Gehirn und Sprache: Mathematikstunde

Die Anforderungen, die an eine Bauanleitung für Sinn und Sprache zu stellen sind, erscheinen sehr schwierig zur Vorstellung oder Realisierung zu sein.

Als Wissenschaftler stellt man oft mit Staunen fest, dass die Natur sehr komplizierte Dinge mit sehr einfachen Mitteln herstellen kann. Sinn und Sprache sind die kompliziertesten Produkte der Natur. Es soll uns nicht wundern, wenn deren Rätsel auch eine sehr einfache und schöne Lösung erhält.

Es wurde schon erwähnt, dass die mathematische Sprachform besonders gut zur übersichtlichen Darstellung komplizierter Dinge geeignet ist.

Wir beginnen also eine kurze Mathematikstunde mit der Formulierung der Aufgabe, die in mathematischer Darstellung als Algorithmus gelöst werden soll:

Gesucht wird ein Algorithmus, der in rhythmischer Abfolge durch Grenzbildung ein lebendig wachsendes Sinnsystem erzeugen kann, in dem unendlich viele ähnliche und unterscheidbare Gestalten mit einer „Pars pro Toto“-Funktion durch kurze Zeichenfolgen repräsentiert werden können.

Algorithmische Grenzbildung

Die einfachste Form einer Grenze, zwei Grenzpunkte auf einer Linie, erhalten wir durch die ständige Abfolge einer sehr einfachen Vorschrift, der wiederholten Quadrierung (Iteration). Wenn der Ausgangswert, die Zahl, mit der ich die Quadrierung beginne, größer als Eins ist (>1) , dann werden alle folgenden Ergebnisse immer größer, sie gehen gegen Unendlich.

Beispiel: 2,4,16,..........

Umgekehrt werden die Ergebnisse immer kleiner und gehen gegen Null, wenn der Ausgangswert kleiner als Eins (<1) ist.

Nur mit der Eins kann der Vorgang beliebig oft wiederholt werden, das Ergebnis bleibt immer gleich Eins, die Eins ist ein somit Grenzpunkt auf der Zahlengeraden. Das Gleiche gilt auch, wenn ich das Vorzeichen 'Minus' benutze , für Minus-Eins.

Wir halten fest: Bei der iterierten Quadrierung der reelle Zahlen erhalten wir zwei Grenzpunkte, die wir uns auf der Zahlengeraden bei Eins und Minus-Eins vorstellen können.

Damit ist noch nicht viel erreicht, aber wir verstehen das nächste Grenz-Beispiel als Produkt wiederholter Quadrierung nun ohne große Schwierigkeit.

Verwenden wir bei der Quadrierung nicht reelle Zahlen, sondern komplexe Zahlen (mit einem imaginären und reellen Anteil), dann halten wir uns gedanklich nicht mehr auf einer geraden Linie auf, sondern in der zweidimensionalen (Gaußschen) komplexe Zahlenebene. Auch hier erzeugt die iterierte Quadrierung eine Grenze zwischen den (komplexen) Zahlen, deren Ergebnisse gegen Unendlich oder gegen Null gehen. Diese Grenze ist in der Gaußschen Zahlenebene ein Kreis mit dem Radius Eins.

So erhalten wir mit einer sehr einfachen, aber oft wiederholten Rechenvorschrift immerhin schon eine geschlossene Grenzlinie, die ein zweidimensionales Gebiet präzise begrenzt. Wir behalten diese einfach zu verstehende Tatsache als wichtiges Zwischenergebnis der Mathematikstunde fest, obwohl die Kreislinie beinahe das Gegenteil von dem ist, was gesucht wird.

Wir suchen ja ein sehr differenziertes Grenzsystem voller Information, und die Kreislinie ist eine Grenzlinie, die überall die gleiche, also fast gar keine Information enthält. Dafür kann sie schon viel Ähnlichkeit aufweisen, sie ähnelt sich an jeder Stelle.

Wenn die grenzbildende Wirkung der wiederholten Quadrierung mit realen und komplexen Zahlen so mit ein paar gedanklichen Zahlenexperimenten zu erklären war, können wir die Spur zu dem Algorithmus, der den gestellten Anforderungen genügt, mit einer Exkursion in die Geschichte der Mathematik weiter verfolgen.

Gaston Maurice Julia war ein französischer Mathematiker, der als Soldat im ersten Weltkrieg verwundet in einem Lager lag und sich dabei mit dem Gedanken beschäftigte, wie die Kreisgrenze bei der iterierten Quadrierung komplexer Zahlen sich verändert, wenn bei jedem Zwischenergebnis noch eine bestimmte (komplexe) Zahl addiert wird, bevor erneut quadriert wird.

G. Julia konnte noch keinen Computer für seine Gedanken benutzen, und so konnte er keine Antwort auf seine Frage finden, aber er äußerte bereits eine Ahnung, dass mit dieser Methode bizarre Veränderungen der kreisförmigen Grenze zu erwarten sind, die das Phänomen „Selbstähnlichkeit“ in vielen Größenordnungen erzeugen.

Die Arbeit, die G. Julia zu dieser Frage schrieb, wurde 1919 von der französischen Akademie ausgezeichnet, blieb dann aber ein halbes Jahrhundert völlig unbeachtet.

Der polnische Mathematiker Benoit Mandelbrot (*1924) zählt sicher zu den neugierigsten und verspieltesten Vertretern seiner Fachrichtung. Er stieß in den 60ziger Jahren auf Julias Arbeit. Da er zu dieser Zeit bei IBM an der Entwicklung der Computer arbeitete, konnte er Julias Gedanken am Computer experimentell untersuchen. Eher mit spielerischem Zufall als mit methodischer Suche entdeckte Mandelbrot dabei die Formel, die ihn berühmt machte und seinen Namen trägt, die Mandelbrot-Menge.

Diese Grenze in der Gausschen Zahlenebene, die auch den Kosenamen „Apfelmännchen“ erhielt, entsteht wie die Juliamengen aus der iterierten Quadrierung komplexer Zahlen mit Addition einer (komplexen) Zahl.

Genau gesagt ist die Mandelbrot-Menge die Grenze zwischen allen Julia-Mengen, die in sich zusammenhängend sind (deren Ergebnisse gegen Null gehen) und den Julia-Mengen, die nicht zusammenhängend sind (im Ergebnis gegen Unendlich gehen).

Der Rand dieser Figur, der mit der sehr einfachen Formel erzeugt wird, entsteht aus einer Kreisform durch fortwährend wiederkehrende, kleiner werdende Einbuchtungen, wie die glatte Haut eines Apfels, die immer mehr verschrumpelt. Durch diesen Vorgang wird die Grenze fraktal, selbstähnlich in verschiedenen Größenordnungen.

Die Grenze der Mandelbrot-Menge ist das komplizierteste Objekt der Mathematik, weil in ihr unendlich viele verschiedene Julia-Mengen enthalten sind. Man kann diese Struktur wie ein Bilderbuch mit unendlich vielen selbstähnlich verschachtelten Bildern betrachten.

Sogar eine der Sprache ähnliche „Pars pro Toto“-Funktion lässt sich in der Mandelbrot-Menge nachweisen: Welche der unendlichen Strukturen im aktuellen Rechenvorgang erzeugt wird, hängt nur von der Zahl C (C für Control) ab, die zum jeweiligen Quadrierungsergebnis addiert wird. Es besteht somit für jede spezifische Zahlenfolge von C ein spezifischer Ausschnitt der fraktalen Grenze, der von ihr erzeugt wird.

Die kurzen Zahlenfolgen bewirken hier also die Erzeugung riesiger selbstähnlicher Strukturkomplexe, vergleichbar den DNA-Sequenzen und den sprachlichen Zeichenfolgen. Damit erscheint die Mandelbrot-Menge als Modell für den Zusammenhang von Sinn und Sprache.

Liebe(r) Leser(in),

Sie haben soeben verfolgt, wie mit einigen Indizien der Algorithmus, der für unsere Sinn-und Sprachproduktion verantwortlich sein soll, als ein sehr einfaches und gleichzeitig sehr kompliziertes mathematisches Modell vorgeführt wurde, eine unendlich komplizierte Grenze mit „Pars pro Toto“-Funktion, Selbstähnlichkeit und organischem Zusammenhang, erzeugt mit der häufigen Wiederholung einer äußerst einfachen Rechenvorschrift.

Zum Glück sind wir hier mit den Links in der Lage, jeden Begriff ausführlich zu erklären. Meine Darstellung der Julia-und Mandelbrot-Formeln ist ehrlich gesagt laienhaft und oberflächlich, noch dazu ohne Bilder (muss noch nachgeholt werden). Es gibt darüber jede Menge Literatur, aber hier genügt Wiki allemal, um sich gut zu informieren.

Deshalb möchte ich an dieser Stelle eine Pause einlegen, in der jeder Leser sich ein wenig mit der Mandelbrot-Menge beschäftigen kann und meine Behauptung, dass diese als mathematisches Modell für unsere Sinn- und Sprachproduktion dienen kann, kritisch überprüfen kann.

Originelle Ideen entstehen bekanntlich oft aus der Verbindung von weit voneinander entfernten Tatsachen. Die Entfernung unserer geistigen Tätigkeit zur Mandelbrot-Menge erscheint auf den ersten Blick unüberbrückbar weit. Bei genauerem Hinsehen wird der Leser mir hoffentlich zustimmen, denn: „Pulchritudo splendor Veritas“, „Die Schönheit ist der Glanz der Wahrheit“.