Die abzählbare Physik/ Die Zeit und ihre Messung

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Die Zeit und ihre Messung

Die Zeit erscheint konkret entweder als Dauer einer statischen Situation und eines Zustandes oder als Maßstab einer zeitlichen Reihenfolge, in der Ereignisse und Änderungen geschehen. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Fragen, welche Eigenschaften von „Zeit“ man physikalisch messen kann und damit nach unserem Naturverständnis Realität sind. Die Grenzen für das Erfassen der aktuellen Zeit und von Zeitdauern werden im Zusammenhang mit den Gedanken der vorherigen Kapitel diskutiert. Dabei ergibt sich, dass die aktuelle Zeit $t$ keine kontinuierlich ablaufende Größe ist, sondern in eine Folge von Zeit“dauern“ $T$ zerfällt, deren Länge von der Wahrscheinlichkeit und Energie geprägt ist, während der keine Änderung beobachtbar ist. Die Richtung der „ablaufenden“ Zeit $t$ ergibt sich aus den Systemeigenschaften. Die Zeit tritt als Beziehung zwischen Änderungen auf. Ihre Definition und Existenz hängt daher von der Dynamik der Objekte der Welt ab.

Der Gedanke der Zeit

Was ist eigentlich Zeit? Zumindest seit der Zeit der alten Griechen wissen wir, dass die Zeit zwei Komponenten hat. Dies sind

1. die ablaufende Zeit (Vergangenheit, JETZT, Zukunft), die wir an der Uhr beobachten und mit der wir eine Folge von Ereignissen in einer Reihenfolge sortieren können und
2. Zeiträume, zum Beispiel der dreißigjährige Krieg, eine Stunde oder eine Periodendauer, also eine Dauer, die konstante Zustände zwischen Änderungen charakterisiert.

Nunc fluens facit tempus,
nunc stans facit aeternitatem.

(Boethius, De Trinitate 4,70)

Das fließende Jetzt macht die Zeit,
das stehende Jetzt macht die Ewigkeit.

Im folgenden bezeichnen wir die „ablaufende Zeit“, in der es Änderungen, ein vorher und ein nachher gibt, mit kleinem t, eine Zeitdauer, während der etwas konstant bleibt, mit großem T.

Unsere physikalische Vorstellung der Zeit beruhte zunächst auf den Gedanken von Isaac Newton, 1687:

„Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig und ohne Beziehung auf irgendeinen äußeren Gegenstand.“

Dieser wurde erweitert durch Überlegungen zur Thermodynamik und Entropie und mündet vor einhundert Jahren schließlich in den Zweifeln von Einstein-Minkowski-Raum, der die Zeit bisher nur so weit verstanden sieht, wie die Uhr sie anzeigt. Eine schöne Zusammenstellung bisheriger Überlegungen und Erläuterungen zum Zeitbegriff in relativistischen Systemen finden sich im Buch von Peter Mittelstaedt. Die Bedeutung der Zeit ragt gedanklich über unser physikalisches Weltbild deutlich hinaus.

Am Beginn dieses Beitrages über „abzählbare Physik“ wurde bereits darauf hingewiesen, dass die Zeit genauso wie der Raum im Zusammenhang mit den im betrachteten System vorhandenen Objekten und Ereignissen zu Stande kommt. Beschäftigen wir uns daher zunächst mit der Frage, wie man Zeit messen kann und unter welchen Umständen eine Zeitangabe eine Aussagekraft hat. Bei statischen Problemen braucht man die Größe „Zeit“ nicht zur Beschreibung, sie taucht erst auf, wenn etwas „passiert“, wenn Änderungen beobachtet werden.

Die Zeit in periodischen Vorgängen

Welche Zeit kann man vom Pendel einer Uhr, wie es Bild 42-1 links zeigt, ablesen, wenn es keinen weiteren Bezug gibt  ? Der Pendelausschlag wiederholt sich ständig und die aufeinander folgenden Ausschläge sind allein an der Pendelposition und Bewegung nicht zu unterscheiden. So ist das nun einmal nicht nur beim harmonischen Oszillator sondern bei allen periodischen Vorgängen.

Bild 42-1: Uhrenpendel, die Geschwindigkeit des Pendels ist an der Unschärfe zu erkennen. Zur Zeitbestimmung braucht man das Uhrwerk mit den Zeigern, rechts.

Die Pendelbewegung unserer Uhr stellt Diagramm Bild 42-2 dar: Es hat als Koordinatensystem die Achsen: Auslenkung x und Geschwindigkeit v, dies sind Beziehungen zum Rest der Welt. Ein Punkt in dieser Ebene als Ergebnis einer Beobachtung gestattet nicht, daraus wesentliche Schlussfolgerungen zu ziehen. Zu einem harmonischen Oszillator würde als Kurve ein Kegelschnitt gehören, der erst mit drei Punkten charakterisiert ist. Ob dieser Kegelschnitt nun ein Kreis oder ein die Ellipse ist, hängt von den bestimmenden Größen: Masse und Rückschnellkraftparameter oder Induktivität und Kapazität ab. Des Weiteren spielt die Amplitude eine Rolle. Selbst zum Bestimmen der Größe Geschwindigkeit $v=\Delta x/\Delta t$ müssen mindestens zwei Positionen des Ortes $\Delta x=x2-x1$ und die Kenntnis einer Zeitdifferenz $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ erfasst sein, die wiederum nur mit einer externen Uhr messbar ist oder aus der Kenntnis der Periodendauer T, die aus dem Produkt der die Oszillation bestimmenden Größen folgt.

Bild 42-2: Ort und Geschwindigkeit zu verschiedenen Zeiten bei harmonischen Oszillatoren.

Mit mehreren harmonischen Oszillatoren und der Überlagerung der Schwingungen kann man mit Schwebung und Interferenz langzeitliche Strukturen ausmachen, also wieder durch eine Beobachtung von außen mit mehr als einem Objekt.

Bild 42-3: Das Zählwerk der Pendeluhr.

Bei der Pendeluhr hilft das Zählwerk, dessen Zählerstand die Zeiger verdeutlichen, um die Zeit t außerhalb der Dauer T der Periode zu erfassen, Bild 42-1 rechts und Bild 42-3. Nach 12 Stunden läuft der Zähler über und alles beginnt von vorne, wenn der Zähler nicht zum Beispiel durch einen Kalender erweitert wird. Das Zählen ist wieder etwas digitales, in diesem Fall ist die fundamentale Einheit die Periodendauer T. Üblicherweise wird die Zeit in Einheiten, die mit Periodendauern zusammenhängen, gemessen und damit ein Zeitbereich des „Jetzt“ klassifiziert

• $-14\cdot 10^{9}$ ... 2018 ... ; Jahr
• Jan, Feb, … Dez; Monat
• 1,2,… 27, 28; Tag
• 1,2,… 13, 24; Stunde
• 1,… 60; Minute
• 1,… 60; Sekunde
• ; ms; µs; ns; ps; fs; as; …

Innerhalb der Periodendauer gelten die beim Schwingkreis diskutierten Einschränkungen, die zeitliche Auflösung einer ablaufenden Zeit ist energieabhängig. Bei den kleinsten Energien sind zwar innerhalb der Periode noch Zustände zu unterscheiden, zeitlich zuzuordnen sind sie aber erst befriedigend im Zusammenhang und als Mittelung über mehrere Perioden, zum Beispiel bei stroboskopischer Beobachtung.

Wie klein können wir die kleinste Zeiteinheit wählen  ? Wie lange dauert das „Jetzt“  ? Ist die Dauer einer Periode die Integration über das „Jetzt“ mit unendlich scharfen Punkten der aktuellen Zeit oder eine Addition von gegebenenfalls sehr kleinen Zeitbereichen  ? Dies führt auf die Fragen:

Wann macht die Definition der Größe „Zeit“ einen Sinn  ? Wie lange dauert das „Jetzt“?

Verfolgen wir deswegen die Frage weiter, wie man Zeit messen kann.

Der Rotator im ruhenden Bezugssystem

Betrachten wir an Stelle des harmonischen Oszillators zunächst eine sich drehende Hohlkugel, Bild 42-4. Ohne Einfluss von außen erfolgt diese Drehung um eine Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega$. In einem äußeren kartesischen Koordinatensystem mit der Drehachse in z-Richtung wechselt die Geschwindigkeitsrichtung eines lokal begrenzten Bereiches auf der Oberfläche der Kugel und dessen kinetische Energie zwischen x- und y-Richtung. Die Art der Energie bleibt erhalten, aber die Geschwindigkeitskomponenten $v_{x},v_{y}$ ändern sich.

Bild 42-4: Hohlkugel, die sich frei dreht - Rotator.

Ein Beobachter von außen kann folgendes feststellen: Wenn die Kugel eine weiße und eine schwarze Hälfte hat, dann kann man sie beleuchten und ein Detektor kann die Drehung verfolgen, Bild 42-5. Der Energieaufwand dazu ist gegeben durch die Anzahl der Photonen, die man braucht, um die helle von der dunklen Seite zu unterscheiden (zum Beispiel mit einer Differenzmessung von zwei Seiten). Nach Überlegung in Kapitel 2 beim Messen eines Widerstandes sind dies mindestens vier Photonen pro Sektor und aus dem Abtasttheorem, folgt eine Periodendauer der Photonenschwingung, die mindestens um den Faktor Zwei kleiner ist als die Umlaufzeit des Rotators.

Bild 42-5: Schwarz-Weiße drehende Kugel und Beobachtung.

Daraus ergibt sich dann eine Leistung für die Beobachtung, die von der Dauer der Umdrehung abhängt und mit steigender Frequenz und Zeitauflösung größer wird. Die einzelne Umdrehung kann zeitlich auch besser aufgelöst werden, wenn die Oberfläche der Kugel feiner strukturiert wird, zum Beispiel doppelt so viele weiße und schwarze Sektoren aufgebracht sind, Bild 42-6.

Bild 42-6: Rotierende Kugel mit je zwei das Licht nach rechts oder links ablenkenden Teilflächen.

Dann braucht man mehr Leistung zum Messen, doppelt so viele Photonen / Periode und außerdem solche mit doppelter Frequenz, wegen $E=h\cdot f$ also insgesamt vierfache Energie. Dies bedeutet eine bekannte Beziehung, wenn wir die Periodendauer in N Stücke teilen, gilt für jedes Zeitintervall

$E_{N}\cdot T_{N}=h$ [4-21]

in Einklang mit den Beobachtungen am elektrischen Schwingkreis, bei dem die zunehmende Zahl der Feldzustände bei größerer Energie und entsprechender Photonenzahl ebenfalls zu einer besseren Zeitauflösung führte. Für die Leistung gilt

$P=h/T_{N}^{2}$ [4-22]

An dieser Stelle ist es möglich und gedanklich nötig, zwischen dem Energie-aufwand und dem Energie-verbrauch für die Messung zu unterscheiden. Die obige Überlegung lässt folgern, wieviel Energie für die Messung eingesetzt werden muss. Dies bedeutet aber nicht zwingend, dass diese Energie dabei auch verlorengeht. Denken wir uns die Oberfläche der Kugel daher so strukturiert, dass einfallende Photonen entweder nach links oder rechts abgelenkt werden, wie es die Bild 42-6 rechts oben andeutet. Die für die Messung eingesetzten Photonen können anschließend für weitere Messungen verwendet werden, ihre Energie geht nicht verloren, es reicht, ihre Richtung zu detektieren. Aus diesem Energieaufwand ergibt sich die bekannte Unschärferelation zwischen Zeit und Energie. Wenn die Energie verbraucht wird, dann wird ihre ursprüngliche Struktur in eine Unordnung und damit die mit ihr verbundene Information verloren gehen und der Energie-verbrauch wächst proportional mit der Messdauer.

Beobachtung im rotierenden Bezugssystem

Ein Beobachter im Inneren der Kugel kann die Lage der Drehachse feststellen. Solange er sich selbst nicht bewegt, spürt er nur die Fliehkraft F¬z auf eine Masse M, Bild 42-7. Damit gibt es eine rein räumliche Beziehung zwischen der Drehachse und der Masse. Es passiert nichts (Kreisfrequenz $omega$, Abstand zur Drehachse R), für diesen Beobachter hat die „Zeit“ keinen Sinn.

$F_{z}=M\cdot \omega ^{2}\cdot R$ [4-23]

Aus dieser Kraft F¬z kann er formal einen Rückschluss auf die Periodendauer T der Drehung ziehen, falls er sie nicht zunächst als Gravitationskraft interpretiert.

$T=2\pi /\omega =2\pi {\sqrt {(M\cdot R/F_{z})}}$ [4-24]

Er kann aber ruhend weder die Richtung der Drehung noch die Länge der Periodendauer T messen. Der Beobachter weiß also nicht, wann eine Periode vollendet ist, er hat ja keine andere Uhr als die kreisende Kugel und keinen Bezug zur Außenwelt. Die Skalierung der Zeit ergibt sich aus der Wahl der Masse-, Längen- und Krafteinheiten. Die Kraft als $F=M\cdot d^{2}x/dt^{2}$ enthält dabei einen Zeitbezug, so dass im System [4-24] alleine nur ein Zirkelschluss möglich wäre.

Bild 42-7: Messung der Fliehkraft mit Testmassen.

Bild 42-8: Messung der Corioliskraft beim Bewegen einer Masse.

Erst wenn sich der Beobachter nun mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann spürt er zusätzlich die Corioliskraft $F_{c}$, Bild 42-8, es passiert etwas.

$F_{c}=2\cdot M\cdot vx\omega$ [4-25]

Bei einer definierten Bewegung um die Strecke dx, zum Beispiel von der Peripherie zur Drehachse hin, kann die dafür benötigte Zeit dt mit der Periodendauer T in Beziehung gesetzt werden. Die Richtung der Kraft gibt uns dann die Information der Drehrichtung und es existiert ein „vorher“ und „nachher“. Im Falle der Bewegungen ist also die "aktuelle, ablaufende Zeit" t inklusive des Zeitpfeils als differentielle Größe dt physikalisch erfassbar.

$dt=4\pi \cdot M\cdot dx/(T\cdot F_{c})=(4\pi \cdot M/F_{c})\cdot (dx/T)$ [4-26]

Dieses Zeitintervall dt bezieht sich auf die Strecke dx, die in einem Bruchteil dt der Periodendauer T zurückgelegt wird. Der Vorfaktor enthält das Verhältnis von Masse M zur Größe der Kraft $F_{c}$, liefert uns daher einen vom speziellen System abhängigen Maßstab. Wenn man die raumbezogenen Größen separiert, erhält man das triviale Ergebnis

$dt=(2\cdot dx/F_{c})\cdot {\sqrt {(M\cdot F_{z}/R)}}={\sqrt {(2\cdot dx/[R])}}/{\sqrt {(F_{c}/[M\cdot F_{z}])}}=dx/v$ [4-27]

Diese Bewegung zum Erfassen der Zeit erfordert Energieumwandlung. Hier ist zu unterscheiden, ob die rotierende Kugel eine sehr große oder eine sehr kleine Masse hat. Im ersten Fall merken wir diese Änderung im wesentlichen zwischen der kinetischen und potentiellen Energie der Testmasse. Im zweiten Fall wird sich außerdem die Rotationsgeschwindigkeit unserer Kugel ändern und damit deren Rotationsfrequenz.

Harmonischer Oszillator und elektrischer Schwingkreis – die Zeit innerhalb einer Periode

Beim harmonischen Oszillator wechselt die Energie zwischen zwei Formen. Beim elektrischen Schwingkreis sind dies das Magnetfeld und das elektrische Feld als Träger der Energie, im mechanischen Fall der oben erwähnten Pendeluhr die potentielle und die kinetischen Energie. Beim in Kapitel 3 schon beschriebenen elektrischen Schwingkreis gefüllt mit wenig Energie (Bild 32-1) werden die möglichen Kombinationen elektrischer und magnetischer Felder durch die Quantelung der Ladung in Form der Elektronen und die Quantelung des Magnetfeldes mit dem Flussquant beschrieben. In den Gleichungen von Kapitel 2 und 3 sahen wir, dass die individuellen raumzeitlichen Eigenschaften der Komponenten der Schwingkreise, also die Induktivität L und Kapazität C, mit der Periodendauer T zusammenhängen und dass es davon unabhängig die fundamentalen elektromagnetischen Quanten gibt, so dass es für jede Anzahl von Wirkungsquanten $N\cdot h$ im System eine abzählbare Anzahl von Feldzuständen, die pro Periode durchlaufen werden, gibt.

$m^{2}\Phi _{0}^{2}/\pi L<->n^{2}e^{2}/\pi C$ [4-28]

$E=N\cdot h\cdot f=N\cdot h/T$ [4-29]

Die Folge davon ist, dass bei sehr kleinen Energien nur wenige einzelne Feldzustände auftreten können, bei denen der Kondensator mit einem Elektronenlochpaar oder wenigen Ladungen und die Spule mit wenigen Flussquanten gefüllt sind, so dass eine Periode T in eine entsprechend begrenzte Zahl von unterschiedlichen Feldkombinationen aufgeteilt wird. Daher ist keine genauere Aussage möglich, als dass die Energie stufenweise zwischen magnetischen und elektrischen Feldern wechselt, sie ist komplett in der einen oder anderen Form vorhanden. Dies bedeutet im kleinsten energetischen Fall $E=h\cdot f$ fünf mögliche Zustände pro Periode, alternativ je zwei Richtungen des elektrischen und des Magnetfeldes und kleine feldfreie Pausen für den Feldwechsel. Mit steigender Energie E wächst die Anzahl der möglichen Feldkombinationen. Das Auftreten der einzelnen Feldkombination erfolgt mit einer Dauer, die auf eine Wahrscheinlichkeit zurückzuführen ist, die mit der Differenz der Energie zur mittleren vorhandenen Energie und der systemeigenen Dynamik zusammenhängt. Je mehr Energie der Schwingkreis enthält, um so mehr Feldkombinationen sind möglich und um so genauer wird auch die zeitliche Auflösung beim Verteilen dieser Feldzustände auf eine ablaufende Zeit, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die einzelnen Feldzustände für verschiedene Energien in Bild 32–3 bis Bild 33–3 zeigt. Innerhalb einer Periode gibt es einen zeitlichen Ablauf, der genauer definiert ist, wenn der Oszillator mehr Energie enthält. Die zeitliche Folge der Feldzustände bedingt den weiteren Ablauf, es gibt also eine Richtung der ablaufenden Zeit t. Wir sehen das schon am Pendel, sobald wir die Position des Pendels und die Geschwindigkeit kennen, ist die weitere Abfolge zwingend. In der Energie $E_{kin}=M\cdot v^{2}/2$ verschwindet zwar die Richtungsinformation, nicht aber beim Impuls $P=M\cdot v$. Der Zeitpfeil hat hier also nichts mit thermodynamischen Wahrscheinlichkeiten zu tun, sondern folgt aus der Dynamik des Systems. Der Zeitbereich für eine aktuelle Zeit t ist allerdings auf die Länge der Periodendauer T beschränkt, danach wiederholt sich alles ununterscheidbar.

Erweiterung des Zeitbereichs über die Periodendauer hinaus

Mit mehreren Oszillatoren und damit mehr Kombinationen möglicher Feldzustände lässt sich die „ablaufende“ Zeit t verlängern. Dies zeigen anschaulich die Schwebung zweier Oszillatoren in Bild 43-1 und die Kombination von Stellungen einiger Jupitermonde zueinander, die die Anzahl von „Jupitermonaten“ nicht einfach additiv vergrößern. Die Grenze eines solchen Verfahrens kann aber nicht sein, dass man zur Verlängerung des Zeitbereiches nur immer kleinere Frequenzdifferenzen zulässt, um die Schwebungsfrequenz zu erniedrigen und deren Periodendauer $T_{d}=1/(f_{2}-f_{1})$ zu verlängern. Wenn die zur Schwebung gebrachten Frequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$ jeweils auf Grund der vorhandenen Energien eine Anzahl von $N_{1}$ und $N_{2}$ Feldzuständen pro Periode aufweisen, ist die Anzahl der möglichen Kombinationen $N_{s}$ auf $N_{s}=N_{1}\cdot N_{2}$ begrenzt. Eine größere Anzahl von Zeitbereichen ist dann zunächst nicht unterscheidbar. Da die Anzahl der Feldzustände pro Periode von der Energie im Oszillator abhängt, und diese mit dem Quadrat der beteiligten Flussquanten und Ladungen wächst, $E\sim a\cdot m^{2}+b\cdot n^{2}$, und die Anzahl der Feldkombinationen mit $N\sim 2\pi \cdot {\sqrt {(m^{2}+n^{2})}}\sim {\sqrt {E}}$, wächst hier die Zeitauflösung also nur mit der Wurzel der Energie. Das bedeutet, dass diese Zunahme der Information mit der Energie durch das Schrotrauschen begrenzt ist. Neben der Anzahl der einzelnen Feldkombinationen gibt es allerdings noch die Information über deren Abfolge, worüber man sich mit dem Wissen des noch folgenden Kapitels weitere Gedanken machen kann.

Bild 43-1: Schwebung zweier Oszillatoren, rechts erweitern mehrere Jupitermonde mit ihrer unterschiedlichen Stellung zum Planeten den „Monat“.

Auch beim Zählen der periodischen Schwingungen des harmonischen Oszillators stoßen wir an Grenzen. Unsere alltäglichen Uhren zählen 24 Stunden. Darüber hinaus benötigen wir unseren Kalender. Ohne diese Liste der Vergangenheit und die eröffneten Möglichkeiten der Zukunft beginnt der Zeitablauf wieder von vorn. Mit unserem Zähler ergänzen wir also die unterscheidbaren Feldkombinationen innerhalb der Periodendauer durch die Information einer weiteren unterscheidbaren Größe. Ist dieser Zähler nicht unendlich, dann erreichen wir das „Jüngste Gericht“ und die Zeit hat ein Ende – oder es beginnt die Wiederholung. Es gibt also auf Grund der endlichen Energie eine Grenze zeitlicher Genauigkeit, also eine Definition der Grenze im kleinen, und es gibt auch eine Definition der Grenze in großem durch die Endlichkeit des Zählers. Beim Entladen des Kondensators haben wir allerdings gesehen, dass die Zeitdauern konstanter Ladung mit kleinerer Energiedichte auch immer länger werden, das „Ende“ also hinausgeschoben wird. Das Erweitern eines Zählers um mehr Stellen bedeutet, dass mehr Energie aufgewendet werden muss. Beim Dualzähler (s. die Überlegungen beim Rotator und Bild 42-6) kommt pro zusätzlicher Stelle jeweils die halbe Energie der vorherigen Stelle hinzu. Allein daraus bliebe der Energieaufwand zum Messen einer unendlich langen Zeit allerdings immer endlich (1 + ½ + ¼ +... = 2). Nicht die Länge der betrachteten Zeit sondern die zeitliche Auflösung, die Genauigkeit, liefert wesentlich den Konflikt mit energetischen Grenzen.

Beim Zählen der Perioden existiert eine Grenze der Genauigkeit. Der harmonische Oszillator mit einem Schwingungsquant hat vier mögliche „Positionen“ (elektromagnetisch +- E-Feld, +-B-Feld; mechanisch +- Auslenkung, +- Impuls), zeitlich genauer lässt er sich nicht bestimmen, es gibt also eine Unschärfe der Phase. Das Zählen unterliegt daher zwingend einer Ungenauigkeit.

Bild 43-2: Energieverteilung bei kohärenten (orange) und inkohärenten (grün) Feldern.

Wenn die Energie eines hochfrequenten Schwingungsquants $E_{1}=h\cdot f_{1}$ auf mehrere tieffrequentere $E_{1}=N\cdot E_{2}=N\cdot h\cdot f_{2}$ verteilt wird, so sind dort innerhalb der Periode des tieffrequenten mehr mögliche Feldkombinationen. Es gibt jetzt zwei extreme Möglichkeiten:

Im inkohärenten Fall wird die Energie über eine Fläche um den Koordinatenursprung verteilt, grüne Fläche in Bild 43-2. In der Wirkungsebene entspricht die Energie für eine feste Periode T der Fläche ~ R² (R Radius), die Anzahl der Feldzustände der Peripherie nähert sich zumindest für große Radien dem Umfang ~ R. Die Unsicherheit und damit das Verhältnis Signal zum Rauschen entspricht dem des Schrotrauschens, $S/R\sim {\sqrt {N}}$.

Im kohärenten Fall addieren sich die Felder gleicher Phase und die Anzahl der am Ende der in linienartiger Struktur auftretenden Feldzustände (die Feldrichtungen aller Photonen sind korreliert) ist proportional zur Energie, orange in Bild 43-2. Die digitale Auflösungsgrenze

$h=E_{1}\cdot T_{1}=N\cdot E_{2}\cdot T_{1}$ [4-31]

liefert dann für beide Frequenzen die gleiche Zeitauflösung, was beim Mischen auf tiefere Frequenzen (wie man es bei Überlagerungsempfängern einsetzt und wobei die Phase transformiert wird) erlaubt, die Information und Zeitauflösung zu erhalten.

Unter dem Blickwinkel der Information enthält das monochromatische Photon alleine keinen Bezug zur ablaufenden Zeit. Zwei Photonen gleicher Frequenz haben zueinander den Bezug der Phasenlage. Diese ist dann zeitunabhängig und der Begriff der ablaufenden Zeit tritt genauso wenig auf wie im Koordinatensystem innerhalb der rotierenden Kugel (4.2.2.). Erst wenn die Frequenzen sich unterscheiden, erscheint eine zeitabhängige Änderung der Phasenbeziehung mit beschränkter zeitlicher Dauer in Form der Schwebung. Weitere Fourier-Komponenten mit anderen Frequenzen lassen dann die ablaufende Zeit präziser und umfangreicher werden. Der Anteil tiefer Frequenzen bezieht sich dann auf die Länge der ablaufenden Zeit, im Grenzfall die Lebensdauer unseres Universums, während die endlich hohen Frequenzen für die Grenzen der Präzision und Genauigkeit verantwortlich sind.

Die Genauigkeit der Zeitmessung beim harmonischen Oszillator auf Grund der digitalen Struktur von $H=N\cdot h$

Wegen $h=E/f=E\cdot T$ zeigt Bild 44-1 mit dem Anwachsen der Anzahl der Wirkungsquanten als Funktion der Energie $E_{N}=N\cdot h\cdot f$ klassisch eine Steigung $dH/dE=T$, der Periodendauer.

Bild 44-1: Wirkung $H=N\cdot h$ des harmonischen Oszillators $H=E\cdot T$ bei unterschiedlicher Energie. Die digitale Struktur der Wirkung bedingt eine Ungenauigkeit der Zeit (die Steigung entspricht der Periodendauer T) in Abhängigkeit der Füllstände des harmonischen Oszillators.

Gequantelt ($\Delta E=h\cdot f$) ist die Steigung ungenau definiert, es gibt eine maximale Ungenauigkeit der Periodendauer auf Grund der Digitalisierungsunschärfe

$dT_{n,n}=h/\left(\left(N-{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Delta E\right)-h/\left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Delta E\right)=(h/\Delta E)\cdot \left(N/\left(N^{2}-{\frac {1}{4}}\right)\right)=T\cdot N/\left(N^{2}-{\frac {1}{4}}\right)=T/\left(N-1/\left(4\cdot N\right)\right)$, [4-41]

die von der Besetzungszahl N des Oszillators (seiner Energie $E_{N}=N\cdot h\cdot f$) abhängt.

Der Sprung vom N. Energieniveau zum N+1. ist mit einem dT von

$dT_{n,n+1}=T/(N-{\frac {1}{2}})$ [4-42]

verbunden.

Statt H = f(E) wäre auch alternativ die Darstellung H = f(T) möglich. Dann wäre die Steigung die Energie mit äquivalenten Schlussfolgerungen für deren Genauigkeit, ein Ausmessen vieler Perioden T erlaubt eine genauere Bestimmung der Energie

$E=N\cdot h\cdot f=N\cdot h/T$. [4-43]

Zeitauflösung

Im Extremfall sind unendlich viele Oszillatoren an der Überlagerung beteiligt und realisieren damit einen einzelnen Delta-Impuls, wie ihn Bild 45-1 zeigt. Die unendliche Genauigkeit der Zeitangabe erfordert allerdings auch die Beteiligung unendlich hoher Frequenzen f und damit eine unendliche Energie $E=h\cdot f$. Beschränken wir uns auf eine maximale Frequenz $f_{max}$ und damit endliche Genauigkeit der Zeit $t$ +- $\Delta t,\Delta t\sim 1/f_{max}$, so bleibt auch die Energie $E_{max}=h\cdot f_{max}$ im Rahmen. Diese Überlegung betrifft zunächst nur die zeitliche Auflösung bei einer Zeitmessung. Eine begrenzte Dauer der gesamten ablaufenden Zeit t, wie sie oben bei periodischen Systemen beobachtet wurde, ist damit noch nicht ausgeschlossen. Die für eine unendliche ablaufende Zeit t nötige Einzigartigkeit des Impulses hängt dagegen von der unendlichen Dichte und den gegen die Frequenz Null vorhandenen spektralen Komponenten ab. Eine untere Grenzfrequenz würde eine endliche Dauer des zeitlichen Geschehens, in der keine Wiederholung erfolgt, bedeuten. Wegen der endlichen Zeit seit dem „Urknall“ existiert für unsere Beobachtung daher eine tiefste bisher erfassbare Frequenz. Diese Frequenz wird seit langer Zeit bis heute mit jedem neuen Tag niedriger.

Bild 45-1: Unendlich lange Zeit t und frequenzabhängige Zeitauflösung.

Photonen können Informationen übertragen helfen und enthalten die zeitliche Größe Periodendauer als fundamentale Eigenschaft. In Kapitel 3 wurde gezeigt, dass das einzelne Schwingungsquant im Resonator vier Feldzustände bei einer Messung zeigen kann, beim Photon jeweils die unterschiedlichen Richtungen eines elektrischen oder magnetischen Feldes, Bild 45-2 links. Die Grundfläche ist das Plancksche Wirkungsquantum h, mit der dritten Achse Frequenz wird die Energie als Volumen dargestellt. Diese dritte Achse gibt nun an, in wie schneller Folge die einzelnen Feldzustände abwechseln. Wenn solch eine Feldgröße die mögliche Information darstellt, dann liefert die Energie die zeitliche Dichte der Änderungen dieser Information. Rechts im Bild 45-2 ist dies zu sehen, der hohe Turm entspricht einem Photon der Frequenz $f_{1}$, die größer ist als die des flacheren Photons $f_{2}$ mit der blauen Deckfläche h.

Neben diesen beiden Photonen ist im Bild 45-2 rechts zu sehen, dass mehrere niederenergetische Photonen $f_{2}$ genauso viel Energie haben können wie ein hochenergetisches $f_{1}$. Wenn die zeitliche Informationsdichte mit der Energie identifiziert wird, dann müssten diese beiden Fälle die gleiche Information pro Zeit zur Verfügung stellen. Dies können wir im Bild 45-3 sehen. Ganz links ist das einzelne Photon mit vier möglichen Feldzuständen dargestellt. Diese stehen im Zusammenhang mit der Möglichkeit, die Phasenlage der Schwingung während des zeitlichen Ablaufs zu erkennen. Während das Bild 45-2 die Zeit als Dauer in Form der Frequenz $f=1/T$ enthält, ist in Bild 45-3 zusätzlich die ablaufende Zeit t als eine weitere Dimension durch die unterschiedlichen Farben präsent. Wenn man weitere Photonen in den Resonator gibt, so nimmt die Energie zu und damit auch die Anzahl unterscheidbarer Feldkombinationen, wie in Kapitel 3 besprochen. Dies bedeutet, dass die Phasenlage während einer Periode feiner strukturiert definiert ist, wie in den weiter links gezeigten Möglichkeiten mit 2, 4 und 8 Schwingungsquanten. Darunter sind jeweils vier erste unterscheidbare Phasenlagen a, b, c, d dargestellt. Übertragen auf Bild 45-2 bedeutet dies, dass der zeitliche Abstand des Wechsels definierter Phasen, die durch ihre jeweiligen Feldkombinationen charakterisiert sind, im Fall des hochenergetischen Photons genauso groß ist wie bei der entsprechend größeren Anzahl niederenergetischer Photonen.

Bild 45-2: Ein Schwingungsquant, die Grundfläche ist das Wirkungsquantum und mit der Frequenz als dazu senkrechte Achse liefert das Volumen die Energie. Viele Schwingungsquanten mit der Frequenz $f_{2}$ können die gleiche Energie liefern wie das hochenergetische mit der Frequenz $f_{1}$.

Bild 45-3: Der Resonator gefüllt mit 1, 2, 4 oder 8 Schwingungsquanten. Die ersten vier während einer Periode zu unterscheidenden Phasenlagen a, b, c, d sind darunter zu sehen.

Beim Messen der Zeit gibt es Grenzen der Genauigkeit. Dabei spielen folgende Einflüsse eine Rolle:

1. Die Anzahl unterscheidbarer Feldkombinationen hängt beim harmonischen Oszillator von der Energie ab. Im energieärmsten Fall kann man, wie in Kapitel 3 beschrieben, vier Feldzustände unterscheiden, Bild 45-3 links. Mit steigender Anzahl N der Quanten (Elektronen und magnetische Flussquanten) nimmt die Energie quadratisch zu, $E\sim N^{2}$. Die Anzahl der möglichen Feldkombinationen und damit die Anzahl der unterscheidbaren Zeitintervalle pro Periode wächst mit dem Umfang der Energiekreise, wie mit Bild 45-3 gezeigt wurde und im Bild 44-3 zu sehen war, also proportional zum Radius und damit zu $N$. Dieses Verhalten entspricht einer Beobachtung mit Schrotrauschen. Entsprechend dem noch folgenden Kapitel ist die Information, die die felderzeugenden Quanten tragen (Elektronen und Magnetflussquanten im elektromagnetischen System, Auslenkungs- und Impulsquanten für mechanische Systeme) dann auf die zeitliche Auflösung (die Dauer der Zeitintervalle) und als zweite Komponente auf das Verhältnis der energietragenden Felder (zum Beispiel von elektrischen zu magnetischen Feldern) aufgeteilt.

2. Proportional zur Energie steigt die zeitliche Auflösung, wenn man die Frequenz erhöht, $E=h\cdot f$. Durch Zählen von Perioden kann man Frequenz und Periodendauer verschiedener Oszillatoren vergleichen und unterscheiden, wenn man längere Zeit zählt. Um einen Unterschied festzustellen, ist es nötig, dass sich die Ergebnisse um mindestens die Zahl 1 unterscheiden. Wenn man eine angestrebte Genauigkeit vorgibt, folgt daraus eine Mindestdauer Tm für den Messprozess, das Zählen; bei zwei Oszillatoren mit den Periodendauern $T_{1}$ und $T_{2}$ also im einfachsten Fall

$T_{m1}=T_{1}\cdot T_{2}/|T_{1}-T_{2}|$ [4-51]

was dem Inversen der Differenzfrequenz von $f_{1}=1/T_{1}$ und $f_{2}=1/T_{2}$ nämlich

$f_{m}=1/T_{m1}=|f_{1}-f_{2}|$ [4-52]

entspricht.

3. Mit zwei oder mehr Oszillatoren steigt die Anzahl der möglichen Feldkombinationen, entsprechend Abschnitt 4.3. für zwei Oszillatoren auf

$N_{S}=N_{1}\cdot N_{2}$. [4-53]

Als Anzahl der einzelnen Feldkombinationen tritt dieses Produkt während der Schwebung auf ein Zeitintervall TS verteilt auf. Das Zeitintervall der Messung wird damit länger und die relative Genauigkeit der Zeitmessung steigt. Die Dauer einzelner Feldzustände wird allerdings nicht verringert und die absolute zeitliche Auflösung daher nicht verbessert.

Sanduhr, gedämpfter Oszillator und Kondensatorentladung

Eine weitere Möglichkeit, die Anzahl der Feldkombinationen zu erhöhen und damit auch die gesamte Dauer der „ablaufenden“ Zeit t, besteht darin, die Amplitude im Laufe der Zeit zu verändern, also zum Beispiel zu dämpfen, wie es in Bild 46-1 rechts gegenüber dem ungedämpften linken Teil angedeutet ist. Dämpfung erfordert einen Energieaustausch mit der Umgebung. Da eine Energieabgabe stets mit definierten Quanten erfolgt, taucht eine digitale Struktur auf.

Bild 46-1: Harmonischer Oszillator im Phasenraum ohne und mit Dämpfung.

Damit wenden wir uns von schwingenden Systemen ab. Historisch war das Stundenglas der Vorgänger der periodischen Uhren, im Prinzip eine Sanduhr, wie wir sie heute noch verwenden, Bild 46-2. In der christlichen Seefahrt mussten zwei Matrosen diese Uhr beobachten und rechtzeitig wenden, damit die für die Navigation lebenswichtige Zeitinformation nicht verloren ging.

Bild 46-2: Sanduhr.

Das einzelne Korn kennt nur das Ereignis des Ortswechsels, erst die vielen Körner liefern die Vorstellung einer ablaufenden Zeit t. Die Genauigkeit der Zeitmessung ist durch den zeitlichen Abstand der fallenden Sandkörner begrenzt. Wir benötigen für eine ablaufende Zeit t also auch hier das Beobachten einer Dynamik und den Bezug zu mehreren Objekten. Dies führt uns wieder zum Problem des Entladens eines Kondensators. Mit vielen gespeicherten Elektronen und damit bei großer Energie, erfolgt das Entladen, charakterisiert durch die Zeitkonstante $\tau =R\cdot C$, mit hohem Strom und schneller Elektronenfolge, Bild 46-3.

Bild 46-3: Entladen eines Kondensators, $U_{n}=n\cdot e/C$ rot, $E_{n}=n^{2}\cdot e^{2}/2C$ blau.

Das Entladen erfolgt Elektron für Elektron, zunächst in schneller Folge, dann immer langsamer. Die RC-Kombination als Uhr wird also im Laufe der Zeit mit sinkender Energie immer ungenauer. Wie oben ist auch hier mit dem Ablauf der Zeit ein Austausch von Energie verbunden. Mit der Wirkung H als Maß für einen Anteil der Information entspricht die Energie der entsprechenden zeitlichen Informationsdichte, $E=\Delta H/\Delta t$. Gegen Ende der Entladung sind an anderer Stelle besprochene Einflüsse durch die Magnetflussquantelung denkbar, die obige Abbildung hat also möglicherweise weitere Grenzen der Gültigkeit. Im Unterschied zu den vorher diskutierten Systemen wird es aber keine Wiederholung mit Neubeginn geben, es gibt ein Ende der Zeit, allerdings nicht unendlich spät, wie durch die Grundladung e/2 in Kapitel 2 gezeigt und mit während der Entladung mehr und mehr verschwindender Genauigkeit eines zeitlichen Intervalls für den hypothetischen Zeit“punkt“. Ein Zusammenhang mit der abzählbaren Menge von Wirkungsquanten $N\cdot h$ wurde bereits in Kapitel 2.6 beschrieben.

Abstrahlung

Die spontane Emission von Licht aus angeregten Atomen erfolgt zeitlich exponentiell mit systemtypischen Abklingzeiten. Das gleiche Verhalten zeigen niederfrequente Resonatoren, die ihre Energie abstrahlen oder an Leitungen abgeben. Die Simulation von Bild 46-11 zeigt einen Leitungsteil mit der Impedanz $Z_{R}$ und zwei unendlich stark reflektierenden Abschlüssen an den Orten x = 0 und x = $X_{0}$. Dazwischen existiert eine ungedämpfte Schwingung, bis dann zum Zeitpunkt $T_{0}$ der Schalter S geschlossen wird. Daraufhin wird an der Stelle $x=X_{0}$ nur noch ein Teil der Schwingung reflektiert und der andere Teil expandiert in die Leitung mit der Impedanz $Z_{U}$. Das Verhältnis von reflektierter zu transmittierter Energie hängt vom Unterschied der beiden Impedanzen $Z_{R}$ und $Z_{U}$ ab. Wenn beide Impedanzen ungleich sind, wird an der Übergangsstelle nur ein vom Impedanzunterschied abhängiger Teil der Energie reflektiert und es erfolgt die Energieabgabe allmählich raumzeitlich mit exponentiell abnehmender Amplitude im Resonator und entsprechender Energie in der abgestrahlten Welle. Damit treten also Feldabfolgen auf, die sich von den vorherigen unterscheiden – es gibt eine länger als eine Periode $T$ „ablaufende“ Zeit $t$. Die an die zunächst unendlich lang gedachte Leitung abgegebene Energie/Feldverteilung breitet sich mit Wellengeschwindigkeit aus, die räumliche Verteilung ändert sich mit der Zeit. Die Zeit wird in eine räumliche Dimension transformiert. Erhält die Leitung eine endliche Länge und ein reflektierendes Ende, so kehrt die Welle zurück und an der Reflexionsstelle $x_{0}$ wird sie erneut in einen transmittierten und einen reflektierten Teil aufgespaltet. Die Energie der Welle wird in Raum und Zeit verschmiert. Bei reflexionsfreier Ankopplung an der Stelle $x_{0}$ beginnt der Prozess anschließend an den Resonatordurchlauf von vorne, es ergibt sich ein periodisches Verhalten mit begrenzter endlicher Dauer $T$ der „ablaufenden“ Zeit $t$. Ein Abschluss der endlich langen Leitung mit einem üblichen ohmschen Widerstand gleicher Impedanz bedeutet das Übertragen der elektromagnetischen Information in die Unordnung der Wärme.

Bild 46-11: Amplitude in Abhängigkeit von der Zeit, wenn an eins der reflektierenden Enden am Ort $X_{0}$ der Leitung mit der Impedanz ZR zum Zeitpunkt $T_{0}$ eine Leitung mit Impedanz ZU geschaltet wird. Rechts ein größerer Zeit- und Raumbereich.

Wie weit die Analogie reicht, sieht man am für das Abklingen des Lichtes bei spontaner Emission relevanten Einsteinkoeffizienten, der mit dem Realteil der Brechzahl n multipliziert werden muss, wenn die Umgebung des strahlenden Atoms nicht Vakuum sondern ein Medium mit der Brechzahl $n={\sqrt {(\mu _{r}\cdot \epsilon _{r})}}$ ist.

Diese „analoge“ Beschreibung ist zunächst für Resonatoren mit vielen darin enthaltenen Photonen richtig oder als Mittelwert eines Ensembles von Atomen, die jeweils ein Photon abstrahlen. Sie gestattet jedoch nur wenig Aussage über das einzelne Photon an einem einzelnen Atom. Die Situation ist ähnlich zu dem in Kap.2.6. und Kap.5.3.1. untersuchten Entladen eines Kondensators. Bei diesem Energiespeicher für das elektrische Feld gibt es genauso wie beim Energiespeicher für das Magnetfeld, der Spule, einen Zusammenhang zwischen der Zeitkonstante der Entladung und der Impedanz, über die entladen wird. Setzt man Ähnliches für das fluoreszierende Atom an, dessen Energie in die Impedanz des Vakuums entladen wird, so gilt $\tau =R\cdot C_{A}=Z_{0}\cdot \epsilon _{0}\cdot \lambda _{CA}$ und $\tau =L_{A}/R=\mu _{0}\cdot \lambda _{LA}/Z_{0}$ mit den Quotienten aus Länge und Zeitkonstante, $\lambda _{L}A/\tau =\lambda _{CA}/\tau =c$, der Lichtgeschwindigkeit und dem Quadrat der Zeitkonstante $L\cdot C=\tau ^{2}$. Die Quotienten $\lambda _{XY}=A/d$ aus Flächen und Abständen, die die räumliche Feldverteilung charakterisieren, sind dabei groß gegen die Wellenlänge der emittierten Strahlung.

Aus Kapitel 2 kennen wir die Darstellung von Impedanzen mit den abzählbaren Größen Ladung e und Flussquant $\Phi _{0}$. Dies soll nun im Zusammenhang mit der Reflexion anwendet werden, weitere Einzelheiten sind im Internet ausgeführt. Das Ergebnis ist, dass die bekannten Reflexionsgesetze das Erhalten der Anzahlen von Ladungen und magnetischen Flussquanten beinhaltet, wenn man eine mögliche Vorzeichenumkehr mit berücksichtigt. In diesem Fall werden gegebenenfalls bei der Reflexion neue Quanten erzeugt, allerdings mit entgegengesetztem Vorzeichen für die unterschiedliche Richtung beim Ausbreiten.

Bild 46-12: Reflexion elektromagnetischer Signale an der Koppelstelle zweier Leitungen unterschiedlicher Impedanzen R1 und R2.

In Bild 46-12 sind die beiden verbundenen Leitungen mit den Wellenwiderständen $R1=(m1/n1)\cdot \Phi _{0}/e$ (grün) und $R2=(m2/n2)\cdot \Phi _{0}/e$ (rot) und der Reflexionsstelle (blau) zu sehen. Die Leitungen sind jeweils charakterisiert durch das Verhältnis m/n der Anzahl der Flussquanten pro Elektron in ihrem Bereich. Die ankommenden magnetischen und elektrischen Quanten $Ql_{\Phi }$ und $Ql_{Q}$ verteilen sich auf die reflektierten $Rf_{\Phi }$ und $Rf_{Q}$ und den Transmissionsanteil $Tr_{\Phi }$ und $Tr_{Q}$. Die Tabelle mit 4-1 gibt die Anzahlen für die einzelnen Anteile an.

Tabelle 4-1: Verteilung der Quanten der Quelle auf reflektierte und transmittierte Wellen.

	Quelle	Reflexion	Transmission
Φo	(m1·n2) + (m2·n1)·m1= Ql Φ	[(m1·n2) - (m2·n1)]·m1= Rf Φ	Qm+-Rfm=TrΦ
e	(m1·n2) + (m2·n1)·n1=QlQ	[(m1·n2) - (m2·n1)]·n1=RfQ	Qe+-Rfe=TrQ
m/n	m1/n1	m1/n1	m2/n2

Mit den Impedanzen der Quelle Leitung 1, links, $R1=(m1/n1)\cdot {R_{k}/2}$ und der Leitung 2 hinter der Reflexionsstelle, rechts $R2=(m2/n2)\cdot {R_{k}/2}$, ist das für Reflektion und Transmission relevante Verhältnis

$V_{1,2}=R1/R2=(m1/n1)/(m2/n2)=(m1\cdot n2)/(m2\cdot n1)$ [46-1]

und für die Reflexion gilt

$Re=(m1\cdot n2-m2\cdot n1)/(m1\cdot n2+m2\cdot n1)$ [46-2]

und entsprechend für die Transmission

$Tr=1-|Re|=[2(m1\cdot n2)]/[(m1\cdot n2)+(m2\cdot n1)]$ [46-3]

Dies bedeutet, wie schon oben erwähnt, dass an der Reflexionsstelle neue Quanten auftauchen können. Dies geschieht allerdings paarweise mit entgegengesetztem Vorzeichen, so dass die Summe von Ladungen und Flussquanten unverändert bleibt.

Unabhängig von der Anzahl der anfallenden Quanten bleiben die Summe der Energie und damit die Informationsdichte erhalten und unverändert.

Spontane Emission des einzelnen Photons und Abklingzeit

Was folgt aus dem Zusammenhang zwischen der Impedanz unseres Photonen abstrahlenden Systems und der Abklingzeit für ein einzelnes Atom, das nur ein Photon zur Abstrahlung bereit hält  ? Im Experiment beobachten wir nach definierter Anregung, dass irgendwann  ! dieses Photon abgestrahlt wird, der mögliche Zeitbereich der Emission erstreckt sich vom Beginn der Anregung bis unendlich. Aus diesem Einzelfall kann keine Abklingzeit ermittelt werden, nur die Tatsache, dass überhaupt abgestrahlt wird; die Abklingzeit und die entsprechende Impedanz bleiben also unbestimmt. Erst wenn mehrere Photonen beobachtet sind, also der Versuch im Zeitbereich mit einem einzelnen Atom wiederholt wird oder räumlich gleichzeitig viele Atome angeregt werden, auf jeden Fall also das Experiment mit vielen Photonen in Relation zueinander durchgeführt wird, kann man genauere Aussagen über die Abklingzeit und damit auch die Impedanz gewinnen. Hinter der Physik der Abklingzeit steht die Information als Eigenschaft einer Gruppe. Betrachtet man das einzelne Atom und wiederholt das Experiment, so werden die einzelnen Photonen im allgemeinen mit verschiedener Verzögerungszeit nach einer impulsartigen Anregung ausgesandt. Bei zwei Photonen zu verschiedenen Zeiten nach gleichzeitiger Anregung könnte man einen zeitlichen Schwerpunkt dazwischen so bestimmen, dass das erste Photon der ersten Halbwertszeit zugeordnet wird und das zweite der Restzeit, wegen der Varianz des Schrotrauschens ist dies aber physikalisch nicht sinnvoll. Mit vier Photonen kann man einen ersten zeitlichen Schwerpunkt bestimmen und auch eine Varianz abzuschätzen, die genauer als der gesamte Zeitbereich von $t=0...\infty$ ist.

Bild 46-21: Zeitliches Abklingen der Energie mit der Halbwertszeit $\tau$ (oben) und zeitlich transformierte Darstellung [0 =< t’ =< 2] mit konstanter Photonendichte (unten).

Bild 46-21 zeigt das Prinzip. Die wahrscheinliche zeitliche Verteilung der emittierten Photonen wird uns mit der e-Funktion beschrieben. Zur Halbwertszeit wurde bereits die erste Hälfte der Photonen emittiert, die andere Hälfte folgt danach. In der nächsten Halbwertszeit sind wieder genauso viele Photonen zu erwarten wie in der darauf folgenden Restzeit. In der oberen Darstellung sind beide Achsen linear skaliert. Im unteren Teil des Bildes wird eine andere Transformation verwendet. Die Zeitachse wird so skaliert, dass jeweils gleiche Photonenzahlen pro Zeiteinheit erscheinen. Eine Transformation der Zeitachse t --> t’ gestattet uns dies, und damit wird erreicht, in Bild 46-21 unten symmetrische Verhältnisse darzustellen, wobei mit dieser nichtlinearen Zeitachse t’ in diesem anders skalierten Bild die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Photonenemission konstant ist. Dies erinnert an das Paradoxon des Zenon von Elea, den Wettlauf mit der Schildkröte bei einer ähnlichen gedanklichen Zeitkompression und entsprechend auch dem Entladen des Kondensators.

$t_{n}=n\cdot \tau$ ;$t_{n}=\sum (1/2^{n})$ [46-4]

Bei vier emittierten Photonen kann man dann erwarten, dass zwei in der ersten Hälfte und zwei in der zweiten Hälfte auftreten. Allerdings tritt durch das Schrotrauschen eine Unsicherheit mit der Wurzel aus der Anzahl der Photonen auf: 4 +-2 bedeutet, dass anstatt der gleichmäßigen Verteilung 2: 2 auch 3: 1 oder 1: 3 als Verteilung wahrscheinlich wäre. Die Abklingzeit $\tau$’, die wir aus der zeitlicher Struktur entnehmen können, ist also mit einer Unsicherheit behaftet und man kann nur drei Zeitbereiche unterscheiden, Bild 46-22 oben:

Bild 46-22: Bestimmung der Halbwertszeit bei verschiedenen Photonenzahlen. Das gesamte Intervall 0 =< t’ =< 2 ist mit 4 Photonen in drei Klassen aufteilbar, mit 16 schon in fünf.

I. den Zeitbereich vor der Abklingzeit (der erste Teil des Zeitbereich außerhalb der Abklingzeit) II. den Zeitbereich, in den die Abklingzeit fällt III. den Zeitbereich später (der zweite Teil des Zeitbereich außerhalb der Abklingzeit)

Mit neun Photonen ist bereits eine genauere Klassifizierung möglich, die Abklingzeit ist mit +-3 Photonen im Bereich zwischen dem dritten und dem siebten Photon, Bild 46-22 Mitte; in Bild 46-22 unten mit sechzehn Photonen und +-4 Photonen zwischen dem sechsten und elften Photon ist die zeitliche Struktur noch genauer definiert. Die Genauigkeit, mit der die Abklingzeit bestimmt werden kann, wächst mit der Wurzel der Zahl der Photonen und überträgt sich entsprechend auf die Impedanzbestimmung. Damit ist klar, dass nicht das einzelne Photon die Information der Halbwertszeit trägt, sondert diese Art Information erst in den Beziehungen vieler beobachteter Photonen untereinander existiert. Das einzelne Photon trägt die Information des Ortes und der Zeit der Beobachtung, wir leiten andere Größen durch Beobachtung zahlreicher Photonen und passende Integration ab, im allgemeinen bei Verminderung der Menge der gesamten ursprünglich zur Verfügung stehenden Information. Eine elektrische Impedanzmessung durch Zählen von Elektronen und magnetischen Flussquanten hat übrigens die gleiche Konsequenz, s. Kapitel 2, erst über die großen Zahlen kann eine große Genauigkeit erreicht werden. Die abzählbaren Größen sind durch das Schrotrauschen charakterisiert.

Es muss an dieser Stelle erwähnt werden, dass die obigen Gedanken gelten, wenn man wirklich einen Überblick über den gesamten Abklingprozess hat. Dies ist nach genügender Intensitätsabnahme oder kontrollierter Anregung der Fall, wenn man zum Beispiel weiß, wie viele Photonen insgesamt auf Grund der Anregung emittiert werden können. Wenn dies nicht bekannt ist, muss man die Zeitdifferenzen zwischen den einzelnen Photonen messen. Der mittlere zeitliche Abstand zwischen den Photonen wird sich bei jeder folgenden Halbwertszeit verdoppeln. Daraus lässt sich dann ebenfalls der Verlauf des Abklingens mit den oben diskutierten Grenzen der Genauigkeit rekonstruieren, die Ableitung einer e-Funktion ist eben wieder eine e-Funktion.

Zwischen den einzelnen fluoreszierenden Zentren besteht in Bild 46-23 nach gegenwärtiger physikalischer Deutung nur der Zusammenhang der gleichzeitigen Anregung. Es gibt keine bekannten Wechselwirkungen zwischen ihnen, die die Information der Fluoreszenz an andere Zentren übertragen und miteinander abstimmen. Das andere Extrem wäre die räumliche Singularität. Ein einzelnes geeignetes Atom, also an einem festen Raumpunkt, wird mehrfach angeregt und jeweils das Zeitintervall bis zur Fluoreszenz registriert. Von der damit möglichen Messfolge könnte man mehr oder weniger viele Ergebnisse auswählen und kombinieren. Sowohl die Abklingzeit wie auch die Impedanz sind kollektive Größen, die erst in der Summe von Einzelereignissen ihren Sinn erhalten. In unserer gegenwärtigen Modellierung finden wir keinen Bezug der Größe Abklingzeit, die wir dem einzelnen Objekt zur Umgebung im Universum zuordnen, jedenfalls solange man die Abhängigkeit der Einsteinkoeffizienten von der Brechzahl außer acht lässt. Die Größe Impedanz dagegen kann man sich durchaus schon jetzt als auch von der Umgebung geprägt vorstellen.

Bild 46-23: Impulsartige Anregung eines Fluoreszenz-Volumens und Detektion der Abklingzeit in verschiedenen Messfeldern.

Der Experimentator bestimmt mit der Art der Anregung und der Auswahl des Beobachtungsfensters, welche Gruppe von Fluoreszenz-Zentren für das Ergebnis der Messung zusammenwirkt und die gemeinsame Information repräsentiert. Dank des Schrotrauschens ist diese Auswahl unabhängig von individuellen Objekten, es ist also egal, wie diese Gruppe zusammengesetzt wird. Die Ergebnisse solcher Messungen lassen erwarten, dass es im Bereich der Information Zusammenhänge gibt, die wir bisher noch nicht physikalisch beschrieben haben.

Zeit und Länge

Erst die Beziehung von Quanten untereinander oder der Bezug eines einzelnen Quants auf die Maßstäbe von Raum und Zeit, welche die Wirkung und Existenz der anderen Objekte des Universums repräsentieren und eine Beziehung zu diesen ermöglichen, gestattet uns, physikalische Größen in gewohnter Weise zu definieren und zu messen, siehe Kapitel 1.1. Mit zwei Objekten gelingt es, einen Abstand zu erhalten. Eine Richtung wird damit noch nicht definiert, denn Richtungen gibt es in diesem zunächst eindimensionalen Raum noch nicht. Dazu werden mindestens drei Objekte und die daran gekoppelten Beziehungen benötigt.

Am Beispiel der Zeit wurde erörtert, dass es einen Unterschied im Beschreiben zeitlicher Bezüge gibt, zeitlicher Längen als „Dauer“ konstanter „Zustände zwischen zwei Änderungen“ und beim zeitlichen Sortieren von „Ereignissen“ in eine Reihenfolge, bei denen sich i.a. Energieformen ändern. Die ablaufende Zeit ist dann eine Folge von Zeitdauern, während denen keine Änderungen geschehen. Damit liefern diese „Dauern“ eines der Maße dafür, wie genau die physikalisch beschriebene Welt zeitlich definiert ist.

Für die Kombination zeitlicher Dauern gilt ein Gesetz, wie es Bild 47-1 demonstriert.

$T_{kl}+T_{l--}++T_{--m}=T_{km}$ [47-1]

Die ablaufende Zeit als eindimensionale Größe ermöglicht diesen einfachen Zusammenhang der Addition von Dauern für zeitliche Beziehungen.

Bild 47-1: Die Addition zeitlicher Dauern.

Bild 47-2: Die Additionen von Längen sind auf Flächen zurückzuführen.

Das Aneinanderhängen von Längen geschieht dagegen nicht so einfach, da es in mehr als einer Dimension auch noch Richtungen gibt und nicht nur Positionen. Kombinierte Vektoren sind komponentenweise zusammenzufassen. Damit kommt der Satz des Pythagoras ins Spiel und die zu addierenden Größen sind Flächen, wie es Bild 47-2 zeigt. Für die Längen $L_{12}$ und $L_{23}$ gilt zunächst,

$L_{12}^{2}+L_{23}^{2}=L_{13}^{2}$ [47-2]

was der Addition des roten und grünen Quadrates zum gelben entspricht. Die Addition einer dritten Komponente, $L_{34}$, führt dann zur Addition des blauen Quadrates mit dem Ergebnis des violetten $L_{14}$. Die Addition könnte auch in anderer Reihenfolge erfolgen, also erst das rote und dann das türkise Quadrat als Ausgangskombination.

$L_{12}^{2}+L_{23}^{2}+L_{34}^{2}=L_{14}^{2}$ [47-3]

Oben rechts in der Abbildung sind die jeweils am Pythagoras beteiligten Dreiecke mit ihrem rechten Winkel markiert.

„Zustände“ und „Ereignisse“ können abhängig vom Standort sein. So ist aus der elektrischen Sicht die „Dauer“ des konstanten E-Feldes erzeugt von einer Ladungsmenge (zwischen den Platten eines Kondensators) durch das „Ereignis“ Stromfluss begrenzt, während eine solche Zuordnung aus magnetischer Sicht (das konstante Magnetfeld in der stromdurchflossen Spule) genau umgekehrt erfolgt.

Das räumliche Pendant sind „Längen“ und „Positionen“ sowie bei mehr als einer Dimension noch „Richtungen“, mit denen man geometrische Größen und Abstände erfasst. Es gibt allerdings einen wesentlichen Unterschied zwischen Zeit und Raum: im von der ablaufenden Zeit losgelösten Raum gibt es keine Vergangenheit oder Zukunft und damit keine allgemein ausgezeichnete Richtung im dreidimensionalen Raum, sie existiert nur im Bezug auf eine Objektkombination.

Beide Maße für Raum und Zeit zeigen Grenzen des physikalisch definierten Geschehens auf Grund der endlichen Informationsmenge, die in dem beobachteten und mit Messungen erfassten Teil der Welt vorliegt. Es gibt also Schwellen für unterscheidbare Zustände und kleinste Maßeinheiten.

Die im Zusammenhang mit Induktivitäten und Kapazitäten eingeführten Längen $\lambda _{x}$ und Zeitkonstanten $\tau _{x}$ ergeben sich erst durch die Kombination mit externen Impedanzen entweder direkt oder in ihrer Kombination mit den in Kapitel 6 diskutierten Geschwindigkeiten, wie man beim Entladen feldtragender Elemente und auch bei den Abklingzeiten einer Fluoreszenz im Zusammenhang mit den Einsteinkoeffizienten sehen kann, s.o.

Die Größen der Intervalle „Dauer“, „Ereignisse“ und „Länge“… hängen von der Menge N an Informationsblöcken ab, die die Wirkung $H=N\cdot h$ repräsentiert. Die Energie

$E=dH/dt=h\cdot \Delta N/\Delta t;(H=N\cdot h)$ [47-4]

ist dann die zeitliche Dichte dieser Information. Dazu gehört dann ein kleinstes definiertes und beobachtbares Intervall $T_{min}=\Delta t$, das von der Größe der Energie E abhängt.

Definitionsgrenzen der Zeit

1. Der Begriff der „ablaufenden Zeit“ $t$ macht nur Sinn, wenn er im Zusammenhang mit Ereignissen und Veränderungen benutzt wird.

2. Zunächst existiert „Zeit“ in Form einer Dauer $T$, während der irgend ein Zustand, eine Größe konstant bleibt (Ladung auf dem Kondensator, Anzahl der Sandkörner im Volumen der Uhr, Kombination von Feldzuständen). Anfang und Ende einer Dauer sind mit Änderungen verbunden, die eine Reihenfolge charakterisieren können. Wie in Kapitel 6 zu sehen sein wird, kann einer Dauer eine zeitliche Richtung zugeordnet werden.

3. Die Zeit als Dauer tritt bei sich wiederholenden Vorgängen auf, zum Beispiel der Periodendauer des harmonischen Oszillators, aber auch bei der Zeitkonstante des RC-Gliedes, sie charakterisiert die Existenz und Stabilität eines Zustandes, zum Beispiel einer Feldkombination.

4. Treten innerhalb einer Periodendauer $T$ unterscheidbare Zustände auf, so existiert eine „ablaufende“ Zeit t während und für die Dauer einer Periode mit einer zeitlichen Auflösung $\Delta t$, die durch die Anzahl der verschiedenen durchlaufenen Zustände und deren „Lebensdauer“ als Bruchteil der Periodendauer $T$ gegeben ist. Diese Dauer $\Delta t$ ist mit der Energie gekoppelt.

5. Diese „ablaufende“ Zeit $t$ hat eine Richtung, die sich aus der Dynamik des Systems ergibt. Sie erlaubt, „vorher“ und „nachher“ zu unterscheiden, also „schon bekanntes“ und „erwartetes“.

6. Werden mehrere Systeme kombiniert, so ergeben sich mehr mögliche Kombinationen von Zuständen und damit eine längere Folge von „Lebensdauern“ statischer Kombinationen – gleichbedeutend mit einer längeren Zeitspanne, für die eine „aktuelle Zeit“ definiert werden kann.

7. Eine unendlich lange „ablaufende“ Zeit erfordert eine unendliche Menge von Kombinationen unterschiedlicher Zustände oder unendlich lange Zeitspannen. Da der Energieaufwand für unendlich lange Zeitspannen gegen unendlich klein konvergiert, gibt es aus energetischen Gründen keine Grenze für eine unendlich lange Zeit, gegebenenfalls aber aus der endlichen Anzahl von Zuständen.

8. Mit einem externen Zähler kann eine langfristig „ablaufende“ Zeit definiert werden. Zum Zählen wird Energie benötigt. Für eine unendliche Dauer bleibt diese Energie begrenzt, für eine unendliche Auflösung der Zeit dagegen nicht.

9. Die mögliche Genauigkeit der Zeit ist also durch die Energie begrenzt, eine unendlich kurze Zeitspanne erfordert eine unendlich große Energie.

10. Das „jetzt“ der ablaufenden Zeit ist dadurch charakterisiert, dass es zwei unterschiedliche Zustände voneinander trennt. Die Zeit $T$ als Dauer und als ablaufende Zeit $t$ sind daher komplementäre Größen im Sinne des Abtasttheorems.

Die Zeit $t$ ist also nicht eine kontinuierlich ablaufende Größe, sondern zerfällt in eine Folge von Zeit“dauern“ $T$ mit einer von der Wahrscheinlichkeit und Energie geprägten Länge, während derer jeweils keine Änderung von Zuständen beobachtbar ist. Die Zeit“richtung“ ergibt sich aus den Systemeigenschaften und Anfangsbedingungen.

Die Zeit als Dauer ist charakteristisch für einzelne Objekte wie die Periodendauer des Schwingkreises, die Zeitkonstante einer RC-Kombination oder die Lebensdauer radioaktiver Atome. Sie stellt den Bezug zwischen dem Beginn und dem Ende eines statischen Zustandes her. Mehrere Zeitspannen kann man natürlich in „länger“ und „kürzer“ sortieren.

Die ablaufende Zeit $t$ liefert eine Beziehung zwischen mehreren Objekten oder Zuständen und damit verbundenen Ereignissen, ein „Vorher“ und „Nachher“ gibt es für ein einzelnes Ereignis nicht.

Für einen Rotator oder harmonischen Oszillator ist es eindeutig, was in der Zukunft passiert oder in der Vergangenheit war, wenn man die aktuellen Größen, zum Beispiel Ort und Geschwindigkeit kennt. Aus der Kombination der beteiligten Energien kann man dies nicht sehen, da diese durch das Quadrieren ($E_{kin}=m\cdot v^{2}/2$,...) die Richtungsinformation verliert, die im einzelnen Vektor der Geschwindigkeit aber enthalten ist. Die zeitliche Symmetrie vieler physikalischer Gleichungen führt eigentlich nicht zu einem Vergangenheits-Zukunfts-Problem, denn aus dem aktuellen Zustand mit allen Koordinaten im Phasenraum ergibt sich der zeitliche Ablauf. Falsch ist unsere Vorstellung einer unendlichen Genauigkeit in einer analogen Welt. Ein Problem taucht beim Beschreiben eines physikalischen Systems erst auf, wenn der Zustand unterhalb der Definitionsschwelle (der Größe der Digitalisierungsstufe) liegt und daher die Zukunft noch nicht aus den Naturgesetzen definiert wird, das heißt damit also auch nicht daraus folgend vorherbestimmt ist.

Die Zeitvorstellung dieses Kapitels betrifft keine absolute Zeit, sondern Zeit als eine Art der Information, die Beziehungen von Ereignissen beschreibt. Die Zeit $T$ beschreibt die Dauer zwischen dem Start und dem Ende eines konstanten Zustandes. Eine solche Information existiert nur in Bezug auf mehr als ein Objekt oder einen Zustand, wie beim Rotator zu sehen war. Die ablaufende Zeit $t$ beschreibt Konstellationen zwischen verschiedenen Ereignissen, hier sind Bezüge offensichtlich.

Bei den noch folgenden Gedanken wird sich teilweise eine Symmetrie zwischen räumlichen und zeitlichen Beziehungen zeigen. Es liegt daher nahe, auch beim Beschreiben des Raumes nach ähnlichen Charakteristiken zu suchen, wie sie zum Verständnis der Zeit dienten. Der räumliche „Abstand“ beschreibt die Entfernung zwischen zwei Objekten. Dies ist zunächst genau so eine analoge Größe wie ein zeitlicher Abstand. Im Gegensatz dazu steht die schon in Kapitel 3 gequantelt aufgetretene Größe einer Amplitude, die eine Eigenschaft eines schwingenden Systems anscheinend ohne Bezug auf die Umgebung ist. Eine „Länge“ im Raum entspricht daher der „Dauer“ bei der Zeit. Man kann Objekte nach ihrer Länge sortieren, genauso wie schwingende Systeme nach ihrer Periodendauer. Auch eine solche Länge bedarf allerdings eines Bezuges. Beim Rotator war die Periodendauer ohne Bewegung von einem Relativobjekt im mitbewegten Koordinatensystem nicht definiert. Das Auslenken einer Masse in einem Masse-Federsystem bezieht sich auf die Fixpunkte der Feder, ohne einen solchen Bezug ist ihre Angabe in einem mitbewegten Koordinatensystem sinnlos.

Mit der kleinsten Informationseinheit, 1 Bit, kann man (nur!) beschreiben, ob ein räumlicher Punkt innerhalb oder außerhalb eines Volumens liegt oder zeitlich ein Ereignis innerhalb einer Zeitspanne, der Dauer, oder außerhalb stattfindet. Die Menge an Information liefert also immer die Grenzen der möglichen Genauigkeiten von zeitlichen und räumlichen Maßstäben und der mit ihr beschreibbaren Bezüge in der physikalischen Welt.

Anmerkungen

Kapitelnavigation - Die abzählbare Physik

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ? | Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz | Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen | Die Zeit und ihre Messung | Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film | Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten | Information, Raum und Zeit | Dank