Formelsammlung Mathematik: Algebra

Formelsammlung Mathematik

Rechenregeln

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Binomische Formeln

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Sei   ein Ring, z. B.   oder  . Sei   und  . Dann gilt:

  (erste binomische Formel)
  (zweite binomische Formel)
  (dritte binomische Formel)

und:

   
   

Binomischer Lehrsatz

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Sei   ein unitärer Ring, z. B.   oder  . Sei   und  . Dann gilt:

   
   
   
   
usw. usw.

Pascalsches Dreieck

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Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

 
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

 

erzeugen.

Multinomialtheorem

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Sei   ein unitärer Ring. Sei  , wobei die   paarweise kommutieren. Es gilt

 

In Multiindex-Notation:

 

mit

 
 
 
 

Die ersten Formeln sind:

n=2 (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a+b+c+d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
n=3 (a+b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc

Potenzen

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usw.
 

Definition für   und  :

 
 

Für  :

 

Definition für   und  :

 

Für  :

 

Potenzgesetze

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Für   und   gilt:

     
     

Ist zusätzlich  , so gilt:

     
     

Für   und   gilt:

   
 
Potenzgesetze für komplexen Zahlen

Logarithmen

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Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für   mit   und   gilt:

 

Logarithmengesetze

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Für   mit   und   gilt:

     
   
   

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt   für ein festes   mit   und  . Meistens ist   oder  .

Spezielle Logarithmen

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Bezeichnung Definierende
Eigenschaft
Basis
Natürliche Logarithmen ln   e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen lg   10
Binäre Logarithmen lb, ld   2
Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

Gleichungen

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Definition

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Sind   zwei auf der Grundmenge   definierte Funktionen, so nennt man

 

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

 

gesucht ist.

Bei   kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

 
 
usw.

Man schreibt auch   oder   usw.

Äquivalenzumformungen

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Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien   zwei Aussageformen.

Äquivalenz Implikation

Gilt für alle  :

 

so gilt:

 

Gilt für alle  :

 

so gilt:

 

Seien   Funktionen mit Definitionsbereich   und Zielmenge   oder  .

Für alle x gilt:

 
 

Besitzt   keine Nullstellen, so gilt für alle x:

 
 

Besitzt   Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:

 


Ist   eine auf dem Definitionsbereich   injektive Funktion, dann gilt für alle x:

 

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Arten von Gleichungen

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Polynomgleichungen