Mathematik: Analysis: Stetigkeit: Umgebungsstetigkeit

1. UmgebungsstetigkeitBearbeiten

Bei der numerischen Berechnung von Funktionswerten   ist man häufig auf Näherungswerte   für den Argumentwert   angewiesen wie z. B. bei  , die man aber je nach Bedarf beliebig nahe bei   wählen kann. Das hat jedoch zur Folge, dass eine Abweichung vom Argumentwert im Allgemeinen eine mehr oder weniger große Abweichung vom zugehörigen Funktionswert nach sich zieht. In praktischen Fällen wird jedoch die zugelassene Abweichung vorgeschrieben sein, und zwar dadurch, dass man eine positive reelle Zahl   vorgibt, die festlegt, wie weit der Näherungswert   sich vom Funktionswert   nach "oben" bzw. nach "unten" unterscheiden darf:

 

Dann stellt sich aber sofort die Frage, ob man die Abweichung des Näherungswertes   von der Stelle   so eingrenzen kann, dass die Forderung (1) erfüllt wird. Es müsste dazu eine positive reelle Zahl   so angebbar sein, dass für jedes   aus der Definitionsmenge   von   mit

 

die Ungleichung (1) gilt. Diese Eigenschaft, die für eine näherungsweisige Berechnung von Funktionswerten wesentlich ist, fasst man in folgende


Definition - (lokale) Stetigkeit
Eine Funktion   heißt stetig an der Stelle (oder kurz: bei)   genau dann,
wenn   und zu jedem reellen   ein reelles   existiert, so dass für alle   gilt:
 


Es sei hier auf eine besondere Konsequenz aus dieser vorstehenden Definition hingewiesen, nämlich dass jede Funktion, deren Definitionsmenge nur aus isolierten Punkten besteht, stetig ist; denn die Ungleichung   ist für eine isoliert in   liegende Stelle bei hinreichend kleinem   nur für   erfüllbar, und damit hat man dann die trivialerweise erfüllte Ungleichung  . Somit sind insbesondere alle Folgen stetige Funktionen!

Als eine weitere Konsequenz aus der Definition der (lokalen) Stetigkeit ergibt sich, dass   bei   nicht stetig ist, falls  . In einem solchen Fall aber   "Unstetigkeitsstelle" zu nennen, wäre nicht angebracht; denn eine Funktion kann eine Eigenschaft nur an solchen Stellen haben, an denen sie auch definiert ist. Deshalb legt man fest:

  heißt Unstetigkeitsstelle von   genau dann, wenn   und   nicht stetig bei   ist.


Definition - (globale) Stetigkeit
Eine Funktion   heißt (global) stetig genau dann, wenn sie an jeder Stelle   stetig ist.


Die Menge   stellt eine Umgebung von   dar und die Menge   eine Umgebung von  . Beachtet man, dass jetzt   ist (und nicht gleich  ; denn   bildet nur diejenigen Elemente von   ab, die auch zu   gehören), so kann man die Definition der (lokalen) Stetigkeit mittels des Umgebungsbegriffes umformulieren.


Satz - Umgebungskriterium für (lokale) Stetigkeit
Eine Funktion   ist stetig an der Stelle   genau dann, wenn   und
zu jeder Umgebung   von   eine Umgebung   von   existiert, so dass   ist.