi T^{00}={\frac {1}{4}}g^{00}F_{\nu \mu }F^{\nu \mu }-F_{\,\mu }^{0}F^{0\mu }={\frac {1}{2}}\left({\vec {B}}^{2}-{\vec {E}}^{2}\right)+{\vec {E}}^{2}$, $w\left(x\right)=T_{0}^{0}={\frac {1}{8\pi }}\left({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2}\right)$,

• Impulsdichte:

$4\pi T^{0i}=-F_{\,\mu }^{0}F^{i\mu }=-F_{\,m}^{0}F^{im}=-F^{m0}F^{im}=E^{m}\varepsilon _{imj}B^{j}=\left[{\vec {E}}\times {\vec {B}}\right]^{i}$ $-cP^{i}\left(x\right)=T_{i}^{0}=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {E}}\times {\vec {B}}\right]^{i}$,

• Poynting-Vektor:

${\frac {1}{c}}S^{i}\left(x\right)=T_{0}^{i}={\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {E}}\times {\vec {B}}\right]^{i}$,

• Maxwell'scher Spannungstensor:

$4\pi T^{km}={\frac {1}{4}}\underbrace {g^{km}} _{-\delta _{km}}\underbrace {F^{\lambda \nu }F_{\lambda \nu }} _{2\left({\vec {B}}^{2}-{\vec {E}}^{2}\right)}-\underbrace {F_{\,\nu }^{k}F^{m\nu }} _{\underbrace {F_{\,0}^{k}F^{m0}} _{E^{k}E^{m}}+F_{\,n}^{k}F^{mn}}={\frac {1}{2}}\left({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2}\right)\delta _{km}-\left(E^{k}E^{m}+B^{k}B^{m}\right)$,

da

$F_{\,n}^{k}F^{mn}=-\varepsilon _{knj}\varepsilon _{mnl}B^{j}B^{l}=-\left(\delta _{km}\delta _{jl}-\delta _{kl}\delta _{jm}\right)B^{j}B^{l}=-\left(\delta _{km}{\vec {B}}^{2}-B^{k}B^{m}\right)$,

sodass sich

$T_{i}^{k}={\frac {1}{4\pi }}\left(E^{k}E^{i}+B^{k}B^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{i}^{k}\left({\vec {E}}^{2}+{\vec {B}}^{2}\right)\right)$

ergibt.

Aus $\partial _{\kappa }T^{\kappa \mu }+{\frac {1}{c}}F^{\mu \nu }J_{\nu }=0$ folgt

• für $\mu =0$:

$0=\partial _{\kappa }T^{\kappa 0}+{\frac {1}{c}}F^{0\nu }J_{\nu }=\underbrace {\partial _{0}} _{{\frac {1}{c}}\partial _{t}}\underbrace {T^{00}} _{w}+\partial _{k}\underbrace {T^{k0}} _{{\frac {1}{c}}S^{k}}+{\frac {1}{c}}\underbrace {F^{0n}} _{-E^{n}}\underbrace {J_{n}} _{-J^{n}}\;\Rightarrow$ $\partial _{t}w+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {S}}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}$.

• für $\mu =m$:

$0=\partial _{\kappa }T^{\kappa m}+{\frac {1}{c}}F^{m\nu }J_{\nu }=$ $\underbrace {\partial _{0}} _{{\frac {1}{c}}\partial _{t}}\underbrace {T^{0m}} _{cP^{m}}+\partial _{k}T^{km}+{\frac {1}{c}}\underbrace {F^{m0}} _{E^{m}}\underbrace {J_{0}} _{c\rho }+{\frac {1}{c}}\underbrace {F^{mn}} _{-\varepsilon _{mnj}B^{j}}\underbrace {J_{n}} _{-J^{n}}$,

d.h.

$0=\partial _{t}P^{m}+\rho E^{m}+{\frac {1}{c}}\left[{\vec {J}}\times {\vec {B}}\right]^{m}+\partial _{k}T^{km}=$ $\partial _{t}{\frac {1}{4\pi c}}\left[{\vec {E}}\times {\vec {B}}\right]^{m}+\rho E^{m}+{\frac {1}{c}}\left[{\vec {J}}\times {\vec {B}}\right]^{m}+\partial _{k}T^{km}$.