Formelsammlung Mathematik: Algebra

Formelsammlung Mathematik

RechenregelnBearbeiten

Binomische FormelnBearbeiten

Sei   ein Ring, z. B.   oder  . Sei   und  . Dann gilt:

  (erste binomische Formel)
  (zweite binomische Formel)
  (dritte binomische Formel)

und:

   
   

Binomischer LehrsatzBearbeiten

Sei   ein unitärer Ring, z. B.   oder  . Sei   und  . Dann gilt:

   
   
   
   
usw. usw.

Pascalsches DreieckBearbeiten

Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

 
k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8
n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

 

erzeugen.

MultinomialtheoremBearbeiten

Sei   ein unitärer Ring. Sei  , wobei die   paarweise kommutieren. Es gilt

 

In Multiindex-Notation:

 

mit

 
 
 
 

Die ersten Formeln sind:

n=2 (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a+b+c+d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
n=3 (a+b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc

PotenzenBearbeiten

 
 
 
 
usw.
 

Definition für   und  :

 
 

Für  :

 

Definition für   und  :

 

Für  :

 

PotenzgesetzeBearbeiten

Für   und   gilt:

     
     

Ist zusätzlich  , so gilt:

     
     

Für   und   gilt:

   
 
Potenzgesetze für komplexen Zahlen

LogarithmenBearbeiten

 
Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für   mit   und   gilt:

 

LogarithmengesetzeBearbeiten

Für   mit   und   gilt:

     
   
   

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt   für ein festes   mit   und  . Meistens ist   oder  .

Spezielle LogarithmenBearbeiten

Bezeichnung Definierende
Eigenschaft
Basis
Natürliche Logarithmen ln   e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen lg   10
Binäre Logarithmen lb, ld   2
Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

GleichungenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sind   zwei auf der Grundmenge   definierte Funktionen, so nennt man

 

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

 

gesucht ist.

Bei   kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

 
 
usw.

Man schreibt auch   oder   usw.

ÄquivalenzumformungenBearbeiten

Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien   zwei Aussageformen.

Äquivalenz Implikation

Gilt für alle  :

 

so gilt:

 

Gilt für alle  :

 

so gilt:

 

Seien   Funktionen mit Definitionsbereich   und Zielmenge   oder  .

Für alle x gilt:

 
 

Besitzt   keine Nullstellen, so gilt für alle x:

 
 

Besitzt   Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:

 


Ist   eine auf dem Definitionsbereich   injektive Funktion, dann gilt für alle x:

 

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Arten von GleichungenBearbeiten

Polynomgleichungen