Sei ein Ring, z. B. oder .
Sei und . Dann gilt:
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(erste binomische Formel)
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(zweite binomische Formel)
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(dritte binomische Formel)
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und:
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Sei ein unitärer Ring, z. B. oder .
Sei und . Dann gilt:
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usw.
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usw.
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Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten
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k=0 |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
k=4 |
k=5 |
k=6 |
k=7 |
k=8
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n=0
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1
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n=1
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1 |
1
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n=2
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1 |
2 |
1
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n=3
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1 |
3 |
3 |
1
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n=4
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1 |
4 |
6 |
4 |
1
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n=5
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1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1
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n=6
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1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1
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n=7
|
1 |
7 |
21 |
35 |
35 |
21 |
7 |
1
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n=8
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1 |
8 |
28 |
56 |
70 |
56 |
28 |
8 |
1
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Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift
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erzeugen.
Sei ein unitärer Ring. Sei , wobei die paarweise kommutieren. Es gilt
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In Multiindex-Notation:
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mit
-
-
-
-
Die ersten Formeln sind:
n=2
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(a+b)2
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= a2 + b2 + 2ab
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(a+b+c)2
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= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
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(a+b+c+d)2
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= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
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n=3
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(a+b)3
|
= a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
|
(a+b+c)3
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= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc
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usw.
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Definition für und :
-
-
Für :
-
Definition für und :
-
Für :
-
Für und gilt:
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Ist zusätzlich , so gilt:
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Für und gilt:
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Für mit und gilt:
-
Für mit und gilt:
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Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt für ein festes mit und . Meistens ist oder .
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Bezeichnung
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Definierende Eigenschaft
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Basis
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Natürliche Logarithmen
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ln |
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e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
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Dekadische Logarithmen
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lg |
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10
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Binäre Logarithmen
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lb , ld |
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2
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Sind zwei auf der Grundmenge definierte Funktionen, so nennt man
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eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge
-
gesucht ist.
Bei kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:
-
-
- usw.
Man schreibt auch oder usw.
Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.
Seien zwei Aussageformen.
Äquivalenz
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Implikation
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Gilt für alle :
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so gilt:
-
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Gilt für alle :
-
so gilt:
-
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Seien Funktionen mit Definitionsbereich und Zielmenge oder .
Für alle x gilt:
-
-
Besitzt keine Nullstellen, so gilt für alle x:
-
-
Besitzt Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:
-
Ist eine auf dem Definitionsbereich injektive Funktion, dann gilt für alle x:
-
Jede streng monotone Funktion ist injektiv.
Polynomgleichungen