Die abzählbare Physik/ Druckversion

Die abzählbare Physik - Wann würfelt Gott ?

Information und digitale Strukturen im Hintergrund physikalischer Erkenntnis

Die Folgen der Quantelung der Wirkung als Vermittler von Information, der Elementarladung und der elektromagnetischen Wechselwirkungen auf das physikalische Beschreiben und Messen.

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?

Mit der Physik wird versucht, den materiellen Teil der Welt zu beschreiben und gedanklich zu erfassen. Dazu dienen Beobachtungen und Gesetze. Grenzen zeigen sich durch die seit hundert Jahren bekannten Quanten und die damit verknüpfte Modellierung der Welt. Da jedes Quant nur wenig Information tragen und vermitteln kann, gibt es in Systemen mit wenigen Quanten auch nur wenig physikalisch erfassbare Information. Es wird zunächst gezeigt, welchen Sinn in solch kleinen Systemen physikalische Größen noch haben, zum Beispiel inwieweit sie lokalisiert sind oder nicht und welche Gedankenkonstruktion hinter ihnen steckt. Das Kontinuum der klassischen Physik muss durch eine zumindest teilweise digitale Struktur ersetzt werden. Die Information ist in Kombinationen und den Beziehungen zwischen Quanten zu finden. Einerseits ist die Menge der Quanten ein Maß für die Menge an Information. Andererseits gibt es die Qualität der Information und die Kombination beider ist das, was wir durch Messungen erfahren können. Für die folgenden Überlegungen sind die gequantelten Größen des Elektromagnetismus wichtig, die elektrischen und die magnetischen Ladungen und Flüsse. Ihre Beziehungen untereinander enthalten viele fundamentale Naturkonstanten, zum Beispiel das Plancksche Wirkungsquantum, die Lichtgeschwindigkeit, die Feinstrukturkonstante, den Klitzing-Widerstand und die Vakuumimpedanz. Zehn Naturkonstanten lassen sich schließlich auf vier fundamentale Größen zurückführen.

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?

Eine bekannte physikalische Tatsache ist, dass sich Informationen weiträumig maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Die Frage, warum dies gerade bei der Information genau so ist, kann derzeit wohl kaum jemand befriedigend beantworten. Das Beschäftigen mit der endlichen Größe der Lichtgeschwindigkeit hat schließlich zur speziellen Relativitätstheorie geführt. Dieses auffällige Erscheinen der Information sollte eigentlich ein Anlass sein, sich auch mit ihr selbst intensiv zu beschäftigen. In der physikalischen Theorie spielt Information allerdings nur eine Nebenrolle, die Wissenschaft der Informatik ist irgendwo zwischen der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften angesiedelt und tangiert bei der Physik bekanntlich mit der Entropie die Thermodynamik. Die hier vertretene Sicht ist, dass man mit jeder physikalischen Messung Information erlangt und jede Beschreibung und Theorie versucht, Eigenschaften und Folgerungen daraus zu demonstrieren. Es soll daher im vorliegenden Beitrag versucht werden, sich mit der Frage zu beschäftigen, wo Information physikalisch in Erscheinung tritt, wo sie einen Einfluss auf unser naturwissenschaftliches Weltbild liefert und wo sie uns zum tieferen Verständnis weiterführt.

Information

Räumliche Information

Bild 1-1: Keil beim Vogelflug.

Im Bild 1-1 sehen wir den Keil eines fliegenden Vogelschwarms. Typisch für eine physikalische Beschreibung ist, zunächst die gemeinsame Geschwindigkeit dieser Vögel zu registrieren. Zusätzlich gibt es die räumliche Verteilung in Form des Keils. Die einzelnen Vögel weisen untereinander Positionen auf, in Bezug auf die Flugrichtung einen seitlichen und einen vorwärts gerichteten Abstand. Aus der Lage einzelner Vögel zu ihren Nachbarn alleine lässt sich der Keil nicht zwingend folgern. Aus der Kombination solch einer gegenseitigen Position wäre auch eine Linie oder irgendeine Zickzackstruktur möglich, wie man es häufig beobachtet, wenn die Vögel sich zusammenfinden. Die Information über die Geschwindigkeit und Form des Keils wiederum könnte auch auf einzelne der Vögel verzichten, eine große Anzahl führt zu besserer Genauigkeit. Es ist hier also möglich, sowohl individuelle Information bezogen auf einzelne Vögel als auch eine Information typisch für die Gruppe wahrzunehmen. Die räumliche Struktur des Keils wird durch eine abzählbare Anzahl von Vögeln (Objekten) „abgetastet“. Die lokal begrenzte Kenntnis der Beziehung einzelner benachbarter Vögel zueinander reicht also alleine nicht, um das gesamte System zu beschreiben.

Zeitliche Information

Analog dazu können wir das Messen eines elektrischen Stroms betrachten, dabei werden beim Abtasten Raum und Zeit getauscht. Das grundsätzliche Problem wird in Bild 1-2 deutlich: Strom $I$ ist das Verhältnis von der einen Querschnitt passierenden Ladungsmenge $Q$ pro Zeit $t$, $I={\frac {dQ}{dt}}$, und man kann ihn messen, wenn man die Steigung der gezeigten Funktion (Ladung pro Zeit) bestimmt. In der Maxwellschen Theorie ist die Ladung $Q$ eine analoge Größe, die Elementarladung $e$ war vor 150 Jahren noch nicht bekannt. Mit der dort benutzten mathematischen Darstellung der Differentialrechnung ist verbunden, dass man üblicherweise einen Grenzwert mit $dt=\Delta t\rightarrow 0$ bildet.

Bild 1-2: Das Messen von Strom $I$ und der Einfluss der Größe Elementarladung $e$.

Wie in Bild 1-2 zu sehen, bereitet dieses Bilden eines Grenzwertes, startend mit großen Ladungsmengen $\Delta Q$ und noch großen Zeitintervallen $\Delta t$, zunächst kein ernsthaftes Problem. Irgendwann sind aber die Zeitintervalle $\Delta t$ so klein, dass die Quantelung der Ladung $Q=N\cdot e$ bemerkbar wird, Bild 1-2 unten. Man könnte den Strom eines Elektronenstrahls in einer Braunschen Röhre so messen, dass man die Lichtblitze auf dem Leuchtschirm, die die einzelnen Elektronen auslösen, registriert.

Bei kurzen Zeitintervallen $\Delta t$ kann die Ladungsänderung mit der Größe einer Elementarladung $e$ nicht mehr auf mehrere Zeitintervalle verteilt werden und man misst in einem Zeitintervall $\Delta t$ schließlich entweder eine Elementarladung $e$ oder keine. Die sich dabei ergebenden Werte der Größe Strom $I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$ sind ziemlich unsinnig, entweder wäre $I=0$ oder $I={\frac {e}{\Delta T_{e}}}$ mit einer von $\Delta t$ abhängigen willkürlichen Größe. Nur mit ergänzender Integration und Mittelung wären solche Messungen verwertbar. Einzig sinnvoll bleibt ein Bezug auf die zeitliche Dauer $T_{e}$ zwischen zwei registrierten Elektronen: $I={\frac {e}{T_{e}}}$. Da $T_{e}$ nicht immer gleich groß ist (warum das nicht sein kann, wird gleich erläutert), ist das Messen des Stromes zwar nur unsicher möglich, aber wegen einer endlichen Menge der von einzelnen Elektronen vermittelbaren Information doch dementsprechend genau.

Fragt man sich, welche beobachtete Größe die Information über den Wert des Stromes enthält, so ist dies nicht die Ladung $e$ der einzelnen Elektronen, denn diese ist als Naturkonstante immer gleich und nicht mit Information modulierbar. Es ist der zeitliche Bezug, der Abstand $T_{e}$ ! zwischen mindestens zwei Elektronen, der die Information über die Stromstärke

$I={\frac {e}{T_{e}}}$ [11-1]

vermittelt. In der Nachrichtentechnik kennt man so etwas im Zusammenhang mit dem Abtasttheorem. Bei dieser Betrachtung ist die Ladung digital, Zeit und Strom sind dagegen analoge Größen, jeder beliebige Wert scheint für sie zunächst zulässig. Dass der zeitliche Abstand zwischen aufeinander folgenden Elektronen beim Messen nicht konstant oder regelmäßig sein kann, wird verständlich, da sonst diskrete Frequenzen $f={\frac {n}{T_{e}}}$ im Spektrum auftauchen würden, ohne dass dafür ein Anlass besteht. Das Fourier-Spektrum eines Rechteckimpulses, der sich ergibt, wenn der (während der Messung konstant angenommene) Strom erst ein- und dann wieder ausgeschaltet wird, ist kontinuierlich breitbandig. Dazu müssen die beim Messen des Stromes registrierten Ladungen zeitlich unregelmäßig aufeinanderfolgen. Das Resultat ist Rauschen (spektral breitbandig) und die damit verbundene Ungenauigkeit des Ergebnisses. Eigenschaften von Rauschen werden uns im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ begegnen. In der hier gewählten Zeitvorstellung besteht allerdings ein Bezug zu unendlich lang andauernden Schwingungen, also zu externen harmonischen Oszillatoren oder Uhren. Innerhalb der Folge der Elektronen alleine gäbe es als Maß die jeweilige zeitliche Dauer zwischen den detektierten Elektronen, die nicht so ohne weiteres zu vergleichen und unterscheiden wäre.

Die Zeit taucht unter verschiedenen Aspekten in der physikalischen Beschreibung auf. Als Zeitspanne können wir solch eine Dauer mit anderen vergleichen. Daneben gibt es allerdings mit einer „aktuellen Zeit“ auch die Möglichkeit, eine zeitliche Reihenfolge von Ereignissen mit vorher und nachher zu sortieren, das Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ wird dies behandeln.

Information und Gesetz

Ehe wir zu konkreten physikalischen Problemen vorstoßen, sei zunächst mit Tabelle 1 eine einfach zu überschauende Anordnung betrachtet. Neun, zum Beispiel farblich unterscheidbare Würfel, werden gemeinsam geworfen. Es existiert einerseits eine vorgegebene Struktur mit ihrer Anzahl, jeder Würfel trägt auf seiner Oberfläche die Zahlen 1 bis 6 und sie werden gemeinsam geworfen, andererseits ist das Ergebnis des Wurfes für jeden Würfel rein zufällig eine dieser Zahlen, aber keine andere. Es ist daher für jeden individuellen Würfel nicht möglich, anzugeben, welche Zahl er beim nächsten Wurf zeigen wird. Es existieren nur Wahrscheinlichkeiten, jeweils 1/6, für die möglichen Ergebnisse. Mit jedem Wurf wird ein neuer Informationssatz gewonnen, die in der Tabelle gezeigte Zeile. Beim üblichen Spiel interessiert uns dieser einzelne Wert des Würfels nicht. Wir addieren die Werte aller Würfel und erhalten die Augensumme. Damit verzichten wir auf eine Information, die Kenntnis des Anteils vom einzelnen Würfel an dieser Summe. Bei neun Würfeln kann die Augensumme jeden der 46 Werte zwischen den Zahlen 9 und 54 annehmen. Bei Kenntnis der einzelnen Würfelwerte gibt es allerdings 69 mögliche Kombinationen. Die Werte der Augensumme treten beim Würfeln mit sehr unterschiedlicher Häufigkeit und daraus folgender Wahrscheinlichkeit auf.

Tabelle 1-1: Ergebnisse des Würfelns

Wurf	Wa	Wb	Wc	Wd	We	Wf	Wg	Wh	Wi	Augensumme	Augenprodukt
1	3	1	6	2	4	1	6	3	5	31	12960
2	6	1	4	2	3	2	1	4	2	25	2304
3	5	6	1	3	3	5	1	5	5	34	33750
4	3	6	2	4	2	1	2	5	5	30	14400
5	5	4	4	4	4	5	5	3	2	36	192000
6	2	5	4	3	5	4	5	2	4	34	96000
7	3	5	1	4	3	2	3	4	6	31	25920
8	6	1	1	3	3	4	2	3	3	26	3888
9	5	1	1	1	6	3	2	2	5	26	1800
10	2	1	1	1	6	4	4	6	6	31	6912
11	1	2	1	1	1	6	1	6	1	20	72
12	6	5	2	2	5	6	3	4	4	37	172800
13	3	5	6	5	3	1	5	6	1	35	40500
14	1	2	5	2	6	2	1	4	4	27	3840
15	2	5	6	3	6	5	3	1	1	32	16200
16	1	1	3	5	6	1	5	5	5	32	11250
17	5	3	6	4	5	5	2	6	6	42	648000
18	6	5	2	4	4	4	5	6	6	42	691200
19	1	1	4	1	6	6	2	1	6	28	1728
20	2	5	6	6	4	2	1	6	5	37	86400
										31,8	<- Mittelwert
Summe	68	65	66	60	85	69	59	82	82	70,6666667	<- Mittelwert
Mittelwert	3,4	3,3	3,0	3,0	4,3	3,0	3,0	4,1	4,0	3,53333333	<- Mittelwert

Einerseits wählt der Experimentator nun mit dieser Summation eine Art des Erfassens von Eigenschaften aus, andererseits existiert die Struktur der Augensummen als Linien im Koordinatensystem der Würfel, so wie in Bild 1-3 gezeigt. Hier im Beispiel mit zwei Würfeln (a, b), Bild 1-3 links zu sehen. Es gibt dann sechsunddreißig individuelle Wurfergebnisse aber nur elf mögliche Augensummen. Damit bleibt ein entsprechender restlicher Teil der Information für ein Gesetz des Ensembles übrig. Die Häufigkeitsverteilung für größere Anzahlen von Würfeln ist in Bild 1-3 rechts zu sehen. Ab drei Würfeln zeigt sich die Glockenkurve für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensummen.

Bild 1-3: Ab drei Würfeln zeigt sich die Glockenkurve für die Verteilung der Augensummen.

In unseren Gedanken vollziehen wir bei diesem Beispiel folgende Schritte:

1. Wir lösen uns von den individuellen Informationen der einzelnen Würfel, wir machen sie bei unserem Betrachten ununterscheidbar und fassen sie zu einem Kollektiv zusammen. (Bei einem Gas würden wir nicht die Bewegung einzelner Atome oder Moleküle registrieren, sondern eine ihnen gemeinsame Eigenschaft wie Druck, Temperatur oder Volumen).
2. Wir geben als Beziehung die Addition vor, die Multiplikation (in der Tabelle ganz rechts) würde zu anderen, unübersichtlichen Ergebnissen führen. (Bei einem Gas wären Druck oder Volumen von uns vorgewählt). Die dazugehörige Information existiert erst beim Kollektiv.
3. Wir fassen gleichartige Summen zusammen und bekommen im 2-Würfel-Beispiel nun 11 davon, dies ist im Gegensatz zu den 36 Möglichkeiten, wenn wir die Individualität nicht weglassen würden. Damit wird die Informationsmenge gegenüber der Vorgabe begrenzt, ein Anteil des Zufalls wird ausgeblendet und es steht nun ein Rest der Information zur weiteren Verwendung zur Verfügung. (Druck, Volumen und Temperatur des Gases sind globale Größen, keine individuellen der Atome oder Moleküle).
4. Aus der Restinformation erhalten wir nun als Gesetz die Glockenkurve, allerdings wegen der begrenzten Menge von Information nur einzelne Punkte davon und nicht etwa die kontinuierlich durchgezogene mathematische Kurve. (Ein in der Genauigkeit begrenztes Gesetz mit entsprechendem Rauschen).

Bild 1-4: Häufigkeitsverteilung der Augenmultiplikation, drei Würfel mit Oberflächen 1 bis 6.

Auch mit der Multiplikation können wir ein gesetzmäßiges Verhalten beobachten, Bild 1-4. Die Häufigkeitsverteilung der Augenprodukte von Würfeln ist allerdings nicht so schön anzusehen wie die glockenförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Addition und die dazugehörende geometrische Struktur zeigt keine ausgeprägten Flächen sondern nur kleinere Punktkombinationen. Die Zahlenfolge enthält Lücken. Aber die Epizykeln des Ptolemäus waren ja auch nicht so schön wie Keplers und Newtons Gesetze. Hier wählt schließlich der Beobachter, welche Gesetze weiter verfolgt werden und welche für die zukünftige Betrachtung ausscheiden.

Interessant ist nun noch die Frage, ob aus dieser neuen Informations- und Gesetzeskombination die Ausgangsdaten zurückgewonnen werden können. Das Zuordnen einzelner Zahlenwerte zu einzelnen Würfeln ist offensichtlich allein mit Kenntnis der Augensummen nicht möglich. Kann man aber rekonstruieren, welche Art Würfel (Zahl der Würfeloberflächen) und welche Anzahl davon verwendet wurden ? Dass dies in begrenztem Umfang möglich ist, wird im Abschnitt „Information und Gesetz“ gezeigt, denn die mit vielen Würfen gewonnene Verteilungsfunktion hat zwei voneinander unabhängige Parameter, das Maximum und die relative Breite.

Es sei an dieser Stelle hervorgehoben, dass dieses Würfelexperiment zwei Komponenten enthält. Zum einen eine vorhandene Struktur in Form der Qualität der Würfel, eine feste Anzahl von Oberflächen, definiert beschriftet und eine feste Anzahl von verwendeten Würfeln. Diese Strukturen haben räumlichen Charakter, über den gemeinsamen Wurf all dieser Würfel kommt eine zeitliche Komponente hinzu. Das Ergebnis dieses Würfelns enthält nun noch den Zufall, aus der Vergangenheit folgt keins der neuen Wurfergebnisse. Aufgrund der vorhandenen Strukturen kann man nun allerdings für einige Größen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen. Dies betrifft die oben erwähnte Augensumme und auch den zeitlichen Mittelwert der Augenzahl für einzelne Würfel. Typisch dafür ist eine Regel, nach der einzelne Ergebnisse zusammengefasst werden.

Wenn wir nun versuchen, die Struktur unserer Welt zu erkennen, so sei im folgenden die Hypothese vertreten, dass wir Teile davon durch eine Auswahl der Kombination von Beobachtungen erfassen können. Dies versuchen wir in der Physik. So zeigt sich oben beim Beispiel des Vogelfluges der Keil als räumliche Kombination der Positionen von einzelnen Vögeln zu ihren Nachbarn. In der Physik weisen wir den einzelnen Vögeln eine Koordinate in Raum und Zeit zu. Neben dieser lokalisierten individuellen Information, im Grenzfall als Punkt idealisiert, gibt es die gemeinsame Struktur des Keils, die nicht mehr derartig lokalisiert ist. Beim Beispiel des Stromflusses gab es die lokalisierte Ladung der einzelnen Elektronen und die Eigenschaft der Kombination, den in Raum und Zeit ausgedehnten Strom. Für die nicht lokalisierten Anteile der Information gibt es für alle beteiligten Objekte eine Gemeinsamkeit. Bei den Würfeln war dies der gemeinsame Wurf, bei den Vögeln der gemeinsame Flug und bei den Ladungen ihr gemeinsamer Beitrag zum Strom.

In der Physik begegnet uns immer wieder eine solche Kombination lokalisierter und nicht lokalisierter Eigenschaften, wir kennen Teilchen und Wellen. Die Eigenschaft als Teilchen begegnet uns, wenn lokalisiert eine Wechselwirkung auftritt wie bei der Detektion oder beim Energieübertrag. Wenn die Wechselwirkung räumlich ausgedehnt erscheint, wie bei Überlagerung und Interferenz, dann registrieren wir die Eigenschaft der Welle. Dies sei an folgendem Beispiel des Doppelspaltes demonstriert:

Information beim Doppelspaltexperiment

Wellen werden an Hindernissen gebeugt. Das grundlegende Experiment am Doppelspalt ist bestimmt allen Lesern bekannt und soll hier in der Einführung einige Probleme verdeutlichen. Links oben in Bild 1-5 sehen wir zunächst eine räumlich ausgedehnte Lichtquelle. Die Gruppe der Photonen, die diese verlassen, trägt Information über ihren Ort, Abmessungen und optische Qualitäten in Form der Divergenz und Ausbreitungsrichtung. Der großflächige Strahl des Gaslasers ist schön parallel, während der mikroskopische Laser im CD-Spieler eine Divergenz von einigen 10 Bogengrad aufweist.

Sobald ein Hindernis in den Weg kommt, hier rechts daneben eine Blende mit einem Loch, werden Teile dieser Information gegen die des Hindernisses ausgetauscht. Dieses Hindernis existiert für alle Photonen dieses Experiments gemeinsam, egal wann sie es passieren. Solange das Loch gegen die Wellenlänge des Lichtes groß ist, sehen wir mit dieser Anordnung einer Lochkamera auf der Detektionsfläche ein Bild der Lichtquelle mit der Schärfe, die durch die Strahlenoptik bestimmt ist. Das Licht zeigt jetzt nur einen Ausschnitt seiner ursprünglichen räumlichen Verteilung und dafür ist Information über die gegenseitige Position von Lichtquelle und Loch prägnant. Wenn man den Lochdurchmesser verkleinert der Wellenlänge des Lichtes nähert, zeigen immer mehr Photonen eine Wechselwirkung mit dieser Blende und werden merklich gebeugt, während der Anteil der ungestört passierenden Photonen abnimmt. Die Abbildung der Lichtquelle mit dem zu ihr gehörenden Informationsanteil auf der Detektionsfläche $D$ weicht dem Beugungsbild der Blende, der Information über ihren Durchmesser, ihre relative Position und ihre Form. Wenn der Strahl, im Bild rechts daneben, auf einen der Spalte eines Doppelspaltes fokussiert wird, beobachten wir auf der Detektionsfläche dahinter das entsprechende Beugungsbild, das wesentlich durch die Position des Spaltes relativ zur Lichtquelle und seine Breite $B$ geprägt ist. Die ursprüngliche Information der verteilen Photonen beim Abstrahlen von der Lichtquelle ist nicht rückwärts zu rekonstruieren, neu ist die Information im Bezug zum Spalt. Ist der ursprüngliche Strahl so divergent, dass beide Spalte beleuchtet werden, so zeigt sich zusätzlich die Information des Abstandes d der beiden Spalte im Interferenzmuster, ganz rechts.

Wie sieht dieses Problem aber nun aus, wenn nur wenige Photonen unterwegs sind, wie unten im Bild 1-5 zu sehen ist ? Links ist zunächst die erwartete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die drei möglichen Fälle, nur oberer Spalt, unterer Spalt und beide Spalte, dargestellt. Daneben ist das Ergebnis mit einem einzelnen Quant, Elektron oder Photon demonstriert.

Können Sie aus solch einem einmaligen lokalisierten Ereignis eine Aussage über den Weg dieses Quants machen ? Nein ! Ein einzelnes Quant kann nicht genug Information transportieren, um solch eine detailreiche Aussage zu vermitteln. Mit einer einzigen Ja-Nein-Aussage ist dies nicht möglich. Auch mehrere Quanten, wie im mittleren Teil des Bildes, reichen noch nicht aus. Erst die beiden ganz rechten Bilder beginnen unsere Fragestellung beantworten zu können. Die Frage nach dem Weg und seiner Gestalt lässt sich also erst aus den Beziehungen zahlreicher Quanten untereinander beantworten. In diesem Fall ist es die räumliche Verteilung auf der Detektionsfläche. Sie ist unabhängig davon, wann die einzelnen Quanten eingetroffen sind. Es ist für die behandelte Fragestellung also egal, ob mehrere Quanten gleichzeitig unterwegs sind oder nacheinander ankommen, eine zeitliche Information wird hier nicht diskutiert ! Gemeinsam sind die räumlichen Positionen der Quelle und des Hindernisses in Bezug auf die Gruppeninformation. Dies lässt die bekannten Einzelphotonen- und Einzelelektronenexperimente unter einem neuen raumzeitlichen Blickwinkel erscheinen und sei eine Anregung, die Gedanken der folgenden Kapitel nachzuvollziehen.

Bild 1-5:
Zur Information als Beziehung zwischen Objekten können einzelne Quanten nur einen kleinen Teil beitragen.
Oben links tragen Photonen zunächst die Information über Ort und Größe der Lichtquelle. Beim Passieren von Blenden und Spalten im Strahlweg wird diese Information gegen die der Hindernisse ausgetauscht.
Von links nach rechts nimmt unten der Informationsgehalt bei der Detektion einzelner Quanten mit ihrer Anzahl zu, die links angedeuteten statistischen Verteilungen lassen sich erst mit großen Zahlen erreichen.

Wo finden wir Information ?

Wer sich heute damit beschäftigt, wie die Welt physikalisch zu beschreiben ist, begegnet zunächst zwei unterschiedlichen Sichtweisen. Mit der „klassischen Physik“ beschreibt man die Welt als Kontinuum, es gibt Raum und Zeit sowie Ursachen und Wirkungen. Die Natur scheint beliebig genau definiert, was von Seiten der Information bedeutet, dass die Menge der Information unendlich sein müsste. Nachdem Emil Wiechert 1896 und J.J. Thompson die elementare Ladung des Elektrons entdeckten und Max Planck 1900 das Wirkungsquantum, wurde vor hundert Jahren die Theorie von Atomen und der Quantenmechanik entwickelt, die derzeit als die umfassendste Theorie in der Physik angesehen wird. Die Ergebnisse der auf ihr beruhenden Berechnungen liefern Wahrscheinlichkeiten für experimentelle Beobachtungen. Viele Physiker sehen die klassische Physik als ihren Grenzfall für große Anzahlen von Quanten und folgen außerdem der Kopenhagener Interpretation. Auf ihrer Habenseite steht, dass es keine wesentlichen Widersprüche bei den mit ihr berechneten Beobachtungen gibt und eine umfassende Anzahl von Erscheinungen beschrieben wird. Schattenseiten der Quantenmechanik sind das fehlende elementare Verständnis ihrer Natur und die gedankliche Inkonsequenz, wenn man annimmt, dass die kausalen Zusammenhänge der klassischen Physik als Grenzwert aus dem Zufall der quantenmechanischen Wahrscheinlichkeiten folgen sollen. Parallel zum Anwenden der Quantenmechanik wuchs auf technischer Seite das Übertragen von Nachrichten, zum Beispiel mit Telegrafie, Rundfunk und Fernsehen. Daraus folgte dann ein eigener Wissenschaftszweig, wir kennen die Informatik, Nachrichten- und Computertechnik.

Wenn der Physiker eine Messung durchführt, möchte er Information erkennen. Es liegt daher nahe, physikalische Probleme einmal von der Seite der Information her zu betrachten, was unter anderem Weizsäcker vor einiger Zeit mit seinem Ur einführte. Wenn es beispielsweise Elektronen gibt, die sich nicht individuell unterscheiden lassen, dann sei im folgenden die Größe „Ladung“ auf eine Anzahl von Elektronen zurückzuführen. Die kleinste mögliche Anzahl wäre ein einzelnes Elektron. Bestünde die Welt nur aus solch einem einzigen Elektron, so gäbe es maximal die Information, ob dieses Elektron vorhanden ist oder nicht und wir hätten keine Möglichkeit, dies zu erkennen. So etwas wie das elektrische Feld wäre eine unnötige, ja sogar sinnlose Illusion. Selbst um solch ein Feld auch nur punktuell abzutasten, brauchte man mindestens eine zweite Ladung. Auch Größen wie Kraft oder Position könnte man dem einzelnen Objekt nicht zuordnen.

Um diese Gedanken zu veranschaulichen, betrachten wir ein planetenähnliches System mit der Sonne im Zentrum, allerdings sollen die dort vorhandenen Objekte sich auf ein Minimum an Informationen beschränken, also keine Information tragenden individuellen Eigenschaften, wie zum Beispiel einen Durchmesser, zeigen können. Starten wir mit der „Sonne“. Diese Sonne ist entweder vorhanden, wie es Bild 1-21 links zeigt oder nicht, rechts. Ein solches isoliertes System hat noch keine Koordinatenachsen, es ist 0-dimensional. Begriffe wie Entfernungen oder die Zeit haben keinen Sinn. Es gibt im Höchstfall die Information, ob die „Sonne“ S als Objekt vorhanden ist oder nicht. Wie wir später verstehen werden, ist dies gedanklich zunächst eine punktuelle Vorstellung in dem Sinne: es gibt keine weitere Eigenschaft als die, dass dieses Objekt existiert oder nicht existiert. Dem Leser sind allerdings Unschärferelationen und die Nullpunktsenergie vertraut. Wir werden später, um Singularitäten zu vermeiden, räumliche Punkte durch zumindest minimale Längen und Zeitpunkte durch Dauern ersetzen müssen, bekannt ist sicher die Relation zwischen Energie- und Zeit-Genauigkeit. Dann ist auch die Nichtexistenz eine Information und die Unkenntnis nicht mit der definierten Zahl Null, sondern mit einer endlichen Größe zu verbinden, was mit dem rechten Teil des Bildes als der Tatsache einer möglichen Existenz symbolisiert werden soll.

Bild 1-21: Bei minimalem Informationsgehalt des Systems existiert das Objekt S entweder, links, oder es existiert nicht, rechts. Ein raumzeitliches Koordinatensystem wäre sinnlos.

Bild 1-22: Zwei Objekte $S$ und $E$ zeigen neben der Existenz der Objekte noch eine Beziehung zwischen ihnen, hier den Abstand ${\underline {SE}}$, und das Problem wird eindimensional.

Bild 1-23: Ein System mit drei Objekten enthält auch drei dazwischen befindliche Beziehungen. Die Darstellung erfordert zwei Dimensionen.

Wenn dieses System nun um die „Erde“ $E$ ergänzt wird, dann ergibt sich das Bild 1-22. Mit zwei Objekten $S$ und $E$ gibt es neben dem Vorhandensein der Objekte noch eine Beziehung zwischen Ihnen, das ist der Abstand ${\underline {SE}}$, und das Problem wird eindimensional beschreibbar. Dieser Abstand ${\underline {SE}}$ legt den Maßstab einer Länge fest, der mit den uns vertrauten Maßstäben eines externen Beobachters zwischen der realen Sonne und Erde zeitlich variieren würde. Im Quantensystem mit minimaler Information sind bei so wenigen Objekten solche dynamischen Effekte weder erkennbar noch definiert und es gibt damit auch keine Veränderungen, die Grundlage einer weiteren physikalischen Größe, der „Zeit“, sein könnten. In diesem kleinen System würden selbst auch aufeinander zustürzende Objekte als Grundlage des Erkennens gegenseitiger Existenz nur ihren Abstand ${\underline {SE}}$ als konstant scheinendes Maß kennen.

Mit drei Objekten, ergänzt um den die Erde umkreisenden Mond $M$, wird das „Universum“ nun schon interessanter, Bild 1-23. Während die Anzahl der Objekte um eins gewachsen ist, steigt die Anzahl der Beziehungen von eins um zwei auf drei, da jedes neue Objekt Beziehungen zu allen schon vorhandenen Objekten zeigt, und es gibt die Entfernungen ${\underline {SE}}$, ${\underline {EM}}$ und ${\underline {SM}}$. Dieses System ist nun zweidimensional und in einer Ebene beschreibbar. Neben den Entfernungen ist man versucht, daraus nun auch Winkel abzuleiten. Mit einer Informationsmenge 3 Bit entsprechend der Existenz von den drei Quanten ist allerdings sehr wenig Information vorhanden. Außerdem gibt es zeitliche Veränderungen, die besonders einfach an der Periode $T_{ME}$ der Mondumkreisung festgemacht werden können. Mit dem Maßstab ${\underline {EM}}$ der Entfernung Erde Mond ist auch die Entfernung Sonne Erde ${\underline {SE}}$ keine Konstante mehr, sondern eine zeitabhängige Länge ${\underline {SE}}(t)$. In den uns vertrauten Koordinaten des Solarsystems ist die Bahn der Erde um die Sonne eine Ellipse und nicht etwa ein Kreis mit konstantem Radius. Der ungleichmäßige Abstand Erde - Sonne ${\underline {SE}}(t)$ könnte dabei im Koordinatensystem von Bild 1-23 auf eine Schwingung um eine Gleichgewichtsposition zurückgeführt werden. Nur mit weiteren Planeten wäre es möglich, solch ein raumzeitliches Geschehen zu beschreiben, zum Beispiel mit den Epizykeln des Ptolemäus. Bis zum Gravitationsfeld ist es ein weiter Weg.

An dieser Stelle wird allerdings schon ein Grundprinzip der Informationsabtastung deutlich. Es gibt zwei verschiedene Eigenschaften, die sich gegenseitig bedingen, wie Bild 1-24 zeigt. Eine Gerade wird durch zwei Punkte definiert und umgekehrt kann man mit zwei Geraden einen Punkt definieren. Um eine Geschwindigkeit (Impuls) zu definieren, braucht man neben dem Zeitintervall zwei Raumpunkte $\left(v={\frac {x1-x2}{t1-t2}}\right)$.

Bild 1-24: Zum Erkennen einer Struktur benötigt man mindestens zwei Abtastwerte, zwei Punkte für eine Gerade oder zwei Geraden für einen Punkt.

In der Nachrichtentechnik findet man dies dann als Abtasttheorem wieder, nachdem zum Abtasten einer periodischen Struktur mindestens zwei Abtastwerte pro Periode vorhanden sein müssen. Der Physiker ahnt an dieser Stelle vielleicht schon als ähnlich komplementäres System die Darstellung der Welt mit Wellen und Teilchen. Es sei an dieser Stelle ausdrücklich bemerkt, dass es dabei nicht nur die zwei abtastenden Größen gibt, sondern damit verbunden die resultierende Beziehung, es handelt sich also jeweils um eine Dreieinigkeit.

Die Vorstellung einer zeitlichen Entwicklung orientiert sich im folgenden an der schon von Weizsäcker geäußerten Annahme einer Liste von Ereignissen und Zuständen, die die Vergangenheit festhält und die in der Gegenwart um die realisierten Messergebnisse potentieller Möglichkeiten der Zukunft ergänzt wird. In dem an dieser Stelle bisher gedachten System ist allerdings nicht zu sehen, in welchem Träger die Information einer solchen Liste geführt werden sollte. Dies ist ein Hinweis, dass wir uns im Folgenden auch mit der Vorstellung von „Zeit“ noch ausführlich beschäftigen müssen.

Wenn man sich den bei der physikalischen Messung erfassten Teil des Universums aus einzelnen Quantenobjekten zusammengesetzt denkt, so kann man die gesuchten Eigenschaften aus den Beziehungen dieser Quanten untereinander ableiten. Die gesamte Informationsmenge hängt mit der Anzahl der Quanten zusammen. Die beim Messen erreichbare Auflösung hängt daher von dieser Anzahl ab. Allerdings kann man, wie später gezeigt wird, nicht alle Information auf eine physikalische Größe konzentrieren. Auch die Maßstäbe ergeben sich, wie oben im Beispiel gezeigt, erst aus den gegenseitigen Beziehungen der Objekte. Wenn die Grenze unserer heutigen physikalischen Beschreibung des Universums durch die Planckeinheiten gegeben wird, so kann man annehmen, dass diese ein Resultat der Menge von Objekten und der Energie im Universum und dem damit verbundenen Umfang an Information sind.

Aus gequantelten Größen folgt sofort eine Begrenzung von Informationsmengen. Die Abzählbarkeit bedeutet, das es nur ganzzahlige Vielfache einer Grundeinheit gibt und keine Zwischenwerte. Es gibt also keine kontinuierlichen, analogen Funktionen, sondern nur Stufen, wie wir es vom harmonischen Oszillator kennen. Für ihn gilt, wie in Bild 1-25 gezeigt, der Zusammenhang von Wirkung und im System vorhandener Energie in diskontinuierlicher Weise. Solange die zugeführte Energie nicht die für die Frequenz des Oszillators Typische Schwelle $E_{1}=1\cdot h\cdot f$ überschreitet, passiert nichts. Mit höheren Energien werden dann die einzelnen Stufen des Oszillators nacheinander erreicht. Die Stufung von $H$ mit $N=0$ beginnt dann mit dem Energieintervall $\Delta E=0\dotsc h\cdot f$ und wird mit Stufen dieser Breite fortgesetzt. Eine Gerade mit der Steigung $T_{\nu }={\frac {h}{\Delta E}}={\frac {1}{f}}$ (das ist die Periodendauer) verbindet die energetischen Mittelwerte der Stufen. Auf dieser analogen klassischen Geraden liegen die Punkte der beobachtbaren Messergebnisse. Diese trifft mit den Stufen für ganze Vielfache des Wirkungsquantums $H=N\cdot h$ an den Stellen zusammen, die die Quantenmechanik für die Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators erwartet, $E=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$. Ganz links finden wir für $N=0$ die bekannte Nullpunktsenergie bei $E={\frac {h\cdot f}{2}}$, sie taucht an dieser Stelle wegen der diskreten Stufung und der daraus folgenden Digitalisierungsunschärfe auf. Sie charakterisiert unsere Unkenntnis, die Größe unseres Nichtwissens über den Zustand.

Bild 1-25: Der harmonische Oszillator. Die Wirkung $H=N\cdot h$ als Funktion anderer Größen ($h={\frac {E}{f}}$) erscheint nur als ganzzahliges Vielfaches von $h$, digital gestuft und einer daraus folgenden begrenzten Genauigkeit und einem mittleren Startwert. Die Steigung der Geraden entspricht der Periodendauer $T_{\nu }={\frac {1}{f}}$ des harmonischen Oszillators.

Die Wirkung

$H=\int E\cdot dt=N\cdot h$ [11-2]

ist uns zwar als Rechengröße vertraut, nicht jedoch so anschaulich wie etwa die Begriffe der Energie $E$ und der Leistung $P={\frac {dE}{dt}}$. Es gibt noch andere elementar gequantelte Größen, die im Experiment beobachtet werden, so die elektrische Elementarladung e und das magnetische Flussquant, das Fluxon $\Phi _{0}$. Diese werden bei den folgenden Gedanken eine wichtige Rolle spielen, auch sie führen zu einer Grenze der Auflösung und einer aus der Abzählbarkeit folgenden Unsicherheit, die im Prinzip schon als Heisenbergsche Unschärferelationen bekannt ist. Vermutlich ist auch bei ihnen eine der „Nullpunktsenergie“ entsprechende Basis der Ungenauigkeit zu erwarten.

Aus Sicht der Information ist so etwas wie die Nullpunktsenergie aus folgendem Grunde sinnvoll: die Information einer digital binären Ziffernfolge 00100 ist durch Negation in 11011 umzuformen und man wird zu recht erwarten, das die Menge an Information in beiden Folgen identisch ist, da die transformierende Relation reversibel ist. Damit tragen dann die Nullen genauso Information wie die Einsen. Fehlende Information muss dann dadurch charakterisiert sein, dass den unbekannten Stellen einer Zeichenfolge weder eine Null noch eine Eins zugeordnet werden kann, sondern XXXXX, also jeweils nur eine Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent für beide Möglichkeiten mit der entsprechenden Energie.

Lassen Sie uns im Folgenden betrachten, wie verschiedene Phänomene unter solch einem Blickwinkel zu sehen sind.

Verschiedene Quanten

Vor gut hundert Jahren entdeckten Physiker die ersten Quanten, zunächst das Elektron, dann das Plancksche Wirkungsquantum und folgend die Photonen. Davon sind die Größe der Ladung des Elektrons ($e=1,6022\cdot 10^{-19}\,{\text{As}}$) und das Plancksche Wirkungsquantum ($h=6,6261\cdot 10^{34}\,{\text{VAs²}}$) unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem. Die Masse des Elektrons hat den minimalen Wert der Ruhemasse und die Photonen treten mit beliebiger Energie auf. Im Zusammenhang mit der Supraleitung wurde schließlich das magnetische Flussquant ($\Phi _{0}=2,0678\cdot 10^{15}\,{\text{Vs}}$) gefunden, das vorher schon mit doppelter Größe prognostiziert worden war. Das experimentelle Ergebnis, lieferte dann ein Indiz für die Existenz der Cooper-Paare. Die Kombination dieser drei Konstanten finden wir in der Gleichung:

$h=2\cdot e\cdot \Phi _{0}$ [12-1]

Im Fall der Supraleitung finden wir die Zwei im Zusammenhang mit der Ladung des Cooper-Paars. Bei der Ladung hätte ich sie auch allgemein vermutet, denn im ladungsneutralen Universum gibt es für jede Ladung eine zweite entgegengesetzte. Im Folgenden ist diese Zwei jedoch fast immer mit dem magnetischen Flussquant kombiniert, wenn man nach „schönen“ Gleichungen sucht. So auch beim Klitzing-Widerstand $R_{k}$, dessen in der Literatur gefundene Beschreibung $R_{k}={\frac {h}{e^{2}}}=25813{\text{ Ohm}}$ sich leicht mit [12-1] in den Quotienten aus Magnetfluss zu Ladung wandeln lässt:

$R_{k}={\frac {2\Phi _{0}}{e}}$ [Vs/As] [12-2]

Wenn es magnetisch nur Dipole gibt, enthalten diese zwingend zwei Pole mit den diese dann umgebenden Flussquanten und zusätzlich den entsprechenden Fluss, der die Pole verbindenden Dirac-String. Gedanklich problemlos lässt sich diese Zwei weiterhin auch dem Abtasttheorem zuordnen.

Neben diesen beiden elektromagnetischen Quanten $e$ und $\Phi _{0}$ gibt es automatisch noch zwei weitere. Jede Elementarladung ist Quelle eines zugehörigen elektrischen Feldes und damit gibt es auch einen dazugehörigen, diese Ladung umgebenden, immer gleich großen elektrischen Fluss $\Phi _{E_{0}}$ und umgekehrt gibt es dann auch eine Polstärke $Q_{M}$ für magnetische Flüsse.

Für einen elektrischen Fluss zeigt sich entsprechend der im Gerthsen gefundenen sinnvollen Definition

$\Phi _{E}={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$ [Vm] [12-3]

in der Folge, dass es auch ein elektrisches Flussquant mit der Größe

$\Phi _{E_{0}}={\frac {e}{\epsilon _{0}}}$ [12-4]

geben sollte. Ein Einheitenvergleich zwischen elektrischen und magnetischen Größen ergibt für diesen elektrischen Fluss $\Phi _{E}={\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$ [As · Vm / As] die Einheit [Vm]. Im Produkt von Ladung und Fluss zeigen sich vier elementare Maßeinheiten $\Phi _{E}\cdot Q$ [VAms]. Die Einheit der elektrischen Ladung $Q$ ist [As], die Einheit des magnetischen Flusses $\Phi _{M}$ ist [Vs]. Dann ergibt sich für die Einheit einer magnetischen Ladung $Q_{M}$ aus Symmetriegründen und auch aus dem Gaußschen Satz nach Integration über die Zeit für $Q_{M}$ die Einheit [Am].

Diese Quellenstärke magnetischer Monopole („magnetische Ladung“) ist nach Dirac:

$g={\frac {n}{2}}\cdot h\cdot {\frac {c}{2\pi e}}$ [Vm] [12-5]

Nun ist es in der physikalischen Beschreibung durchaus üblich, durch passende Wahl von Einheiten die rechnerische Beschreibung zu vereinfachen (zum Beispiel mit c = 1) und historisch zu heutzutage unüblichen Maßen zu kommen (die elektrische Kapazität wurde in Zentimeter statt heute üblich in Farad angegeben) oder durch Multiplikation mit Naturkonstanten elektrischen und magnetischen Größen die gleichen Einheiten zu „verpassen“, wie es bei dem elektrischen Fluss verbreitet zu finden ist. Im folgenden werden die elektromagnetischen Quanten so bemaßt, wie es der Symmetrie des im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ diskutierten elektromagnetischen Quaders entspricht. Die Potentiale [V] treten als Ableitungen der Flüsse auf, magnetisch nach der Zeit (Induktionsgesetz) und elektrisch nach dem Raum (Coulomb-Gesetz). Die Ableitungen der Pole liefern den Strom [A], elektrisch die Ladung pro Zeit und magnetisch dann der Bezug auf entsprechende räumliche Änderungen. Die räumlichen Ableitungen beziehen sich wohl nicht auf Längen alleine sondern auf den Quotienten aus einer Fläche pro Länge.

Die in der Literatur erwartete Größe des magnetischen Monopols hat die Einheit

$g={\frac {e}{2\alpha }}$ [As] [12-6]

und ergibt dann multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ die hier erwartete Einheit.

$Q_{M}={\frac {e\cdot c}{2\alpha }}$ [As · m/s] [12-7]

und eingesetzt ergibt sich der Zusammenhang mit dem elementaren magnetischen Flussquant

$Q_{M}={\frac {e\cdot c\cdot 4\cdot {\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\mu _{0}}}}}{\frac {2e}{\sqrt {\epsilon _{0}}}}}={\frac {h}{e\cdot \mu _{0}}}={\frac {2\Phi _{0}}{\mu _{0}}}$. [12-8]

Gegenübergestellt zeigen sich elementare elektrische und magnetische Ladungen und Flüsse also entsprechend der folgenden Tabelle 1-1. Die magnetische Ladung kann man dann auch gequantelt mit

$Q_{M_{0}}={\frac {\Phi _{0}}{\mu _{0}}}$ [12-9]

erwarten. Im Folgenden wird allerdings, um den ständigen Faktor Zwei zu vermeiden, wie in Gleichung [12-7] die doppelte Größe $Q_{M}=2Q_{M_{0}}$ verwendet.

Bei den Schwingungsquanten gilt für ihre Energie

$E=h\cdot f$ [12-10]

und für den Zusammenhang zwischen Frequenz und Periodendauer

$T_{\nu }={\frac {1}{f}}$. [12-11]

Tabelle 1-2: Elektrische und magnetische Ladungs- und Flussquanten

Art	Ladung	Fluss
elektrisch	$e=\Phi _{E_{0}}\cdot \epsilon _{0}={\frac {h}{2\Phi _{0}}}=1,602\cdot 10^{-19}$ [As]	$\Phi _{E_{0}}={\frac {e}{\epsilon _{0}}}={\frac {h}{2\Phi _{0}\cdot \epsilon _{0})}}={\frac {hc^{2}}{Q_{M}}}=1,810\cdot 10^{-8}$ [Vm]
magnetisch	$Q_{M}={\frac {2\Phi _{0}}{\mu _{0}}}={\frac {h}{(e\cdot \mu _{0})}}={\frac {hc^{2}}{\Phi _{E}}}=3,2911\cdot 10{-9}$ [Am]	$2\Phi _{0}=Q_{M}\cdot \mu _{0}={\frac {h}{e}}=4,136\cdot 10^{-15}$ [Vs]

Die universelle Darstellung ist daher die Kombination

$h={\frac {E}{f}}=E\cdot T_{\nu }$, [12-12]

die im Einzelfall aus sehr unterschiedlichen Komponenten zusammengesetzt sein kann. Im mechanischen Fall gilt entsprechendes mit

$h=x_{a}\cdot p_{a}$, [12-13]

wobei wir später im Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ im Zusammenhang mit Phononen sehen werden, dass die Ortskoordinate $x_{0}$ als minimale Auslenkung einer Schwingung und der dazugehörigen Impuls $p_{0}$ ebenfalls Quantencharakter zeigen.

Im Experiment begegnen uns die einzelnen Quanten, indem wir sie zählen (Photonen, Elektronen, Flussquanten) oder über größere Anzahlen mitteln (integrieren). Gegebenenfalls interessiert uns auch der zeitliche Abstand, in dem wir sie registrieren (Abklingzeiten, zeitabhängige Dichten). Die Zeit taucht zum einen als ablaufende Zeit $t$ mit Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft auf, wenn eine Dynamik beobachtet wird, oder aber als Dauer einer Messung oder Periode $T={\frac {h}{E}}$, als Quotient von Wirkung und Energie. Das durch die quantisierte Ladung $e$ verursachte Schrotrauschen ist schon lange bekannt und in anderem Zusammenhang verstanden, während die masselose Quantelung des Magnetflusses $\Phi _{0}$, die in den folgenden Überlegungen häufig gleichwertig auftaucht, in unserer Vorstellung noch keinen vergleichbaren Stellenwert erhalten hat.

Die Elementarladung begegnet uns im Experiment bei Elektronen, Protonen und µ-Mesonen. In diesen Fällen ist damit stets eine Masse verbunden und wohl auch die Vorstellung eines Teilchens. Davon benötigen wir im folgenden nur die elektrischen Eigenschaften, also die Ladung, Massen treten in den Maxwellschen Gleichungen ja auch nicht auf. Eine solche Ladung ist zum Beispiel auf der Elektrodenplatte eines Kondensators dann auf viele Elektronen und Protonen räumlich verteilt, ohne selbst als lokalisiertes Teilchen existent zu sein. Auch in Photonen wird sie uns begegnen. Wenn Photonen erzeugt werden, bei der inversen Paarbildung, beim Orbitalwechsel zwischen atomaren Elektronenschalen, mit Speicherringen oder beim Stromfluss in der Rundfunkantenne, sind stets die elementaren Ladungen ausschlaggebend beteiligt und bleiben dann vernünftigerweise auch in Zukunft für die Eigenschaften des Photons prägend.

Der elektromagnetische Quader

Wir finden die elektromagnetischen Quanten in der Literatur zahlreich in Kombination mit Naturkonstanten, wie hier zum Beispiel bei den Gleichungen [12-1] bis [12-9]. Es gelingt, solche Zusammenhänge in einem „elektromagnetischen Quader“ (EMQ) darzustellen. Dabei werden vier Eckpunkte des Quaders durch die Quadrate der vier elektromagnetischen Quanten gebildet, wie es Bild 13-1 zeigt. Die Mitten der sechs Oberflächen ergeben sich als Produkte je zweier unterschiedlicher solcher Quanten. Die Verbindungslinien zwischen diesen ausgezeichneten Punkten stellen Multiplikationsfaktoren dar, die größtenteils als Naturkonstanten bekannt sind oder gegebenenfalls später noch behandelt werden. Auslöser für die folgende Beschreibung war die Erkenntnis, dass man mindestens zwei Quanten braucht, um eine Beziehung zwischen ihnen physikalisch zu realisieren und dass die Größe Energie in vielen Formeln mit dem Quadrat gequantelter Größen auftritt, $E_{C}=Q^{2}/2C,E_{L}=\Phi ^{2}/2L\dotsc$

Bild 13-1: Der elektromagnetische Quader wird aus den Multiplikationen von je zwei elektromagnetischen Quanten aufgespannt.

So muss man das Quadrat der Elementarladung mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ multiplizieren, um zum Wirkungsquantum zu gelangen

$R_{k}\cdot e^{2}=2\Phi _{0}\cdot e=h$ [13-1a]

und noch einmal damit multipliziert erreicht man das Quadrat des doppelten magnetischen Flussquants.

$h\cdot R_{k}=(2\cdot \Phi _{0})^{2}$ [13-1b]

Die Koordinaten sind in horizontaler Ebene von links nach rechts die Einheiten von Zeit und Raum (Sekunde und Meter) und von vorn nach hinten die elektrischen Einheiten (Ampere und Volt). Von oben nach unten ändern sich die Einheiten nicht, die Ebenen unterscheiden sich also jeweils um einen reinen Zahlenfaktor, das Doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante 2α. In der obersten Ebene sind nur elektrische Größen, in der untersten nur magnetische und die mittlere werden wir später der Information zuordnen. Die Multiplikationsfaktoren sind in Bild 13-2 als Verbindungslinien dargestellt. Die Feinstrukturkonstante α zeigt hier das Verhältnis der Vakuumimpedanz $Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}$, die durch den Quotienten der elektromagnetischen raumzeitlichen Beziehungen gebildet wird, zum halben Klitzing-Widerstandes $R_{k}/2=\Phi _{0}/e$ als Quotient der elementaren Quanten im elektromagnetischen Quader links und entsprechendes beim Pendant rechts.

$\alpha ={\frac {\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}{\frac {\Phi _{0}}{e}}}={\frac {\frac {\Phi _{E_{0}}}{Q_{M_{0}}}}{\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}}}$ [13-2]

Weiterhin ist sie im Verhältnis der im unteren Teil des Bildes markierten Geschwindigkeiten zu finden.

${\frac {\Phi _{E_{0}}}{2\Phi _{0}}}=2\alpha \cdot c$ [13-3]

$v_{Q}={\frac {Q_{M}}{e}}={\frac {c}{2\alpha }}$ [13-4]

und eine weitere Impedanz:

$Z_{MR}={\frac {\Phi _{E_{0}}}{Q_{M}}}={\frac {\frac {e}{\epsilon _{0}}}{\frac {2\Phi _{0}}{\mu _{0}}}}={\frac {{Z_{0}}^{2}}{R_{K}}}=2\alpha \cdot Z_{0}$ [13-5]

sowie Bild 13-2 Mitte die Kombinationen:

• die Lichtgeschwindigkeit $c^{2}={\frac {1}{\mu _{0}\cdot \epsilon _{0}}}$ [13-6]
• die Impedanz des Vakuums ${Z_{0}}^{2}={\frac {\mu _{0}}{\epsilon _{0}}}$ [13-7]
• das Doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $2\alpha ={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}\cdot h\cdot c}}$ [13-8]

also insgesamt neun Multiplikatoren.

Bild 13-2: Die Multiplikationsfaktoren im elektromagnetischen Quader.

Diese Quotienten der elektromagnetischen Quantenpaare sind:

• der Klitzing-Widerstand $R_{k}={\frac {2\Phi _{0}}{e}}$
• die Dielektrizitätskonstante $\epsilon _{0}={\frac {e}{\Phi _{E_{0}}}}$
• die Permeabilität des Vakuums $\mu _{0}={\frac {2\Phi _{0}}{Q_{M}}}$

zwei später noch zu behandelnde Geschwindigkeitsgrößen (Bild 13-2 unten).

Ein solcher Quader lässt sich mit drei Maßen für seine eigenen Abmessungen, wie es Bild 13-2 an drei Beispielen zeigt, und einem weiteren für seine Position relativ zum Universum eindeutig definieren. Dies bedeutet, dass all diese Naturkonstanten auf maximal vier Grundgrößen zurückzuführen sein müssen. Die Frage, welche dieser Größen nun die Basis einer solchen Struktur liefern, gibt den Anlass, dann Einzelheiten im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ zu lesen.

Die abzählbare Physik zeigt zahlreiche bekannte physikalische Phänomene unter einem neuen Blickwinkel und mit neuen Zusammenhängen. Ganz neu allerdings ist die Hypothese am Ende der Abhandlung, bei der die Gravitationskonstante auf die Energie räumlicher Beziehungen zurückgeführt wird, als ein mit der Verteilung der Massen im Universum vorgegebener Faktor.

Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz

Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz

Der Quotient von Spannung und Strom stellt die Impedanz dar. Die elektrische Spannung wird durch räumlich verteilte Ladungen und zeitliche Änderung des Magnetflusses bestimmt. Der elektrische Strom ist verknüpft mit bewegten Ladungen und dem ihn räumlich umgebenden Magnetfeld. Die mikroskopischen Größen, Elementarladung $e$ und magnetisches Flussquant $\Phi _{0}$, treten nur in ganzzahliger Form auf, es gibt keine halben Elektronen oder Flussquanten. Daher finden sich im Quotienten aus Spannung und Strom diese ganzen Zahlen in den Brüchen wieder, und wenn Impedanzen gemessen werden, kann dies auf ein Zählen dieser Quanten $e$ und $\Phi _{0}$ zurückgeführt werden. Dieses Zählen hat eine Genauigkeit, die durch die Natur der ganzen Zahlen auf $\Delta =\pm 1$ begrenzt ist.

Es wird gezeigt, dass daraus beim Messen die bekannten Rauschphänomene des Schrotrauschens, Weißes Rauschen und die Nyquist-Grenze folgen. Im Zusammenhang mit der Impedanz von Kondensatoren und Spulen treten Zeiteinheiten auf, die in Kombination mit den Eigenschaften des Klitzing-Widerstandes anschaulich mit dem Ladungstransport verbunden werden. Die Unschärfe beim Abzählen von Ladungen und magnetischen Flussquanten führt zu elektrischen und magnetischen „Nullpunktsfeldern“, deren Quelle die Größe der halben elementaren Quellen hat. Diese Felder treten auch im Zusammenhang mit einer elementaren Hysteresekurve des Memristors auf.

Ist die Welt digital ?

Wenn man sich fragt, ob unsere Welt eine digitale Struktur hat, denkt man normalerweise an Größen wie die Plancklänge $l_{p}=\left({\frac {h\cdot G}{c^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}=1,6\cdot 10^{-35}\,{\text{m}}$ ($G$ Gravitationskonstante, $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ Planckkonstante, $c=2,998\cdot 10^{8}\,{\text{m/s}}$ Lichtgeschwindigkeit) oder die Planckzeit $t_{p}=\left({\frac {h\cdot G}{c^{5}}}\right)^{\frac {1}{2}}=5,4\cdot 10^{-44}\,{\text{s}}$, also sehr kleine Maße, die auf Naturkonstanten zurückgeführt werden. Aber schon in atomaren Strukturen kann man eine digitale Welt sehen, wenn Messwerte durch Abzählen erhalten werden, zum Beispiel die Anzahl der Elektronen in den Schalen der Atome. Die fortschreitende Miniaturisierung der elektronischen Bauelemente führt dazu, dass auch die beteiligten Felder und ihre Quellen immer kleiner werden. Erste Transistoren, die mit der Ladung eines einzelnen Elektrons gesteuert werden, wurden kürzlich demonstriert. Unsere experimentelle Erfahrung zeigt, dass die Beobachtungen wesentlich durch Abzählen gequantelter konstanter Größen bestimmt werden, beim Magnetismus ist beispielsweise die Addition der magnetischen Momente typisch. Die Energie, deren Quantelung uns bei Schwingungen begegnet, ist keine elementar abzählbare Größe. In vielen Experimenten begegnet sie uns zwar gequantelt (beim harmonischen Oszillator, beim Potentialtopf), diese Quanten können aber je nach Frequenz $f$ beliebige Größe haben ($E=h\cdot f$). Das Energiemittel eines abgeschlossenen Systems zählt zwar zu den Erhaltungsgrößen, allerdings kann nach aktueller Vorstellung die Energie für kurze Zeit im Rahmen der Unschärferelation $dE\cdot dt\geq h$ vom Mittelwert abweichen und in einem Raum-Zeit-Element mit konstantem Lichtstrom ist die Anzahl der Photonen keine Erhaltungsgröße.

Als Naturkonstante ist das „Plancksche Wirkungsquantum“ $h=6,626\cdot 10^{34}\,{\text{VAs²}}$ Basis einer „digitalen“ Struktur, was bedeutet, das die Wirkung $H=N\cdot h$ nur in diskreten Schritten wächst, in ganzzahligen Vielfachen von $h$. Außerdem kennen wir beim Elektromagnetismus die vier Quanten, die in Tabelle 1-1 zusammengefast waren.

Im Experiment begegnen uns die einzelnen Quanten, indem wir sie zählen (Photonen, Elektronen, Flussquanten) oder über größere Zahlen mitteln (integrieren). Gegebenenfalls interessiert uns auch der zeitliche Abstand, in dem wir sie registrieren (Abklingzeiten, zeitabhängige Dichten). Die Zeit taucht zum einen als ablaufende Zeit $t$ mit Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft auf, wenn eine Dynamik beobachtet wird, oder aber als Dauer eines definierten Zustandes, einer Messung oder Periode $T={\frac {h}{E}}$, als Quotient von Wirkung und Energie.

Wir wollen uns nun mit der Frage beschäftigen, was die oben benannte Quantisierung für die Eigenschaften der elementaren elektronischen Bauelemente und deren einfachsten Kombinationen zur Folge hat.

Strom – Spannung – Impedanz

In den folgenden Überlegungen treten zeitliche und räumliche Komponenten auf. Wie in der speziellen Relativitätstheorie (Minkowskis vierdimensionale Welt $x_{1}=x$, $x_{2}=y$, $x_{3}=z$, $x_{4}=jct$) wird die zeitliche Komponente mit der Wurzel aus minus eins

$j={\sqrt {-1}}$

multipliziert, das wird dann im folgenden gebraucht, um schließlich zu bekannten Formeln zu gelangen. Es wird hier das in der Elektrotechnik übliche $j$ benutzt, um Verwechselungen mit $i$ als Zählgröße oder Index zu vermeiden. Die Größen Induktivität L und Kapazität C enthalten die Information, wie die magnetischen oder elektrischen Felder räumlich verteilt sind, die von einzelnen Strömen und Ladungen geliefert werden. Für die Spule mit dem effektiven Querschnitt $A$, der Windungszahl $N$ und der Länge $l$ gilt

$L=\mu \mu _{0}A\cdot N/l=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$ [Vs/A] [22-1]

und für den Kondensator

$C=\epsilon \epsilon _{0}A/d=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ [As/ V] [22-2]

jeweils mit einem Quotienten $\lambda _{X}$ aus Feldfläche und -länge. Dieser Quotient sei durch eine jeweilige Länge $\lambda _{L}=A/l$, $\lambda _{C}=A/d$ im Folgenden abgekürzt verwendet, außerdem sei der Einfachheit halber $\mu =1=\epsilon$ es gebe also keine Wechselwirkung mit umgebender Materie.

Der elektrische Strom fließt in gequantelter Form mit einem Anteil, der von bewegten Ladungen herrührt und einem anderen induziert vom Magnetfeld. Beide sind unabhängig voneinander, dies wird mit der Darstellung als einer komplexen Zahl symbolisiert. Dabei ist der Realteil einer räumlichen Komponente zuzuordnen und der Imaginärteil einer zeitlichen.

$I=\Phi _{M}/L+dQ/jdt=m\cdot \Phi _{0}/L+\Delta n\cdot e/(j\Delta t)$ [A] [22-3]

Auch die Spannung wird durch solche elementaren Quanten geprägt:

$U=Q/C+d\Phi _{M}/(jdt)=n\cdot e/C+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [V] [22-4]

In jedem Glied dieser Gleichungen treten die gequantelten Größen auf. Die stationären Größen Flussquant $\Phi _{0}$ und Ladung $e$ werden mit ihren Anzahlen $m$, $n$ gezählt. Änderungen dieser Anzahlen sind mit $\Delta m$, $\Delta n$ im dynamischen Fall im Zeitraum $j\Delta t$ zu beobachten. Der Strom enthält das ihn aufrecht erhaltende (im Raum statische) Magnetfeld und (dynamisch) die ihn transportierenden Ladungen. Die Spannung wird durch statische Ladungen im Raum und deren elektrischem Feld erzeugt sowie durch die Dynamik der Induktion, das sich ändernde Magnetfeld. Strom und Spannung sind dabei mit beliebigen Werten realisierbar, da jeweils variable Komponenten wie zeitlich das $j\Delta t$ (als imaginäre Anteile) und räumlich die die Geometrie der Felder charakterisierenden Größen $L$ und $C$ auftreten und beliebige analoge (Zwischen-)Werte ermöglichen.

Die räumlichen Komponenten sind die realen Anteile und lassen sich auch mit den beiden anderen elektromagnetischen Quanten darstellen

$I=m\cdot Q_{M0}/\lambda _{L}+e\cdot \Delta n/j\Delta t$ [A] [22-3]

$U=n\cdot \Phi _{E0}/\lambda _{C}+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [V] [22-4]

Eine Impedanz, die ein passives elektronisches Bauelement charakterisiert, wird allgemein durch das Verhältnis Spannung zu Strom gegeben. Aus den Gleichungen [22-4] und [22-3] kann man vier extreme Impedanzen separieren, die Quotienten der Realteile, der Imaginärteile und die entsprechend gemischten Glieder. Mit einer Matrixdarstellung der möglichen Kombinationen sind in Tabelle 2-1 die zwei Anteile der Spannung für die Spalten und die beiden Komponenten des Stroms für die Zeilen verwendet.

Tabelle 2-1: Vier ausgezeichnete Impedanzen

Z = U / I			Spannung (Im)	Ladung (Re)
		U =	Φ0 · Δm / j Δt	n · e / C
	I =	\
Strom (Im)	e · Δn / j Δt		R = Ui / Ii	C: = Ur / Ii
			Widerstand U/I	1/ Kapazität U/Q
Magnetfluss (Re)	m · Φ0 / L		L: = Ui / Ir	M = Ur / Ir
			Induktivität Φ/I	Memristor Φ/Q

Die Elemente der Matrix sind die Quotienten aus Spannung und Strom. Diese Quotienten sind, wie im folgenden gezeigt, die vier bekannten fundamentalen Bauelemente Widerstand, Kondensator, Spule und der erst vor vierzig Jahren entdeckte Memristor, der Widerstand mit „Gedächtnis“, dessen Widerstandswert von der Vorgeschichte seines Betriebs abhängt.

Im Einzelnen betrachtet, ergibt sich als Quotient der auf zeitliche Änderungen bezogenen Imaginärteile (Spannung und Strom $R=U_{i}/I_{i}$) der normale ohmsche Widerstand mit

$R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t)/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=(\Phi _{0}\cdot \Delta m)/(e\cdot \Delta n)=(\Delta m/\Delta n)\cdot (R_{k}/2)$ [V/A] [22-5]

als Quotient der Änderung der Anzahl magnetischer Flussquanten m pro im gleichen Zeitintervall geänderter Anzahl der Ladungsquanten $\Delta n$ multipliziert mit dem halben Klitzing-Widerstand $(R_{k}/2)=\Phi _{0}/e$, dem Quotienten aus zwei elementaren elektromagnetischen Quanten.

Der zweite der reellen Quotienten ist der Memristor. So, wie ihn Leon Chua ursprünglich definiert hat, lässt er sich mit den elementaren elektromagnetischen Quanten wie folgt darstellen:

$M=\Phi _{M}/Q=(m\cdot \Phi _{0})/(n\cdot e)$ [V/A] [22-6]

Die Impedanz des Memristors ist unten als Quotient der Realteile von Gleichungen [22-3] und [22-4] zu finden.

Hier sind also nicht in die Änderungen der Quantenzahlen relevant, sondern deren absolute Werte $m$ und $n$, gegebenenfalls gezählt ab einem noch zu definierenden Startzeitpunkt. Wie später noch gezeigt wird, sind dies raumbezogene Anzahlen. Dieses Verhältnis der Anzahl magnetischer Flussquanten $m\cdot \Phi _{0}$ zur Anzahl der Elementarladungen $n\cdot e$ ist der Widerstand mit Gedächtnis, mit dem man derzeit elektronische Datenspeicher entwickelt.

Die gemischten Quotienten ergeben die imaginären Impedanzen der Kapazität $C$ und der Induktivität $L$.

Für die Kapazität ergibt sich (U-Real- / I-Imaginärteil) das Verhältnis der räumlich gespeicherten Ladungen zu deren zeitlicher Änderung

$Z_{C}=(n\cdot e/C)/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=n\cdot j\Delta t/(\Delta nC)$ [22-9]

entsprechend der klassischen Formulierung

$Z_{C}=-1/(j\omega C)$ [22-9a]

mit der sich durch Vergleich ergebenden Kreisfrequenz

$\omega =-\Delta n/(n\cdot \Delta t)$ [22-10]

Man erhält also den bekannten Wechselstromwiderstand. Die Kreisfrequenz $\omega$ ist demnach ein Maß dafür, wie schnell sich die Anzahl der Elektronen $\Delta n/\Delta t$ pro Zeitintervall auf den Kondensatorplatten ändert, und das relativ in Bezug auf die Gesamtzahl $n$.

Und für die Induktivität (U-Imaginär- / I-Realteil, Anzahl der Flussquanten pro ihrer zeitlichen Änderung) gilt sinngemäß ebenfalls vertrautes.

$Z_{L}=(\Delta m\cdot \Phi _{0}/j\Delta t)/(m\cdot \Phi _{0}/L)=-j\cdot L\cdot \Delta m/(m\cdot \Delta t)=j\omega L$ [22-11]

entsprechend mit der Kreisfrequenz $\omega$:

$\omega =-\Delta m/(m\cdot \Delta t)$ [22-12]

Anstatt der Elektronen $e$ beim Kondensator treten also bei der Induktivität die Magnetflussquanten $\Phi _{0}$ bei im Prinzip gleicher Formelgestalt in Erscheinung.

Ausgehend von den Definitionsgleichungen der Kapazität und der Induktivität erhält man Formeln für deren Impedanzen, die sich wie bei den resistiven Elementen als Produkte aus dem halben Klitzing-Widerstand $(R_{k}/2)$ und Quotienten aus Anzahlen von Ladungen und Flussquanten darstellen lassen.

Kondensator:

$1/C=U/Q=\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t\cdot n\cdot e)=(\Delta m/(j\Delta t\cdot n))\cdot {R_{k}/2}$ [22-13]

Um dem elektrostatischen Potential hervorgerufen von $Q=n\cdot e$ Elementarladungen auf der Kapazität $C$ Paroli zu bieten, ist also die Spannung einer dynamische Änderung eines Magnetflusses auf induktiver Seite von $\Delta m$ magnetischen Flussquanten $\Phi _{0}$ pro Zeitintervall $j\Delta t$ erforderlich.

Spule:

$L=\Phi _{M}/I=m\cdot \Phi _{0}/(e\cdot \Delta n/j\Delta t)=(j\Delta t\cdot m/\Delta n)\cdot m{R_{k}/2}$ [22-14]

Bei der Induktivität $L$ entsprechen $m$ Flussquanten $\Phi _{0}$ dem Stromfluss von $\Delta n/j\Delta t$ Elektronen $e$.

In der analogen Welt werden Widerstände und Impedanzen als Quotient von Spannung und Strom gemessen und das Ergebnis ist eine reelle oder komplexe Zahl. Aus obigen Überlegungen ergibt sich nun eine andere Betrachtung:

In der Welt dieser Quanten bedeutet das Messen einer Impedanz das Zählen von Elektronen, Flussquanten und deren Änderung während gegebenenfalls vom Experimentator definierter Zeiträume.

Die Gleichungen [22-3] und [22-4] liefern mit $R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m)/(e\cdot \Delta n)$

$I=m\cdot \Phi _{0}/L+e\cdot \Delta n/j\Delta t=m\cdot \Phi _{0}/L+\Delta m\cdot \Phi _{0}/(R\cdot j\Delta t)$ [22-3b]

sowie

$U=n\cdot e/C+\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t=n\cdot e/C+\Delta n\cdot e\cdot R/j\Delta t$ [22-4b]

und lassen sich jeweils als Kombination von elektrischen und magnetischen Anteilen interpretieren. Andererseits zeigen sie zeitlich betrachtet eine Kombination statischer und dynamischer Komponenten. Beides wird in den späteren Kapiteln eine Rolle spielen.

Unter diesem Aspekt sind der Widerstand $R=U_{i}/I_{i}$ und der Memristor $M=U_{r}/I_{r}$ Quotienten zeitlich gleichartiger Größen, während der Kondensator mit $C:U_{r}/I_{i}$ und die Spule mit $L:U_{i}/I_{r}$ statische und dynamische Anteile untereinander verbinden. Sortiert man nach den elektromagnetischen Eigenschaften, so verbindet der Kondensator die elektrischen Größen [22-4b], die Induktivität die magnetischen [22-3b], Widerstand und Memristor sind Kombinationen beider.

Koordinatensysteme

Im klassischen Koordinatensystem mit Strom I und Spannung U, wie es zum Beispiel in der Elektrotechnik für Kennlinien benutzt wird, Bild 23-1, finden wir in der Strom-Spannungsebene {U ; I} zunächst den ohmschen Widerstand $R={\Delta }U/{\Delta }I$als eine Gerade mit einer Steigerung (s. Steigungsdreieck), die den Wert des Widerstandes angibt, und die Verlustleistung P = U·I lässt sich als Rechteckfläche darstellen.

Bild 23-1: Strom-Spannungsebene, der ohmsche Widerstand R bzw. der Leitwert 1/R sind die Steigung einer Geraden, die Verlustleistung P ist eine Fläche.

An dieser Stelle sollte man dazu bemerken, dass unsere Vorstellung vom funktionalen Zusammenhang y=f(x) zweier Größen x und y ja in der Regel ein Denken mit Ursache (x) und deren Wirkung auf (y) beinhaltet. Bild 23-1 links beantwortet also die Frage: wie ändert sich die am Widerstand R abfallende Spannung U, wenn wir den Strom I der Quelle variieren ? Durch Vertauschen der Achsen im rechten Teil des Bildes können wir auch schauen, welcher Strom I sich bei einer angelegten Spannung U ergibt und erhalten dann als Steigung den Leitwert 1/R. Wir können hier also durch Wahl der Art unseres Denkansatzes oder wie das Experiment durchgeführt wird, Ursache und Wirkung tauschen. Die vorgegebene Größe einer Impedanz (R, C, L und M) liefert uns unabhängig von durch den Experimentator bestimmten Kausalitäten Zusammenhänge zwischen den beteiligten Größen U, I, Ladung Q und Magnetfluss $\Phi _{0}$.

Mit der Zeit t als dritter Koordinatenachse, wie sie in Bild 23-2 eingeführt wird, ergibt sich zunächst der Energieumsatz $E=\int P\cdot dt$ als Quader-Volumen über der Fläche $P=U\cdot I$, der Leistung. Das Volumen der Energie $E_{R}$, das die in dem Widerstand umgesetzte Wärme zeigt, die dem System elektromagnetisch verloren geht, wächst im Laufe der Zeit kontinuierlich an. $E_{R}$ wird deswegen in diesem Koordinatensystem über einen Zeitraum $t=0\ldots T$ ausgedehnt dargestellt.

Bild 23-2: Energieumsatz als Volumen über der Leistungsfläche in einer Impedanz $R=dU/dI$ während der Zeit $t=0\ldots T$.

Strom und Spannung sind jeweils zeitliche Ableitungen der gequantelten Größen Ladung e und Magnetfluss $\Phi _{0}$. Durch entsprechende Integration lässt sich obiges Koordinatensystem in solch eines umwandeln, bei dem die abzählbaren Größen die Achsen bilden, Bild 23-3. Nach der doppelten zeitlichen Integration jeweils von Strom- und Spannungsachse ist es praktisch, die Zeitachse zweimal durch die Zeit zu dividieren und in eine Frequenzachse umzuwandeln. Dann sind die Volumen in diesem neuen Koordinatensystem ebenfalls Energien.

Bild 23-3: Darstellung der Wirkungsebene mit den Achsen Ladung $Q=n\cdot e$ und magnetischer Fluss ${\Phi _{M}}=m\cdot {\Phi _{0}}$, beide gequantelt. Mit der dritten Achse Frequenz f stellen die dargestellten Volumen Energien dar.

Die aktuelle Zeit t ist durch das mehrfache Integrieren sozusagen versteckt worden. Die „aktuelle Zeit“ t weicht daher einem Zeitraum, Sekunden addieren sich zu Minuten oder Stunden. Einzelne Zeitpunkte verschwinden unlokalisiert in einem Zeitraum T definierter Dauer. Aus dieser Projektion betrachtet beschreiben Zeitkonstanten und Periodendauern die Natur (siehe die späteren Kapitel). Wir kennen so etwas in der klassischen Physik von der Fouriertransformation beim Umrechnen vom „ablaufenden“ Zeitbereich in den Frequenzbereich, der durch Periodendauern T = 1 / f gekennzeichnet ist, und zurück. Die Ebene mit den Koordinatenachsen Ladung Q und magnetischer Fluss $\Phi _{M}$, beide gequantelt, enthält Flächen der Wirkung H = Energie x Zeit, ebenfalls gequantelt.

Ladung Q, Magnetfluss $\Phi _{M}$ und Frequenz f sind hier skalare Größen. In diesem Koordinatensystem {Q ; $\Phi _{M}$ ; f}. gibt es keine raum-zeitliche Darstellung. Es gibt weder ein räumliches hin und her oder davor und dahinter noch ein zeitliches vorher und nachher. Raum und ablaufende Zeit sind ausgeblendete Eigenschaften des hiermit dargestellten Teils der Realität.

Bei den in Bild 23-4 gezeigten Koordinatensystemen {U ; Q ; t} und {$\Phi _{M}$; I ; t} sind die ablaufende Zeit t, Strom I und Spannung U mit Richtungen in Raum oder Zeit verknüpft und nur eine Größe ($\Phi _{M}$ oder Q) ist jeweils durch eine natürliche Zahl, einen Skalar, charakterisiert; im System {U ; I ; t} waren alle Koordinaten in der Raumzeit gerichtet.

Bild 23-4: Aufladen eines Kondensators. Der Kondensator zeigt sich reziprok als Gerade 1/C, die gespeicherte Energie E als Dreiecksfläche. Die Zeitachse t spiegelt in diesem Fall die fortlaufende aktuelle Zeit t wider.

Das Volumen entspricht jetzt der Wirkung H. Die Zeitachse t spiegelt in diesem Fall die fortlaufende aktuelle Zeit t wider. Da die Ladung Q=n·e und die Wirkung H=N·h gequantelt sind, müssen auch die blauen Flächen, die einem Magnetfluss $\Phi _{M}$ entsprechen, gequantelt sein. Rechts daneben das entsprechende Koordinatensystem einer Spule.

Das „digitale“ Koordinatensystem

Das Koordinatensystem mit den Achsen $\Phi _{M}$ und Q ist durch die abzählbaren Größen Flussquanten $m\cdot \Phi _{0}$ und Elementarladungen $n\cdot e$, die uns die Energie tragenden elektromagnetischen Felder liefern, digital strukturiert. Magnetfelder sind Dipolfelder, elektrische Felder haben als Quellen Monopole. Im folgenden wird jedenfalls, wenn von einem aufgeladenen Kondensator geredet wird, gemeint sein, das die Ladungsneutralität auch im betrachteten System gilt und das für jedes zusätzliche Elektron auf einer Elektrode (zum Beispiel einer der Kondensatorplatten) der gegenüberliegenden eines verloren gegangen ist, dort fehlt es und es gibt dort dann ein „Loch“ mit entgegengesetzter Ladung.

Bild 23-5: Die Digitalisierung mit der Wirkung h ermöglicht typische Kombinationen von Flussquanten $\Phi _{0}$ und Elementarladungen e (von links nach rechts:):
I- Flussquant $\Phi _{0}$ und Cooper-Paar 2e,
II- Flussquant $\Phi _{0}$ und Elektron-Loch-Paar +e /-e,
III- Elektron e ohne Magnetfeld +$\Phi _{0}$ /-$\Phi _{0}$,
IV-Elektron e beim Stromtransport im Klitzing-Widerstand Rk mit 2$\Phi _{0}$ pro e)

Das Produkt von Ladung Q und Magnetfluss $\Phi _{M}$ bildet auf der Grundfläche des Koordinatensystems {Q ; $\Phi _{M}$ ; f}, Bild 23-3, wie in Bild 23-5 gezeigt, eine Fläche der Wirkung H, die ebenfalls als elementare Naturkonstante h quantisiert auftritt. Das kleinste Rechteck in der Ebene mit den Kanten Elementarladung e und Flussquant $\Phi _{0}$ hat allerdings nur die halbe Fläche dieser kleinsten Wirkungseinheit h. In der $H=Q\cdot {\Phi _{0}}$ Ebene findet sich das magnetische Flussquant $\Phi _{0}$ in Einklang mit der Mindestgröße h entweder mit zwei Ladungen von Elektronen, also zum Beispiel des „Cooper-Paars“ der Supraleitung (Bild 23-5, I, links), in diesem Zusammenhang wurde es ja das erste Mal experimentell nachgewiesen, oder mit einem Elektron-Loch-Paar, II, der ladungsneutralen Variante des Stromtransportes. Denkbar wäre auch ein Elektron-Positron-Paar, wie es bei der Paarbildung erscheint. Die statische Ladung des einzelnen Elektrons erfordert zwei sich kompensierende magnetische Flussquanten $\Phi _{0}$, Bild 23-5 III, oder die beim Ladungstransport auftretende Variante mit zwei Flussquanten $\Phi _{0}$ einer Richtung (Bild 23-5, IV, rechts). Dieses Bild begegnet uns bei der Impedanz des Klitzing-Widerstandes Rk. Alle gezeigten Beispiele haben noch das symmetrische Pendant, was vielleicht zum Verständnis der Hochtemperatursupraleitung beitragen würde. Nicht gezeigt sind also zum Beispiel die auf der entgegengesetzten linken Seite des Koordinatensystems noch möglichen Kombinationen zweier Löcher bzw. Positronen.

Der Widerstand und seine Messung

Der ohmsche Widerstand R ist durch die Proportionalität von Strom I und Spannung U charakterisiert, im Koordinatensystem {$\Phi _{M}$ ; Q ; f} gilt $e\cdot \Delta n/j\Delta t\sim \Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$. Außerdem wird Energie umgesetzt, nicht notwendigerweise in Wärme, auch durch Strahlung und mit Leitungen können die energietragenden Felder mit der ihnen innewohnenden Information abgeführt werden, ohne dabei in ungeordnete Bewegung unter Informationsverlust überführt zu werden. Mit einer idealen, unendlich langen Leitung bleibt die raum-zeitliche Struktur der elektromagnetischen Felder erhalten, nur ihre Position in Raum und Zeit verändert sich. Für solche Leitungen gilt die obige Proportionalität, und man kann eine Impedanz messen: $Z={\frac {U}{I}}={\frac {E}{H}}={\sqrt {\frac {\frac {dL}{dx}}{\frac {dC}{dx}}}}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}$, die sich aus dem Verhältnis Induktivität pro Länge [dL/dx] zu Kapazität pro Länge [dC/dx] ergibt (E und H sind die elektrischen und magnetischen Feldgrößen). Das Ersatzschaltbild zweier solcher Leitungen unterschiedlicher Impedanz zeigt Bild 24-1. Ersetzt man das Ende einer unendlichen Leitung (wie sie im oberen Teil des Bildes angedeutet ist) durch einen ohmschen Widerstand gleichen Wertes (wie an der unteren Leitung gezeigt), so ist dies links eingangsseitig nicht zu merken. Betrachten wir einen Widerstand R zum besseren Verständnis des folgenden zunächst als Strom und Ladung transportierendes und elektromagnetische Felder tragendes Element realisiert mit einer Leitung und ein Umsetzen von elektromagnetischer Feldenergie in Wärme erst als einen zweiten Schritt, dann sehen wir die elektromagnetischen Felder der folgenden Überlegungen anschaulich. Die beteiligten Felder weisen in diesem Bild zunächst noch eine Struktur und feste Beziehungen zueinander auf, die beim Umwandeln in Wärme dann verloren geht und der Unordnung weicht.

Bild 24-1: Ersatzschaltungen elektrischer Leitungen unterschiedlicher Impedanz $Z={\sqrt {\frac {\frac {dL}{dx}}{\frac {dC}{dx}}}}={\sqrt {\frac {L'}{C'}}}$.

Was passiert nun bei fest gewähltem Zeitintervall ${\Delta }t$, wenn der Strom I nicht kontinuierlich fließt, sondern aus einzelnen Ladungspaketen ${\Delta }n\cdot e$ besteht ? Man registriert dann Stromstöße und zählt die einzelnen Elektronen und magnetischen Flussquanten entsprechend obigen Überlegungen. Ein Widerstand ist dann durch das Verhältnis ${\Delta }m$ zu ${\Delta }n$ der Anzahlen magnetischer Flussquanten${\Delta }m\cdot {\Phi _{0}}$ (für die Spannung) zu den Ladungen ${\Delta }n\cdot e$ (für den Strom) während einer Messdauer T charakterisiert. Beim Verhältnis ${\Delta }m:{\Delta }n=1:1$ liegt der Wert des halben Klitzing-Widerstandes $R_{k}/2=\Phi _{0}/e$ vor und die Grafik Bild 24-2 zeigt ihn (schwarz, 45°) und andere Widerstände mit entsprechender Steigung. Aufgrund der gerasterten Struktur der Ebene gibt es nur rationale Vielfache des Klitzing-Widerstandes als Ergebnis.

Bild 24 -2: Verschiedene Widerstände in der Wirkungsebene und die Digitalisierungsunschärfe h an dem Beispiel ${\delta }m=3und{\delta }n=6,R_{6/3}={R_{k}/2}/2$.

Beim Messen von ${\Delta }m\Phi _{0}$ und ${\Delta }n\cdot e$ ergibt sich auch eine Grenze der Genauigkeit aufgrund der diskreten Struktur der gezählten Größen. Jede der natürlichen Zahlen ${\Delta }m$ und ${\Delta }n$ unterscheidet sich von der nächsten um eins, und daraus ergibt sich die bekannte fundamentale Unsicherheit von $\Delta =\pm 1$. Die Größe (Fläche) dieser Unsicherheit ergibt sich für jeden Punkt des Diagramms, als Beispiel gezeigt am Quadrat um den Punkt (6;3) in Bild 24-2. Die Unsicherheitsfläche hat die Größe der Planck’schen Konstanten h, [12-1]. Dies ist wieder ein Beispiel dafür, dass die Heisenbergsche Unschärferelation eigentlich eine Digitalisierungsungenauigkeit bedeutet und des weiteren, dass die Plancksche Konstante die Informationseinheit 1 Bit darstellt.

Daraus folgt nun, dass ein Widerstand nur so genau bestimmt werden kann, wie es die Anzahl der bei der Messung gezählten Quanten zuläßt. Wie viele Quanten erforderlich sind, entnehmen wir dem Bild 24-3. Mit 1 bis 3 Quanten können wir überhaupt keine Aussage treffen, außer dass gegebenenfalls ein Widerstand vorhanden ist. Die möglichen Kombinationen sind in Tabelle 2-2 aufgelistet. Unter der Annahme der maximalen Unsicherheit von $\Delta =\pm 1$ für beide gezählten Größen ergibt sich für den Quotienten $m/n$ der komplette Bereich von 0 bis unendlich, mit drei Quanten sind vielleicht zwei unterscheidbare Klassen angedeutet.

Bild 24 -3: Die Genauigkeit der Widerstandsbestimmung ist abhängig von der Anzahl $L={\Delta }m+{\Delta }n$ der gemessenen Quanten. Unterscheidbar sind K = L -1 Klassen von Widerstandsgrößen.

Tabelle 2-2: Kombinationen von 1 bis 3 gemessenen Quanten $\Delta m,\Delta n$ , die dazugehörigen Unsicherheitsbereiche $(\Delta m\pm 1,\Delta n\pm 1$) und die Möglichkeiten ihrer Quotienten $\Delta m/\Delta n$ , wenn die Digitalisierungsunschärfe $\Delta =\pm 1$ berücksichtigt wird

Quantenanzahl L = Δm + Δn	Anzahl der Flussquanten Δm · Φ0	Unsicherheitsbereich Δm+-1	Anzahl der Ladungen Δn · e	Unsicherheitsbereich Δn+-1	Quotientenbereich Δm / Δn bei D = + -1 R = (Δm/Δn) · {Rk/2}
1	1	0 - 2	0	-1 - 1	$0-\infty$
	0	-1 - 1	1	0 - 2	$0-\infty$
2	0	-1 - 1	2	1 - 3	0 - 1
	1	0 - 2	1	0 - 2	$0-\infty$
	2	1 - 3	0	-1 - 1	$1-\infty$
3	0	-1 - 1	3	2 - 4	0 - 1/2
	1	0 - 2	2	1 - 3	0 - 2
	2	1 - 3	1	0 - 2	$1/2-\infty$
	3	2 - 4	0	-1 - 1	$2-\infty$

Mit vier Quanten entsprechend Tabelle 2-3 kann man mit dem aufrecht stehenden Fehlerquadrat bereits drei Widerstandsbereiche unterscheiden. Mit sechs Quanten sind es dann fünf Bereiche, mit acht Quanten sieben und so weiter… Für die Anzahl $K$ der unterscheidbaren Widerstandsklassen gilt bei einer Anzahl $L=\Delta m+\Delta n$ von gezählten elektromagnetischen Quanten,

$K=L-1$. [24-1]

Andererseits ist die Zahl $M$ der möglichen Kombinationen im Bereich von $m$ Flussquanten und $n$ Elektronen

$M=m\cdot n$ [24-2]

Tabelle 2-3: Kombinationen von vier gemessenen Quanten $\Delta m,\Delta n$ , die dazugehörigen Unsicherheitsbereiche $(\Delta {m\pm 1},\Delta {n\pm 1})$. Die Möglichkeiten ihrer Quotienten $\Delta m/\Delta n$, wenn die Digitalisierungsunschärfe $\Delta =\pm 1$ berücksichtigt wird, ergeben drei unterscheidbare Klassen K (gelb, grün und blau) mit Überschneidung.

Quantenanzahl L = Δm + Δn	Anzahl der Flussquanten Δm · Φ0	Unsicherheitsbereich Δm+-1	Anzahl der Ladungen Δn · e	Unsicherheitsbereich Δn+-1	Quotientenbereich Δm / Δn bei D = + -1 R= (Δm/Δn) · {Rk/2}
4	4	3 - 5	0	-1 - 1	$4-\infty$
	3	2 - 4	1	0 - 2	$3/2-\infty$
	2	1 - 3	2	1 - 3	1/2 - 2
	1	0 - 2	3	2 - 4	0 - 2/3
	0	-1 - 1	4	3 - 5	0 - 1/4

Entsprechend ergibt sich für jede Steigung in dem m, n Diagramm eine Umgebung der Ungenauigkeit, Bild 24-3 rechts zeigt dies. Gemessen werden immer rationale Vielfache des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$ mit definierter Ungenauigkeit. Jede Widerstandsgerade ist daher von einem „Schlauch“ des undefinierten Bereiches mit der von $\Delta =\pm 1$ vorgegebenen Breite umgeben. Jedenfalls könnte man schon jetzt mit einigem Rechenaufwand das für den Stromfluss mit gequantelten Ladungen typische Schrotrauschen (das Prasseln der an einem Detektor ankommenden Elektronen) ableiten, dies gelingt jedoch auf anderem Wege sehr viel einfacher, wie im Folgenden gezeigt werden wird.

Wegen der Größe des Unsicherheitsbereiches h ergibt sich aus dem Bild 24-3, dass mit diesen Quadraten alle möglichen Kombinationen abgedeckt werden und die Anzahl der Wirkungsquanten $N\cdot h$ damit identisch mit der Menge der Information ist. Die Größe Widerstand, die Steigung der Geraden, ist ein Teil dieser Information, der Abstand zum Ursprung ein anderer. Wie im Kapitel „Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film“ zur Messung gezeigt wird, enthält die Menge der Quanten weitere Information, dies tritt im Signal zu Rausch-Verhältnis, das gleich behandelt wird, zu Tage. Die Fläche der Kombinationsmöglichkeiten könnte auch mit Quadraten abgedeckt werden, bei denen die Anzahl L ungerade ist. Die Physik kennt den Unterschied von Bosonen und Fermionen. Das Abtasttheorem erfordert für das Erkennen von Strukturen mindestens zwei Abtastwerte, durch die ein Unterscheiden möglich wird. An dieser Stelle sei es daher bei geraden Werten für L belassen.

Der Energieaufwand beim Messen und das dabei auftretende Rauschen

Das Messen des Wertes eines Widerstandes liefert Information über seine Größe. Diese Information ist hier in der Kombination der beiden Anzahlen für magnetische Flussquanten und Elementarladungen mit der Beziehung eines Quotienten enthalten. Eine weitere mögliche Beziehung zwischen diesen Anzahlen wäre ihr Produkt. Das Produkt aus Spannung und Strom ist die Leistung. Spannung und Strom sind aber die zeitlichen Ableitungen dieser Anzahlen und das Produkt liefert daher die Leistung zweimal multipliziert mit der Dauer der Messung, $P\cdot \Delta t\cdot \Delta t=E\cdot \Delta t=H$, also eine Wirkung.

Strom I und Spannung U bestimmen zunächst die Leistung $P=U\cdot I$, die im Widerstand $R=U/I$ umgesetzt wird, multipliziert mit der Zeit t ergibt dies die Energie $E=\int Pdt$ . Wir werden jetzt den Energieaufwand $E$ berechnen, der nötig ist, um den Widerstandswert $R$ mit einer gewünschten vorgegebenen Genauigkeit zu bestimmen (Die Messdauer sei $T$; $\Delta m,\Delta n$ sind die Anzahlen der während dieser Zeit gezählten magnetischen und elektrischen Quanten). Die erreichbare Genauigkeit hängt von der Anzahl der gezählten Quanten $\Delta m$ und $\Delta n$ ab und damit von der durch ihre Anzahl aufgespannten Fläche, dem Maß für die Informationsmenge. Diese entspricht einer Anzahl $N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ von Wirkungsquanten h = 2 e $\Phi _{0}$ [12-1]. Die aufzuwendende Energie $E=N\cdot h/T$ ist das in Bild 24-4 aus der Grundfläche $\Delta m\cdot \Delta n$ und der Höhe $f=1/T$, der Bandbreite, aufgespannte Volumen. Diese Energie entspricht der Datenrate [Bit/s]:

$E=U\cdot I\cdot T=(\Delta m\cdot \Phi _{0}/T)\cdot (\Delta n\cdot e/T)\cdot T=\Delta m\cdot \Delta n\cdot \Phi _{0}\cdot e/T=N\cdot h/T$ [24-3]

Der Energieaufwand beim Messen wächst also sowohl mit zunehmender Informationsmenge und damit gewünschter Genauigkeit bei gleicher Messdauer (das entspricht der Größe der Grundfläche dieses Volumens) als auch bei kürzerer Messdauer (der Bandbreite f = 1/T). Es besteht die durch das Zählen bedingte Unbestimmtheit der Messung, die mit dem diagonalen Quadrat an der Spitze jeder Grundfläche im Beispiel von Bild 24-4 angedeutet ist.

Bild 24-4: Energieaufwand zum Messen, $E=\Delta m\cdot \Delta n/T$ entspricht dem Volumen, die Maßquadrate der Grundfläche haben die Größe $h/2$.

Die Anzahl der Wirkungsquanten der Grundflächen $N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ ist das halbe Produkt zweier Anzahlen von Quanten, $\Delta m$ und $\Delta n$, denn es gilt, wenn man die Quadrate der Ebene mit der Größe $h/2$ abzählt

$\Delta m\cdot \Delta n\cdot (h/2)\cdot 1/T=N\cdot h/T=E,N=\Delta m\cdot \Delta n/2$ [24-4]

An dieser Stelle fällt auf, da die Zahl $N$ der Wirkungsquanten $h$ eine ganze Zahl ist, folglich einer der Faktoren $\Delta m$ oder $\Delta n$ gerade sein muss (siehe auch Bild 23-4 und die Bemerkung zu Bild 24-3).

Die Anzahl $\Delta n$ der zählbaren Ladungen e wächst mit der Stromstärke $e\cdot (\Delta n/\Delta t)$ und der Messdauer T. Bei gleicher Anzahl und kurzer Messdauer T wachsen die Verluste mit dem Quadrat der Stromstärke $I=\Delta n\cdot e/T$, während diese in die gesuchte Messgröße Widerstand (dem Signal S) nur linear eingeht.

Nun kann man auch über das Signal S und Rauschen R Aussagen machen. Die Energie $E_{s}$ des Signals S wächst mit der Grundfläche $S=\Delta m\cdot \Delta n\cdot h/2$ und mit 1/T, der Kürze der Messdauer.

$E_{s}=S/T=\Delta m\cdot \Delta n\cdot (h/2)/T=N\cdot h/T$ [24-5]

Bild 24-5: Nutzsignal S und Rauschen R - Schrotrauschen am Beispiel $\Delta m=5,\Delta n=10$. Der Umfang (das Rauschen) wächst mit der Wurzel aus der Fläche (dem Signal).

Die Energie $E_{r}=R/T$ des Rauschens $R$ wächst mit dem Umfang des Schlauches $d=+(\Delta m+\Delta n)/2$, Bild 24-5 zeigt den violetten Schlauch (Rauschen) der Unsicherheit auf Grund der Digitalisierung für das blau umrahmte Volumen (das Signal, die Menge der Information), die Unsicherheitsfläche h (violett) ist an der vorderen Ecke des blauen Quaders zu erkennen.

$R=(m+n)\cdot h/2$ [24-6]

Beim Schrotrauschen gilt

$\Delta N=R/h\sim {\sqrt {N}}={\sqrt {S/h}}$ [24-7],

was hier unmittelbar aus Bild 24-5 ersichtlich ist. Die Energie des Signals wächst linear mit der Bandbreite f = 1/T, das Rauschen also ebenso, beide hängen nur von der Zahl der Quanten in der Wirkungsebene $H=Q\cdot \Phi$ ab, das Rauschen linear und das Signal quadratisch.

Zum Messen eines Widerstandswertes muss man Energie einsetzen. Man kann zum Beispiel den Strom $I=e\cdot \Delta n/\Delta t$ für die Dauer $\Delta t=T=1{\text{ s}}$ einer Sekunde messen, während eine Spannung $U=\Phi _{0}\cdot \Delta m/\Delta t$ von U = 1 V an den Widerstand gelegt wird. Die Energie dabei ist $E=U\cdot I\cdot T$. Zeitpunkte einer aktuellen Zeit t der einzelnen Quanten im Intervall T (einer Zeitdauer) gehen nicht in die Messung ein.

Bei gleicher Energie für die Messung, aber unterschiedlicher Messdauer $T_{1}$ oder $T_{2}$ beobachtet man folgendes: Bild 24-6 vergleicht als Beispiel den flachen Quader rechts mit $T_{1}$, m = 4, n = 8 gegenüber dem links mit $T_{2}$, m = 2, n = 4. Bei gleicher Energie (gleichem Volumen) des Signals gilt wegen der um den Faktor vier unterschiedlichen Grundfläche:

$T_{1}=4\cdot T_{2}$ [24-8]

also auch ein entsprechendes Verhältnis der Bandbreiten f1, f2.

$f_{1}=f_{2}/4$ [24-9]

das Verhältnis der Energien (Volumen des Kantenschlauchs) des Rauschens $R_{1}$, $R_{2}$ ist dagegen

$R_{1}=R_{2}/2$ [24-10]

Bild 24-6: Weißes Rauschen: Unterschiedliche Integrationszeit bei gleicher Energie des Signals, Beispiel m / n = 4 / 2 gegenüber m / n = 8 / 4.

Angewandt auf das obige 1V-1s-Beispiel bedeutet das: Bei einer Spannung von U = 1 Kilovolt flösse ein eintausendfacher Strom und die gleiche Energie wäre mit der Messdauer T = 1 µs eingesetzt. Die erreichbare Auflösung beim Messen des Widerstandswertes wäre geringer, da nur 1/1000 der jeweiligen Quanten e und $\Phi _{0}$ zum Zählen zur Verfügung stehen. Das Signal- zu Rauschverhältnis wäre um den Faktor ${\sqrt {10^{3}}}$ kleiner. Um das gleiche Signal- zu Rauschverhältnis wie bei der 1V-1s-Messung zu erreichen, müsste man T = 1 ms messen. Dann wäre die Anzahl der Elektronen, magnetischen Flussquanten und Wirkungsquanten e, $\Phi _{0}$, h die gleiche. Der Energieaufwand wäre allerdings um den Faktor $10^{3}$ größer als bei den ersten beiden Beispielen. Es sei schon hier auf einen im Kapitel zur Messung dann behandelten Zusammenhang hingewiesen: Verbunden mit der geringeren Auflösung der Widerstandsmessung ist eine größere Präzision der Zeitspanne, in der die Messung erfolgt, im Beispiel T = 1 µs anstatt T = 1 s bei gleicher Energie der Messung beziehungsweise T = 1 ms bei gleicher Auflösung und $10^{3}$-facher Energie (Datenrate).

Bei gleicher Energie (wie das zum Beispiel zeitunabhängig bei thermischem Rauschen mit $E_{th}=k_{B}T$der Fall ist) nimmt das Rauschen mit der Messdauer das heißt mit kleinerer Bandbreite ab. Durch die Mittelung über die Zeit $T$ ändert sich das Rauschen $R$ mit ${\sqrt {f}}$, es handelt sich um weißes Rauschen.

$R\sim {\sqrt {f}}$ [24-11]

Weißes Rauschen , , oder auch Johnson-Rauschen genannt, ist dadurch charakterisiert, dass die darin enthaltene Leistung nur von der Bandbreite des Systems, nicht aber von der Frequenz abhängt. Also keine gleiche Leistung pro Oktave (wie im vertrauten logarithmischen Bild), sondern gleiche Leistung bei absolut gleichem linearem Frequenzintervall. Ohne eine Frequenzbegrenzung würde dies zur „Ultraviolettkatastrophe“ führen: das heißt einer unendlichen Leistung des Rauschens. Nyquist fand quantentheoretisch die Grenzfrequenz $f_{q}$ als den Grund dafür, dass dieses Problem nicht existiert. Wenn thermisch die Energie (Boltzmann-Konstante $k_{B}$)

$E_{t}h=k_{B}T$ [24-12]

zur Verfügung steht, folgt in unserem Koordinatensystem für den Quader mit der kleinsten möglichen Grundfläche h und einer durch die Energie bestimmten Höhe $f_{q}$ sofort die quantentheoretische Grenzfrequenz

$f_{q}=E_{th}/h=k_{B}T/h$ [24-13]

der Nyquist-Formel, Bild 24-7.

$U^{2}=k_{B}\cdot T\cdot R\cdot \Delta f\cdot (f/f_{q})/(e^{f/f_{q}}-1)$ [24-14]

Bild 24-7: Grenzfrequenz nach Nyquist.

Auch das für tiefe Frequenzen relevante 1/f-Rauschen kann in dieser Gedankenwelt leicht abgeleitet werden, allerdings erst im nächsten Kapitel.

Zu bemerken ist noch einmal, dass hier während der Messdauer T keine zeitliche Struktur mit einer ablaufenden Zeit t gemessen wird, das Messintervall ist allein charakterisiert durch eine zeitliche Länge T, seine Dauer. Bei den diskutierten Messungen werden die Quanten während des Messintervalls gezählt, ohne eine Angabe des Zeitpunktes dafür zu registrieren.

Für die Menge der Information gilt:

$N\cdot h=E\cdot T$. [24-15]

Der Kondensator

Die Folgen der Quantelung der Ladung

Die Quantelung der Ladung liefert einen Effekt, dessen Prinzip uns ähnlich schon im Abschnitt „Information“ begegnet ist. Die Ladung Q auf den Platten eines Kondensators C führt zu einem elektrischen Feld E und dem elektrischen Fluss $\Phi _{E}$:

$Q=C\cdot U=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A\cdot U/d=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A\cdot E=\epsilon \epsilon _{0}\cdot {\Phi }_{E}$ [25-1]

Wegen der Quantelung der Ladung $Q=n\cdot e$ ergibt die graphische Darstellung in Bild 25-1, so wie es analog für die Wirkung $H=N\cdot h$ Bild 1-7 zeigte, dass die Anzahlen der Ladungseinheiten e zu Stufen bei jeder ganzen Zahl führen. Die Steigung dieser Stufen ist proportional zu der Fläche A, auf der die Quelle des Feldes E verteilt ist, wie sich aus Gleichung [25-1] ergibt. Verbindet man die Mitten der Stufen durch eine Gerade als Näherung durch eine einfache analoge Funktion, so wird der Anzahl von Null Ladungen ein Wert des elektrischen Feldes ungleich Null zugeordnet. Anstatt der Nullpunktsenergie im Abschnitt „Information“ ergibt sich hier ein mit dem Begriff Vakuumenergie beschriebener Effekt – eine Grundladung mit Größe der halben Elementarladung e liefert hier ein entsprechendes elektrische Feld. Die Stärke des daraus folgenden, als Mittelung über Fluktuationen auftretenden elektrischen Feldes $E_{0}$ hängt von der Steigung der Funktion ab, das heißt vom Material und der Größe der Fläche A, die von Feldlinien durchströmt wird. Je größer diese Fläche A ist, desto kleiner ist diese Feldstärke $E_{0}$, desto besser mitteln sich die „Schwankungen“, die räumliche Unsicherheit der Verteilung von Ladungen, als Quelle eines elektrischen Vakuumfeldes, heraus.

Bild 25-1: Die Quantelung der Ladung Q führt zu einer digitalen Stufung und damit definierter Unsicherheit in der Größe der Ladung und des verbundenen elektrischen Feldes E . Als Folge dieser Unsicherheit existiert auch ohne extra aufgebrachte Ladungen ein minimales mittleres Feld $E_{0}$. Die Steigung tan$\phi$ ist durch die vom Feld E durchströmte Fläche A und dem darin befindlichen Material charakterisiert.

Anders als bei der stets positiven Energie im Abschnitt „Der elektromagnetische Quader“, könnte man bei polaren Grundgrößen (+e oder –e) vielleicht den Mittelwert 0 für die Unbestimmtheit zwischen den ersten Stufen der Leiter und entsprechend das Fehlen eines Grundfeldes erwarten. Dem entgegen steht, dass dann auch das Quadrat dieser Größe, und die damit verbundene Energie fehlte und Überlegungen, die im Kapitel zur Bedeutung von „Information“ folgen werden. Diesen Effekt eines „Grundfeldes“ ohne definierte Richtung (oder in Analogie „Nullpunktfeld“ zu nennen, ein Vakuumfeld) muss im folgenden beim Kondensator, dem Memristor (Abschnitte „Die Spule“ und „Der Memristor“) und entsprechend mit einem „Grundmagnetfeld“ bei der Spule berücksichtigt werden.

Die Abzählbarkeit der elektrischen Ladungen und der dazugehörigen Flussquanten lässt sich in Bild 25-12 darstellen. Aus Sicht der Information gehört zu den Punkten der identischen Anzahlen ein Unsicherheitsbereich, diesen stellen die grünen Quadrate dar. Die Fläche dieser Quadrate entspricht dem Produkt aus Ladung und Flussquant

$e\cdot \Phi _{E0}=e\cdot e/\epsilon _{0}=h\cdot v_{\Phi }$ [VAms] [25-1a]

Dieses Produkt ist gleich der Planckschen Konstante multipliziert mit der im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?“ erwähnten Geschwindigkeit $v_{\Phi }$ mit der Einheit [VAms]. Die magnetische Analogie liefert als Produkt die Plancksche Konstante multipliziert mit der Geschwindigkeit $v_{Q}$, siehe dann Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“.

Bild 25-12: Die Anzahl von Ladungen und Flussquanten ist identisch, es gibt Bereiche der Unsicherheit mit der Fläche $h\cdot v_{\Phi }$ (grün) und der Hälfte davon (blau).

Die Ladung auf dem Kondensator

Betrachten wir nun einen Kondensator. Dabei wird uns zunächst der aufgeladene statische Zustand interessieren und dann aber auch die Dynamik des Aufladens. Im statischen Fall beobachten wir die Quantelung der Ladung und des elektrischen Flusses, im dynamischen kommt die Quantelung des magnetischen Flusses dazu, die mit dem Lade- und Entladestrom verbunden ist.

Auf einer Kondensatorelektrode können einzelne Elektronen aufgebracht werden, auf der Gegenseite fehlen sie dann natürlich, wenn die Ladungsneutralität für das gesamte System gilt. Die gespeicherte Energie nimmt mit der Anzahl der getrennten Elementarladungen zu, und zwar mit dem Quadrat der Elektronenanzahl.

Für die Energie des Kondensators, der mit n Elektronen geladen ist, gilt, wenn man die Grundladung e / 2 berücksichtigt,

$E_{Cn}=Q^{2}/(2C)=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/(2C)$, [25-2]

Diese Energie ist auf das Kollektiv der Elektronen verteilt. Das einzelne Elektron liefert das Feld für den Bruchteil 1/n . Die Größe dieses Anteils hängt von der Gesamtzahl n ab, ist also vom Ladezustand und der Kapazität C abhängig. Stellt man sich die Fläche A=a² der Elektrodenplatten des Kondensators auf die einzelnen Elektronen aufgeteilt vor, wie in Bild 25-2 gezeigt, dann sieht man, dass für das einzelne Elektron um so weniger Platz ist, mit je mehr Elektronen es sich die Fläche teilen muss. Entsprechend sinkt sein Anteil an der Kapazität $C_{n}$ = C / n, was gleichbedeutend mit entsprechend höherer Energie $E_{n}$ des anteiligen Feldes ist:

$E_{n}=n\cdot e^{2}/(2C)$ [25-3]

Bild 25-2: Verteilte Ladungen auf den Elektroden des Kondensators und deren Flächenanteile.

Die Energiezustände für die verschieden großen Anzahlen von Ladungsträgern entsprechen dem Energieschema des Teilchens im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. Die geometrische Analogie ist offensichtlich, die Ladungen sind auf den Elektrodenflächen des Kondensators eingesperrt.

Typische Zeitspannen

Aus den vorherigen Gedanken folgend ist es für unsere Vorstellung einleuchtend, dass es gegebenenfalls räumliche Bezüge und Koordinaten für die Ladungen gibt. Für die anschließenden Gedanken wird es sich als praktisch erweisen, diesen Ladungen auch eine zeitliche Dauer zuzuordnen. So ergibt sich in der Kombination mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ die für Auf- und Entladen typische Zeitkonstante

$\tau _{C}=R_{k}\cdot C$ [25-4]

Beim Füllen mit n Elektronen gilt für das letzte hinzugekommene Elektron der Energieanteil

$\Delta E_{Cn}=E_{Cn}-E_{Cn-1}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/2C-\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}e^{2}/2C=n\cdot e^{2}/C$ [25-5]

Die charakteristische Zeitdauer $T_{C_{n}}$ für ein Elektron aus dem Kollektiv von n Elektronen (die Lebensdauer beim Entladen über den Klitzing-Widerstand, die Zeit ungestörter Bewegung auf der Elektrode, die Zeitdauer bis zu einer Änderung) verbunden mit der Energiedifferenz $\Delta E_{C_{n}}$ ist dann wegen des Bezuges zwischen dem Wirkungsquant h, Energie E und Zeit T

$T_{Cn}=h/{\Delta }E_{Cn}=\tau _{C}/n$ [25-6]

Aus den anteiligen Kondensatorflächen $A/n=A_{n}=r_{C_{n}}^{2}$ der Elektronen folgen freie Weglängen $r_{C_{n}}$ zwischen den Stößen mit anderen Elektronen und mit der Zeit $T{C_{n}}$ als Stoßzeit folgt eine mittlere Elektronengeschwindigkeit

$v_{C_{n}}=r_{C_{n}}/T_{C_{n}}$ [25-7]

Die Abhängigkeit dieser Geschwindigkeit von dem Ladungszustand ergibt sich

$v_{C_{n}}={\sqrt {A/n}}/(\tau _{C}/n)={\sqrt {n}}\cdot a/\tau _{C}$ [25-8]

sie wächst also mit der Wurzel aus der Anzahl n der Elektronen. Eine dieser Geschwindigkeit entsprechende kinetische Energie würde mit der Geschwindigkeit zum Quadrat, also ebenfalls der Anzahl n der Elektronen proportional wie das folgende Potential [25-9] wachsen. Mit dieser Geschwindigkeitsvorstellung kann man das Elektronenkollektiv auf der Kondensatorplatte als Elektronengas verstehen . Da die Energie $E=Q^{2}/2C$ im elektrischen Feld des Kondensators mit dem Quadrat der Elektronenzahl n² steigt, werden die einzelnen Stufen [25-2] beim Füllen energetisch immer größer. Die Spannung Un am Kondensator wächst beim Laden linear mit der Menge n der Ladungen e, natürlich ebenfalls gestuft.

$U_{n}=n\cdot e/C={\sqrt {2n\cdot E_{n}/C}}$ [25-9]

Bei Zimmertemperatur (T = 300 K) und C = 1 pF reicht für $dE_{n}=n\cdot e^{2}/C>k_{B}\cdot T$ eine Anzahl von etwa n = 2000 Elektronen schon aus, um mit einer Spannung von größenordnungsmäßig U = 0,3 mV aus dem thermischen Rauschen deutlich herauszuragen. Die Kapazitäten in heutigen integrierten Schaltungen sind wegen der kleinen Strukturen deutlich geringer, so dass es möglich ist, Signale mit wenigen Ladungseinheiten trotz des thermischen Untergrundes zu erkennen. Die damit verbundenen Stufen begrenzen allerdings die Signaldynamik und als Folge können wir uns die Natur nicht mehr stetig mit beliebig genau-großem Informationsgehalt vorstellen.

Die für den Kondensator typische Zeitkonstante $\tau _{C}$ zeigt im Zusammenhang mit der durch ein Ladungspaar vorhandenen Energie $E_{C_{1}}$ noch die Eigenschaft

$E_{C_{1}}\cdot \tau _{C}=(e\cdot e/2C)\cdot R_{k}\cdot C=h$ [25-10]

als Produkt aus Energie und Zeit das Wirkungsquantum zu ergeben.

Die Elektronen als Welle auf den Elektroden

Die Idee, eine Vielzahl von Elektronen über die Elektrodenfläche zu verteilen, kann man auch unter dem Gesichtspunkt betrachten, dass die Elektronen eine Wellennatur zeigen. Diese Wellen sind durch die Ränder der Elektrodenplatten begrenzt, dort sind Knoten der Schwingungen. Die Elektronen bilden also stehende Wellen, deren Wellenlänge im Zusammenhang mit der Kantenlänge steht, Bild 25-3 zeigt ein Beispiel. Ein einzelnes Elektron hat dann im niedrigsten Energiezustand nur eine halbe Schwingungsperiode pro Flächendurchmesser. Viele Elektronen verteilen sich auf der anteiligen Flächen der Elektrode oder es bilden sich entsprechend viele Knoten und Bäuche auf der gesamten Fläche, was wir als Oberwellen bei verschiedensten Schwingungstypen kennen. Aus der Energie En jedes einzelnen Elektrons ergibt sich mit n Elektronen eine zugehörige Frequenz $f_{n}$ mit $E_{n}=h\cdot f_{n}$

$f_{n}=E_{n}/h=n\cdot e\cdot e/(2C\cdot h)=n\cdot e/(4\cdot C\cdot \Phi _{0})=n/2\tau _{C}$ [25-11]

Bild 25-3: Elektronen auf den Elektroden als stehende Wellen.

Ein Elektron beansprucht als Welle (als Teil des Kollektivs aller Elektronen) die Elektrodenfläche A = a² / n mit der Kantenlänge $a={\sqrt {(A/n)]}}$ und hat entsprechend die Wellenlänge $\lambda =2a/{\sqrt {n}}$ . Wegen der Relation zwischen Wellengeschwindigkeit $v_{C_{E_{n}}}$ , Wellenlänge $\lambda$ und Frequenz $f_{n}=E_{n}/h$ ergibt sich mit [25-10]:

$v_{C_{E_{n}}}=\lambda _{n}\cdot f_{n}=(2a/{\sqrt {n}})\cdot n/2\tau _{C}={\sqrt {n}}\cdot a/\tau _{C}$ [25-12]

Dies ist die Geschwindigkeit von Elektronen, wie sie sich oben schon aus der Stoßzeit $T_{C_{n}}$ ergab, [25-8].

Das Entladen eines RC-Gliedes

Wenn man einen Kondensator C über einen Widerstand R entlädt, erfolgt dies klassisch nach einem Exponentialgesetz. Für die auf dem Kondensator befindliche Ladung gilt

$Q=Q_{0}\cdot e^{-t/RC}$ [26-1]

und für die Energie entsprechend

$E=E_{0}\cdot e^{-2t/RC}$ [26-2]

mit einer Zeitkonstante $\tau =R\cdot C$, dem Produkt aus Widerstand und Kapazität, während deren Dauer die Ladung auf $1/e$ und die Energie auf $1/e^{2}$ reduziert sind. Das Produkt dieser Zeitkonstante mit der Energie ergibt eine Wirkung,

$\tau \cdot E=R\cdot C\cdot Q^{2}/2C=R\cdot n^{2}e^{2}/2=H$ [26-3]

die unabhängig von der Größe der Kapazität C ist. Diese Wirkung H ist also unabhängig von der durch die Kapazität konkret beschriebenen räumlichen Verteilung der Ladungen, diese ist allerdings noch in der Größe der Energie enthalten. Beim Entladen des n-ten Elektrons wird die Energiedifferenz

$\Delta E_{C_{n}}=E_{n}-E_{n-1}=\left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right)\cdot e^{2}/2C=ne^{2}/C$ [26-4]

abgegeben. Damit verbunden ist dann die Wirkung

$H=R\cdot n\cdot e^{2}$ [26-5]

für deren Größe sich mit dem Klitzing-Widerstand $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ beim letzten Elektron (n = 1)

$R_{k}\cdot e^{2}=e^{2}\cdot 2\phi _{0}/e=h$ [26-6]

das Plancksche Wirkungsquantum ergibt. Die Zeitkonstante der Entladung $\tau$ entspricht dann der oben definierten charakteristischen Zeitdauer des Kondensators $\tau _{C}=R_{k}\cdot C$, [25-4]. Für den mit n Elektronen gefülltem Kondensator ergab sich eine typische Lebensdauer dieses Zustandes zu $\tau =T_{C_{n}}=\tau _{C}/n$, [25-6] , was für die Wirkung der jeweiligen Entladung über den Klitzing-Widerstand dann bedeutet, dass diese in allen Fällen ebenfalls gleich dem Planckschen Wirkungsquantum ist.

$\tau \cdot {\Delta }E_{C_{n}}=(\tau _{C}/n)\cdot ne^{2}/C=R_{k}\cdot e^{2}=h$ [26-7]

Eine solche Entladung ist im Bild 26-1 gezeigt. Weitere Einzelheiten zum Thema Entladung sind im Internet abgelegt .

Bild 26-1: Entladungszeiträume für die einzelnen Elektronen auf einem mit sechs Elektronen gefülltem Kondensator. Das Umladen findet innerhalb der schraffierten Flächen statt. Die Zahlen geben die Anzahl der Elektronen auf den Elektroden an. Die Flächen sind beim Entladen über den Klitzing-Widerstand elementare Wirkungsquanten h.

Andere Zeitkonstanten mit anderen Widerständen als $R_{k}$ kann man durch Kombination von Klitzing-Widerständen $R_{k}$ in Reihe oder parallel geschaltet erhalten. In Reihe geschaltet ergeben sich keine gedanklichen Probleme, ein Elektron passiert alle Widerstände, den Fall von vier Klitzing-Widerständen mit $R=4R_{k}$ zeigt Bild 26-2.

Bild 26-2: Vergleich der Entladung über den Klitzing-Widerstand $R_{k}$ mit der über einen viermal so großen.

Die Behinderung durch die Flussquanten nimmt in diesem Beispiel $R=4R_{k}$ um den Faktor vier zu, entsprechend verzögert sich das Entladen eines Elektrons um den Zeitfaktor vier. Die beim Entladen verloren gehende Energie ist unabhängig von der Größe des Widerstandes. Entsprechend sind die beiden die Energie repräsentierenden Volumen für den Fall des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$ (mit der Höhe $f_{R_{k}}=1/2\tau _{C}$) und den vierfachen Wert $R=4R_{k}$ davon (mit der Höhe $f_{4R_{k}}=1/8\tau _{C}$) über den durch den Widerstand gegebenen Grundflächen ($h$ oder $4h$) gleich. Die Grundfläche ist dabei für den vierfachen Entladewiderstand aber um den Faktor vier vergrößert. Dies entspricht einer vierfachen Menge an Informationseinheiten, allerdings gekoppelt mit jeweils viermal größerer zeitlicher Ungenauigkeit. In diesem Fall kann eindeutig mit „ ja“ oder „nein“ beantwortet werden, dass das Elektron durch einen der in Reihe geschalteten Klitzing - Widerstände geflossen ist. Ein Teil dieser Information steckt in der Genauigkeit, mit der der Entladewiderstand und die Entladezeit zueinander in Relation stehen. Die Energie als Ableitung der Wirkung nach der Zeit ist in beiden Fällen gleich. Die Menge der abzählbaren Quanten pro Zeitintervall bleibt identisch.

Die Spule

Das Gegenstück zur Ladung e des Kondensator, ist bei der Spule das Flussquant $\Phi _{0}=h/2e$ . Entsprechend gilt für die Energie analog [25-2] ein quadratischer Zusammenhang mit der Anzahl m der Flussquanten $\Phi _{0}$ .

$E_{Lm}=L\cdot I^{2}/2=\Phi ^{2}/2L=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\Phi _{0}^{2}/2L$, [27-1]

Diese Gleichung entspricht wie beim Kondensator den Energiestufen des Potentialtopfes zwischen unendlich hohen Wänden. Für jede Änderung eines von m Flussquanten gilt dann entsprechend der Gleichung [26-4] für die Ladung beim Kondensator

$\Delta E_{Lm}=m\Phi _{0}^{2}/2L$ [27-2]

Analog zum Kondensator gibt es wieder charakteristische Zeiten $T_{Lm}=h/\Delta E_{Lm}$ , diesmal charakteristisch bei der Induktivität L für die Änderung der Anzahl von insgesamt m vorhandenen Flussquanten um ein Flussquant $\Phi _{0}$ entsprechend der Ladungsänderung beim Kondensator in Gleichung [25-6]:

$T_{Lm}=h\cdot 2\cdot L/(m\Phi _{0}^{2})=8\cdot L/(m\cdot R_{k})$ [27-3]

Die Größe des Magnetflusses $\Phi$ hängt von der Induktivität L (der Strom- und Feldverteilung im Raum) und der Größe des Stroms I ab.

$\Phi =L\cdot I=L\cdot {\Delta }Q/{\Delta }t$ [27-4]

Wenn die am Stromfluss I beteiligten Elektronen beim Passieren der Induktivität L zwei Magnetflussquanten $\Phi _{0}$ erzeugen, dann ist die Dauer $\tau _{L}$ charakteristisch für ihre zeitliche Folge und es gilt

$2\Phi _{0}=L\cdot e/\tau _{L}$ [27-5]

Diese charakteristische Zeit ist entsprechend der Gleichung [25-4] für $\tau _{C}$ beim Kondensator

$\tau _{L}=L\cdot e/2\Phi _{0}=L/R_{k}$ [27-6]

und daraus ergibt sich ein Zusammenhang mit der Zeit $T_{Lm}$ aus der Gleichung [27-3]

$T_{Lm}=8\cdot \tau _{L}/m$ [27-7]

Wegen der Ähnlichkeit und Symmetrie der Gleichungen können wir sicher auch die übrigen Überlegungen, die wir zum Kondensator getroffen haben, auf die Spule übertragen. Dies betrifft auch die Einzelheiten der Referenz12,13, in der Auf- und Entladevorgänge diskutiert werden. Wenn wir anstatt $R_{k}$ für das Bestimmen der charakteristischen Produkte ${R_{k}/2}=(\Phi _{0}/e)$ eingesetzt hätten, ergäbe sich eine Kollision zur Quantelung der Wirkung $h=2e\cdot \Phi _{0}$. Wie beim Kondensator ergibt sich für das Produkt aus der charakteristischen Zeit und der Energie zweier Flussquanten das Wirkungsquantum.

$E\cdot \tau _{L}=h$ [27-8]

Für die Flussquanten gilt eine Quantelung, wie sie in Bild 25-1 für die Ladung gezeigt wurde, dem elektrischen Feld E entspricht dann in einer Spule das Magnetfeld H und die Steigung der Funktion ist proportional zur der von den Windungen umschlossenen Fläche A, in der das Magnetfeld gebildet wird (d entspricht der Länge der Spule). Bild 27-1 zeigt die aus der Quantisierung folgenden Stufen und die klassische Ausgleichsgerade. Basis für die Abbildung ist der Zusammenhang zwischen Magnetfluss und erzeugendem Strom und dessen räumlicher Verteilung, wobei das Abweichen von der Formel im Lehrbuch (die üblicherweise nur für die „lange“ Spule gezeigt wird) die sonst vernachlässigten Inhomogenitäten im „Geometriefaktor“ enthält.

$\Phi =L\cdot I=(\mu \mu _{0}\cdot Geometriefaktor\cdot A/d)\cdot I\sim A\cdot I/d\sim A\cdot H$ [27-9]

Wegen der Digitalisierungsunschärfe zeigt sich wieder für m = 0 ein diesmal magnetisches „Grundfeld“ $H_{0}$, es wird induziert von der Größe des Flussquants $\Phi _{0}$, wie gleich bei den Landau-Niveaus zu sehen sein wird.

Bild 27-1: Quantelung des Magnetflusses und Grundfeld $H_{0}$, m ist eine gerade Zahl.

Im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ?“ wurde festgestellt, dass die Information über die Größe Strom $I=e/T_{E}$ im zeitlichen Abstand $T_{E}$ von aufeinanderfolgenden Ladungsträgern zu finden ist. Wenn ein solcher Strom nun einen kreisförmigen Leiter mit der Induktivität L durchfließt, ist ein Magnetfeld mit dem Fluss $m\cdot 2\Phi _{0}=L\cdot e/T_{E}$ die Folge. Für die kleinstmögliche Menge von Flussquantenpaaren gilt mit $\tau _{L}=L\cdot e/2\Phi _{0}$ [27-6]

$2\Phi _{0}=L\cdot e/T_{E}=L\cdot e/\tau _{L}$ [27-5]

und damit $\tau _{L}=T_{E}$, oder allgemein $m=\tau _{L}/T_{E}$. Die Anzahl 2m der Flussquanten ist also ein Maß für den mittleren zeitlichen Abstand $T_{E}$ der Elementarladungen beim Stromfluss. Die für die Induktivität typische Zeitkonstante $\tau _{L}$ ist identisch mit dem zeitlichen Abstand der Elementarladungen zum Erzeugen eines magnetischen Flussquantenpaars. Andererseits denkt man bei der Induktivität eher an $L=\mu \mu _{0}A/l=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$., also an ihre räumlich geometrische Struktur. Unter diesen statischen Verhältnissen spielt die reale Anzahl der den Strom tragenden elektrischen Ladungen keine Rolle.

Landau-Niveaus und Flussquanten

In der „Physik für Ingenieure“ findet man eine halbklassische anschauliche Beschreibung eines zweidimensionalen Elektronengases, der Landau-Niveaus und des Quanten-Hall-Effektes, aus der folgende Zusammenhänge übernommen sind. Die Elektronen mit der Energie $E=m_{e}\cdot (2\pi )^{2}\cdot a^{2}\cdot f^{2}/2=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$ bewegen sich in einer Ebene senkrecht zum Magnetfeld $B_{z}$ auf Kreisbahnen mit dem Radius a und der Umlauffrequenz $f=B_{z}\cdot e/(2\pi m_{e})$, die klassische Rotationsenergie $E_{rot}=m_{e}\cdot (2\pi )^{2}\cdot a^{2}\cdot f^{2}/2$ entspricht den gequantelten Energiestufen $E=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h\cdot f$ der Landau-Niveaus folgend aus der Wellenfunktion.

$a^{2}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h/(\pi ^{2}\cdot m_{e}\cdot f)$ [27-10]

Der magnetische Fluss innerhalb solcher Kreisbahnen ist

$\Phi _{z}=B_{z}\cdot \pi \cdot a^{2}$ [27-11]

Eingesetzt kürzen sich dann die Elektronenmasse $m_{e}$ u.a. heraus, so dass übrig bleibt

$\Phi _{z}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot h/e=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot 2\Phi _{0}$ [27-12]

was bei n = 0 die Existenz eines Grundflusses $\Phi _{0}$ zeigt.

Der Memristor

Im Unterschied zum ohmschen Widerstand hängt die Leitfähigkeit des Memristors davon ab, welche Spannung und welcher Strom bereits in der Vergangenheit auftraten.

$M={\frac {\Phi _{M}}{Q}}={\frac {m(t)}{n(t)}}\cdot {\frac {R_{k}}{2}}$ [28-1]

Ein konstantes Verhältnis würde den Memristor nicht vom ohmschen Widerstand unterscheiden lassen. Die technisch interessante Eigenschaft ist die Möglichkeit, dass die Vorgeschichte des Stromtransportes einen Einfluss auf das aktuelle Verhalten hat. Als Informationsspeicher kann der Memristor dienen, wenn die Kennlinie eine Hysterese vergleichbar zu dem Zusammenhang zwischen magnetischem Feld und Induktion beim Permanentmagneten hat oder wie sie die induzierte räumliche Verschiebung von Ladungen bei einem ferroelektrischen RAM (Random Access Memory) zeigt, so dass man durch eine differentielle Messung erfahren kann, wie der Memristor in der Vergangenheit betrieben wurde. Im Memristor können zum Beispiel beim Ladungstransport Ladungen längs ihres Weges hängen bleiben und die Leitfähigkeit beeinflussen, wie das bei der sogenannten „Verstärkung“ des Photowiderstandes passiert, oder eine magnetisierbare Umgebung ändert feldbedingt seine Permeabilität, was technisch genutzt wird, den Wechselstromwiderstand von Stellgliedern in Spannungsstabilisatoren zu steuern. Mit einer aus solchen Effekten folgenden Hysterese versucht man derzeit Information speichernde Memristoren herzustellen. In unserem Koordinatensystem bedeutet dies, dass das Verhältnis von Flussquanten pro Elektron davon abhängt, wie viele Elektronen oder Flussquanten vorher „geflossen“ sind. Die differentielle Steigung der Kurve in der $(Q|\Phi )$-Ebene hängt also von der Vorgeschichte ab. Ein mögliches Beispiel zeigt Bild 28-1.

Bild 28-1: Der Memristor in der Wirkungsebene. Feldabhängige differentielle Widerstände führen zu einer Hysteresekurve, mit der man Information speichern kann. Gezeigt ist die kleinste Hysteresekurve mit der Fläche (h + h/2) beim Memristor unter Einbeziehen von elektromagnetischen Vakuumfeldern.

Bei großen vorhandenen Magnetflüssen $\Phi$ ist hier die Anzahl der Elektronen e pro Fluxon $\Phi _{0}$ groß, bei kleinen Magnetflüssen umgekehrt. Das ganze kann natürlich auch aus der Sicht des Elektrons betrachtet werden, dann gehört zu kleinen Elektronenanzahlen eine große Zahl von Flussquanten. Die Steigungen der feldabhängigen (differentiellen) Widerstände müssen bei einem passiven Bauelement positiv sein, negative Widerstände sind bekanntermaßen mit Verstärkung verknüpft. Da waagerechte oder senkrechte Steigungen unendlich großen Leitwerten oder Widerständen entsprechen, kommen solche Konstruktionen an dieser Stelle nur für Ein-Aus-Schalter in Frage. Die in dieser Hysteresekurve enthaltene Fläche charakterisiert die zum Hin- und Herschalten zwischen den stabilen Feldzuständen benötigte Energie (das außerdem von der Zeit abhängige Volumen über dieser Hysteresekurve).

Die Annahme ganzzahliger Quanten $m,n$ war zur Beschreibung des einfachen ohmschen Widerstandes R sicher richtig, da bei diesem Änderungen der Quantenzahlen/Zeit $(\Delta m\cdot \Phi _{0})/(\Delta n\cdot e)$ maßgeblich waren. Für den Memristor ist eine solche Annahme falsch. Bei den für den Memristor $M$ wichtigen absoluten Werten $(m(t)/n(t))$ ist der in Bild 25-1 und Bild 27-1 gezeigte Effekt für die Nullpunktsgrößen analog zu berücksichtigen, die elektromagnetischen Vakuumfelder dürfen nicht vernachlässigt werden. Mit den daraus folgenden zusätzlichen halben Ladungen und Flussquanten ist dann eine kleinste, zum Nullpunkt symmetrische, mit elementaren Schritten umlaufbare Fläche denkbar, wie sie in Bild 28-1 dargestellt ist. Sie hätte die Größe $(h+h/2)$, diese entspricht einer Informationseinheit $h$ plus deren Digitalisierungsunschärfe $h/2$, was in Analogie zu 1 Bit Information auch vernünftig wäre. Der gleiche Gedanke begegnet uns später bei einem Photon und der Nullpunktsenergie wieder und tangiert auch die Fragen des Kapitels zu Messen und Information. Bild 28-2 zeigt Möglichkeiten ausgedehnterer Hysteresekurven. Die mit steigendem Informationsinhalt wachsende Anzahl der Strukturen soll an dieser Stelle nicht weiter diskutiert werden.

Bild 28-2: Verschiedene Strukturen von Hysteresekurven mit mehr Informationsinhalt, ganz links Beispiele für Schalter, daneben Memristoren mit unterschiedlichen Quantenkombinationen.

Zählen und Impedanz

Die Impedanzen können gemessen werden, indem man Ladungs- und magnetische Flussquanten zählt. Der ohmsche Widerstand ist charakterisiert durch das Verhältnis von der zeitlichen Änderung des Magnetflusses, die eine Stromvariation behindert, zum elektrisch beschleunigten Stromfluss, der pro Zeitintervall bewegten Elektronenzahl, [22-5]. Der Memristor zeigt das Verhältnis der pro Volumen vorhandenen magnetischen Flussquanten zu den im Raum befindlichen elektrischen Ladungsträgern, [22-6], ein Verhältnis von Dynamik zu Statik. Induktivität und Kapazität sind durch die räumliche Verteilung der magnetischen und elektrischen Felder bestimmt, wobei die Induktivität sich auf die Anzahl m der magnetischen Flussquanten bezieht, die mit einer Menge $\Delta n/\Delta t$ passierender Ladungsträger pro Zeitintervall in Relation stehen, [22-14]. Die Kapazität zeigt, wie groß die Spannung ist, die eine Menge n gespeicherter Ladungsträger erzeugt, und wie viele Flussquanten zur Balance mit dem elektrischen Feld die Energie ihres Magnetfeldes durch die zeitlichen Änderung ihrer Anzahl $\Delta m/\Delta t$ übertragen müssen, Gleichungen [22-13] . Einzelheiten und Dynamik werden beim LC Schwingkreis zu sehen sein. Damit haben wir, zusammengefasst in Tabelle 2-4, die elementaren passiven elektronischen Bauelemente in unserem neuen Koordinatensystem und die Vorschriften für ihre Messung kennengelernt und auch die Unbestimmtheit, die sich abhängig von den gemessenen Anzahlen ergibt.

Tabelle 2-4: Messvorschrift (Zählparameter) und Impedanzen der klassischen passiven Bauelemente

Bauelement	Einheiten	* {$\Phi _{0}/e$} [Ω]	Impedanz [Ω](ω)	Kreisfrequenz [s-1]
Widerstand	R [Ω] = [V/A]	(Δm / Δn) (j Δt / j Δt)
Memristor	M [Ω] = [Vs/As]	(m+½) / (n+½)
Kondensator	1/C [1/F] = [V/As]	Δm / (j Δt·n)	n·j Δt / (Δn C)	w = -Δn / (n·Δt)
Induktivität	L [H] = [Vs/A]	m·j Δt / Δn	-j L·Dm / (m·Δt)	w = -Δm / (m·Δt)

Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen

Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen

Das lokalisierte Photon ist im Resonator zwar ohne materielle Elektronen existent, die Elementarladung bleibt trotzdem die das elektrische Feld prägende Größe. Man kann daher die Problematik auf einen elektrischen Schwingkreis übertragen und es zeigen sich, wenn nur wenige Elektronen an den Schwingungen beteiligt sind, gegenüber der klassischen Darstellung zwei Probleme:

1. Die Energien der elektrischen und magnetischen Felder bei statischer Aufladung von Kondensatoren und Spulen mit Elektronen und magnetischen Flussquanten unterscheiden sich gegenüber den Energiestufen des harmonischen Oszillators im schwingenden Fall um den Faktor ${\frac {2}{\pi }}$.
2. Während beim harmonischen Oszillator die mögliche Energie gestuft mit konstantem Abstand $\Delta E=h\cdot f$ existiert, wächst die Energie eines Kondensators quadratisch mit der Anzahl der Elektronen, wie ein Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. Entsprechend verhält sich eine Induktivität in Bezug auf die Energie des Magnetfeldes infolge magnetischer Flussquanten.

Diese Diskrepanzen verschwinden, wenn man annimmt, das die Felder im LC-Schwingkreis zwar auf die elementaren Quanten zurückzuführen sind, die zeitliche Existenz von den daraus folgenden Feldern und ihren Kombinationen aber in Einklang mit der Unbestimmtheit durch die digitale Struktur der Wirkung $H=N\cdot h$ begrenzt ist. Für jede Kombination elektrischer und magnetischer Felder lässt sich abhängig von der vorhandenen Energie eine Lebensdauer angeben. Daraus folgt dann eine Wahrscheinlichkeit für ihr Auftreten während der Periode einer Schwingung und eine Struktur, die für große Anzahlen der Quanten in die bekannte klassische übergeht. Für kleine Anzahlen ist aber ein Abweichen von der bekannten Statistik der Besetzungszahlen des harmonischen Oszillators zu erwarten. Die in diesem Kapitel behandelten Wahrscheinlichkeiten haben ihre Ursache nicht im Zufall, sondern sind auf das Hamiltonsche Prinzip zurückzuführen. Auf dieser Basis kann nun auch das 1/f-Rauschen verstanden werden.

Das mechanische Analogon zum lokalisierten Photon, ein Phonon, sollte sich ähnlich verhalten. Für ein solches Phonon liegen experimentelle Befunde vor, die mit den prognostizierten feldabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die beteiligten Energien in Einklang sind. Als Folge der Ähnlichkeiten treten bei den mechanischen Oszillatoren zwei konstante Größen, eine Länge (die Auslenkung) und ein Impuls, auf, die den elektromagnetischen Größen Elementarladung und Flussquant entsprechen.

Wir sind auf der einen Seite mit Photonen vertraut, wir benutzen sie zum Übertragen von Information, bei der Fotografie und in der Messtechnik, auf der anderen Seite ist unsere Vorstellung sehr begrenzt, was ein Photon wirklich ist. Einigkeit besteht sicher darüber, dass die elektromagnetischen Photonen und auch die mechanischen Phononen Größen sind, die es gestatten, den Energieaustausch mit den entsprechenden elektromagnetischen und akustischen Wellen zu beschreiben. Wenn aus einer elektromagnetischen oder akustischen Welle Energie übertragen wird, geschieht dies gequantelt, mit der Energie $E$:

$E=h\cdot f={\frac {h}{T}}={\frac {h\cdot c}{\lambda }}$ [3-1]

(mit dem Planckschen Wirkungsquant $h$, der Geschwindigkeit der Wellen $c$, der Frequenz $f$, der Periodendauer $T$, der Wellenlänge $\lambda$). Der Energieaustausch der Welle tritt lokalisiert auf, zum Beispiel am Ort des Atoms, dessen Elektron das Orbital wechselt, wobei die Wechselwirkung dann in einem räumlichen Bereich erfolgt, der wesentlich kleiner als die Wellenlänge ist. Während des Ausbreitens stellen wir uns die Energie räumlich verteilt in Form elektrischer und magnetischer Felder oder in potentieller und kinetischer Energie vor, wobei die Position der Quanten dabei nur sehr begrenzt definiert ist. Einzelne Photonen beobachtet man sehr einfach im hochenergetischen Röntgenbereich, mit sichtbarem und infrarotem Licht schon durch den thermischen Hintergrund mit wachsender Wellenlänge zunehmend schwieriger und bei Radiowellen überwiegt das thermische Rauschen der Umgebung. Die einzelnen Photonen sind dann nicht mehr ohne weiteres aus dem Untergrund zu isolieren. Die Phononen treten gegebenenfalls lokalisiert an Molekülen und bei Fehlstellen in Festkörpern auf.

Das Photon im Resonator

Um Eigenschaften eines Photons zu untersuchen, sollte es so konkret wie möglich betrachtet werden können. In einer sich frei ausbreitenden elektromagnetischen Welle findet man das Photon nur zufällig irgendwo. Wie kann man seine Position, den Ort eingrenzen ? Indem die elektromagnetische Welle zwischen Spiegeln hin- und herläuft, im Extrem als stehende Welle zwischen zwei Spiegeln im Abstand $\lambda /2$ oder in einem entsprechenden Hohlraumresonator. Im Unterschied zur laufenden elektromagnetischen Welle, bei der sich elektrisches und magnetisches Feld in Phase ausbreiten, tritt im Resonator bekanntermaßen wegen der unterschiedlichen Phasendrehung bei der Reflexion und der daraus folgenden unterschiedlichen Interferenz ein periodischer Wechsel der Energie zwischen elektrischem und magnetischem Feld auf. Diesen Wechsel zwischen zwei Formen der Energie beobachtet man allgemein bei harmonischen Oszillatoren, Einzelheiten werden wir gleich ausführlich beim Schwingkreis behandelt. Ansonsten verhält sich das derartig lokalisierte Photon „normal“, so lässt sich bei Längenänderung des Resonators leicht zeigen, dass die damit verbundene Energie- und Frequenzänderung durch von außen geleistete Arbeit erreicht wird und das Ergebnis dieser Rechnung ist der bekannte Impuls p des Photons, $\lambda =c/f$

$p=h\cdot f/c=h/\lambda$ [3-11]

Interessant ist nun die Frage: Welche Größen von lokalisierten Photonen und Phononen ändern sich mit der Frequenz und welche nicht ? Dazu wird das Photon also in seinen Koordinaten auf das Volumen $V=\lambda ^{3}/8$. begrenzt, wie es in Bild 3-1 zu sehen ist.

Bild 3-1: Photon (Mode) im Resonator, einem Würfel mit der Kantenlänge $\lambda /2$.

Unter dieser Annahme kann die maximale Energiedichte $E_{vm}$ eines einzelnen Photons berechnet werden.

$E_{vm}=E/V=8\cdot h\cdot f/\lambda ^{3}=8\cdot h\cdot f^{4}/c^{3}$ [3-12]

und weiter ergibt sich für die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldstärken entsprechend:

[E] ~ [B] ~ $f^{2}$ [3-13]

Die mit einem einzelnen Photon verbundene Information beträgt natürlich nur ein Bit, das Vorhandensein: ja oder nein. Mit verschiedenen Frequenzen ist allerdings eine unterschiedlich genaue Lokalisierung in der Zeit durch die Periodendauer und in drei Dimensionen des Raumes mit der Wellenlänge verbunden. Damit entspricht [3-12] der Vorstellung, dass die Energie E = h / T eine zeitliche Informationsdichte darstellt, auf die wir später noch zurückkommen werden.

$E=\Delta H/\Delta t$ [3-14]

Wenn man die sich abwechselnden Felder zu Zeiten misst, bei denen nur eine Sorte der Felder vorhanden ist, kann man diese mit solchen vergleichen, die von statischen Quellen erzeugt werden. Dann gilt für die dafür nötigen Ladungen oder Magnetflüsse mit passenden Geometriefaktoren $g$, die die Inhomogenitäten der Felder berücksichtigen und bei einer von der Frequenz unabhängiger und durch die Geometrie bedingten Impedanz $Z_{Res}$.

$Q={\sqrt {h\cdot \epsilon \epsilon _{0}\cdot g\cdot c}}$ [3-15]

$\Phi =Z_{Res}\cdot Q={\sqrt {h\cdot c\cdot \mu \mu _{0}/(g\cdot \pi ^{2})}}$ [3-16]

Beide sind also unabhängig von der Frequenz f !

Dieser Einfluss der Quellen der elektromagnetischen Felder ist also nur von der Geometrie des Resonators abhängig, d.h. von dessen qualitativen Proportionen, aber die Größe und Stärke der Quelle ist es nicht von der Frequenz der Photonen, die für deren quantitative räumliche Größe relevant ist. Mit steigender Frequenz $f$ werden die Abmessungen des Resonators immer kleiner und damit auch die räumliche (und auch zeitliche) Ausdehnung der Felder. Das führt zu den steigenden Feldstärken ~ $f^{2}$ der Gleichung [3-13] und den Energiedichten ~$f^{4}$ in [3-12].

Diese Frequenzunabhängigkeit der Quellen ist eine zunächst sicher überraschende Tatsache, nun ist die Frage natürlich, wie groß diese Ladung und der magnetische Fluss sind. Einzelheiten sind in der soeben zitierten Arbeit zu finden, hier soll gleich die äquivalente und besonders anschauliche Darstellung des in einem elektrischen Schwingkreis extrem lokalisierten Photons, des Energiequants der elektromagnetischen Schwingungen, folgen.

Bei einem Atom, das ein Photon abstrahlt, gibt es die elementare Ladung $e$ an dieser Quelle, ein Elektron wechselt von einem Energieniveau zum anderen. Bei Radiofrequenzen mit strahlenden Antennen sind die bewegten Elektronen die ursprünglich die Felder tragenden Objekte. Beim Synchrotron und Speicherring kreisen elementare Ladungen. Es ist daher eigentlich nicht verwunderlich, wenn die Elementarladung $e$ auch in der Rolle einer virtuellen Ladung das Geschehen prägt.

Der Schwingkreis bei wenig Energie und mit wenigen Quanten

Der LC-Schwingkreis ist ein bekanntes Beispiel eines harmonischen Oszillators, bei dem die Energie zwischen der des elektrischen Feldes $E_{E}$ im Kondensator $C$ und der magnetischen $E_{M}$ im Feld der Spule $L$ hin und her pendelt. Die Resonanzfrequenz $f=1/{\sqrt {2\cdot \pi \cdot (L\cdot C)}}$ des Schwingkreises ist durch das Produkt der Größen von Kondensator C und Spule L bestimmt. In Kapitel 2 waren zwei Zeitdauern durch die Kapazität $C$ und die Induktivität $L$ charakterisiert, $\tau _{C}=R_{k}\cdot C$,[2-54] und $\tau _{L}=L/R_{k}$,[2 76]. Ihre Kombination liefert die Periodendauer des Schwingkreises in folgender Weise:

$T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\tau _{L}\cdot \tau _{C})}}$ [3-21]

Für jede Frequenz $f=1/T$ gibt es unendlich viele Kombinationen von $L$ und $C$. Die Energie liegt, wie bei jedem harmonischen Oszillator zu sehen, gequantelt vor. Die einzelnen Anregungszustände unterscheiden sich um die konstante Differenz $E=h\cdot f$ und es existiert eine Mindestenergie $E=h\cdot f/2$, die schon in Kapitel 1.1. als Digitalisierungsunschärfe interpretiert wurde. Wir wollen im einzelnen nun betrachten, was zusätzlich aus der Quantelung der für die Felder verantwortlichen Größen folgt, die bei statischen Feldern (elektrisch mit $Q_{=}$, magnetisch mit $\Phi _{=}$) auf Grund von Ladungen $Q_{=}=(n\cdot e)$ und Magnetflussquanten $\Phi _{=}=(m\cdot \Phi _{0})$ beträgt.

Bild 32-1: Die vier möglichen gequantelten einzelnen Felder im energieärmsten Schwingungsfall

Mit den kleinsten möglichen Feldern treten während einer Schwingungsperiode $T$ die in Bild 32-1 gezeigten vier extremen Zustände I: ($\Phi _{0}$; 0), II: (0; e), III: ($\Phi _{0}$; 0), IV: (0; -e) auf, bei denen nur jeweils eines der Felder existiert, entweder das elektrische mit zwei möglichen Polarisationen oder das magnetische, ebenfalls mit zwei möglichen Richtungen. Für den Fall minimaler Energie existiert nur ein Ladungspaar ($n=\pm 1$) oder abwechselnd ein Flussquant ($m=\pm 1$), anderes kann nicht gemessen werden. Es gilt also unter der Annahme statischer Felder, die für die Schwingung später korrigiert werden muss !

$E_{min}=e^{2}/2C=\Phi _{0}^{2}/2L$ [3-22]

und daraus folgt

$L/C=\Phi _{0}^{2}/e^{2}={R_{k}/2}^{2}=Z_{min}^{2}$ [3-23]

Damit ist eine Impedanz $Z_{min}=\Phi _{0}/e$ festgelegt, nicht aber eine Frequenz f = 1 / T ! Solche Systeme mit der Impedanz $Z_{min}$ arbeiten mit den für diese spezielle L/C-Kombinationen typischen der Frequenzen $f={\frac {1}{2\cdot \pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}}}$.

Aus der Quantelung der Energiestufen (E = h \cdot f) [1-1], diese elektromagnetischen Energiepakete sind die Photonen) des harmonischen Oszillators mit $T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}$, [3-21] folgt als kleinste Energiestufe aber

$E_{1}=1\cdot h/T=e^{2}/\pi C$ [3-24]

also eine um den Faktor (2 / $\pi$) kleinere Energie als mit $E_{min}$ aus [3-22] erwartet. Wie im folgenden behandelt, ist diese Diskrepanz mit der Vorstellung vereinbar, dass zwar die mittlere Energie eine Erhaltungsgröße ist, ihre Größe aber für kurze Zeitintervalle nur begrenzt genau definiert ist. Die Vorstellung, dass man sie zu jedem Zeitpunkt messen könnte, ist falsch – es gilt die Unschärferelation $\Delta E\cdot \Delta t>=h/2\pi$ und außerdem ist die Photonenzahl keine Erhaltungsgröße. Diese Unschärferelation wird keine Grundlage der im Folgenden entwickelten Vorstellungen sein, diese werden sich aber damit in Einklang befinden. Diese Unbestimmtheit begrenzt auch unsere zeitliche Vorstellung, was noch genauer im Kapitel zur Zeit ausgeführt wird. Die im folgenden betrachteten zeitlichen Abläufe sind mit entsprechender Unschärfe zu versehen. Es sollen keine Aussagen mit einer Genauigkeit gemacht werden, die über diese Unschärferelation hinausgeht. Mögliche zeitliche Angaben über Zustände innerhalb einer Periode sind daher in ihrer Präzision eingeschränkt. Die in der Welt der Physik definierte Genauigkeit hängt von der Energie ab. Bei der kleinsten Energie $E_{1}\cdot T=h$ beträgt sie sogar im Mittel über viele Perioden etwa T/6, zeitlich genauer ist die Zeitangabe bei diesem System als einzelnem Objekt in der Natur nach meiner derzeitigen Vorstellung nicht definiert ! Aus Sicht der Information enthält der statische Zustand mit der Kenntnis, dass die Energie entweder im Kondensator oder der Spule gespeichert ist, auch mehr Präzision als der schwingende Fall, in dem eine solche Zuordnung nicht mehr möglich ist.

Bild 32-2: links: Der Schwingkreis in der (Q; $\Phi$) - Ebene mit m = n = 1. Das Flächenverhältnis Kreis/Quadrat = ($\pi /2$ entspricht dem Energieunterschied zwischen minimaler Energie der einzelnen Komponenten bei einem klassischen Schwingungsverlauf und der des Schwingungsquants. Rechts ist das Bild um die Frequenzachse ergänzt und zeigt ein Photon mit seiner Energie als Volumen.

Bild 32-2 zeigt die schon bekannte Ebene (Q; $\Phi$), die eine Phasenraumdarstellung ist und bei der Geraden durch den Nullpunkt Impedanzen $Z={\sqrt {L/C}}$darstellen. Die gequantelten Ladungen Q auf dem Kondensator C und die Flüsse $\Phi$ in der Spule L sowie mögliche Kombinationen der beiden bilden die Punkte der (Q; $\Phi$) - Ebene. Das Bild 32-2 links stellt die Verhältnisse für alle möglichen LC-Kombinationen mit $Z_{min}=\Phi _{0}/e$ dar.

Die Unterschiede für verschiedene Werte von L und C bei gleichem Quotienten L/C würden sich dann nur in der Periodendauer T der Schwingungen zeigen. Diese tritt nur senkrecht daraus ragend als die Frequenzachse f, reziprok zu dem Produkt $T=2\pi \cdot {\sqrt {L\cdot C}}$, in Erscheinung, wie mit Bild 32-2 rechts gezeigt. Nur in dieser dritten Koordinate, ihrer Frequenz f, unterscheiden sich Schwingkreise gleicher Impedanz (mit dem gleichen Verhältnis L/C) aber unterschiedlicher Größen der Komponenten L und C und entsprechend unterschiedlicher Resonanzfrequenz. Die Zeit tritt in diesem Koordinatensystem nur als „Dauer“ und nicht als ein ablaufendes Geschehen beschreibend auf, trotzdem werden wir gedanklich hinter den Koordinaten in der (Q; $\Phi$)-Ebene eine zeitliche Folge erwarten, die während der Schwingungen durchlaufen wird.

Der kleinste mögliche Schwingungszustand, das rote Quadrat in Bild 32-2, enthält die Punkte des feldfreien Zustandes (0; 0) und vier Feldzustände (0; 1),(1; 0), (0;-1), (-1; 0). Das aus den mit den Feldern verbundenen Eckpunkten gebildete Quadrat hat die Fläche $h=E\cdot T$. Klassisch würden die Schwingungen der kleinsten eingezeichneten Kreisbahn folgen, digital sind davon nur die Eckpunkte des Quadrats realisierbar. Das Flächenverhältnis Kreis/Quadrat = ($\pi /2$) entspricht genau dem oben beobachteten Unterschied zwischen der aus klassisch statischen Feldern abgeleiteten Energie $E_{min}=e^{2}/2C$, [3-2] und der mit der Quantenmechanik gefundenen Größe $E_{1}=e^{2}/\pi C$, [3-4]. Es liegt daher nahe, die fünf Feldzustände des roten Quadrates für realisiert zu halten und die Feldzustände entsprechend einer Pulsweitenmodulation auf die Periodendauer T so aufzuteilen, dass die mittlere Energie dem quantenmechanischen Ergebnis entspricht. Dies zeigt Bild 32-3. Darin sind die klassischen Sinus- und Kosinusfunktionen für Strom und Spannung oder die des elektrischen und des Magnetfeldes gezeigt. Die Summe ihrer Quadrate wäre die konstante gesamte Energie $E_{E}+E_{M}$, denn es gilt sin² +cos² = 1. In Bild 32-3 wird dagegen orange die Differenz dieser Feldenergien $E_{M}-E_{E}$ gezeigt, die mit doppelter Frequenz auftritt. Die Annahme ist nun, dass es eine digitale Schwelle gibt, ab der die Energie entweder dem elektrischen oder dem Magnetfeld zugeteilt wird, unterhalb dieser Schwelle erfolgt die Zuordnung an keines dieser Felder, also im vorliegenden Beispiel ergibt sich dann die Feldstärke Null.

Bild 32-3: Geschaltete elektrische und magnetische Felder, N = 1, die Zeit ist hier eine Dauer, eine aktuelle, ablaufende Zeit innerhalb der Periode ist bei dieser kleinen Energie noch nicht scharf definiert !, wenn sie auch für die Anschauung hier so dargestellt wird.

Für eine den obigen Anforderungen an die mittlere Energie genügenden Pulsweitenverhältnis liegt eine solche Schwelle dicht bei der Energiedifferenz | $E_{M}-E_{E}$ | = ½. Unterhalb dieser Schwelle ist es digital nicht möglich, die Felder eindeutig zu unterscheiden, so dass sich dann die geschalteten magnetischen Felder (grün: $\Phi =\pm \Phi _{0}$,0) oder elektrisch (blau: $Q=\pm e$, 0) abwechselnd und mit unterschiedlicher Polarität, wie in Bild 32-3 gezeigt, ergeben. Man beachte die gemittelte ! Zeitunschärfe $\Delta$t ~ T/6 mit der in Kapitel zur Zeit behandelten Qualität einer Dauer und unterstelle keine darüber hinausgehende Aussagekraft !

Der nächste mögliche Energiezustand $E_{2}=2h/T$ gehört zu zwei (N = 2) Wirkungsquanten h. Bild 32-4 zeigt einen prognostizierten zeitlichen Feldverlauf, rechts daneben die Feldkombinationen in der (Q; $\Phi$) Ebene. Anstatt der feldfreien Zeiten mit (m; n) = (0; 0) in Bild 32-3 treten jetzt die Kombinationen (1; 1), (-1; 1), (-1; -1), (1; -1) mit gleichzeitig vorhandenen elektrischen und magnetischen Feldern auf.

Bild 32-4: Geschaltete elektrische und magnetische Felder bei zwei Schwingungsquanten, N = 2.

Wird der Schwingkreis nicht nur mit einem sondern mit zwei oder drei Elektronen gefüllt, so zeigt Bild 32-5 in der (Q; $\Phi$) -Ebene größere Quadrate, deren Flächenverhältnis dem Energieverhältnis entspricht, N = 4 für zwei Elektronen – Flussquanten und N = 9 für entsprechend drei. Damit wären allerdings nicht alle Energiestufen des harmonischen Oszillators zugeordnet.

Bild 32-5: Der Schwingkreis in der $Q-{\Phi }$ - Ebene, links mit verschiedenem Füllstand (m=n = 1,2,3; $E\cdot T$ = h* 1,4,9), rechts die klassischen Kreise mit den Flächen 1h...9h, die zu den Energiestufen des harmonischen Oszillators gehören.

Es gilt also nach Feldkombinationen $(n\cdot e|m\cdot \Phi _{0}$) zu suchen, die auch andere Besetzungsstufen der linearen Folge $E_{N}=N\cdot h\cdot f$ des harmonischen Oszillators als die schon erwähnten der Quadratzahlen N = i² realisieren. Die klassischen Lösungen dieses Problems zeigen die Kreise in Bild 32-5 rechts.

Für die ersten beiden Energiestufen N = 1 und N = 2 ist die jeweilige zeitliche Dauer der einzelnen Phasen aus der Periodendauer und den Energieverhältnissen eindeutig durch Lösen von Gleichungen mit Unbekannten zu bestimmen. Bei höheren Energiestufen ergeben sich dann aber mehrere Möglichkeiten für die dann zahlreichen möglichen Stufen der Feldkombinationen, die man als Ergebnis einer Messung ermitteln könnte, wenn man nur fordert, dass die mittlere Energie einer Stufe des harmonischen Oszillators entspricht. Unsere Darstellung der Wirkungsflächen zeigt dann auch, dass innerhalb der klassischen Kreise außer den Quadraten weitere Vielecke möglich sind, wie sie in Bild 32-6 angedeutet sind. Diese Möglichkeiten nehmen mit größerer Energie, also größerem mittlerem Radius, zu, im Zentrum ist die Nullpunktsenergie.

Bild 32-6: Feldkombinationen außerhalb der Quadrate innerhalb der klassischen Kreise bei größeren Anzahlen m,n mit der Nullpunktsenergie im Zentrum.

Bild 32-7: Mittlerer zeitlicher Feldverlauf für N = 25, m/n = 5/5.

Ein Beispiel für die Energiestufe N = 25 mit maximal 5 Flussquanten und fünf Elektronen zeigt Bild 32-7 mit einem möglichen zeitlichen Verlauf von vielen denkbaren. Gewählt wurde eine Folge von Feldkombinationen, die zeitlich aufeinander folgend angenommen auf der Umrandung des Quadrats der Fläche $25\cdot h$ liegen, die orange Punkte in Bild 32-7 rechts oben. Der mittlere zeitliche Feldverlauf entspricht hier den roten und grünen dreiecksähnlichen Schwingungen, ist also einer Sinusschwingung durchaus ähnlich.

Bei maximalen Feldern ($E_{E}=5^{2}\cdot e^{2}/2C;E_{M}=5^{2}\cdot \Phi _{0}^{2}/2L$) treten jeweils Energiemaxima auf, die deutlich oberhalb der mittleren Energie E liegen. Mit verschiedenen Kombinationen von kleineren Füllständen aus Elektronen und Flussquanten kann dies im zeitlichen Mittel ausgeglichen werden. Zuständig dafür sind die Flächen der Energie x Zeit = Wirkung, die zwischen der Kurve der momentanen Energie $E_{m,n}$ und dem Zeitmittel E liegen. Diese Wirkungsflächen zu minimieren macht Sinn. Jede Abweichung bedeutet, dass entweder im Feynmanschen Sinne Energie geborgt (E- rote Flächen) wird oder im Überschuss vorhanden ist (E+ grüne Flächen). Auch wenn wir alle Möglichkeiten der Feldkombinationen ($m\cdot \Phi _{0}$; n \cdot e) zulassen, halten wir sie doch nicht alle für gleich wahrscheinlich, sondern favorisieren solche mit geringer Abweichung vom Mittelwert der Energie. Solange die Größe solcher Flächen kleiner als h ist, befinden sie sich im Einklang mit der Heisenbergschen Unschärferelation, im Sinne der vorliegenden Arbeit also im Bereich der digitalen Unsicherheit. Es müsste experimentell noch geprüft werden, ob größere Abweichungen als h im Rahmen der Naturgesetze überhaupt möglich sind. Unklar ist bisher also, ob die digitalen Grenzen echte Schranken sind oder nur Maßstäbe für statistische Aussagen liefern.

Wie verhält sich ein Schwingkreis bei einer vorgegebenen Energiemenge ? Die eingesetzte mittlere Energie sei E, die aktuelle Energie Em,n ist gegeben aus der Feldkombination ($m\cdot \Phi _{0}$; n \cdot e). Bei vorgegebener Füllung des Schwingkreises mit der Energie $E=h\cdot f$ und Vergleich mit den möglichen Energiewerten $E_{m,n}$ der elektromagnetischen Feldkombinationen, die wegen der Quantelung von magnetischem Fluss und Elementarladung möglich sind, treten Energiedifferenzen auf,

$\Delta E=E_{m,n}-E$ [3-25]

Eine daraus abgeleitete Zeit

$\Delta t=h/\Delta E$ [3-26]

ist in unserer herkömmlichen Vorstellung eine maximale Existenzdauer $\Delta t$ für ein Abweichen vom Energiemittel E. $\Delta t$ entspricht also der Lebensdauer einer bestimmten Feldkombination. Wenn diese Zeit $\Delta t$ kurz ist, bedeutet dies eine geringe Wahrscheinlichkeit $W_{m,n}$ dafür, dass der Zustand m,n (diese Kombination von elektrischen und magnetischen Feldern) auftritt, ist dagegen die Zeit $\Delta t$ lang, ist dies mit einer großen Wahrscheinlichkeit $W_{m,n}$ gleich zu setzen. Diese Wahrscheinlichkeit ist also nicht durch „Gottes Würfeln“ zufällig entstanden, sondern folgt aus einer sinnvollen Gesetzmäßigkeit, der „soliden Haushaltsführung“, sie ist im Grunde genommen bekannt als „Hamiltonsches Prinzip“. Diese hier eingeführte Wahrscheinlichkeit $W_{m,n}$ moduliert als Anteil die „totale“ Wahrscheinlichkeit, die mindestens noch die die Schwingung antreibenden Kräfte enthalten muss, die klassisch zu den Sinus- und Kosinus-Schwingungen führen.

Um die Eigenschaften des schwingenden Kreises zu analysieren, wurde die zugehörige Energie $E_{m,n}=m^{2}+n^{2}$ für jeden Knotenpunkt / jedes Element der Ladungs-Fluss-Ebene berechnet. Die Tabelle mit den Spalten „Elektronenzahl“ n und Zeilen „Flussquantenzahl“ m zeigen Bilder 32-8 und 32-9, zu sehen ist jeweils der IV. Quadrant der Ebene { $\Phi$; Q }. In Bild 3LC-8 ist klar zu sehen, dass die diagonal angeordneten Quadrate der obigen Bilder längs ihrer Kanten deutliche Energieänderungen zeigen.

Bild 32-8: Energie $E_{m,n}$ an den Knoten der Ladungs-Fluss-Ebene und farblich markiert die Diagonalen

Diese diagonalen Wege sind mit einem gleichzeitigen Wechsel der Anzahlen von Flussquanten und Ladungen bei einer konstant bleibenden Summe m+n von ihnen verbunden. Schon in den Bildern 32-3 und 32-4 war oben bei nur einem oder zwei Schwingungsquanten zu sehen, dass eine konstante Quantenanzahl m + n keine vorgegebene Gesetzmäßigkeit zu sein scheint. Kombiniert man dagegen ähnliche Energiewerte, dann nähert man sich den klassischen Kreisen, wie in Bild 32-9 deutlich wird.

Bild 32-9: Energie E_m,n an den Knoten der Ladungs-Fluss-Ebene farblich markiert ähnliche Energien

Die Wahrscheinlichkeit von Feldkombinationen

Aus Matrizen ($E_{m,n}$), die die Energie eines Schwingkreises für alle möglichen Kombinationen elektrischer und magnetischer Felder angibt, kann man nun im nächsten Schritt bei zusätzlich vorgegebener mittlerer Energie E eine Matrix mit den Elementen ($\Delta t_{m,n}$) berechnen.

$\Delta t_{m,n}=h/(E_{m,n}-E)$ [3-31]

Eine Wahrscheinlichkeit wird außer von dieser Zeit $\Delta t$ (die eine Komponente der Lebensdauer der dazugehörigen Feldkombination ist, die aus der Differenz der Feldenergien zur mittleren Energie folgt) noch davon abhängen, wieviel Matrixelemente während einer Periode T (eines Umlaufs auf einem Weg in der aktuellen Zeit t als Folge des unten beschriebenen Antriebs ) durchlaufen werden. Diese Anzahl hängt vom Abstand ${\sqrt {(m^{2}+n^{2})}}$ zum Koordinatenmittelpunkt ab, also vom maximalen Füllstand mit Elektronen oder Flussquanten, deren Quadrat mit der Energie korreliert ist.

$W_{m,n}=W_{m,n}(\Delta t_{m,n},E)$ [3-32]

Als erster Versuch wird hier der Ansatz [3-33] verwendet. Dieser Ansatz wurde durch „intelligentes Raten und Probieren“ unter Berücksichtigung der ersten Energieeigenwerte, die Singularität bei (0,0) ausschließend und als Beginn einer Reihenentwicklung, gewählt. Eine genauere Beschreibung des behandelten Problems sei der Zukunft überlassen, da der physikalische Effekt der Wahrscheinlichkeitsverteilung auch ohne die hier fehlende Normierung prinzipiell beschrieben wird.

$W=1/{\sqrt {{\sqrt {(E+1)}}\cdot (1+c\cdot \Delta E^{2})}}=1/{\sqrt {{\sqrt {(m^{2}+n^{2}+0,1\cdot E\cdot \pi +1)}}\cdot (1+1,2589\cdot \Delta E^{2})}}$ [3-33]

Bild 33-1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Grundzustand ($H=1\cdot h;m=n=1)$ mit einem Elektron oder Flussquant. Basis ist die (Q; $\Phi$)-Ebene mit dem feldfreien Zustand in der Mitte. Auf dieser Ebene ist die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Feldkombinationen logarithmisch skaliert errichtet. Im Grundzustand, Bild 32-2, tauchen die vier möglichen kleinsten elektrischen und magnetischen Felder auf, mit größter Wahrscheinlichkeit allerdings der feldfreie Zustand, da dieser im Gegensatz zu den jeweiligen elektrischen oder magnetischen Feldern viermal pro Periode auftaucht (Bild 32-3).

Bild 33-1: Die Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen bei der niedrigsten Energiestufe N = 1; ein Elektron oder ein Flussquant tragen schon mehr Energie als im Mittel vorhanden ist.

Bei einem Füllstand ($H=4\cdot h$) mit zwei Elektronen oder Flussquanten tritt die Kombination ein Elektron plus ein Flussquant gleichzeitig am häufigsten auf. Ein Magnetfeld und gleichzeitig ein elektrisches Feld sind am wahrscheinlichsten, wie Bild 33-2 zeigt.

Bild 33-2: Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen eines Schwingkreises auf der vierten Energiestufe E = 4 h f mit zwei Elektronen oder Flussquanten, N = 4.

Die Energieeinheiten elektromagnetischer Schwingungen $E=h\cdot f$ sind Photonen. Die Zahl N entspricht ihrer Anzahl. Bei großer Energie und den zugehörigen großen Füllständen tritt die klassische Kreisform mit extrem großer Wahrscheinlichkeit in Erscheinung, wie in Bild 33-3 zu sehen.

Bild 33-3: Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen eines Schwingkreises mit vielen Photonen. Klassische Kreisform bei hoher Energie im Schwingkreis.

Die einzelnen Feldkombinationen, die man sich nacheinander durchlaufen denkt, treten nicht alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf, einige Kombinationen sind dem analogen Kreis der mittleren Energie näher und damit wahrscheinlicher als andere. Daher existieren die beobachteten „Krönchen“ mit den Spitzen hoher Wahrscheinlichkeit, es gibt eine Verteilung und Modulation der Wahrscheinlichkeiten.

Man kann nun für verschiedene Energien E die Summe WS der Wahrscheinlichkeiten über alle W_m,n bilden. Dabei zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeitssumme WS für die verschiedenen Energien E deutliche Unterschiede aufweist. Dies bedeutet, dass die Umläufe während einer Periode, während der die verschiedenen Feldkombinationen durchlaufen werden, für einige Werte der mittleren Energie eine geringeres durchschnittliches Abweichen von den realen Feldenergien auftritt und diese Umläufe daher wahrscheinlicher sind, andere dagegen, deren Feldkombinationen zu größerer Abweichung führen, sind weniger wahrscheinlich. Im Experiment sollte sich dies zeigen und so bemerkbar machen, dass es eine dadurch modulierte Struktur bei der Besetzungshäufigkeit der Energieleiter des harmonischen Oszillators gibt. Grund ist die Quantelung der Ladungen und Flussquanten und die daraus folgende Verteilung der Feldenergien beim LC-Schwingkreis. Diese erwartete Modulation der Besetzungshäufigkeit zeigt Bild 33-4. Zwischen den „Krönchen“-Strukturen in der Wahrscheinlichkeitsverteilung entsprechend Bild 33-1 bis 33-3 und den Werten der Wahrscheinlichkeitssumme WS ist kein direkter Zusammenhang zu sehen, wie die Beispielbilder zeigen. Gezeigt wird mit Bild 33-4 die Summe der Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von der mittleren Energie, die bei der Simulation im Rechner zunächst alle möglichen Werte annehmen darf, nicht nur die der Energieleiter des harmonischen Oszillators. Dieses Beispiel ist für die LC-Kombinationen mit m / n = 1 berechnet. Für andere Kombinationen von m / n (also andere Impedanzen) wird das Bild seitlich gestaucht oder gedehnt. Eine solche Struktur konnte im Experiment auch wirklich beobachtet werden, das Phononenbeispiel gleich noch zeigen wird.

Bild 33-4: Wahrscheinlichkeitssumme für verschiedene Photonenzahlen bei m/n = 1 und die dazugehörige „Krönchen“ der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Wie man sieht, nimmt die Wahrscheinlichkeit der Feldkombinationen außerhalb eines relevanten Bereiches in der Nähe des der mittleren Energie entsprechenden Kreises (oder bei anderer Impedanz einer Ellipse) schnell um mehr als 20 Größenordnungen ab. Das rechtfertigt, dass nur einige 10.000 Matrixelemente in die numerische Abschätzung einbezogen wurden. Trotzdem ist ein Fehler nicht auszuschließen, denn im unendlichen ist ja mit allem zu rechnen. Weitere Einzelheiten sind im Internet beschrieben.

Die Analogie Photon - Phonon, zwei neue mechanische Quanten

Parallel zu obigen Gedanken für die elektromagnetische Energieeinheiten, die Photonen, soll nun das mechanische Gegenstück, das Phonon betrachtet werden. In der mathematischen Beschreibung von elektromagnetischen und mechanischen Problemen gibt es zwei gleichwertige Analogien, die hilfreich verwendet werden können. Kinetische und potentielle Energien in der Mechanik entsprechen dabei denen von elektrischen und magnetischen Feldern. Beide denkbare Kombinationen sind für Vergleiche möglich und führen zum gleichen Ergebnis. Massen M und Federn (Federkonstante f und ng = 1 / f Nachgiebigkeit) entsprechen dabei so oder so Spulen L und Kondensatoren C.

Mit solch einer Analogie ist es möglich, den Wechsel der Energie vom elektrischen zum Magnetfeld in einem schwingenden System auf ein mechanisches übertragen, bei dem potentielle mit kinetischer Energie abwechselt.

So wie am Anfang des Kapitels die frequenzunabhängigen Größen Ladung und Magnetfluss beim Schwingkreis festgestellt wurden, gibt es bei mechanischen harmonischen Oszillatoren mit schwingenden Massen und gespannten Federn eine von der Frequenz unabhängige maximale Auslenkung $\Theta$ und einen entsprechenden Maximalimpuls $\Pi$, wenn bei verschiedenen Schwingern das Verhältnis Feder zu Masse das gleiche ist. Dieses Verhältnis wird durch die Größe Kraft pro Geschwindigkeit, die mechanische Impedanz

$Zm=F/v={\sqrt {M/ng}}$, [3-41]

bestimmt. Sie ist materialabhängig und außerdem vom Querschnitt des Wellen leitenden Systems, also vom Durchmesser des Schallfeldes beeinflusst. Damit sind die mechanischen Größen maximale Auslenkung $\Theta$, eine Länge, und Maximalimpuls $\Pi$ zwar als gequantelte Größen existent, sie sind aber nicht solche universellen Quanten für alle mechanischen Probleme, wie die von der Materie unabhängigen elektromagnetischen Ladungen und Flussquanten. Das mechanische „Impulsquant“ ist

$\Pi =h/2\Theta ={\sqrt {Z_{m}\cdot h/2}}$ [Ns] [3-42]

und das „Auslenkungsquant“

$\Theta =h/2\Pi ={\sqrt {h/2Z_{m}}}$ [m] [3-43]

Für eine dem Klitzing-Widerstand $R_{k}$ entsprechende mechanische Größe $W_{k}$ gilt

$W_{k}=2\Pi =2\cdot {\sqrt {M/ng}}=2Z_{m}$ [Ns/m] [3-44]

Dass hier der Faktor Zwei auftaucht, ist mit den Gleichungen [3-42] und [3-43] vorauszusehen, da in den Formeln der einzelnen Quanten ja nur h/2 auftaucht und ohne den Faktor 2 die Quantenstufen der Wirkung nicht realisiert werden können. Im mechanischen System macht die mathematisch völlige Symmetrie zwischen Auslenkung und Impuls kein Problem, so dass man eine „Leitfähigkeit“ $1/Z_{m}={\sqrt {ng/M}}$ als zum Widerstand inverse Größe problemlos akzeptiert und den Faktor 2 auch im Nenner beim Viertel der Klitzing-Impedanz $W_{k}/4=\Pi /2\Theta =Z_{m}/2$ genauso hinnimmt. Wie früher erwähnt, erfordert die Größe h eine Kombination von zwei Quanten der einen Sorte mit einem der anderen, um ganzzahlig zu sein.

Im elektromagnetischen Fall bereitet die elektrisch-magnetische Monopol-Dipol-Unsymmetrie der Maxwellgleichungen einer verbreiteten Schönheitsvorstellung von Naturgesetzen Schwierigkeiten, im mechanischen Denkansatz taucht dieses Problem nicht auf.

Das M-Zentrum in Zinksulfid, ein experimentelles Beispiel

Im Zinksulfidkristall ZnS ist jedes Atom von vier Atomen der anderen Sorte umgeben, wie es Bild 34-1 links zeigt. Ein besonderes Phonon an der Grenze des von den Phononen des Wirtskristalls erreichbaren Frequenzspektrums ist das LO-Phonon. Bei ihm handelt es sich um eine stehende Welle, bei der die unterschiedlichen Atome (Zn und S) gegeneinander schwingen. Die Knoten (blau gezeichnet in Bild 34-1) der Schwingung liegen jeweils zwischen den benachbarten unterschiedlichen Atomen (Zn und S) und dichter aneinander, als bei den im folgenden betrachteten lokalen Schwingungen des M-Zentrums. Die Frequenz (10,15 THz) lässt sich mit spektroskopischen Experimenten messen, die Massen der beteiligten Atome sind bekannt und folglich kann man die aus den Bindungskräften resultierenden Federwirkungen berechnen. Daraus folgt das Modell einer linearen Kette, im Bild 34-1 Mitte links gezeigt.

Bild 34-1: Atomanordnung in Zinksulfid (ZnS), Schwingung des LO-Phonons und Modell der linearen Kette, links. Zu sehen sind die gegenseitige Schwingungsrichtung der Atome und die Knoten (blau)dieser stehenden Welle. Rechts die Fehlstelle das M-Zentrum mit einer lokalen Schwingung.

Resonanzen an Kristallbaufehlern können Frequenzen aufweisen, bei denen sich im Kristall keine Schallwellen ausbreiten können. Dadurch sind dann Phononen genauso lokalisiert wie oben Photonen im Resonator. Ein solches System mit drei unterschiedlichen lokalen Phononen ist das M-Zentrum in ZnS – die Doppel-Schwefel-Fehlstelle. Die Fehlstelle ist von Zinkatomen umgeben, die in unterschiedlicher Form gegeneinander schwingen können. Die Schwingungen mit der höchsten der drei dabei auftretenden Frequenzen zeigt Bild 34-1 rechts. Da die Eigenschaften der Federn mit dem LO-Phonon berechnet werden konnten, sind auch die Schwingungen um das M-Zentrum herum bekannt, wie die Übereinstimmung von Experiment und Rechnung zeigten. Ursache dieser Fehlstelle ist wahrscheinlich ein größeres Fremdatom an zentraler Stelle (orange), vermutlich Wolfram, das den benachbarten Schwefelatomen wegen seiner Größe den Platz nimmt. Dessen gegenüber dem Zinkatomen größere Masse macht sich aber bei der Analyse der Schwingungen kaum bemerkbar, da es nur einen kleinen Teil der Masse des schwingenden Komplexes beisteuert und von der Position her, zwischen den Fehlstellen, die Resonanzfrequenzen von allen Atomen am wenigsten beeinflusst.

Tabelle 3-1: Phononenenergien und -impedanzen des M-Zentrums in ZnS

		wavenumber Wellenzahl	energy Energie	frequency Frequenz	Spring Feder Zn	Spring Feder f	impedance Impedanz Zn	impedance Impedanz S
Phonon	nr.	1 /cm	meV	Thz	kg / s²	kg / s²	N s / m	N s / m
Monopol	2	264,30	32,77	7,92	270		5,41E-12
Dipol	1	124,20	15,40	3,72	59		2,54E-12
Dipol	0	85,50	10,60	2,56	28		1,75E-12
LO		338,60	41,98	10,15	440	217	6,92E-12	3,40E-12

Die an den Schwingungen beteiligten Atome sind alle die gleichen, die Lage der Knoten und damit die Länge der beteiligten Federn ist unterschiedlich, wie früher bereits gezeigt. Für die Analyse hier ist wichtig, dass daraus unterschiedliche mechanische Impedanzen für jede der Schwingungen folgen und hilfreich, dass das Problem eindimensional als lineare Kette zu betrachten ist (siehe Tabelle 3-1).

Bild 34-2: Emission des M-Zentrumkomplexes in Zinksulfid (ZnS) im nahen Infrarot (IR), rot: gemessenes Spektrum;
schwarz: Simulation aus den Phononen;
grün: Bei der Differenz zeigen sich die nicht zur Phononenbande gehörenden Linien;
ganz unten die bei der Simulation beteiligten Phononenleitern ausgehend von den 0 Phononübergängen bei 1479meV (I) und 1482meV (II).

Die Phononen treten bei einer Emission eines an der Fehlstelle angeregten Elektrons im nahen Infrarotbereich als Satelliten elektronischer Übergänge auf. Jede Sorte der Phononen bildet eine Leiter mit Energiestufen, die ein ganzzahliges Vielfaches seiner Energie darstellen. Dabei wird diese Energie von der des Photons abgezogen und eine niederenergetische Seitenbande des elektronischen Emissionsspektrums aus all den möglichen Phononen Kombinationen gebildet. In der roten Linie von Bild 34-2 zeigen sich Zusammenstellungen von auswertbar bis zu 8 Phononen einer Sorte.

Während in einer früheren Arbeit nur die Energiewerte ausgewertet wurden, um die energetische Lage der Emissionslinien den unterschiedlichen Schwingungskombinationen ausgehend von zwei elektronischen Übergängen zuzuordnen, wird jetzt hier versucht, auch die Amplituden der einzelnen Linien auszuwerten. Folgende Annahmen dienten der Anpassung eines synthetischen Spektrums an das gemessene:

1. Die Linien sind gaußförmig
2. Jedes der drei lokalen und des LO-Phonons hat eine individuelle Linienbreite, die für beide Phononenbanden gleich ist
3. die Linienbreite nimmt bei Mehrphononenprozessen gering und gleichartig zu

Mit diesen minimalen Anpassparametern wurde per Hand ein Spektrum ausgehend von den zwei Hauptlinien bei 1479 und 1482 meV synthetisiert, die schwarze Linie in Bild 34-2, das bis auf einige, zu diesen beiden Phononenbanden nicht gehörende Linien (grün die Differenz, es gibt weitere Übergänge), dem gemessenen Spektrum sehr ähnlich ist. Die beobachtete Empfindlichkeit des Verfahrens liegt in der Größenordnung 10% der einzelnen Amplitudenwerte.

Bild 34-3 zeigt die Amplituden innerhalb der Leitern der beteiligten Phononen 0 (10,61meV), 1 (15,41 meV) und 2 (32,8 meV) in Abhängigkeit von der beteiligten Leiterstufe. Ohne die in diesem Kapitel gefundenen Quanteneffekte, den Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Photonenzahlen, würde man erwarten, dass die Amplitude innerhalb der Phononenleitern bei Mehrphononenprozessen mit der Anzahl der beteiligten Phononen gleichmäßig abnimmt. Das Ergebnis der Phononen 1 und 2 kann so noch im Rahmen der Fehlergrenzen interpretiert werden, auch wenn bei Phonon 1 für sechs und sieben Schwingungsquanten die Amplituden davon merkbar abweichen. Das Phonon 0 zeigt dagegen bei beiden voneinander unabhängigen Phononenbanden gleichartig für drei und vier Phononen deutlich kleinere Amplitude als bei Schwingungen mit sechs bis sieben Phononen. Ein solches Verhalten ist, wie bei der Überlegung zum Schwingkreis gezeigt, zu erwarten, wenn sich die mechanischen Quanten (Ort und Impuls) entsprechend der oben in Bild 33 - 4 diskutierten Verteilung für elektrische und magnetische Feldanteile verhalten. Bei dem Ergebnis des Experiments mit Phononen machen sich die zu Ladung und Flussquant beim elektromagnetischen Schwingkreis parallelen Eigenschaften des mechanischen Systems Auslenkung und Impuls bemerkbar. Die zu den gequantelten Auslenkungen und Impulsen gehörenden Energien passen mehr oder weniger gut mit der Energie des Phonons zusammen, und daraus folgen die Wahrscheinlichkeiten ihrer Existenz.

Bild 34-3: Amplitude der Emissionslinien in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Phononen. Für jede der Leitern der Phononen 0, 1 und 2 gibt es zwei Werte, jeweils ausgehend von den beiden größten Linien (Nr. 10 und 11 im Originalspektrum). Phonon 0 zeigt die erwartete Anomalie deutlich, bei Phonon 1 wird sie schon angedeutet und bei Phonon 2 sind zu wenige Messpunkte erreicht. Oben rechts ist die Kalkulation aus Kapitel 3.3. eingeblendet, deren Breite von der Impedanz abhängt.

Da uns jeweils zwei beobachtete Linien zur Verfügung stehen, die zu gleichartigen Phononenkombinationen aber unterschiedlichen elektronischen Übergängen gehören, ist es sicher zulässig, das Abweichen der beiden äquivalenten Kurven zueinander als Fehlermaß einzuschätzen. Der beobachtete Effekt ist deutlich größer. Daraus lässt sich dann schließen, dass auch die mechanischen Quanten Auslenkung $\Theta$ und Impuls $\Pi$ den Phasenraum digital skalieren. Das bedeutet, dass nur bestimmte Auslenkungen und Impulse sowie ihre ganzzahligen Vielfachen existieren und analoge Zwischenwerte nicht vorkommen oder mit besserer Genauigkeit nicht definiert sind. Zum Vergleich der mechanischen Ergebnisse mit den Überlegungen beim Schwingkreis ist oben rechts die obige Kalkulation der Wahrscheinlichkeitsverteilung für Energie und Amplitude eingeblendet. Je nach Impedanz des schwingenden Systems ist diese Kurve seitlich zu dehnen oder zu stauchen, wäre also für alle beobachteten Phononen entsprechend Tabelle 5-1 passend.

Das 1/f-Rauschen

Auch das 1/f-Rauschen lässt sich mit obigen Wahrscheinlichkeitsüberlegungen verstehen. Wenn die Energiedifferenz zwischen der mittleren Energie und der einer Feldkombination verschwindet, (das heißt dE = 0), und auch von anderer Seite keine treibende Kraft existiert !, ergibt sich für solche Feldkombinationen eine dazugehörige unendliche Zeitspanne $dt=\infty$. Dies bedeutet, dass das damit zusammenhängende Ereignis irgendwann zwischen $t=0$ und $t=\infty$ auftritt. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis nimmt also proportional zur Zeitspanne $T$ der Beobachtung zu. Wegen $T={\frac {1}{f}}$ ist dies genau das, was wir beim 1/f-Rauschen beobachten.

Die Zeit und ihre Messung

Die Zeit und ihre Messung

Die Zeit erscheint konkret entweder als Dauer einer statischen Situation und eines Zustandes oder als Maßstab einer zeitlichen Reihenfolge, in der Ereignisse und Änderungen geschehen. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Fragen, welche Eigenschaften von „Zeit“ man physikalisch messen kann und damit nach unserem Naturverständnis Realität sind. Die Grenzen für das Erfassen der aktuellen Zeit und von Zeitdauern werden im Zusammenhang mit den Gedanken der vorherigen Kapitel diskutiert. Dabei ergibt sich, dass die aktuelle Zeit $t$ keine kontinuierlich ablaufende Größe ist, sondern in eine Folge von Zeit“dauern“ $T$ zerfällt, deren Länge von der Wahrscheinlichkeit und Energie geprägt ist, während der keine Änderung beobachtbar ist. Die Richtung der „ablaufenden“ Zeit $t$ ergibt sich aus den Systemeigenschaften. Die Zeit tritt als Beziehung zwischen Änderungen auf. Ihre Definition und Existenz hängt daher von der Dynamik der Objekte der Welt ab.

Der Gedanke der Zeit

Was ist eigentlich Zeit? Zumindest seit der Zeit der alten Griechen wissen wir, dass die Zeit zwei Komponenten hat. Dies sind

1. die ablaufende Zeit (Vergangenheit, JETZT, Zukunft), die wir an der Uhr beobachten und mit der wir eine Folge von Ereignissen in einer Reihenfolge sortieren können und
2. Zeiträume, zum Beispiel der dreißigjährige Krieg, eine Stunde oder eine Periodendauer, also eine Dauer, die konstante Zustände zwischen Änderungen charakterisiert.

Nunc fluens facit tempus,
nunc stans facit aeternitatem.

(Boethius, De Trinitate 4,70)

Das fließende Jetzt macht die Zeit,
das stehende Jetzt macht die Ewigkeit.

Im folgenden bezeichnen wir die „ablaufende Zeit“, in der es Änderungen, ein vorher und ein nachher gibt, mit kleinem t, eine Zeitdauer, während der etwas konstant bleibt, mit großem T.

Unsere physikalische Vorstellung der Zeit beruhte zunächst auf den Gedanken von Isaac Newton, 1687:

„Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig und ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand.“

Dieser wurde erweitert durch Überlegungen zur Thermodynamik und Entropie und mündet vor einhundert Jahren schließlich in den Zweifeln von Einstein-Minkowski-Raum, der die Zeit bisher nur so weit verstanden sieht, wie die Uhr sie anzeigt. Eine schöne Zusammenstellung bisheriger Überlegungen und Erläuterungen zum Zeitbegriff in relativistischen Systemen finden sich im Buch von Peter Mittelstaedt. Die Bedeutung der Zeit ragt gedanklich über unser physikalisches Weltbild deutlich hinaus.

Am Beginn dieses Beitrages über „abzählbare Physik“ wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Zeit genauso wie der Raum im Zusammenhang mit den im betrachteten System vorhandenen Objekten und Ereignissen zu Stande kommt. Beschäftigen wir uns daher zunächst mit der Frage, wie man Zeit messen kann und unter welchen Umständen eine Zeitangabe eine Aussagekraft hat. Bei statischen Problemen braucht man die Größe „Zeit“ nicht zur Beschreibung, sie taucht erst auf, wenn etwas „passiert“, wenn Änderungen beobachtet werden.

Die Zeit in periodischen Vorgängen

Welche Zeit kann man vom Pendel einer Uhr, wie es Bild 42-1 links zeigt, ablesen, wenn es keinen weiteren Bezug gibt  ? Der Pendelausschlag wiederholt sich ständig und die aufeinander folgenden Ausschläge sind allein an der Pendelposition und Bewegung nicht zu unterscheiden. So ist das nun einmal nicht nur beim harmonischen Oszillator sondern bei allen periodischen Vorgängen.

Bild 42-1: Uhrenpendel, die Geschwindigkeit des Pendels ist an der Unschärfe zu erkennen. Zur Zeitbestimmung braucht man das Uhrwerk mit den Zeigern, rechts.

Die Pendelbewegung unserer Uhr stellt Diagramm Bild 42-2 dar: Es hat als Koordinatensystem die Achsen: Auslenkung x und Geschwindigkeit v, dies sind Beziehungen zum Rest der Welt. Ein Punkt in dieser Ebene als Ergebnis einer Beobachtung gestattet nicht, daraus wesentliche Schlussfolgerungen zu ziehen. Zu einem harmonischen Oszillator würde als Kurve ein Kegelschnitt gehören, der erst mit drei Punkten charakterisiert ist. Ob dieser Kegelschnitt nun ein Kreis oder ein die Ellipse ist, hängt von den bestimmenden Größen: Masse und Rückschnellkraftparameter oder Induktivität und Kapazität ab. Des Weiteren spielt die Amplitude eine Rolle. Selbst zum Bestimmen der Größe Geschwindigkeit $v=\Delta x/\Delta t$ müssen mindestens zwei Positionen des Ortes $\Delta x=x2-x1$ und die Kenntnis einer Zeitdifferenz $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ erfasst sein, die wiederum nur mit einer externen Uhr messbar ist oder aus der Kenntnis der Periodendauer T, die aus dem Produkt der die Oszillation bestimmenden Größen folgt.

Bild 42-2: Ort und Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeiten bei harmonischen Oszillatoren.

Mit mehreren harmonischen Oszillatoren und der Überlagerung der Schwingungen kann man mit Schwebung und Interferenz langzeitliche Strukturen ausmachen, also wieder durch eine Beobachtung von außen mit mehr als einem Objekt.

Bild 42-3: Das Zählwerk der Pendeluhr.

Bei der Pendeluhr hilft das Zählwerk, dessen Zählerstand die Zeiger verdeutlichen, um die Zeit t außerhalb der Dauer T der Periode zu erfassen, Bild 42-1 rechts und Bild 42-3. Nach 12 Stunden läuft der Zähler über und alles beginnt von vorne, wenn der Zähler nicht zum Beispiel durch einen Kalender erweitert wird. Das Zählen ist wieder etwas digitales, in diesem Fall ist die fundamentale Einheit die Periodendauer T. Üblicherweise wird die Zeit in Einheiten, die mit Periodendauern zusammenhängen, gemessen und damit ein Zeitbereich des „Jetzt“ klassifiziert

• $-14\cdot 10^{9}$ ... 2018 ... ; Jahr
• Jan, Feb, … Dez; Monat
• 1,2,… 27, 28; Tag
• 1,2,… 13, 24; Stunde
• 1,… 60; Minute
• 1,… 60; Sekunde
• ; ms; µs; ns; ps; fs; as; …

Innerhalb der Periodendauer gelten die beim Schwingkreis diskutierten Einschränkungen, die zeitliche Auflösung einer ablaufenden Zeit ist energieabhängig. Bei den kleinsten Energien sind zwar innerhalb der Periode noch Zustände zu unterscheiden, zeitlich zuzuordnen sind sie aber erst befriedigend im Zusammenhang und als Mittelung über mehrere Perioden, zum Beispiel bei stroboskopischer Beobachtung.

Wie klein können wir die kleinste Zeiteinheit wählen  ? Wie lange dauert das „Jetzt“  ? Ist die Dauer einer Periode die Integration über das „Jetzt“ mit unendlich scharfen Punkten der aktuellen Zeit oder eine Addition von gegebenenfalls sehr kleinen Zeitbereichen  ? Dies führt auf die Fragen:

Wann macht die Definition der Größe „Zeit“ einen Sinn  ? Wie lange dauert das „Jetzt“?

Verfolgen wir deswegen die Frage weiter, wie man Zeit messen kann.

Der Rotator im ruhenden Bezugssystem

Betrachten wir an Stelle des harmonischen Oszillators zunächst eine sich drehende Hohlkugel, Bild 42-4. Ohne Einfluss von außen erfolgt diese Drehung um eine Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$. In einem äußeren kartesischen Koordinatensystem mit der Drehachse in z-Richtung wechselt die Geschwindigkeitsrichtung eines lokal begrenzten Bereiches auf der Oberfläche der Kugel und dessen kinetische Energie zwischen x- und y-Richtung. Die Art der Energie bleibt erhalten, aber die Geschwindigkeitskomponenten $v_{x},v_{y}$ ändern sich.

Bild 42-4: Hohlkugel, die sich frei dreht - Rotator.

Ein Beobachter von außen kann folgendes feststellen: Wenn die Kugel eine weiße und eine schwarze Hälfte hat, dann kann man sie beleuchten und ein Detektor kann die Drehung verfolgen, Bild 42-5. Der Energieaufwand dazu ist gegeben durch die Anzahl der Photonen, die man braucht, um die helle von der dunklen Seite zu unterscheiden (zum Beispiel mit einer Differenzmessung von zwei Seiten). Nach Überlegung in Kapitel 2 beim Messen eines Widerstandes sind dies mindestens vier Photonen pro Sektor und aus dem Abtasttheorem, folgt eine Periodendauer der Photonenschwingung, die mindestens um den Faktor Zwei kleiner ist als die Umlaufzeit des Rotators.

Bild 42-5: Schwarz-Weiße drehende Kugel und Beobachtung.

Daraus ergibt sich dann eine Leistung für die Beobachtung, die von der Dauer der Umdrehung abhängt und mit steigender Frequenz und Zeitauflösung größer wird. Die einzelne Umdrehung kann zeitlich auch besser aufgelöst werden, wenn die Oberfläche der Kugel feiner strukturiert wird, zum Beispiel doppelt so viele weiße und schwarze Sektoren aufgebracht sind, Bild 42-6.

Bild 42-6: Rotierende Kugel mit je zwei das Licht nach rechts oder links ablenkenden Teilflächen.

Dann braucht man mehr Leistung zum Messen, doppelt so viele Photonen / Periode und außerdem solche mit doppelter Frequenz, wegen $E=h\cdot f$ also insgesamt vierfache Energie. Dies bedeutet eine bekannte Beziehung, wenn wir die Periodendauer in N Stücke teilen, gilt für jedes Zeitintervall

$E_{N}\cdot T_{N}=h$ [4-21]

in Einklang mit den Beobachtungen am elektrischen Schwingkreis, bei dem die zunehmende Zahl der Feldzustände bei größerer Energie und entsprechender Photonenzahl ebenfalls zu einer besseren Zeitauflösung führte. Für die Leistung gilt

$P=h/T_{N}^{2}$ [4-22]

An dieser Stelle ist es möglich und gedanklich nötig, zwischen dem Energie-aufwand und dem Energie-verbrauch für die Messung zu unterscheiden. Die obige Überlegung lässt folgern, wieviel Energie für die Messung eingesetzt werden muss. Dies bedeutet aber nicht zwingend, dass diese Energie dabei auch verlorengeht. Denken wir uns die Oberfläche der Kugel daher so strukturiert, dass einfallende Photonen entweder nach links oder rechts abgelenkt werden, wie es die Bild 42-6 rechts oben andeutet. Die für die Messung eingesetzten Photonen können anschließend für weitere Messungen verwendet werden, ihre Energie geht nicht verloren, es reicht, ihre Richtung zu detektieren. Aus diesem Energieaufwand ergibt sich die bekannte Unschärferelation zwischen Zeit und Energie. Wenn die Energie verbraucht wird, dann wird ihre ursprüngliche Struktur in eine Unordnung und damit die mit ihr verbundene Information verloren gehen und der Energie-verbrauch wächst proportional mit der Messdauer.

Beobachtung im rotierenden Bezugssystem

Ein Beobachter im Inneren der Kugel kann die Lage der Drehachse feststellen. Solange er sich selbst nicht bewegt, spürt er nur die Fliehkraft F¬z auf eine Masse M, Bild 42-7. Damit gibt es eine rein räumliche Beziehung zwischen der Drehachse und der Masse. Es passiert nichts (Kreisfrequenz $omega$, Abstand zur Drehachse R), für diesen Beobachter hat die „Zeit“ keinen Sinn.

$F_{z}=M\cdot \omega ^{2}\cdot R$ [4-23]

Aus dieser Kraft F¬z kann er formal einen Rückschluss auf die Periodendauer T der Drehung ziehen, falls er sie nicht zunächst als Gravitationskraft interpretiert.

$T=2\pi /\omega =2\pi {\sqrt {(M\cdot R/F_{z})}}$ [4-24]

Er kann aber ruhend weder die Richtung der Drehung noch die Länge der Periodendauer T messen. Der Beobachter weiß also nicht, wann eine Periode vollendet ist, er hat ja keine andere Uhr als die kreisende Kugel und keinen Bezug zur Außenwelt. Die Skalierung der Zeit ergibt sich aus der Wahl der Masse-, Längen- und Krafteinheiten. Die Kraft als $F=M\cdot d^{2}x/dt^{2}$ enthält dabei einen Zeitbezug, so dass im System [4-24] alleine nur ein Zirkelschluss möglich wäre.

Bild 42-7: Messung der Fliehkraft mit Testmassen.

Bild 42-8: Messung der Corioliskraft beim Bewegen einer Masse.

Erst wenn sich der Beobachter nun mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann spürt er zusätzlich die Corioliskraft $F_{c}$, Bild 42-8, es passiert etwas.

$F_{c}=2\cdot M\cdot vx\omega$ [4-25]

Bei einer definierten Bewegung um die Strecke dx, zum Beispiel von der Peripherie zur Drehachse hin, kann die dafür benötigte Zeit dt mit der Periodendauer T in Beziehung gesetzt werden. Die Richtung der Kraft gibt uns dann die Information der Drehrichtung und es existiert ein „vorher“ und „nachher“. Im Falle der Bewegungen ist also die "aktuelle, ablaufende Zeit" t inklusive des Zeitpfeils als differentielle Größe dt physikalisch erfassbar.

$dt=4\pi \cdot M\cdot dx/(T\cdot F_{c})=(4\pi \cdot M/F_{c})\cdot (dx/T)$ [4-26]

Dieses Zeitintervall dt bezieht sich auf die Strecke dx, die in einem Bruchteil dt der Periodendauer T zurückgelegt wird. Der Vorfaktor enthält das Verhältnis von Masse M zur Größe der Kraft $F_{c}$, liefert uns daher einen vom speziellen System abhängigen Maßstab. Wenn man die raumbezogenen Größen separiert, erhält man das triviale Ergebnis

$dt=(2\cdot dx/F_{c})\cdot {\sqrt {(M\cdot F_{z}/R)}}={\sqrt {(2\cdot dx/[R])}}/{\sqrt {(F_{c}/[M\cdot F_{z}])}}=dx/v$ [4-27]

Diese Bewegung zum Erfassen der Zeit erfordert Energieumwandlung. Hier ist zu unterscheiden, ob die rotierende Kugel eine sehr große oder eine sehr kleine Masse hat. Im ersten Fall merken wir diese Änderung im wesentlichen zwischen der kinetischen und potentiellen Energie der Testmasse. Im zweiten Fall wird sich außerdem die Rotationsgeschwindigkeit unserer Kugel ändern und damit deren Rotationsfrequenz.

Harmonischer Oszillator und elektrischer Schwingkreis – die Zeit innerhalb einer Periode

Beim harmonischen Oszillator wechselt die Energie zwischen zwei Formen. Beim elektrischen Schwingkreis sind dies das Magnetfeld und das elektrische Feld als Träger der Energie, im mechanischen Fall der oben erwähnten Pendeluhr die potentielle und die kinetischen Energie. Beim in Kapitel 3 schon beschriebenen elektrischen Schwingkreis gefüllt mit wenig Energie (Bild 32-1) werden die möglichen Kombinationen elektrischer und magnetischer Felder durch die Quantelung der Ladung in Form der Elektronen und die Quantelung des Magnetfeldes mit dem Flussquant beschrieben. In den Gleichungen von Kapitel 2 und 3 sahen wir, dass die individuellen raumzeitlichen Eigenschaften der Komponenten der Schwingkreise, also die Induktivität L und Kapazität C, mit der Periodendauer T zusammenhängen und dass es davon unabhängig die fundamentalen elektromagnetischen Quanten gibt, so dass es für jede Anzahl von Wirkungsquanten $N\cdot h$ im System eine abzählbare Anzahl von Feldzuständen, die pro Periode durchlaufen werden, gibt.

$m^{2}\Phi _{0}^{2}/\pi L<->n^{2}e^{2}/\pi C$ [4-28]

$E=N\cdot h\cdot f=N\cdot h/T$ [4-29]

Die Folge davon ist, dass bei sehr kleinen Energien nur wenige einzelne Feldzustände auftreten können, bei denen der Kondensator mit einem Elektronenlochpaar oder wenigen Ladungen und die Spule mit wenigen Flussquanten gefüllt sind, so dass eine Periode T in eine entsprechend begrenzte Zahl von unterschiedlichen Feldkombinationen aufgeteilt wird. Daher ist keine genauere Aussage möglich, als dass die Energie stufenweise zwischen magnetischen und elektrischen Feldern wechselt, sie ist komplett in der einen oder anderen Form vorhanden. Dies bedeutet im kleinsten energetischen Fall $E=h\cdot f$ fünf mögliche Zustände pro Periode, alternativ je zwei Richtungen des elektrischen und des Magnetfeldes und kleine feldfreie Pausen für den Feldwechsel. Mit steigender Energie E wächst die Anzahl der möglichen Feldkombinationen. Das Auftreten der einzelnen Feldkombination erfolgt mit einer Dauer, die auf eine Wahrscheinlichkeit zurückzuführen ist, die mit der Differenz der Energie zur mittleren vorhandenen Energie und der systemeigenen Dynamik zusammenhängt. Je mehr Energie der Schwingkreis enthält, um so mehr Feldkombinationen sind möglich und um so genauer wird auch die zeitliche Auflösung beim Verteilen dieser Feldzustände auf eine ablaufende Zeit, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die einzelnen Feldzustände für verschiedene Energien in Bild 32–3 bis Bild 33–3 zeigt. Innerhalb einer Periode gibt es einen zeitlichen Ablauf, der genauer definiert ist, wenn der Oszillator mehr Energie enthält. Die zeitliche Folge der Feldzustände bedingt den weiteren Ablauf, es gibt also eine Richtung der ablaufenden Zeit t. Wir sehen das schon am Pendel, sobald wir die Position des Pendels und die Geschwindigkeit kennen, ist die weitere Abfolge zwingend. In der Energie $E_{kin}=M\cdot v^{2}/2$ verschwindet zwar die Richtungsinformation, nicht aber beim Impuls $P=M\cdot v$. Der Zeitpfeil hat hier also nichts mit thermodynamischen Wahrscheinlichkeiten zu tun, sondern folgt aus der Dynamik des Systems. Der Zeitbereich für eine aktuelle Zeit t ist allerdings auf die Länge der Periodendauer T beschränkt, danach wiederholt sich alles ununterscheidbar.

Erweiterung des Zeitbereichs über die Periodendauer hinaus

Mit mehreren Oszillatoren und damit mehr Kombinationen möglicher Feldzustände lässt sich die „ablaufende“ Zeit t verlängern. Dies zeigen anschaulich die Schwebung zweier Oszillatoren in Bild 43-1 und die Kombination von Stellungen einiger Jupitermonde zueinander, die die Anzahl von „Jupitermonaten“ nicht einfach additiv vergrößern. Die Grenze eines solchen Verfahrens kann aber nicht sein, dass man zur Verlängerung des Zeitbereiches nur immer kleinere Frequenzdifferenzen zulässt, um die Schwebungsfrequenz zu erniedrigen und deren Periodendauer $T_{d}=1/(f_{2}-f_{1})$ zu verlängern. Wenn die zur Schwebung gebrachten Frequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ jeweils auf Grund der vorhandenen Energien eine Anzahl von $N_{1}$ und $N_{2}$ Feldzuständen pro Periode aufweisen, ist die Anzahl der möglichen Kombinationen $N_{s}$ auf $N_{s}=N_{1}\cdot N_{2}$ begrenzt. Eine größere Anzahl von Zeitbereichen ist dann zunächst nicht unterscheidbar. Da die Anzahl der Feldzustände pro Periode von der Energie im Oszillator abhängt, und diese mit dem Quadrat der beteiligten Flussquanten und Ladungen wächst, $E\sim a\cdot m^{2}+b\cdot n^{2}$, und die Anzahl der Feldkombinationen mit $N\sim 2\pi \cdot {\sqrt {(m^{2}+n^{2})}}\sim {\sqrt {E}}$, wächst hier die Zeitauflösung also nur mit der Wurzel der Energie. Das bedeutet, dass diese Zunahme der Information mit der Energie durch das Schrotrauschen begrenzt ist. Neben der Anzahl der einzelnen Feldkombinationen gibt es allerdings noch die Information über deren Abfolge, worüber man sich mit dem Wissen des noch folgenden Kapitels weitere Gedanken machen kann.

Bild 43-1: Schwebung zweier Oszillatoren, rechts erweitern mehrere Jupitermonde mit ihrer unterschiedlichen Stellung zum Planeten den „Monat“.

Auch beim Zählen der periodischen Schwingungen des harmonischen Oszillators stoßen wir an Grenzen. Unsere alltäglichen Uhren zählen 24 Stunden. Darüber hinaus benötigen wir unseren Kalender. Ohne diese Liste der Vergangenheit und die eröffneten Möglichkeiten der Zukunft beginnt der Zeitablauf wieder von vorn. Mit unserem Zähler ergänzen wir also die unterscheidbaren Feldkombinationen innerhalb der Periodendauer durch die Information einer weiteren unterscheidbaren Größe. Ist dieser Zähler nicht unendlich, dann erreichen wir das „Jüngste Gericht“ und die Zeit hat ein Ende – oder es beginnt die Wiederholung. Es gibt also auf Grund der endlichen Energie eine Grenze zeitlicher Genauigkeit, also eine Definition der Grenze im kleinen, und es gibt auch eine Definition der Grenze in großem durch die Endlichkeit des Zählers. Beim Entladen des Kondensators haben wir allerdings gesehen, dass die Zeitdauern konstanter Ladung mit kleinerer Energiedichte auch immer länger werden, das „Ende“ also hinausgeschoben wird. Das Erweitern eines Zählers um mehr Stellen bedeutet, dass mehr Energie aufgewendet werden muss. Beim Dualzähler (s. die Überlegungen beim Rotator und Bild 42-6) kommt pro zusätzlicher Stelle jeweils die halbe Energie der vorherigen Stelle hinzu. Allein daraus bliebe der Energieaufwand zum Messen einer unendlich langen Zeit allerdings immer endlich (1 + ½ + ¼ +... = 2). Nicht die Länge der betrachteten Zeit sondern die zeitliche Auflösung, die Genauigkeit, liefert wesentlich den Konflikt mit energetischen Grenzen.

Beim Zählen der Perioden existiert eine Grenze der Genauigkeit. Der harmonische Oszillator mit einem Schwingungsquant hat vier mögliche „Positionen“ (elektromagnetisch +- E-Feld, +-B-Feld; mechanisch +- Auslenkung, +- Impuls), zeitlich genauer lässt er sich nicht bestimmen, es gibt also eine Unschärfe der Phase. Das Zählen unterliegt daher zwingend einer Ungenauigkeit.

Bild 43-2: Energieverteilung bei kohärenten (orange) und inkohärenten (grün) Feldern.

Wenn die Energie eines hochfrequenten Schwingungsquants $E_{1}=h\cdot f_{1}$ auf mehrere tieffrequentere $E_{1}=N\cdot E_{2}=N\cdot h\cdot f_{2}$ verteilt wird, so sind dort innerhalb der Periode des tieffrequenten mehr mögliche Feldkombinationen. Es gibt jetzt zwei extreme Möglichkeiten:

Im inkohärenten Fall wird die Energie über eine Fläche um den Koordinatenursprung verteilt, grüne Fläche in Bild 43-2. In der Wirkungsebene entspricht die Energie für eine feste Periode T der Fläche ~ R² (R Radius), die Anzahl der Feldzustände der Peripherie nähert sich zumindest für große Radien dem Umfang ~ R. Die Unsicherheit und damit das Verhältnis Signal zum Rauschen entspricht dem des Schrotrauschens, $S/R\sim {\sqrt {N}}$.

Im kohärenten Fall addieren sich die Felder gleicher Phase und die Anzahl der am Ende der in linienartiger Struktur auftretenden Feldzustände (die Feldrichtungen aller Photonen sind korreliert) ist proportional zur Energie, orange in Bild 43-2. Die digitale Auflösungsgrenze

$h=E_{1}\cdot T_{1}=N\cdot E_{2}\cdot T_{1}$ [4-31]

liefert dann für beide Frequenzen die gleiche Zeitauflösung, was beim Mischen auf tiefere Frequenzen (wie man es bei Überlagerungsempfängern einsetzt und wobei die Phase transformiert wird) erlaubt, die Information und Zeitauflösung zu erhalten.

Unter dem Blickwinkel der Information enthält das monochromatische Photon alleine keinen Bezug zur ablaufenden Zeit. Zwei Photonen gleicher Frequenz haben zueinander den Bezug der Phasenlage. Diese ist dann zeitunabhängig und der Begriff der ablaufenden Zeit tritt genauso wenig auf wie im Koordinatensystem innerhalb der rotierenden Kugel (4.2.2.). Erst wenn die Frequenzen sich unterscheiden, erscheint eine zeitabhängige Änderung der Phasenbeziehung mit beschränkter zeitlicher Dauer in Form der Schwebung. Weitere Fourier-Komponenten mit anderen Frequenzen lassen dann die ablaufende Zeit präziser und umfangreicher werden. Der Anteil tiefer Frequenzen bezieht sich dann auf die Länge der ablaufenden Zeit, im Grenzfall die Lebensdauer unseres Universums, während die endlich hohen Frequenzen für die Grenzen der Präzision und Genauigkeit verantwortlich sind.

Die Genauigkeit der Zeitmessung beim harmonischen Oszillator auf Grund der digitalen Struktur von $H=N\cdot h$

Wegen $h=E/f=E\cdot T$ zeigt Bild 44-1 mit dem Anwachsen der Anzahl der Wirkungsquanten als Funktion der Energie $E_{N}=N\cdot h\cdot f$ klassisch eine Steigung $dH/dE=T$, der Periodendauer.

Bild 44-1: Wirkung $H=N\cdot h$ des harmonischen Oszillators $H=E\cdot T$ bei unterschiedlicher Energie. Die digitale Struktur der Wirkung bedingt eine Ungenauigkeit der Zeit (die Steigung entspricht der Periodendauer T) in Abhängigkeit der Füllstände des harmonischen Oszillators.

Gequantelt ($\Delta E=h\cdot f$) ist die Steigung ungenau definiert, es gibt eine maximale Ungenauigkeit der Periodendauer auf Grund der Digitalisierungsunschärfe

$dT_{n,n}=h/\left(\left(N-{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Delta E\right)-h/\left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Delta E\right)=(h/\Delta E)\cdot \left(N/\left(N^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\right)=T\cdot N/\left(N^{2}-{\frac {1}{4}}\right)=T/\left(N-1/\left(4\cdot N\right)\right)$, [4-41]

die von der Besetzungszahl N des Oszillators (seiner Energie $E_{N}=N\cdot h\cdot f$) abhängt.

Der Sprung vom N. Energieniveau zum N+1. ist mit einem dT von

$dT_{n,n+1}=T/(N-{\frac {1}{2}})$ [4-42]

verbunden.

Statt H = f(E) wäre auch alternativ die Darstellung H = f(T) möglich. Dann wäre die Steigung die Energie mit äquivalenten Schlussfolgerungen für deren Genauigkeit, ein Ausmessen vieler Perioden T erlaubt eine genauere Bestimmung der Energie

$E=N\cdot h\cdot f=N\cdot h/T$. [4-43]

Zeitauflösung

Im Extremfall sind unendlich viele Oszillatoren an der Überlagerung beteiligt und realisieren damit einen einzelnen Delta-Impuls, wie ihn Bild 45-1 zeigt. Die unendliche Genauigkeit der Zeitangabe erfordert allerdings auch die Beteiligung unendlich hoher Frequenzen f und damit eine unendliche Energie $E=h\cdot f$. Beschränken wir uns auf eine maximale Frequenz $f_{max}$ und damit endliche Genauigkeit der Zeit $t$ +- $\Delta t,\Delta t\sim 1/f_{max}$, so bleibt auch die Energie $E_{max}=h\cdot f_{max}$ im Rahmen. Diese Überlegung betrifft zunächst nur die zeitliche Auflösung bei einer Zeitmessung. Eine begrenzte Dauer der gesamten ablaufenden Zeit t, wie sie oben bei periodischen Systemen beobachtet wurde, ist damit noch nicht ausgeschlossen. Die für eine unendliche ablaufende Zeit t nötige Einzigartigkeit des Impulses hängt dagegen von der unendlichen Dichte und den gegen die Frequenz Null vorhandenen spektralen Komponenten ab. Eine untere Grenzfrequenz würde eine endliche Dauer des zeitlichen Geschehens, in der keine Wiederholung erfolgt, bedeuten. Wegen der endlichen Zeit seit dem „Urknall“ existiert für unsere Beobachtung daher eine tiefste bisher erfassbare Frequenz. Diese Frequenz wird seit langer Zeit bis heute mit jedem neuen Tag niedriger.

Bild 45-1: Unendlich lange Zeit t und frequenzabhängige Zeitauflösung.

Photonen können Informationen übertragen helfen und enthalten die zeitliche Größe Periodendauer als fundamentale Eigenschaft. In Kapitel 3 wurde gezeigt, dass das einzelne Schwingungsquant im Resonator vier Feldzustände bei einer Messung zeigen kann, beim Photon jeweils die unterschiedlichen Richtungen eines elektrischen oder magnetischen Feldes, Bild 45-2 links. Die Grundfläche ist das Plancksche Wirkungsquantum h, mit der dritten Achse Frequenz wird die Energie als Volumen dargestellt. Diese dritte Achse gibt nun an, in wie schneller Folge die einzelnen Feldzustände abwechseln. Wenn solch eine Feldgröße die mögliche Information darstellt, dann liefert die Energie die zeitliche Dichte der Änderungen dieser Information. Rechts im Bild 45-2 ist dies zu sehen, der hohe Turm entspricht einem Photon der Frequenz $f_{1}$, die größer ist als die des flacheren Photons $f_{2}$ mit der blauen Deckfläche h.

Neben diesen beiden Photonen ist im Bild 45-2 rechts zu sehen, dass mehrere niederenergetische Photonen $f_{2}$ genauso viel Energie haben können wie ein hochenergetisches $f_{1}$. Wenn die zeitliche Informationsdichte mit der Energie identifiziert wird, dann müssten diese beiden Fälle die gleiche Information pro Zeit zur Verfügung stellen. Dies können wir im Bild 45-3 sehen. Ganz links ist das einzelne Photon mit vier möglichen Feldzuständen dargestellt. Diese stehen im Zusammenhang mit der Möglichkeit, die Phasenlage der Schwingung während des zeitlichen Ablaufs zu erkennen. Während das Bild 45-2 die Zeit als Dauer in Form der Frequenz $f=1/T$ enthält, ist in Bild 45-3 zusätzlich die ablaufende Zeit t als eine weitere Dimension durch die unterschiedlichen Farben präsent. Wenn man weitere Photonen in den Resonator gibt, so nimmt die Energie zu und damit auch die Anzahl unterscheidbarer Feldkombinationen, wie in Kapitel 3 besprochen. Dies bedeutet, dass die Phasenlage während einer Periode feiner strukturiert definiert ist, wie in den weiter links gezeigten Möglichkeiten mit 2, 4 und 8 Schwingungsquanten. Darunter sind jeweils vier erste unterscheidbare Phasenlagen a, b, c, d dargestellt. Übertragen auf Bild 45-2 bedeutet dies, dass der zeitliche Abstand des Wechsels definierter Phasen, die durch ihre jeweiligen Feldkombinationen charakterisiert sind, im Fall des hochenergetischen Photons genauso groß ist wie bei der entsprechend größeren Anzahl niederenergetischer Photonen.

Bild 45-2: Ein Schwingungsquant, die Grundfläche ist das Wirkungsquantum und mit der Frequenz als dazu senkrechte Achse liefert das Volumen die Energie. Viele Schwingungsquanten mit der Frequenz $f_{2}$ können die gleiche Energie liefern wie das hochenergetische mit der Frequenz $f_{1}$.

Bild 45-3: Der Resonator gefüllt mit 1, 2, 4 oder 8 Schwingungsquanten. Die ersten vier während einer Periode zu unterscheidenden Phasenlagen a, b, c, d sind darunter zu sehen.

Beim Messen der Zeit gibt es Grenzen der Genauigkeit. Dabei spielen folgende Einflüsse eine Rolle:

1. Die Anzahl unterscheidbarer Feldkombinationen hängt beim harmonischen Oszillator von der Energie ab. Im energieärmsten Fall kann man, wie in Kapitel 3 beschrieben, vier Feldzustände unterscheiden, Bild 45-3 links. Mit steigender Anzahl N der Quanten (Elektronen und magnetische Flussquanten) nimmt die Energie quadratisch zu, $E\sim N^{2}$. Die Anzahl der möglichen Feldkombinationen und damit die Anzahl der unterscheidbaren Zeitintervalle pro Periode wächst mit dem Umfang der Energiekreise, wie mit Bild 45-3 gezeigt wurde und im Bild 44-3 zu sehen war, also proportional zum Radius und damit zu $N$. Dieses Verhalten entspricht einer Beobachtung mit Schrotrauschen. Entsprechend dem noch folgenden Kapitel ist die Information, die die felderzeugenden Quanten tragen (Elektronen und Magnetflussquanten im elektromagnetischen System, Auslenkungs- und Impulsquanten für mechanische Systeme) dann auf die zeitliche Auflösung (die Dauer der Zeitintervalle) und als zweite Komponente auf das Verhältnis der energietragenden Felder (zum Beispiel von elektrischen zu magnetischen Feldern) aufgeteilt.

2. Proportional zur Energie steigt die zeitliche Auflösung, wenn man die Frequenz erhöht, $E=h\cdot f$. Durch Zählen von Perioden kann man Frequenz und Periodendauer verschiedener Oszillatoren vergleichen und unterscheiden, wenn man längere Zeit zählt. Um einen Unterschied festzustellen, ist es nötig, dass sich die Ergebnisse um mindestens die Zahl 1 unterscheiden. Wenn man eine angestrebte Genauigkeit vorgibt, folgt daraus eine Mindestdauer Tm für den Messprozess, das Zählen; bei zwei Oszillatoren mit den Periodendauern $T_{1}$ und $T_{2}$ also im einfachsten Fall

$T_{m1}=T_{1}\cdot T_{2}/|T_{1}-T_{2}|$ [4-51]

was dem Inversen der Differenzfrequenz von $f_{1}=1/T_{1}$ und $f_{2}=1/T_{2}$ nämlich

$f_{m}=1/T_{m1}=|f_{1}-f_{2}|$ [4-52]

entspricht.

3. Mit zwei oder mehr Oszillatoren steigt die Anzahl der möglichen Feldkombinationen, entsprechend Abschnitt 4.3. für zwei Oszillatoren auf

$N_{S}=N_{1}\cdot N_{2}$. [4-53]

Als Anzahl der einzelnen Feldkombinationen tritt dieses Produkt während der Schwebung auf ein Zeitintervall TS verteilt auf. Das Zeitintervall der Messung wird damit länger und die relative Genauigkeit der Zeitmessung steigt. Die Dauer einzelner Feldzustände wird allerdings nicht verringert und die absolute zeitliche Auflösung daher nicht verbessert.

Sanduhr, gedämpfter Oszillator und Kondensatorentladung

Eine weitere Möglichkeit, die Anzahl der Feldkombinationen zu erhöhen und damit auch die gesamte Dauer der „ablaufenden“ Zeit t, besteht darin, die Amplitude im Laufe der Zeit zu verändern, also zum Beispiel zu dämpfen, wie es in Bild 46-1 rechts gegenüber dem ungedämpften linken Teil angedeutet ist. Dämpfung erfordert einen Energieaustausch mit der Umgebung. Da eine Energieabgabe stets mit definierten Quanten erfolgt, taucht eine digitale Struktur auf.

Bild 46-1: Harmonischer Oszillator im Phasenraum ohne und mit Dämpfung.

Damit wenden wir uns von schwingenden Systemen ab. Historisch war das Stundenglas der Vorgänger der periodischen Uhren, im Prinzip eine Sanduhr, wie wir sie heute noch verwenden, Bild 46-2. In der christlichen Seefahrt mussten zwei Matrosen diese Uhr beobachten und rechtzeitig wenden, damit die für die Navigation lebenswichtige Zeitinformation nicht verloren ging.

Bild 46-2: Sanduhr.

Das einzelne Korn kennt nur das Ereignis des Ortswechsels, erst die vielen Körner liefern die Vorstellung einer ablaufenden Zeit t. Die Genauigkeit der Zeitmessung ist durch den zeitlichen Abstand der fallenden Sandkörner begrenzt. Wir benötigen für eine ablaufende Zeit t also auch hier das Beobachten einer Dynamik und den Bezug zu mehreren Objekten. Dies führt uns wieder zum Problem des Entladens eines Kondensators. Mit vielen gespeicherten Elektronen und damit bei großer Energie, erfolgt das Entladen, charakterisiert durch die Zeitkonstante $\tau =R\cdot C$, mit hohem Strom und schneller Elektronenfolge, Bild 46-3.

Bild 46-3: Entladen eines Kondensators, $U_{n}=n\cdot e/C$ rot, $E_{n}=n^{2}\cdot e^{2}/2C$ blau.

Das Entladen erfolgt Elektron für Elektron, zunächst in schneller Folge, dann immer langsamer. Die RC-Kombination als Uhr wird also im Laufe der Zeit mit sinkender Energie immer ungenauer. Wie oben ist auch hier mit dem Ablauf der Zeit ein Austausch von Energie verbunden. Mit der Wirkung H als Maß für einen Anteil der Information entspricht die Energie der entsprechenden zeitlichen Informationsdichte, $E=\Delta H/\Delta t$. Gegen Ende der Entladung sind an anderer Stelle besprochene Einflüsse durch die Magnetflussquantelung denkbar, die obige Abbildung hat also möglicherweise weitere Grenzen der Gültigkeit. Im Unterschied zu den vorher diskutierten Systemen wird es aber keine Wiederholung mit Neubeginn geben, es gibt ein Ende der Zeit, allerdings nicht unendlich spät, wie durch die Grundladung e/2 in Kapitel 2 gezeigt und mit während der Entladung mehr und mehr verschwindender Genauigkeit eines zeitlichen Intervalls für den hypothetischen Zeit“punkt“. Ein Zusammenhang mit der abzählbaren Menge von Wirkungsquanten $N\cdot h$ wurde bereits in Kapitel 2.6 beschrieben.

Abstrahlung

Die spontane Emission von Licht aus angeregten Atomen erfolgt zeitlich exponentiell mit systemtypischen Abklingzeiten. Das gleiche Verhalten zeigen niederfrequente Resonatoren, die ihre Energie abstrahlen oder an Leitungen abgeben. Die Simulation von Bild 46-11 zeigt einen Leitungsteil mit der Impedanz $Z_{R}$ und zwei unendlich stark reflektierenden Abschlüssen an den Orten x = 0 und x = $X_{0}$. Dazwischen existiert eine ungedämpfte Schwingung, bis dann zum Zeitpunkt $T_{0}$ der Schalter S geschlossen wird. Daraufhin wird an der Stelle $x=X_{0}$ nur noch ein Teil der Schwingung reflektiert und der andere Teil expandiert in die Leitung mit der Impedanz $Z_{U}$. Das Verhältnis von reflektierter zu transmittierter Energie hängt vom Unterschied der beiden Impedanzen $Z_{R}$ und $Z_{U}$ ab. Wenn beide Impedanzen ungleich sind, wird an der Übergangsstelle nur ein vom Impedanzunterschied abhängiger Teil der Energie reflektiert und es erfolgt die Energieabgabe allmählich raumzeitlich mit exponentiell abnehmender Amplitude im Resonator und entsprechender Energie in der abgestrahlten Welle. Damit treten also Feldabfolgen auf, die sich von den vorherigen unterscheiden – es gibt eine länger als eine Periode $T$ „ablaufende“ Zeit $t$. Die an die zunächst unendlich lang gedachte Leitung abgegebene Energie/Feldverteilung breitet sich mit Wellengeschwindigkeit aus, die räumliche Verteilung ändert sich mit der Zeit. Die Zeit wird in eine räumliche Dimension transformiert. Erhält die Leitung eine endliche Länge und ein reflektierendes Ende, so kehrt die Welle zurück und an der Reflexionsstelle $x_{0}$ wird sie erneut in einen transmittierten und einen reflektierten Teil aufgespaltet. Die Energie der Welle wird in Raum und Zeit verschmiert. Bei reflexionsfreier Ankopplung an der Stelle $x_{0}$ beginnt der Prozess anschließend an den Resonatordurchlauf von vorne, es ergibt sich ein periodisches Verhalten mit begrenzter endlicher Dauer $T$ der „ablaufenden“ Zeit $t$. Ein Abschluss der endlich langen Leitung mit einem üblichen ohmschen Widerstand gleicher Impedanz bedeutet das Übertragen der elektromagnetischen Information in die Unordnung der Wärme.

Bild 46-11: Amplitude in Abhängigkeit von der Zeit, wenn an eins der reflektierenden Enden am Ort $X_{0}$ der Leitung mit der Impedanz ZR zum Zeitpunkt $T_{0}$ eine Leitung mit Impedanz ZU geschaltet wird. Rechts ein größerer Zeit- und Raumbereich.

Wie weit die Analogie reicht, sieht man am für das Abklingen des Lichtes bei spontaner Emission relevanten Einsteinkoeffizienten, der mit dem Realteil der Brechzahl n multipliziert werden muss, wenn die Umgebung des strahlenden Atoms nicht Vakuum sondern ein Medium mit der Brechzahl $n={\sqrt {(\mu _{r}\cdot \epsilon _{r})}}$ ist.

Diese „analoge“ Beschreibung ist zunächst für Resonatoren mit vielen darin enthaltenen Photonen richtig oder als Mittelwert eines Ensembles von Atomen, die jeweils ein Photon abstrahlen. Sie gestattet jedoch nur wenig Aussage über das einzelne Photon an einem einzelnen Atom. Die Situation ist ähnlich zu dem in Kap.2.6. und Kap.5.3.1. untersuchten Entladen eines Kondensators. Bei diesem Energiespeicher für das elektrische Feld gibt es genauso wie beim Energiespeicher für das Magnetfeld, der Spule, einen Zusammenhang zwischen der Zeitkonstante der Entladung und der Impedanz, über die entladen wird. Setzt man Ähnliches für das fluoreszierende Atom an, dessen Energie in die Impedanz des Vakuums entladen wird, so gilt $\tau =R\cdot C_{A}=Z_{0}\cdot \epsilon _{0}\cdot \lambda _{CA}$ und $\tau =L_{A}/R=\mu _{0}\cdot \lambda _{LA}/Z_{0}$ mit den Quotienten aus Länge und Zeitkonstante, $\lambda _{L}A/\tau =\lambda _{CA}/\tau =c$, der Lichtgeschwindigkeit und dem Quadrat der Zeitkonstante $L\cdot C=\tau ^{2}$. Die Quotienten $\lambda _{XY}=A/d$ aus Flächen und Abständen, die die räumliche Feldverteilung charakterisieren, sind dabei groß gegen die Wellenlänge der emittierten Strahlung.

Aus Kapitel 2 kennen wir die Darstellung von Impedanzen mit den abzählbaren Größen Ladung e und Flussquant $\Phi _{0}$. Dies soll nun im Zusammenhang mit der Reflexion anwendet werden, weitere Einzelheiten sind im Internet ausgeführt. Das Ergebnis ist, dass die bekannten Reflexionsgesetze das Erhalten der Anzahlen von Ladungen und magnetischen Flussquanten beinhaltet, wenn man eine mögliche Vorzeichenumkehr mit berücksichtigt. In diesem Fall werden gegebenenfalls bei der Reflexion neue Quanten erzeugt, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen für die unterschiedliche Richtung beim Ausbreiten.

Bild 46-12: Reflexion elektromagnetischer Signale an der Koppelstelle zweier Leitungen unterschiedlicher Impedanzen R1 und R2.

In Bild 46-12 sind die beiden verbundenen Leitungen mit den Wellenwiderständen $R1=(m1/n1)\cdot \Phi _{0}/e$ (grün) und $R2=(m2/n2)\cdot \Phi _{0}/e$ (rot) und der Reflexionsstelle (blau) zu sehen. Die Leitungen sind jeweils charakterisiert durch das Verhältnis m/n der Anzahl der Flussquanten pro Elektron in ihrem Bereich. Die ankommenden magnetischen und elektrischen Quanten $Ql_{\Phi }$ und $Ql_{Q}$ verteilen sich auf die reflektierten $Rf_{\Phi }$ und $Rf_{Q}$ und den Transmissionsanteil $Tr_{\Phi }$ und $Tr_{Q}$. Die Tabelle mit 4-1 gibt die Anzahlen für die einzelnen Anteile an.

Tabelle 4-1: Verteilung der Quanten der Quelle auf reflektierte und transmittierte Wellen.

	Quelle	Reflexion	Transmission
Φo	(m1·n2) + (m2·n1)·m1= Ql Φ	[(m1·n2) - (m2·n1)]·m1= Rf Φ	Qm+-Rfm=TrΦ
e	(m1·n2) + (m2·n1)·n1=QlQ	[(m1·n2) - (m2·n1)]·n1=RfQ	Qe+-Rfe=TrQ
m/n	m1/n1	m1/n1	m2/n2

Mit den Impedanzen der Quelle Leitung 1, links, $R1=(m1/n1)\cdot {R_{k}/2}$ und der Leitung 2 hinter der Reflexionsstelle, rechts $R2=(m2/n2)\cdot {R_{k}/2}$, ist das für Reflektion und Transmission relevante Verhältnis

$V_{1,2}=R1/R2=(m1/n1)/(m2/n2)=(m1\cdot n2)/(m2\cdot n1)$ [46-1]

und für die Reflexion gilt

$Re=(m1\cdot n2-m2\cdot n1)/(m1\cdot n2+m2\cdot n1)$ [46-2]

und entsprechend für die Transmission

$Tr=1-|Re|=[2(m1\cdot n2)]/[(m1\cdot n2)+(m2\cdot n1)]$ [46-3]

Dies bedeutet, wie schon oben erwähnt, dass an der Reflexionsstelle neue Quanten auftauchen können. Dies geschieht allerdings paarweise mit entgegengesetztem Vorzeichen, so dass die Summe von Ladungen und Flussquanten unverändert bleibt.

Unabhängig von der Anzahl der anfallenden Quanten bleiben die Summe der Energie und damit die Informationsdichte erhalten und unverändert.

Spontane Emission des einzelnen Photons und Abklingzeit

Was folgt aus dem Zusammenhang zwischen der Impedanz unseres Photonen abstrahlenden Systems und der Abklingzeit für ein einzelnes Atom, das nur ein Photon zur Abstrahlung bereit hält  ? Im Experiment beobachten wir nach definierter Anregung, dass irgendwann  ! dieses Photon abgestrahlt wird, der mögliche Zeitbereich der Emission erstreckt sich vom Beginn der Anregung bis unendlich. Aus diesem Einzelfall kann keine Abklingzeit ermittelt werden, nur die Tatsache, dass überhaupt abgestrahlt wird; die Abklingzeit und die entsprechende Impedanz bleiben also unbestimmt. Erst wenn mehrere Photonen beobachtet sind, also der Versuch im Zeitbereich mit einem einzelnen Atom wiederholt wird oder räumlich gleichzeitig viele Atome angeregt werden, auf jeden Fall also das Experiment mit vielen Photonen in Relation zueinander durchgeführt wird, kann man genauere Aussagen über die Abklingzeit und damit auch die Impedanz gewinnen. Hinter der Physik der Abklingzeit steht die Information als Eigenschaft einer Gruppe. Betrachtet man das einzelne Atom und wiederholt das Experiment, so werden die einzelnen Photonen im allgemeinen mit verschiedener Verzögerungszeit nach einer impulsartigen Anregung ausgesandt. Bei zwei Photonen zu verschiedenen Zeiten nach gleichzeitiger Anregung könnte man einen zeitlichen Schwerpunkt dazwischen so bestimmen, dass das erste Photon der ersten Halbwertszeit zugeordnet wird und das zweite der Restzeit, wegen der Varianz des Schrotrauschens ist dies aber physikalisch nicht sinnvoll. Mit vier Photonen kann man einen ersten zeitlichen Schwerpunkt bestimmen und auch eine Varianz abzuschätzen, die genauer als der gesamte Zeitbereich von $t=0...\infty$ ist.

Bild 46-21: Zeitliches Abklingen der Energie mit der Halbwertszeit $\tau$ (oben) und zeitlich transformierte Darstellung [0 =< t’ =< 2] mit konstanter Photonendichte (unten).

Bild 46-21 zeigt das Prinzip. Die wahrscheinliche zeitliche Verteilung der emittierten Photonen wird uns mit der e-Funktion beschrieben. Zur Halbwertszeit wurde bereits die erste Hälfte der Photonen emittiert, die andere Hälfte folgt danach. In der nächsten Halbwertszeit sind wieder genauso viele Photonen zu erwarten wie in der darauf folgenden Restzeit. In der oberen Darstellung sind beide Achsen linear skaliert. Im unteren Teil des Bildes wird eine andere Transformation verwendet. Die Zeitachse wird so skaliert, dass jeweils gleiche Photonenzahlen pro Zeiteinheit erscheinen. Eine Transformation der Zeitachse t --> t’ gestattet uns dies, und damit wird erreicht, in Bild 46-21 unten symmetrische Verhältnisse darzustellen, wobei mit dieser nichtlinearen Zeitachse t’ in diesem anders skalierten Bild die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Photonenemission konstant ist. Dies erinnert an das Paradoxon des Zenon von Elea, den Wettlauf mit der Schildkröte bei einer ähnlichen gedanklichen Zeitkompression und entsprechend auch dem Entladen des Kondensators.

$t_{n}=n\cdot \tau$ ;$t_{n}=\sum (1/2^{n})$ [46-4]

Bei vier emittierten Photonen kann man dann erwarten, dass zwei in der ersten Hälfte und zwei in der zweiten Hälfte auftreten. Allerdings tritt durch das Schrotrauschen eine Unsicherheit mit der Wurzel aus der Anzahl der Photonen auf: 4 +-2 bedeutet, dass anstatt der gleichmäßigen Verteilung 2: 2 auch 3: 1 oder 1: 3 als Verteilung wahrscheinlich wäre. Die Abklingzeit $\tau$’, die wir aus der zeitlicher Struktur entnehmen können, ist also mit einer Unsicherheit behaftet und man kann nur drei Zeitbereiche unterscheiden, Bild 46-22 oben:

Bild 46-22: Bestimmung der Halbwertszeit bei verschiedenen Photonenzahlen. Das gesamte Intervall 0 =< t’ =< 2 ist mit 4 Photonen in drei Klassen aufteilbar, mit 16 schon in fünf.

I. den Zeitbereich vor der Abklingzeit (der erste Teil des Zeitbereich außerhalb der Abklingzeit) II. den Zeitbereich, in den die Abklingzeit fällt III. den Zeitbereich später (der zweite Teil des Zeitbereich außerhalb der Abklingzeit)

Mit neun Photonen ist bereits eine genauere Klassifizierung möglich, die Abklingzeit ist mit +-3 Photonen im Bereich zwischen dem dritten und dem siebten Photon, Bild 46-22 Mitte; in Bild 46-22 unten mit sechzehn Photonen und +-4 Photonen zwischen dem sechsten und elften Photon ist die zeitliche Struktur noch genauer definiert. Die Genauigkeit, mit der die Abklingzeit bestimmt werden kann, wächst mit der Wurzel der Zahl der Photonen und überträgt sich entsprechend auf die Impedanzbestimmung. Damit ist klar, dass nicht das einzelne Photon die Information der Halbwertszeit trägt, sondert diese Art Information erst in den Beziehungen vieler beobachteter Photonen untereinander existiert. Das einzelne Photon trägt die Information des Ortes und der Zeit der Beobachtung, wir leiten andere Größen durch Beobachtung zahlreicher Photonen und passende Integration ab, im allgemeinen bei Verminderung der Menge der gesamten ursprünglich zur Verfügung stehenden Information. Eine elektrische Impedanzmessung durch Zählen von Elektronen und magnetischen Flussquanten hat übrigens die gleiche Konsequenz, s. Kapitel 2, erst über die großen Zahlen kann eine große Genauigkeit erreicht werden. Die abzählbaren Größen sind durch das Schrotrauschen charakterisiert.

Es muss an dieser Stelle erwähnt werden, dass die obigen Gedanken gelten, wenn man wirklich einen Überblick über den gesamten Abklingprozess hat. Dies ist nach genügender Intensitätsabnahme oder kontrollierter Anregung der Fall, wenn man zum Beispiel weiß, wie viele Photonen insgesamt auf Grund der Anregung emittiert werden können. Wenn dies nicht bekannt ist, muss man die Zeitdifferenzen zwischen den einzelnen Photonen messen. Der mittlere zeitliche Abstand zwischen den Photonen wird sich bei jeder folgenden Halbwertszeit verdoppeln. Daraus lässt sich dann ebenfalls der Verlauf des Abklingens mit den oben diskutierten Grenzen der Genauigkeit rekonstruieren, die Ableitung einer e-Funktion ist eben wieder eine e-Funktion.

Zwischen den einzelnen fluoreszierenden Zentren besteht in Bild 46-23 nach gegenwärtiger physikalischer Deutung nur der Zusammenhang der gleichzeitigen Anregung. Es gibt keine bekannten Wechselwirkungen zwischen ihnen, die die Information der Fluoreszenz an andere Zentren übertragen und miteinander abstimmen. Das andere Extrem wäre die räumliche Singularität. Ein einzelnes geeignetes Atom, also an einem festen Raumpunkt, wird mehrfach angeregt und jeweils das Zeitintervall bis zur Fluoreszenz registriert. Von der damit möglichen Messfolge könnte man mehr oder weniger viele Ergebnisse auswählen und kombinieren. Sowohl die Abklingzeit wie auch die Impedanz sind kollektive Größen, die erst in der Summe von Einzelereignissen ihren Sinn erhalten. In unserer gegenwärtigen Modellierung finden wir keinen Bezug der Größe Abklingzeit, die wir dem einzelnen Objekt zur Umgebung im Universum zuordnen, jedenfalls solange man die Abhängigkeit der Einsteinkoeffizienten von der Brechzahl außer acht lässt. Die Größe Impedanz dagegen kann man sich durchaus schon jetzt als auch von der Umgebung geprägt vorstellen.

Bild 46-23: Impulsartige Anregung eines Fluoreszenz-Volumens und Detektion der Abklingzeit in verschiedenen Messfeldern.

Der Experimentator bestimmt mit der Art der Anregung und der Auswahl des Beobachtungsfensters, welche Gruppe von Fluoreszenz-Zentren für das Ergebnis der Messung zusammenwirkt und die gemeinsame Information repräsentiert. Dank des Schrotrauschens ist diese Auswahl unabhängig von individuellen Objekten, es ist also egal, wie diese Gruppe zusammengesetzt wird. Die Ergebnisse solcher Messungen lassen erwarten, dass es im Bereich der Information Zusammenhänge gibt, die wir bisher noch nicht physikalisch beschrieben haben.

Zeit und Länge

Erst die Beziehung von Quanten untereinander oder der Bezug eines einzelnen Quants auf die Maßstäbe von Raum und Zeit, welche die Wirkung und Existenz der anderen Objekte des Universums repräsentieren und eine Beziehung zu diesen ermöglichen, gestattet uns, physikalische Größen in gewohnter Weise zu definieren und zu messen, siehe Kapitel 1.1. Mit zwei Objekten gelingt es, einen Abstand zu erhalten. Eine Richtung wird damit noch nicht definiert, denn Richtungen gibt es in diesem zunächst eindimensionalen Raum noch nicht. Dazu werden mindestens drei Objekte und die daran gekoppelten Beziehungen benötigt.

Am Beispiel der Zeit wurde erörtert, dass es einen Unterschied im Beschreiben zeitlicher Bezüge gibt, zeitlicher Längen als „Dauer“ konstanter „Zustände zwischen zwei Änderungen“ und beim zeitlichen Sortieren von „Ereignissen“ in eine Reihenfolge, bei denen sich i.a. Energieformen ändern. Die ablaufende Zeit ist dann eine Folge von Zeitdauern, während denen keine Änderungen geschehen. Damit liefern diese „Dauern“ eines der Maße dafür, wie genau die physikalisch beschriebene Welt zeitlich definiert ist.

Für die Kombination zeitlicher Dauern gilt ein Gesetz, wie es Bild 47-1 demonstriert.

$T_{kl}+T_{l--}++T_{--m}=T_{km}$ [47-1]

Die ablaufende Zeit als eindimensionale Größe ermöglicht diesen einfachen Zusammenhang der Addition von Dauern für zeitliche Beziehungen.

Bild 47-1: Die Addition zeitlicher Dauern.

Bild 47-2: Die Additionen von Längen sind auf Flächen zurückzuführen.

Das Aneinanderhängen von Längen geschieht dagegen nicht so einfach, da es in mehr als einer Dimension auch noch Richtungen gibt und nicht nur Positionen. Kombinierte Vektoren sind komponentenweise zusammenzufassen. Damit kommt der Satz des Pythagoras ins Spiel und die zu addierenden Größen sind Flächen, wie es Bild 47-2 zeigt. Für die Längen $L_{12}$ und $L_{23}$ gilt zunächst,

$L_{12}^{2}+L_{23}^{2}=L_{13}^{2}$ [47-2]

was der Addition des roten und grünen Quadrates zum gelben entspricht. Die Addition einer dritten Komponente, $L_{34}$, führt dann zur Addition des blauen Quadrates mit dem Ergebnis des violetten $L_{14}$. Die Addition könnte auch in anderer Reihenfolge erfolgen, also erst das rote und dann das türkise Quadrat als Ausgangskombination.

$L_{12}^{2}+L_{23}^{2}+L_{34}^{2}=L_{14}^{2}$ [47-3]

Oben rechts in der Abbildung sind die jeweils am Pythagoras beteiligten Dreiecke mit ihrem rechten Winkel markiert.

„Zustände“ und „Ereignisse“ können abhängig vom Standort sein. So ist aus der elektrischen Sicht die „Dauer“ des konstanten E-Feldes erzeugt von einer Ladungsmenge (zwischen den Platten eines Kondensators) durch das „Ereignis“ Stromfluss begrenzt, während eine solche Zuordnung aus magnetischer Sicht (das konstante Magnetfeld in der stromdurchflossen Spule) genau umgekehrt erfolgt.

Das räumliche Pendant sind „Längen“ und „Positionen“ sowie bei mehr als einer Dimension noch „Richtungen“, mit denen man geometrische Größen und Abstände erfasst. Es gibt allerdings einen wesentlichen Unterschied zwischen Zeit und Raum: im von der ablaufenden Zeit losgelösten Raum gibt es keine Vergangenheit oder Zukunft und damit keine allgemein ausgezeichnete Richtung im dreidimensionalen Raum, sie existiert nur im Bezug auf eine Objektkombination.

Beide Maße für Raum und Zeit zeigen Grenzen des physikalisch definierten Geschehens auf Grund der endlichen Informationsmenge, die in dem beobachteten und mit Messungen erfassten Teil der Welt vorliegt. Es gibt also Schwellen für unterscheidbare Zustände und kleinste Maßeinheiten.

Die im Zusammenhang mit Induktivitäten und Kapazitäten eingeführten Längen $\lambda _{x}$ und Zeitkonstanten $\tau _{x}$ ergeben sich erst durch die Kombination mit externen Impedanzen entweder direkt oder in ihrer Kombination mit den in Kapitel 6 diskutierten Geschwindigkeiten, wie man beim Entladen feldtragender Elemente und auch bei den Abklingzeiten einer Fluoreszenz im Zusammenhang mit den Einsteinkoeffizienten sehen kann, s.o.

Die Größen der Intervalle „Dauer“, „Ereignisse“ und „Länge“… hängen von der Menge N an Informationsblöcken ab, die die Wirkung $H=N\cdot h$ repräsentiert. Die Energie

$E=dH/dt=h\cdot \Delta N/\Delta t;(H=N\cdot h)$ [47-4]

ist dann die zeitliche Dichte dieser Information. Dazu gehört dann ein kleinstes definiertes und beobachtbares Intervall $T_{min}=\Delta t$, das von der Größe der Energie E abhängt.

Definitionsgrenzen der Zeit

1. Der Begriff der „ablaufenden Zeit“ $t$ macht nur Sinn, wenn er im Zusammenhang mit Ereignissen und Veränderungen benutzt wird.

2. Zunächst existiert „Zeit“ in Form einer Dauer $T$, während der irgend ein Zustand, eine Größe konstant bleibt (Ladung auf dem Kondensator, Anzahl der Sandkörner im Volumen der Uhr, Kombination von Feldzuständen). Anfang und Ende einer Dauer sind mit Änderungen verbunden, die eine Reihenfolge charakterisieren können. Wie in Kapitel 6 zu sehen sein wird, kann einer Dauer eine zeitliche Richtung zugeordnet werden.

3. Die Zeit als Dauer tritt bei sich wiederholenden Vorgängen auf, zum Beispiel der Periodendauer des harmonischen Oszillators, aber auch bei der Zeitkonstante des RC-Gliedes, sie charakterisiert die Existenz und Stabilität eines Zustandes, zum Beispiel einer Feldkombination.

4. Treten innerhalb einer Periodendauer $T$ unterscheidbare Zustände auf, so existiert eine „ablaufende“ Zeit t während und für die Dauer einer Periode mit einer zeitlichen Auflösung $\Delta t$, die durch die Anzahl der verschiedenen durchlaufenen Zustände und deren „Lebensdauer“ als Bruchteil der Periodendauer $T$ gegeben ist. Diese Dauer $\Delta t$ ist mit der Energie gekoppelt.

5. Diese „ablaufende“ Zeit $t$ hat eine Richtung, die sich aus der Dynamik des Systems ergibt. Sie erlaubt, „vorher“ und „nachher“ zu unterscheiden, also „schon bekanntes“ und „erwartetes“.

6. Werden mehrere Systeme kombiniert, so ergeben sich mehr mögliche Kombinationen von Zuständen und damit eine längere Folge von „Lebensdauern“ statischer Kombinationen – gleichbedeutend mit einer längeren Zeitspanne, für die eine „aktuelle Zeit“ definiert werden kann.

7. Eine unendlich lange „ablaufende“ Zeit erfordert eine unendliche Menge von Kombinationen unterschiedlicher Zustände oder unendlich lange Zeitspannen. Da der Energieaufwand für unendlich lange Zeitspannen gegen unendlich klein konvergiert, gibt es aus energetischen Gründen keine Grenze für eine unendlich lange Zeit, gegebenenfalls aber aus der endlichen Anzahl von Zuständen.

8. Mit einem externen Zähler kann eine langfristig „ablaufende“ Zeit definiert werden. Zum Zählen wird Energie benötigt. Für eine unendliche Dauer bleibt diese Energie begrenzt, für eine unendliche Auflösung der Zeit dagegen nicht.

9. Die mögliche Genauigkeit der Zeit ist also durch die Energie begrenzt, eine unendlich kurze Zeitspanne erfordert eine unendlich große Energie.

10. Das „jetzt“ der ablaufenden Zeit ist dadurch charakterisiert, dass es zwei unterschiedliche Zustände voneinander trennt. Die Zeit $T$ als Dauer und als ablaufende Zeit $t$ sind daher komplementäre Größen im Sinne des Abtasttheorems.

Die Zeit $t$ ist also nicht eine kontinuierlich ablaufende Größe, sondern zerfällt in eine Folge von Zeit“dauern“ $T$ mit einer von der Wahrscheinlichkeit und Energie geprägten Länge, während derer jeweils keine Änderung von Zuständen beobachtbar ist. Die Zeit“richtung“ ergibt sich aus den Systemeigenschaften und Anfangsbedingungen.

Die Zeit als Dauer ist charakteristisch für einzelne Objekte wie die Periodendauer des Schwingkreises, die Zeitkonstante einer RC-Kombination oder die Lebensdauer radioaktiver Atome. Sie stellt den Bezug zwischen dem Beginn und dem Ende eines statischen Zustandes her. Mehrere Zeitspannen kann man natürlich in „länger“ und „kürzer“ sortieren.

Die ablaufende Zeit $t$ liefert eine Beziehung zwischen mehreren Objekten oder Zuständen und damit verbundenen Ereignissen, ein „Vorher“ und „Nachher“ gibt es für ein einzelnes Ereignis nicht.

Für einen Rotator oder harmonischen Oszillator ist es eindeutig, was in der Zukunft passiert oder in der Vergangenheit war, wenn man die aktuellen Größen, zum Beispiel Ort und Geschwindigkeit kennt. Aus der Kombination der beteiligten Energien kann man dies nicht sehen, da diese durch das Quadrieren ($E_{kin}=m\cdot v^{2}/2$,...) die Richtungsinformation verliert, die im einzelnen Vektor der Geschwindigkeit aber enthalten ist. Die zeitliche Symmetrie vieler physikalischer Gleichungen führt eigentlich nicht zu einem Vergangenheits-Zukunfts-Problem, denn aus dem aktuellen Zustand mit allen Koordinaten im Phasenraum ergibt sich der zeitliche Ablauf. Falsch ist unsere Vorstellung einer unendlichen Genauigkeit in einer analogen Welt. Ein Problem taucht beim Beschreiben eines physikalischen Systems erst auf, wenn der Zustand unterhalb der Definitionsschwelle (der Größe der Digitalisierungsstufe) liegt und daher die Zukunft noch nicht aus den Naturgesetzen definiert wird, das heißt damit also auch nicht daraus folgend vorherbestimmt ist.

Die Zeitvorstellung dieses Kapitels betrifft keine absolute Zeit, sondern Zeit als eine Art der Information, die Beziehungen von Ereignissen beschreibt. Die Zeit $T$ beschreibt die Dauer zwischen dem Start und dem Ende eines konstanten Zustandes. Eine solche Information existiert nur in Bezug auf mehr als ein Objekt oder einen Zustand, wie beim Rotator zu sehen war. Die ablaufende Zeit $t$ beschreibt Konstellationen zwischen verschiedenen Ereignissen, hier sind Bezüge offensichtlich.

Bei den noch folgenden Gedanken wird sich teilweise eine Symmetrie zwischen räumlichen und zeitlichen Beziehungen zeigen. Es liegt daher nahe, auch beim Beschreiben des Raumes nach ähnlichen Charakteristiken zu suchen, wie sie zum Verständnis der Zeit dienten. Der räumliche „Abstand“ beschreibt die Entfernung zwischen zwei Objekten. Dies ist zunächst genau so eine analoge Größe wie ein zeitlicher Abstand. Im Gegensatz dazu steht die schon in Kapitel 3 gequantelt aufgetretene Größe einer Amplitude, die eine Eigenschaft eines schwingenden Systems anscheinend ohne Bezug auf die Umgebung ist. Eine „Länge“ im Raum entspricht daher der „Dauer“ bei der Zeit. Man kann Objekte nach ihrer Länge sortieren, genauso wie schwingende Systeme nach ihrer Periodendauer. Auch eine solche Länge bedarf allerdings eines Bezuges. Beim Rotator war die Periodendauer ohne Bewegung von einem Relativobjekt im mitbewegten Koordinatensystem nicht definiert. Das Auslenken einer Masse in einem Masse-Federsystem bezieht sich auf die Fixpunkte der Feder, ohne einen solchen Bezug ist ihre Angabe in einem mitbewegten Koordinatensystem sinnlos.

Mit der kleinsten Informationseinheit, 1 Bit, kann man (nur!) beschreiben, ob ein räumlicher Punkt innerhalb oder außerhalb eines Volumens liegt oder zeitlich ein Ereignis innerhalb einer Zeitspanne, der Dauer, oder außerhalb stattfindet. Die Menge an Information liefert also immer die Grenzen der möglichen Genauigkeiten von zeitlichen und räumlichen Maßstäben und der mit ihr beschreibbaren Bezüge in der physikalischen Welt.

Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film

Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film

Das Messen fundamentaler Größen bedeutet: Zählen.

Ursache von Unschärferelationen ist ein Raster.

Viele gemessene Größen entstehen durch Integration in Zeit oder Raum.

Beim Integrieren kann Information verloren gehen, muss es aber nicht.

Die Aufnahme von Bildern und Filmen macht viele Probleme des Messens anschaulich, da es sich bei Photonen um abzählbare Größen handelt, übliche Bildaufnehmer geometrisch gerastert sind und die Bildwiederholungsrate eine zeitliche Struktur liefert.

Die Struktur des Messapparates begrenzt die Genauigkeit einer Messung. Einzelne Quanten tragen nur eine begrenzte Informationsmenge.

Information ist im Bezug von Quanten untereinander enthalten.

Informationsmenge pro Zeitintervall und Energie sind einander proportional. Bei anderen Beobachtungen gilt es, nach weiteren Formen der Information zu suchen.

Die Frage, wieviel Bit ein Quant transportieren kann, klärt sich, wenn man neben den abzählbaren Quanten noch die Art und Anzahl der Informationskanäle berücksichtigt.

Eine Form von Information kann in eine andere transformiert werden.

Zum Problem des Messens und der Information

Im Zeitalter des Internet ist uns der Begriff „Information“ vom Telefon über das Fernsehen bis zum Bankautomaten alltäglich geworden. Carl Friedrich von Weizsäcker sieht die Information der Physik in Form der Urs im Hintergrund über den übrigen physikalischen Theorien stehen. Mit jeder Messung erwerben wir Information über physikalisches Geschehen und von daher stellt sich schon die Frage, welche Bedeutung Information im Zusammenhang mit dem physikalischen Bild der Welt hat. Bei Messungen ist bekannt, dass es Grenzen der Genauigkeit gibt, d.h. die Informationsmenge des Ergebnisses einer Messung ist beschränkt. In den vorherigen Kapiteln begegnete uns die Information im Zusammenhang mit Quanten, die abzählbar sind und deren Menge einen Einfluss auf Art und Genauigkeit unserer Beobachtungen hat. So hing im „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ die Genauigkeit einer Widerstandsmessung von der Menge der detektierten Elektronen und magnetischen Flussquanten ab, im Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ waren die Abläufe durch die Anzahl der Feldzustände und ihrer Kombinationen beschrieben und im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ war die Zeit nur so genau definiert, wie die vorhandene Energie es zuließ.

Es liegt daher nahe, nach Korrelationen einer Menge von Quanten und einer Menge an Information zu suchen. Wir sind damit vertraut, Information mit Quanten zu übermitteln. Dies geschieht mit elektromagnetischen Wellen durch Photonen vom Rundfunkbereich bis zur kosmischen Strahlung. In der Mikroskopie werden auch Elektronen und Ionen eingesetzt, in der Sonographie verwendet man Schall. Wie verteilt sich die vorhandene Information auf eine Vielzahl von Quanten? Welchen Einfluss hat bei einer Messung der Experimentator durch die Wahl seiner Messmethode? Es ist sicher klar, dass mit einer begrenzten Anzahl von Quanten nur eine begrenzte Menge von Information übertragen werden kann. Wie wird die Information, die ein Objekt enthält, mit Quanten übertragen? Gibt es eine Auswahl von Teilinformationen und wenn ja, wie findet diese Auswahl statt, schon objektseitig oder erst beobachterseitig? Kann man den Informationsgehalt von einer Größe in eine andere transformieren?

In den vorherigen Kapiteln wurde schon gezeigt, dass die Heisenbergsche Unschärferelation ihre Ursache in der Abzählbarkeit des Planckschen Wirkungsquantums $h$ hat. Optische Abbildungen, also Messungen mit Photonen, bieten die Möglichkeit, solchen Fragen anschaulich nachzugehen. Es gehört wohl zum individuellen Erfahrungsschatz, dass man bei Dunkelheit Farben und Formen schlechter sieht, als wenn es hell ist oder gar nicht mehr erkennen kann und jeder, der schon einmal die Abbildung einer Lochkamera gesehen hat, weiß, dass man damit die Entfernung der abgebildeten Objekte nicht ermitteln kann, mit einer Linsenkamera dagegen muss man auf die passende Entfernung scharf stellen. Es ist klar, dass man die Form eines Objektes erst mit genügender Anzahl von Photonen oder Elektronen im Mikroskop rekonstruieren kann. Im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ wurde gezeigt, wie viele Photonen zum Ermitteln einer Abklingzeit nötig sind.

Viele einzelne Quanten können offensichtlich gemeinsam Information transportieren, die über ihre rein individuelle Existenz hinausgeht. Welcher Anteil einer ursprünglich vorhandenen Gesamtinformation oder Summe von Informationen wird nun von den einzelnen Quanten weitergeleitet? Trägt jedes Quant eine spezielle Information, einen typischen Anteil der gesamten Information, oder hat es einen Anteil der gesamten Information in unscharfer Form, und erst die Summe vieler Quanten liefert dann eine verfeinerte Auflösung, die die Information genauer zeigt? Im ersten Fall würde ein Bild so zusammengesetzt, dass ein Bildpunkt nach dem anderen ergänzt wird und die ausgefüllte Fläche im Laufe der Zeit anwächst, so wie ein Drucker ein Bild aus Farbklecksen zusammenfügt, Bild 5-0 oben. Im zweiten Fall darunter wird sofort die ganze Fläche mit Information versorgt, mit mehr Quanten würden dann Strukturen darin immer feiner ausgeführt und dargestellt. Dies kennen wir, wenn bei gestörter digitaler Fernsehübertragung oder beim Aufbau von Bildern im Computer grob gerasterte Strukturen nach und nach durch immer feinere ersetzt werden.

Bild 5-0: Aufbau eines Bildes aus einzelnen Punkten und Realisieren von immer feineren Strukturen.

Wesentliche Anteile von Information sind in den Beziehungen der Quanten untereinander zu finden. Beim Messen wählt man eine bestimmte Gruppe solcher Quanten aus. Zum Bestimmen einer Stromstärke zählt man während der Messdauer die Anzahl der Ladungsträger, die eine Fläche passieren, beim Messen einer Helligkeit zählt man Photonen pro Zeit und Fläche. Strukturen findet man dann durch Vergleich solch gemessener Anzahlen. Physikalische Messungen zeichnen sich im allgemeinen dadurch aus, dass die Anzahlen der beteiligten Quanten über einen Zeit- oder Raumbereich addiert werden, d.h. solche Integration charakterisiert wesentlich dem Messprozess. Ungenauigkeiten können dann durch diese Integrationen entstehen, da dabei nicht notwendig alle vorhandene Information beachtet wird. Andererseits liegt es schon in der Natur der abzählbaren Quanten, nur begrenzte Genauigkeit zuzulassen, da Stufen und Lücken die Kontinuität ersetzen. Die damit zusammenhängenden Fragen und Probleme sollen im Zentrum der folgenden Überlegungen stehen.

Am Beispiel der Bildaufnahme wird gezeigt werden, wie aus der direkt mit den Quanten detektierten Information die uns interessierende Größen, zum Beispiel abgebildete Objekte und Bewegungen, abgeleitet werden können. Auch das besonders im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ schon behandelte Rauschen wird in seiner Notwendigkeit im Zusammenhang mit Informationsselektion aus den gemessenen Größen einen neuen physikalischen Sinn erhalten. Die Frage, welche Menge Information ein Quant in Relation zu anderen transportieren kann, wird dadurch mit 1 Bit beantwortet werden können, also mit der Feststellung, ob es da ist oder nicht. Neben informationstragenden Quanten gibt es noch Kanäle, in und mit denen ausgezeichnete Eigenschaften selektiert sind, dies ist ein weiterer Aspekt beim Umgang mit der Information.

In verschiedenen Beispielen wird dem Leser dann gezeigt, in welcher Form Information bei physikalischen Messungen eine Rolle spielt. Abbildungen lassen sich in einfachster Form mit Lichtstrahlen darstellen. Dieses Bild hilft an dieser Stelle auch, um zu zeigen, wie die Information auf verschiedene Quanten aufgespaltet, transformiert und wieder zusammengesetzt werden kann. Schließlich ist es möglich, die physikalische Grenze zu zeigen, mit der Strukturen, ihre Auflösung und die vorhandene Energie zusammenhängen.

Am Beispiel des Kondensators kann der Zusammenhang zwischen örtlicher Auflösung und Energie demonstriert werden. Außerdem kann gezeigt werden, dass die in dieser Arbeit erwähnten hypothetischen Vakuumfelder keine Ursache von dunkler Energie sein können, sondern dass dafür reale, d.h. informationstragende Quellen, nötig sind.

„Fundamentale“ und abgeleitete Größen

Zu Beginn dieses Kapitels sollte man zunächst die Frage stellen, was kann man messen? Darauf wäre eine mögliche Antwort, dass man solche Größen messen kann, für die es ein Messgerät gibt. Eine grundlegende Voraussetzung für eine sinnvolle Messung ist aber zunächst, dass es überhaupt Informationen gibt, die existieren und die mit Hilfe von Signalen erkannt und transportiert werden können. Üblicherweise beschränkt man sich dann auf einen ausgewählten interessierenden Teil aus der Gesamtheit der Informationen.

Beim Messen existieren Grenzen der Messgenauigkeit. Diese Grenzen können aus der Menge der existierenden und übermittelten Information stammen und physikalischer Natur sein. In den vorherigen Kapiteln tauchte die grundsätzliche Unbestimmtheit wegen der digital gestuften Struktur einiger Grundgrößen auf. Die Ungenauigkeiten können aber auch durch Eigenschaften unserer Apparate gegeben werden, auf der Art der zu messenden Größen beruhen und in der angewandten Methode begründet sein.

Ziel einer Messung ist es, Informationen zu erlangen. Um optimal zu messen, muss der Experimentator auch wissen, welche Signale diese Informationen beinhalten oder transportieren. Bild 51-1 zeigt Enten und von ihnen erzeugte Wasserwellen. Mit einer Messung der Eigenschaften dieser Wellen können Aussagen über die Anzahl und die Bewegung der Enten getroffen werden, dafür würde ein Schwarzweißfoto reichen, aber es ist dann wohl kaum zu erkennen, welche Farbe die Enten haben.

Bild 51-1: Enten erzeugen Wellen.

Im folgenden soll zwischen Größen unterschieden werden, die ich fundamental nenne und solchen, die daraus abgeleitet werden. Fundamental sind in diesem Sinne abzählbare Größen: das Plancksche Wirkungsquantum h, die elektromagnetischen Quanten, des weiteren Photonen, sowie die schon früher vorgestellten entsprechenden mechanischen Größen: Phononen, Auslenkung $\Theta$ und Impuls $\Pi$.

Abgeleitete Größen sind Anzahlen oder Änderungen, die auf Zeit oder Raum bezogen sind, zum Beispiel der Strom $I=dQ/dt=dn\cdot e/dt$, die Spannung $U=d\Phi /dt=dm\cdot \Phi _{0}/dt$, die Kraft F, die Geschwindigkeit v, die Ladungsdichte,...

In den bekannten Unschärferelationen begegnen uns zusammenhängende Größen, deren Produkt eine Wirkung ergibt. In der Natur wird die Wirkung H gequantelt und digital beobachtet: Es gibt nur ganzzahlige Vielfache der Planckkonstanten h:

$H=N\cdot h$, mit einer ganzen Zahl N. [51-1]

Bekannt sind mit ihr im Zusammenhang

$h=dx\cdot dp$, die Grenzen der Unschärfe von Ort und Impuls

$h=2e\cdot \Phi _{0}$, die Kombination fundamentaler elektromagnetischen Größen

$h=E\cdot T=E/f$, die Energiequanten des harmonischen Oszillators und die entsprechende Energie-Zeit-Unschärfe.

Das Ergebnis einer Messung ist in seiner Aussagekraft begrenzt. Ein Faktor ist die Auflösung der Messapparatur, ein anderer die Art und Menge der Quanten, die die Information übertragen.

An dieser Stelle sollte man auch zwischen den Informationsanteilen unterscheiden, die das einzelne Quant trägt und der Information, die ein Kollektiv enthält. Das einzelne Quant kann durch verschiedene individuelle Eigenschaften ausgezeichnet sein. Außerdem hat es aber einen im allgemeinen räumlichen und zeitlichen Bezug zur Welt der anderen Quanten, in dem wesentliche Information enthalten ist. Wie schon beim Messen des Stromes zu sehen war, ist Information erst in dem Bezug zwischen mindestens zwei Quanten zu finden. Das Wirkungsquantum h ist eine Größe, die aus zwei elementaren Quanten gebildet wird, und daher bereits als Informationsträger eines Bits geeignet ist, wie beim Messen von Widerständen zu sehen war. Zahlreiche physikalische Größen bekommen ihre Bedeutung erst, wenn ein Kollektiv von vielen Quanten zur Verfügung steht.

Unschärferelationen abzählbarer Größen

Die Quantelung der abzählbaren Größen führt zu einer digitalen Struktur, zum Beispiel gibt es keine halben oder drittel Elektronen und entsprechend keine kleineren Ladungsänderungen als e. Daraus folgen dann „Digitalisierungs“-Ungenauigkeiten, es gibt keine Werte zwischen den Stufen. Als Folge existieren auch für die abgeleiteten Größen „Unschärferelationen“ und die damit begrenzte Genauigkeit. Dies ist bei Produkten, deren Ergebnis eine ganze Zahl sein muss, leicht einzusehen, wenn die Faktoren beliebige irrationale „analoge“ Werte aufweisen dürfen, die dann mehr oder weniger gut in das vorgegebene Raster der ganzzahligen Basis des Produktes passen.

Die Menge der abzählbaren Quanten begrenzt auch die Anzahl der unterscheidbaren Messergebnisse, ist also ein Maßstab für die vorhandene Menge an Information. Auch der Messapparat kann Grenzen vorgeben, dazu gehören die räumliche und zeitliche Auflösung und andere Schwellen der Detektion.

Beispiele für solche Effekte treten bei der digitalen Photographie auf, so enthalten digitale Bilder ein räumliches Raster durch die Größe und den Abstand der einzelnen Bildpunkte, der lichtempfindlichen Flächen auf dem Detektor, und ein zeitliches durch die Dauer der Belichtungszeit.

Bild 52-1: Die Flügel bewegen sich mit einer aus der Unschärfe messbaren Winkelgeschwindigkeit bei Verlust der genauen Ortsinformation – Messparameter ist die Belichtungszeit, das Raster ist durch die Bildpunkte gegeben.

Bild 52-1 zeigt einen Hubschrauber mit rotierenden Flügeln. Deren Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kann dem Bild aus der Bewegungsunschärfe $\alpha$ dem Betrag nach unter Verlust der Genauigkeit der Ortsangabe x von Punkten des Rotors entnommen werden, die Drehrichtung geht allerdings beim Einzelbild verloren. Das Raster der Bildpunkte und $\Delta t$ skaliert die Unschärfe $N\cdot \Delta x\cdot \Delta \omega =const$., denn die Ortsauflösung ist durch die Größe der Bildpunkte begrenzt, und wenn durch Verkürzen der Belichtungszeit die Bewegungsunschärfe verringert wird, verkleinert sich auch die Menge der beteiligten Bildpunkte und damit die Genauigkeit einer Geschwindigkeitsbestimmung $v=\Delta x/\Delta t$.

Diese einfache Überlegung gilt für einen Punkt auf dem Rotor mit festem Abstand zur Rotationsachse als Bezug und einem Helligkeitsunterschied zwischen dem Rotor und dem Hintergrund, der nur die zwei Zustände kennt, dass der Rotor den Bildpunkt trifft oder nicht. Ein nur teilweises Bedecken eines Bildpunktes würde aber noch Zwischenwerte zur Interpolation der Position ermöglichen, wenn es Graustufen gibt. Außerdem enthält der Rotor viele Punkte mit unterschiedlicher Position, die unterschiedliche Bildpunkte zu unterschiedlichen Zeiten passieren. Dies ermöglicht, entsprechend dem Nonius der Schiebelehre, mit einer feineren Auflösung zu messen, als es ein einzelner Punkt gestattet. Die sich daraus ergebenden Möglichkeiten und Grenzen einer erhöhten Genauigkeit folgen aus den Überlegungen dieses Kapitels, am prinzipiellen Fakt einer Unschärferelation und einer endlichen Zahl möglicher Messergebnisse ändert dies nichts. Allerdings zeigt dies, dass Genauigkeit und Informationsmenge von der Anzahl der beteiligten Quanten und Übertragungskanäle bestimmt wird.

Wo gibt es nun Parallelen zwischen dem allgemeinen Problem des Messens und der Bildaufnahme mit Foto und Film ? Die „fundamentalen“ Größen sind abzählbar: Photonen, Elektronen und die anderen Quanten. Daraus abgeleitet beobachtet man bei der Photographie

• Helligkeit ~ Photonen / (s · m²)

beim elektrischen Messen zählt man

• Strom ~ Elektronen / s
• Magnetpolstärke / m
• Spannung ~ Magnetflussquanten / s
• Elektrischer Fluss / m

und allgemein kann man Leistungen auf

• Leistung ~ Energiequanten / s …

zurückführen.

Alle Messungen, die elementar auf „Abzählen“ beruhen, können kombiniert mit Eindrücken unseres einzigen Sinnesorgans, das direkt auf Quanten reagiert, des Auges, vielleicht besonders gut verstanden werden.

Bildaufnahme

Digitale Photoapparate benutzen üblicherweise einen Bildaufnehmer mit einzelnen Bildpunkten, sie enthalten einen Halbleiterdetektor mit regelmäßig angeordneten Photodioden. Beim klassischen Film gab es weniger regelmäßig verteilte Kristalle in der lichtempfindlichen Schicht. Folge der Belichtung ist Kenntnis über die Anzahl der Photonen, die jeden einzelnen Bildpunkt während der Belichtungszeit getroffen haben. Ein Beispiel zeigt Bild 53-1, den stark vergrößerten Ausschnitt eines entfernt fliegenden Ballons.

Die Größe der einzelnen Bildpunkte begrenzt die räumliche Auflösung, die zeitliche ist durch die Belichtungszeit gegeben. Farbe und Helligkeit der Bildpunkte hängen von der Anzahl der pro Bildpunkt registrierten Photonen ab. Erwähnt sei noch, dass wir beim Foto die Phase der elektromagnetischen Schwingungen vernachlässigen, nicht so beim Hologramm oder der Speckle-Photographie. Auch die Polarisation wird häufig ignoriert, also die in diesen Kanälen enthaltene Information zusammengefasst und Einzelheiten werden daher „weggeworfen“.

Bild 53-1: Ballon in großer Höhe, die auflösungsbedingte Struktur mit quadratischen Bildpunkten ist in der Vergrößerung deutlich zu erkennen.

Bild 53-2: Ein Regenbogen. Die Kombination von Bildpunkten enthält die Information über seine Form und die Farbverteilung.

Wenn man im Idealfall alle Photonen registriert, die die Detektionsfläche treffen, gibt es eine Liste der Photonen mit dem Ort x,y, dem Zeitpunkt des Registrierens t, ihrer Wellenlänge (Farbe)$\lambda =c/f$ ihrer Phase $\phi$, Ausbreitungsrichtung und Polarisation. Mit einer solchen Liste alleine ist uns noch nichts begreifbar, erst die Interpretation gestattet uns die darin enthaltenen Informationen in unser Vorstellungsvermögen zu übersetzen. So sind Helligkeit und Farbe eines einzelnen Bildpunktes von Bild 53-2 zunächst nur ein Zahlenwert (beschränkt auf die individuelle Information), erst die Kombination vieler Bildpunkte lasst den Regenbogen als solchen mit seiner Form und seinem Farbenspiel (der kollektiven Information) erkennen und von dem restlichen Himmel, Dach und Bäumen unterscheiden.

Sammeln einzelner Photonen und Kombination zu Strukturen

Bild 53-3 zeigt eine Detektionsfläche und die auf sie treffenden Photonen. Die mögliche Auflösung ist neben der Messapparatur durch die Welleneigenschaften des Lichtes, örtlich durch die Wellenlänge $\lambda$ und zeitlich durch die Periodendauer T, begrenzt. Der reale Detektionspunkt kann kleiner als diese Grenze sein, im Allgemeinen übernimmt ein Elektron am Ort eines Atoms die Energie des Photons. Die Ausdehnung der Photonen vor dem Messprozess ist nicht bekannt und wohl auch gar nicht definiert, dies soll durch den von den anderen abweichenden schiefen Quader angedeutet werden. Das Bild 53-3 hat daher rein symbolischen Charakter. Es zeigt die Projektion der Orte, an denen die Photonen registriert werden.

Bild 53-3: Einzelne Photonen treffen nacheinander auf die Detektionsfläche. Die Würfel repräsentieren nicht die raum-zeitliche Ausdehnung von Photonen, sondern sind eine Projektion der Orte, wo sie gemessen werden.

Bild 53-4: Helligkeitsverteilung eines Wolkenbildes – es gibt verschiedene Graustufen.

Die Belichtung während der Zeit T liefert für jeden Bildpunkt (x,y) eine Anzahl von Photonen, deren Menge der Helligkeit entspricht. Das Bild 53-4 von Wolken zeigt Bildpunkte mit unterschiedlicher Helligkeit, dies sind die wahrgenommenen Graustufen.

Wenn man Bild 53-3 um die Belichtungszeit T ergänzt, ergibt sich Bild 53-5 mit dem rot begrenzten symbolischen Volumen der detektierten Photonen, das aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit c räumlich real ist. Das oberste Photon gehört also nicht mehr dazu, weil es nicht zu denen gehört, die während der Belichtungszeit T detektiert werden.

Bild 53-5: Während der Belichtungszeit T registrierte Photonen, links die raum- zeitliche Verteilung, rechts Ort und Anzahl N nach der Detektion.

Die Trefforte (Beugungsscheiben) der Photonen einer abgebildeten Punktquelle auf dem Detektor werden normalerweise nicht an dessen Raster angepasst sein, was dazu führt, dass sich das Signal aufeinanderfolgender Photonen auf unterschiedliche Nachbarpunkte verteilen kann, wie in Bild 53-5 angedeutet. Gleichzeitig zu sehen ist rechts, dass die Zahl N aller Photonen, die einen Bildpunkt während der Belichtungszeit treffen, in ihrer Summe zu einer Anzahl zusammengefasst werden. Das bedeutet die Transformation der Information einzelner zeitlich aufeinander folgender Photonen in die Anzahl N der Photonen/Bpkt während der Belichtungszeit T bei gleichzeitigem Verlust der Angabe des genauen Detektionszeitpunktes t innerhalb dieser Zeit und einer verminderten Ortsauflösung durch die Größe benachbarter Bildpunkte.

Bild 53-6: Ungleichmäßig verteilte Photonen und Moiré-Effekt.

Die Genauigkeit des Auftreffortes ist durch die Größe der Bildpunkte begrenzt, es ist unsicher, ob ein Photon nicht auch im Nachbarpunkt hätte registriert werden können. Eine Struktur in der räumlichen Verteilung der Photonen, die ähnlich der Anordnung der Bildpunkte auf dem Detektor ist, führt zu einer Struktur im Aufteilen der Photonen, die als Moiré-Effekt bekannt ist und zu starken Helligkeitsmodulationen führen kann, wie es die beiden überlagerten Muster in Bild 53-6 rechts zeigen.. Wie unterschiedlich die Photonen auf nebeneinander liegende Bildpunkte verteilt registriert werden können ist links mit Gruppen von jeweils vier Photonen gezeigt.

Bild 53-7 zeigt als Beispiel eine Röntgentopographie, die mit einer CCD-Video-Kamera bei einer Belichtungszeit von 20ms/Bild aufgenommen wurde. Jedes Röntgenphoton erzeugt im Siliziumkristall des Detektors bei seiner Absorption einige Tausend Elektronen, die auf eine Gruppe von Bildpunkten verteilt werden und in diesen punktweise zu einem Helligkeitswert führen. Je nach Abstand der Absorption in der Dicke des Kristalls von den die Elektronen sammelnden Bildpunkten in der Oberfläche der integrierten Schaltung und der daraus folgenden räumlichen Verteilung sind die Abbilder der Röntgenphotonen scharf und hell oder verschmiert und dunkler. Die Belichtungszeit (Video Pal - T = 1/50 s) ist kurz genug, so dass maximal ein Röntgen-Photon pro Bildpunkt registriert wurde. In diesem Fall könnte man also die einzelnen Photonen aus der Verteilung der Ladungswolken lokalisieren und zwischen ihnen sind Lücken.

Unser Auge stellt bereits Verbindungen zwischen den Bildpunkten her und meint Strukturen zu erkennen. Damit wird der Integration vorgegriffen, die die beiden folgenden Bilder in Bild 53-8 mit faktisch längerer Belichtungszeit (es wurden 10 oder 100 Videobilder addiert) zeigen.

Bild 53-7: Röntgentopographie mit CCD-Kamera, Belichtungszeit T =1/50 s. unten rechts ein Schnitt durch den CCD-Bildaufnehmer, der zeigt, wie unterschiedlich die vom Röntgenquant freigesetzten Elektronen sich auf die Bildpunkte verteilen, je nach Abstand zwischen den Bildpunkten an der Oberfläche und dem Ort der Absorption in der Tiefe des Sensors.

Bild 53-8: Röntgentopografien wie Bild 53-7, aber über längere Zeit (x10, x100) integriert Aufnahmen HASYlab/DESY 1984.

Strukturen im Bild

Die Addition benachbarter Bildpunkte verbindet die Positionen der einzelnen Photonen miteinander und ermöglicht das Erkennen räumlicher Strukturen. Die Größe Helligkeit bekommt erst einen Sinn, wenn verschiedene Anzahlen von Photonen verglichen werden können. Diese Integration kann zeitlich durch die Länge der Belichtungszeit bestimmt sein oder räumlich durch die Größe der Bildpunkte, wie in Bild 53-1 zu sehen war. Zeitliche Integration führt zu Bewegungsunschärfe, wie sie Bild 52-1 und Bild 53-9 zeigen. Während in Bild 53-9 die sich langsam bewegenden Tropfen a gut zu erkennen sind, sind die des „Wasserstrahls“ b durch Bewegung gerichtet unscharf, was wiederum gestattet, den Geschwindigkeitsvektor zu messen.

Dieses Verwischen erfolgt aber nicht notwendigerweise, wie durch das Mitführen des Teleskops bei der Astrophotographie oder die mitgerissene Kameraführung bei der Sportfotografie möglich ist, da nur die Relativbewegung zur Unschärfe führt. Im Abschnitt 5.5. wird auf dies Problem zurückgekommen.

Bild 53–9: Wasserstrahl. Während die sich langsam bewegenden Tropfen a gut zu erkennen sind, sind die des „Wasserstrahls“ b durch Bewegung gerichtet unscharf, was gestattet, den Geschwindigkeitsvektor zu messen.

Üblicherweise sind die Bildpunkte nicht unabhängig voneinander, sondern es sind Strukturen als Information im Bild enthalten. Typisch dafür sind Ähnlichkeiten benachbarter Bildpunkte. Häufig zeigen sich Linien und Flächen wie in Bild 53-8. Unser Auge registriert im wesentlichen Linien und hebt die Kanten von Flächen deswegen hervor. Die biologische Signalverarbeitung beruht wesentlich auf dem Erkennen von Differenzen, um die Dynamik der Signale in verarbeitbaren Grenzen zu halten. Das Auswerten der Bildinformationen setzt sich also aus Integration und Differenzieren zusammen. Beispiele für Kanten sind in Bild 53-10 zu sehen. Die Anordnung der Vögel im unteren Bild ist mit unserem Sehapparat sofort als Keil identifiziert. Ist die Kante erst erkannt, kann man die Integrationsflächen an diese Struktur anpassen (beidseitig von Kanten im oberen Teil des Bildes getrennte Flächen bilden) und anschließend zum Beispiel das Rauschen in den jeweiligen Flächen minimieren, Raumfrequenzen filtern oder nach anderen Kriterien sortieren, alles kommerziell genutzte Verfahren, die den subjektiven Eindruck von Fotografien verbessern helfen.

Bild 53-10: Kanten und Keil aus Vögeln.

Das Verhältnis vom Signal zum Rauschen

Die Quantelung fundamentaler Größen führt in der Fotografie zum schon in Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ erwähnten Schrotrauschen und damit zu einer Messungenauigkeit, die intensitätsabhängig ist.

Verschiedene Aufnahmetechniken

Bei Tage ist die erfassbare Information des Mondbildes (rechts oben in Bild 54-1) gering, sie wird merklich vom Rauschen der Helligkeit des blauen Himmels überdeckt. Die von der Sonne nicht direkt beleuchtete Mondseite ist nicht zu bemerken. In der Nacht dagegen ist sogar die dunkle, nur von der Erde beleuchtete Schattenseite mit ihren Strukturen zu erkennen. Man sieht, dass die Bilder links oben (Vollmond) und rechts unten (Halbmond) etwa um 90° gegeneinander gedreht sind. Die in Bild 54-1 unten links gezeigte Venus ist tagsüber aus dem gleichen Grund unsichtbar, die hier gezeigte Venusphase war Galileis Beweis der zentralen Position der Sonne in unserem Planetensystem. Vermutlich war die ihm zur Verfügung stehende räumliche Auflösung ähnlich wie die hier mit einem 1000mm Objektiv und einem Sensor mit fünf Millionen Bildpunkten gewonnene Aufnahme.

Bild 54-1: Problem des Schrotrauschens, der Mond bei Tag und in der Nacht, unten links die Venus.

Es liegt nun nahe, störende Signale auszublenden, um das Signal/Rausch-Verhältnis für die interessierenden Informationen zu optimieren. Bei elektronischen Signalen benutzt man häufig Filter, die Netzbrummen und andere Störungen im Frequenzbereich entfernen oder man setzt Zeitfenster, um die zu messenden Signale von unerwünschten zu trennen. In der Optik ist es ebenfalls möglich, Filter zu verwenden, es gibt das Zeitfenster der Belichtung, die spektrale Selektion oder räumlich die Schlierenverfahren. Beispiele für das letztere zeigt Bild 54-2. Bei Schlierenverfahren blendet man im Bild der Beleuchtungsquelle (bei einem Köhlerschen Strahlengang in der Brennebene der das Objekt abbildenden Linse) Teile des Lichtes aus, um die gewünschten Informationen hervorzuheben. Beim Hellfeldverfahren (Bild 54-2 oben links) wird das vom zu beobachtenden Objekt abgelenkte Licht von der Bildebene fern gehalten, wie das auch der Schattenwurf einer Kerzenflamme zeigt, die man mit einer punktförmigen Lichtquelle beleuchtet. Bei der Dunkelfeldabbildung, Bild 54-2 oben mitte-rechts, gelangt nur abgelenktes Licht zur Bildebene, das Beleuchtungslicht wird ausgeblendet. Wegen des Schrotrauschens zeigt das Dunkelfeldverfahren daher meist mehr Details, da der wesentlich nur Helligkeit (und damit auch Rauschen) liefernde relativ informationsarme Hauptstrahl ausgeblendet wird und man nur das viel differentielle Information tragende abgelenkte Licht auswertet.

Bild 54-2: Schlierentechniken am Beispiel von Funken in Wasser (mittlere Reihe) und Luft, Elektrodendurchmesser 2 Millimeter.

Bei starkem Eigenleuchten des Objektes kann dagegen das Hellfeldverfahren die Information tragende Beleuchtung vom störenden Untergrund des Eigenleuchtens trennen, wie die Funken in Luft der unteren Reihe zeigen. In der mittleren Reihe sind von Funken induzierte Phänomene in 1 mm Wasserschichten zu sehen, die Stoßwellen erzeugen und heiße Plasmen, im Wasser bei Unterdruck dann auch Kavitationsblasen. Das störende Eigenleuchten der Funken ist jeweils minimiert. Links ist zum Vergleich die Hellfeld-Aufnahme gezeigt.

Zusammenfügen von Information zum Separieren von Eigenschaften

Eine übliche Methode, bei der Bildaufnahme das Verhältnis von Signal zum Rauschen zu verbessern, besteht darin, die Anzahl der registrierten Photonen zu vergrößern. Dies kann über verlängerte Belichtungszeiten erfolgen oder durch Vergrößern der Fläche eines Bildpunktes, beides auf Kosten von Auflösung in Zeit oder Raum. Im folgenden Beispiel wird gezeigt, was die räumliche Integration bewirkt. Seien die einzelnen kleinen Bildpunkte so kurz belichtet worden, dass sie maximal von einem Photon getroffen wurden. Dann sind in hellen Bildbereichen häufiger benachbarte Punkte belichtet als in dunklen. Das Bild 54-3 zeigt Integrationsflächen bestehend aus 4, 9 und 16 Bildpunkten. Die kleinen Bildpunkte werden jeweils von maximal einem Photon getroffen, kennen also nur zwei Graustufen – hell oder dunkel. Die Anzahlen der Photonen in den größeren Einheiten repräsentieren unterschiedliche Helligkeiten, es gibt mehr als zwei mögliche Photonenanzahlen. Die Unterscheidbarkeit von Graustufen ist allerdings durch die statistische Unsicherheit (1 +-1; 4+-2; 9+-3; ...) des Schrotrauschens begrenzt. Zeigt der kleine Bildpunkt einen Unterschied $(\Delta N=1)$ zwischen zwei Graustufen, hell oder dunkel, so sind es mit einer Fläche von 4 kleinen Punkten dann zwei Graustufen $(\Delta N=2)$, mit 9 Punkten drei $(\Delta N=3)$ und mit 16 Punkten $(\Delta N=4)$ vier unterscheidbare Grauwerte. Zu erwähnen ist, dass einem Bildpunkt, der unbeleuchtet blieb, keine Helligkeitsstufe zuzuordnen ist. Die Frage, in welchem zeitlichen Abstand er von Photonen getroffen wird, ist nämlich nicht zu beantworten. Dieses ist aber, genauso wie ganz zu Beginn beim Messen von Strom durch Detektion einzelner Elektronen diskutiert, das eigentlich entscheidende Kriterium. Von daher ist die geringste Helligkeitsstufe durch 1+-1 Photonen/(Belichtungszeit·Bildpkt) entsprechend dem Intervall (0 ; 2) gegeben.

Bei einem Film wird die Helligkeitsverteilung einer Bildfolge N(t) registriert und damit können auch Bewegungen verfolgt werden. Die sichtbaren Graustufen ergeben sich dann teilweise durch zeitliche Integration mehrerer aufeinander folgender Teilbilder der Bildsequenzen infolge der Trägheit unseres Auges. Dies wird bei der technischen Norm des subjektiven Signal-Rausch-Abstandes beim Fernsehen berücksichtigt. Bei Verfahren, die zum Speichern oder Übertragen der Information deren Datenmenge reduzieren, kann daher das einzelne Bild einer Folge weniger Graustufen enthalten als im Film subjektiv wahrgenommen werden.

Bild 54-3: Das Auflösen von Graustufen ist durch das Schrotrauschen begrenzt. Links jeweils die mit 4,9,16 Bildpunkten große Integrationsfläche mit der zugehörigen Graustufe, rechts die mögliche Verteilung der Photonen auf die kleinen Bildpunkte, deren Signal bei der Integration zusammengefast wird.

Integration und Informationsverlust

Die Verluste an räumlicher oder zeitlicher Auflösung sind durch ein Integrieren zwar zwingend, lassen sich aber, wie mit Bild 54-4 für räumliche Integration gezeigt, kompensieren, indem man mehrfach mit unterschiedlichen Integrationsfenstern zusammengefasst. Im Beispiel ist das Raster der Integration von vier benachbarten Punkten in den vier möglichen Positionen um die vier zentralen Bildpunkte gezeigt. Die Verteilung der Photonen in den vier zentralen kleinen Bildpunkten lasst sich aus dieser Abbildung vollständig rekonstruieren, wenn man Bild 54-3 zur Hilfe nimmt.

Bild 54-4: Kompensation des Auflösungsverlustes durch mehrfache Integration mit verschiedenen Fenstern.

Die zeitliche Integration bei der Langzeitbelichtung dunkler Szenen führt oft zu Unschärfe von bewegten Objekten oder des gesamten Bildes auf Grund von „Verwackeln“. Diese störenden Effekte lassen sich vermindern, wenn man anstatt einer einzelnen Aufnahme mit langer Belichtungszeit eine Folge von nur für kurze Zeit belichteten Bildern registriert. Dann kann man beim Integrieren die einzelnen Bilder der Folge so gegeneinander verschieben, das die interessierenden Bereiche aufeinander liegen und beim Summieren scharf bleiben. Damit ist es möglich, die relative Bewegung der Kamera zu kompensieren und entweder für den Hintergrund oder ein bewegtes Objekt maximale Schärfe erreichen. Bild 54-5 enthält links eine Bildfolge 1-4, die insgesamt verwackelt ist und die im oberen Teil ein von links nach rechts bewegtes Objekt enthalten. Eine einfache Addition der Bilder zum Verbessern der Auflösung von Graustufen liefert durch beide Effekte ein unscharfes Ergebnis, rechts A. Durch passendes Verschieben vor dem Addieren kann das Verwackeln kompensiert werden und unbewegte Objekte bleiben trotz Addition scharf abgebildet, rechts B, vom Objekt oben ist die Bewegung als Unschärfe zu erkennen. Bei rechts C wird das bewegte Objekt oben scharf integriert und seine Form sichtbar, die Bewegungsunschärfe trifft daher die ruhende Umgebung unten.

Bild 54-5: Links 1-4 eine verwackelte Bildfolge mit oben einem von links nach rechts bewegten Objekt, Rechts die Additionen davon. Durch passendes Verschieben vor dem Addieren kann das Verwackeln kompensiert werden, B, oder das bewegte Objekt oben wird scharf integriert, C.

Schrotrauschen und verteilte Information

Bereits vorher wurde Schrotrauschen beim Messen der Impedanz, der Helligkeit und einer Abklingzeit in Kombination mit dem Zählen von Photonen, Elektronen und Flussquanten beobachtet. Im Gegensatz dazu wird die Anzahl der Elektronen auf Kondensatorplatten ohne die aus dem Rauschen folgende Ungenauigkeit gezählt werden können. Was ist der Unterschied ?

Zunächst fällt auf, dass beim Zählen von Photonen zum Bestimmen der Helligkeit jedes Photon die gleiche Energie mitbringt. Bei dem in Abschnitt 5.3.1. verwendeten Ansatz, einer Liste von registrierten Photonen mit Zeit und Ortsangabe, ist die Helligkeit nur eine von mehreren Informationen, die die Photonen vermitteln können. Mit einer größeren Anzahl von Photonen erhält man nicht nur eine genauere Information über die Helligkeit, auch die Orts- und Zeitauflösung wird besser. Wenn dazu exemplarisch Bild 54-3 abgewandelt unter dem Aspekt betrachtet wird, dass nicht Bildpunkte zusammengefasst werden, um Helligkeitsstufen zu differenzieren, sondern umgekehrt in Bild 54-6 die Fläche des Bilddetektors in immer feinere Strukturen zerlegt wird, wenn mehr Photonen vorhanden sind, so dass immer maximal ein Photon pro Bildpunkt auftritt, dann erkennt man, dass auch die mögliche raumzeitliche Auflösung von der Photonenzahl bestimmt wird und mit der Anzahl der Photonen wächst.

Bild 54-6: Die Detektionsfläche wird beim Empfang mehrerer Photonen so zerlegt, dass in den neuen, feineren Strukturen maximal ein Photon pro Bildpunkt existiert. Mit zunehmender Dichte der Photonen steigt daher die Ortsauflösung.

Dies zeigt auf andere Art Bild 54-7, wo in zwei raumzeitlichen Koordinatenrichtungen für die Detektionsfläche die Anzahl der auflösbaren Zeilen und Spalten dargestellt ist. Je mehr Photonen registriert werden, um so mehr Zeilen pro Fläche A und um so mehr Spalten pro Fläche A können unterschieden werden. Die gesamte Zahl der möglichen Photonenanordnungen innerhalb des Rasters entspricht der belegten Fläche mit der Größe Anzahl der Zeilen mal Anzahl der Spalten. Transformiert man jetzt die Photonenliste in ein System, deren eine Achse die Helligkeit ist, so gibt es senkrecht dazu eine Achse, die ein Maß für die Helligkeitsunterschiede zwischen den auflösbaren Bildpunkten darstellt. Die Größe Helligkeit als Diagonale der Fläche, deren Größe mit der Photonenanzahl wächst, wächst daher nur mit der Wurzel aus der Photonenzahl.

Mit einem Photon (symbolisiert durch einen gelben Punkt) gibt es für die gesamte Detektionsfläche nur einen einzigen erkennbaren Bildpunkt, rot=1², unten links. Mit bis zu vier Photonen ist der Detektionsbereich in 2·2 = 4 Bildpunkte zerlegbar, orange=2², es können nun nicht nur zwei Graustufen differenziert werden, sondern auch vier Detektionsorte (zwei Zeilen und zwei Spalten) unterschieden werden. Das zeigt die farblich markierte Flächenverteilung. Damit wird es möglich, auch innerhalb der Detektionsfläche Graustufen zu differenzieren. Noch feiner werden unterscheidbare Strukturen bei den nächsten Helligkeitsstufen, mit neun Photonen in 3·3 = 9 Teile, grün=3² und mit sechzehn in 4·4 = 16, blau=4². Es gibt also neben der gesamten Helligkeit auf der Detektionsfläche A entsprechend der Summe der Photonen noch Information über das Verteilen der Helligkeit innerhalb der Gesamtfläche der Detektion. Die Genauigkeit, mit der das möglich ist, d.h. die Anzahl der Zeilen und Spalten, in die man die Detektionsfläche zerlegen kann, steigt mit der Photonenzahl. Das bedeutet, dass besser bekannt wird, wie die Helligkeit über die Fläche verteilt ist und wo sie um dH vom Mittelwert der Helligkeit H abweicht. Die Röntgenbilder 53-7 und 53-8 zeigten neben der mit der Photonenzahl zunehmenden Anzahl der Graustufen die wachsende Genauigkeit der geometrischen Auflösung. Die Lücken zwischen den Photonen des ersten Bildes werden im Laufe der Zeit gefüllt und mit der Position der Photonen festgelegt.

Bild 54-7: Mit steigender Anzahl von Photonen nimmt nicht nur die Zahl der Helligkeitsstufen H zu, sondern auch die Möglichkeit, Helligkeitsunterschiede dH auf der Detektionsfläche A zeitlich dt und räumlich $dr_{xy}$ zu unterscheiden.

Die Helligkeit H auf der Detektionsfläche einer Kamera ist nicht konstant, sondern zeit- und ortsabhängig. Dies bildet den bei der üblichen Photographie durch die raumzeitliche Integration auf Bildpunkten während der Belichtungszeit vernachlässigten Anteil der Information, der Schrotrauschen für die übriggebliebenen Informationen zur Folge hat. Bild 54-4 zeigte eine prinzipielle Möglichkeit, auch diese räumliche Struktur zu erhalten. Die Helligkeit der gesamten Fläche ist von Natur aus nicht besser definiert, als es die Stufen zeigen, jedenfalls solange man nicht die Informationsmenge für die Zeit- und Ortsauflösung, wie in 5.4.2. behandelt, einschränkt und damit die Größe Helligkeit auf Kosten anderer Information genauer definiert.

Überträgt man diese Gedanken einfach auf das Schrotrauschen, das im Abschnitt „Der Energieaufwand beim Messen und das dabei auftretende Rauschen“ beim Messen eines Widerstandes auftrat, so entspricht die Helligkeit dem aus den Anzahlen von Elektronen und Flussquanten pro Zeitintervall ermittelten Widerstand und es sollte dann dazu einen weiteren Informationsanteil geben, nämlich die zeitliche Folge. Die Genauigkeit der Widerstandsmessung, das Verhältnis der Anzahlen von Flussquanten zu Elektronen, weist Schrotrauschen auf. Der übliche ohmsche Widerstand mit dem Wandeln von Energie in Wärme und dem Vertuschen des zeitlichen Anteils der Information lasst den Impedanzanteil der Information unberührt. Eine Leitung mit ihrer zu messenden Impedanz ermöglicht, die zeitliche Folge der Quanten dagegen nicht im Unbestimmten verschwinden zu lassen, sondern behält sie in Form der raumzeitlichen Verteilung der elektromagnetischen Felder längs der Welle auf der Leitung bei. Dabei gilt gleiches für die Elektronen und den elektrischen Strom, wie es für die Photonen bei der Information „Helligkeit“ behandelt wurde. Um zehn unterscheidbarer Impedanzwerte zu messen werden 100 Quanten benötigt, für die nächsten zehn weitere 300.

Der Anteil an der integralen Information pro Quant nimmt also mit steigender Anzahl ab. Dafür steigt der Anteil der (differentiellen) raum-zeitlichen Information. Belichtet man eine Sekunde, so verschwindet die entsprechende Zeitinformation in dieser Unschärfe des Integrationsintervalls. Belichtet man bei einer astronomischen Aufnahme eine Minute, so geht zusätzlich die Information verloren, in welcher der sechzig Sekunden das jeweilige Photon registriert wurde, der Zeitanteil der Information des einzelnen Photons war also größer als bei kurzer Belichtungszeit und entsprechend kleiner bleibt der Helligkeitsanteil. Hier stehen sich die Anzahl der Quanten N, deren Summe zum Beispiel die Helligkeit repräsentiert, und die Anzahl der Beziehungen der Quanten untereinander gegenüber. Das N-te Quant bildet (N-1) Verknüpfungen zu den übrigen, die Anzahl aller Verknüpfungen wächst nach dem jungen Gauß proportional N², womit sich wieder die Verhältnisse des Schrotrauschens zeigen.

Zur Struktur der Elektronenhülle

Bild 55-1: Einfang eines Elektrons vom Proton.

Die gleiche Struktur, wie sie Bild 54-7 zeigt, kennen wir vom Aufbau der Elektronenschalen eines Atoms, die erste Schale enthält nur s-Elektronen ohne Richtungsinformation, rot. In der zweiten kommen drei p-Orbitale und damit drei unterscheidbare Richtungen im Raum hinzu, orange, in der dritten noch fünf d-Orbitale, grün, in der vierten weitere sieben f-Orbitale, blau…

Im folgenden werde ein System aus einem Proton und einem Elektron betrachtet (siehe Bild 55-1). Im Bezug auf das Proton sei das Elektron zunächst im unendlichen, also überhaupt nicht lokalisiert. Diesem Zustand geben wir normalerweise die Energie null mit einer de-Broglie-Wellenlänge unendlich. Wenn beide Objekte nun ein Wasserstoffatom bilden, dann wird das Elektron in einem Orbital fixiert, sein Raumbereich ist eingeschränkt und es wird die Bindungsenergie als Photon abgestrahlt. In der Energie des Photons ist Information über die neue Position des Elektrons relativ zum Proton enthalten. Im Falle der festesten Bindung, der K-Schale, ist dies die Rydberg-Energie. $(v_{\Phi }=c\cdot 2\alpha$ s. Kap. 1 und 6)

$E_{Ry}=(Me/2)\cdot (e^{2}/2\epsilon _{0})^{2}/h^{2}=(M_{e}/2)\cdot (e\cdot \Phi _{E0}/2)^{2}/h^{2}=13.6eV=(M_{e}/2)\cdot (v_{\Phi }/2)^{2}$ [55-1]

Die Energie des n-ten Orbitals ist darauf bezogen, sie sinkt entsprechend der Anzahl n² der Möglichkeiten (s, p, d, f, ...) pro Schale

$E_{n}=E_{Ry}/n^{2}$ [55-2]

Im Fall von mehreren Protonen im Atomkern, also einer Kernladungszahl Z, gilt

$E_{nZ}=E_{Ry}\cdot Z^{2}/n^{2}$ [55-3]

Dabei ist der Radius r11 für das Wasserstoffatom im Grundzustand der Bohrradius

($R_{e}=e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}\cdot M_{e}\cdot c^{2})=e\cdot \Phi _{E0}/(4\pi \cdot M_{e}\cdot c^{2})$ klassischer Elektronenradius)

$R_{0B}=\epsilon _{0}h^{2}/(\pi M_{e}e^{2})=R_{e}/\alpha ^{2}=r_{11}$ [55-4]

und für andere Kombinationen von Orbital und Kernladung gilt

$r_{nZ}=n^{2}R_{0B}/Z$[55-5] Für das die Information tragende Photon gilt wegen der Beziehung $E=h\cdot f$ natürlich wie immer mit der Periodendauer T

$h=E\cdot T$ [55-6]

Für die räumliche Information des Wasserstoffatoms gilt die vom Orbital unabhängige Kombination von Energie und Radius

$E_{n}\cdot r_{n1}=E_{Ry}\cdot R_{0B}=e^{2}/(8\pi \epsilon _{0})=e\cdot \Phi _{E0}/(8\pi )=h\cdot v_{\Phi }/8\pi$ [55-7]

und für Atomkerne mit der Ladungszahl Z ergibt sich

$E_{nZ}\cdot r_{nZ}=E_{Ry}\cdot R_{0B}\cdot Z=Z\cdot h\cdot v_{\Phi }/8\pi$ [55-8]

Das Elektron hat in diesem Fall nicht nur eine Beziehung zum einem Proton sondern Z Beziehungen zu den Z Protonen des Kerns.

Für die Energie des Photons beim Orbitalwechsel ergibt sich mit einem Bezug zu den Umfängen der Bohrschen Bahnen $u_{n}=2\pi r_{n}$

$h\cdot f=E_{n}-E_{m}=(e\cdot \Phi _{E0}/4)\cdot (u_{m}-u_{n})/(u_{m}\cdot u_{n})$ [55-9]

Die Periodendauer eines emittierten Photons beim Einfangen des freien Elektrons in die K schale des Wasserstoffatoms ist

$T_{0B}=h/E_{Ry}=h\cdot (8\pi \epsilon _{0}r)/e^{2}=h\cdot (8\pi \epsilon _{0}^{2}h^{2})/[(\pi M_{e}e^{2})\cdot e^{2}]=8h^{3}/(M_{e}\cdot e^{2}\cdot \Phi _{E0}^{2})=8h/(M_{e}\cdot v_{\Phi }^{2})=2h/(\alpha ^{2}\cdot M_{e}\cdot c^{2})$ [55-10]

und der Quotient des Umfangs zur Umlaufdauer, also eine Geschwindigkeit, ist

$u_{1}/T_{0B}=e\cdot \Phi _{E0}\cdot v_{\Phi }^{2}/(16\cdot h\cdot c^{2})=c\cdot \alpha ^{3}/2=v_{\Phi }\cdot (\alpha /2)^{2}$ [55-11]

Erwähnt sei noch, dass für den Umfang des n-ten Orbitales bei der Kernladungszahl Z gilt

$u_{nZ}\cdot Z=(h\cdot v_{\Phi }/E_{Ry})\cdot (n/2)^{2}=(T_{0B}\cdot v_{\Phi })\cdot (n/2)^{2}$ [55-12]

Information und Struktur der Elektronenhülle

Aus der Sicht der Information trägt das im Unendlichen befindliche Elektron zunächst die Abzählbarkeit, es existiert oder es existiert nicht, und seine Energie $E_{e}=M_{e}\cdot c^{2}=0,511{\text{ MeV}}$ repräsentiert die schon oft erwähnte Qualität der Information. Dieser Energie kann man in Kombination mit der Ladung dann einem Durchmesser, also einer Länge, zuordnen oder aber an die Wechselwirkung mit anderen Ladungen denkend der potentiellen Information über die Wechselwirkung, die realisiert werden könnte.

Wenn dieses Elektron nun in Wechselwirkung mit dem Proton tritt, dann wird abhängig vom Abstand die potentielle Energie abnehmen und die kinetische zunehmen. Die kinetische Energie repräsentiert nun den gegenseitigen Abstand der beiden Ladungen. Sie wird als Energie des Photons abgegeben, das beim Einfang abgestrahlt wird und über dieses die Information dann an die Umgebung weitervermittelt. Die Information über den Radius des Elektronenorbitals nach dem Einfang ist aber dann auch beim Atom vorzufinden, wenn es entsprechend analysiert wird. Man kann daher problemlos annehmen, dass ein Teil der massebedingten Energie des Elektrons für diesen Informationsanteil verwendet wird. Die oben erwähnte Energie des Elektrons würde für solch eine Zuordnung jedenfalls bis zu einer Kernladungszahl von $Z=193$ ausreichen.

Im Fall des K-Orbitales beim Wasserstoffatom wäre die informationsanteilige Energie die Rydberg-Energie. Der Informationsinhalt beträfe den räumlichen Abstand zum Proton. Im nächst höheren Orbital wäre neben dem Abstand bei den S-Elektronen als weitere Informationsqualität noch die Richtung der P-Elektronen zu bemerken. Es gäbe damit für das S-Orbital und die drei P-Orbitale vier geometrisch zu unterscheidende Möglichkeiten. Für jedes Elektron in einem dieser möglichen Zustände ist die Bindungsenergie nur ein Viertel von der der K-Schale bei entsprechend verminderter Ortsgenauigkeit. Dieses Spiel setzt sich für die folgenden Schalen fort, es gilt stets, dass die Anzahl $G_{n}$ der zu unterscheiden-den Geometrien der Orbitale dem Quadrat der Nummer $n$ des Orbitales entspricht, umgekehrt proportional zur entsprechend verminderten Bindungsenergie $E_{n}=E_{Ry}/n^{2}$ [55-2], und der damit verbundenen räumlichen Auflösung, Tabelle 5.5. Die Informationskombination aus Ortsauflösung - differenzierter Geometrie ist also typisch für das Paar Elektron-Proton ! Die zwei Möglichkeiten des Spins verdoppeln natürlich in der Realität die Elektronenanzahl pro Zelle.

$G_{n}=\Sigma (s,p,d,f,\ldots )=n^{2}$ [55-13]

Tabelle 5.5: Besetzung der Elektronenschalen

n			Gn					n²=s+p+d+f+g
	s	p	d	f	g	h
1	1	0	0	0	0	0		1
2	1	3	0	0	0	0		4
3	1	3	5	0	0	0		9
4	1	3	5	7	0	0		16
5	1	3	5	7	9	0		25
6	1	3	5	7	9	11		36

Bei mehreren Protonen im Atomkern, also einer Kernladungszahl $Z$, gilt ein quadratisches Anwachsen der Bindungsenergie, $E_{nZ}=E_{Ry}\cdot Z^{2}/n^{2}$. Ein Faktor $Z$ beruht auf der wachsenden Zahl der Beziehungen des Elektrons zu den Kernladungen, der zweite Faktor $Z$ spiegelt die höhere Präzision in der räumlichen Auflösung aufgrund des stärkeren elektrischen Feldes wider. Auch hier sind Energie und Informationsmenge korreliert.

Elektron und Längen

In der physikalischen Beschreibung finden wir das Elektron nun mehrfach Beziehung zu Längen. Zum oben erwähnten Bohrradius des Grundzustandes beim Wasserstoffatom gehört ein Umfang

$R_{0B}=\epsilon _{0}h^{2}/(\pi M_{e}e^{2})=h/(2\pi \cdot \alpha \cdot M_{e}\cdot c)=5,29178\cdot 10^{-11}$ m $U_{0B}=h/(\alpha \cdot M_{e}\cdot c)$ [55-14]

Auch der klassische Elektronenradius lasst sich mit einem Umfang ergänzen

$R_{e}=e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}\cdot M_{e}\cdot c^{2})=h\cdot \alpha /(2\pi \cdot M_{e}\cdot c)=2,81794\cdot 10^{-15}$ m $U_{e}=h\cdot \alpha /(M_{e}\cdot c)$ [55-15]

außerdem gibt es noch die Compton-Länge

$\lambda _{compton}=h/(M_{e}\cdot c)=2,43\cdot 10^{-12}$ m [55-16]

und oben als charakteristisch die halbe Wellenlänge des abgestrahlten Photons beim Einfang in die K-Schale, der Abstand zweier Nulldurchgänge der elektromagnetischen Felder.

$\lambda _{photon}/2=h/(\alpha ^{2}\cdot M_{e}\cdot c)=4,56\cdot 10^{-8}$ m [55-17]

Diese vier Längen unterscheiden sich um einen Faktor mit der Feinstrukturkonstante $\alpha$, die wir im Zusammenhang mit der Kombination elektrischer und magnetischer Größen kennen. Der klassische Elektronenradius beruht auf einem Vergleich der Energie auf Basis der Masse und der elektrostatischen Energie abhängig vom Abstand elementarer Ladungen nach dem Coulomb-Gesetz. Die Compton-Länge hat einen Bezug zur Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen. Einen ähnlichen Zusammenhang sieht man vielleicht beim Abstrahlen des Photons, das elektrische und magnetische Felder kombiniert trägt gegenüber der Quelle des statischen elektrischen Feldes des Wasserstoffatomgrundzustandes. Eine weitere Beziehung zwischen Wellen mit Compton-Länge und klassischem Bohrradius scheint nicht offensichtlich. Die Kombinationen der Lichtgeschwindigkeit mit der Feinstrukturkonstante liefern allerdings zwei Geschwindigkeiten, die im nächsten Kapitel noch diskutiert werden, und die hier vielleicht zum Verständnis weiterhelfen.

Wenn man aus $E=h\cdot f$, $E=h\cdot c/\lambda$ eine Länge $\lambda =h\cdot c/E$ ableitet, so ist dies mit der Energie aufgrund der Masse des Elektrons die Compton-Länge gegeben.

$\lambda _{compton}=h\cdot c/(M_{e}\cdot c^{2})$ [55-18]

Die Rydberg-Energie liefert uns die Wellenlänge des emittierten Photons. Die beiden anderen Längen liefern Energien, die durch den Quotienten mit der Feinstrukturkonstante dagegen vergrößert vorliegen.

Mit der Information im Hinterkopf kann man noch eine weitere Länge konstruieren, wenn man beim Coulomb-Gesetz annimmt, dass eine neu erzeugte Ladung ihr Feld zeitlich und räumlich mit Lichtgeschwindigkeit verbreitet. Dazugehörige Wirkungsquanten oder deren Produkt mit der Lichtgeschwindigkeit liefern zeitliche und räumliche Abstände, die mit der Entfernung vom Ladungszentrum wachsen, was einer „Rotverschiebung“ entspricht.

Wieviel Bit transportiert ein Quant ?

Nach den bisher qualitativen Überlegungen ist es nun an der Zeit, die Informationsmenge auch einmal quantitativ zu fassen, also zu fragen, wieviel Bit ein Photon oder Elektron transportieren kann. Dazu gehört auch die Frage, ob ein einzelnes Quant überhaupt reicht, um die kleinste Informationseinheit zu übertragen.

Im Abschnitt 5.3. wurden Eigenschaften des Photons benannt, die man mit Signalen modulieren kann. Nach den bisherigen Überlegungen zeigen die Information transportierenden Quanten abhängig von der Energie eine räumliche Auflösung, eine Richtung der Bewegung und gegebenenfalls lasst sich eine Koordinate in der Ausbreitungsrichtung mit der Zeit korrelieren. Photonen weisen zusätzlich eine Polarisation auf, Elektronen einen Spin. Eine Richtung findet sich auch beim Magnetfeld des Flussquants. Neben einem Ja oder Nein der Existenz gibt es also zusätzliche Eigenschaften, die ein Sortieren erlauben und damit anscheinend gestatten, die transportierte Informationsmenge zu erweitern. Das Ja oder Nein bezieht sich auf Zeit und Ort der Detektion, es gibt viele Orte und Zeiten und damit viele Möglichkeiten. Die minimale Größe des Ortes und die Genauigkeit der Zeit ergeben sich aus der Wellenlänge und der Periodendauer, also der Energie, wenn wir neben dem Teilchencharakter die Welleneigenschaften in unsere Gedanken mit einbeziehen.

Bei Photonen kann man unschwer zunächst die Welleneigenschaft vorstellen, dann ist eine wesentliche Eigenschaft die Frequenz, aus der sich Wellenlänge und Periodendauer ableiten lassen. Frequenzen sind in unendlicher Anzahl vorstellbar, allerdings dauert eine Bestimmung auch unendlich lange, wenn man nicht auf Genauigkeit verzichtet und beliebig kleine Frequenzunterschiede erkennen will. Beschränkt man sich auf Frequenzdifferenzen $\Delta f$, so wird damit die zeitliche Detektionsgenauigkeit auf $\Delta T=1/\Delta f$ begrenzt.

Man stelle sich vor, es gibt einen Sender S von Photonen, eine Übertragungsstrecke Ü und einen Empfänger E, wie es Bild 56-1 zeigt. Wenn der Sender ein Photon emittiert, wird es kurze Zeit später am Empfänger registriert. Bedeutet dies, das jedes Photon ein Bit transportiert ?

Bild 56-1: Übertragungsstrecke für Information vom Sender S zum Empfänger E.

Man kann diese Anordnung nun noch um Polarisatoren P ergänzen wie in Bild 56-2 oben zu sehen ist. Empfangsseitig gibt es dann zwei Detektoren, E1 und E2, die ein Photon registrieren können, entweder vertikal oder horizontal polarisiert. Also kann nun damit mehr als $1bit/Photon$ transportiert werden ?

Bild 56-2: Übertragungsstrecke mit polarisierten Photonen oder mit farbselektiven Empfängern.

Weitere Auswahlmöglichkeiten können ergänzt werden, wenn man dem Photon Farben zubilligt, nach denen wie in Bild 56-2 unten vor dem Empfang sortiert wird.

Kann man dann, entsprechend der Anzahl der Farben, die Menge der Bits vergrößern, die das einzelne Photon transportiert ? Einen solchen Gedanken weiter fortgeführt wäre, dass man anstatt eines einzelnen Detektors eine Vielzahl, zum Beispiel einen Kamerachip einsetzt. Dann gäbe es eine der Bildpunktzahl entsprechende Anzahl von unterscheidbaren Positionen, Bild 56-3.

Bild 56-3: Übertragungsstrecke mit der Lichtquelle S und dem ortsauflösenden Empfänger E.

Hier zeigt sich die falsche Herangehensweise an das Problem. Die Anzahl der transportierten Bits eines einzelnen Photons kann doch nicht von der willkürlichen Anordnung abhängen, mit der man es detektiert. Die obigen Beispiele mit polarisiertem und farbigem Licht kann man in diesen Gedanken integrieren. Nach dem Aufspalten in Farben und Polarisationen befinde sich je ein Empfänger, das heißt ein Element der Matrix wie für einen Kanal in Bild 56-1 zu sehen war. Eine solche erweiterte Anordnung wäre also nichts weiter, als eine Vergrößerung der Anzahl der Matrixelemente, wie sie Bild 56-3 zeigt.

Die wahre Natur der mit solchen Anordnungen differenzierten Informationsübertragung ist parallel zur optischen Abbildung eines Gegenstandes, der in diesem Fall aus einer Anordnung verschiedener Lichtquellen S bestehen soll, die Photonen des charakteristischen Eigenschaften emittieren, im Bild 56-4 eine Matrix. Mit der Linse L werden diese Sender S auf die Detektoren der Matrix E abgebildet.

Hier wird wohl deutlich, dass man durch das oben diskutierte Erweitern nicht die Anzahl der von einem Photon transportierten Bits erhöht, sondern anstatt dessen die Anzahl der Übertragungskanäle vergrößert hat. Diese Kanäle sind im allgemeinen auf dem Weg zwischen Gegenstand und Bild nicht so anschaulich differenziert, wie es mit den Matrizen der Sender in der Gegenstands- und der Empfänger in der Bildebene der Fall ist.

Bild 56-4: Übertragung vieler Kanäle mit einer Abbildung der Sendermatrix auf den Empfänger.

An dieser Stelle bleibt es dann bei der Beobachtung des zugehörigen Kanals, dass ein Photon entweder registriert wird oder nicht, das bedeutet ein Bit / Quant im Detektionsbereich. Dieser Detektionsbereich ist neben den räumlichen Grenzen des Detektors auch durch ein Zeitfenster charakterisiert. Es ist nicht egal, wann das Quant registriert wird. Irgendwann zwischen $\infty <t<+\infty$ beobachtet, trägt es keine relevante Information bei. Über Zeitpunkt und Ort wird eine Relation zu anderen Quanten festgestellt. Wenn der Sender die Information absendet, ist wegen der Geometrie klar, wann die Information beim Empfänger ankommen sollte. Es muss also einen weiteren Bezug zwischen Sender und Empfänger geben, mit dem die Ankunft des Quants erst eingeordnet werden kann. Dies kann über einen externen Zeittakt erfolgen, siehe Bild 56-5, oder über ein weiteres Quant, welches ankündigt, in welchen Zeitbereich die Existenz des diskutierten Quants mit Ja oder Nein zu beobachten ist.

Hierzu gehören die Diskussionen der Zeit aus Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ und des Verteilens der Information in Abschnitt „Zur Struktur der Elektronenhülle“, das sich nun als ein Aufteilen auf Informationskanäle darstellt.

Bild 56-5: Es gibt ein Zeitfenster der Übertragung von Signalen, in dem das Photon entweder registriert wird oder nicht.

Das einzelne Quant kann also keine Information übertragen, wenn es nicht im Zusammenhang / Bezug mit mindestens einem weiteren steht !

Mit Photonen kann man Information übertragen, dabei können einzelne Photonen solche kompletten Abbildungen wie oben besprochen nicht realisieren, erst mit vielen von ihnen ist das möglich. Damit bekommen die Bezüge der Photonen untereinander eine wesentliche Bedeutung beim Übertragen von Information. Orts- und Richtungsangaben unterliegen daher nicht nur der Auflösungsgrenze durch die Energie, sondern auch der Beschränkung durch die aus der Informationsmenge folgenden Unsicherheit der Anzahlen, die sich als Rauschen zeigt.

Allgemein gilt, dass Information in der räumlichen und zeitlichen Verteilung der abzählbaren elementaren Quanten steckt. Bild 56-6 links stellt dar, dass eine Richtung mit mindestens zwei Punkten festgelegt werden muss, für bessere Genauigkeit mit mehr. Rechts ist die analoge Situation eines Punktes gezeigt, längs einer Geraden ist wenigstens das Kreuzen mit einer weiteren nötig, um einen Ort als Punkt zu markieren.

Bild 56-6: Um die Richtung einer Geraden festzulegen, müssen mindestens zwei Punkte von ihr bekannt sein. Der Ort eines Punktes ist als Kreuzung von mindestens zwei Geraden bestimmt.

Offensichtlich müssen die beteiligten Quanten für solche Experimente nicht im klassischen Sinn korreliert sein. Das Weglassen einzelner berührt nur die Genauigkeit des Ergebnisses und kann durch beliebige andere kompensiert werden. Dies ermöglicht die Statistik des Schrotrauschens. Um eine räumliche Angabe zu ermitteln, einen Bildpunkt oder ein Interferenzmuster, spielt es keine Rolle, zu welcher Zeit die Quanten registriert werden, nur ihre Anzahl und geometrische Verteilung prägt die Qualität des Resultats. Umgekehrt ist es beim vorherigen Beispiel der Abklingzeit, um diese zu ermitteln spielt der Ort (gegebenenfalls korrigiert mit der Lichtgeschwindigkeit) des Registrierens keine Rolle.

Die Beobachtung, dass räumliche und zeitliche Auflösung von der Energie abhängen, macht eine Aussage über die raum-zeitliche Informationsdichte. Das zeitliche Integral über diese Energie liefert eine Wirkung, die in Einheiten der Planckschen Konstante $h$ abzählbar gequantelt ist, $H=\int E\cdot dt=N\cdot h$. Die physikalische Beschreibung des einzelnen Photons mit h als Basisfläche wurde im Kapitel „ Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ behandelt, die Informationseinheit ein Bit sollte daher mit h und dessen Bezug zur Raumzeit definierbar sein, wobei Raum und Zeit dann den Bezug zu den anderen Quanten des Universums liefert.

Neben dem atomistischen Weltbild, bei dem das All aus einzelnen individuellen Objekten besteht, gibt es die Vorstellung, dass die Gesamtheit von allem im wesentlichen als Kollektiv die Basis unserer Welt bildet. Obige Gedanken zeigen die Bedeutung der Kombination von beidem, den einzelnen individuellen Quanten und ihren Beziehungen untereinander. Interessant ist dabei unser Einfluss bei der Messung: der Experimentator trifft die Auswahl der beobachteten Gesamtheit, die als Teil des Alls untersucht werden soll. Beispielsweise für ein Experiment mit 1000 Photonen legt die Wahl dieser Zahl die unterscheidbaren Helligkeitsstufen und die raum-zeitliche Auflösung fest. Werden davon eine raumzeitlich begrenzte Untergruppe oder nur eine kleinere Anzahl, zum Beispiel 100 Photonen ausgewertet, so wird die Information nicht nur geringer, es ändern sich auch die Verhältnisse der Informationsanteile für Helligkeit und Auflösung. Mit unserer Auswahl wird festgelegt, welche Gesamtheit mit Beziehungen der Quanten untereinander nun in unserer Wahrnehmung existiert. Solche Gesamtheiten können in unterschiedlichster Weise gebildet werden, mehrfach und unabhängig voneinander. Es können also Untergruppen betrachtet werden, die herausgelöst aus der großen Menge sind und dann unabhängig davon in ihren beobachtbaren Eigenschaften erscheinen, ohne dass Bezüge zur Obergruppe wahrgenommen werden. Diese Beziehungen bleiben aber, wie bei dem Auswirken von Integration in 5.4.3. diskutiert wurde, durchaus erhalten und können in weiteren andersartigen Auswahlen registriert werden.

Information und Energie

Eine wichtige Frage ist, wie verhält sich die Information zu bekannten physikalischen Größen ? Betrachten wir ein Volumen, der Einfachheit halber einen Würfel mit der Kantenlänge $\Lambda$. Um darin 1 bit an Information zu vermitteln, wäre mindestens die Energie eines Photons nötig, das die Wellenlänge $\lambda =2\Lambda$ hat. Dessen Energie ist:

$E_{\Lambda 1}=h\cdot c/\lambda =h\cdot c/2\Lambda$ [57-1]

Damit ist die Qualität dieser Information $I_{Q}$ festgelegt. Je größer das gewählte Volumen ist, desto geringer ist die Genauigkeit der mit dieser Information gekoppelten Größe, wie vorher bei der räumlichen und zeitlichen Auflösung zu sehen war. Erhöht man die Energie, so bedeutet dies entweder ein Anwachsen der Anzahl der Photonen oder man erhöht die Energie eines einzelnen Photons. In beiden Fällen erhält man dann eine dementsprechend bessere Auflösung und Genauigkeit der Größen, deren Messung man betrachtet. Im eindimensionalen Fall geschah dies proportional zwischen Energie und Genauigkeit, im zweidimensionalen mit der Wurzel und Schrotrauschen für die einzelnen gemessenen Größen, denn dann gibt es davon zwei, die voneinander unabhängig sind.

Die Informationsmenge $I_{Q}$ wächst zum einen mit zunehmender Energie $E$. Ein $N$-faches an Photonen liefert $N$ mal so viel Information. Mit dem Volumen $V=\Lambda ^{3}$ wächst auch die Möglichkeit, darin Photonen zu treffen. Es gilt also sowohl

$I_{Q}$ ~ $V$ als auch $I_{Q}$ ~ $E$ und $I_{Q}$ ~ $N$

Die Informationsdichte $I_{V}$ (Information $I_{Q}$ / pro Volumen V) entspricht dann der Anzahl $N$ der bits in diesem Volumen:

$I_{V}=I_{Q}/V=N\cdot I_{q}/V=I_{Q}/\Lambda ^{3}$ [57-2]

und die dafür nötige Energie wäre

$E_{\Lambda }=N\cdot h\cdot f=N\cdot h\cdot c/\Lambda$ [57-3]

mit der Photonendichte

$E_{\Lambda }/V=(N\cdot c/\Lambda ^{4})\cdot h=N\cdot h/(\Lambda ^{3}\cdot T)$ [57-4]

Diese Photonendichte bezieht sich auf ein vierdimensionales Volumen in der Raumzeit und die gequantelte Größe als Maß der Informationseinheit $I_{q}$ ist hier das Plancksche Wirkungsquantum $h$.

Die Denkweise, dass Information $I_{q}$ mit Quanten vermittelt wird, führt zu dem Problem, welchen Unterschied es bei gleichartigen aber in der Energie unterschiedlichen Quanten in Bezug auf die Information $I_{Q}$ gibt. Dies soll jeweils am Beispiel der Photonen und der Elektronen diskutiert werden.

Elektronen und Information

Elektronen bilden in vielen technischen Systemen Repräsentanten für Information. Man denke dabei an die Speicherzellen in einem Computer oder die von Photonen erzeugten Elektronen in einem Bildaufnehmer. Bei diesen Anwendungen ist die Menge an Information proportional zur Anzahl von Elektronen. Eine gleichartige Proportionalität zur Energie ist allerdings nur in Spezialfällen gegeben.

Die statische Situation

Wenn man die Energie eines mit wenigen Elektronen geladenen Kondensators betrachtet, hängt diese mit der Fläche $A$ der Elektrodenplatten zusammen und damit ist sie an die Genauigkeit der Kenntnis der örtlichen Ladungsverteilung gekoppelt.

$E=Q^{2}/2C=n^{2}\cdot e^{2}/2C$, [57-5]

mit

$C=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A/d=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ [22-2]

Für wenige Ladungspaare (n Elektronen und Löcher je Elektrode und Gegenelektrode) gilt

$E_{Cn}=n^{2}\cdot e^{2}/(2\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C})$, [57-6]

also eine mit steigender Größe der Fläche $A$ geringere Energie $E$, was eine geringere örtliche Genauigkeit der Position der Ladung bedeutet. Je genauer die Information über den Ort $(\lambda _{C})$ ist, desto mehr Energie ist offensichtlich erforderlich.

Wenn man einen $n$-fach geladenen Kondensator $C_{g}$, wie in Bild 57-1 gezeigt, so aufteilt, dass jede einzelne Ladung e auf einem der $N=n$ von den anderen isolierten extra Kondensator $C_{n}=C_{g}/N$ sitzt, so gilt für die auf einem solchen Teilkondensator gespeicherte Energie

$E_{n}=[n^{2}e^{2}/2C_{g}]=n\cdot e^{2}/(2C_{g}/N)=n\cdot [1\cdot e^{2}/2C_{n}]$ [57-7]

Bild 57-1: Der Kondensator $C_{g}$ mit Elektrodenflächen der Größe $A$ wird in $N=n$ anteilige Kapazitäten $C_{n}$ mit Elektrodenflächen $A_{n}$ aufgespaltet.

Es gibt dann $N$ Orte, die mit $A_{n}=A/N$ entsprechend kleiner und damit genauer lokalisiert sind als die ursprüngliche Fläche $A$. Die Informationsmenge dieser gesamten Anordnung ist also zunächst wegen der $N$-fachen Anzahl der Teilkondensatoren $C_{n}$ von $C_{g}$ $n=Nmal$ so groß wie die Energie eines einzelnen Elektrons pro Teilkondensator $C_{n}$ und zusätzlich $N$-fach genauer bezüglich des Ortes (der Fläche) wegen der kleineren Größe $A_{n}$ statt $A$. Dem Faktor $n^{2}=N\cdot n$ entspricht, dass Energie und Informationsmenge hier einander proportional sind. Bei diesem statischen Problem gibt es keinen zeitlichen Bezug.

Wenn man einzelne Teilkondensatoren $C_{n}$ entlädt, ist deren Position eindeutig bekannt und die Energie für jedes der $n$ Elektronen ist beim Entladen entsprechend ihrem gleichen Informationsanteil die gleiche. Die Energie des großen Kondensators $C_{g}$ ist, voll geladen, klassisch die gleiche wie die von der Summe der kleinen Kondensatoren $C_{n}$, beim Entladen einzelner Elektronen des großen Kondensators $C_{g}$ ist aber kein Ort der Herkunft genauer als mit der großen Elektrodenfläche $A$ definiert. Die mit dem $n$-ten Elektron abgegebene Energie $E_{gn-}$ beim Wechsel zu $n-1$ Elektronen ([25-5]) ist

$E_{gn-}=ne^{2}/C_{g}=e^{2}/C_{n}$ [25-5]

also größer als bei dem Entladen von irgendeinem Elektron eines Teilkondensators. Der Informationsverlust der restlichen Ladung $(n-1)\cdot e$ auf dem Kondensator $C_{g}$ bedeutet dabei zum einen die nun verringerte potentielle Ortsauflösung $A_{n-1}$, da der neue Ladungszustand nach obigem Verfahren nur in $n-1$ Kondensatoren mit einzelnen Elektronen zerlegt werden könnte. Die Information, die in den Beziehungen der Elektronen untereinander steckt, wird um die Anzahl von $n-1$ vom entnommenen n-ten Elektron zu den verbleibenden $n-1$ vermindert.

Im Fall einzelner Ladungen in getrennten Kondensatoren $C_{n}$ wäre neben der örtlichen Genauigkeit und relativen Position ein weiterer Informationsanteil durch die Individualität (man könnte sie vielleicht nummerieren) des am Entladen beteiligten Elektrons gegeben, eine Eigenschaft, die bei dem Kollektiv vieler Elektronen nicht existiert. Auch diese Informationsmöglichkeit wird beim Entladen des großen Kondensators $C_{g}$ verschenkt. Das $n$-te Elektron nimmt beim Entladen also mehr (potentielle) Information aus dem Kondensator $C_{g}$ mit als ein einzelnes Elektron beim Entladen eines Teilkondensators $C_{n}$.

Beim Entladen des großen Kondensators folgt die Summenenergie einer Parabel wegen des quadratischen Zusammenhanges mit der Ladungsmenge. Die Teilkondensatoren verlieren beim Entladen einzelner Elektronen jeweils die gleiche Energie und ihre Summenenergie folgt daher eine Sehne, die die Parabel trifft, wenn die Summe der Elektronen $m$ einem Vielfachen der Summe $N$ der Teilkondensatoren entspricht, Bild 57-2. Für die Anzahl $n$ der Teilkondensatoren, die eine Ladung mehr tragen als der Rest, gilt $n$ mod $N=m$ mod $N$.

Für die Energie des Summenkondensators gilt abhängig vom Füllstand $n$

$E_{Cg}=n^{2}e^{2}/2C_{g}$ [25-2a]

Wenn der große Kondensator in $N$ Teilkondensatoren zerlegt wird, gilt für die Energie der einzelnen mit $n$ Ladungen gefüllten Teilkondensatoren

Bild 57-2: Vergleich der Energie einzelner Elektronen eines großen Kondensators und von zwölf elektrisch gegeneinander getrennten Teilkondensatoren.

$E_{Cn}=n^{2}e^{2}/2C_{n}=n^{2}e^{2}/(2C_{g}/N)$ [25-2b]

und für die Energiedifferenz (grün) zwischen dem großen Kondensator und den $n$ Bruchteilen, die mit Ladungen gefüllt sind, gilt schließlich zunächst für $n$ <= $N$

$\Delta E_{n}=n\cdot (N-n)\cdot e^{2}/2C_{g}$ [57-8]

ein Zusammenhang mit $N$ und $n$, wie er in Bild 57-3 für die Teiler $N=2$ (rot) bis $N=8$ (blau) als Funktion der Elektronenanzahl $m$ als ein Vielfaches der Energie des großen Kondensators gefüllt mit einer Elementarladung, $E_{Cg1}=e^{2}/2C_{g}$, dargestellt ist.

Bild 57-3: Energiedifferenzen beim Entladen im Vergleich des Summen-Kondensators zu den Teilkondensatoren. Rechts daneben die Beziehungen (Möglichkeiten der Umladung) und ihre Anzahl zwischen freien und besetzten Kondensatoren.

Für $m$ > $N$ gilt nun für alle Intervalle der Größe $N$, dass diese Energiedifferenz sich mit der Periode von $N$ wiederholt, wenn die Anzahl der Ladungsträger auf den kleinen Kondensatoren um nicht mehr als eins differiert.

Zum gleichen Ergebnis kommt man aus dem Blickwinkel der Information, wenn man nicht als Außenstehender die Gesamtheit der Teilkapazitäten und die verschiedenen Möglichkeiten (Muster), darauf Ladung zu verteilen, diskutiert, sondern dies aus Sicht der kleinen Kondensatoren zu betrachten versucht. Nehmen wir an, dass zunächst alle Teilkondensatoren gleich stark gefüllt sind und es nun für das nächste Ladungspaar $N$ Möglichkeiten gibt, eine Position zu finden. Die Position dieser Ladung ist um den Faktor $N$ genauer definiert als die Fläche des großen Kondensators. Dazu gehört dann eine Energie, die $N$-mal so groß ist wie die für das erste Ladungspaar auf dem großflächigen Ausgangskondensator. Das gleiche gilt für die Position einer Lücke, also wenn die Zahl $n$ um den Wert 1 kleiner ist als $N$, wie alle Kurven in Bild 57-3 zeigen. Aus Sicht der Information ist ein Vorhandensein gleichwertig mit der Kenntnis des Nichtvorhandenseins. Mit jeder weiteren Ladung nimmt die Zahl dieser Möglichkeiten dann jeweils um eins ab, bis ein Maximum erreicht ist, wenn die Zahl der besetzten und unbesetzten Plätze gleich wird. Innerhalb jeder Periode nimmt also die Zahl der Ladungen um eins steigend zu, $n=$ 1,2,…$N$, während gleichzeitig die Zahl $M=1+N-n$ möglicher Plätze $M=N$, $N$ 1,…0 abnimmt. Die damit verbundene relative Informationsmenge beträgt $M\cdot n-n$ und ist identisch mit dem Faktor in der oben diskutierten Energiedifferenz [57-8]. Für einen außenstehenden Beobachter sind die Teilkondensatoren individuell, d.h. für jeden kann ein definierter Ort angegeben werden, man könnte ihnen Namen oder Nummern geben. Innerhalb des Systems spielt so eine Individualität augenscheinlich keine Rolle, es existieren nur die Anzahlen der geladenen oder ungeladenen Teile und als Beziehung die Möglichkeit, Ladungen zu tauschen, aber keine Individualität, sie sind untereinander ununterscheidbar. Die Struktur dieser Beziehungen ist aus Tab. 5.7. leicht zu entnehmen. Egal ob geladenen oder ungeladenen, die Kondensatoren sind nach außen neutral und zeigen keine Kraftwirkung untereinander.

Dies zeigt, wie die Energie und die Kenntnis von Beziehungen miteinander korreliert sind. Eine Nullpunktsladung muss hier nicht berücksichtigt werden, da es keine Fälle von Unkenntnis gibt, sondern jeweils angenommen wird, dass es bekannt ist, welche Menge an Ladung vorliegt.

Wenn man das Entladen betrachtet, stellt sich die Situation nun folgendermaßen dar: Anschaulich zeigt sich im großen Kondensator, der mit $N$ Elektronen gefüllt ist, ein „Druck“, der ein Entladen antreibt. Zum Entladen bedarf es allerdings zusätzlich noch einer Impedanz, die den Stromfluss ermöglicht. Die das Entladen charakterisierende Zeitkonstante $\tau$ hängt nicht nur mit der Menge der Ladungen, also dem Druck zusammen, sondern mit der Größe der Kapazität $C=\epsilon _{0}\cdot A/d=Q/U$ und der Größe des Widerstandes $R=(\Delta \Phi /\Delta t)/(\Delta Q/\Delta t)$, $\tau =R\cdot C$. Diesen Anteil der Information tragen also nicht die Ladungen, die wir bei Messungen registrieren, selbst, sondern sie ist in der Umgebung enthalten, in der sich die Ladungen befinden.

Die gemessenen Ladungen dienen daher nur zum Abtasten und Übertragen solch einer Information und das in Portionen mit begrenzter Informationsmenge.

Die beim Entladen weitergeleitete Information enthält diese zeitliche Komponente und die schon oben diskutierte potentielle räumliche. Jedes Mal, wenn ein Ladungspaar den Kondensator verlassen hat, beginnt die Prozedur aufs neue: die vorhandene Anzahl der Ladungen bestimmt in Kombination mit der Größe der Kapazität den „Druck“ und es gilt immer wieder aufs neue, dass die Halbwertszeit aussagt, wann in etwa die Hälfte der noch vorhandenen Ladungen den Kondensator über den Widerstand verlassen haben werden. Im Zusammenhang mit der noch vorhandenen Anzahl von Ladungen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Zeitintervall bis zur nächsten Entladung. Diese Zeitkonstante für die Anzahl der Ladungen ist allerdings nicht identisch mit der Zeitkonstante für die Energie. Mit dem Verschwinden von Ladungen ist nicht nur die mögliche Genauigkeit einer Zeitbestimmung verringert, sondern auch noch die potentielle räumliche Auflösung, wie bei der Parabel in Bild 57-2 zu sehen war, daher der Faktor zwei im Exponenten für die Energie.

Im Fall der $N$-fach aufgeteilten Kapazität bleibt der anfängliche „Druck“ in den geladenen Komponenten erhalten, allerdings schwindet im Laufe der Entladungszeit deren Anzahl. Die räumliche Auflösung wird nicht verändert, wie oben schon im Zusammenhang mit der Energie diskutiert. Es schwindet allerdings die aus der Anzahl resultierende potentielle Genauigkeit von Messungen. Über den Zeitpunkt des Entladens der einzelnen Teilkapazitäten können wir keine Aussage machen. Dies wird allgemein als zufällig angesehen. Wir kennen auch keine Wechselwirkungen zwischen den räumlich (und gegebenenfalls auch zeitlich) getrennten kleinen Kondensatoren. Wir beobachten allerdings ein kollektives Verhalten im zeitlichen Verlauf der Anzahl $N$(t), das identisch mit dem großen Kondensator ist. Daraus lässt sich doch dann wohl schließen, dass die gegebenenfalls vom Experimentator zusammengefassten Objekte einer kollektiven Gesetzmäßigkeit folgen und eine Einheit bilden. Diese ist hier, wie auch schon im Abschnitt „Sanduhr, gedämpfter Oszillator und Kondensatorentladung“ bei der Abstrahlung zu sehen war, nicht nur durch das Objekt selbst, sondern auch durch die umgebenden Impedanzen mitbestimmt.

Tabelle 5.7: Anzahl der Beziehungen für verschiedene Mengen N der Teilkondensatoren in Abhängigkeit von der Ladungsdifferenz $\Delta N$.

N		S		DN	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1		0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2		1		0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
3		4		0	2	2	0	0	0	0	0	0	0
4		10		0	3	4	3	0	0	0	0	0	0
5		20		0	4	6	6	4	0	0	0	0	0
6		35		0	5	8	9	8	5	0	0	0	0
7		56		0	6	10	12	12	10	6	0	0	0
8		84		0	7	12	15	16	15	12	7	0	0
9		120		0	8	14	18	20	20	18	14	8	0
10		165		0	9	16	21	24	25	24	21	16	9	0
11		220		0	10	18	24	28	30	30	28	24	18	10	0
12		286		0	11	20	27	32	35	36	35	32	27	20	11	0
13		364		0	12	22	30	36	40	42	42	40	36	30	22	12	0
14		455		0	13	24	33	40	45	48	49	48	45	40	33	24	13	0
15		560		0	14	26	36	44	50	54	56	56	54	50	44	36	26	14	0
16		680		0	15	28	39	48	55	60	63	64	63	60	55	48	39	28	15	0
17		816		0	16	30	42	52	60	66	70	72	72	70	66	60	52	42	30	16	0
18		969		0	17	32	45	56	65	72	77	80	81	80	77	72	65	56	45	32	17	0
19		1140		0	18	34	48	60	70	78	84	88	90	90	88	84	78	70	60	48	34	18	0
20		1330		0	19	36	51	64	75	84	91	96	99	100	99	96	91	84	75	64	51	36	19	0

Der Bezug zum Coulomb-Feld

Es ist auch interessant, die Information des geladenen Kondensators mit der von Ladungen im Coulomb-Feld zu vergleichen. Die Elektrodenflächen $A=a\cdot \lambda _{C}$ des Kondensators sollen Rechtecke sein, deren eine Kantenlänge genauso lang ist wie der Abstand der Platten, nämlich $a=d$. Dann ist die Kapazität des Kondensators durch eine charakteristische Länge $\lambda _{C}$ gegeben, die unabhängig von den übrigen Abmessungen des Kondensators ist:

$C=\epsilon _{0}\cdot A/d=\epsilon _{0}\cdot d\cdot \lambda _{C}/d=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ [57-9]

und die darin gespeicherte Energie für ein Elektron-Lochpaar beträgt:

$E=e^{2}/2C=e^{2}/(2\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C})$ [57-10]

Beim Aufspalten des Kondensators in Teile entsprechend Bild 57-4 bleiben Plattenabstand und eine Kantenlänge konstant. Information und Ortsauflösung betreffen also nur eine Dimension, die der Länge $\lambda _{C}$. Die halbe Länge $\lambda _{C}$ bedeutet bei gleicher Ladung $Q$ die doppelte Energie $E$ im elektrischen Feld. Wie sind die Verhältnisse, wenn die Ladungen nicht über die Flächen der Elektrodenplatten verteilt sind ? Die Energie zweier Elementarladungen $e+$ und $e-$ im Abstand $R$ ist nach dem Coulomb-Gesetz:

$E=e^{2}/(4\pi \cdot \epsilon _{0}\cdot R)$ [57-11]

Bild 57-4: Der Kondensator $C$ mit Elektrodenflächen der Größe $A$ wird wieder in n anteilige Kapazitäten $C_{n}$ mit Elektrodenflächen $A_{n}$ aufgespaltet. Wenn eine Kantenlänge der Fläche $A$ unverändert gleich dem Abstand $d$ der Platten bleibt, ändert sich nur eine Kante der Länge $l_{C}$ auf $l_{Cn}$. Bei einem Vergleich der Energien der elektrischen Felder mit dem Coulomb-Fall ist diese Länge mit dem Umfang $U$ des aus dem Abstand $R$ der Ladungen folgenden Kreises identisch.

Die Formeln [57-10] und [57-11] sind identisch, wenn die Kantenlänge $\lambda _{C}$ des Kondensators dem Umfang $U=2\pi R$ des Kreises für Ladungen im Abstand $R$ entspricht. Im Coulomb-Fall ist nur der Abstand R der Ladungen wesentlich, für zwei einzelne Ladungen ohne eine Beziehung zur restlichen Welt gibt es keine weitere Positionsangabe als den Abstand, Richtungen gibt es erst in Bezug auf weitere Objekte.

Die dynamische Situation

Ein einfaches dynamisches System, bei dem die Ladung eines Elektrons mit Information gekoppelt ist, lasst sich mit einer elektrischen Leitung realisieren. Bild 57-5 zeigt einen Bandleiter, bei dem ein kleiner Teil als Kondensator zunächst elektrisch vom Rest getrennt mit einem Elektron-Lochpaar aufgeladen wird, links, der gelbe Bereich von Bild 57-5 mit der Länge $l'_{C}$.

Bild 57-5: Der linke geladene Teil des Kondensators wird über den Schalter S mit dem Rest verbunden und löst einen laufenden Impuls aus.

Wenn man den Schalter S schließt, wird sich ein Impuls von links nach rechts auf dem Bandleiter solange ausbreiten, bis er am Ende wieder reflektiert wird. Bei einem verlustfreien System wird dies dann zu einem beliebig lange hin und her laufenden Impuls mit der Energie der Aufladung führen. Der lokalisierte, sich bewegende Impuls enthält Information über seine Position zu bestimmten Zeiten. Durch seine Länge $l'_{C}$ ist die Genauigkeit gegeben, mit der seine Position bestimmt werden kann. Entsprechend der Geschwindigkeit ist damit auch die zeitliche Genauigkeit der Positionsangaben vorgegeben. Die Genauigkeit dieser Informationen ist mit der Energie korreliert. Der vorher diskutierte Fall eines großen Kondensators mit gleichmäßig verteilter Ladung über die Flächen des Bandleiters mit weniger Informationsgehalt wird nicht realisiert. Erst durch einen dämpfenden Einfluss auf diesen Impuls kann solch ein energieärmerer Zustand erreicht werden. Damit geht dann Energie entweder in einer abgestrahlten Welle, die einen Teil der Information wegtransportiert, verloren oder in ungerichtete Wärmebewegung zur Entropieerhöhung über und wird wohl für uns als messbare Information daher unkenntlich.

Wie verteilt sich nun Information bei räumlich verschieden konzentrierter Ladung ? Aus Sicht der Information gibt es zunächst mit einem Bit die Information, ob eine Ladung auf den Elektrodenplatten im Bereich der gesamten Länge lC vorhanden ist oder nicht. Damit verbunden ist die Energie entweder $E_{0}=1\cdot E_{C}$ für vorhanden oder $E_{0}=0\cdot E_{C}$ für nicht vorhanden, also mehr oder weniger als die Nullpunktsenergie $E_{C}/2$ für die Unkenntnis. Diese Information kann präzisiert werden, indem diese Länge halbiert betrachtet wird. Nach diesem Verfahren kann die Genauigkeit weiter gesteigert werden, 1 Bit pro Faktor 2 an Genauigkeitssteigerung. Das bedeutet also pro Bit ein Halbieren der Positionsunschärfe und ein Verdoppeln der Energie. Für $N$ Bit gilt dann

$E_{Nl}=E_{0}\cdot 2(N-1){\text{, }}l_{CN}=l_{C}/2(N-1)$ [57-12]

Damit ist dann die Anzahl der unterscheidbaren räumlichen Positionen:

$M_{R}=2^{(N-1)}$ [57-13]

Bild 57-6 zeigt dies in den Stufen a bis d. Es wird dabei deutlich, dass zur Definition einer Längeneinheit nicht nur das Auslenken in eine Richtung gehört, charakterisiert durch den Wert 1, sondern zum Erkennen auch das entgegengesetzte, der Wert 0 existieren muss. Dies entspricht wieder der Idee des Abtasttheorems.

Bild 57-6: Digitales Strukturieren von Längen- und Zeitbereichen.

Mit diesem Ergebnis könnte man denken, dass die Menge der Möglichkeiten und die Energie einander proportional sind. Neben der räumlichen Position ist aber noch eine weitere Größe zu berücksichtigen, nämlich die Zeit T des Hin und Rücklauf. Der Impuls breitet sich ja mit der Geschwindigkeit c elektromagnetischer Wellen längs der Leitung aus. In Kapitel 1 wurden bereits zwei weitere Größen mit der Einheit einer Geschwindigkeit erwähnt, $v_{\Phi }=\Phi _{E}/2\Phi _{0}=2\alpha \cdot c$ [13-3] und $v_{Q}=Q_{M}/e=c/2\alpha$ [13-4], deren Produkt das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit ergibt, $v_{Q}\cdot v_{\Phi }=c^{2}$. Einzelheiten dazu sind in Kapitel 6 zu finden. Hier interessiert das Verhältnis der kondensatortypischen Länge $\lambda _{CN}$ zu seiner Zeitkonstante $\tau _{CN}$ in Kombination mit dem Klitzing-Widerstand

$v_{\Phi }=\lambda _{CN}/\tau _{CN}$ [57-14].

Für die Anzahl $M_{T}$ der Positionen in der Zeit T/2 gilt:

$M_{T}=2^{(N-1)}$ [57-15].

und die Anzahl der Positionen in Raum und Zeit zusammen:

$M=M_{R}\cdot M_{T}=2^{2(N-1)}$ [57-16].

Damit ist die Energie $E_{Nl}$ also nicht proportional zur Anzahl der gesamten Möglichkeiten. Proportionalität wird gefunden, wenn man den zeitlichen Bezug aus den gesamten Möglichkeiten eliminiert und sich jeweils auf den kleinstmöglichen Zeitbereich bezieht. Dies ist mit der Größe der Wirkung möglich, wobei der Faktor 2 wieder aus dem Abtasttheorem folgt:

$H=E_{Nl}\cdot 2\tau _{CN}$ [57-17]

Die Größe dieses Produktes nimmt mit kleiner werdenden Zeitintervallen $\tau _{CN}$ so ab, dass die einzelne Wirkungseinheit unabhängig von der Anzahl der zeitlichen Möglichkeiten bleibt.

$H=E_{C}\cdot 2^{(N-1)}\cdot 2\tau _{C}/2^{(N-1)}=h$ [57-18]

Bild 57-7 zeigt den sich ausbreitenden Impuls im raumzeitlichen Koordinatensystem. Die Rechtecke mit den Kantenlängen $l_{CN}$ und $\tau _{CN}$ symbolisieren Maße für die Grenzen der Genauigkeit, mit der eine Orts- und Zeitangabe aufgrund der Informationsmenge möglich ist. Das Bild 57-7 zeigt nur die prinzipielle Struktur dieser Ausbreitung. Aus dem eben Diskutierten sieht man damit jedenfalls bereits, dass das Plancksche Wirkungsquantum h aus [57-18] mit der kleinsten Informationseinheit (1 bit) identifiziert werden kann.

Bild 57-7: Digitale Strukturen von Längen- und Zeitbereichen beim Ausbreiten eines Impulses entsprechend dem von Bild 57-6.

Neben diesen hier gezeigten Positionen in Raum und Zeit gibt es die dazugehörigen Phasen der Bewegung. Diese entsprechen einem Stromfluss und sind daher mit den Magnetfeldern gekoppelt. Betrachten wir deswegen einige Einzelheiten beim Ausbreiten eines Impulses auf dem Bandleiter. Ein mit einer Elementarladung geladener Kondensator enthält zunächst die Information über den Ort dieser Ladung, die aufgeladene Elektrodenfläche. Dieser Ort lasst sich gedanklich auf eine Ausdehnung $l'_{C}$ in einer Dimension begrenzen. Diese Ladung existiert zu verschiedenen Zeiten, wenn der Kondensator nicht entladen wird sogar unendlich lange. Wenn der Kondensator entladen wird, existiert diese Ladung nur für eine Zeitdauer $T$(R), die von der Größe des Entladewiderstandes R bestimmt wird. Die zeitliche Auflösung $T$ als Folge der Digitalisierung der Wirkung $H=N\cdot h$, wie sie für den Einzelfall $T=h/E$ beträgt, entspricht der Periodendauer eines energiegleichen Photons und ist wegen

$E_{C1e}=e^{2}/2C=e^{2}\cdot R_{k}/2\tau _{C}=h/2\tau _{C}$ [57-19]

dann gleich

$T=h/E_{C1e}=2\tau _{C}=2C\cdot h/e^{2}=2l'_{C}/v_{\Phi }$ [57-20]

doppelt so lange wie die Zeitkonstante des Entladens über den Klitzing-Widerstand. Diese Unschärferelation des Einzelfalls liefert eine größere zeitliche Unschärfe als die üblicherweise verwendeten mittleren oder wahrscheinlichsten „Heisenbergschen“ Unschärfen, die nur Bruchteile des Planckschen Wirkungsquantums sind, aber eben auch nur für Mittellungen über große Anzahlen sinnvoll verwendet werden können.

Damit ergibt sich ein Problem beim Entladen eines Kondensators über Widerstände, die kleiner als der Klitzing-Widerstand sind, also zum Beispiel die Vakuumimpedanz. Die Zeitkonstanten solcher Entladungen können wesentlich kleiner werden als die zeitliche Auflösung (Dauer) des Ladungszustandes aufgrund der vorhandenen Energie. Der scheinbare Widerspruch verschwindet, wenn man bedenkt, dass mit einem einzelnen Elektron nicht genügend Information zur Verfügung steht, um eine Zeitkonstante genau zu bestimmen; ein Problem, das im vorherigen Kapitel schon bei der Abklingzeit behandelt wurde. Die kürzeren Zeitdauern lassen sich mit Messungen erst erfassen, wenn vielfach gemessen wird und ergeben sich also erst beim Einsatz vieler Elektronen und der damit verbundenen größeren Energie mal Zeit. Die Zeitkonstante ist eine Information, die erst zugehörig einer Gruppe von Beobachtungen mit Kapazität und Entladewiderstand im Hintergrund definiert werden kann.

Bild 57-8: Eine räumlich begrenzte Ladung auf einer Kondensatorplatte ist entweder lokalisiert oder breitet sich aus.

Betrachten wir im folgenden Bild 57-8 den halbierten Kondensator, dessen Ladung durch Hinzuschalten der zweiten ungeladenen Hälfte nun zu einem sich ausbreitenden Impuls führt. Mit einer solchen Anordnung zeigen sich sowohl Reflexionen an Leitungsenden wie auch Phasen der Bewegung des Impulses.

Bild 57-9: Der sich ausbreitende Ladungsimpuls und seine Projektionsflächen auf Raum- und Zeitachse.

Beim Start sei die Ladung zunächst auf der halben Länge des Bandleiters lokalisiert, gelb, unten links. Dies ist der statische Zustand, bei dem nur das elektrische Feld existiert. Es gibt dann keine Bewegung und kein Magnetfeld genauso wie in einer Reflexionsphase, Phase a. Mit dem Ereignis, dass die zweite Hälfte des Kondensators verbunden wird, beginnt der Zustand der Bewegung, Phase b, und der elektrostatische Zustand wird beendet. Dies bedeutet Stromfluss und ein damit verbundenes Magnetfeld, für das Energie benötigt wird. Ein Verteilen der Ladung auf die doppelt so große Fläche setzt Energie des elektrischen Feldes frei, die dann für das Magnetfeld zur Verfügung steht. Wenn das Feld der Ladung in der zweiten Hälfte des Kondensators eingetroffen ist, wird sie wieder stärker lokalisiert und Stromfluss und Magnetfeld verschwinden, Phase c, genauso wie a eine Reflexionsphase. In der folgenden Phase d existiert wieder Bewegung der Ladung entgegengesetzt zu b und ihr Verteilen über eine größere Fläche. Daran schließt sich wieder eine Phase a der Reflexion an, bei der die Ladung auf eine Kondensatorhälfte konzentriert ist und das Magnetfeld verschwindet. Eine solche Darstellung beschreibt das Geschehen vieler solcher Vorgänge im zeitlichen und räumlichen Mittel, für den Einzelfall ist die Unschärfe entsprechend obigen Überlegungen mit $T=2\tau _{C2}$ doppelt so groß anzusetzen.

Das nächste Bild 57-9 zeigt einen solchen Vorgang ergänzt um eine dritte Achse, die Energie. Startet man mit einer Ladung, die auf ein Viertel der Fläche des gesamten Kondensators begrenzt ist ($N=4$), so ist die Energie, wie im oberen Teil des Bildes gezeigt, viermal so groß wie im unteren ($N=1$), wo die Ladung sofort auf den kompletten Kondensator verteilt vorliegt. Der sich auf dem Kondensator hin und her bewegende Impuls liefert Projektionen auf die Energie-Zeit-Ebene (blau) und die Energie-Orts-Ebene (grün). In Bezug auf das Universum ist diese Zeitachse unbegrenzt und die Periodizität des Vorgangs wird sich nur in der Periodendauer widerspiegeln. Die räumliche Ausdehnung der Elektrodenplatten begrenzt allerdings das Wandern der Projektionsflächen auf der Ortsachse und führt zu ständiger Wiederholung, die es auf der Zeitachse nur gäbe, wenn keine Bezüge zu weiteren Teilen des Universums bestehen und die Zeit, wie in Kapitel 4 beim Uhrenpendel diskutiert, nur für die Periodendauer existiert. Die blauen Flächen sind Wirkungen (Energie mal Zeit), die allerdings auch hier nur die minimale Größe des Planckschen Wirkungsquantums erreichen, wenn man die Unschärfe der Zeitdauer entsprechend vergrößert.

$E_{E}\cdot 2\tau _{C}=(e^{2}/2C)\cdot 2R_{k}\cdot C=h$ [57-21].

Die grünen Flächen der Energie-Orts-Ebene haben die Größe

$E\cdot l_{CN}=h\cdot c\cdot \alpha =h\cdot v_{\Phi }/2$ [57-22],

sind also wohl auch zu klein, um den Einzelfall mit richtigem Maß zu beschreiben. Während der Aufenthaltsort der Ladung begrenzt durch die mechanischen Abmessungen der Elektrode im räumlichen Bereich des elektrischen Feldes einschränkt ist, sind solche Grenzen für das Magnetfeld nicht gegeben. Für das beim Bewegen der Ladung erzeugte Magnetfeld ist der Wellenwiderstand ausschlaggebend. Für den Vakuumwellenwiderstand $Z_{0}=377\Omega$ würden auf ein magnetisches Flussquant $N=R_{K}/Z_{0}=1/2\alpha$ Elektronen kommen. Die magnetischen Projektionen auf die Energie - Zeit oder die Energie - Raum Ebene hätten die Größen

$E_{M}\cdot 2\tau _{L}=(2\phi _{0}^{2}/L)\cdot 2(L/R_{k})=h$ [57-23]

und

$E_{M}\cdot \lambda _{L}=(2\Phi _{0}^{2}/L)\cdot \lambda _{L}=2\Phi _{0}^{2}\cdot Q_{M}=h\cdot c/\alpha =h\cdot v_{Q}$ [57-24],

wären also über viele elektrische Ladungsprojektionen ausgedehnt. Die von der Impedanz des systemabhängigen Mengenverhältnisses von Anzahl der Magnetflussquanten zu Anzahl der Elementarladungen lassen sich nun auch so interpretieren, dass nicht die Anzahlen selbst, sondern das Verhältnis ihrer charakteristischen Zeitdauern und ihre raumzeitlichen Ausdehnungen wesentlich sind.

$R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t_{M})/(e\cdot \Delta n/j\Delta t_{E})=!(\Phi _{0}/\tau _{M})/(e/\tau _{E})$ [57-25]

Eben begegneten uns die schon oben erwähnten unterschiedenen Arten der Information, die scheinbar individuelle des einzelnen Teilchens, allerdings bezogen auf Raum und Zeit und die deutlich kollektive der Beziehungen vieler Objekte untereinander. In der althergebrachten Vorstellung von Welle- und Teilcheneigenschaften ist dies schon enthalten, es wird vielleicht an dieser Stelle bewusst, dass das einzelne Teilchen als Objekt nicht punktuell frei in Raum und Zeit steht (und somit seine Charakterisierung als individuelles Teilchen unvollständig ist), sondern zusätzlich der Bezug zu seiner räumlich und zeitlich ausgedehnten Umgebung eine wesentliche informationshaltige und Energie benötigende Eigenschaft ist. Diese Seite der Eigenschaften liefert uns dann das Wellenmodell mit dem Beschreiben von Interferenz und Wechselwirkung.

Information und Photonen

Verschiedene Photonen oder auch Phononen können je nach ihrer Frequenz unterschiedliche Energie haben. Eine Basis aller war in Kapitel 3 das Plancksche Wirkungsquantum $h$, wie es auch Bild 58-1 links mit der Grundfläche $h$ zeigt. Das Volumen dieses Quaders entspricht der Energie $E=h\cdot f$ des Schwingungsquants und je nach Frequenz $f$ fällt dieses Volumen unterschiedlich groß aus. Rechts sind zwei Schwingungsquanten verschiedener Frequenz zu sehen, zu dem energiereicheren höherfrequenten mit $f_{1}$ gehört die rote Deckfläche und zu dem tieferer Frequenz $f_{2}$ die blaue Deckfläche. Wenn man die Energie des höherfrequenten mit $f_{1}$ auf das Volumen vieler niederfrequenter $f_{2}$ Quanten (blau/gelb) verteilt, bleibt die Energie erhalten. Der Information steht jetzt allerdings anstatt eines Wirkungsquants $h$ eine Vielzahl $N$ von Quanten in der Grundfläche der Wirkung und damit eine entsprechende Anzahl von Bits zur Verfügung. Die Periodendauer $T_{1}$des hochfrequenten Quants ist allerdings viel kleiner als die des niederfrequenten $T_{2}=N\cdot T_{1}$ und man sieht leicht, dass die zeitliche Dichte der Wirkungsquanten $N\cdot h/T_{2}=E=h/T_{1}$ und damit die zeitliche Dichte der Information (Bit/Sekunde) im Falle gleicher Energie identisch ist.

Bild 58-1: Photon oder Phonon mit der Fläche h in der Wirkungsebene, links, Schwingungsquanten verschiedener Energie haben eine unterschiedliche Frequenz $f$, rechts im Bild daher unterschiedliche Höhe, $f_{1}$ und $f_{2}$. Bei gleicher Energie (gleichem Volumen) umfasst die größere Grundfläche bei niedrigerer Frequenz mehr Wirkungsquanten.

Es lohnt daher zu schauen, wie die Information auf Zeit und Raum verteilt erscheint. Dazu sollen die Eigenschaften zweier Photonen ungleicher Energie verglichen werden. Die minimale Ausdehnung von Information in Raum und Zeit von zwei Photonen mit um den Faktor zwei unterschiedlicher Energie zeigt das Bild 58-2. Grundlage dieser Darstellung sind das Abtasttheorem und die beugungsbedingte Auflösungsgrenze nach Ernst Abbe.

Bild 58-2: Die minimale Ausdehnung zweier Photonen mit dem Frequenzverhältnis $f2/f1=2$.

Bild 58-3: Unterschiedliche Auflösung mit Photonen des Frequenzverhältnisses $f2/f1=2$.

Die heutzutage realisierte bessere Auflösung unterhalb dieses Beugungslimits benötigt die Interferenz einer Vielzahl von Quanten mit entsprechend mehr Informationsinhalt und ist damit an dieser Stelle für die Diskussion ungeeignet. Die in Bild 58-2 gezeigten zwei Photonen P1 und P2 mit den Frequenzen $2f1=f2$ unterscheiden sich in der räumlichen Auflösung $\Delta x-\Delta y$, reziprok um den Faktor zwei, denn räumlich gilt $2\lambda _{2}=\lambda _{1}$ und entsprechend gilt zeitlich wegen $T=\lambda /c:2\Delta T_{2}=\Delta T_{1}$. Über Information kann man allerdings erst diskutieren, wenn man den Bezug zu weiteren Quanten realisiert. Diesen Bezug zeigt Bild 58-3 mit dem auflösungsbegrenzten Abstand zweier Photonen für den Fall größerer und kleinerer Frequenz.

In Anlehnung an das Abtasttheorem kann man einen Abstand erst mit zwei Fixpunkten bestimmen, wie es in Bild 58-3 für die x-Richtung angedeutet ist. Die rot-orangen niederfrequenten Photonen, P1, müssen den doppelten Abstand voneinander haben wie die bläulichen doppelter Frequenz, P2, um in Bildern die gleiche relative Trennung untereinander zu zeigen. Dies bedeutet für die doppelte lineare Auflösung, die man bei der Frequenz $f_{2}$ erreicht, doppelt so viele Photonen P2 mit jeweils doppelter Energie, also eine quadratische Energiezunahme pro linearer Auflösungssteigerung und im Beispiel also insgesamt den Faktor vier für die Energie. Dies entspricht den im Bild 58-3 unten rechts gezeigten vier Möglichkeiten (2 Bit) der Position einer Grundfläche von P2 mit gegenüber P1 halber Kantenlänge in einem großen Quadrat entsprechend der Grundfläche von P1.

Dieser Gedankengang ist sowohl hinsichtlich steigender Auflösung in einer Richtung als auch raum-zeitlich übertragen auf die weiteren Dimensionen leicht fortzuführen.

Bild 58-4 Der optische Informationsquader zeigt die Beziehung zwischen Graustufen, räumlicher und zeitlicher Auflösung, das Quadrat des Volumens entspricht der Photonenzahl

Das Raster des Bildaufnehmers bei der Photographie gestattet es, die Analogie zur ebenfalls gerasterten Ebene der elementaren physikalischen Größen vorzustellen.

Dies ermöglicht, einen Zusammenhang zwischen dem Signal zu Rausch Verhältnis S/R, der linearen räumlichen Auflösung r und der zeitlichen (1/T)1/2 zu ermitteln, wie es Bild 58-4 zeigt. Im oberen Teil stellt die rote Fläche F rechts einen Bildpunkt in der X,Y-Ebene des Bildaufnehmers dar und links davon sind die Photonen aus dem Volumen $F\cdot c_{T}$ zu sehen, die während der Belichtungszeit T auftreffen und detektiert werden.

Die Größe des Bildpunktes bestimmt die räumliche Auflösung, die Belichtungszeit die zeitliche und die Anzahl der detektierten Photonen das Signal/Rausch-Verhältnis $S/R$. Das Produkt der drei Größen: Signal zu Rausch Verhältnis $S/R$, lineare räumliche Auflösung $r$ (Linienpaare/mm) und Wurzel aus der zeitlichen Auflösung ${\sqrt {1/T}}$, ergibt also ein Volumen, das durch die Anzahl $N$ der Photonen bestimmt wird, Bild 58-4 unten links, die pro Belichtungszeit einen Bildpunkt treffen (genau genommen der Wurzel der Anzahl). Es liegt in der Wahl des Experimentators, ob eine bessere räumliche Auflösung oder mehr Graustufen gewünscht sind, wie es Bild 58-4 unten Mitte mit den Quadern I/schwarz oder II/rot gegenüberstellt. Alternativ kann auch die zeitliche Auflösung vergrößert werden, als Folge muss man dann allerdings mit weniger Graustufen zufrieden sein, dargestellt in Bild 58-4 unten rechts, Quader III.

Die Transformation von Information

Die Information, die einzelne Quanten mit ihren Beziehungen zu den anderen weiterleiten, kann in verschiedener Form realisiert sein. Die Größen, die wir messen, entstehen durch Summation der einzelnen Quantenbeiträge, wie wir schon beim Messen von Strom oder Helligkeit beobachten konnten. Typisch war dabei auch, dass von der gesamten Informationsmenge nur ein Teil ausgenutzt wurde und der Rest unbeachtet verloren ging. Wie schon gezeigt, ist ein solcher Verlust aber nicht nötig, wie man auch bei der Fouriertransformation sieht. Physikalische Phänomene können in ihrer zeitlichen Entwicklung zusammenhängender Größen verfolgt werden, also zum Beispiel Ort und Impuls oder elektrisches und Magnetfeld oder alternativ als Überlagerung unendlich lang andauernder Schwingungen mit frequenzabhängigen Amplituden und Phasen. Deren Addition liefert durch Interferenz eine derart verteilte Energie, dass sie das Geschehen in Raum und Zeit repräsentiert. Beide Beschreibungen lassen sich verlustfrei ineinander umkehren. In der Optik beobachten wir diesen Vorgang räumlich, wie mit einer abbildenden Linse in Bild 59-1 gezeigt wird.

Bild 59-1: Optische Fourier-Transformation-Winkel (Perioden) werden in Abstände transformiert. Die oberste Reihe zeigt Bilder einer Ultraschallwelle mit 2 MHz oder 6 MHz. Links jeweils das Originalbild und rechts die Fourier-Transformierte in der Brennebene der Linse.

Die periodische Strukturen im Bild 59-1 mit der Größe G als Periodenlänge, die rote, grüne und blaue räumliche Periode links neben der Linse, führen wegen der Beugung am Gitter zum Ablenken der Lichtstrahlen um jeweils einen Winkel $\phi ,sin\phi =n\cdot \lambda /d$. Die räumlich periodische Struktur wird in einem Winkel transformiert, ($\lambda /d\rightarrow \phi$). Die Linse vereinigt gleichgerichtete Strahlen in der Brennebene, jedem Winkel $\phi$ auf der linken Seite der Linse entspricht dort eine Position $x,(\phi \rightarrow x)$. Das Beispiel der Photographien darüber zeigt durchleuchtete stehende Ultraschallwellen, jeweils links die Abbildung der Schallwelle, die räumlich hinter der rechten Brennebene liegt, und rechts das Fourier-transformierte Bild aus der Brennebene. Beide Versuche wurden in $CCl_{4}$ bei 2 MHz und 6 MHz Ultraschallfrequenz durchgeführt. Bei 6 MHz ist die Wellenlänge des Schalls nur 1/3 der bei 2 MHz. Daraus ergibt sich die um den Faktor 3 feinere räumliche Struktur und die entsprechend größere Ablenkung $\phi$ und damit der dreimal so große Abstand $x$ der Beugungsordnungen in der Brennebene.

Bei dieser Abbildung werden Einfallsrichtungen von links der Linse in Abstände zur optischen Achse in ihrer rechten Brennebene transformiert. Während in Gegenstands- und Bildebene bei solchen Abbildungen die räumliche Verteilung, in diesem Fall von Überdruck und Unterdruck der Schallwelle. zu sehen ist, stellt die Abbildung in der Fourier-Ebene Strukturen dar, hier werden also im wesentlichen die Periodenlängen in Abstände transformiert. Solche Abbildungen sind ineinander überführbar, es geht also keine Information dabei verloren.

Bild 59-2 zeigt die Prinzipien der Abbildung mit einer Linse. Dabei werden Orte eines Raumbereiches in einen anderen transformiert. Die Genauigkeit dieser Abbildung ist durch zwei Faktoren begrenzt. Erstens durch die Wellenlänge der Photonen, die eine energieabhängige örtliche und zeitliche Schranke der Auflösung liefert. Von der im „Gegenstandsbereich“ dadurch zunächst begrenzt vorhandene Menge an Information wird nur ein Teil durch die Fläche der abbildenden Linse gelangen, beugungsbedingte Unschärfe und entsprechender Verlust an Genauigkeit ist die Folge.

Bild 59-2: Abbildung mit Linse, ein Hologramm in der Brennebene enthält alle Information mit der Menge, die durch die Anzahl der Photonen begrenzt ist.

Die Punkte, die links vom linken Brennpunkt $F_{v}$ liegen, werden in Punkte rechts des rechten bei $F_{h}$ abgebildet. Dabei findet eine Umkehr des Abstandes zur Linse statt. Punkte außerhalb der Entfernung 2F zweier Brennweiten werden in Punkte zwischen der Brennebene (dort landet die unendliche Entfernung) und der doppelten Brennweite $F\leftrightarrow 2F$ abgebildet, dies entspricht einer Verkleinerung von Abständen, und umgekehrt entsprechend einer Vergrößerung. Da Objekte bei dieser Art Abbildung in der Größe verändert werden, ist es naheliegend zu fragen, was dabei mit der wellenlängenabhängigen Auflösungsgrenze passiert ? Die Lösung dieser Frage ist natürlich damit verknüpft, dass die gesamte Information nicht mit einem Photon übertragen werden kann, sondern nur mit der Kombination vieler angenähert beschrieben wird. Damit sind dann entsprechende Unschärfen und Schrotrauschen verbunden. Bei größerer Photonenzahl und verkleinerter Abbildung kann es durchaus sein, dass die Dichte der Photonen mehr Details liefert, als die wellenlängenbedingte Unschärfe zulasst. Wenn aber das Verhältnis der Photonen untereinander bekannt ist (und damit die Phasenlage), dann kann bei der rückwärtigen Vergrößerung trotzdem eine Präzision vorhanden sein, die man auf den ersten Blick vielleicht nicht erwartet hätte. Insbesondere zeigt Bild 59-2 auch, wie die örtliche Information bei der Abbildung vom Ort des linken Quadrats zum rechten verkleinert wird, die Menge möglicher Richtungsinformation durch die Transformation des spitzen Winkels $\phi _{v}$ in den größeren stumpfen $\phi _{h}$ aber zunimmt. Des weiteren sieht man den Einfluss der Apertur auf die Menge der passierenden Information. Der Grenzfall der Transformation ist die Abbildung von Richtungen in Punkte der Brennebene. Damit verbunden ist eine Unschärferelation zwischen Genauigkeit eines Ortes und Genauigkeit einer Richtung.

Alle Information passiert die Brennebenen und muss dort vorhanden sein. Ein dort gewonnenes Hologramm, das die Phasenbeziehungen und Richtungsinformation nicht so ignoriert wie unsere klassische Bildaufnahme, gestattet die vollständige räumliche Reproduktion. Die ausschließliche Auswertung der Amplituden in einer Bildebene führt zum üblichen Effekt der begrenzten Tiefenschärfe, wie sie in Bild 59-3 zu sehen ist. Die von den Photonen übertragene Information enthält nicht nur Angaben über Positionen in der Gegenstands- und Bildebene, sondern auch Information über den Abstand dieser Ebenen zur Linse, einer dritten Raumdimension, die hier dann mit der Eigenschaft „Schärfe“ korrespondiert.

Bild 59-3: Der Effekt der Tiefenschärfe.

An anderer Stelle wurden diesbezügliche Fragen, zum Beispiel der Beugung am Spalt, der Bedeutung von Amplitude und Phase von Wellen bei der Abbildung und wie sich unkorrelierte Photonen in der Bildebene ansammeln, schon diskutiert.

Die hier gezeigten Beispiele reichen wohl aus, eine physikalische Bedeutung der Information beim Messen zu erkennen. Sie tritt in unterschiedlicher Form in Erscheinung, in welcher entscheidet der Experimentator gegebenenfalls mit seinem Einfluss. In gewissem Umfang hat er die Wahl, Informationskanäle auszusuchen. Genauigkeit und Unschärfe bei Messungen werden dann durch die Menge der Information und damit durch Art und Anzahl von Quanten begrenzt. Aus den Ergebnissen des im Abschnitt „Information beim Doppelspaltexperiment“ erwähnten Doppelspaltexperimentes mit wenigen Quanten, den Abklingzeitmessungen bei raum- oder zeitkonzentrierter Anregung und dem EPR-Experiment erkennt man, dass Information nicht raumzeitlich konzentriert ist. Die Quanten, die sie repräsentieren, erscheinen allerdings während der Detektion mit üblichen Messmethoden an einem in Bezug auf das Universum lokalisierten Ort in der Raumzeit.

Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten

Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten

Die Information, mit der man die physikalische Welt beschreibt, wird durch Quanten übermittelt. Sie ist in Kombination mit den Beziehungen solcher Quanten zu anderen enthalten. Ein anschauliches Beispiel solcher Beziehungen liefert der elektromagnetische Quader (EMQ), indem die elektromagnetischen Quanten mit den Naturkonstanten, die sie untereinander verbinden, dargestellt sind. In diesem Quader finden sich neben der Lichtgeschwindigkeit und der Feinstrukturkonstanten unter andrem zwei Geschwindigkeiten, deren Produkt das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit ergibt. Basis der Konstruktion dieses Quaders und damit auch der verschiedenen Naturkonstanten sind die vier elektromagnetischen Quanten, aus denen dann ihre Beziehungen folgen.

In unserem technischen Umfeld sind wir gewohnt, Information mit Impulsen über Leitungen zu übertragen. Es bietet sich an, die Gedanken zum elektromagnetischen Quader mit den Fragen zur physikalischen Bedeutung der Information zu verknüpfen.

Vier elektromagnetische Quanten - die Basis des elektromagnetischen Quaders

In den vorherigen Kapiteln sind verschiedene Quanten und zahlreiche Formeln mit ihren Kombinationen aufgetaucht. Beim Abtasten kleinster Strukturen zeigt sich, dass physikalische Information in Kombination mit den Beziehungen der Objekte zueinander enthalten ist. Dies ist natürlich auch zwischen den einzelnen elektromagnetischen Quanten Realität, Kräfte und andere Wechselwirkungen treten erst auf, wenn mindestens zwei Objekte vorhanden sind. Das einzelne Elektron spürt erst Kräfte, wenn es mindestens noch eine weitere elektrische Ladung gibt oder es sich in einem magnetischen Fluss bewegt. Wenn versucht werden soll, diese Wechselwirkungen zu sortieren, werden in der Beschreibung also nicht die einzelnen Quanten auftauchen, sondern Gruppen von mindestens zwei mit ihren gegenseitigen Bezügen. Wir sind damit vertraut, dass nicht einzelne Quanten sondern Quadrate der elektrischen Ladung oder des magnetischen Flusses wesentliche Anteile der Energie, deren Bezug zur Qualität von Information schon erwähnt wurde, liefern.

Im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ wurde darauf hingewiesen, dass Basis kleinster Informationsmengen Trinitäten sind. Im folgenden sollen solche Trinitäten als Basis benutzt werden, um Beziehungen mit physikalischer Relevanz in und zwischen ihnen zu finden und zu schauen, ob sich dann weitere Zusammenhänge erarbeiten lassen. Solche Trinitäten lassen sich aus den elektromagnetischen Quanten bilden. Die elektrischen und die magnetischen Quellen, $e$, $Q_{M0}$, und ihre Flüsse, $\Phi _{E0}$, $\Phi _{0}$, sind jeweils über eine Naturkonstante raumzeitlich und impedanzmäßig miteinander in Beziehung gesetzt, Bild 61-1.

$\Phi _{E0}=e/\epsilon _{0}$ [12-5]

$\Phi _{M0}=\Phi _{0}/\mu _{0}$; $Q_{M}=2\Phi _{0}/\mu _{0}$ [12-8]

Bild 61-1: elektrische und magnetische Trinitäten.

Bild 61-2: elektromagnetische Beziehungen.

Es gibt also eine elektrische und eine magnetische Trinität. Und beide zeigen wieder Beziehungen untereinander, wie sie ein Tetraeder in Bild 61-2 darstellt. Die Anzahl dieser sechs Beziehung ist dann natürlich größer als die Anzahl der Basis von zwei Quellen und zwei Flüssen. Die ausgangsseitigen Beziehungen, $\epsilon _{0}=e/\Phi _{E0}$ [As/Vm], $\mu _{0}=\Phi _{0}/Q_{M}$ [Vs/Am] enthalten je zwei elektrische und zwei raumzeitliche Komponenten. Die neu dazugekommenen Beziehungen beschränken sich in ihren Einheiten auf die elektromagnetischen [V/A], $R_{K}=2\Phi _{0}/e$, $Z_{MR}=\Phi _{E0}/Q_{M}$, oder die raumzeitlichen Teile [m/s], $v_{\Phi }=\Phi _{E0}/2\Phi _{0}$, $v_{Q}=Q_{M}/e$, es sind Impedanzen oder Geschwindigkeiten. Eine dieser Impedanzen kennen wir schon, es ist der Klitzing-Widerstand $R_{K}$. Die anderen Größen werden wir im folgenden noch diskutieren.

Bild 61-3: Vier elektromagnetische Quanten und ihre Beziehungen

In Bild 61-3 erkennen wir als Struktur zunächst, dass in der oberen Reihe (Zeile) die Koordinate des Raumes und in der unteren Reihe die der Zeit auftritt. Links finden wir in den Einheiten die Spannung und rechts den Strom. Als Quellen von Feldern denken wir uns die rechten Größen häufig lokalisiert in begrenzten Volumen, während die Flüsse zwar als Quanten rechnerisch auftreten, aber nicht etwa räumlich konzentriert sondern über große Flächen verteilt. Der elektrische Fluss und der magnetische Pol in der oberen Reihe haben Bezüge zu den statischen elektrischen und magnetischen Feldern. In der unteren Reihe dagegen hängen die zeitliche Änderung des Magnetflusses mit der Induktionsspannung zusammen und der Strom mit Bewegung von Ladungen. Der Klitzing-Widerstand $R_{K}$ als Beziehung wird daher gebildet, indem man während der Messdauer $T$ die Änderung der Anzahl von magnetischen Flussquanten und elementaren Ladungen zählt. Die Impedanz des Memristors $Z_{MR}$ in der oberen Reihe bezieht sich dagegen auf die räumliche Verteilung von statischen elektrischen und magnetischen Feldern. Links oben sehen wir mit dem elektrischen Fluss kombiniert die elektrische Feldstärke $E=U_{E}/x=\Phi _{E}/A$ raumbezogen und unten die Induktionsspannung $U_{M}=d\Phi _{M}/dt$ mit der Änderung des magnetischen Flusses zeitbezogen. Das Verhältnis dieser Größen $U_{E}/U_{M}$ spiegelt sich in der Geschwindigkeit $v_{\Phi }$ wider. Entsprechend rechts haben wir den Strom und das mit einem Strom raumbezogene Feld des Magnetpols kombiniert mit den bewegten Ladungen des Stromes. Dieser Quotient ist dann in $v_{Q}$ kombiniert. Die im ersten Ansatz oben verwendeten Beziehungen sehen wir hier als Diagonalen und sie können jeweils durch die möglichen Kombinationen von Geschwindigkeit und Impedanz realisiert werden.

Tabelle 6-1: Quanten und Beziehungen im elektromagnetischen Quader

e	ε0	Rk	vQ
ΦE0	ε0	Mk	vΦ
2 Φ0	μ0	Rk	vΦ
QM	μ0	Mk	vQ

ε0	Rk , vΦ	Mk, vQ
μ0	Mk, vΦ	Rk , vQ
Rk	ε0 , vΦ	μ0 , vQ
Mk	ε0, vQ	μ0 , vΦ
vΦ	Rk , εo	Mk, μo
vQ	Rk, μ0	Mk, ε0

$e\cdot \Phi _{E0}\cdot 2\Phi _{0}\cdot Q_{M}=(h\cdot c)^{2}$

In der Tabelle 6-1 finden wir links die vier ausgangsseitigen elektromagnetischen Quanten, deren Zahl eine davon begrenzte Informationsmenge vorgibt. Die sechs dazwischen bestehenden Beziehungen sind in ihrer Anzahl größer und die Informationsmenge reicht daher nicht, sie als selbstständig zu führen, zwischen ihnen müssen bereits Abhängigkeiten bestehen. Mit jeder Beziehung zwischen den vier ausgangsseitigen Quanten sind zwei Dreiecke verbunden, die weitere Beziehungen in Form ihrer Kanten enthalten. Diese beiden Möglichkeiten sind rechts tabelliert und die ausgangsseitig damit verbundenen Quanten farblich markiert. Der fundamentale Tetraeder bildet die Basis der Informationseinheit und es ist daher nicht verwunderlich, dass in der Erweiterung zum gleich gezeigten elektromagnetischen Quader Beziehungen sich entweder wiederholen oder gesetzmäßig aus den Ursprungsgrößen abzuleiten sind.

Wenn man von den elektromagnetischen Beziehungseinheiten, der jeweiligen Kombination von Quellen und Flüssen, ausgeht und dann die elektrischen und magnetischen Trinitäten zusammenbringt, zeigt sich ja nun das Tetraeder mit den vier Eckpunkten und neuen Beziehungen, die zwischen den ausgangsseitig rein elektrischen und magnetischen Einheiten wechselseitig hinzutreten. Das Bild 61-4 demonstriert die Wechselwirkungen von den elektrischen Trinitäten in der oberen Reihe und den magnetischen in der unteren, entsprechend zu den übrigen Quellen und Flüssen. Davon ausgehend zeigen sich hier nach unten ergänzt die neuen Beziehungen zwischen elektrischen und magnetischen Komponenten. In dieser Darstellung finden wir die Dreiecke der Oberflächen des Tetraeders. Diese neuen Beziehungen enthalten jeweils eine elektromagnetische Impedanz und eine raumzeitliche Größe mit dem Maß der Geschwindigkeit. Diese Quotienten einer Länge und eines Zeitintervalls finden sich jedes Mal zwischen raumzeitlich gleichartigen elektromagnetischen Quanten, entweder den Quellen oder den Flüssen. Die Impedanzen dagegen verbinden unterschiedliche Quellen und Flüsse.

Bild 61-4: Dreierkombinationen der Ausgangs Trinitäten des elektromagnetischen Quaders, die Dreiecksoberflächen des Tetraeders. Im Zentrum jeweils der dem Dreieck gegenüberliegende Eckpunkt.

Die Beziehungen zwischen den Quanten in den Ecken der Dreiecke sind Multiplikationsfaktoren. Ausgehend von einem Punkt muss das Produkt solcher Faktoren im abgeschlossenen Umlauf (die Richtung der Multiplikatoren ist durch die geschlossenen Kreise am Ende der Verbindungslinien wie auch an anderer Stelle dieses Beitrags markiert und gestattet das Unterscheiden zur Division, des Umlaufs im Gegensinn) immer eins ergeben. Es gilt daher jeweils

$R_{K}\cdot v_{\Phi }\cdot \epsilon _{0}=1$ [6-1]

$v_{Q}\cdot M_{K}\cdot \epsilon _{0}=1$ [6-2]

$v_{Q}\cdot \mu _{0}/R_{K}=1$ [6-3]

$v_{\Phi }\cdot \mu _{0}/M_{K}=1$[6-4]

Wenn man aus den Paaren obiger Gleichungen jeweils die dort vorhandenen Beziehungen o und o herauskürzt, ergibt sich für die neuen Kombinationen wieder ein Ergebnis ohne Maßeinheit

$R_{K}\cdot v_{\Phi }/(v_{Q}\cdot M_{K})=1$ [6-5]

$v_{Q}\cdot M_{K}/(R_{K}\cdot v_{\Phi })=1$ [6-6]

und daraus dann der gemeinsame Quotient für Impedanzen und Geschwindigkeiten, das Quadrat der doppelten Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante, zuständig für die elektromagnetische Kopplung.

$M_{K}/R_{K}=v_{Q}/v_{\Phi }=(2\alpha )^{2}$ [6-7]

In einem nächsten Schritt gehen wir vom Zentrum dieses Tetraeders aus, Bild 61-5 oben links, und bilden Strahlen durch die Eckpunkte, rot Bild 61-5 unten links, und durch die Mitten der Seiten, Bild 61-5 rechts. Diese Strahlen werden jeweils um den Faktor zwei verlängert und führen zu Punkten, die entweder in den Ecken oder auf den Seitenmitten eines Quaders liegen. Tetraeder und Quader befinden sich allerdings nicht im gleichen Koordinatensystem, die Punkte des Tetraeders enthalten eine raumzeitliche und eine elektromagnetische Koordinate, links rot angedeutet. Der Quader dagegen enthält Multiplikation der ausgangsseitigen Quanten, d.h. deren Quadrate, rot markiert in Bild 61-5 unten links, oder gemischte Produkte, gelbe Punkte der Mitten der Seitenflächen, unten rechts. Das Produkt der vier elektromagnetischen Quanten ergibt das Quadrat der zentralen Koordinate des elektromagnetischen Quaders. Diese Punkte enthalten alle zwei raumzeitliche und zwei elektromagnetische Komponenten, so etwas ist in den Formeln für Energien und Wirkungen zu finden. Der Mittelpunkt des Tetraeder-Koordinatensystems ist der Ursprung in vier Dimensionen und jede der vier Achsen gehört zu einem der elektromagnetischen Quanten. Der Mittelpunkt des Quaders ist $h\cdot c$ [VAms], das Produkt aus Plankscher Konstante und Lichtgeschwindigkeit, wie gleich gezeigt wird. Der Quader ist mit drei Koordinatenachsen differentiell komplett erfasst, der Bezug zu einer Umgebung erforderte eine weitere, vierte Größe.

Die sechs Beziehungen des Tetraeders finden sich in der Projektion als Diagonalen auf die Oberflächen des Quaders wieder. Genauso, wie sich die Quanten im Produkt miteinander multipliziert doppelt wiederfinden, so finden wir auch die Beziehungen als Faktoren verdoppelt, sie selbst sind ja Produkte oder Quotienten. Und bei einfacher Anwendung ausgehend von den vier Eckpunkten führen sie nun zu Punkten auf den Mitten der Oberflächen, die von den sechs möglichen Produkten je zweier der vier Quanten gebildet werden.

Die Verbindungen benachbarter Punkte auf den Oberflächen zeigen nun die schon bekannten Beziehungen rechts oben, rechts unten sind die Beziehungen gegenüberliegender Punkte, die sich in der Mitte kreuzen, zu sehen, sie ergeben sich aus den bisherigen Beziehungen. Dies sind die Lichtgeschwindigkeit $c$, die Vakuumimpedanz $Z_{0}$ und die doppelte Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante $2\alpha$.

Bild 61-5: Projektion des aus den elektromagnetischen Quanten gebildeten Tetraeders zum Quader.

$c^{2}=1/(\mu _{0}\cdot \epsilon _{0})$ [13-6]

${Z_{0}}^{2}=\mu _{0}/\epsilon _{0}$ [13-7]

$(2\alpha )^{2}=(e^{2}/(\epsilon _{0}\cdot h\cdot c))^{2}=e\cdot \Phi _{E0}/(Q_{M}\cdot 2\Phi _{0})$ [13-8]

Besonders markant ist das Produkt aus Magnetfluss und Elementarladung auf der linken Seitenmitte des Quaders, hierbei handelt es sich um das Plancksche Wirkungsquantum h.

$h=2\Phi _{0}\cdot e$ [12-1]

Seine Einheit setzt sich aus zwei elektromagnetischen und raumzeitlichen Komponenten zusammen. Dies sind elektromagnetisch [V] und [A] sowie raumzeitlich Sekunde zum Quadrat, [s²]. Dabei kommt bei passendem Blickwinkel ein Anteil, Ampere-Sekunde [As], von der elektrischen Ladung $e$ und der Anteil Volt-Sekunde [Vs] vom magnetischen Fluss $\Phi _{0}$. Andere elementare Größen, wie der elektrische Fluss $\Phi _{E}$ [Vm] oder die magnetische Polstärke beziehungsweise Ladung $Q_{M}$ [Am], enthalten auf der raumzeitlichen Seite die Einheit Meter [m]. Kombinationen der elektromagnetischen Quanten enthalten in der einfachsten Form immer zwei elektromagnetische und zwei raumzeitlichen Komponenten, wie man schon am Produkt der Elementarladung mit dem magnetischen Flussquant, dem Plankschen Wirkungsquantum $e\cdot 2\Phi _{0}=h$ [VAs²], sieht. Multiplikationen mit den Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit $c$, Permeabilität des Vakuums $\mu _{0}$, der Dielektrizitätszahl $\epsilon _{0}$ und des Klitzing-Widerstandes $R_{K}$ tauschen die Einheiten untereinander aus, so enthält der Mittelpunkt des elektromagnetischen Quaders mit $h\cdot c$ [VAms] alle vier Einheiten.

Aufbau des elektromagnetischen Quaders

Auf Basis der vier elektromagnetischen Quanten wurde aus dem von ihnen gebildeten Tetraeder ein Quader projiziert, der die Beziehungen dieser Größen untereinander mit Faktoren, die Naturkonstanten sind, demonstriert. Die markanten Punkte dieses Quaders werden durch die Produkte zweier elementarer elektromagnetischer Quanten gebildet. Die Mitten der sechs Oberflächen des Quaders stellen Produkte unterschiedlicher Quanten dar, vier der acht Eckpunkte werden aus den Quadraten der elementaren elektromagnetischen Quanten erzeugt. Bild 61-5 zeigt diesen Quader noch einmal in Kombination mit den Verbindungslinien der markanten Punkte, die Multiplikationsfaktoren charakterisieren. Im Bild 61-5 sind die Faktoren so symbolisiert, dass die am offenen Kreis befindliche gequantelte Größe mit diesem Faktor multipliziert zum gefüllten Kreis verschoben wird, Gegenrichtung bedeutet Division.

In der obersten Ebene II finden wir ausgehend vom Quadrat der Elementarladung $e^{2}$ links vorne, wenn man durch die Dielektrizitätskonstante teilt, $1/\epsilon _{0}$, zunächst das Produkt aus Elementarladung und elektrischem Flussquant $e\cdot \Phi _{E0}$ in der Mitte und dann weiter das Quadrat des elektrischen Flussquants $\Phi _{E0}^{2}$, oben hinten. Dieser verbindende Faktor: $\epsilon _{0}=e/\Phi _{E0}$ [As/Vm], das Verhältnis von Elementarladung zum elektrischem Flussquant, beschreibt den raumzeitlichen Zusammenhang zwischen elektrischer Ladung und Fluss, grün im Bild 61-6.

In der untersten Ebene IV finden wir entsprechendes für die magnetischen Größen, links hinten das Quadrat magnetischer Flussquanten $(2\Phi _{0})^{2}$, rechts vorne das Quadrat der (doppelten elementaren) magnetischen Ladung $Q_{M}^{2}$, in der Mitte das Produkt der beiden, $2\Phi _{0}\cdot Q_{M}$. Als Faktor erscheint hier die Permeabilität des Vakuums: $\mu _{0}=2\Phi _{0}/Q_{M}$ [Vs/Am], eine Größe, die das Verhältnis zwischen Polstärke und Fluss charakterisiert, orange im Bild 61-6.

Bild 61-6: Der elektromagnetische Quader mit den in ihm untereinander verknüpften physikalischen Größen.

In der linken senkrechten Ebene I stammen zwei Eckpunkte von der elektrischen Elementarladung e vorne oben und dem zweifachen magnetischen Flussquant $2\Phi _{0}$, hinten unten. Ihr Quotient ist der Klitzing-Widerstand $2\Phi _{0}/e=R_{K}$, entsprechend dem Symbol rechts oben in Bild 61-6. Eine solche Impedanz ist der Quotient von elektrischem Potential zum Stromfluss $Z_{R}=U/I$ [V/A]. Sie gibt in diesem Fall an, wie stark sich der Magnetfluss in einem Zeitintervall ändern muß, um eine entsprechende Anzahl Ladungen in dieser gleichen Zeit passieren zu lassen. Eine raumbezogene Komponente tritt dabei, wie man an den Einheiten sieht, nicht auf. Der in der Mitte der Fläche I liegende Punkt repräsentiert das Plancksche Wirkungsquantum $h=2\Phi _{0}\cdot e$, das Produkt aus elektrischer Elementarladung und zwei magnetischen Flussquanten. Denkt man zunächst beim Betrachten der Ebenen II und IV an $\epsilon _{0}$ [As/Vm] und $\mu _{0}$ [Vs/Am] als statisch räumliche Bezüge zwischen Ladung und Fluss, so sieht man hier den anderen Anteil, wenn man einmal die dazugehörigen Energien $E_{C}=Q^{2}/(2C)$ und $E_{L}=\Phi ^{2}/2L$ betrachtet, bei deren Kombination in der Mitte $E_{CL}=Q\cdot \Phi /2{\sqrt {(L\cdot C)}}$ sich zeigt, dass die räumlichen Komponenten im Nenner sich herauskürzen und nur der zeitliche Bezug ${\sqrt {(L\cdot C)}}$ [s] bleibt. Mit dem Produkt aus der Dielektrizitätskonstante $\epsilon _{0}$ und der Permeabilität des Vakuums $\mu _{0}$ gelangt man nun aber nicht direkt von der elektrischen Ladung zum Magnetfluss, denn dieses Produkt bleibt innerhalb einer horizontalen Ebene und zum Überwinden des Höhenunterschiedes benötigt man noch das doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $2\alpha$.

In der I gegenüberliegenden Ebene V befinden sich die magnetische Ladung $Q_{M}$ und der elektrische Fluss $\Phi _{E0}$. Im Gegensatz zu den Größen in der Ebene I, die zeitbezogenen waren, ist diese Ebene raumbezogen. Auch in der magnetischen Ladung finden wir die Einheit Ampere (siehe Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“: $I=m\cdot Q_{M0}/l_{L}+e\cdot \Delta n/j\Delta t$ [22-3a], ein konstanter Strom liefert ein Magnetfeld) und beim elektrischen Fluss das Volt als feldbezogenes Maß $(U=n\cdot \Phi _{E0}/l_{C}+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [22 4a]). Der Quotient ist wieder eine Impedanz, diesmal nicht ein Widerstand sondern ein Memristor, $Z_{MR}=\Phi _{E0}/Q_{M}=(2\alpha )^{2}\cdot R_{K}$. Der zahlenmäßige Bezug zur Impedanz des Klitzing-Widerstandes erfolgt über die Feinstrukturkonstante. Es sei darauf hingewiesen, dass dieser Quotient aus elektrischen Fluss und magnetischer Ladung von der ursprünglichen Definition von Leon Chua abweicht, dessen Quotient den Magnetfluss im Verhältnis zur elektrischen Ladung zeigte. Mit den aus Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ übernommenen Größen existieren allerdings noch die Längen, die eine Induktivität, $\lambda _{L}$ und eine Kapazität, $\lambda _{C}$ charakterisieren, und deren Verhältnis eine dimensionslose Zahl ergibt. In der Mitte der Ebene zeigt V finden wir das Produkt $\Phi _{E0}/Q_{M}=h\cdot c^{2}$ [VAm²], die Plancksche Konstante multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

Die Verbindungslinien der elektromagnetischen Ladungen der vorderen senkrechten Ebene $Q_{m}/e=v_{Q}$ und der elektromagnetischen Flüsse der hinteren senkrechten Ebene $\Phi _{E0}/2\Phi _{0}=v_{\Phi }$ liefern uns als Quotienten Größen mit den Einheiten einer Geschwindigkeit. Ihre Symbole sind in Bild 61-6 ganz links zu finden. Wenn man das Plancksche Wirkungsquantum, Mitte links, nacheinander mit diesen beiden Geschwindigkeiten aus den senkrechten Ebenen multipliziert, erhält man das gleiche Ergebnis, als würde man nacheinander mit den elektromagnetischen Feldkonstanten der horizontalen Ebene multiplizieren, also eine Multiplikation mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

$h\cdot v_{Q}\cdot v_{\Phi }=h\cdot 1/\epsilon _{0}\cdot 1/\mu _{0}=h\cdot c^{2}$ [61-1]

Diese beiden Geschwindigkeitsgrößen weichen jeweils um den Faktor der doppelten Feinstrukturkonstante von der Lichtgeschwindigkeit ab, der Quotient der ladungsbezogenen Geschwindigkeit ist größer $c/2\alpha =v_{Q}$ und feldbezogen kleiner $2\alpha \cdot c=v_{\Phi }$ als diese. Die Behauptung, dass eine Geschwindigkeit größer ist als die Lichtgeschwindigkeit, scheint auf den ersten Blick ein k.o.-Kriterium zu sein. Eine solche Beziehung ist aber schon bei den de Broglie Materie-Wellen bekannt, das Produkt aus Phasengeschwindigkeit (der Geschwindigkeit des Teilchenstroms $u=\lambda \cdot f)$ und der Gruppengeschwindigkeit (der Geschwindigkeit der Teilchen v) ergibt dort das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit, $u\cdot v=c^{2}$. Wie in Abschnitt 6.4. gezeigt wird, lässt sich das ganze Problem hier anschaulich mit einem mechanisch-elektrischen Vergleich verstehen und dabei werden diese Geschwindigkeiten dann nicht als Bewegungsgröße sondern als Quotient von Längen zu Zeitintervallen auftreten. Konrad Zuse kommt mit seiner Idee, das Universum als einen Automaten zu beschreiben, zu zwei nur lokal auftretenden Geschwindigkeiten, von denen die eine ebenfalls größer als die Lichtgeschwindigkeit ist.

In der mittleren horizontalen Ebene zwischen II und IV befinden sich als Mitte der Kanten die gemischten Produkte von elektrischen und magnetischen Größen. Eine solche Größe ist das Plancksche Wirkungsquantum ganz links, multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit finden wir es ganz rechts. Die charakteristischen Multiplikationsfaktoren in dieser Ebene sind in Richtung von vorn nach hinten die Vakuumimpedanz Z0 und von links nach rechts die Lichtgeschwindigkeit c. Beide ergeben sich als Wurzel aus dem Produkt $c^{2}=1/(\mu _{0}\cdot \epsilon _{0})$ oder dem Quotienten $Z_{0}^{2}=\mu _{0}/\epsilon _{0}$ der elektromagnetischen Naturkonstanten $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$, im Ergebnis werden entweder die elektromagnetischen oder die raumzeitlichen Komponenten herausgekürzt.

In der vorliegenden Form kann man den elektromagnetischen Quader entweder aus drei Kanten in einem kartesischen Koordinatensystem konstruieren, der Lichtgeschwindigkeit c als raumzeitliche Komponente, der Vakuumimpedanz Z0 als elektromagnetische Größe und der Feinstrukturkonstante $2\alpha$ als dimensionsloser Zahl.

Alternativ dazu kann man als Basis drei Flächen wählen. Die Grundfläche enthält elektromagnetische und raumzeitliche Koordinaten. Dies ist die Kombination von Lichtgeschwindigkeit c und Vakuumimpedanz $Z_{0}$ oder diagonal die elektromagnetischen Naturkonstanten $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$ mit ihrem Bezug zu den raumzeitlichen Feldverteilungen in den Impedanzen von Kondensator $C=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ und Spule $L=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$. Die vertikalen Seitenflächen enthalten nur elektromagnetische Größen, die Vakuumimpedanz $Z_{0}$ und die Feinstrukturkonstante $2\alpha$ oder diagonal den Klitzing-Widerstand $R_{K}$ und den hypothetisch fundamentalen Memristor $Z_{MR}$. Die vordere oder hintere senkrechte Fläche (A, B) mit Lichtgeschwindigkeit c und Feinstrukturkonstante $2\alpha$ enthält nur raumzeitliche Komponenten, als Diagonalen die beiden Geschwindigkeiten $v_{Q}$ und $v_{\Phi }$.

Es liegt jetzt nahe, zu schauen, welche Verbindungen es von diesem elektromagnetischen Quader zu anderen bekannten physikalischen Größen gibt. Die Energie lässt sich leicht mit der linken Ebene I in Zusammenhang bringen. Von den drei markanten Punkten, dem Ladungsquadrat $e^{2}$, der Plancksche Konstante h und dem Quadrat des Magnetflussquants $(2\Phi _{0})^{2}$ ist die Energie $E_{xy}$ jeweils nur einen Multiplikationsfaktor entfernt. Diese Multiplikationsfaktoren sind allerdings, anders als die Faktoren im Quader, keine Konstanten und befinden sich auch nicht in seinem dreidimensionalen Koordinatensystem, sondern in weiteren Dimensionen. Vom Ladungsquadrat gelangt man zur dazugehörigen Energie mit dem Faktor $2C=e^{2}/E_{E}$, vom Quadrat der magnetischen Flussquanten mit dem Faktor $2L=(2\Phi _{0})^{2}/E_{M}$. Das Wirkungsquantum muss man durch eine Zeitdauer T teilen, um die dazugehörige Energie zu erreichen. Grafisch dargestellt ergibt sich damit Bild 61-7, in dem die beiden Zeitdauern $T_{E,M}$ uns schon im Zusammenhang mit Kondensator $T_{E}=2\tau _{C},\tau _{C}=R_{k}\cdot C$, [25-4], und Spule $T_{M}=2\tau _{L},\tau _{L}=L/R_{k}$, [27-6], begegnet sind und hier entgegengesetzt gerichtet auftreten, genauso konträr wie die Phasenbezüge zwischen Strom und Spannung bei Kondensator und Spule. Im erweiterten rechten Teil des Bildes sind die Größen Spule und Kondensator in ihre Komponenten von Naturkonstante und charakteristischer Länge aufgespaltet. Damit zeigen sich dann die beiden neuen Geschwindigkeiten in der Kombination von Zeitkonstanten und charakteristische Längen.

Bild 61-7: Die Beziehung von Energie zu den Quanten des elektromagnetischen Quaders. Links ein Ausschnitt mit der elektrischen und der magnetischen Energie von Kondensator und Spule, rechts erweitert um die charakteristischen Längenmaße und Geschwindigkeiten.

Es gelten die Beziehungen:

• $E_{E}=e^{2}/2C=e^{2}/2\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}=e\cdot \Phi _{E0}/2\lambda _{C}$[61-11]
• $E_{M}=(2\Phi _{E0})^{2}/2L=(2\Phi _{E0})^{2}/2\mu _{0}\cdot \lambda _{L}=2\Phi _{E0}\cdot Q_{M}/2\lambda _{L}$ [61-12]
• $T_{E}=2\tau _{C}=2R_{k}\cdot C$, $T_{M}=2\tau _{L}=2L/R_{k}$ [61-13]
• $v_{Q}=\lambda _{L}/\tau _{L}$, $v_{\Phi }=\lambda _{C}/\tau _{C}$ [61-14]
• $c^{2}=v_{Q}\cdot v_{\Phi }$ [61-15]

Während in dem Bereich des elektromagnetischen Quaders von Ebenen I, III ein Bezug zur Energie als Produkt aus Leistung und Zeit besteht, wäre in seiner rechten Hälfte die Kombination von Leistung und Länge naheliegend.

Die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$

Die beiden neuen Größen einer Geschwindigkeit im elektromagnetischen Quader lassen sich veranschaulichen, wenn man die Schallgeschwindigkeit in der mechanischen Welt damit vergleicht. Mechanische Kräfte in einem Feder-Masse-System sind gegeben durch

1. die Massenträgheit gegenüber einer Beschleunigung, also einer zeitbezogenen Trägheit,

$F=M\cdot dv/dt$ [62-1]

und

2. mit Federn gegenüber einer Positionsänderung, also einer räumlichen Trägheit.

$F=f\cdot (x_{0}+dx)$ [62-2]

Bekannt ist das Beispiel der linearen Kette in der Festkörperphysik, bei der Welleneigenschaften durch die atomaren Massen und Federkräfte zwischen ihnen beschrieben werden können. Das Quadrat der Schallgeschwindigkeit ergibt sich im allgemeinen als Quotient des Elastizitätsmoduls El als Vertreter der raumbezogenen Trägheit zur zeitbezogenen Massenträgheit, der Dichte $\rho ,v_{s}^{2}=E/\rho$. Diese beiden Kräfte sind bei Wellen jeweils im Gleichgewicht. Es lohnt daher zu schauen, ob es solche räumlichen und zeitlichen Trägheiten auch bei elektromagnetischen Kräften gibt.

• Die Masse behindert zeitliche Änderungen
• Die Feder behindert räumliche Änderungen

Ähnlich können wir die Kräfte beim Elektromagnetismus auf Ladungen und Magnetpole durch die Felder sortieren. Räumlich ist der Bezug auf Ladungen im elektrischen Feld (Coulomb), zeitbezogen die Lorentzkraft auf die bewegte Ladung im Magnetfeld. Entsprechende Kräfte gibt es statisch auf Magnetpole im Magnetfeld und auf Magnetpole bei Bewegung im elektrischen Feld (Verschiebungsstrom). Nun müssen wir nur noch die entsprechenden Kräfte $F_{i}$ gleichsetzen, um die dazugehörigen Geschwindigkeiten $v$ zu ermitteln.

• Ladung im elektrischen Feld - raumbezogen
• $F_{RE}=e\cdot E$ [62-3]
• bewegte Ladung im Magnetfeld - zeitabhängig
• $F_{DE}=e\cdot v\cdot B$ [62-4]
• Magnetpol im Magnetfeld - raumbezogen
• $F_{RM}=Q_{M}\cdot B=2\Phi _{0}\cdot H$ [62-5]
• bewegter Magnetpol im elektrischen Feld - zeitabhängig
• $F_{DM}=Q_{M}/c^{2}\cdot v\cdot E=2\Phi _{0}\cdot v\cdot D$ [62-6]

Wie oben bei der Schallgeschwindigkeit in der Mechanik üblich, kann man jetzt analog dazu die elektromagnetischen Kräfte so sortieren, dass jeweils eine raumbezogene und eine zeitabhängige Kraft im Gleichgewicht sind. Wenn man durch die Wahl eines entsprechenden Koordinatensystems annimmt, dass das elektrische Feld $E$ in x-Richtung und das Magnetfeld $B$ in y-Richtung ausgerichtet ist, so ergeben sich Geschwindigkeiten $v$ in z-Richtung. Die entsprechenden Komponenten aus den Formeln [62-3] und [62-4] liefern in Kombination mit der elektrischen Ladung für $v_{E_{z}}$

$e\cdot E_{x}=e\cdot v_{E_{z}}\cdot B_{y},\Rightarrow v_{E_{z}}=E_{x}/B_{y}$ [62-7]

und aus Gleichungen [62-5] und [62-6] entnimmt man eine Geschwindigkeit $v_{M_{z}}$ in Bezug auf die magnetischen Größen.

$v_{M_{z}}=c^{2}\cdot B_{y}/E_{x}$. [62-8]

Der Quotient der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten charakterisiert die Impedanz des Wellenleiters oder des wellenleitenden Mediums. Für eine Fläche A, die von den elektrischen und magnetischen Feldern durchströmt wird, gilt:

$E=n\cdot e/(\epsilon _{0}\cdot A)$ [62-9]

$B=m\cdot 2\Phi _{0}/A=m\cdot Q_{M}\cdot \mu _{0}/A$ [62-10]

und für den Quotienten dann

$E/B=c^{2}\cdot n\cdot e/(m\cdot Q_{M})=c^{2}\cdot n/m\cdot 1/v_{Q}$ [62-11]

Daraus folgt für die beiden Geschwindigkeiten:

$v_{Ez}=E_{x}/B_{y}=c^{2}\cdot n/m\cdot 1/v_{Q}=n/m\cdot v_{\Phi }$ [62-12]

und

$v_{Mz}=c^{2}\cdot B_{y}/E_{x}=m/n\cdot v_{Q}$ [62-13]

Bild 62-1: Die Abhängigkeit der Geschwindigkeiten von der Impedanz.

Wenn der Quotient der Anzahlen: $m/n=1$ ist, das gilt für die Impedanz des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$, dann entsprechen diese Geschwindigkeiten also den neuen Größen $v_{Mz}(1,1)=v_{Q}$ und $v_{Ez}(1,1)=v_{\Phi }$ im elektromagnetischen Quader. Für die Impedanz des Vakuums $Z_{0}=2\alpha \cdot R_{K}$ ergibt sich dagegen für beide Geschwindigkeiten wegen $m/n=2\alpha$ die Lichtgeschwindigkeit, $v_{Ez}=v_{Mz}=c$, Bild 62-1.

Beim Betrachten der Eigenschaften von Spulen und Kondensatoren haben wir diesen Bauelementen zwei charakteristische Größen zugeordnet, eine Länge und einer Zeitkonstante. Die Längen $\lambda _{L}$ und $\lambda _{C}$ sind eigentlich ein Quotient aus Fläche und Abstand, $\lambda =A/d$ und beschreiben die räumliche Geometrie von Feldern, die Zeitkonstante ergibt sich beim Entladen der Felder über den Klitzing-Widerstand,$\tau _{L}=L/R_{k}$ [27-6], $\tau _{C}=R_{k}\cdot C$ [25-4]. Die Quotienten dieser Längen und Zeitkonstanten sind für den Kondensator, [57-14],

$\lambda _{C}/\tau _{C}=v_{\Phi }$ [62-14]

und für die Spule [57-23], [57-24],

$\lambda _{L}/\tau _{L}=v_{Q}$ [62-15].

Auch in diesen Fällen ist der Bezug der Zeitintervalle zum Quotienten $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ des Klitzing-Widerstandes deutlich.

Bild 62-2: Der Zusammenhang zwischen den Abmessungen eines Kreisstroms und der zeitlichen Folge $T_{E}$ elektrischer Ladungen, wenn ein elementarer Magnetfluss gebildet wird.

Im Falle eines Kreisstroms gibt es einen Zusammenhang zwischen der Größe des Stromes $I$, den Abmessungen des Ringes und dem Magnetfluss, $\Phi =\mu _{0}\cdot H\cdot \pi \cdot r^{2}$, $H=I/2r$, Bild 62-2. Für die magnetischen Flussquanten und elementaren Ladungen besteht dann ein Zusammenhang zwischen dem Umfang des Kreises $u=2\pi r$ und dem zeitlichen Abstand zweier Ladungen $e/I=T_{E}$, der die Größe des Stromes charakterisiert.

$2\Phi _{0}/\mu _{0}=Q_{M}=2H\cdot \pi \cdot r^{2}=2\pi \cdot r^{2}\cdot I/2r=u\cdot e/2T_{E}$ [62-16]

$v_{Q}=Q_{M}/e=(u/2)/T_{E}$ [62-17]

Entsprechend ergibt sich aus der elektrischen Spannung im Zusammenhang mit der zeitlichen Änderung eines Magnetfeldes $U=d\Phi _{M}/dt$ und mit der Geometrie eines elektrischen Feldes $|E|=U/d$ mit der Fläche der $A$

$v_{\Phi }=\Phi _{E0}/2\Phi _{0}=(A/d)/T_{M}$ [62-18]

als Quotient von einer Länge mit der zeitlichen Folge der magnetischen Flussquanten.

Im Zusammenhang mit Gedanken der speziellen Relativitätstheorie sei nun noch ein Kondensator betrachtet, dessen Länge $\lambda _{C}$ der Elektrodenfläche in Richtung eines sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegenden Beobachters liege. Dieser sieht diese Länge dann relativistisch verkürzt,$\lambda _{C}'=\tau _{C}\cdot {\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}$, und damit auch eine entsprechend kleinere Kapazität mit der ebenfalls verkürzten charakteristischen Zeitkonstante $\tau _{C}'$. Für den Quotienten $\lambda _{C}'/\tau _{C}'=v_{\Phi }$ gilt allerdings weiter die Gleichung [62-14] unabhängig von der Geschwindigkeit $v$. In Kombination mit einer Spule lässt sich ein Schwingkreis realisieren, der die Periodendauer $T'=2\pi {\sqrt {(L'\cdot C')}}=2\pi {\sqrt {(\tau _{L}'\cdot \tau _{C}')}}$, [3-21], in Einklang mit der Energietransformation aufweist. Die Transformation der Zeit kompensiert dann diesen Effekt, was wieder den Unterschied zwischen der Zeit als Dauer und der ablaufenden Zeit zeigt.

Das Ausbreiten eines Impulses auf einer Leitung

Im folgenden sollen elektromagnetische Wellen betrachtet werden, die sich im Raum mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Wir können den Raum auf eine Dimension beschränken, wenn sich ein elektrischer Impuls auf einer Leitung befindet. Dann bildet ein zweidimensionales Koordinatensystem mit den Achsen des Ortes x und der Zeit t die Basis unseres Modells. Die Leitung ist dann längst der räumlichen Koordinate ausgedehnt und im Bild 63-1 durch die längenspezifischen Induktivitäten L' und Kapazitäten C' dargestellt. Für eine kurze Dauer Timp sollen Impulse konstanten Stromes in die Leitung eingespeist werden. Als Folge davon wird sich ein elektromagnetischer Impuls längs der Leitung ausbreiten. Ein solches Signal besteht nicht aus den originalen, in die Leitung gegebenen Elektron-Lochpaaren, sondern aus den von ihnen ausgelösten elektromagnetischen Feldern. In Bild 63-1 sind zwei solche Impulse auf der blauen, diagonalen Linie der Lichtausbreitung dargestellt. Der zeitliche Abstand $T_{e}$ aufeinanderfolgender Elektronen hängt von der Stromstärke I ab. In der Abbildung sind Impulse gleicher Ladungsmenge Q aber mit einer um den Faktor zwei unterschiedlichen Stromstärke gezeigt, bei doppeltem Strom $I_{2}=2I_{1}$ ist die Impulsdauer $T_{imp1}=2T_{imp2}$ dann halb so lang. Die Projektion solcher Impulse auf die Zeit-Strom-Ebene ergibt eine zur Ladung $Q=I\cdot t$ proportionale Fläche. Eine entsprechende Projektion (im Bild gelb) auf die Ebene von Raum- und Stromachse enthält ergänzende Information, ist aber bei der gegenwärtigen physikalischen Sichtweise eine mit der Einheit [Am] in der Technik als magnetische Polstärke geläufige Größe, die im vorherigen Abschnitt schon als magnetische Ladung auftrat. Sie entspricht einer zweimal räumlich (über eine Fläche) integrierten magnetischen Feldstärke. Die elektrische Ladung $Q=n\cdot e$ und die magnetische Polstärke $Q_{m}=m\cdot Q_{M}$ liegen gequantelt vor, Strom-, Raum- und Zeitachse repräsentieren beliebige analoge Werte mit definiert begrenzter Genauigkeit.

Bild 63-1: Impulse auf einer Leitung mit gleicher Ladung Q verteilt auf unterschiedliche Impulsdauern $T_{imp1}=2T_{imp2}$. Die Ebene repräsentiert den Minkowski-Raum, raumartige Ereignisse sind im hellgelben Bereich, zeitartige im hellblauen Bereich, die elektromagnetischen Wellen breiten sich auf der blauen Diagonale, der Lichtlinie, aus.

Im Bild 63-2 wird diese Quantelung zunächst für die elektrische Ladung berücksichtigt. Die elektrischen Ladungen tauchen hier zwingend, wie schon im ersten Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ begründet, unregelmäßig nacheinander im zeitlichen Abstand $T_{e}$ auf, also mit einer Genauigkeit entsprechend dieser Dauer auf der Zeitachse, mit der Folge, dass auch die Stromamplitude genauso schwankt und rauscht. Die Quantelung der magnetischen Größe muss allerdings noch gesondert betrachtet werden, da die elektromagnetischen Quanten im Allgemeinen nicht in gleicher Anzahl vorliegen.

Bild 63-2: Strom eines Rechteckimpulses auf einer Leitung.

Bild 63-3: Spannung eines Rechteckimpulses auf einer Leitung.

Wenn man die Achse des Stromes gegen die einer Spannung austauscht, sind die Projektionen des Impulses auf die Zeitachse, wie Bild 63-3 zeigt, magnetischer Fluss und die Projektionen auf die Raumachse der elektrische Fluss, beide ebenfalls gequantelt. Berücksichtigt man die Quantelung der raumbezogenen Größen $Q_{M}$ und $\Phi _{E0}$, wird es möglich, die zeitlichen Abstände der Quanten e und $2\Phi _{0}$ mit den räumlichen Abständen der anderen, $Q_{M}$ und $\Phi _{E0}$, zu vergleichen. In einen solchen Vergleich geht die Impedanz der Leitung mit dem Quotienten von Induktivität L' pro Länge zu Kapazität C' pro Längeneinheit ein, $Z={\sqrt {(L'/C')}}$. Diese Impedanz ist als ein rationales Vielfaches des Klitzing-Widerstandes definiert, $Z=(m/n)\cdot R_{k}=m\cdot 2\Phi _{0}/(n\cdot e)$, mit den Grenzen der Genauigkeit, die aus den Anzahlen folgen. Für die anschließende Betrachtung sei zur Vereinfachung der Quotient $(m/n)=1$, die Impedanz der Leitung sei also unrealistischerweise der Klitzing-Widerstand. Eine zeichnerische Darstellung wäre dann schwierig, daher soll außerdem der Faktor $1/2\alpha$ auf den Faktor 2 reduziert werden. Dann sind die im elektromagnetischen Quader aufgetauchten Geschwindigkeiten $v_{\phi }$ und $v_{Q}$ vernünftig im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit c darzustellen. Bild 63-4 zeigt für unterschiedliche Ausgangsgrößen, welche Beziehungen zwischen zeitlichen und räumlichen Abständen für die vier Quanten paarweise untereinander bestehen.

Dazu sollte man noch einmal die unterschiedlichen Formen der Zeit, die in dieser Darstellung auftreten, in Erinnerung rufen. Die Achsen des Koordinatensystems sind zunächst Positionen x und die aktuelle, ablaufende Zeit t. Die im Experiment beobachteten zeitlichen Abstände zwischen den Quanten, $T_{e}$ und $T_{\Phi }$, sind dagegen Dauern, also Zeitbereiche, innerhalb derer die Quanten bei der Detektion erwartet werden. Entsprechendes gilt für die Ausdehnung der Raumbereiche der Quanten $Q_{M}$ und $\Phi _{E0}$ mit den Längen $s_{Q}$ und $s_{\Phi }$. Dies sind die Raumbereiche, die die Genauigkeit beschreiben, mit der eine Ortsangabe bei der Detektion überhaupt nur definiert ist, also mit der man ihre Position dann bestenfalls auch nur angeben kann.

Bild 63-4: Die zeitlichen Abstände einzelner Quanten ergeben in Bezug auf die räumlichen Abmessungen der elektromagnetisch komplementären Größen die beiden Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$ des elektromagnetischen Quaders.

Bild 63-4 zeigt nun, wie mit steigender Leistung, $P=U\cdot I$, die Genauigkeit, mit der man die Quanten detektierten kann, sowohl zeitlich wie räumlich zunimmt. Die zeitlichen und räumlichen Unschärfen sind einander jeweils proportional. Die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$ liefern die Proportionalitätsfaktoren. Man kann nun versuchen, durch Kombination dieser Kenntnisse das Ausbreiten mit Lichtgeschwindigkeit zu verstehen. In Bild 63-5 sehen wir links die Kombination der zeitlichen und räumlichen Abstände von Ladungen, in der Mitte die entsprechende Kombination der Flüsse. Beides zeigt, dass sich entweder die Längen bei den Ladungen oder die Dauern bei den Flüssen überlappen. Ganz rechts ist zu sehen, wie die elektrischen Ladungen und Flüsse auf der einen Seite und auf der anderen die magnetischen Ladungen und Flüsse sich passend zur Lichtgeschwindigkeit ergänzen.

Bild 63-5: Die Kombination der räumlichen Längen und zeitlichen Dauern der einzelnen elektromagnetischen Quanten innerhalb eines Impulses liefern in ihrer Kombination den Bezug zur Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen.

Wenn man nun die elektrischen und die magnetischen Größen einander angleichen möchte, geschieht dies leicht über das Verhältnis ihrer Anzahlen. Im betrachteten Fall muss natürlich berücksichtigt werden, dass in den Bildern an Stelle eines Faktors $1/2\alpha$ der Faktor 2 verwendet wird und die sich daraus ergebenden Anzahlen der elektrischen Ladung zu den Magnetflüssen auch $1/2\alpha$beträgt. Das ergibt aber genau die Verhältnisse, die zum Ausbreiten eines elektromagnetischen Impulses im Vakuum mit seiner Impedanz $Z_{0}=2\alpha \cdot R_{K}$ erforderlich sind.

Wie in Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ zu sehen war, ist die Impedanz $Z={\sqrt {(L'/C')}}$ durch das Verhältnis $(m/n)\cdot {R_{k}/2}$ der Anzahl m der magnetischen Flussquanten zur Anzahl n der elementaren Ladungen gegeben. Betrachten wir einen Bandleiter, wie ihn Bild 63-6 zeigt, so hängen die längenspezifischen Kapazitäten und Induktivitäten von der Geometrie des Leiters ab, speziell von der rechts gezeigten Form seines Querschnitts. Bei gleicher Breite hat dabei der untere gezeigte Leiter schon wegen seiner geringeren Kapazität pro Länge die höhere Impedanz. Im linken Teil des Bildes soll ein Teil des Impulses betrachtet werden, der gerade zu einem magnetischen Fluss $2\Phi _{0}$ von zwei elementaren Einheiten führt. Die Länge dieses Leitungsstücks sei b. Im realistischen Fall befinden sich dann zahlreiche feldtragende elementare Ladungen $n\cdot e$ in diesem Bereich der Leitung. Die Ladungen haltende Fläche hat die Größe $a\cdot b=A_{E}$, Bild 63-6 links oben dunkel blau. Die mit dem elektrischen Feld gefüllte Kapazität ist $C=\mu _{0}a\cdot b/d$. Darunter ist die vom Magnetfluss durchströmte Fläche $A_{M}=b\cdot d$ rot violett und die Induktivität $L=\mu _{0}\cdot b\cdot d/a$. Die Anteile elektrischer und magnetischer Energie eines Impulses sind gleich groß. Der elektrische Anteil ist hier

$E_{E}=n^{2}\cdot e^{2}/2C=n^{2}\cdot e^{2}\cdot d/(2\epsilon _{0}\cdot a\cdot b)$ [63-1]

und der magnetische

$E_{M}=(2\Phi _{0})^{2}/2L=(2\Phi _{0})^{2}\cdot a/(2\mu _{0}\cdot b\cdot d)$. [63-2]

Bild 63-6: Der Anteil eines Impulses auf einer Leitung, der zu einem Paar magnetischer Flussquanten gehört. Links oben das elektrische Feld, links unten das Magnetfeld, rechts der Querschnitt, der die Impedanz der Leitung bestimmt.

Bei elektromagnetischen Wellen ist die Energie gleichmäßig auf elektrische und magnetische Felder verteilt. Aus dieser Gleichheit folgt

$(2\Phi _{0})^{2}/e^{2}=n^{2}\cdot \mu _{0}\cdot d^{2}/(\epsilon _{0}\cdot a^{2})=n^{2}\cdot Z_{0}^{2}\cdot d^{2}/a^{2}=R_{K}^{2}$, [63-3]

so dass die Anzahl der Ladungsquanten pro magnetischem Fluss von der Form des Querschnitts der Wellenfront abhängt. Beim Ausbreiten im Vakuum ist keine Richtung ausgezeichnet, daher kann man in diesem Fall annehmen, dass die Abmessungen der elektromagnetischen Felder senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gleichmäßig mit dem Abstand zur Quelle zunehmen und deswegen $a=d$ gilt. Zwar ändert sich die Fläche des Querschnitts der Strahlung im dreidimensionalen Raum mit dem Abstand zur Strahlungsquelle, aber der Quotient $(a\cdot b)/(d\cdot b)=1$, also eigentlich nicht ein Quotient von Längen, sondern das Verhältnis der von den elektrischen und magnetischen Feldern durchströmten Flächen, ändert sich eben nicht. In diesem Falle gilt für die Anzahl n der Ladungsquanten pro Flussquant die halbe reziproke Feinstrukturkonstante $1/2\alpha$.

$n=R_{K}/Z_{0}=1/2\alpha$ [63-4]

Der elektromagnetische Impuls als Informationsträger

Im folgenden Beispiel wird einen Bandleiter betrachtet, auf dem sich ein elektromagnetischer rechteckförmiger Impuls ausbreitet. Der Bandleiter, Bild 63-11, ist durch seine charakteristischen Induktivitäten $L'=\Delta L/\Delta x$ und Kapazitäten $C'=\Delta C/\Delta x$ pro Leitungslänge charakterisiert, die Folge davon sind seine Impedanz $Z={\sqrt {(L'/C')}}$ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c=1/{\sqrt {(L'\cdot C')}}$ des Impulses, die hier mit $\mu =\epsilon =1$ dann die Lichtgeschwindigkeit ist. Zum einfacheren Verständnis des Problems wird angenommen, dass die Impedanz des Bandleiters der Klitzing-Widerstand $R_{k}$ ist. Für eine solche Impedanz müsste der Abstand d der Leiter groß im Verhältnis zu deren Breite a sein, was zu merklichen Inhomogenitäten der Felder und Abstrahlung führen würde, die bei den Betrachtungen im vorliegenden Kapitel vernachlässigt werden. Ein mehr realistischer Ansatz ergibt sich dann aus den folgenden Überlegungen für kleinere Impedanzwerte.

Bild 63-11: Ein Strom-Impuls breitet sich auf einer Leitung aus. Am offenen Ende der Leitung wird er reflektiert und nachdem der halbe Impuls reflektiert ist, wird der Schalter S1 geöffnet und das weitere Ausbreiten behindert.

Für die Dauer T1 werde einen konstanten Strom $I_{1}$ in den Leiter eingespeist, also eine Folge von Elementarladungen im mittleren zeitlichen Abstand $\tau _{1}$. Die räumliche Länge dieses Impulses ergibt sich dann zu $X_{1}=c\cdot T_{1}$ und der mittlere räumlicher Abstand der Elektronen in Laufrichtung zu $\Lambda _{1}=c\cdot \tau _{1}$. Zu jedem Elektron-Lochpaar des Stromflusses gehört dann wegen der Klitzing-Impedanz ein Paar magnetischer Flussquanten $2\Phi _{0}$, die sich dann in Kombination mit dem elektrischen Feld mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Jede dieser Einheiten hat die Energie eines Photons der Frequenz $f_{1}=1/\tau _{1}$

$E=I^{2}\cdot R\cdot T=(e/\tau _{1})^{2}\cdot R_{K}\cdot \tau _{1}=h/\tau _{1}$ [63-11]

und in Kombination mit dem zeitlichen Abstand $\tau _{1}$ dieser Einheiten ergibt sich als Produkt das Plancksche Wirkungsquantum $h$. Nach den vorherigen Diskussionen können wir also vermuten, dass mit der Menge dieser Wirkungsquanten auch die Menge an Information, die der Impuls trägt, definiert ist. Die Qualitäten der Information, $\Lambda _{1}$ die räumliche in Richtung der Ausbreitung und $\tau _{1}$ die zeitliche Auflösung, sind energieabhängig.

Wenn dieser Impuls am offenen Ende dieser Leitung nun reflektiert wird, dann sind hin und rücklaufender Strom entgegengesetzt und das Magnetfeld verschwindet. Mit der Länge $b=X_{1}/2$ vom Leitungsende bildet sich dann ein Bereich, in dem nur ein elektrisches Feld besteht. Dieser Zustand kann eingefroren werden, wenn an passender Stelle ein Schalter $S_{1}$ zum richtigen Zeitpunkt geöffnet wird, so dass das mit Ladung gefüllte Leitungsstück zwei offene Enden hat. Dieser Zustand in Bild 63-12 ist dann statisch und ohne Ableitung der Ladung von beliebiger Dauer. Zwar würde eine hin und her laufende Welle zunächst die gleichen Eigenschaften haben, wegen der endlichen Leitfähigkeit des Bandleiters würde dieser Zustand aufgrund der Dämpfung langzeitlich nicht bestehen. Die Energie des Magnetfeldes vom laufenden Impuls, die eine zeitliche Informationskomponente repräsentiert, geht in das elektrische Feld über, indem für die einzelnen Ladungsträger jetzt nur noch halb so viel Raum $(a\cdot \Lambda _{1}/2)$ wie beim laufenden Impuls vorhanden ist, die räumliche Auflösung wird verdoppelt.

Bild 63-12: Durch Öffnen des Schalters $S_{1}$ entsteht der statische Zustand ohne Magnetfeld mit der Energie nur im elektrischen Feld. Die Elementarladungen nehmen in diesem aufgeladenen Leitungs-stück nur halb so viel Raum ein wie beim sich ausbreitenden Impuls.

In diesem statischen Fall besteht seitens der Information kein Bezug zur Zeit, dafür ist gegenüber dem laufenden Impuls die räumliche Präzision und Energiedichte verdoppelt. Die Zeit wird in dieses System erst wieder integriert, wenn sich wieder ein Impuls durch Schließen eines Schalters fortbewegenden kann. Für das von der Umgebung separierte statische System existiert die Dimension Zeit nicht. Sie wird durch Betätigen eines Schalters und die damit verbundene Kopplung zum Universum getrennt oder wieder eingeführt. Da die Zeitkomponente entfällt, verliert auch die Wirkung in der Form $H=E\cdot T$ ihre Bedeutung. In diesem statischen Zustand bleiben Energie und Komponenten des Raums definiert. Die das elektrische Feld tragende Kapazität $C=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ ist halb so groß wie die zur einzelnen Ladung gehörende Kapazität des laufenden Impulses und wurde in Gleichung [22-2] durch eine Länge $\Lambda _{C}=A/d$ charakterisiert, die der Quotient aus Elektrodenfläche geteilt durch Elektrodenabstand ist. Wenn man die Energie nun mit dem doppelten dieser Länge multipliziert, so ergibt sich

$E\cdot 2\lambda _{C}=e\cdot \Phi _{E0}=h\cdot v_{\Phi }$ [63-12]

der Mittelpunkt der oberen elektrischen Fläche im elektromagnetischen Quader.

Bild 63-13: Durch Schließen des Schalters S2 kann sich der Impuls nun über den deutlich breiteren Bandleiter ausbreiten. Bei gleicher Energie und Ladungsmenge ist die Dauer des Impulses $\tau _{2}$ soviel kürzer wie die Impedanz abgenommen und die Breite und Querschnittsfläche des Bandleiters zugenommen hat.

Solch ein Schalter, mit dem ein Ende des statischen Zustandes und damit infolge einer Änderung die Größe Zeit eingeführt werden kann, soll im Bild 63-13 nun seitlich angebracht werden, S2, so dass sich der Impuls über einen breiteren Bandleiter ausbreiten kann. Die zeitliche Länge dieses Impulses wäre dann $\tau _{2}=\Lambda _{2}/c=2a/c$ und damit in diesem Beispiel deutlich kleiner als in der Bandleitergeometrie des einlaufenden Impulses. Die Impedanz des Bandleiters 2 mit der Breite b ist kleiner als die des Bandleiters 1 mit der Breite a. Die Anzahl der virtuellen Ladungsträger bleibt unverändert, die Anzahl der magnetischen Flussquanten verringert sich um einen Faktor entsprechend der Impedanzänderung. Um den gleichen Faktor ist das Verhältnis Breite (a, b)/ Höhe d des Bandleiters größer. Das Volumen der elektromagnetischen Felder bleibt unverändert gegenüber dem ursprünglichen dynamischen Fall des einlaufenden Impulses.

Wenn man statt der hier gezeigten räumlichen Verteilung der virtuellen Ladungen diese in zeitlicher Reihenfolge sortiert und jeder Ladung damit ein magnetisches Flussquanten Paar zugeordnet, wäre dies zwar zulässig, da bei kleinen Anzahlen elektromagnetischer Quanten (Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“) Impedanzen nicht genau definiert sind, es würde die Kenntnis des Verhältnisses elektrischer zu magnetischen Quanten, die in der Impedanz enthalten ist, aber ignorieren. Hier tritt wieder die Auswahl des Experimentators in Erscheinung. In Bild 63 -13 werden die Elektronen an fünf verschiedenen Orten längs der Breite b während des Zeitraums $T_{2}$ detektiert. Geschieht diese Messung mit erhöhter Zeitauflösung über die ganze Breite des Leiters hinweg, dann werden die Elektronen nacheinander im mittleren Zeitabstand $\tau _{2E}$ detektiert. Dieser Zeitabstand unterscheidet sich von dem Abstand der detektierten Magnetflussquanten $\tau _{2M}$ im Beispiel um den Faktor fünf, $\tau _{2M}=5\cdot \tau _{2E}$, entsprechend Bild 63-14.

Bild 63-14: Wenn man sich die am Strom beteiligten virtuellen Ladungen in zeitlicher Reihenfolge vorstellt, sind bei dieser Impedanz die zeitlichen Abstände kleiner als bei den magnetischen Flussquanten.

Man kann diesen Bandleiter nun längs im Teilstücke (hier 2) aufteilen und den Impuls bei unveränderter Dauer darauf weiterlaufen lassen. Dann ist es möglich, die einzelnen Komponenten so zu addieren, Bild 63-15 rechts, dass die Spannung vervielfacht wird und die Impedanz des neuen Bandleiters wieder größer und entsprechend auch der Magnetfluss mit der größeren Fläche steigt. Teile der Bandleiter enthalten sich kompensierende Ladungen, diese und auch deren realen Leiterteile werden überflüssig, wie ganz rechts zu sehen.

Bild 63-15: Durch Auftrennen des Leiters in zwei separierte Streifen, die anschließend übereinandergelegt werden, wird die Impedanz des Leiters transformiert (*4). Dies halbiert die Stromstärke des Impulses und die Anzahl der beteiligten Ladungen, die Spannung und Anzahl der magnetischen Flussquanten wird verdoppelt.

Die Anzahl der Ladungsquanten und die der elektrischen Flussquanten nehmen entsprechend ab. Dies verringert die Stromstärke des Impulses, die Spannung und Anzahl der magnetischen Flussquanten nimmt zu. Die Energie, die Querschnittsfläche der elektromagnetischen Felder und die Dauer des Impulses bleiben erhalten. Die Querschnittsfläche und damit auch das Volumen der Felder kann man nun wiederum ändern, wenn dabei die Impedanz, die durch das Verhältnis von Breite des Leiters zum Abstand der Leiter gegeben ist, unverändert bleibt.

Bei all diesen Prozessen bleibt die Energie erhalten ebenso wie die Anzahl der Volumenstücke mit der Energie von Photonen, die Wirkungsquanten entsprechen. Für den Erhalt von Information spricht, dass die ausgeführten Prozesse umkehrbar sind. Die Anzahlen der elektromagnetischen Quanten sind dagegen keine konstanten Größen und alleine daher für die Repräsentation der Information nicht relevant. Das Produkt aus den Anzahlen elektrischer Quanten n und Magnetischer Quanten m geteilt durch die zeitliche Dauer T des informationstragenden Intervalls ist dagegen die für die Energie relevante Größe und bei konstanter Informationsmenge gilt dann

$E_{ges}=h\cdot m\cdot n/T$, [63-13]

ein Ergebnis, das mit dem im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ behandelten beim Mischen beobachteten Effekt übereinstimmt.

Die Idee, den Bandleiter in Parallelleitungen aufzuschneiden, kann man nun auch auf den eingangsseitigen Bandleiter von Bild 63-11 anwenden, wie es Bild 63-16 zeigt. Jedes einzelne der im Beispiel fünf Elektronen wird in den fünf Leitungsstücken innerhalb des Zeitbereiches $T_{1}$ anzutreffen sein, allerdings mit einer zeitlichen Genauigkeit, die fünfmal ungenauer ist als in dem ersten Beispiel mit $\tau _{5}=5\cdot \tau _{1}$. Entsprechend ungenauer ist auch die räumliche Position $\Lambda _{5}$ des einzelnen Ladungsträgers. Die Impedanz der Teilleitungsstücke ist um den Faktor 5 größer und entsprechend größer damit die Anzahl der Magnetflussquanten pro Elektron. Da die Magnetflüsse der parallelen Leitungsstücke sich aneinander anschließen, bleibt der gesamte Fluss auch in der Summe der gleiche wie im Bild 63-11. Auch die raumzeitliche Genauigkeit ist in diesem Fall die gleiche wie im ersten Beispiel, da zwar die einzelnen Ladungsträger eine geringere Genauigkeit vermitteln, es aber fünf Möglichkeiten gibt, sie in Kombination anzutreffen, was diese Ungenauigkeit wieder kompensiert.

Bild 63-16: Ein Strom-Impuls breitet sich auf einer Leitung aus, die teilweise in fünf parallele Leitungen aufgetrennt wird.

Dies hier betrachtete Beispiel der Leitungen lässt anhand der Bilder vielleicht vermuten, dass das mit Feldern gefüllte Volumen am Gedankengang wesentlich beteiligt ist. Dem ist aber nicht so, wie man sieht, wenn man den Querschnitt der Leitung unter Beibehaltung der Impedanz variiert. Dann lässt sich das Volumen der Felder wesentlich ändern, solange der Quotient der Kanten des Querschnitts-Rechtecks konstant bleibt. Eine charakteristische raumzeitliche Größe ist nur die Länge in Ausbreitungsrichtung bzw. die zeitliche Dauer des Impulses. Dies ermöglicht dann auch den gedanklichen Übergang zum dreidimensionalen Ausbreiten von Wellen, bei dem der Querschnitt der Welle mit zunehmendem Abstand zur Quelle zunimmt, ohne dass der Informationsinhalt geändert wird, während die Dauer des Impulses unverändert bleibt. Die für die Wellenausbreitung charakteristische Impedanz ist durch die spezifischen Kapazitäten und Induktivitäten in Ausbreitungsrichtung gegeben $Z^{2}=L'/C'$. Beide Größen sind durch einen Quotienten von Fläche zu Flächenabstand bestimmt, $L'=\mu _{0}\cdot d\cdot x'/a$ und $C'=\epsilon _{0}\cdot a\cdot x'/d$, wobei die spezifische Länge x' in Ausbreitungsrichtung die gleiche ist. Die Impedanz ist dann

$Z={\sqrt {(L'/C')}}=Z_{0}\cdot d/a$ [63-14]

wobei der die Form des Querschnitts charakterisierende Faktor aus räumlichen Komponenten $a/d=Z_{0}/Z$ genauso dimensionslos ist wie die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante.

$2\alpha =Z_{0}/R_{K}$ [63-15]

Es liegt nun nahe, auch hier nach einem Quotienten räumlicher Dimensionen zu suchen. Für die Wellenausbreitung im freien Raum mit der Impedanz $Z_{0}$ folgt, da diese im Vakuum und in isotropen homogenen Medien unabhängig von Raumrichtungen gleich erfolgt, was gleichbedeutend mit der Aussage ist, dass die Breite und der Abstand der Felder und Leitungen identisch sind, $a=d$. In die Impedanz des Vakuums gehen dann nur die raumzeitlichen Kopplungen der Felder mit ihren Quellen ein, $Z_{0}={\sqrt {(\mu _{0}/\epsilon _{0})}}.$

Anders sieht es nun aus, wenn man einzelne elektromagnetische Quanten betrachtet. Aus dem Coulomb-Gesetz folgt ein Zusammenhang zwischen dem Umfang ue einer einzelnen Elementarladung e und der ihr zugeordneten Energie EE, den man mit Größen des elektromagnetischen Quaders in Beziehung setzen kann.

$u_{e}=e^{2}/(2\epsilon _{0}\cdot E_{E})=e\cdot \Phi _{E0}/2E_{E}=\lambda _{C}$ [63-16]

Fragt man nach dem Umfang einer Leiterschleife für zwei elektromagnetische Flussquanten, so ergibt sich entsprechend

$\lambda _{L}=Q_{M}\cdot 2\Phi _{0}/2E_{M}$ [63-17]

Diese Längen, die Kapazität und Induktivität charakterisieren, finden sich beim Impuls auf der Leitung, Bild 63-17 links, in deren Abmessungen wieder: $\lambda _{C}=b\cdot a/d$, $\lambda _{L}=b\cdot d/a$. Das elektrische Feld steht senkrecht auf der horizontalen gelben Fläche $b\cdot a$, das Magnetfeld ist senkrecht auf der vertikalen violetten Fläche $b\cdot d$ und die Fläche des Leitungsquerschnitts ist grün $a\cdot d$. Der Quotient dieser Längen $\lambda$ ist bei gleicher Größe von elektrischer und magnetischer Energie

$\lambda _{L}/\lambda _{C}=d^{2}/a^{2}=Q_{M}\cdot 2\Phi _{0}/(e\cdot \Phi _{E0})=R_{K}^{2}/Z_{0}^{2}=(1/2\alpha )^{2}$, [63-18]

was den Zusammenhang zwischen den Abmessungen, Impedanzen und der Feinstrukturkonstante $\alpha$, Bild 63-17 rechts, für diesen speziellen Fall zeigt.

Bild 63-17: Links die Größe eines elektromagnetischen Feldpakets aus elementaren Quanten im Impuls bei einer Leitung mit der Impedanz des Klitzing-Widerstandes $R_{K}$. Rechts der Faktor der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $\alpha$ im elektromagnetischen Quader.

Die Pseudolängen $\lambda _{C}=C/\epsilon _{0}$ und $\lambda _{L}=L/\mu _{0}$o haben durchaus einen Bezug zu den elektromagnetischen Naturkonstanten, in ihrem Quotienten kürzt sich dieser im üblichen Maßsystem offensichtlich weg. Im elektromagnetischen Quader tauchen die Naturkonstanten $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$ als die Verknüpfungen von Polen mit Flüssen auf, um von den Ecken des Quaders mit den elektromagnetischen Quanten in die Mitte der horizontalen Flächen zu gelangen. In der Kombination der Quellen mit den Flüssen stehen jetzt die elektrischen (oben) und die magnetischen (unten) Komponenten senkrecht übereinander, jeweils um den Faktor zweimal Feinstrukturkonstante $2\alpha$ vom Zentrum des Quaders $h\cdot c$ (Plancksche Konstante mal Lichtgeschwindigkeit) getrennt. Bei gleicher Ausdehnung $b$ der elektrischen und magnetischen Felder in Ausbreitungsrichtung der Welle liefert die Impedanz (hier $R_{K}$) das Verhältnis der Länge der elektrischen Feldlinien $d$ zu dem der äquivalenten magnetischen Feldlinien $a$ und umgekehrt die Breite und Fläche der Felder jeweils senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Mit der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $\alpha$ wird also die Asymmetrie bei der räumlichen Verteilung der elektrischen und magnetischen Felder der elektromagnetischen Quanten charakterisiert, die sich aus den unterschiedlichen Kopplungen für magnetische und elektrische Pol-Fluss Kombinationen ergibt.

Den besprochenen Transformationen kann man nun noch weitere hinzufügen, indem man anstatt des Vakuums Materie zwischen die Leitungen einbringen. Die Folge davon ist, dass die Abmessungen entsprechender Kapazitäten und Induktivitäten verringert sind und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Impulses kleiner wird. Erhalten bleibt die zeitliche Dauer des Impulses $T_{x}$.

Wenn man sich nun bemüht, in dem Impuls Informationseinheiten zu finden, dann bieten sich bei der Leitung mit der Klitzing-Impedanz die Quader an, die durch Elementarladung und magnetische Flussquanten in Kombination mit ihrem zeitlichen Abstand auftreten und die Energie von Photonen haben. Bild 63-18 zeigt dies links für eine Leitung mit der Klitz-Ingimpedanz im Vergleich zu einem Bandleiter wesentlich niedrigerer Impedanz, rechts. Eine solch niedrigere Impedanz kann man durch Parallelschalten von Klitzing-Widerständen erreichen, entsprechend Bild 63-15 könnte man die Reihenschaltung für größere Widerstände realisieren.

Wie eingangs beim Messen von Strom diskutiert, ist die Information nicht in den registrierten einzelnen Quanten enthalten, sondern in ihren Beziehungen untereinander. Diese wählt der Experimentator, z.B. die Impedanz der Leitung. Damit ist das Zeitintervall $T$ zwischen den bei der Messung aufeinanderfolgenden Ladungen für den Strom $I=\Delta Q/\Delta t$ und Flussquanten für die Spannung $U=\Delta \Phi /\Delta t$, dies entspricht im Bild 63-18 der Länge $b=c\cdot T$ pro Elementarquant, ein wesentlicher Anteil dieser Information. Die Dauer $T$ unterliegt den oben diskutierten Schwankungen, die auf der begrenzten Informationsmenge beruhen. Bei der Leitung mit der Klitzing-Impedanz würde man daher eine zeitliche Folge der Informationsbausteine zur Mittelung heranziehen, die zu einem festen Zeitpunkt auch räumlich zur Verfügung stehen. Bei der niederohmigen Leitung rechts im Bild 63-18 stehen solche Bausteine zeitlich parallel zur Verfügung und man summiert diese Reihen in diesem Koordinatensystem zunächst eindeutig räumlich.

Bild 63-18: Die Information tragenden Pakete innerhalb eines elektromagnetischen Impulses. Links die Leitung mit der Klitzing-Impedanz, rechts mit einem Achtel davon.

Diese Informationsblöcke enthalten nun als Produkt von Ladung $e$ und magnetischem Fluss $2\Phi _{0}$ das Wirkungsquantum $h=2\Phi _{0}\cdot e$, die Basis für die Abzählbarkeit der Informationspakete. Ihre Leistung $P=U\cdot I=h/T^{2}$ in den daraus resultierenden elektromagnetischen Feldern ergibt sich mit dem Quotienten, der Impedanz $R_{k}=2\Phi _{0}/e$, und dem die Genauigkeit repräsentierenden Abstand der Quanten $X=b=c\cdot T$ in ihrer raumzeitlichen Folge. Als Quotient aus Wirkung und Zeitintervall ergibt die Energie $E=h/T$ (genauso wie der Impuls $p=h/X$) das Maß der Qualität (Genauigkeit) der Information.

Was passiert nun, wenn wie oben diskutiert, der Impuls so reflektiert wird, dass sich die Magnetfelder weginterferieren ? Damit verschwindet ja einiges, was die Informationsblöcke im Bild 63-18 auszeichnete. Dann liegt ein aufgeladener Kondensator wie in Bild 63-19 vor, dessen Energie wir in Abhängigkeit von der Ladungsmenge kennen. Kommen wir nun auf die Idee des Kapitels „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ zurück, bei der Impedanzen als Quotient von Spannungen und Strömen berechnet wurden, wenn diese auf gequantelte elektromagnetische Einheiten zurückzuführen sind. Eine Energie ist nun zu berechnen, indem man das Produkt aus Spannung und Strom, die Leistung, mit dem Zeitintervall multipliziert. Für den Widerstand und damit auch für eine Leitungsimpedanz ergibt sich:

$E=T\cdot [d\Phi /(jdt)]\cdot [dQ/jdt]=T\cdot 2\Phi _{0}\cdot [\Delta m/(j\Delta t)]\cdot e\cdot [\Delta n/j\Delta t]=T\cdot h\cdot \Delta n\cdot \Delta m/(j\Delta t)^{2}$ [63-19]

und für die Impedanz des Klitzing-Widerstandes, wenn die Anzahlen $(\Delta n=\Delta m=1$) eins sind, zeigt sich

$E=h/T=h\cdot f$ [12-12]

Entsprechend gilt dann beim Kondensator

$E=T\cdot [Q(t)/C]\cdot [dQ/jdt]=T\cdot n(t)\cdot (e/C)\cdot \Delta n\cdot (e/j\Delta t)$ [63-20]

Und wenn man die oben eingeführten Abkürzungen für den Kondensator einsetzt, dann ist die Energie für einzelne Elektronen

$E=\Delta n\cdot e\cdot n\cdot \Phi _{E0}\cdot (d/ab)\cdot T/j\Delta t$ [63-21] -> $(n=\Delta n=1)$ -> $E_{1}=h\cdot c/2b=h/2T$ [63-22]

Also auch hier findet man wieder die Plancksche Konstante und einen Bezug zur Zeit über die Abmessungen. Die Zeit 2T entspricht dann der Dauer eines über die Strecke b/2 hin und her laufenden Impulses als Repräsentant einer stehenden Welle, die in diesem Fall das Magnetfeld auslöscht. In diesem statischen Fall müssen die gleichen Überlegungen natürlich auch gelten, wenn die Seiten a -> a' und b -> b' vertauscht werden, wie dies mit der Beschriftung links und rechts an dieser Kapazität in Bild 63-19 angedeutet sein soll. Angepasst an die Menge der Ladungen und Geometrie des Kondensators muss man das Volumen zwischen den Elektrodenplatten mit solchen Informationsblöcken füllen. Entsprechend umgekehrtes kann man sich für die stromführende Leiterschleife mit Magnetfeld überlegen, bei der das elektrische Feld fehlt.

Bild 63-19: Ein elektrostatisch aufgeladener Kondensator als Teil eines Bandleiters gedacht, auf dem eine Welle am offenen Ende reflektiert wird. Für die räumlichen Dimensionen gilt $d/a=1/2\alpha$

Der elektromagnetische Quader gestattet also zum einen eine geometrisch einfache Möglichkeit, verschiedene Kombinationen von Naturkonstanten geschlossen darzustellen und in Formeln zu übertragen. Andererseits liefert er uns einen Bezug zur Information. Die hier gezeigte Konstruktion basiert ja auf der Idee, aus den elektromagnetischen Quanten Informationsbezüge zu vereinen. In umgekehrter Richtung ist es mit Hilfe der Impulse auf Leitungen auch möglich, Eigenschaften von physikalisch relevanten Informationseinheiten zu veranschaulichen.

Gibt es Analogien zum elektromagnetischen Quader ?

Die Struktur des elektromagnetischen Quaders, die sich dort in den Beziehungen zwischen vier ausgangsseitigen Quanten zeigt, ist auch auf andere physikalische Probleme übertragbar. Im ersten Schritt sei dabei der elektromagnetischen Schwingkreis aus Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ betrachtet, bei dem Kopplungen statt über reine Naturkonstanten durch die Induktivität und Kapazität seiner Elemente erfolgen. Information und Energie werden nicht mehr im Raum verbreitet, sie pendeln zwischen Induktivität und Kapazität hin und her. Damit entfällt im Koordinatensystem der räumliche Anteil, der für Wellen charakteristisch ist.

Als folgender Schritt soll dann der Übergang zu mechanischen Systemen erfolgen, ein System aus Masse und Feder liefert genau so einen harmonischen Oszillator wie der LC-Schwingkreis. Die schon in Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ benutzte elektromechanische Analogie, bei der die Kraft einer Spannung entspricht, wird hier einfach angewendet. In einem nächsten Schritt soll dann wieder ein räumlicher Koordinaten-Anteil eingefügt werden, mit dem Ziel, etwas Allgemeines über mechanische Systeme zu erkennen.

Der Quader in Bild 64-1 zeigt die Komponenten, die in Analogie zum elektromagnetischen Quader betrachtet werden. In der ganz linken Spalte der Tabelle 64-1 sind die entsprechenden Buchstaben zu finden und rechts daneben dann die Komponenten des elektromagnetischen Quaders, dann die des Schwingkreises, des Masse-Feder Pendels und der versuchten Verallgemeinerung des mechanischen Systems.

Bild 64-1: Die Analogie zum elektromagnetischen Quader mit ihren Komponenten.

Beim LC-Schwingkreis beobachten wir die Schwingung zwischen den elektrischen und magnetischen Feldern aufgrund von Ladungen auf dem Kondensator oder alternativ eines magnetischen Flusses in der Spule. Durch die Größe des Kondensators C ist die elektrostatische Energie beim Aufladen mit einem elementaren Ladungspaar gegeben und damit der Mittelpunkt der oberen Fläche. Entsprechend koppeln Magnetfluss und Induktivität zur Größe der Stufen der Energie des Magnetfeldes und bestimmen den Mittelpunkt der unteren Fläche. Das Produkt der Kapazität und der Induktivität und ihrer im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ erwähnten charakteristischen Zeitkonstanten ist für die Größe der Eigenfrequenz verantwortlich. Ihr Quotient bestimmt eine Impedanz $Z_{S}={\sqrt {(L/C)}}$. Bild 64-2 zeigt diese und die daraus folgenden übrigen Größen.

Tabelle 64-1: Analogien zum elektromagnetischen Quader (EMQ)

	EMQ	[]	LC	[]	Masse-Feder	[]	Schallwelle *x	[]
a	e	As	e	As	Θ=F/fk	m	Θ	m
b	2Φ0	Vs	2Φ0	Vs	Π=M·v	Ns	Π	Ns
c	ΦE0	Vm	U=ΦE0/λC	V	F	N	E	Nm
d	QM	Am	I=QM/λL	A	v/2	m / s	A/t	m²/s
a	e²	A²s²	e²	A²s²	Θ²=h/2ZM	m²	Θ²	m²
b	(2Φ0)²	V²s²	(2Φ0)²	V²s²	Π² = h·ZM/2	N²s²	Π²	N²s²
c	ΦE0²	V²m²	U²	V²	F ²	N²	E ²	N²m²
d	QM²	A²m²	I²	A²	v²/4	m²/s²	A²/t²	m4/s²
e	ΦE0·e	VAms	ΦE=e·U=e²/2C	VAs	Epot=F·Θ=fk·Θ²/2	Nm	E·Θ=F·A/2	Nm²
f	QM2Φ0	VAms	EM=I·2Φ0=(2Φ0)²/2L	VAs	Ekin=Π·v= Π²/2M=Mv²/2	kg m²/s²=Nm	E·x=Π·v·x=x·M·v²/2	Nm²
g	QM·e	A²ms	e·I	A²s	v·Θ	m²/s	V/t=v·A=ΘA/t	m³/s
j	ΦE02Φ0	V²ms	U·2Φ0	V²s	F·P =F·M·v	N²s	E · P	N²ms
h	2Φoe =h	VAs²	e·2Φo=h	VAs²	h=Q·Π	Nms	h=Q·Π	Nms
k	ΦE0QM=c²·h	VAm²	P=U·I=ΦE0·QM/(λL·λC)	VA	F·v=P=h·f²	Nm / s	P·A=P·λ²=h·vS²	Nm³/s
m	h·c	VAms	h·f= E	VAs	hf=E=(h·P)1/2	Nm	E·x	Nm²
			T=(TETM)1/2
n	c	m/s	f=1/T =(U·I/ h)1/2	Hz	f=(fk/4M)1/2 =(F·v/h)1/2	Hz	λ·f'=vS=(F·x/(4M))1/2	m/s
o	Z0	V/A	ZS=(L/C)1/2(U2Φo/eI)1/2	V/A	ZM=(M·fk)1/2=(ΠF/Θv)1/2	Ns/m	(fk·M)1/2=(ΠF/(Θv))1/2	Ns/m
p	(2α)=e·ΦE0/2Φ0QM	1	EE/EM=(U·e/ I·2Φ0)1/2	1	Epot/Ekin=F·Θ/(Πv)	1	E·Θ·t/(A·Π)=vΦ/vQ	1
q	1/ε0	Vm/As	1/2C=1/(2ε0·λC)	V/As	1/2ng=fk/2	N / m	F/2=fk·x	N
r	1/μ0	Am/Vs	1/2L=1/(2μ0·λL)	A/Vs	1/2M	m/Ns²=1/kg	λ/2M =A/(t·Π)= v²/F	m²/Ns²=m/kg
			1/f²=TE·TM
s	vQ	m/s	I/e=1/TE	Hz	v/Q	Hz	A/(t·Q)	m/s
t	vΦ	m/s	U/2Φ0=1/TM	Hz	F/Π	Hz	E/Π	m/s
w	RK	V/A	RK=2Φ0/e	V/A	Π/Θ=Mv/x	Ns/m	Π/Θ= M/T	Ns/m
z	ZMR	V/A	ZMR=U/I=L/(RK·C)	V/A	F/v=H/A	Ns/m	E/(A/t)=H/A	Nms/s²

Bild 64-2: LC-Schwingkreis

Durch die Vorgabe der Kapazität $C$ und der Induktivität $L$ ist in Kombination mit dem Planckschen Wirkungsquantum h die mittlere Ebene vorgegeben. Auf der Basis dieser Dreiergruppe existiert daher das elektromagnetische Schwingungsquant, das Photon. Es begegnet uns mit seiner Energie $E=h\cdot f$ im Mittelpunkt der Fläche. Es gibt nun noch eine weitere Kombination von drei elementaren Größen, Elementarladung, magnetisches Flussquant und Plancksches Wirkungsquantum. Diese Kombination liefert den Klitzing-Widerstand RK, der nun in einem Verhältnis zur Impedanz aus Induktivität und Kapazität steht. Die Größen von Induktivität und Kapazität sind im praktischen Fall frei wählbar. Daraus folgt dann, dass für gleiche Energien der elektrischen und magnetischen Felder während des Schwingungsvorgangs je nach Wahl von $Z_{S}={\sqrt {(L/C)}}$ unterschiedliche Anzahlen elementarer Ladungen und Flussquanten vorliegen. Die im elektromagnetischen Quader existierende Feinstrukturkonstante wird hier also durch ein Impedanzverhältnis $R_{K}/Z_{S}$ ersetzt, mit dem das Verhältnis der beteiligten Anzahlen elektrischer und magnetischer Quanten vorgegeben wird. Diese Feststellung gestattet wiederum, die Feinstrukturkonstante im elektromagnetischen Quader aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten. Weiterhin ist in diesem LC-System die Größe Raum ausgeklammert. Sie ist in der Kapazität und der Induktivität versteckt, für das vorliegende Problem einer lokalen Schwingung interessiert sie nicht. Daher gibt es auch keine Geschwindigkeiten, nur die Zeit und elektromagnetische Größen sind präsent.

Im originalen elektromagnetischen Quader sind die in Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ benannten Spannungen [22-4] und Ströme [22-3] als Kombination von gequantelten zeitabhängigen und raumabhängigen Anteilen, links die zeitabhängigen wie hier auch und rechts die raumabhängigen Basisgrößen zu finden. Die raumbezogenen Anteile fehlen an dieser Stelle natürlich, während Ladungen pro Zeit und Flussquanten pro Zeit eine wichtige Rolle für den zeitlichen Verlauf im Schwingkreis spielen.

Bild 64-3: Masse-Feder-Pendel

Aus der elektromechanischen Analogie folgt dann Bild 64-3, wenn man mechanische Schwingungen betrachtet. Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ benutzte die Analogie der Phononen zu den Photonen. Dabei zeigten sich Ladung und magnetisches Flussquant entsprechend Amplitude und Impuls im mechanisch schwingenden System. Kondensator (verzögert Spannungsänderungen) und Spule (verzögert Stromänderungen) sind durch die raum- und zeitlichen Trägheiten von Feder und Masse ersetzt. Den elektromagnetischen Energien entsprechen die potentielle und die kinetische Energie. Strom und Spannung werden zu Geschwindigkeit und Kraft. Auch hier ist der Raum einer Wellenausbreitung ausgeblendet. Es gibt aber eine Geschwindigkeit aus der Kombination von Auslenkung und zeitlichem Schwingungsablauf. Diese hat nichts mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Wellen zu tun. Und Masse und Feder liefern auch eine Impedanz $Z_{M}={\sqrt {(M\cdot f_{k})}}$.

Bild 64-4: Mechanischer Quader

Wenn nun wieder die Einheit der Länge zur Raumzeit beiträgt, wie es im elektromagnetischen Fall zu Beginn realisiert war, dann zeigt sich Bild 64-4 für das mechanische Problem. Links sind weiterhin Auslenkung und Impuls zum Wirkungsquant vereint. Rechts davon finden wir gegenüber dem Masse-Feder-Pendel alle Größen um eine Raumkomponente erweitert. Das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz ist die Schallgeschwindigkeit.

In jedem Falle ist die Existenz gequantelter Größen gekoppelt an die Existenz des Planckschen Wirkungsquantums. In unserer Vorstellung der mechanischen Welt sind Massen und Federkonstanten beliebige nicht gequantelte Größen, genauso wie Spulen und Kondensatoren in der elektromagnetischen. Dies zeigt insbesondere bei der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante, das eine solche freie Wahl für das Beschreiben des Universums nicht existiert. Im elektromagnetischen Fall gibt es ein zweites Quant, zum Beispiel die Elementarladung, womit dann in Kombination mit den Kopplungsgrößen auch die übrigen drei erwähnten elektromagnetischen Quanten festgelegt sind.

In der eben gezeigten elektromechanischen Analogien tritt dem Masse als träge Masse und im Quader als Multiplikationsfaktor auf. Vergleicht man das Coulomb-Gesetz mit dem Gravitationsgesetz, so entspricht die dort schwere Masse der elektrischen Ladung und die Gravitationskonstante entspräche der Dielektrizitätskonstante. Wenn man nun in Analogie zum elektromagnetischen Quader mit dem Planckschen Wirkungsquantum $h$ startet und um Lichtgeschwindigkeit $c$ und Gravitationskonstante $\Gamma$ ergänzt, erhält man eine Masse analog zur Planckmasse. Vielleicht lohnt es sich ja, an dieser Stelle mit weiteren Gedanken anzusetzen, was im Kapitel „Information, Raum und Zeit“ versucht wird.

Information, Raum und Zeit

Information ist in Bezügen zu finden, zum Beispiel in raum-zeitlichen. Bei zahlreichen Experimenten zeigen sich die kleinsten beobachteten Einheiten von Informationen geprägt durch das Plancksche Wirkungsquantum $h$ in Kombination mit Energie oder Impuls, es sind also noch weitere Koordinaten als Raum und Zeit beteiligt. Zum Messen von Beziehungen braucht man mindestens zwei Abtastungen, eine solche Dreieinigkeit bildet also eine Gruppe minimaler Größe zum Erfassen einer kleinsten Einheit von Information. In der Geometrie ist die Anzahl von Punkten und Verbindungslinien zwischen ihnen nur für die Anzahl drei gleich. Als Folge lässt sich dann anschaulich herleiten, in welcher Form individuelle „punktuelle“ und kollektive Informationen nebeneinander existieren, sich ergänzen und teilweise gegeneinander getauscht werden können.

Experimente mit Würfeln ermöglichen den gedanklichen Zugriff auf Probleme der Information. Trotz der Dominanz des Zufalls ist es möglich, Gesetze zu finden. Basis dieser Möglichkeit sind vorhandene Strukturen, die den Bereich des Zufalls begrenzen und separieren. Schließlich erscheint der Zufall in einer Struktur, die wir von Würfeln kennen, als wesentlich, um die begrenzte Information der Quantenwelt mit der klassischen Beschreibung, die Ursache und Wirkung kennt, in Einklang zu bringen.

Auf Basis der dargelegten Vorstellung physikalischer Information kann man hypothetisch Gravitation auf die Energie räumlicher Beziehungen zurückführen.

Information, Raum und Zeit

In den vergangenen Kapiteln sind verschiedene Aspekte physikalischer Beschreibungen diskutiert worden. Information trat dabei in abzählbaren Einheiten auf, die durch das Plancksche Wirkungsquantum $h$ charakterisiert waren und zusätzlich trägt sie eine Qualität, die mögliche Genauigkeiten auf Basis von Energie und Impuls begrenzt.

Dabei wurden Größen wie Raum und Zeit benutzt, dies erscheint uns ganz normal mit einem Maßsystem, das Meter und Sekunde enthält. Sobald man allerdings nur eine begrenzte Menge von Information in die physikalische Beschreibung mit einbringt, zeigt sich, daß dies nicht selbstverständlich ist. Beim aufgeteilten Kondensator im Abschnitt „Die statische Situation“ existierte so etwas wie ein Raum innerhalb des diskutierten Problems der verteilten Entladung nicht. In Kombination mit Kräften, wie beim Coulomb-Feld oder der Gravitation, wird man einen Raum in sinnvoller Weise einführen können, da sich die Kräfte mit den Abständen der Objekte voneinander ändern.

Zwei Objekte können einen Abstand zeigen, der dann gleichzeitig Maßstab ist. Drei Objekte mit drei räumlichen Beziehungen (Abständen), ermöglichen nun den Vergleich größer oder kleiner (länger oder kürzer). Mit noch mehr Objekten kann man solche Vergleiche fortsetzen und eine Liste aufstellen, in der die Abstände in ihrer Reihenfolge sortiert sind. Schließlich kann man einen Längenmaßstab einführen, so dass man ohne Probleme einzelne Objekte dieser Liste negieren kann. Diese Gedankenwelt beschreibt allerdings eigentlich das, was der Betrachter von außen sieht. Ein zeitliches Verhalten ist bei solchen Gedanken ausgeblendet, die Welt erscheint statisch.

Im Zeitbereich gibt es die Dauern $T$. Auch sie lassen sich vergleichen und in einer Reihenfolge sortieren. Problematisch wird es bei der ablaufenden Zeit $t$, da sie wesentlich durch die Bewegung des räumlichen Koordinatensystems geprägt ist.

Längen und Flächen scheinen zunächst analoge Größen zu sein, es gibt aber Grenzen der Genauigkeit, die diese Gedankenwelt einschränken. Energie und Impuls liefern solche Beschränkungen $\left(\lambda =h\cdot {\frac {c}{E}}\right)$, $\left(\lambda ={\frac {h}{p}}\right)$, die mit den räumlichen Auflösungsgrenzen in der Mikroskopie mit Licht oder Elektronen deutlich werden. Üblicherweise bemaßen wir uns vertraute räumliche Koordinatensysteme an ihren Achsen mit Längeneinheiten wie Meter, Zentimeter, Millimeter… Dann liegt, wenn man für die Raumzeit eine digitale Struktur vermutet, eine Vorstellung nahe, den Raum aus kleinen Würfeln auf Basis solcher Kantenlängen zusammenzusetzen. Damit verbunden wäre allerdings eine im Raum vorhandene konstante Präzision, die durch die dort inhomogen vorhandene Energie als Qualitätsmerkmal von Information nicht ohne weiteres gerechtfertigt ist. Abstände ergeben sich als Beziehung (Abschnitt „Information“) zwischen Objekten, ohne solche Objekte sind sie nicht existent. Die einfachste Folgerung daraus wäre, die Bemaßung des Raumes von der jeweils vorhandenen Dichte an Energie und Materie abhängig zu machen, was in der allgemeinen Relativitätstheorie zu finden ist.

Weiterhin wäre mit einer willkürlichen Vorgabe von raumzeitlichen Volumenelementen eine dazu passende Energiedichte zu erwarten. Dies kann wohl nicht in der Hand des Beobachters liegen. An dieser Stelle muss eine Beziehung, beispielsweise der Abstand oder eine Wechselwirkung zwischen benachbarten Objekten, wesentlich sein und nicht etwa ein von außen vorgegebenes Raster.

Aus Sicht der Information gibt es nun noch ein weiteres Problem. Typisch für eine physikalische Beobachtung ist ja, dass man in einem Beziehungskanal, den man aus vielen möglichen ausgewählt oder konstruiert hat, nachschaut, ob dort ein Quant zu finden ist oder nicht. Die Aussagen ob ja oder nein sind vom Informationsgehalt her gleichwertig. Dieses Faktum führte letztlich dazu, dass die Unkenntnis gegebenenfalls mit der Nullpunktsenergie zu werten ist. Mit unserer Energievorstellung ist vereinbar, dass man in raumzeitlichen Volumen nachschaut, ob dort ein Quant zu finden ist und wenn ja, dann ist dessen Energie in Relation zur Qualität von Information. Energetisch gleichwertig müsste aber auch der Fall sein, dass komplementär kein Quant oder Objekt in solch einem Volumen existiert. Wo finden wir eine entsprechende Energie ? Entspricht die Vorgabe eines raumzeitlichen Volumens nicht dem Einsetzen eines Kanals, in dem nach dem Quant geschaut wird und wird damit Information vorgegeben ? Bedeutet das Festlegen eines solchen Kanals und damit auch Möglichkeit des Unwissens und der daraus folgenden Nullpunktsenergie nicht, dass wir mit unserem Willen beliebig Energie einsetzen können ? Diesem Problem werden wir uns weiter unten noch einmal widmen.

Neben diesem Blick zu kleinsten Informationseinheiten gibt es aber Information auch in der Kombination vieler solcher Einheiten zu beobachten, die in Form von Strukturen erst im Kollektiv vorhanden ist. Dies war im ersten Kapitel räumlich beim Vogelflug und zeitlich beim Strom zu sehen. So zeigt der kristalline Festkörper Abstände zwischen seinen Komponenten, die vergleichbar mit dem flüssigen Zustand sind. Der Energieaufwand, seine regelmäßige räumliche Struktur zu entfernen, ist mit der Schmelzwärme beträchtlich. In der nächsten Stufe werden dann auch die Abstände in ihrer Ähnlichkeit beseitigt und mit der Verdampfungswärme wird der gasförmige Zustand erreicht, eine noch informationsärmere Anordnung. Die nächste Stufe des Wandelns von Information wurde oben schon beim Ionisieren des Wasserstoffatoms diskutiert (Abschnitt „Information und Struktur der Elektronenhülle“). Solche Effekte legen es nahe, Information und dazugehörige Energie nicht nur den einzelnen beteiligten Objekten zuzuordnen sondern zusätzlich den Strukturen ihrer Kollektive.

In den vorherigen Kapiteln gab es Information in einer Form, die reversibel umgewandelt werden konnte, zum Beispiel mit einer Linse von Positionen in Richtung und zurück oder beim Mischen mit konstanter Präzision für zeitliche Zuordnung. Andererseits konnte Information auch in andere umgewandelt werden, ohne dass es möglich war, sie wieder zu rekonstruieren. Ein Beispiel war der Doppelspalt, wo die Information über die Lichtquelle in die des Hindernisses wechselte.

Der Informationsgehalt ist von der Menge der sie transportierenden Quanten abhängig, die, wie man bei der Abklingzeit und beim Doppelspaltsexperiment sieht, einerseits gesetzmäßig aber zugleich „zufällig“ über Raum und Zeit verteilt erscheinen können. An die Welleneigenschaften der Photonen oder Elektronen sind Längen und Zeiten gekoppelt, die die mögliche räumliche und zeitliche Präzision von Messergebnissen charakterisieren. Über die Ausbreitungsgeschwindigkeit sind diese dann miteinander gekoppelt. Unabhängig davon existieren Abstände in Zeit und Raum zwischen den einzelnen Quanten. Mit unserer Vorstellung von Wellenpaketen ist verbunden, dass diese aus der Interferenz von raumzeitlich unendlich ausgedehnten periodischen Funktionen (mit charakteristischen Längen $\lambda$ und Dauern $T$) resultieren. Aus diesen, im Fourier-Raum mit in Raum und Zeit unbegrenzten Wellen, ist in unserem Vorstellungsvermögen eine Überlagerung von Wellen als Basis solcher Quanten denkbar, die beim Messen im Rahmen unserer Raumzeit zu verschiedenen (ablaufenden) Zeiten $t$ an verschiedenen Orten $r$ (Positionen) auftreten. Im Zusammenhang damit könnte man sich dann die Information von zusammengesetzten Kollektiven angesiedelt denken.

Information der Vergangenheit und der Zukunft

Wenn man annimmt, dass die Energie der Welt als Erhaltungsgröße eine Konstante ist, dann ist die daraus resultierende Summe der Wirkungsquanten $H=n\cdot h$ eine mit der Zeit $t$ anwachsende Größe. Dies würde bedeuten, dass die Menge der in der Welt vorhandenen bekannten abzählbaren Information mit der Zeit steigt. Damit in Einklang ist die Vorstellung, dass die Zustände der Welt während der Vergangenheit in eine Liste eingetragen werden, eine Liste, die dann im Laufe der Zeit immer länger wird. Diese speicherbare Information wächst bis zur Gegenwart linear mit der Größe der vergangenen Zeit, $H\sim t$, wenn die differentielle Größe ${\frac {dH}{dt}}=E$ konstant ist. Kann solch eine Liste ohne Energieaufwand existieren ? Ist diese Liste im Zustand der Gegenwart enthalten und kann die Vergangenheit aus der Gegenwart komplett rekonstruiert werden ? Ein auf Determinismus aufbauende Rekonstruktion der Vergangenheit aus dem gegenwärtigen Zustand ist nur begrenzt möglich, da die Ungenauigkeit der Gegenwart zu wachsender Unsicherheit bei der Rekonstruktion mit größerem Zeitabstand führt. Es ist auch aus einem anderen Grund sofort zu sehen, dass dieses Verfahren begrenzt sein wird. Eine solche Grenze ergibt sich, wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, einen Zustand zu realisieren. Also immer dann, wenn wir durch Integrieren etwas zusammenfassen, wird ein Teil der möglichen Informationen solch einer rückwärts erstellten Liste verloren gehen. Wenn wir beim Würfeln also nur die Augensummen zur Kenntnis nehmen, dann wissen wir nicht mehr, welcher Würfel welchen Anteil geliefert hat. Ich vermute, dass Klaus Dieter Schotte in diese Richtung dachte, als er mir seine Bedenken bezüglich dieser Idee von Weizsäckers mit der Bemerkung kundtat, dass dieser die Entropie vergessen habe. Auf jeden Fall gibt es eine mit der zeitlichen Distanz zunehmende Unschärfe, so dass die Liste der Vergangenheit zurückliegend immer weiter verschwimmt. Dies bedeutet nun nicht unbedingt nur eine Änderung der Anzahl der Wirkungsquanten sondern eher ein Abnehmen der Qualität der physikalischen Größe, die sie repräsentieren.

Mit der Quantenmechanik sind Wahrscheinlichkeiten für Zustände in der Zukunft vorherzusagen. Dies wären mehr Möglichkeiten, als bei einem linearen Anwachsen der Information zu erwarten ist, aber dann eben mit einer jeweils kleineren Wahrscheinlichkeit als der mit eins charakterisierten Sicherheit. Messbar treten in der Gegenwart von diesen vielen Möglichkeiten nur eine beschränkte Anzahl auf, so dass Energie und Impuls als Erhaltungsgrößen bestehen. Damit gibt es auch kein Problem mit der Richtung der Zeit. Ein Rückwärtslauf auf der Zeitachse würde erfordern, dass realisierte Information wieder in die Vielfalt potentieller Information umgewandelt werden müsste. Aus Sicht der Information gibt es wieder eine Trinität, die Gegenwart stellt die Beziehung zwischen Vergangenheit und Zukunft dar und her. Das Zeitfenster der Gegenwart muss man sicher dadurch begrenzen, dass die vorhandene Energie im beobachteten Bereich mal der Zeitunschärfe das Wirkungsquantum ergibt. Entsprechend gilt natürlich die Unschärferelation zwischen Ort und Impuls.

Beim bekannten Doppelspaltexperiment können die die Information tragenden Quanten beim Passieren des Hindernisses entweder auch mit der Information des Spaltabstandes moduliert werden und/oder die Information tragen, welcher der beiden Spalte durchlaufen wurde und gegebenenfalls dann nur Information über die Breite dieses Spaltes aufgrund der Beugung zeigen. Aus Sicht der Information gibt es kein Entweder-Oder beziehungsweise Sowohl-Als-Auch, es wird eine beschränkte Menge an Information transportiert und der Experimentator entscheidet zumindest zum Teil, in welcher Form diese begrenzte Informationsmenge erkannt und ausgewertet wird. Die abgetastete Information der geometrischen Strukturen reicht über Raum und Zeit hinaus. Die im Doppelspaltexperiment beobachteten räumlichen Interferenzerscheinungen waren unabhängig von der zeitlichen Verteilung der abtastenden Quanten. Die Beugungs- und Interferenz- Erscheinungen sind nicht mit einem einzelnen Photon oder Elektron zu erfassen, sondern, um den Informationsgehalt von Strukturen zu erkennen, bedarf es einer der Komplexität und Genauigkeit entsprechenden Anzahl von vielen registrierten Quanten. Es handelt sich um kollektive Information, die das Wellenbild beschreibt. Der Informationsgehalt ist von der Menge der Quanten abhängig, die, wie man bei der Abklingzeit und beim Doppelspaltexperiment sieht, einerseits gesetzmäßig aber zugleich „zufällig“ über Raum und Zeit verteilt erscheinen können. An die Welleneigenschaften der Photonen oder Elektronen sind Längen und Zeiten gekoppelt, die die mögliche räumliche und zeitliche Präzision von Messergebnissen charakterisieren. Über die Ausbreitungsgeschwindigkeit sind diese dann miteinander gekoppelt. Unabhängig davon existieren Abstände in Zeit und Raum zwischen den einzelnen Quanten. Mit unserer Vorstellung von Wellenpaketen ist verbunden, dass diese aus der Interferenz von raumzeitlich unendlich ausgedehnten periodischen Funktionen (mit charakteristischen Längen $\lambda$ und Dauern $T$) resultieren. Aus diesen, im Fourier-Raum mit in Raum und Zeit unbegrenzten Wellen, ist in unserem Vorstellungsvermögen eine Überlagerung von Wellen als Basis solcher Quanten denkbar, die beim Messen im Rahmen unserer Raumzeit zu verschiedenen (ablaufenden) Zeiten $t$ an verschiedenen Orten $r$ (Positionen) auftreten. Ein aus Energiegründen nicht zu erreichendes Extrem solcher Überlagerungen wäre die $\delta$-Funktion. In solch einem Rahmen kann man sich zunächst die Information angesiedelt denken.

Informationsvermittlung

Wenn wir annehmen, dass jedes Quant mit seinem Vorhandensein oder auch nicht in der Lage ist, erst einmal ein Bit Information zu vermitteln, dann ist der abzählbare Anteil (allerdings nicht die Qualität !) der damit repräsentierten Information proportional zur Anzahl von Quanten. Die Anzahl der Beziehungen der Quanten untereinander wächst dagegen wesentlich stärker und ist ein weiterer Aspekt der Information. Nach den Überlegungen aus Abschnitt „Wieviel Bit transportiert ein Quant ?“ folgt aus der Anzahl der Beziehungen die Möglichkeit, Information auf eine größere Anzahl von Kanälen zu verteilen und in jedem einzelnen Kanal tritt eine dazugehörende Unsicherheit auf, die der Physiker als Rauschen kennt. Das einzelne Quant kann ja nur ein Signal in einem der möglichen Kanäle liefern. Der Experimentator kann diesen Kanal auswählen, vermag er das nicht, dann wird es für das Verteilen der Quanten auf die Kanäle systembedingte Wahrscheinlichkeiten geben.

Eine interessante Situation des Problems weniger Quanten und begrenzter Information beschreibt Anton Zeilinger im Zusammenhang mit verschränkten Photonen und der durch die Kenntnis ihrer Gleich- oder Ungleichheit bereits voll ausgeschöpften Informationsmenge.

Die von Quanten übermittelte Information kann von einem Kanal in einen anderen transformiert werden, wie dies am optischen Beispiel in Abschnitt „Die Transformation von Information“ gezeigt wird, wo die Abbildung mit einer Linse zum Beispiel Abstandsinformationen gegen Richtungsinformationen tauschen kann. Oder die Information eines energiereichen Photons mit hoher raum- und zeitlicher Auflösung wird auf zahlreiche energiearme übertragen, wie das durch Mischen möglich ist, siehe Abschnitt „Erweiterung des Zeitbereichs über die Periodendauer hinaus“. Dies bedeutete in diesem Fall zunächst ein Übertragen der Information höherer Qualität eines einzelnen Quants auf zahlreiche Quanten, die einzeln Information geringerer Qualität repräsentieren. In der Summe bleibt die Qualität der raumzeitlichen Information erhalten, da die zahlreichen korrelierten Photonen in ihrer Kombination gestatten, die für die raumzeitliche Auflösung relevante Phase präziser zu definieren als dies mit wenigen Photonen gelingt. Dies zeigen auch Experimente mit kohärenter Laserstrahlung, die dank der Vielzahl beteiligter Photonen eine gegenüber der klassischen Grenze erhöhte räumliche Auflösung des Mikroskops ermöglichen.

Bei den bisherigen diskutierten Experimenten begegnete uns das Plancksche Wirkungsquantum $h$ als eine Information vermittelnde Größe, ohne dass zwingend folgte, dass dieses Quant bereits die Information komplett repräsentiert. Um Fragen zur Information als möglicher physikalischer Größe näher zu kommen, wurde im Abschnitt „Der elektromagnetische Impuls als Informationsträger“ von der Annahme ausgegangen, dass Information erhalten bleibt, solange ihre Repräsentation (in Form eines Impulses) durch Transformationen verlustlos hin und zurück gewandelt werden kann. Das Beispiel Impulsausbreitung auf einer elektrischen Leitung wurde gewählt, da die räumliche Dimension der Ausbreitung dann auf eine Dimension begrenzt wird und sie sich mit ihrer Richtung deutlich von anderen Eigenschaften räumlicher Koordinaten unterscheiden lässt. In dem Beispiel des Doppelspaltes (Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“) wird die Information über die Quelle von Quanten während des Ausbreitens der Träger dieser Information gegen Information über Eigenschaften des Weges mit Hindernissen eingetauscht, dies ist dann nicht reversibel und enthält zeitlich ein Vorher und ein Nachher.

Abtasten

Bild 71-21: Komplementäres Abtasten mit einer strukturierten Modulationsebene und einzelnen Quanten.

Das Bild 71-21 zeigt das Abtasten einer Struktur (Informationsinhalt: Raster und Zeichen) mit einzelnen Quanten. Bei diesem Vorgang sollen keine Quanten verloren gehen, sie werden in der Modulationsebene durch zwei mögliche Spiegelpositionen aufgeteilt und auf den Flächen Bild+ und Bild- registriert. Eine Gedankenstruktur, die auf das Vorhandensein oder nicht da sein von Quanten basiert, stößt alleine offensichtlich auf Probleme. Um das Symbol $E$ zu erkennen, bedarf es für das Bild+ deutlich weniger Quanten als für das negative Bild-. Aus Sicht der Information ist die Wertigkeit 0 oder 1 gleichwertig und damit sind beide Bilder mit der gleichen Informationsmenge zu wichten, obwohl die Anzahl und Energie der hellen Punkte, die die Quantenexistenz symbolisieren soll, sich stark unterscheidet. Bei diesem kurzen Gedankengang wird ja wohl unterschlagen, dass es sich beim Abtasten bereits um einen Mechanismus handelt, der sehr viel Information und entsprechende Energie einsetzt. Die Ebene der Modulation, in der die Quanten in zwei unterschiedliche Richtungen gelenkt werden, enthält eine Struktur aufgrund der Positionen der beim Abtasten einzeln beteiligten Bildpunkte. Die Anzahl der Ja‑Nein‑Entscheidungen ist also zum Erzeugen des Bild+ und Bild- gleich groß. Der Hintergrund der Ja-Nein-Entscheidungen für jedes einzelne Bild sind eigentlich Entweder-Oder-Entscheidungen für die Gesamtheit ! Die Position jedes einzelnen Bildpunktes steht in der Beziehung zu jedem anderen fest. Gleiches gilt auch für die an der Struktur beteiligten Bildpunkte, untereinander und im Bezug zum Rest. Hier kommt naheliegend wieder die Idee des Übertragungskanals ins Spiel, durch dessen Festlegen die Ja‑Nein Aussage konzentriert auf eine vom Experimentator vorgegebene Struktur erscheint. Der unterschiedliche Energiegehalt der beiden Abbildungen kommt also nur dadurch verwirrend zu Stande, dass wir bei der Diskussion einfach einen Teil des gesamten Prozesses ausblenden. Die Information ist aus den Differenzen dieser Bilder zu entnehmen. Allein eine lokale Beobachtung, dass kein Photon registriert wird, bedeutet doch nicht, dass dieser Bildpunkt wirklich dunkel ist. Es kann auch völlig unbestimmt sein, ob in mehr oder weniger kurzer Zeit nun das Photon zu registrieren sein wird, das den Zustand hell liefert. Der Zustand der Ungewissheit führte beim harmonischen Oszillator zur Nullpunktsenergie, dem Mittelwert zwischen vorhandenem und nicht vorhandenem Schwingungsquant. Diese Energiemenge wäre für die ganze untersuchte Fläche hier also halb so groß, wie die zum Abtasten erforderliche. Nehmen wir an, dass nun abtastende Photonen mit entsprechender Energiemenge dazukommen. Wenn also die halbe Menge der Bildpunkte Photonen erhält, kommt noch einmal diese Energiemenge hinzu. Bei einem Bild ohne die Möglichkeit der Differenz zum komplementären wäre also die Summe von Nullpunktsenergie plus mittlere Abtastenergie genauso groß wie sie für obiges Experiment angesetzt wurde. Dies zeigt, dass die Energie des Abtastens charakteristisch für die Information des kompletten Systems ist.

Die Basis des physikalischen Bits

Bild 71-31: Raumzeitlicher Bereich als Kanal für Information.

Ein einzelnes Quant kann entweder vorhanden sein oder nicht, wenn dazu ein im Raum und in der Zeit definiertes Volumen der Messung existiert. In der Vorgabe eines solchen raumzeitlichen Volumens, Bild 71-31, ist der Bezug dieser Information zum Rest der Welt vorgegeben. Dies entspricht den Kanälen (die der Experimentator zumindest teilweise festlegen kann), mit denen Information repräsentiert werden kann. Mit der Größe der hier gezeigten Fläche $X\cdot T$ werden Grenzen der Genauigkeit aufgezeigt, die eine Qualität von Information charakterisiert. Ein raumzeitlicher Bezug alleine reicht allerdings noch nicht, um die Information zu definieren.

Bild 71-32: Das Volumen der Informationseinheit, links das Plancksche Wirkungsquantum, rechts multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit.

Als mögliche Einheit der abzählbaren Komponente von Information ist uns bisher das Plancksche Wirkungsquantum $h$ begegnet. Um von Bild 71-31 zu ihm zu gelangen, bedarf es einer weiteren Koordinate, der Kraft $F$, Bild 71-32 links. Dann entspricht das im Bild 71‑32 links gezeigte Volumen einer Wirkung, deren kleinste Einheit die Planck-Konstante $h$ ist. Die Projektionen dieses Volumens auf die Ebene von Kraft und Raum liefert die Energie $E=F\cdot x$ und auf die Ebene aus Kraft und Zeit den Impuls $p=F\cdot t$. Die Produkte dieser Ebenen mit den dazu jeweils senkrechten Koordinaten liefern die bekannten Kombinationen in den Unschärferelationen, $h=\Delta E\cdot \Delta t=\Delta x\cdot \Delta p$. Dies bedeutet, dass die Energie die zeitliche Präzision und der Impuls die räumliche Präzision charakterisiert. Im elektromagnetischen Fall sind beide Größen über die Lichtgeschwindigkeit $c={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$, die die Richtung der Diagonale in der Raumzeitfläche definiert, gekoppelt, $p={\frac {E}{c}}$, so dass auch räumliche und zeitliche Qualität von Information direkt von beiden repräsentiert werden.

Diese Kraft F liefert nun Bezüge zu anderen physikalischen Objekten und Größen als Raum und Zeit. Im Bild mechanischer Größen muss die Masse bzw. die zeitliche Massenänderung ergänzt werden, wie man an der Einheit sieht [N] = [kg m / s²]. Im vierdimensionalen System der speziellen Relativitätstheorie wird man auch mit einer Informationskomponente, die eine Basis von vier Koordinaten hat, zufrieden sein. Im elektromagnetischen Fall liegt es nahe, die dritte Achse im Bild 71‑32 rechts direkt mit den beiden Einheiten für Spannung und Strom, also der Leistung $P$ [VA] = [W], zu ergänzen. Dann ist das Quant $h\cdot c$ des zentralen Volumens allerdings die Plancksche Konstante multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit.

Information und Gesetz

Bild 72-11: Eins, zwei oder drei Objekte und ihre Beziehungen untereinander.

Typisch für die Information in physikalischen Beschreibungen war, dass sie als Beziehung zwischen Objekten, zum Beispiel als Zeitabstand zwischen aufeinanderfolgenden Elektronen beim Stromfluss oder als räumlicher Abstand zwischen Photonen im Bild, auftrat. Mit nur einem Objekt gibt es noch keine Information. Es gibt kein größer, kleiner oder gleich, es gibt nur dasselbe. Die Information einer einzelnen Zahl hat noch keinen Sinn, Bild 72-11 links. Eine Information taucht erst ab zwei Objekten und mit deren Beziehung [a;b] zueinander auf. Wenn Objekte Eigenschaften haben, die man mit Zahlen (a, b…) charakterisieren kann, dann ist es möglich, Vergleiche anzustellen oder die Grundrechenarten als Beziehung einzusetzen, um die Mathematik ins Spiel zu bringen. Es gilt dann

$a+b=b+a$, [72-1]

$a-b=-(b-a)$, [72-2]

$a\cdot b=b\cdot a$, [72-3]

${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\frac {b}{a}}}$ [72-4]

In der physikalischen Welt könnten solche Beziehungen Abstände oder Kräfte zwischen Massen oder Ladungen sein. Seit Newton kennen wir actio gleich reactio. Die Kräfte sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

Wenn man ein drittes Objekt hinzufügt, Bild 72 - 11 rechts, zeigen sich nun zwei weitere Beziehungen. Die Anzahl der Beziehungen gleicht jetzt und nur in diesem Fall der der Anzahl der Komponenten a, b, c. Man kann jetzt die Beziehungen untereinander vergleichen:

$a>b$;

$b>c$;

→ $a>c$;

oder

$a=b$;

$b=c$;

→ $a=c$

und so weiter.

Bei Kenntnis von Summen und Produkten kann man aus ihnen dann die Ausgangsgrößen rekonstruieren. Bei den Differenzen und Quotienten funktioniert das nicht. Nimmt man als Beziehung die Summe und Differenz oder das Produkt und den Quotienten, so ergeben sich :

$(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)$; [72-6]

$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$ ! [72-7]

$(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)\cdot (c\cdot a)=a^{2}\cdot b^{2}\cdot c^{2}$; [72-8]

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}$ = 1 ! [72-9]

Damit existiert also, außer den Beziehungen selbst, bei Differenz und Quotient ein Gesetz für solche Beziehungen, was über das actio gleich reactio zwischen zwei Partnern hinausgeht und den Dritten mit einschließt. Solch ein Gesetz spiegelt bei der Differenz und beim Quotienten Regeln wider, die gelten, damit man beim Umlauf A-B-C-A… über die Beziehungen wieder am Ausgangspunkt endet. Damit ist es möglich, aus zwei Größen eine dritte zu folgern, also so etwas wie Ursache und Wirkung zu postulieren, ohne dabei eine zeitliche Reihenfolge zu bemühen.

Die Menge dieser Differenzen ist also informationsärmer als die Menge der daraus nicht mehr rekonstruierbaren Ausgangsgrößen, die Basis der betrachteten Informationsmenge ist. Damit gibt es folglich eine Restmenge an Information, die für das Bilden eines Gesetzes übrig bleibt. Gleiches gilt, wenn man im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ Wurfergebnisse zu Augensummen zusammenfasst. Allerdings gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen diesen Beziehungen, der Summe und dem Produkt einerseits sowie der Differenz und dem Quotienten andererseits. Summe und Produkt fassen mehrere Ausgangsgrößen in beliebiger Anzahl zusammen. Aus der Kenntnis der einzelnen Beziehungen kann man die Ausgangsgrößen rekonstruieren (identische Information). Differenz und Quotient dagegen liefern nur eine Beziehung zwischen zwei Ausgangsgrößen, entsprechen also der Dreieinigkeit des Abtasttheorems. Sie sind keine geeigneten Rechneroperationen, um größere Anzahlen als zwei Objekte zu kombinieren.

Bild 72-12: Vier Objekte und die möglichen Umläufe über sechs Beziehungen zurück zum Ausgangspunkt. Zu diesen Umläufen gehören immer Teile, die in Dreiergruppen zerlegt werden können.

Wenn man nun die Menge der Objekte vergrößert, so wächst die Anzahl der Beziehungen überproportional. Mit einem vierten Objekt in Bild 72-12 wächst die Anzahl der Beziehungen auf sechs. Wenn wir wieder die Differenz als Beziehung wählen, können wir erneut Umläufe konstruieren, die zur Ausgangspunkt zurück die Summe Null ergeben. Diese Umläufe können sowohl in verschiedener Reihenfolge alle vier Objekte betreffen oder auch nur eine Untergruppe von dreien. Diesen Gedanken können wir für eine beliebige Anzahl von Objekten fortsetzen. Ein Abstand als räumliche Differenz ist, wie wir hier sehen, mit einem dreidimensionalen Raum für beliebig viele Objekte umfassend definiert.

Die Bedeutung der Zahl Drei für die Existenz einer minimalen Information ist aus obigen Überlegungen wohl deutlich geworden. Interessant ist nun natürlich, in welcher Form kollektive übergreifende Information auftaucht und wie sich die Dynamik der zeitlichen Änderungen mit den vorherigen Gedanken kombinieren lässt.

Information und Messungen

Im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ fanden wir kollektive Information in der Struktur der fliegenden Vögel und als Augensumme beim Würfeln. Nehmen wir als Beispiel noch einmal drei Würfel und zur einfachen Darstellung mit nur drei möglichen Zahlen zur Auswahl, 1,2,3.

Bild 72-13: Zeitliche Entwicklung bei einem Würfel mit drei Seiten und drei aufeinanderfolgender Würfen.

Bild 72-13 zeigt ein Koordinatensystem mit drei Achsen für die drei Würfel. Die möglichen Wurfergebnisse finden wir in einem Volumen mit siebenundzwanzig Punkten mit dem dazugehörigen Informationsgehalt. Die Augensummen liefern die Flächen, an denen die zu ihr jeweils gehörenden Punkte zu finden sind. Ihre Größenverteilung entspricht dem Gesetz der Glockenkurve. Aus Sicht der Augensummen sind die jeweils beteiligten Punkte nicht zu unterscheiden, die Information über ihren jeweiligen Ort (die räumliche Position des Würfels und auch die entsprechende Koordinate im gezeigten System) und damit der individuelle Beitrag der einzelnen Würfel, fehlt dem Ergebnis. Anstelle dreier Würfel kann man nun auch nur einen verwenden, der dreimal nacheinander geworfen wird. Dies zeigt Bild 72-13 symbolisch ganz links. Auch rechts werden die einzelnen Würfe verfolgt, die erste drei liefert für die Zukunft nur noch die Möglichkeiten der gelben Fläche, achtzehn mögliche Punkte werden ausgeblendet, die nächste zwei beschränkt die Zukunft auf die senkrechte Linie, deren drei Punkte nun für den letzten Wurf zur Verfügung stehen. Die Wege durch den Ergebnisraum mit Vergangenheit und Gegenwart zeigen also eine gewisse Kontinuität für die Zukunft, die nur sehr begrenzt unbestimmt und zufällig ist. Die maximale Sprungweite von Wurf zu Wurf entspricht der Seitenzahl des Würfels. Bei vielen räumlich verteilten Würfeln ergibt sich eine ähnliche Situation, wenn man das Ergebnis nicht in Summe gleichzeitig betrachtet, sondern räumliche Bereiche zusammenfasst und durch das Wurfergebnis weiterer Würfel ergänzt. Der frei gewählte Weg wäre dann äquivalent zum oben zeitlich ausgesuchten Übertragungskanal.

Die Detektion und Existenz einzelner Quanten war in den vorher beschriebenen Experimenten elementar nötig, beim Messen des Stromes, der sich aus dem gezählten Ladungen pro Zeit ergibt, beim Doppelspaltexperiment, das die Interferenzfiguren erst mit vielen Quanten zeigt, für die Helligkeit eines Bildbereiches, die angibt, welche Menge an Photonen pro Zeit und Fläche detektiert werden oder beim Abklingen der Fluoreszenz, deren Zeitkonstante erst mit vielen registrierten Ereignissen zu ermitteln ist. Und stets war der Zufall beteiligt. Die gemessenen physikalischen Größen wurden allerdings in allen Fällen durch die Kombination von vielen beteiligten Quanten ermittelt und die Genauigkeit der Messung war durch die Anzahl der beteiligten Quanten geprägt. Der Zufall war erforderlich und wesentlich für die Charakterisierung der begrenzten Genauigkeit, die aus einer endlichen Menge der insgesamt vorhandenen Information resultierte.

Bei einem Elektronenstrahl mit konstantem Strom ist die Information über dessen Stärke durch den zeitlichen Abstand der Elektronen geprägt. Ohne äußere Maßstäbe wären diese Zeitintervalle innerhalb des Elektronenstrahls nicht zu unterscheiden. Bei unserer Messung eines Beobachters von außen verwenden wir Uhren auf Basis der Periodendauern harmonischer Oszillatoren oder wählen den Umweg über die Coulombkraft für eine räumliche Beziehung. Im Vergleich zeigen sich Schwankungen des zeitlichen Abstandes der Elektronen, denn die interne und externe Uhr sind nicht synchronisiert. Die Größe des Stromes kann um so besser und genauer bestimmt werden, über je größere Zahlen von passierenden Elektronen man mittelt. Da die zeitlichen Maßstäbe des Elektronenstrahls und des harmonischen Oszillators nicht miteinander korreliert sind, gibt es keinen Grund für Determinismus. Beginn und Ende des Messintervalls sind durch den Zufall oder unsere Auswahl geprägt. Da die Informationen über die Größe des Stroms in der Kombination von Beziehungen zwischen und mit der Existenz der einzelnen Elektronen enthalten ist und nicht etwa in einem einzelnen Quant zu Tage tritt, ist dies etwas, was raum- und zeitübergreifend dann bei integralen Messungen erfasst wird. Diese von der Anzahl der Quanten in ihrer Genauigkeit geprägte Information ist genauso wenig zufällig wie die oben erwähnte Struktur der Augensummen der Würfel und kann einen entsprechenden Anteil zu deterministischen Zusammenhängen beitragen.

Zufall - als Brücke zwischen klassischen und gequantelten Modellen - und der „Alte“ würfelt doch !

Aus Bild 72-13. folgt, dass eine Messung auf Basis des vergangenen Geschehens basiert. Bietet das Messergebnis dann die Möglichkeit, die Vergangenheit zu rekonstruieren ? Wenn diese Möglichkeit bestünde, dann hätte man die von Weizsäcker prognostizierte Liste der Vergangenheit realisiert. Unsere Würfelexperimente zeigen nun, dass dies nur in begrenztem Umfang der Fall ist. Das aktuelle Ergebnis der Gegenwart kann nur selten mit einem einmaligen ausgezeichneten Weg erreicht werden, zum Beispiel bei den Würfelkombinationen die in Bild 72-13 nur die 1 oder die 3 enthalten, die dann die extremen Augensummen 3 und 9 liefern. Im allgemeinen wird so ein Ergebnis, wie die Augensumme es ist, durch mehrere Würfelkombinationen erreichbar sein und die Wege dahin werden eine entsprechende Vielfalt an Möglichkeiten zeigen. Für eine komplette Liste der Vergangenheit braucht man als Ergebnis wirklich einen Vektor, dessen Komponenten alle Ereignisse der Vergangenheit repräsentieren. Solch ein Vektor ist aus dem Zustand der Gegenwart im allgemeinen nicht zu gewinnen. Der Blick zeitlich rückwärts wird normalerweise mit einer Unsicherheit verbunden sein, die mit der Größe des zeitlichen Abstandes wächst. Es zeigt sich hier also eine gewisse Symmetrie zwischen der Unsicherheit beim Konstruieren der Vergangenheit und der Wahrscheinlichkeit einer Prognose für die Zukunft.

Beim exponentiellen Entladen des Kondensators über den Klitzing-Widerstand zeigt sich, dass jede Elementarladung $e$ in einem Zeitabstand $\Delta t_{n}$ verloren geht, so dass das Produkt der Energieänderung $\Delta E_{Cn}$ mal dem Zeitabstand das Wirkungsquantum lieferte, $\Delta E_{Cn}\cdot \Delta t_{n}=h$ .

Bild 72-14: Exponentielles Abklingen der Anzahl beim Wurf von Würfeln. Der Würfel mit der Sechs scheidet jeweils für weitere Würfe aus.

Nehmen wir an, Sie hätten einhundert Münzen und Sie würden diese werfen, etwa die Hälfte davon zeigt Kopf die andere Hälfte Zahl. Alle mit Kopf entnehmen wir unserm Spiel und werfen die restlichen etwa fünfzig Münzen erneut. Auch nun entnehmen wir wieder eine Hälfte usw. und so fort. Unser Tun war das Würfeln mit dem Takt der Halbwertszeit, was zu dem bekannten exponentiellen Verlauf von Naturgesetzen bei der Kondensatorentladung und der Abklingzeit der Fluoreszenz passt. Nun ist dieses Würfeln im Rhythmus der Halbwertszeit sicher nicht sehr präzise und es bietet sich an, Würfel mit mehr Oberflächen zu verwenden als zwei, um eine feinere Struktur vergleichbar mit der Kondensatorentladung erkennen zu können. Mit einem Sechserwürfel erhalten wir das in Bild 72-14 gezeigte Ergebnis, natürlich ebenfalls eine e-Funktion, angedeutet einen Streubereich und mit der unterschiedlichen Farbtönung die Halbwertszeit. Solche Ergebnisse zeigen eine Kombination von äußeren Einflüssen und Zufall. Im Fall der Würfel sind die äußeren Einflüsse die vorgegebene Anzahl der Würfeloberflächen und die Taktrate. Im Fall der Kondensatorentladung sind die Vorgaben neben der Anfangsladung die Größe der Kapazität und die Impedanz, über die sie entladen wird. Der Zufall vermittelt also das Verteilen des Ergebnisses auf die ununterscheidbaren Komponenten in einer Weise, dass die potentiellen Möglichkeiten auf eine Realität mit ihren Gesetzen konzentriert werden. Jeder energietragende Teilkondensator und jedes Fluoreszenz-Zentrum (Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ / Abschnitt „Sanduhr, gedämpfter Oszillator und Kondensatorentladung“) würfelt solange, bis die für den Abbruch entscheidende Zahl getroffen wird und zum Ausscheiden aus der Menge, die weiter würfelt, führt. Man kann sich leicht vorstellen, dass in diesem Modell die Folgefrequenz des Würfelns durch die Impedanz des Entladewiderstandes oder die Umgebung des Fluoreszenzzentrums (Brechzahl) von außen beeinflusst wird. Die Exponentialfunktion basiert hier auf der Struktur des Systems : einer vorgeschriebenen Verfahrensweise in Kombination mit dem Zufall, dessen Zufälligkeit charakteristisch für das Kollektiv ist.

Der Zufall begegnet uns oft in der Physik in Kombination mit gequantelten Größen, zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall oder beim Abklingen der Fluoreszenz. Solche mikroskopisch angesiedelten Phänomene führten zu der Frage, ob und wie sich die klassische Beschreibung mit Ursache und Wirkung, die für die makroskopische Welt charakteristisch ist, mit einer mikroskopischen Basis und ihren Wahrscheinlichkeiten und Zufällen verträgt.

Im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ / Abschnitt „Spontane Emission des einzelnen Photons und Abklingzeit“ begegnete uns die Fluoreszenz als eine Folge von einzelnen Ereignissen in Form der detektierten Photonen, als Informations- und Energieabgabe von Leuchtzentren. Bei gleichzeitiger Anregung zur Zeit $t=0$ und Energieaufnahme solcher Zentren könnte man naiv ja auch erwarten, dass die Emission zeitlich definiert verzögert erfolgt, also nach einer für die einzelnen Zentren charakteristischen Zeitkonstanten T, die vielleicht durch eine Unschärferelation etwas aufgeweicht ist, wie es das Bild 72-15 mit der roten Kurve zeigt. Anstatt dessen sehen wir als Mittel über viele Emissionen die grün dargestellte e-Funktion; links gezeigt ist die emittierte Leistung, rechts sind es symbolisch die emittierten Photonen und die vorhandene restliche Energie.

Bild 72-15: Exponentielles Abklingen einer Fluoreszenz (grün) im Vergleich zu einer zeitlich verzögerten (rot) Emission.

Betrachten wir deswegen im Folgenden den Vergleich zwischen dem exponentiellen Entladen eines Kondensators und dem Abklingen der Fluoreszenz gleichzeitig angeregter Leuchtzentren.

Ein Vergleich des Entladens einer Gruppe einfach geladener Kondensatoren mit der Fluoreszenz räumlich verteilter Leuchtzentren zeigt, warum die Exponentialfunktion die geeignete Beschreibung liefert. Wenn bei den Leuchtzentren die Emission einfach zeitlich verzögert um $T$ erfolgte, wie es eben in Bild 72-15 rote Kurve zu sehen war, würden viele Photonen relativ gleichzeitig nach der Anregung wieder abgestrahlt werden. Aus Sicht der Information würde es bedeuten, dass relativ lange ein energiereicher Zustand des Ensembles besteht, in dem nichts passiert, in dem also Zeit keine rechte Bedeutung hat, und dann würden plötzlich viele Ereignisse, die im Bild rechts gezeigten Akte der Emission, in einem kurzen Zeitraum um den Zeitpunkt $T$ herum aufeinanderfolgen. Der dann viel zu kurze zeitliche Abstand dieser aufeinanderfolgenden Ereignisse und die große dabei abgegebene Energie würden Produkte $\Delta E\cdot \Delta t$ der Wirkung ergeben, die nicht im Einklang zu den obigen Überlegungen mit der Anzahl n und dem Wirkungsquantum als abzählbarer Informationsbasis sind. Die auf Wahrscheinlichkeiten beruhende Exponentialfunktion dagegen liefert eine zeitliche Folge von Entladungen oder emittierter Photonen, die mit der jeweils raumzeitlich vorhandenen Energie und ! Energieabgabe harmoniert. Der zeitliche Abstand der Photonen (die zunehmende Zeitunschärfe) wächst mit sinkender Gesamtenergie und geringer werdender Informationsmenge. Diese Exponentialfunktion repräsentiert also einen Teil der kollektiven Information, sie gehört nicht zu den individuellen Charakteristiken der Komponenten, sondern sie ist eine Gruppeneigenschaft.

Für dieses Verhalten ist keine direkte Kopplung zwischen den die Energie emittierenden Zentren erforderlich, wie es das Würfelbeispiel im Bild 72-14 zeigte. Es gibt dort allerdings die gemeinsamen Würfe genauso wie bei der Fluoreszenz die gemeinsame Anregung oder zumindest die Tatsache, dass der gleiche Startzeitpunkt der Beschreibung innewohnt. Es existiert allerdings auch ein frei wählbares Zusammenfassen zu einer Gruppe seitens des Beobachters. Dies ist das im vorherigen Kapitel „Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film“ schon öfter gezeigte Integrieren, das zur realen Basis der Definition vieler unserer physikalischen Größen gehört.

Eine schon öfter erwähnte kollektive Information war die Augensumme beim Würfeln.

Bild 72-16: Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augensumme beim Münzwurf.

Schon beim Münzwurf, also dem „Würfel“ mit nur zwei Möglichkeiten, Kopf oder Zahl, zeigt sich die Glockenkurve genauso ab der Anzahl von drei Würfeln wie bei jeder anderen Anzahl der Oberflächen, Bild 72-16. Die Anzahl der möglichen Augen des einzelnen Würfels enthält natürlich einen Bezug zur Information, denn sie gestattet ein entsprechendes Unterscheiden von Möglichkeiten und ein Verteilen von Wahrscheinlichkeiten.

Bild 72-17: Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Wurf mit drei sechsseitigen Würfeln (rot), fünf vierseitigen Würfeln (grün) oder zehn Münzen (blau).

Das Bild 72-17 zeigt nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme für verschiedene Kombinationen von Würfelanzahl $WZ$ und Oberflächenanzahl $S$. Zum besseren Vergleich startet die Numerierung der Würfeloberfläche jeweils mit der Null und dann ergeben sich für fünf Würfel mit vier Seiten (0 bis 3) Augensummen im Bereich von 0 bis 15 genauso wie bei drei Würfeln mit sechs Seiten (0 bis 5). Der Unterschied ist: mit den fünf Würfeln gibt es $4^{5}=1024{\text{ Punkte}}$ im Universum der Ergebnisse, mit den drei Würfeln nur $6^{3}=216{\text{ Punkte}}$. Beim Münzwurf mit zehn Münzen erreicht man ebenfalls einen Raum mit $2^{10}=1024{\text{ Punkten}}$, die maximale Augensumme ist allerdings nur zehn. Entsprechend unterscheiden sich die Verteilungen, deren Form mit der Informationsmenge und der daraus folgenden Genauigkeit von „Messungen“ korreliert ist. Wenn man die Münzkurve entsprechend normiert, werden die blaue und grüne Glockenkurven daher identisch, rechts unten. Diese Würfelexperimente zeigen nun eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die uns vorher schon beim Schrotrauschen begegnete. Dies sei Anlass, nach Vergleichen zu suchen, die hier bei den Würfeln und vorher bei physikalischen Experimenten im Zusammenhang mit Information zu finden sind.

Wenn die natürlichen Zahlen den Würfeloberflächen zugeordnet werden, sind diese Flächen nicht mehr gleichwertig. Es gibt dann Beziehungen zwischen diesen einzelnen Zahlen, jede Oberfläche zu jeder einzelnen anderen, so das die Differenzen dieser Zahlen zwar in ihrer Menge identisch sind, aber nicht in ihrem Wertespektrum (und zum Beispiel der daraus folgenden Größe von Differenzen). Beim klassischen Würfel sind die Ober- und Unterseite miteinander verschränkt, ihre Summe ist sieben, was beim Würfeln auf dem Glastisch in Erscheinung tritt.

Diese „Würfelexperimente“ zeigen uns, wo die Grenzen von Gottes würfeln liegen. Jeder Wurf liefert eine Information, deren Qualität von der Menge der Würfel und ihrer Seitenzahl abhängt. Außerdem existiert eine zeitliche Informationsdichte, die von der Folgefrequenz der Würfe geprägt ist. Innerhalb dieser Informationsfolge können wir Strukturen ausmachen, die dadurch beeinflusst sind, wie wir Ergebnisse zusammenfassen und mathematische Ideen übertragen. Andererseits können übergeordnete Gesetze existieren, die mögliche Kombinationen als Ergebnis des Wurfes ausschließen oder die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens vom Zufall abweichen lassen. Das angewandte mathematische System liefert in Kombination mit den jeweils benutzten Koordinaten und Transformationen von Information beobachtbare Ergebnisse. Ob Gott nun alle Zufallsergebnisse zulässt oder hier mit Gesetzen eine weitere Beschränkung vorgesehen hat, wird schwer zu überprüfen sein, solange wir nicht geklärt haben, welchen Einfluss unserer Auswahl schon hat.

• Es ist aber wohl nicht zu verleugnen, dass zumindest diese mit den Zahlen aufgeprägte Struktur Basis des diskutierten „Ergebnisuniversums“ ist und nicht nur der Zufall regiert. Jedenfalls wird an dieser Stelle wohl deutlich, dass wir mit unserer Art, die Welt zu beschreiben, auch wesentlich darauf Einfluss nehmen, ob und in welcher Form die dann erkannten Zusammenhänge und Ergebnisse zum Vorschein kommen.

Die obigen Überlegungen liefern auch einen Beitrag zur Frage, wie aus einer mikroskopischen Welt, die wesentlich durch den Zufall geprägt wird, ein makroskopisches Universum folgen kann, das im wesentlichen deterministisch erscheint. Unsere mikroskopische Ausgangsbasis mit Würfeln zeigt zunächst eine lokal (raumzeitlich) begrenzte Informationsmenge aufgrund der Möglichkeiten eines Wurfes, zwei bei der Münze und sechs beim Standardwürfel. Mit vielen Würfeln kann man ein Universum bilden, in dem das Geschehen nebenläufig im Sinne Petris ist. Zwischen den einzelnen Würfeln im Mikrokosmos kann man nun das gesamte Universum mit Beziehungen erfüllen. Eine Möglichkeit ist das fortlaufende Numerieren der Würfeloberflächen mit natürlichen Zahlen, 1 und 2 bei der Münze, 1 bis 6 beim Standardwürfel. Damit wird eine Struktur aufgeprägt, die es ermöglicht, die Beziehungen der Wurfergebnisse nach den Gesetzen der Mathematik zu erfassen, wie oben beschrieben. Mit diesen Gesetzen kann nun die Menge der Information der einzelnen Objekte zusammengefasst werden, zum Beispiel durch Augensummen oder Differenzen. Die Anzahl der Beziehungen, die wesentlich größer ist als die Anzahl der Objekte und damit der durch diese repräsentierten Informationsmenge, enthält eine Vielzahl von Möglichkeiten, durch unterschiedliches, Gesetzen folgenden Zusammenfassen die vorhandene Information in die Sicht des Experimentators zu transformieren.

Bei den Augensummen verteilen sich die Wurfergebnisse ungleichmäßig auf die möglichen Werte, was durch die Normalverteilung repräsentiert wird. Die große Anzahl an Beziehungen, die die Differenzen einzelner Würfelpaare enthält, wird vom Ergebnis ferngehalten und damit auch eine große Menge an Zufall, die diese Beziehungen enthalten. So zeigen sich nun Strukturen jenseits des Zufalls auf Basis der mathematischen Beschreibungsweise. Dazu gehört dann in begrenztem Umfang die Möglichkeit, bei entsprechend großer Anzahl der Würfe, die Anzahl der Würfel und die Anzahl von deren Oberflächen abzuschätzen. Auch Änderungen dieser Größen im Laufe von zeitlichen Entwicklungen lassen sich auf diese Art erfassen.

Wenn wir also in der Thermodynamik ein Gas betrachten, so besteht dies aus einzelnen Atomen und Molekülen, die sich unabhängig voneinander zufällig bewegen und nur bei Stößen wechselwirken. In diesem chaotischen System zeigen die individuell gemessenen Eigenschaften der Atome oder Moleküle, Positionen und Impulse, gesetzmäßig nicht zu verfolgendes Verhalten. Verzichtet man jedoch auf die Kenntnis der individuellen Eigenschaften der Partikel, so kann eine globale, integral zu erfassende Größe wie der Druck dann den bekannten Gesetzen folgen.

Gibt es einen Zusammenhang zwischen Gravitation und Information ?

Im vorliegenden Beitrag wird die Hypothese vertreten, dass Energie und Wirkungsquanten in Kombination Information repräsentieren. Die Energie ist dabei für die Qualität der Information in Form einer Beziehung zwischen zwei Objekten verantwortlich. Eine solche Vorstellung ist bei Kräften und Abständen zwischen zwei Ladungen in der potentiellen Energie zu finden oder als kinetische Energie im Zusammenhang mit zeitlichen Positionsänderung. Welchem Zusammenhang liefert die Energie $E=M\cdot c^{2}$ ? Im Folgenden sei die Hypothese angenommen, dass dies die Beziehung einer Masse $M$ zu den Restmassen des Universums repräsentiert.

Man kann sich im Eindimensionalen einen räumlichen Abstand bereits zwischen zwei Objekten existent vorstellen, mit allen Problemen, die bereits an anderer Stelle diskutiert wurden. Dieser Abstand charakterisiert dann die Qualität der Information „räumlicher Abstand“ aber keine Position im universellen Raum. Bei Schwingungen und Wellen, nicht nur beim Wasserstoffatom im Abschnitt „Information und Struktur der Elektronenhülle“, lässt sich damit sofort auch die Energie mit einer Länge verbinden. Photonen und Schwingungsquanten werden wie folgt raumzeitlich mit der Periodendauer $T$ und der Wellenlänge $\lambda$ charakterisiert.

$E=h\cdot f=h/T=h\cdot c/\lambda =P\cdot c$ [Ws] [73-1]

Bild 73-1: Zwei Objekte und die Energie E12 ihrer Beziehung.

Wenn wir Information in der Beziehung des Abstandes $\lambda _{12}$ zwischen zwei Objekten, A1 und A2, finden, so korreliert die Präzision dieser Beziehungen mit der Energie, Bild 73-1.

$E12=h\cdot c/\lambda _{12}$. [73-2]

Dies ist eine Energie, die mit größerem Abstand der Objekte kleiner wird.

Diese räumliche Abhängigkeit ist die gleiche wie zum Trennen der Massen beim Gravitationsgesetz ($r\sim \lambda$).

$E_{G}=\Gamma \cdot M1\cdot M2/r$ [73-3]

Wenn wir diese Energie als Qualität der Beziehung und Information zwischen den beiden Massen ansehen, lässt sich mit der Kombination beider Gleichungen eine charakteristische Masse $M_{P}=M1=M2$ ableiten, für die die Abstandsabhängigkeit der Energie identisch mit der Längenabhängigkeit des Schwingungsquants angesetzt wird ($r=\lambda$). Dies ist kein Quant der Masse sondern ein Maßstab für die Größe und den Vergleich von Massen.

$E_{GP}=\Gamma \cdot M_{P}^{2}/r=h\cdot c/\lambda$ [73-4]

$M_{P}={\sqrt {(h\cdot c/\Gamma )}}$ [73-5]

Aus den Naturkonstanten

• Gravitationskonstante $\Gamma =6,673810^{-11}$ [m³/(kg s²)]
• Planck-Konstante $h=6,626110^{-34}$ [Ws²] = [Js]
• Lichtgeschwindigkeit $c=2,997910^{8}$ [m/s]

folgt $M_{P}=5,455710^{-8}$ [kg].

Diese Größe ist als Planck-Masse bekannt. (Anlehnend an die ursprüngliche Formulierung von Max Planck wird hier auf den heutzutage meist zusätzlich verwendeten Faktor $2\pi$ verzichtet.)

Das System $A1$, $A2$ und $E12$ lässt sich so interpretieren, dass bei einem kleineren Abstand von $A1$ und $A2$ eine größere räumliche Präzision besteht. Damit besteht ein Maßstab $(A1;A2)\cdot (1\pm 1/2)$ gekoppelt mit einer Größe Energie $E12$. Eine solche Konstellation wurde bereits beim Wasserstoffatom diskutiert. Beim Annähern von $A1$ an $A2$ wird diese Energie $E12$ zum Beispiel als kinetische Energie in Erscheinung treten, wie wir es auch bei der Kometenbewegung gut beobachten können oder beim Einfang des Elektrons beim Wasserstoffatom, wo diese Energie schließlich als Photon abgestrahlt wird. Beim Abtasten des Systems ist diese Energie aufzubringen, um das Elektron aus der Nähe des Protons wieder zu entfernen. Diese Energie muss man aufwenden, um an die dem System inne wohnende Information von außen heranzugelangen. Man muss also Energie aufwenden, um potentielle Kenntnis zu vernichten und die mit dieser Information realisierte Erkenntnis nach außen umzuleiten. Ein in Bezug auf die Kraft entsprechendes räumliches Verhalten kennen wir bei der Anziehung zwischen zwei Massen, der Gravitation, genauso wie bei Ladungen.

Wenn man nun eine weitere Masse oder ein Objekt hinzufügt, dann gibt es zusätzliche Beziehungen und Energieanteile. Nach diesem Schema lässt sich das System beliebig erweitern, wobei die Anzahl der Beziehungen deutlich gegenüber der Anzahl der Objekte zunimmt, Bild 73-2. Objekte sind Vielfache der Planck-Masse, Beziehungen sind Abstände der Energie $E_{mn}=h\cdot c/\lambda _{mn}$ pro Planck-Masse.

• Bild 73-2
• 
  Beziehungen zwischen drei Objekten und dazugehörige Energien $E_{mn}$.
• 
  Beziehungen zwischen fünf Objekten und dazugehörige Energien $E_{mn}$.

Geht man zunächst von der Planck-Masse $M_{P}$ als Ausgangsgröße aus, so kann man die beteiligten Massen dann aus solchen Grundbausteinen zusammengesetzt denken. Oben wurde bereits diskutiert, dass man mit drei räumlichen Dimensionen auskommt, wenn es gilt, die Kombination verschiedener Objekte auf Basis von Abständen zu charakterisieren. Der abzählbare Anteil von Information war zunächst mit der abzählbaren Menge der Objekte verbunden. Die Anzahl der Beziehungen wächst allerdings wesentlich stärker als die Anzahl der Objekte und wenn man diesen Beziehungen nun Energien zuordnet, so kann man die gesamte Energie des Systems wie folgt betrachten. Das System aus Raum und Zeit wird hier ja nicht als vorgegeben existent betrachtet. Es ergibt sich aus dem Vergleich räumlicher und zeitlicher Abstände, den Beziehungen der einzelnen Objektpaare. Damit hängt die erreichbare Genauigkeit von der Anzahl der Objekte im betrachteten System ab. Mehr Genauigkeit bedeutet eine zusätzliche Energie abhängig von der Menge der Objekte und ihrer Beziehungen. Zu bedenken ist weiter, dass wir auch kleinere Massen als die Planck-Masse kennen. Diese begegnen uns allerdings im Allgemeinen in Kombination mit stärkeren Wechselwirkungen als der Gravitation, zum Beispiel bei den Ladungen in einem Atom.

Das Wegnehmen eines Objektes erfordert einen Energieeinsatz, der um so größer ist, je mehr Objekte und dazugehörige Beziehungen betroffen sind. Die entsprechenden Energien des Verbundes werden dann entfernt. Wie groß ist die Energie, um eine Planck-Masse aus dem Universum zu entfernen oder sie hinzuzufügen ? Zur Klärung dieser Frage muss man die Summe der Energien über alle Beziehungen zwischen den Massen des Universums bilden, Massen, die räumlich verteilt sind und mit folgenden Größen abgeschätzt wurden. (Die Dichte des Universums und seine Masse führen zu einem hypothetischen Würfel mit der Kantenlänge $a$. Sie ist etwa doppelt so lang wie die Strecke $L_{0}$, die das Licht seit dem Urknall zurückgelegt hat, Daten Wikipedia.)

• Alter des Weltalls: $T_{0}=4,3610^{17}{\text{ s}}$
• Kleinste Frequenz: $f_{0}=1/T_{0}2,2910^{-18}{\text{ Hz}}$
• Größte Länge: $L_{0}=c\cdot T_{0}1,3110^{26}{\text{ m}}$
• Masse des Universums: $M_{U}=1,010^{53}{\text{ kg}}$
• Dichte des Universums: $\rho _{U}=4,710^{-30}{\text{ g/cm³}}$
• Volumen Universum: $a^{3}=M_{U}/\rho _{U}2,1310^{79}{\text{ m³}}$
• Ausdehnung Universum: $a=2,7710^{26}{\text{ m}}$

Unter Annahme einer konstanten Dichte ergibt sich, dass man der Einfachheit halber das Universum in drei Dimensionen als aus einer Folge von Kugelschalen aufgebaut vorstellen kann. Der energetische gravitative Anteil zweier Massen sinkt proportional zum Abstand. Andererseits wachsen die Oberflächen der Kugelschalen und damit ihr Massenanteil proportional zum Quadrat des Radius. Daraus folgt dann in der Kombination ein lineares Anwachsen der Energieanteile mit dem Abstand dank der dort vorhandenen Materie. Man kann bei einer Abschätzung die weit entfernten Massen also nicht vernachlässigen, im Gegenteil, sie tragen einen wesentlichen, in ihrer Summe mit dem Abstand wachsenden Anteil der Beziehungen bei. Vergleichen wir nun die Energie der Planck-Masse

$E_{MP}=M_{P}\cdot c^{2}=(h\cdot c/\Gamma )^{1/2}\cdot c^{2}=4,9\cdot 10^{9}\,{\text{Nm}}$, [73-8]

mit der aus den Gravitationsbeziehungen abgeleiteten Energie $E_{UP}$. Die Information über den Abstand $r_{pi}$ dieser Masse $M_{P}$ zu den jeweils restlichen Massen $M_{i}$ des Universums steckt in der Summe der Energien $E_{MiP}=\Gamma \cdot M_{P}\cdot M_{i}/r_{ip}=h\cdot c/\lambda _{ip}$. Für den mittleren Abstand $r_{U}$ der Massen des Universums wurde die Hälfte der größten Länge, $c\cdot T_{0}=L_{0}$, angesetzt.

$E_{UP}=M_{P}\cdot \Gamma \cdot M_{U}/r_{U}=5,6\cdot 10^{9}\,{\text{Nm}}$ [73-9]

Im Rahmen der Ungenauigkeit der für die Abschätzung zur Verfügung stehenden Größen und weiterhin im Rahmen des Modells der vorgetragenen Hypothese sind diese beiden Energien gleich.

$E_{MP}=M_{P}\cdot c^{2}=E_{UP}=M_{P}\cdot \Gamma \cdot M_{U}/r_{U}$, [73-10]

Dies legt den Gedanken nahe, dass die Energie einer Masse auf der Information über ihre räumlichen Beziehungen zu den Restmassen des Universums beruht. Die Planck-Masse kürzt sich beim Vergleich heraus. Die Gravitation wäre dann auf die Energie der Information der räumlichen Beziehungen von im Universum vorhandenen Massen zurückzuführen und für die Gravitationskonstante ($\Gamma =h\cdot c/{M_{P}}^{2}$) ergibt sich folgerichtig:

$\Gamma =c^{2}\cdot r_{U}/M_{U}$ [73-11]

Diese Idee ist sowohl mit den oben benutzten Abschätzungen des Universums als auch mit der Tatsache gut zu vereinen, dass es, anders als bei der elektrischen Ladung, keine negativen abstoßenden Massen gibt. Die Gravitationskonstante $\Gamma$ würde dann von der Masse $M_{U}$ des Universums und ihrer Verteilung im Universum abhängen. Diese Masse wiederum wäre einer Energie $E_{MU}=M_{U}\cdot c^{2}$ äquivalent.

$\Gamma =c^{4}\cdot r_{U}/E_{MU}$ [73-12]

Die Hypothese, dass die Gravitationskonstante $\Gamma$ dadurch zu Stande kommt, dass die Massen des Universums räumlich verteilt sind mit Abständen, zu denen eine Informationsenergie gehört, ist oben mit der Annahme abgeschätzt worden, dass die Massen im Universum homogen verteilt sind. In der Realität sind diese Massen allerdings nicht homogen verteilt und eine genauere mathematische Analyse dieser Idee sollte zeigen, in welcher Form inhomogen verteilte Massen in der Nähe des Messortes zu lokalen Abweichungen von einem universellen, konstanten $\Gamma$-Wert führen. Da die weit entfernten Massen aufgrund ihrer großen Anzahl den wesentlichen Beitrag zum $\Gamma$-Wert liefern, wird es keine dramatischen Abweichungen von einem Mittelwert für ein Universum homogener Dichte geben. In der Nähe von einer Galaxie, die dann zunächst von Leere umgeben ist, sind allerdings viele Abstandsbeziehungen zur Testmasse mit kurzer Länge zu erwarten. Damit verbunden wären lokal eine überdurchschnittlich hohe Informationsenergie und ein entsprechend veränderter $\Gamma$-Wert. Die Folge davon wäre, dass das Zentrum und der Rand einer „Galaxie“ etwas unterschiedliche Schwerkraft spüren. Vielleicht gestattet diese Idee dann, dank eines lokal variablen $\Gamma$ auf dunkle Materie zu verzichten.

So zeigt Bild 73-3 für drei unterschiedliche Positionen A, B und C innerhalb einer Objektgruppe, das weiter außen liegende Objekte zu einem höheren Gammawert führen würden.

Bild 73-3: Die Summe der Entfernungen zu Nachbarn der Massen A, B und C sind unterschiedlich.

Für die drei unterschiedlichen Positionen A, B und C ergeben sich aufgrund der differierenden Abstände folgende sieben Beziehungen ($1/r$):

• A: $4\cdot 1/1+1\cdot 1/2+2\cdot 1/(2)^{1/2}=5,9$
• B: $2\cdot 1/1+1\cdot 1/2+2\cdot 1/(2)^{1/2}+2\cdot 1/(5)^{1/2}=4,8$
• C: $1\cdot 1/1+1\cdot 1/2+1\cdot 1/3+2\cdot 1/(2)^{1/2}+2\cdot 1/(5)^{1/2}=4,1$

Wenn man annimmt, dass das Universum sich seit dem Urknall ausdehnt, würde dies bedeuten, dass die Abstände zwischen den Massen mit zunehmender Zeit auch immer größer werden. Nach obiger Überlegung wäre die Konsequenz, dass die in den Abständen ausgezeichnete Energie abnimmt. Die Annahme einer Konstanz der Gesamtenergie würde dann ermöglichen, aus der hierbei freiwerdenden Energie andere Formen, zum Beispiel Massen zu bilden. Auch ein zeitabhängiger Gravitationsfaktor wäre denkbar.

Die Massen A, B, C befinden sich in einer Ebene und sind bei den folgenden Gedanken als gleich angenommen. Was passiert, wenn man nun oberhalb von A1 eine Masse D1 im selben Abstand wie B1, B3 und C1 installiert, Bild 73-4 ? Zu dieser neuen Masse gibt es neue Abstandsbeziehungen. Der Schwerpunkt der Anordnung wird verschoben, A1 und A2 sind nicht mehr gleichwertig. Wenn man die Summe der Abstandsenergien für die einzelnen Massen berechnet, ergeben sich der größte Wert für A1 und der kleinste für C2. Aus Symmetriegründen ist jetzt die Energie von A2 kleiner als die von A1, es zeigen sich die gleichen Energien für B1, B3 und B2, B4. Interessant ist nun, dass D1 energetisch noch etwas darunter liegt. Dies bedeutet eine Informations- und Energiezunahme, wenn D1 sich in die Ebene einordnen würde. Wir kennen die dem entsprechenden anziehenden Kräfte zwischen Massen, die Gravitation.

Bild 73-4: Masse D1 außerhalb der Ebene der Galaxie im Abstand A1-A2.

Wenn die Annahme der Energie von Abstandsinformation zutrifft, liegt es nahe, auch nach einer Energie für zeitliche Abstände zu suchen. Für den oben diskutierten Strom wäre diese Energie bezogen auf die Folge der Elektronen im mittleren Zeitabstand $T_{E}$ offensichtlich magnetisch.

$E_{T}=h/T_{E}=2\Phi _{0}\cdot e/T_{E}=2\Phi _{0}\cdot I$ [73-13]

Aber auch bei den Massen sollte es neben der statischen Information von Abständen, der Gravitation, auch eine dynamische Information der Abstandsänderungen geben. Für die träge Masse galten Bezüge, die zu kinetischer Energie führen.

$\Delta E=F\cdot \Delta X=M\cdot dv/dt\cdot \Delta X=M\cdot dv\cdot \Delta X/dt$ [73-14]

Da es kein ausgezeichnetes Bezugssystem gibt, sollte man einmal die Geschwindigkeitsdifferenzen von Massen, hier mit einer der oben benutzten Maßeinheit Planck-Masse entsprechenden, als Energie der Information der Geschwindigkeitsdifferenzen ansetzen. Eine solche Energie der Bewegungsinformation zweier Massen ($m\cdot M'_{P}$, $n\cdot M'_{P}$) wäre dann

$E_{mn}=(m\cdot n\cdot M'_{P})\cdot (v_{m}-v_{n})^{2}$ [73-15]

und über solche Informationsenergie der Bewegung wäre dann für alle Massen des ganzen Universums zu summieren. Der verwendete Maßstab als Planck-Masse ist nicht zwingend. Im beim Wasserstoffatom betrachteten elektromagnetischen Fall wurde die Feinstrukturkonstante $\alpha$ ergänzt, es gab die beiden Quanten: Ladung $e$ und Flussquant $\Phi _{0}$. Die Kombination mit einem Maßstab der Planck-Ladung war in diesem Fall ${Q_{P}}^{2}\cdot \alpha =e^{2}$.

Leider fehlt mir die Möglichkeit, die Energie der Information über zeitliche Abstandsänderung abzuschätzen. So bleibt der Wahrheitsgehalt dieser Idee zunächst im Dunklen.

Beim Bilden des Wasserstoffatoms wurde ein Photon freigesetzt, dessen Energie mit der Information der Anordnung von Elektron und Kern korreliert war und dessen Massenäquivalent dem Wasserstoffatom gegenüber den Ausgangsquanten fehlt. Um diese Information zu gewinnen, musste diese Rydberg-Energie wieder eingesetzt werden. Um Information über die Struktur von Protonen und Neutronen zu erhalten, wird in Beschleunigern viel Energie aufgewandt. Wurde diese Energie der aus den Experimenten gefolgerten Bausteine beim Bilden der Protonen und Neutronen auch abgegeben und wenn ja, in welcher Form ?

Die „abzählbare Physik“

Während die klassische Physik an ein Kontinuum glaubt, nulldimensionale Punkte in ihre Gedanken einbezieht, sowie einen absoluten Raum und die dazugehörige Zeit zur Basis Ihrer Koordinaten macht, beschränkt sich die abzählbare Physik auf eine Beschreibung, deren Umfang an erfassbaren Eigenschaften der Welt von der vorhandenen Informationsmenge abhängt, die als beschränkt angenommen wird. Die Eigenschaften der Realität und die möglichen Aussagen über sie sind begrenzt und können nur über Beobachtungen gemacht werden, deren Art und Präzision von der im untersuchten Bereich vorhandenen Information bestimmt ist. Die Information ist in den Kombinationen und Beziehungen zwischen Objekten oder Ereignissen enthalten, diese Beziehungen sind in der Anzahl wesentlich größer als die Zahl der Objekte und Ereignisse selbst. Das Koordinatensystem Raum und Zeit hilft zum Beschreiben von Komponenten des Informationsgehalts in Form zusammengefasster raumzeitlicher Beziehungen des Universums. Diese Vorstellung ist dann auch mit den Ideen von Ilya Prigogine in Einklang, der die Zeit als eine Beziehung zwischen Ereignissen darstellt. Im Abschnitt „Wieviel Bit transportiert ein Quant ?“ wurde ein physikalisches Experiment in Form eines Übertragungskanals zwischen Sender und Empfänger beschrieben, den wir wählen. In diesem Sinne sind auch Raum und Zeit solche Kanäle, mit denen wir die Natur systematisch gliedern und zu erfassen versuchen.

Das Universum enthält also Objekte und für den begrenzten Teil, den wir physikalisch betrachten, existiert deren Anzahl, wenn auch nicht als Erhaltungsgröße. Die Objekte zeigen untereinander Beziehungen. Gleichartige Beziehungen eines Objekts zu anderen können zusammengefasst werden und liefern in klassischer Beschreibung gegebenenfalls Felder oder Grundlagen für Gesetze.

Zum Beschreiben physikalischer Probleme benutzen wir normalerweise sechs Koordinaten. In der Mechanik sind dies drei für die Position (Ort) und weitere drei für die Bewegung (Impuls). Die Genauigkeit der Kombinationen von Ort und Impuls sind durch die Unschärferelation begrenzt, praktisch gibt es auch in der geläufigen Beschreibung definierte Grenzen physikalischer Realität. Beim Elektromagnetismus sind diese Koordinaten drei für das elektrische Feld (zum Beispiel verursacht durch die Position von Ladungen) und drei für das Magnetfeld (zum Beispiel charakterisiert durch die Bewegung von Ladungen). Wir interessieren uns also jeweils für Zustände und ihre Änderungen in Raum und Zeit. Wenn Informationen das damit verknüpfte Wissen vermitteln, dann werden diese vermutlich auch sechs Komponenten umfassen.

Was ist typisch für die „abzählbare Physik“ ?

An dieser Stelle soll nun zusammengefasst werden, worin sich die Vorstellung der „abzählbaren Physik“ von den bisher üblichen Sichtweisen unterscheidet. So wird beim Betrachten des elektromagnetischen Quaders im letzten Kapitel zunächst die Darstellung als ein Zusammenfassen bisher bekannter Gesetze unter einem vielleicht didaktisch glücklichen Blickwinkel erscheinen. Allgemein nicht bekannt war wohl ohne diese Darstellung die Aussage, dass das elektromagnetische physikalische System mit vier Naturkonstanten und ihren Maßen erfasst ist und mindestens zwei davon als fundamentale Quanten auftreten. Die auf diesem System aufbauende Beschreibung enthält durchaus analoge Größen, aber jeweils mit einer eingeschränkten Präzision.

Damit unvereinbar ist zunächst der Glaube an ein Kontinuum. Anstatt der „kontinuierlich analogen“ Differentialrechnung tauchen endlich große Differenzen auf. Bei einem Messergebnis kann zwar ein beliebiger irrationaler Wert auftauchen, aber jeder solche Wert ist mit einer aus Menge und Qualität der Information folgenden Ungenauigkeit verknüpft, die die Grenzen liefert, mit der dieser Wert in der Natur oder zumindest innerhalb des betrachteten Systems definiert ist. Unterscheidbare Größen treten damit in Stufen auf, allerdings sind diese Stufen dann nicht notwendig von konstantem Abstand, wie man es in der Digitaltechnik oder beim Abzählen gleichartiger Quanten gewohnt ist, sondern es treten naturgesetzlich sinnvolle Schwankungen auf, die die vorhandene Ungenauigkeit repräsentieren. Mit jeder Messung sammelt man Information. Diese Information ist im Umfang begrenzt und endlich und kann sinnvollerweise nicht größer sein, als der Informationsgehalt des betrachteten Systems. Im Normalfall wird sogar nur ein Teil der gesamten Information einen Beitrag zum Messergebnis liefern und der Rest der Information dann andersartigen Größen zugeordnet sein.

Die Information steckt in der Kombination von Beziehungen und Objekten oder Ereignissen. Diese Größen können gegebenenfalls gequantelt sein. Bei einer Messung liefern diese Objekte Signale, die dem Experimentator und Beobachter Information vermitteln. Da es wesentlich mehr Beziehungen zwischen den Objekten als Objekte selbst gibt, sind diese Beziehungen zahlreicher als die Menge der Information, die allein durch die Anzahl der Objekte charakterisiert ist. Der Experimentator wählt Beziehungen aus und legt damit Übertragungskanäle für die untersuchten Signale fest (Abschnitt „Wieviel Bit transportiert ein Quant ?“). Damit steht die von den Signalen repräsentierte und zahlenmäßig begrenzte Information nun anderen Kanälen im Rahmen dieser Messung gegebenenfalls nicht mehr zur Verfügung, mit den bekannten experimentell beobachteten Einschränkungen der Erkenntnis (zum Beispiel Unschärferelationen und Rauschen) als Folge. Die Auswahl eines Kanals bedingt beispielsweise die alternative Vorstellung: Welle oder Teilchen.

Die Beziehungen eines Objekts zu den vielen anderen des Universums kann man anstatt paarweise zusammengefasst global durch Koordinatensysteme darstellen. Die physikalischen Größen Raum und Zeit sind erst durch solche Beziehungen existent. Sie können Abstände räumlich zwischen Objekten (relative Positionen) oder zeitliche Folgen von Ereignissen beschreiben.

Ergänzend besteht die zweite Darstellung der Teile des Universums, bei der mit Zeit und Raum charakteristische Dauern und Längen beschrieben werden. Dies erfordert, anders als bisher üblich, zwischen den charakteristischen Dauern von Systemen, also zum Beispiel Abklingzeiten oder Periodendauern $T$ [1/Hz], und dem zeitlichen Abstand $t$ [s] von Ereignissen gedanklich und formal zu unterscheiden. Eine Verbindung zwischen beiden kann durch die Kopplung mit einem Ereignis erfolgen, dies könnte das Anstoßen eines Pendels, das Auf- oder Entladen eines Kondensators oder die stimulierte Emission von Photonen sein. Dies wäre wohl auch eine Verbindung zu dem von Heidegger benannten Zeitraum.

Entsprechendes gilt für den (linearen) räumlichen Abstand von Objekten und ihrer eigenen charakteristischen Ausdehnung (zumindest Flächen). Im räumlichen Bereich sollte wohl weiterhin auch zwischen der eindimensionalen Größe, einer Entfernung zwischen Positionen, und einem Quotienten aus Fläche und Länge differenziert werden, ähnlich wie man polare und axiale Vektoren unterschiedlich behandeln muss. Solche Quotienten charakterisierten die Größen von Spule [2-21] und Kondensator [2-22] im Abschnitt „Strom – Spannung - Impedanz“ unabhängig von den realen Dimensionen der Flächen und Abstände oder Längen. In der Geometrie liefert der Quotient aus der Oberfläche einer Kugel zu ihrem Durchmesser den Umfang eines Großkreises, durch dessen Drehen man die Kugeloberfläche rekonstruieren kann. Wenn sich eine Welle richtungsunabhängig gleichmäßig von einem Zentrum entfernt, so gehören die Orte der Oberfläche einer Kugel zeitlich zueinander und bilden daher eine Einheit, während das Volumen unterschiedlichen Zeiten der Erzeugung zuzuordnen ist.

Während die ablaufende Zeit und auch die relative Position durch eine Richtung ausgezeichnet sind, zeigen die Größen Dauer und Länge eine solche Ausrichtung nicht in gleicher Art. Basis unseres Zeitmaßstabs ist die konstante Periodendauer von ungedämpften harmonischen Oszillatoren. Beim Entladen eines Kondensators war zu sehen, dass solch ein an Ereignissen orientierter Zeitmaßstab in einem gedämpften System anders erscheint.

In der Welt der Physik begegnen uns Quanten, dies können Objekte sein, die immer gleich groß sind, wie die Ladung des Elektrons und das Wirkungsquantum oder sie können in variabler Größe erscheinen, wie die Energiepakete des Photons und des Phonons. Solche Quanten kann man zählen und diese Anzahlen können Grundlage einer Messung sein. Die Basis solcher Anzahlen sind die natürlichen Zahlen mit der Stufengröße 1. Die Quotienten entsprechender Anzahlen liefern uns dann rationale Zahlen, die nur in Sonderfällen in das Stufenraster der natürlichen Zahlen passen. Kombinationen solcher Quotienten, die wegen der digitalen Struktur von Information wieder in das Schema der ganzen Zahlen passen sollen, sind dann zwingend wegen der Rundungsfehler mit Unschärfen verbunden.

Die im ersten Kapitel aufgezählten und in den folgenden Kapiteln als informationsvermittelnde Objekte benutzten elektromagnetischen gequantelten Größen existieren nicht unabhängig voneinander. So ist die Größe eines elektrischen Flusses zum einen gegeben durch die Größe der erzeugenden Ladung und zum anderen durch die Gesetzmäßigkeit in seiner Beziehung zu anderen Objekten des Universums, zu Raum und Zeit. Solche Abhängigkeiten wurden im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ anhand des elektromagnetischen Quaders diskutiert. In praktischen Experimenten und daher auch in unserer Vorstellung ist die elektrische Ladung mit Teilchen verbunden, dem Elektron, dem Proton… Von solch einer zwingenden Teilchenvorstellung sollte man sich im Rahmen der „abzählbaren Physik“ allerdings lösen. Hier taucht die gequantelte Ladung separat auch virtuell im Zusammenhang mit materielosen elektromagnetischen Feldern, zum Beispiel bei den Photonen auf. Dann ist diese Größe Ladung nicht notwendig lokalisiert und auch nicht mit Masse verbunden. Das wechselwirkungsfreie Durchdringen elektromagnetischer Wellen legt nahe, dass die virtuellen Ladungen auch anders reagieren, als reale es würden. Das Gegenstück zur Elementarladung, der magnetische Monopol, wurde in der Natur noch nicht explizit als Teilchen beobachtet. Es gelang allerdings schon, Pole eines magnetischen Dipols weitgehend zu separieren. In diesem Beitrag gilt die Vorstellung eines Magnetpols mehr im Sinne der auch technisch genutzten Polstärke und der im Hintergrund stehenden Ursache eines magnetischen Feldes, so wie die Elementarladung als Basis von Photonen existiert, und nicht notwendig als Gegenstand eines realen, materiebehafteten und lokalisierten individuellen Teilchens.

Im Abschnitt „Die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$“ wurden raumbezogene und zeitbezogene Kräfte im Gleichgewicht als verantwortlich für die Geschwindigkeiten von Wellen befunden. Daraus folgte eine Abhängigkeit von der Impedanz des Ausbreitungsmediums. Beim Klitzing-Widerstand und seinen Pendant auf der anderen Seite des elektromagnetischen Quaders ergaben sich die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$ für elektrische und magnetische Anteile. Dann sind die elektrischen und magnetischen Quanten in jeweils gleichartiger Menge vorhanden. Da nun elektrische und magnetische Felder und das Verteilen der Energie darauf vom Koordinatensystem des Betrachters abhängen und im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie ausgetauscht werden können, müssten wir Probleme beim Wechsel der beteiligten Quanten erwarten. Die Lösung solche Schwierigkeiten erfolgt einfach, wenn die Impedanz des Mediums, in dem sich die Wellen ausbreiten, die Vakuumimpedanz ist. Dann unterscheidet sich die raumzeitliche Verteilung der elektrischen und magnetischen Energie nicht und die gemeinsame Geschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit.

Im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ tritt das Plancksche Wirkungsquantum $h$ als die Größe auf, die eine kleinste Informationseinheit bei Messungen repräsentiert, indem es ein Maß für die aus der Menge an Information folgende nicht zu vermeidende Ungenauigkeit lieferte. Beim Messen resultieren dann verschiedene Formen des Rauschens. Wenn die Information durch Anzahlen definiert ist, sind nur die Null und die natürlichen Zahlen in den Ergebnissen von Messungen und Kalkulationen zulässig. Fehlende Information liefert dann automatisch die Nullpunktsenergie oder eine entsprechende Unsicherheit der abzählbaren Objekte, wie man sie auch bei virtuellen Photonen findet.

Solch eine Wirkung tritt in der Hamiltonschen Theorie auf und ergibt abgeleitet nach der Zeit die Energie und abgeleitet nach den Raumkoordinaten den Impuls. Im vierdimensionalen Raumzeitsystem der speziellen Relativitätstheorie wäre damit eine schlüssige Informationskomponente gefunden. Diese abzählbare Anteil der Information, $N\cdot h$, muss noch mit der Qualität der Information ergänzt werden, die oben in den ungequantelten Ableitungen nach Raum und Zeit zu finden war. Anzahl und Qualität der Informationseinheiten lassen sich ineinander transformieren, wie beim Mischen im Abschnitt „Erweiterung des Zeitbereichs über die Periodendauer hinaus“ mit Photonen diskutiert wurde.

Das Doppelspaltexperiment demonstriert im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“, wie Information über Raum und Zeit hinausreicht und mit Strukturen verknüpft ist. Und immer wieder zeigt sich ihre kleinste Realisierung in der Trinität von zwei Objekten, Ereignissen… und der Beziehung dazwischen.

Beim Ausarbeiten dieser Schrift gab es einige vorher nicht so gesehene Zusammenhänge, so die Lichtgeschwindigkeit $c$ als Kombination von $v_{Q}$ und $v_{\Phi }$, die Kombination der Quanten des harmonischen Oszillators mit der Impedanz, speziell bei der mechanischen Amplitude und dem Impuls, die Hysteresekurve des Memristors und die identischen Strukturen bei der Analyse von Bildinhalten und den Orbitalen des Atoms.

Die Fülle der betrachteten Phänomene zeigt, dass man nicht erst in die submikroskopischen Größenordnungen der Planck-Einheiten gehen muss, um eine digitale Struktur der Welt zu finden. Die vorhandene Menge an beobachteter Information begrenzt die erfassbare Auflösung und das Beschreiben unserer Welt durchaus schon im makroskopischen Bereich. Die in diesem Beitrag gezeigten offenen Fragen seien eine Anregung für weitere Arbeiten.

Die vorgestellte Sicht der abzählbaren Physik hat jedenfalls kein Problem damit, dass die Quantenmechanik nur Wahrscheinlichkeiten vorhersagen kann und trotzdem in der klassischen Physik ein Determinismus mit Ursache und Wirkung unbestritten ist, auch wenn bei den beobachteten Zusammenhängen auf atomarer Skala Zufälligkeiten das Geschehen wesentlich prägen. Damit sehen wir die Entwicklung des Universums eben nicht von Gott ein für alle Mal vorherbestimmt, sondern dank der begrenzten Informationsmenge und des Zufalls mit Gottes würfeln, seiner vorgegebenen Strukturen sowie der Möglichkeit unseres Eingriffs in das Geschehen nur begrenzt vorhersagbar. Es bleibt die Herausforderung, dass wir uns mit Freude und Verantwortung am Gestalten der Zukunft auf Basis und unter Kenntnis der Vergangenheit beteiligen.

Dank

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Lieber Leser, danke, dass Sie bis hierher durchgehalten haben. Auch beim Schreiben hat nicht alles gleich viel Freude bedeutet, aber manches musste eben auch aus Vorsicht und Gründlichkeit bearbeitet werden und wenn schon einmal erarbeitet, dann sollten andere vor unnötiger Wiederholung bewahrt werden. Ursprünglich war mein Ansatz weit vom vorliegenden Ergebnis entfernt, es sollte die Frage anschaulich geklärt werden, wie die Energie einer Lichtwelle (die man sich zunächst irgendwie räumlich verteilt vorstellt) von einem absorbierenden Atom konzentriert eingesammelt wird. Als mögliches Modell war die Welle in einem Schwimmbecken angedacht, die man leicht mit einem Stein, der klein gegen die Wellenlänge ist, auslösen kann. Das ganze sollte als neu erzeugte Welle gefilmt werden und der Film anschließend rückwärts betrachtet werden. Bei der Überlegung, welche dabei beobachtbaren Größen den elektromagnetischen entsprechen und wann Anzahlen von Quanten zu berücksichtigen sind, tauchten die frequenzunabhängige virtuelle Ladung und die entsprechende mechanische Amplitude auf. Am Beginn stand also der Inhalt vom Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ und dann ergab ein Gedanke den nächsten mit so einfachen und ungewöhnlichen Ergebnissen, dass sie zunächst niemand publizieren wollte.

Die hier vorliegende Schrift basiert im wesentlichen auf den Arbeiten in unserem „Institut für Technische Physik e.V.“ und den daraus resultierenden Vorträgen, die in den Jahren 2010 bis 2019 auf den Frühjahrstagungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft in den Fachgruppen „Kurzzeitphysik“ und in kleinem Umfang bei „AGPhil“ präsentiert wurden. Für die inhaltsreichen Diskussionen und die motivierenden Einladungen danke ich besonders herzlich meinen Kollegen aus der Kurzzeitphysik. Bei dem Wandeln der Vortragsmanuskripte in eine, wie ich hoffe, für einen breiteren Leserkreis annehmbare Form, half besonders die konstruktive Kritik von Prof. Dr. Joachim Wernicke, der mir an den ersten beiden Kapiteln zeigte, an welchen Stellen ich beim Leser mehr voraussetzte, als von meiner ersten Formulierung her zulässig war und welche Bilder mit Information überfrachtet waren. Des weiteren danke ich den Hörern meiner Vorlesungen an der Technischen Universität Berlin in den Sommersemestern 2012 bis 2019, die das Thema betreffende Vorlesungsskripte kritisch kommentierten. Nicht vergessen werden dürfen auch meine Frau und mein Sohn für ihre Unterstützung, Geduld, und das Ertragen der lauten Musik von Bruckner über Mahler bis Wagner.

Der Zeitgeist mit dem Ziel der Vereinzelung (und Versklavung) des Menschen betont in destruktiver Weise die Individualität – vom Tellerwäscher schaffen es wenige zum Millionär. So wie es bei den Photonen nicht nur die individuellen Daten in der Orts-Zeit-Tabelle gab, sondern auch noch den Bezug zu den anderen Quanten, so kann jeder einzelne seine Bildung und Schaffenskraft auf früheren Gedanken aufbauen. Ich möchte deswegen an dieser Stelle betonen, dass unsere eigenen Möglichkeiten hier und heute wesentlich auf den Leistungen unserer Vorfahren und Gottes Schöpfung beruhen. Diesen gilt daher mein Dank zutiefst.

Für meine persönliche wissenschaftliche Entwicklung, die Fundament dieses Buches ist, möchte ich in zeitlicher Reihenfolge noch besonders dankend erwähnen:

• meinen Vater, der mir Zahlen, Buchstaben und Moral beibrachte, zum vierten Geburtstag seinen Stabilbaukasten schenkte und dann mit sechs Jahren den ersten Detektorempfänger,
• Dr. Erich Schneider, den Physiklehrer meines Vaters, Autor zahlreicher naturwissenschaftlicher und -philosophischer Bücher, der mich als Kind oft beaufsichtigte, mir einen Kreisel zeigte und das Buch von Hans Dominik „Physik für die Jugend“ aktualisierte,
• meinen Lehrer Dr. Siegfried Winter, der mit seinem einmalig guten Experimentalunterricht die Begeisterung für die Physik und, wegen seiner Peenemünder Vergangenheit, auch für Raketen und Raumfahrt schürte,
• meinen Diplomvater Prof. Dr. Stephan Hüfner, durch den ich, anstatt in die Industrie zu gehen, den Reiz der Hochschule und die Festkörperphysik entdeckte und ich danke speziell für seinen Rat, alle fünf Jahre zu beginnen, ein neues Thema zu bearbeiten, um die Chance zu behalten, weitere Ideen zu entwickeln,
• meinen Doktorvater Prof. Dr. Werner Schaaffs, dessen tiefen Glauben (er war Mitglied der „Bekennenden Kirche“) und die Sicht der Naturgesetze als Gesetze Gottes, die es zu erkunden gilt, ich damals noch nicht nachvollziehen konnte, dessen Vielseitigkeit bearbeiteter physikalischer Themen (von Röntgenblitzen und Molekularakustik, durch die er international anerkannt war, bis zu Stoßwellen und damals noch nicht bekannten chaotischen Effekten) und dessen bescheidene, tolerante Lebensart mir ein Vorbild wurde, und der mir mit seinem vererbten Privatlabor noch heute viel Freude ermöglicht,
• Prof. Dr. Manfred Heckl, in dessen Institut für Technische Akustik an der Technischen Universität Berlin ich die Schaaffs’schen Apparaturen nach dessen Tod noch so viele Jahre weiter betreiben durfte, bis ich einen Ruf erhielt,
• Prof. Dr. Gerhardt Hildebrandt vom Fritz-Haber-Institut (FHI) der Max-Planck-Gesellschaft (MPG), in dessen Arbeitsgruppe ich die schönste Zeit des Berufslebens hatte, jeden Tag Zeit für die Bibliothek und einen interessanten Vortrag, kein Auseinandersetzen mit Intrigen und wenigstens für eine absehbare Zeit wieder eine materielle Sicherheit,
• Prof. Dr. Karl Heinz Schönbach, der mich an die Old Dominion University (ODU) in Norfolk einlud, mir eine wirklich attraktive Lebensstellung anbot und seine breit orientierte Forschung dort mit Hochenergieimpulsen und Gasentladungen sowie deren Anwendung

und

• Prof. Dr. Eiichi Sato, der Erfinder der linearen Plasmaanode für die Erzeugung monochromatischer Röntgenstrahlung ist und dem ich für anregende Diskussionen und die langjährige freundschaftliche Zusammenarbeit bei den Röntgenblitzen und zum Problem der Vakuumentladung danke.

Dass die vorgestellten Gedanken auf diese Art publiziert wurden, ist Dr. Markus Bautsch zu verdanken, durch dessen Einsatz und Hilfe dieses Buch als Wikibook erscheinen konnte.