Die abzählbare Physik/ Information, Raum und Zeit

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In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ? | Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz | Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen | Die Zeit und ihre Messung | Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film | Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten | Information, Raum und Zeit | Dank

 

Information ist in Bezügen zu finden, zum Beispiel in raum-zeitlichen. Bei zahlreichen Experimenten zeigen sich die kleinsten beobachteten Einheiten von Informationen geprägt durch das Plancksche Wirkungsquantum $h$ in Kombination mit Energie oder Impuls, es sind also noch weitere Koordinaten als Raum und Zeit beteiligt. Zum Messen von Beziehungen braucht man mindestens zwei Abtastungen, eine solche Dreieinigkeit bildet also eine Gruppe minimaler Größe zum Erfassen einer kleinsten Einheit von Information. In der Geometrie ist die Anzahl von Punkten und Verbindungslinien zwischen ihnen nur für die Anzahl drei gleich. Als Folge lässt sich dann anschaulich herleiten, in welcher Form individuelle „punktuelle“ und kollektive Informationen nebeneinander existieren, sich ergänzen und teilweise gegeneinander getauscht werden können.

Experimente mit Würfeln ermöglichen den gedanklichen Zugriff auf Probleme der Information. Trotz der Dominanz des Zufalls ist es möglich, Gesetze zu finden. Basis dieser Möglichkeit sind vorhandene Strukturen, die den Bereich des Zufalls begrenzen und separieren. Schließlich erscheint der Zufall in einer Struktur, die wir von Würfeln kennen, als wesentlich, um die begrenzte Information der Quantenwelt mit der klassischen Beschreibung, die Ursache und Wirkung kennt, in Einklang zu bringen.

Auf Basis der dargelegten Vorstellung physikalischer Information kann man hypothetisch Gravitation auf die Energie räumlicher Beziehungen zurückführen.

Information, Raum und Zeit

In den vergangenen Kapiteln sind verschiedene Aspekte physikalischer Beschreibungen diskutiert worden. Information trat dabei in abzählbaren Einheiten auf, die durch das Plancksche Wirkungsquantum $h$ charakterisiert waren und zusätzlich trägt sie eine Qualität, die mögliche Genauigkeiten auf Basis von Energie und Impuls begrenzt.

Dabei wurden Größen wie Raum und Zeit benutzt, dies erscheint uns ganz normal mit einem Maßsystem, das Meter und Sekunde enthält. Sobald man allerdings nur eine begrenzte Menge von Information in die physikalische Beschreibung mit einbringt, zeigt sich, daß dies nicht selbstverständlich ist. Beim aufgeteilten Kondensator im Abschnitt „Die statische Situation“ existierte so etwas wie ein Raum innerhalb des diskutierten Problems der verteilten Entladung nicht. In Kombination mit Kräften, wie beim Coulomb-Feld oder der Gravitation, wird man einen Raum in sinnvoller Weise einführen können, da sich die Kräfte mit den Abständen der Objekte voneinander ändern.

Zwei Objekte können einen Abstand zeigen, der dann gleichzeitig Maßstab ist. Drei Objekte mit drei räumlichen Beziehungen (Abständen), ermöglichen nun den Vergleich größer oder kleiner (länger oder kürzer). Mit noch mehr Objekten kann man solche Vergleiche fortsetzen und eine Liste aufstellen, in der die Abstände in ihrer Reihenfolge sortiert sind. Schließlich kann man einen Längenmaßstab einführen, so dass man ohne Probleme einzelne Objekte dieser Liste negieren kann. Diese Gedankenwelt beschreibt allerdings eigentlich das, was der Betrachter von außen sieht. Ein zeitliches Verhalten ist bei solchen Gedanken ausgeblendet, die Welt erscheint statisch.

Im Zeitbereich gibt es die Dauern $T$. Auch sie lassen sich vergleichen und in einer Reihenfolge sortieren. Problematisch wird es bei der ablaufenden Zeit $t$, da sie wesentlich durch die Bewegung des räumlichen Koordinatensystems geprägt ist.

Längen und Flächen scheinen zunächst analoge Größen zu sein, es gibt aber Grenzen der Genauigkeit, die diese Gedankenwelt einschränken. Energie und Impuls liefern solche Beschränkungen $\left(\lambda =h\cdot {\frac {c}{E}}\right)$, $\left(\lambda ={\frac {h}{p}}\right)$, die mit den räumlichen Auflösungsgrenzen in der Mikroskopie mit Licht oder Elektronen deutlich werden. Üblicherweise bemaßen wir uns vertraute räumliche Koordinatensysteme an ihren Achsen mit Längeneinheiten wie Meter, Zentimeter, Millimeter… Dann liegt, wenn man für die Raumzeit eine digitale Struktur vermutet, eine Vorstellung nahe, den Raum aus kleinen Würfeln auf Basis solcher Kantenlängen zusammenzusetzen. Damit verbunden wäre allerdings eine im Raum vorhandene konstante Präzision, die durch die dort inhomogen vorhandene Energie als Qualitätsmerkmal von Information nicht ohne weiteres gerechtfertigt ist. Abstände ergeben sich als Beziehung (Abschnitt „Information“) zwischen Objekten, ohne solche Objekte sind sie nicht existent. Die einfachste Folgerung daraus wäre, die Bemaßung des Raumes von der jeweils vorhandenen Dichte an Energie und Materie abhängig zu machen, was in der allgemeinen Relativitätstheorie zu finden ist.

Weiterhin wäre mit einer willkürlichen Vorgabe von raumzeitlichen Volumenelementen eine dazu passende Energiedichte zu erwarten. Dies kann wohl nicht in der Hand des Beobachters liegen. An dieser Stelle muss eine Beziehung, beispielsweise der Abstand oder eine Wechselwirkung zwischen benachbarten Objekten, wesentlich sein und nicht etwa ein von außen vorgegebenes Raster.

Aus Sicht der Information gibt es nun noch ein weiteres Problem. Typisch für eine physikalische Beobachtung ist ja, dass man in einem Beziehungskanal, den man aus vielen möglichen ausgewählt oder konstruiert hat, nachschaut, ob dort ein Quant zu finden ist oder nicht. Die Aussagen ob ja oder nein sind vom Informationsgehalt her gleichwertig. Dieses Faktum führte letztlich dazu, dass die Unkenntnis gegebenenfalls mit der Nullpunktsenergie zu werten ist. Mit unserer Energievorstellung ist vereinbar, dass man in raumzeitlichen Volumen nachschaut, ob dort ein Quant zu finden ist und wenn ja, dann ist dessen Energie in Relation zur Qualität von Information. Energetisch gleichwertig müsste aber auch der Fall sein, dass komplementär kein Quant oder Objekt in solch einem Volumen existiert. Wo finden wir eine entsprechende Energie ? Entspricht die Vorgabe eines raumzeitlichen Volumens nicht dem Einsetzen eines Kanals, in dem nach dem Quant geschaut wird und wird damit Information vorgegeben ? Bedeutet das Festlegen eines solchen Kanals und damit auch Möglichkeit des Unwissens und der daraus folgenden Nullpunktsenergie nicht, dass wir mit unserem Willen beliebig Energie einsetzen können ? Diesem Problem werden wir uns weiter unten noch einmal widmen.

Neben diesem Blick zu kleinsten Informationseinheiten gibt es aber Information auch in der Kombination vieler solcher Einheiten zu beobachten, die in Form von Strukturen erst im Kollektiv vorhanden ist. Dies war im ersten Kapitel räumlich beim Vogelflug und zeitlich beim Strom zu sehen. So zeigt der kristalline Festkörper Abstände zwischen seinen Komponenten, die vergleichbar mit dem flüssigen Zustand sind. Der Energieaufwand, seine regelmäßige räumliche Struktur zu entfernen, ist mit der Schmelzwärme beträchtlich. In der nächsten Stufe werden dann auch die Abstände in ihrer Ähnlichkeit beseitigt und mit der Verdampfungswärme wird der gasförmige Zustand erreicht, eine noch informationsärmere Anordnung. Die nächste Stufe des Wandelns von Information wurde oben schon beim Ionisieren des Wasserstoffatoms diskutiert (Abschnitt „Information und Struktur der Elektronenhülle“). Solche Effekte legen es nahe, Information und dazugehörige Energie nicht nur den einzelnen beteiligten Objekten zuzuordnen sondern zusätzlich den Strukturen ihrer Kollektive.

In den vorherigen Kapiteln gab es Information in einer Form, die reversibel umgewandelt werden konnte, zum Beispiel mit einer Linse von Positionen in Richtung und zurück oder beim Mischen mit konstanter Präzision für zeitliche Zuordnung. Andererseits konnte Information auch in andere umgewandelt werden, ohne dass es möglich war, sie wieder zu rekonstruieren. Ein Beispiel war der Doppelspalt, wo die Information über die Lichtquelle in die des Hindernisses wechselte.

Der Informationsgehalt ist von der Menge der sie transportierenden Quanten abhängig, die, wie man bei der Abklingzeit und beim Doppelspaltsexperiment sieht, einerseits gesetzmäßig aber zugleich „zufällig“ über Raum und Zeit verteilt erscheinen können. An die Welleneigenschaften der Photonen oder Elektronen sind Längen und Zeiten gekoppelt, die die mögliche räumliche und zeitliche Präzision von Messergebnissen charakterisieren. Über die Ausbreitungsgeschwindigkeit sind diese dann miteinander gekoppelt. Unabhängig davon existieren Abstände in Zeit und Raum zwischen den einzelnen Quanten. Mit unserer Vorstellung von Wellenpaketen ist verbunden, dass diese aus der Interferenz von raumzeitlich unendlich ausgedehnten periodischen Funktionen (mit charakteristischen Längen $\lambda$ und Dauern $T$) resultieren. Aus diesen, im Fourier-Raum mit in Raum und Zeit unbegrenzten Wellen, ist in unserem Vorstellungsvermögen eine Überlagerung von Wellen als Basis solcher Quanten denkbar, die beim Messen im Rahmen unserer Raumzeit zu verschiedenen (ablaufenden) Zeiten $t$ an verschiedenen Orten $r$ (Positionen) auftreten. Im Zusammenhang damit könnte man sich dann die Information von zusammengesetzten Kollektiven angesiedelt denken.

Information der Vergangenheit und der Zukunft

Wenn man annimmt, dass die Energie der Welt als Erhaltungsgröße eine Konstante ist, dann ist die daraus resultierende Summe der Wirkungsquanten $H=n\cdot h$ eine mit der Zeit $t$ anwachsende Größe. Dies würde bedeuten, dass die Menge der in der Welt vorhandenen bekannten abzählbaren Information mit der Zeit steigt. Damit in Einklang ist die Vorstellung, dass die Zustände der Welt während der Vergangenheit in eine Liste eingetragen werden, eine Liste, die dann im Laufe der Zeit immer länger wird. Diese speicherbare Information wächst bis zur Gegenwart linear mit der Größe der vergangenen Zeit, $H\sim t$, wenn die differentielle Größe ${\frac {dH}{dt}}=E$ konstant ist. Kann solch eine Liste ohne Energieaufwand existieren ? Ist diese Liste im Zustand der Gegenwart enthalten und kann die Vergangenheit aus der Gegenwart komplett rekonstruiert werden ? Ein auf Determinismus aufbauende Rekonstruktion der Vergangenheit aus dem gegenwärtigen Zustand ist nur begrenzt möglich, da die Ungenauigkeit der Gegenwart zu wachsender Unsicherheit bei der Rekonstruktion mit größerem Zeitabstand führt. Es ist auch aus einem anderen Grund sofort zu sehen, dass dieses Verfahren begrenzt sein wird. Eine solche Grenze ergibt sich, wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, einen Zustand zu realisieren. Also immer dann, wenn wir durch Integrieren etwas zusammenfassen, wird ein Teil der möglichen Informationen solch einer rückwärts erstellten Liste verloren gehen. Wenn wir beim Würfeln also nur die Augensummen zur Kenntnis nehmen, dann wissen wir nicht mehr, welcher Würfel welchen Anteil geliefert hat. Ich vermute, dass Klaus Dieter Schotte in diese Richtung dachte, als er mir seine Bedenken bezüglich dieser Idee von Weizsäckers mit der Bemerkung kundtat, dass dieser die Entropie vergessen habe. Auf jeden Fall gibt es eine mit der zeitlichen Distanz zunehmende Unschärfe, so dass die Liste der Vergangenheit zurückliegend immer weiter verschwimmt. Dies bedeutet nun nicht unbedingt nur eine Änderung der Anzahl der Wirkungsquanten sondern eher ein Abnehmen der Qualität der physikalischen Größe, die sie repräsentieren.

Mit der Quantenmechanik sind Wahrscheinlichkeiten für Zustände in der Zukunft vorherzusagen. Dies wären mehr Möglichkeiten, als bei einem linearen Anwachsen der Information zu erwarten ist, aber dann eben mit einer jeweils kleineren Wahrscheinlichkeit als der mit eins charakterisierten Sicherheit. Messbar treten in der Gegenwart von diesen vielen Möglichkeiten nur eine beschränkte Anzahl auf, so dass Energie und Impuls als Erhaltungsgrößen bestehen. Damit gibt es auch kein Problem mit der Richtung der Zeit. Ein Rückwärtslauf auf der Zeitachse würde erfordern, dass realisierte Information wieder in die Vielfalt potentieller Information umgewandelt werden müsste. Aus Sicht der Information gibt es wieder eine Trinität, die Gegenwart stellt die Beziehung zwischen Vergangenheit und Zukunft dar und her. Das Zeitfenster der Gegenwart muss man sicher dadurch begrenzen, dass die vorhandene Energie im beobachteten Bereich mal der Zeitunschärfe das Wirkungsquantum ergibt. Entsprechend gilt natürlich die Unschärferelation zwischen Ort und Impuls.

Beim bekannten Doppelspaltexperiment können die die Information tragenden Quanten beim Passieren des Hindernisses entweder auch mit der Information des Spaltabstandes moduliert werden und/oder die Information tragen, welcher der beiden Spalte durchlaufen wurde und gegebenenfalls dann nur Information über die Breite dieses Spaltes aufgrund der Beugung zeigen. Aus Sicht der Information gibt es kein Entweder-Oder beziehungsweise Sowohl-Als-Auch, es wird eine beschränkte Menge an Information transportiert und der Experimentator entscheidet zumindest zum Teil, in welcher Form diese begrenzte Informationsmenge erkannt und ausgewertet wird. Die abgetastete Information der geometrischen Strukturen reicht über Raum und Zeit hinaus. Die im Doppelspaltexperiment beobachteten räumlichen Interferenzerscheinungen waren unabhängig von der zeitlichen Verteilung der abtastenden Quanten. Die Beugungs- und Interferenz- Erscheinungen sind nicht mit einem einzelnen Photon oder Elektron zu erfassen, sondern, um den Informationsgehalt von Strukturen zu erkennen, bedarf es einer der Komplexität und Genauigkeit entsprechenden Anzahl von vielen registrierten Quanten. Es handelt sich um kollektive Information, die das Wellenbild beschreibt. Der Informationsgehalt ist von der Menge der Quanten abhängig, die, wie man bei der Abklingzeit und beim Doppelspaltexperiment sieht, einerseits gesetzmäßig aber zugleich „zufällig“ über Raum und Zeit verteilt erscheinen können. An die Welleneigenschaften der Photonen oder Elektronen sind Längen und Zeiten gekoppelt, die die mögliche räumliche und zeitliche Präzision von Messergebnissen charakterisieren. Über die Ausbreitungsgeschwindigkeit sind diese dann miteinander gekoppelt. Unabhängig davon existieren Abstände in Zeit und Raum zwischen den einzelnen Quanten. Mit unserer Vorstellung von Wellenpaketen ist verbunden, dass diese aus der Interferenz von raumzeitlich unendlich ausgedehnten periodischen Funktionen (mit charakteristischen Längen $\lambda$ und Dauern $T$) resultieren. Aus diesen, im Fourier-Raum mit in Raum und Zeit unbegrenzten Wellen, ist in unserem Vorstellungsvermögen eine Überlagerung von Wellen als Basis solcher Quanten denkbar, die beim Messen im Rahmen unserer Raumzeit zu verschiedenen (ablaufenden) Zeiten $t$ an verschiedenen Orten $r$ (Positionen) auftreten. Ein aus Energiegründen nicht zu erreichendes Extrem solcher Überlagerungen wäre die $\delta$-Funktion. In solch einem Rahmen kann man sich zunächst die Information angesiedelt denken.

Informationsvermittlung

Wenn wir annehmen, dass jedes Quant mit seinem Vorhandensein oder auch nicht in der Lage ist, erst einmal ein Bit Information zu vermitteln, dann ist der abzählbare Anteil (allerdings nicht die Qualität !) der damit repräsentierten Information proportional zur Anzahl von Quanten. Die Anzahl der Beziehungen der Quanten untereinander wächst dagegen wesentlich stärker und ist ein weiterer Aspekt der Information. Nach den Überlegungen aus Abschnitt „Wieviel Bit transportiert ein Quant ?“ folgt aus der Anzahl der Beziehungen die Möglichkeit, Information auf eine größere Anzahl von Kanälen zu verteilen und in jedem einzelnen Kanal tritt eine dazugehörende Unsicherheit auf, die der Physiker als Rauschen kennt. Das einzelne Quant kann ja nur ein Signal in einem der möglichen Kanäle liefern. Der Experimentator kann diesen Kanal auswählen, vermag er das nicht, dann wird es für das Verteilen der Quanten auf die Kanäle systembedingte Wahrscheinlichkeiten geben.

Eine interessante Situation des Problems weniger Quanten und begrenzter Information beschreibt Anton Zeilinger im Zusammenhang mit verschränkten Photonen und der durch die Kenntnis ihrer Gleich- oder Ungleichheit bereits voll ausgeschöpften Informationsmenge.

Die von Quanten übermittelte Information kann von einem Kanal in einen anderen transformiert werden, wie dies am optischen Beispiel in Abschnitt „Die Transformation von Information“ gezeigt wird, wo die Abbildung mit einer Linse zum Beispiel Abstandsinformationen gegen Richtungsinformationen tauschen kann. Oder die Information eines energiereichen Photons mit hoher raum- und zeitlicher Auflösung wird auf zahlreiche energiearme übertragen, wie das durch Mischen möglich ist, siehe Abschnitt „Erweiterung des Zeitbereichs über die Periodendauer hinaus“. Dies bedeutete in diesem Fall zunächst ein Übertragen der Information höherer Qualität eines einzelnen Quants auf zahlreiche Quanten, die einzeln Information geringerer Qualität repräsentieren. In der Summe bleibt die Qualität der raumzeitlichen Information erhalten, da die zahlreichen korrelierten Photonen in ihrer Kombination gestatten, die für die raumzeitliche Auflösung relevante Phase präziser zu definieren als dies mit wenigen Photonen gelingt. Dies zeigen auch Experimente mit kohärenter Laserstrahlung, die dank der Vielzahl beteiligter Photonen eine gegenüber der klassischen Grenze erhöhte räumliche Auflösung des Mikroskops ermöglichen.

Bei den bisherigen diskutierten Experimenten begegnete uns das Plancksche Wirkungsquantum $h$ als eine Information vermittelnde Größe, ohne dass zwingend folgte, dass dieses Quant bereits die Information komplett repräsentiert. Um Fragen zur Information als möglicher physikalischer Größe näher zu kommen, wurde im Abschnitt „Der elektromagnetische Impuls als Informationsträger“ von der Annahme ausgegangen, dass Information erhalten bleibt, solange ihre Repräsentation (in Form eines Impulses) durch Transformationen verlustlos hin und zurück gewandelt werden kann. Das Beispiel Impulsausbreitung auf einer elektrischen Leitung wurde gewählt, da die räumliche Dimension der Ausbreitung dann auf eine Dimension begrenzt wird und sie sich mit ihrer Richtung deutlich von anderen Eigenschaften räumlicher Koordinaten unterscheiden lässt. In dem Beispiel des Doppelspaltes (Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“) wird die Information über die Quelle von Quanten während des Ausbreitens der Träger dieser Information gegen Information über Eigenschaften des Weges mit Hindernissen eingetauscht, dies ist dann nicht reversibel und enthält zeitlich ein Vorher und ein Nachher.

Abtasten

Bild 71-21: Komplementäres Abtasten mit einer strukturierten Modulationsebene und einzelnen Quanten.

Das Bild 71-21 zeigt das Abtasten einer Struktur (Informationsinhalt: Raster und Zeichen) mit einzelnen Quanten. Bei diesem Vorgang sollen keine Quanten verloren gehen, sie werden in der Modulationsebene durch zwei mögliche Spiegelpositionen aufgeteilt und auf den Flächen Bild+ und Bild- registriert. Eine Gedankenstruktur, die auf das Vorhandensein oder nicht da sein von Quanten basiert, stößt alleine offensichtlich auf Probleme. Um das Symbol $E$ zu erkennen, bedarf es für das Bild+ deutlich weniger Quanten als für das negative Bild-. Aus Sicht der Information ist die Wertigkeit 0 oder 1 gleichwertig und damit sind beide Bilder mit der gleichen Informationsmenge zu wichten, obwohl die Anzahl und Energie der hellen Punkte, die die Quantenexistenz symbolisieren soll, sich stark unterscheidet. Bei diesem kurzen Gedankengang wird ja wohl unterschlagen, dass es sich beim Abtasten bereits um einen Mechanismus handelt, der sehr viel Information und entsprechende Energie einsetzt. Die Ebene der Modulation, in der die Quanten in zwei unterschiedliche Richtungen gelenkt werden, enthält eine Struktur aufgrund der Positionen der beim Abtasten einzeln beteiligten Bildpunkte. Die Anzahl der Ja‑Nein‑Entscheidungen ist also zum Erzeugen des Bild+ und Bild- gleich groß. Der Hintergrund der Ja-Nein-Entscheidungen für jedes einzelne Bild sind eigentlich Entweder-Oder-Entscheidungen für die Gesamtheit ! Die Position jedes einzelnen Bildpunktes steht in der Beziehung zu jedem anderen fest. Gleiches gilt auch für die an der Struktur beteiligten Bildpunkte, untereinander und im Bezug zum Rest. Hier kommt naheliegend wieder die Idee des Übertragungskanals ins Spiel, durch dessen Festlegen die Ja‑Nein Aussage konzentriert auf eine vom Experimentator vorgegebene Struktur erscheint. Der unterschiedliche Energiegehalt der beiden Abbildungen kommt also nur dadurch verwirrend zu Stande, dass wir bei der Diskussion einfach einen Teil des gesamten Prozesses ausblenden. Die Information ist aus den Differenzen dieser Bilder zu entnehmen. Allein eine lokale Beobachtung, dass kein Photon registriert wird, bedeutet doch nicht, dass dieser Bildpunkt wirklich dunkel ist. Es kann auch völlig unbestimmt sein, ob in mehr oder weniger kurzer Zeit nun das Photon zu registrieren sein wird, das den Zustand hell liefert. Der Zustand der Ungewissheit führte beim harmonischen Oszillator zur Nullpunktsenergie, dem Mittelwert zwischen vorhandenem und nicht vorhandenem Schwingungsquant. Diese Energiemenge wäre für die ganze untersuchte Fläche hier also halb so groß, wie die zum Abtasten erforderliche. Nehmen wir an, dass nun abtastende Photonen mit entsprechender Energiemenge dazukommen. Wenn also die halbe Menge der Bildpunkte Photonen erhält, kommt noch einmal diese Energiemenge hinzu. Bei einem Bild ohne die Möglichkeit der Differenz zum komplementären wäre also die Summe von Nullpunktsenergie plus mittlere Abtastenergie genauso groß wie sie für obiges Experiment angesetzt wurde. Dies zeigt, dass die Energie des Abtastens charakteristisch für die Information des kompletten Systems ist.

Die Basis des physikalischen Bits

Bild 71-31: Raumzeitlicher Bereich als Kanal für Information.

Ein einzelnes Quant kann entweder vorhanden sein oder nicht, wenn dazu ein im Raum und in der Zeit definiertes Volumen der Messung existiert. In der Vorgabe eines solchen raumzeitlichen Volumens, Bild 71-31, ist der Bezug dieser Information zum Rest der Welt vorgegeben. Dies entspricht den Kanälen (die der Experimentator zumindest teilweise festlegen kann), mit denen Information repräsentiert werden kann. Mit der Größe der hier gezeigten Fläche $X\cdot T$ werden Grenzen der Genauigkeit aufgezeigt, die eine Qualität von Information charakterisiert. Ein raumzeitlicher Bezug alleine reicht allerdings noch nicht, um die Information zu definieren.

Bild 71-32: Das Volumen der Informationseinheit, links das Plancksche Wirkungsquantum, rechts multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit.

Als mögliche Einheit der abzählbaren Komponente von Information ist uns bisher das Plancksche Wirkungsquantum $h$ begegnet. Um von Bild 71-31 zu ihm zu gelangen, bedarf es einer weiteren Koordinate, der Kraft $F$, Bild 71-32 links. Dann entspricht das im Bild 71‑32 links gezeigte Volumen einer Wirkung, deren kleinste Einheit die Planck-Konstante $h$ ist. Die Projektionen dieses Volumens auf die Ebene von Kraft und Raum liefert die Energie $E=F\cdot x$ und auf die Ebene aus Kraft und Zeit den Impuls $p=F\cdot t$. Die Produkte dieser Ebenen mit den dazu jeweils senkrechten Koordinaten liefern die bekannten Kombinationen in den Unschärferelationen, $h=\Delta E\cdot \Delta t=\Delta x\cdot \Delta p$. Dies bedeutet, dass die Energie die zeitliche Präzision und der Impuls die räumliche Präzision charakterisiert. Im elektromagnetischen Fall sind beide Größen über die Lichtgeschwindigkeit $c={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$, die die Richtung der Diagonale in der Raumzeitfläche definiert, gekoppelt, $p={\frac {E}{c}}$, so dass auch räumliche und zeitliche Qualität von Information direkt von beiden repräsentiert werden.

Diese Kraft F liefert nun Bezüge zu anderen physikalischen Objekten und Größen als Raum und Zeit. Im Bild mechanischer Größen muss die Masse bzw. die zeitliche Massenänderung ergänzt werden, wie man an der Einheit sieht [N] = [kg m / s²]. Im vierdimensionalen System der speziellen Relativitätstheorie wird man auch mit einer Informationskomponente, die eine Basis von vier Koordinaten hat, zufrieden sein. Im elektromagnetischen Fall liegt es nahe, die dritte Achse im Bild 71‑32 rechts direkt mit den beiden Einheiten für Spannung und Strom, also der Leistung $P$ [VA] = [W], zu ergänzen. Dann ist das Quant $h\cdot c$ des zentralen Volumens allerdings die Plancksche Konstante multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit.

Information und Gesetz

Bild 72-11: Eins, zwei oder drei Objekte und ihre Beziehungen untereinander.

Typisch für die Information in physikalischen Beschreibungen war, dass sie als Beziehung zwischen Objekten, zum Beispiel als Zeitabstand zwischen aufeinanderfolgenden Elektronen beim Stromfluss oder als räumlicher Abstand zwischen Photonen im Bild, auftrat. Mit nur einem Objekt gibt es noch keine Information. Es gibt kein größer, kleiner oder gleich, es gibt nur dasselbe. Die Information einer einzelnen Zahl hat noch keinen Sinn, Bild 72-11 links. Eine Information taucht erst ab zwei Objekten und mit deren Beziehung [a;b] zueinander auf. Wenn Objekte Eigenschaften haben, die man mit Zahlen (a, b…) charakterisieren kann, dann ist es möglich, Vergleiche anzustellen oder die Grundrechenarten als Beziehung einzusetzen, um die Mathematik ins Spiel zu bringen. Es gilt dann

$a+b=b+a$, [72-1]

$a-b=-(b-a)$, [72-2]

$a\cdot b=b\cdot a$, [72-3]

${\frac {a}{b}}={\frac {1}{\frac {b}{a}}}$ [72-4]

In der physikalischen Welt könnten solche Beziehungen Abstände oder Kräfte zwischen Massen oder Ladungen sein. Seit Newton kennen wir actio gleich reactio. Die Kräfte sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

Wenn man ein drittes Objekt hinzufügt, Bild 72 - 11 rechts, zeigen sich nun zwei weitere Beziehungen. Die Anzahl der Beziehungen gleicht jetzt und nur in diesem Fall der der Anzahl der Komponenten a, b, c. Man kann jetzt die Beziehungen untereinander vergleichen:

$a>b$;

$b>c$;

→ $a>c$;

oder

$a=b$;

$b=c$;

→ $a=c$

und so weiter.

Bei Kenntnis von Summen und Produkten kann man aus ihnen dann die Ausgangsgrößen rekonstruieren. Bei den Differenzen und Quotienten funktioniert das nicht. Nimmt man als Beziehung die Summe und Differenz oder das Produkt und den Quotienten, so ergeben sich :

$(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)$; [72-6]

$(a-b)+(b-c)+(c-a)=0$ ! [72-7]

$(a\cdot b)\cdot (b\cdot c)\cdot (c\cdot a)=a^{2}\cdot b^{2}\cdot c^{2}$; [72-8]

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}$ = 1 ! [72-9]

Damit existiert also, außer den Beziehungen selbst, bei Differenz und Quotient ein Gesetz für solche Beziehungen, was über das actio gleich reactio zwischen zwei Partnern hinausgeht und den Dritten mit einschließt. Solch ein Gesetz spiegelt bei der Differenz und beim Quotienten Regeln wider, die gelten, damit man beim Umlauf A-B-C-A… über die Beziehungen wieder am Ausgangspunkt endet. Damit ist es möglich, aus zwei Größen eine dritte zu folgern, also so etwas wie Ursache und Wirkung zu postulieren, ohne dabei eine zeitliche Reihenfolge zu bemühen.

Die Menge dieser Differenzen ist also informationsärmer als die Menge der daraus nicht mehr rekonstruierbaren Ausgangsgrößen, die Basis der betrachteten Informationsmenge ist. Damit gibt es folglich eine Restmenge an Information, die für das Bilden eines Gesetzes übrig bleibt. Gleiches gilt, wenn man im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ Wurfergebnisse zu Augensummen zusammenfasst. Allerdings gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen diesen Beziehungen, der Summe und dem Produkt einerseits sowie der Differenz und dem Quotienten andererseits. Summe und Produkt fassen mehrere Ausgangsgrößen in beliebiger Anzahl zusammen. Aus der Kenntnis der einzelnen Beziehungen kann man die Ausgangsgrößen rekonstruieren (identische Information). Differenz und Quotient dagegen liefern nur eine Beziehung zwischen zwei Ausgangsgrößen, entsprechen also der Dreieinigkeit des Abtasttheorems. Sie sind keine geeigneten Rechneroperationen, um größere Anzahlen als zwei Objekte zu kombinieren.

Bild 72-12: Vier Objekte und die möglichen Umläufe über sechs Beziehungen zurück zum Ausgangspunkt. Zu diesen Umläufen gehören immer Teile, die in Dreiergruppen zerlegt werden können.

Wenn man nun die Menge der Objekte vergrößert, so wächst die Anzahl der Beziehungen überproportional. Mit einem vierten Objekt in Bild 72-12 wächst die Anzahl der Beziehungen auf sechs. Wenn wir wieder die Differenz als Beziehung wählen, können wir erneut Umläufe konstruieren, die zur Ausgangspunkt zurück die Summe Null ergeben. Diese Umläufe können sowohl in verschiedener Reihenfolge alle vier Objekte betreffen oder auch nur eine Untergruppe von dreien. Diesen Gedanken können wir für eine beliebige Anzahl von Objekten fortsetzen. Ein Abstand als räumliche Differenz ist, wie wir hier sehen, mit einem dreidimensionalen Raum für beliebig viele Objekte umfassend definiert.

Die Bedeutung der Zahl Drei für die Existenz einer minimalen Information ist aus obigen Überlegungen wohl deutlich geworden. Interessant ist nun natürlich, in welcher Form kollektive übergreifende Information auftaucht und wie sich die Dynamik der zeitlichen Änderungen mit den vorherigen Gedanken kombinieren lässt.

Information und Messungen

Im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ fanden wir kollektive Information in der Struktur der fliegenden Vögel und als Augensumme beim Würfeln. Nehmen wir als Beispiel noch einmal drei Würfel und zur einfachen Darstellung mit nur drei möglichen Zahlen zur Auswahl, 1,2,3.

Bild 72-13: Zeitliche Entwicklung bei einem Würfel mit drei Seiten und drei aufeinanderfolgender Würfen.

Bild 72-13 zeigt ein Koordinatensystem mit drei Achsen für die drei Würfel. Die möglichen Wurfergebnisse finden wir in einem Volumen mit siebenundzwanzig Punkten mit dem dazugehörigen Informationsgehalt. Die Augensummen liefern die Flächen, an denen die zu ihr jeweils gehörenden Punkte zu finden sind. Ihre Größenverteilung entspricht dem Gesetz der Glockenkurve. Aus Sicht der Augensummen sind die jeweils beteiligten Punkte nicht zu unterscheiden, die Information über ihren jeweiligen Ort (die räumliche Position des Würfels und auch die entsprechende Koordinate im gezeigten System) und damit der individuelle Beitrag der einzelnen Würfel, fehlt dem Ergebnis. Anstelle dreier Würfel kann man nun auch nur einen verwenden, der dreimal nacheinander geworfen wird. Dies zeigt Bild 72-13 symbolisch ganz links. Auch rechts werden die einzelnen Würfe verfolgt, die erste drei liefert für die Zukunft nur noch die Möglichkeiten der gelben Fläche, achtzehn mögliche Punkte werden ausgeblendet, die nächste zwei beschränkt die Zukunft auf die senkrechte Linie, deren drei Punkte nun für den letzten Wurf zur Verfügung stehen. Die Wege durch den Ergebnisraum mit Vergangenheit und Gegenwart zeigen also eine gewisse Kontinuität für die Zukunft, die nur sehr begrenzt unbestimmt und zufällig ist. Die maximale Sprungweite von Wurf zu Wurf entspricht der Seitenzahl des Würfels. Bei vielen räumlich verteilten Würfeln ergibt sich eine ähnliche Situation, wenn man das Ergebnis nicht in Summe gleichzeitig betrachtet, sondern räumliche Bereiche zusammenfasst und durch das Wurfergebnis weiterer Würfel ergänzt. Der frei gewählte Weg wäre dann äquivalent zum oben zeitlich ausgesuchten Übertragungskanal.

Die Detektion und Existenz einzelner Quanten war in den vorher beschriebenen Experimenten elementar nötig, beim Messen des Stromes, der sich aus dem gezählten Ladungen pro Zeit ergibt, beim Doppelspaltexperiment, das die Interferenzfiguren erst mit vielen Quanten zeigt, für die Helligkeit eines Bildbereiches, die angibt, welche Menge an Photonen pro Zeit und Fläche detektiert werden oder beim Abklingen der Fluoreszenz, deren Zeitkonstante erst mit vielen registrierten Ereignissen zu ermitteln ist. Und stets war der Zufall beteiligt. Die gemessenen physikalischen Größen wurden allerdings in allen Fällen durch die Kombination von vielen beteiligten Quanten ermittelt und die Genauigkeit der Messung war durch die Anzahl der beteiligten Quanten geprägt. Der Zufall war erforderlich und wesentlich für die Charakterisierung der begrenzten Genauigkeit, die aus einer endlichen Menge der insgesamt vorhandenen Information resultierte.

Bei einem Elektronenstrahl mit konstantem Strom ist die Information über dessen Stärke durch den zeitlichen Abstand der Elektronen geprägt. Ohne äußere Maßstäbe wären diese Zeitintervalle innerhalb des Elektronenstrahls nicht zu unterscheiden. Bei unserer Messung eines Beobachters von außen verwenden wir Uhren auf Basis der Periodendauern harmonischer Oszillatoren oder wählen den Umweg über die Coulombkraft für eine räumliche Beziehung. Im Vergleich zeigen sich Schwankungen des zeitlichen Abstandes der Elektronen, denn die interne und externe Uhr sind nicht synchronisiert. Die Größe des Stromes kann um so besser und genauer bestimmt werden, über je größere Zahlen von passierenden Elektronen man mittelt. Da die zeitlichen Maßstäbe des Elektronenstrahls und des harmonischen Oszillators nicht miteinander korreliert sind, gibt es keinen Grund für Determinismus. Beginn und Ende des Messintervalls sind durch den Zufall oder unsere Auswahl geprägt. Da die Informationen über die Größe des Stroms in der Kombination von Beziehungen zwischen und mit der Existenz der einzelnen Elektronen enthalten ist und nicht etwa in einem einzelnen Quant zu Tage tritt, ist dies etwas, was raum- und zeitübergreifend dann bei integralen Messungen erfasst wird. Diese von der Anzahl der Quanten in ihrer Genauigkeit geprägte Information ist genauso wenig zufällig wie die oben erwähnte Struktur der Augensummen der Würfel und kann einen entsprechenden Anteil zu deterministischen Zusammenhängen beitragen.

Zufall - als Brücke zwischen klassischen und gequantelten Modellen - und der „Alte“ würfelt doch !

Aus Bild 72-13. folgt, dass eine Messung auf Basis des vergangenen Geschehens basiert. Bietet das Messergebnis dann die Möglichkeit, die Vergangenheit zu rekonstruieren ? Wenn diese Möglichkeit bestünde, dann hätte man die von Weizsäcker prognostizierte Liste der Vergangenheit realisiert. Unsere Würfelexperimente zeigen nun, dass dies nur in begrenztem Umfang der Fall ist. Das aktuelle Ergebnis der Gegenwart kann nur selten mit einem einmaligen ausgezeichneten Weg erreicht werden, zum Beispiel bei den Würfelkombinationen die in Bild 72-13 nur die 1 oder die 3 enthalten, die dann die extremen Augensummen 3 und 9 liefern. Im allgemeinen wird so ein Ergebnis, wie die Augensumme es ist, durch mehrere Würfelkombinationen erreichbar sein und die Wege dahin werden eine entsprechende Vielfalt an Möglichkeiten zeigen. Für eine komplette Liste der Vergangenheit braucht man als Ergebnis wirklich einen Vektor, dessen Komponenten alle Ereignisse der Vergangenheit repräsentieren. Solch ein Vektor ist aus dem Zustand der Gegenwart im allgemeinen nicht zu gewinnen. Der Blick zeitlich rückwärts wird normalerweise mit einer Unsicherheit verbunden sein, die mit der Größe des zeitlichen Abstandes wächst. Es zeigt sich hier also eine gewisse Symmetrie zwischen der Unsicherheit beim Konstruieren der Vergangenheit und der Wahrscheinlichkeit einer Prognose für die Zukunft.

Beim exponentiellen Entladen des Kondensators über den Klitzing-Widerstand zeigt sich, dass jede Elementarladung $e$ in einem Zeitabstand $\Delta t_{n}$ verloren geht, so dass das Produkt der Energieänderung $\Delta E_{Cn}$ mal dem Zeitabstand das Wirkungsquantum lieferte, $\Delta E_{Cn}\cdot \Delta t_{n}=h$ .

Bild 72-14: Exponentielles Abklingen der Anzahl beim Wurf von Würfeln. Der Würfel mit der Sechs scheidet jeweils für weitere Würfe aus.

Nehmen wir an, Sie hätten einhundert Münzen und Sie würden diese werfen, etwa die Hälfte davon zeigt Kopf die andere Hälfte Zahl. Alle mit Kopf entnehmen wir unserm Spiel und werfen die restlichen etwa fünfzig Münzen erneut. Auch nun entnehmen wir wieder eine Hälfte usw. und so fort. Unser Tun war das Würfeln mit dem Takt der Halbwertszeit, was zu dem bekannten exponentiellen Verlauf von Naturgesetzen bei der Kondensatorentladung und der Abklingzeit der Fluoreszenz passt. Nun ist dieses Würfeln im Rhythmus der Halbwertszeit sicher nicht sehr präzise und es bietet sich an, Würfel mit mehr Oberflächen zu verwenden als zwei, um eine feinere Struktur vergleichbar mit der Kondensatorentladung erkennen zu können. Mit einem Sechserwürfel erhalten wir das in Bild 72-14 gezeigte Ergebnis, natürlich ebenfalls eine e-Funktion, angedeutet einen Streubereich und mit der unterschiedlichen Farbtönung die Halbwertszeit. Solche Ergebnisse zeigen eine Kombination von äußeren Einflüssen und Zufall. Im Fall der Würfel sind die äußeren Einflüsse die vorgegebene Anzahl der Würfeloberflächen und die Taktrate. Im Fall der Kondensatorentladung sind die Vorgaben neben der Anfangsladung die Größe der Kapazität und die Impedanz, über die sie entladen wird. Der Zufall vermittelt also das Verteilen des Ergebnisses auf die ununterscheidbaren Komponenten in einer Weise, dass die potentiellen Möglichkeiten auf eine Realität mit ihren Gesetzen konzentriert werden. Jeder energietragende Teilkondensator und jedes Fluoreszenz-Zentrum (Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ / Abschnitt „Sanduhr, gedämpfter Oszillator und Kondensatorentladung“) würfelt solange, bis die für den Abbruch entscheidende Zahl getroffen wird und zum Ausscheiden aus der Menge, die weiter würfelt, führt. Man kann sich leicht vorstellen, dass in diesem Modell die Folgefrequenz des Würfelns durch die Impedanz des Entladewiderstandes oder die Umgebung des Fluoreszenzzentrums (Brechzahl) von außen beeinflusst wird. Die Exponentialfunktion basiert hier auf der Struktur des Systems : einer vorgeschriebenen Verfahrensweise in Kombination mit dem Zufall, dessen Zufälligkeit charakteristisch für das Kollektiv ist.

Der Zufall begegnet uns oft in der Physik in Kombination mit gequantelten Größen, zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall oder beim Abklingen der Fluoreszenz. Solche mikroskopisch angesiedelten Phänomene führten zu der Frage, ob und wie sich die klassische Beschreibung mit Ursache und Wirkung, die für die makroskopische Welt charakteristisch ist, mit einer mikroskopischen Basis und ihren Wahrscheinlichkeiten und Zufällen verträgt.

Im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ / Abschnitt „Spontane Emission des einzelnen Photons und Abklingzeit“ begegnete uns die Fluoreszenz als eine Folge von einzelnen Ereignissen in Form der detektierten Photonen, als Informations- und Energieabgabe von Leuchtzentren. Bei gleichzeitiger Anregung zur Zeit $t=0$ und Energieaufnahme solcher Zentren könnte man naiv ja auch erwarten, dass die Emission zeitlich definiert verzögert erfolgt, also nach einer für die einzelnen Zentren charakteristischen Zeitkonstanten T, die vielleicht durch eine Unschärferelation etwas aufgeweicht ist, wie es das Bild 72-15 mit der roten Kurve zeigt. Anstatt dessen sehen wir als Mittel über viele Emissionen die grün dargestellte e-Funktion; links gezeigt ist die emittierte Leistung, rechts sind es symbolisch die emittierten Photonen und die vorhandene restliche Energie.

Bild 72-15: Exponentielles Abklingen einer Fluoreszenz (grün) im Vergleich zu einer zeitlich verzögerten (rot) Emission.

Betrachten wir deswegen im Folgenden den Vergleich zwischen dem exponentiellen Entladen eines Kondensators und dem Abklingen der Fluoreszenz gleichzeitig angeregter Leuchtzentren.

Ein Vergleich des Entladens einer Gruppe einfach geladener Kondensatoren mit der Fluoreszenz räumlich verteilter Leuchtzentren zeigt, warum die Exponentialfunktion die geeignete Beschreibung liefert. Wenn bei den Leuchtzentren die Emission einfach zeitlich verzögert um $T$ erfolgte, wie es eben in Bild 72-15 rote Kurve zu sehen war, würden viele Photonen relativ gleichzeitig nach der Anregung wieder abgestrahlt werden. Aus Sicht der Information würde es bedeuten, dass relativ lange ein energiereicher Zustand des Ensembles besteht, in dem nichts passiert, in dem also Zeit keine rechte Bedeutung hat, und dann würden plötzlich viele Ereignisse, die im Bild rechts gezeigten Akte der Emission, in einem kurzen Zeitraum um den Zeitpunkt $T$ herum aufeinanderfolgen. Der dann viel zu kurze zeitliche Abstand dieser aufeinanderfolgenden Ereignisse und die große dabei abgegebene Energie würden Produkte $\Delta E\cdot \Delta t$ der Wirkung ergeben, die nicht im Einklang zu den obigen Überlegungen mit der Anzahl n und dem Wirkungsquantum als abzählbarer Informationsbasis sind. Die auf Wahrscheinlichkeiten beruhende Exponentialfunktion dagegen liefert eine zeitliche Folge von Entladungen oder emittierter Photonen, die mit der jeweils raumzeitlich vorhandenen Energie und ! Energieabgabe harmoniert. Der zeitliche Abstand der Photonen (die zunehmende Zeitunschärfe) wächst mit sinkender Gesamtenergie und geringer werdender Informationsmenge. Diese Exponentialfunktion repräsentiert also einen Teil der kollektiven Information, sie gehört nicht zu den individuellen Charakteristiken der Komponenten, sondern sie ist eine Gruppeneigenschaft.

Für dieses Verhalten ist keine direkte Kopplung zwischen den die Energie emittierenden Zentren erforderlich, wie es das Würfelbeispiel im Bild 72-14 zeigte. Es gibt dort allerdings die gemeinsamen Würfe genauso wie bei der Fluoreszenz die gemeinsame Anregung oder zumindest die Tatsache, dass der gleiche Startzeitpunkt der Beschreibung innewohnt. Es existiert allerdings auch ein frei wählbares Zusammenfassen zu einer Gruppe seitens des Beobachters. Dies ist das im vorherigen Kapitel „Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film“ schon öfter gezeigte Integrieren, das zur realen Basis der Definition vieler unserer physikalischen Größen gehört.

Eine schon öfter erwähnte kollektive Information war die Augensumme beim Würfeln.

Bild 72-16: Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Augensumme beim Münzwurf.

Schon beim Münzwurf, also dem „Würfel“ mit nur zwei Möglichkeiten, Kopf oder Zahl, zeigt sich die Glockenkurve genauso ab der Anzahl von drei Würfeln wie bei jeder anderen Anzahl der Oberflächen, Bild 72-16. Die Anzahl der möglichen Augen des einzelnen Würfels enthält natürlich einen Bezug zur Information, denn sie gestattet ein entsprechendes Unterscheiden von Möglichkeiten und ein Verteilen von Wahrscheinlichkeiten.

Bild 72-17: Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Wurf mit drei sechsseitigen Würfeln (rot), fünf vierseitigen Würfeln (grün) oder zehn Münzen (blau).

Das Bild 72-17 zeigt nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme für verschiedene Kombinationen von Würfelanzahl $WZ$ und Oberflächenanzahl $S$. Zum besseren Vergleich startet die Numerierung der Würfeloberfläche jeweils mit der Null und dann ergeben sich für fünf Würfel mit vier Seiten (0 bis 3) Augensummen im Bereich von 0 bis 15 genauso wie bei drei Würfeln mit sechs Seiten (0 bis 5). Der Unterschied ist: mit den fünf Würfeln gibt es $4^{5}=1024{\text{ Punkte}}$ im Universum der Ergebnisse, mit den drei Würfeln nur $6^{3}=216{\text{ Punkte}}$. Beim Münzwurf mit zehn Münzen erreicht man ebenfalls einen Raum mit $2^{10}=1024{\text{ Punkten}}$, die maximale Augensumme ist allerdings nur zehn. Entsprechend unterscheiden sich die Verteilungen, deren Form mit der Informationsmenge und der daraus folgenden Genauigkeit von „Messungen“ korreliert ist. Wenn man die Münzkurve entsprechend normiert, werden die blaue und grüne Glockenkurven daher identisch, rechts unten. Diese Würfelexperimente zeigen nun eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die uns vorher schon beim Schrotrauschen begegnete. Dies sei Anlass, nach Vergleichen zu suchen, die hier bei den Würfeln und vorher bei physikalischen Experimenten im Zusammenhang mit Information zu finden sind.

Wenn die natürlichen Zahlen den Würfeloberflächen zugeordnet werden, sind diese Flächen nicht mehr gleichwertig. Es gibt dann Beziehungen zwischen diesen einzelnen Zahlen, jede Oberfläche zu jeder einzelnen anderen, so das die Differenzen dieser Zahlen zwar in ihrer Menge identisch sind, aber nicht in ihrem Wertespektrum (und zum Beispiel der daraus folgenden Größe von Differenzen). Beim klassischen Würfel sind die Ober- und Unterseite miteinander verschränkt, ihre Summe ist sieben, was beim Würfeln auf dem Glastisch in Erscheinung tritt.

Diese „Würfelexperimente“ zeigen uns, wo die Grenzen von Gottes würfeln liegen. Jeder Wurf liefert eine Information, deren Qualität von der Menge der Würfel und ihrer Seitenzahl abhängt. Außerdem existiert eine zeitliche Informationsdichte, die von der Folgefrequenz der Würfe geprägt ist. Innerhalb dieser Informationsfolge können wir Strukturen ausmachen, die dadurch beeinflusst sind, wie wir Ergebnisse zusammenfassen und mathematische Ideen übertragen. Andererseits können übergeordnete Gesetze existieren, die mögliche Kombinationen als Ergebnis des Wurfes ausschließen oder die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens vom Zufall abweichen lassen. Das angewandte mathematische System liefert in Kombination mit den jeweils benutzten Koordinaten und Transformationen von Information beobachtbare Ergebnisse. Ob Gott nun alle Zufallsergebnisse zulässt oder hier mit Gesetzen eine weitere Beschränkung vorgesehen hat, wird schwer zu überprüfen sein, solange wir nicht geklärt haben, welchen Einfluss unserer Auswahl schon hat.

• Es ist aber wohl nicht zu verleugnen, dass zumindest diese mit den Zahlen aufgeprägte Struktur Basis des diskutierten „Ergebnisuniversums“ ist und nicht nur der Zufall regiert. Jedenfalls wird an dieser Stelle wohl deutlich, dass wir mit unserer Art, die Welt zu beschreiben, auch wesentlich darauf Einfluss nehmen, ob und in welcher Form die dann erkannten Zusammenhänge und Ergebnisse zum Vorschein kommen.

Die obigen Überlegungen liefern auch einen Beitrag zur Frage, wie aus einer mikroskopischen Welt, die wesentlich durch den Zufall geprägt wird, ein makroskopisches Universum folgen kann, das im wesentlichen deterministisch erscheint. Unsere mikroskopische Ausgangsbasis mit Würfeln zeigt zunächst eine lokal (raumzeitlich) begrenzte Informationsmenge aufgrund der Möglichkeiten eines Wurfes, zwei bei der Münze und sechs beim Standardwürfel. Mit vielen Würfeln kann man ein Universum bilden, in dem das Geschehen nebenläufig im Sinne Petris ist. Zwischen den einzelnen Würfeln im Mikrokosmos kann man nun das gesamte Universum mit Beziehungen erfüllen. Eine Möglichkeit ist das fortlaufende Numerieren der Würfeloberflächen mit natürlichen Zahlen, 1 und 2 bei der Münze, 1 bis 6 beim Standardwürfel. Damit wird eine Struktur aufgeprägt, die es ermöglicht, die Beziehungen der Wurfergebnisse nach den Gesetzen der Mathematik zu erfassen, wie oben beschrieben. Mit diesen Gesetzen kann nun die Menge der Information der einzelnen Objekte zusammengefasst werden, zum Beispiel durch Augensummen oder Differenzen. Die Anzahl der Beziehungen, die wesentlich größer ist als die Anzahl der Objekte und damit der durch diese repräsentierten Informationsmenge, enthält eine Vielzahl von Möglichkeiten, durch unterschiedliches, Gesetzen folgenden Zusammenfassen die vorhandene Information in die Sicht des Experimentators zu transformieren.

Bei den Augensummen verteilen sich die Wurfergebnisse ungleichmäßig auf die möglichen Werte, was durch die Normalverteilung repräsentiert wird. Die große Anzahl an Beziehungen, die die Differenzen einzelner Würfelpaare enthält, wird vom Ergebnis ferngehalten und damit auch eine große Menge an Zufall, die diese Beziehungen enthalten. So zeigen sich nun Strukturen jenseits des Zufalls auf Basis der mathematischen Beschreibungsweise. Dazu gehört dann in begrenztem Umfang die Möglichkeit, bei entsprechend großer Anzahl der Würfe, die Anzahl der Würfel und die Anzahl von deren Oberflächen abzuschätzen. Auch Änderungen dieser Größen im Laufe von zeitlichen Entwicklungen lassen sich auf diese Art erfassen.

Wenn wir also in der Thermodynamik ein Gas betrachten, so besteht dies aus einzelnen Atomen und Molekülen, die sich unabhängig voneinander zufällig bewegen und nur bei Stößen wechselwirken. In diesem chaotischen System zeigen die individuell gemessenen Eigenschaften der Atome oder Moleküle, Positionen und Impulse, gesetzmäßig nicht zu verfolgendes Verhalten. Verzichtet man jedoch auf die Kenntnis der individuellen Eigenschaften der Partikel, so kann eine globale, integral zu erfassende Größe wie der Druck dann den bekannten Gesetzen folgen.

Gibt es einen Zusammenhang zwischen Gravitation und Information ?

Im vorliegenden Beitrag wird die Hypothese vertreten, dass Energie und Wirkungsquanten in Kombination Information repräsentieren. Die Energie ist dabei für die Qualität der Information in Form einer Beziehung zwischen zwei Objekten verantwortlich. Eine solche Vorstellung ist bei Kräften und Abständen zwischen zwei Ladungen in der potentiellen Energie zu finden oder als kinetische Energie im Zusammenhang mit zeitlichen Positionsänderung. Welchem Zusammenhang liefert die Energie $E=M\cdot c^{2}$ ? Im Folgenden sei die Hypothese angenommen, dass dies die Beziehung einer Masse $M$ zu den Restmassen des Universums repräsentiert.

Man kann sich im Eindimensionalen einen räumlichen Abstand bereits zwischen zwei Objekten existent vorstellen, mit allen Problemen, die bereits an anderer Stelle diskutiert wurden. Dieser Abstand charakterisiert dann die Qualität der Information „räumlicher Abstand“ aber keine Position im universellen Raum. Bei Schwingungen und Wellen, nicht nur beim Wasserstoffatom im Abschnitt „Information und Struktur der Elektronenhülle“, lässt sich damit sofort auch die Energie mit einer Länge verbinden. Photonen und Schwingungsquanten werden wie folgt raumzeitlich mit der Periodendauer $T$ und der Wellenlänge $\lambda$ charakterisiert.

$E=h\cdot f=h/T=h\cdot c/\lambda =P\cdot c$ [Ws] [73-1]

Bild 73-1: Zwei Objekte und die Energie E12 ihrer Beziehung.

Wenn wir Information in der Beziehung des Abstandes $\lambda _{12}$ zwischen zwei Objekten, A1 und A2, finden, so korreliert die Präzision dieser Beziehungen mit der Energie, Bild 73-1.

$E12=h\cdot c/\lambda _{12}$. [73-2]

Dies ist eine Energie, die mit größerem Abstand der Objekte kleiner wird.

Diese räumliche Abhängigkeit ist die gleiche wie zum Trennen der Massen beim Gravitationsgesetz ($r\sim \lambda$).

$E_{G}=\Gamma \cdot M1\cdot M2/r$ [73-3]

Wenn wir diese Energie als Qualität der Beziehung und Information zwischen den beiden Massen ansehen, lässt sich mit der Kombination beider Gleichungen eine charakteristische Masse $M_{P}=M1=M2$ ableiten, für die die Abstandsabhängigkeit der Energie identisch mit der Längenabhängigkeit des Schwingungsquants angesetzt wird ($r=\lambda$). Dies ist kein Quant der Masse sondern ein Maßstab für die Größe und den Vergleich von Massen.

$E_{GP}=\Gamma \cdot M_{P}^{2}/r=h\cdot c/\lambda$ [73-4]

$M_{P}={\sqrt {(h\cdot c/\Gamma )}}$ [73-5]

Aus den Naturkonstanten

• Gravitationskonstante $\Gamma =6,6738\cdot 10^{-11}$ [m³/(kg s²)]
• Planck-Konstante $h=6,6261\cdot 10^{-34}$ [Ws²] = [Js]
• Lichtgeschwindigkeit $c=2,9979\cdot 10^{8}$ [m/s]

folgt $M_{P}=5,4557\cdot 10^{-8}$ [kg].

Diese Größe ist als Planck-Masse bekannt. (Anlehnend an die ursprüngliche Formulierung von Max Planck wird hier auf den heutzutage meist zusätzlich verwendeten Faktor $2\pi$ verzichtet.)

Das System $A1$, $A2$ und $E12$ lässt sich so interpretieren, dass bei einem kleineren Abstand von $A1$ und $A2$ eine größere räumliche Präzision besteht. Damit besteht ein Maßstab $(A1;A2)\cdot (1\pm 1/2)$ gekoppelt mit einer Größe Energie $E12$. Eine solche Konstellation wurde bereits beim Wasserstoffatom diskutiert. Beim Annähern von $A1$ an $A2$ wird diese Energie $E12$ zum Beispiel als kinetische Energie in Erscheinung treten, wie wir es auch bei der Kometenbewegung gut beobachten können oder beim Einfang des Elektrons beim Wasserstoffatom, wo diese Energie schließlich als Photon abgestrahlt wird. Beim Abtasten des Systems ist diese Energie aufzubringen, um das Elektron aus der Nähe des Protons wieder zu entfernen. Diese Energie muss man aufwenden, um an die dem System inne wohnende Information von außen heranzugelangen. Man muss also Energie aufwenden, um potentielle Kenntnis zu vernichten und die mit dieser Information realisierte Erkenntnis nach außen umzuleiten. Ein in Bezug auf die Kraft entsprechendes räumliches Verhalten kennen wir bei der Anziehung zwischen zwei Massen, der Gravitation, genauso wie bei Ladungen.

Wenn man nun eine weitere Masse oder ein Objekt hinzufügt, dann gibt es zusätzliche Beziehungen und Energieanteile. Nach diesem Schema lässt sich das System beliebig erweitern, wobei die Anzahl der Beziehungen deutlich gegenüber der Anzahl der Objekte zunimmt, Bild 73-2. Objekte sind Vielfache der Planck-Masse, Beziehungen sind Abstände der Energie $E_{mn}=h\cdot c/\lambda _{mn}$ pro Planck-Masse.

• Bild 73-2
• 
  Beziehungen zwischen drei Objekten und dazugehörige Energien $E_{mn}$.
• 
  Beziehungen zwischen fünf Objekten und dazugehörige Energien $E_{mn}$.

Geht man zunächst von der Planck-Masse $M_{P}$ als Ausgangsgröße aus, so kann man die beteiligten Massen dann aus solchen Grundbausteinen zusammengesetzt denken. Oben wurde bereits diskutiert, dass man mit drei räumlichen Dimensionen auskommt, wenn es gilt, die Kombination verschiedener Objekte auf Basis von Abständen zu charakterisieren. Der abzählbare Anteil von Information war zunächst mit der abzählbaren Menge der Objekte verbunden. Die Anzahl der Beziehungen wächst allerdings wesentlich stärker als die Anzahl der Objekte und wenn man diesen Beziehungen nun Energien zuordnet, so kann man die gesamte Energie des Systems wie folgt betrachten. Das System aus Raum und Zeit wird hier ja nicht als vorgegeben existent betrachtet. Es ergibt sich aus dem Vergleich räumlicher und zeitlicher Abstände, den Beziehungen der einzelnen Objektpaare. Damit hängt die erreichbare Genauigkeit von der Anzahl der Objekte im betrachteten System ab. Mehr Genauigkeit bedeutet eine zusätzliche Energie abhängig von der Menge der Objekte und ihrer Beziehungen. Zu bedenken ist weiter, dass wir auch kleinere Massen als die Planck-Masse kennen. Diese begegnen uns allerdings im Allgemeinen in Kombination mit stärkeren Wechselwirkungen als der Gravitation, zum Beispiel bei den Ladungen in einem Atom.

Das Wegnehmen eines Objektes erfordert einen Energieeinsatz, der um so größer ist, je mehr Objekte und dazugehörige Beziehungen betroffen sind. Die entsprechenden Energien des Verbundes werden dann entfernt. Wie groß ist die Energie, um eine Planck-Masse aus dem Universum zu entfernen oder sie hinzuzufügen ? Zur Klärung dieser Frage muss man die Summe der Energien über alle Beziehungen zwischen den Massen des Universums bilden, Massen, die räumlich verteilt sind und mit folgenden Größen abgeschätzt wurden. (Die Dichte des Universums und seine Masse führen zu einem hypothetischen Würfel mit der Kantenlänge $a$. Sie ist etwa doppelt so lang wie die Strecke $L_{0}$, die das Licht seit dem Urknall zurückgelegt hat, Daten Wikipedia.)

• Alter des Weltalls: $T_{0}=4,36\cdot 10^{17}{\text{ s}}$
• Kleinste Frequenz: $f_{0}=1/T_{0}2,29\cdot 10^{-18}{\text{ Hz}}$
• Größte Länge: $L_{0}=c\cdot T_{0}1,31\cdot 10^{26}{\text{ m}}$
• Masse des Universums: $M_{U}=1,0\cdot 10^{53}{\text{ kg}}$
• Dichte des Universums: $\rho _{U}=4,7\cdot 10^{-30}{\text{ g/cm³}}$
• Volumen Universum: $a^{3}=M_{U}/\rho _{U}2,13\cdot 10^{79}{\text{ m³}}$
• Ausdehnung Universum: $a=2,77\cdot 10^{26}{\text{ m}}$

Unter Annahme einer konstanten Dichte ergibt sich, dass man der Einfachheit halber das Universum in drei Dimensionen als aus einer Folge von Kugelschalen aufgebaut vorstellen kann. Der energetische gravitative Anteil zweier Massen sinkt proportional zum Abstand. Andererseits wachsen die Oberflächen der Kugelschalen und damit ihr Massenanteil proportional zum Quadrat des Radius. Daraus folgt dann in der Kombination ein lineares Anwachsen der Energieanteile mit dem Abstand dank der dort vorhandenen Materie. Man kann bei einer Abschätzung die weit entfernten Massen also nicht vernachlässigen, im Gegenteil, sie tragen einen wesentlichen, in ihrer Summe mit dem Abstand wachsenden Anteil der Beziehungen bei. Vergleichen wir nun die Energie der Planck-Masse

$E_{MP}=M_{P}\cdot c^{2}=(h\cdot c/\Gamma )^{1/2}\cdot c^{2}=4,9\cdot 10^{9}\,{\text{Nm}}$, [73-8]

mit der aus den Gravitationsbeziehungen abgeleiteten Energie $E_{UP}$. Die Information über den Abstand $r_{pi}$ dieser Masse $M_{P}$ zu den jeweils restlichen Massen $M_{i}$ des Universums steckt in der Summe der Energien $E_{MiP}=\Gamma \cdot M_{P}\cdot M_{i}/r_{ip}=h\cdot c/\lambda _{ip}$. Für den mittleren Abstand $r_{U}$ der Massen des Universums wurde die Hälfte der größten Länge, $c\cdot T_{0}=L_{0}$, angesetzt.

$E_{UP}=M_{P}\cdot \Gamma \cdot M_{U}/r_{U}=5,6\cdot 10^{9}\,{\text{Nm}}$ [73-9]

Im Rahmen der Ungenauigkeit der für die Abschätzung zur Verfügung stehenden Größen und weiterhin im Rahmen des Modells der vorgetragenen Hypothese sind diese beiden Energien gleich.

$E_{MP}=M_{P}\cdot c^{2}=E_{UP}=M_{P}\cdot \Gamma \cdot M_{U}/r_{U}$, [73-10]

Dies legt den Gedanken nahe, dass die Energie einer Masse auf der Information über ihre räumlichen Beziehungen zu den Restmassen des Universums beruht. Die Planck-Masse kürzt sich beim Vergleich heraus. Die Gravitation wäre dann auf die Energie der Information der räumlichen Beziehungen von im Universum vorhandenen Massen zurückzuführen und für die Gravitationskonstante ($\Gamma =h\cdot c/{M_{P}}^{2}$) ergibt sich folgerichtig:

$\Gamma =c^{2}\cdot r_{U}/M_{U}$ [73-11]

Diese Idee ist sowohl mit den oben benutzten Abschätzungen des Universums als auch mit der Tatsache gut zu vereinen, dass es, anders als bei der elektrischen Ladung, keine negativen abstoßenden Massen gibt. Die Gravitationskonstante $\Gamma$ würde dann von der Masse $M_{U}$ des Universums und ihrer Verteilung im Universum abhängen. Diese Masse wiederum wäre einer Energie $E_{MU}=M_{U}\cdot c^{2}$ äquivalent.

$\Gamma =c^{4}\cdot r_{U}/E_{MU}$ [73-12]

Die Hypothese, dass die Gravitationskonstante $\Gamma$ dadurch zu Stande kommt, dass die Massen des Universums räumlich verteilt sind mit Abständen, zu denen eine Informationsenergie gehört, ist oben mit der Annahme abgeschätzt worden, dass die Massen im Universum homogen verteilt sind. In der Realität sind diese Massen allerdings nicht homogen verteilt und eine genauere mathematische Analyse dieser Idee sollte zeigen, in welcher Form inhomogen verteilte Massen in der Nähe des Messortes zu lokalen Abweichungen von einem universellen, konstanten $\Gamma$-Wert führen. Da die weit entfernten Massen aufgrund ihrer großen Anzahl den wesentlichen Beitrag zum $\Gamma$-Wert liefern, wird es keine dramatischen Abweichungen von einem Mittelwert für ein Universum homogener Dichte geben. In der Nähe von einer Galaxie, die dann zunächst von Leere umgeben ist, sind allerdings viele Abstandsbeziehungen zur Testmasse mit kurzer Länge zu erwarten. Damit verbunden wären lokal eine überdurchschnittlich hohe Informationsenergie und ein entsprechend veränderter $\Gamma$-Wert. Die Folge davon wäre, dass das Zentrum und der Rand einer „Galaxie“ etwas unterschiedliche Schwerkraft spüren. Vielleicht gestattet diese Idee dann, dank eines lokal variablen $\Gamma$ auf dunkle Materie zu verzichten.

So zeigt Bild 73-3 für drei unterschiedliche Positionen A, B und C innerhalb einer Objektgruppe, das weiter außen liegende Objekte zu einem höheren Gammawert führen würden.

Bild 73-3: Die Summe der Entfernungen zu Nachbarn der Massen A, B und C sind unterschiedlich.

Für die drei unterschiedlichen Positionen A, B und C ergeben sich aufgrund der differierenden Abstände folgende sieben Beziehungen ($1/r$):

• A: $4\cdot 1/1+1\cdot 1/2+2\cdot 1/(2)^{1/2}=5,9$
• B: $2\cdot 1/1+1\cdot 1/2+2\cdot 1/(2)^{1/2}+2\cdot 1/(5)^{1/2}=4,8$
• C: $1\cdot 1/1+1\cdot 1/2+1\cdot 1/3+2\cdot 1/(2)^{1/2}+2\cdot 1/(5)^{1/2}=4,1$

Wenn man annimmt, dass das Universum sich seit dem Urknall ausdehnt, würde dies bedeuten, dass die Abstände zwischen den Massen mit zunehmender Zeit auch immer größer werden. Nach obiger Überlegung wäre die Konsequenz, dass die in den Abständen ausgezeichnete Energie abnimmt. Die Annahme einer Konstanz der Gesamtenergie würde dann ermöglichen, aus der hierbei freiwerdenden Energie andere Formen, zum Beispiel Massen zu bilden. Auch ein zeitabhängiger Gravitationsfaktor wäre denkbar.

Die Massen A, B, C befinden sich in einer Ebene und sind bei den folgenden Gedanken als gleich angenommen. Was passiert, wenn man nun oberhalb von A1 eine Masse D1 im selben Abstand wie B1, B3 und C1 installiert, Bild 73-4 ? Zu dieser neuen Masse gibt es neue Abstandsbeziehungen. Der Schwerpunkt der Anordnung wird verschoben, A1 und A2 sind nicht mehr gleichwertig. Wenn man die Summe der Abstandsenergien für die einzelnen Massen berechnet, ergeben sich der größte Wert für A1 und der kleinste für C2. Aus Symmetriegründen ist jetzt die Energie von A2 kleiner als die von A1, es zeigen sich die gleichen Energien für B1, B3 und B2, B4. Interessant ist nun, dass D1 energetisch noch etwas darunter liegt. Dies bedeutet eine Informations- und Energiezunahme, wenn D1 sich in die Ebene einordnen würde. Wir kennen die dem entsprechenden anziehenden Kräfte zwischen Massen, die Gravitation.

Bild 73-4: Masse D1 außerhalb der Ebene der Galaxie im Abstand A1-A2.

Wenn die Annahme der Energie von Abstandsinformation zutrifft, liegt es nahe, auch nach einer Energie für zeitliche Abstände zu suchen. Für den oben diskutierten Strom wäre diese Energie bezogen auf die Folge der Elektronen im mittleren Zeitabstand $T_{E}$ offensichtlich magnetisch.

$E_{T}=h/T_{E}=2\Phi _{0}\cdot e/T_{E}=2\Phi _{0}\cdot I$ [73-13]

Aber auch bei den Massen sollte es neben der statischen Information von Abständen, der Gravitation, auch eine dynamische Information der Abstandsänderungen geben. Für die träge Masse galten Bezüge, die zu kinetischer Energie führen.

$\Delta E=F\cdot \Delta X=M\cdot dv/dt\cdot \Delta X=M\cdot dv\cdot \Delta X/dt$ [73-14]

Da es kein ausgezeichnetes Bezugssystem gibt, sollte man einmal die Geschwindigkeitsdifferenzen von Massen, hier mit einer der oben benutzten Maßeinheit Planck-Masse entsprechenden, als Energie der Information der Geschwindigkeitsdifferenzen ansetzen. Eine solche Energie der Bewegungsinformation zweier Massen ($m\cdot M'_{P}$, $n\cdot M'_{P}$) wäre dann

$E_{mn}=(m\cdot n\cdot M'_{P})\cdot (v_{m}-v_{n})^{2}$ [73-15]

und über solche Informationsenergie der Bewegung wäre dann für alle Massen des ganzen Universums zu summieren. Der verwendete Maßstab als Planck-Masse ist nicht zwingend. Im beim Wasserstoffatom betrachteten elektromagnetischen Fall wurde die Feinstrukturkonstante $\alpha$ ergänzt, es gab die beiden Quanten: Ladung $e$ und Flussquant $\Phi _{0}$. Die Kombination mit einem Maßstab der Planck-Ladung war in diesem Fall ${Q_{P}}^{2}\cdot \alpha =e^{2}$.

Leider fehlt mir die Möglichkeit, die Energie der Information über zeitliche Abstandsänderung abzuschätzen. So bleibt der Wahrheitsgehalt dieser Idee zunächst im Dunklen.

Beim Bilden des Wasserstoffatoms wurde ein Photon freigesetzt, dessen Energie mit der Information der Anordnung von Elektron und Kern korreliert war und dessen Massenäquivalent dem Wasserstoffatom gegenüber den Ausgangsquanten fehlt. Um diese Information zu gewinnen, musste diese Rydberg-Energie wieder eingesetzt werden. Um Information über die Struktur von Protonen und Neutronen zu erhalten, wird in Beschleunigern viel Energie aufgewandt. Wurde diese Energie der aus den Experimenten gefolgerten Bausteine beim Bilden der Protonen und Neutronen auch abgegeben und wenn ja, in welcher Form ?

Die „abzählbare Physik“

Während die klassische Physik an ein Kontinuum glaubt, nulldimensionale Punkte in ihre Gedanken einbezieht, sowie einen absoluten Raum und die dazugehörige Zeit zur Basis Ihrer Koordinaten macht, beschränkt sich die abzählbare Physik auf eine Beschreibung, deren Umfang an erfassbaren Eigenschaften der Welt von der vorhandenen Informationsmenge abhängt, die als beschränkt angenommen wird. Die Eigenschaften der Realität und die möglichen Aussagen über sie sind begrenzt und können nur über Beobachtungen gemacht werden, deren Art und Präzision von der im untersuchten Bereich vorhandenen Information bestimmt ist. Die Information ist in den Kombinationen und Beziehungen zwischen Objekten oder Ereignissen enthalten, diese Beziehungen sind in der Anzahl wesentlich größer als die Zahl der Objekte und Ereignisse selbst. Das Koordinatensystem Raum und Zeit hilft zum Beschreiben von Komponenten des Informationsgehalts in Form zusammengefasster raumzeitlicher Beziehungen des Universums. Diese Vorstellung ist dann auch mit den Ideen von Ilya Prigogine in Einklang, der die Zeit als eine Beziehung zwischen Ereignissen darstellt. Im Abschnitt „Wieviel Bit transportiert ein Quant ?“ wurde ein physikalisches Experiment in Form eines Übertragungskanals zwischen Sender und Empfänger beschrieben, den wir wählen. In diesem Sinne sind auch Raum und Zeit solche Kanäle, mit denen wir die Natur systematisch gliedern und zu erfassen versuchen.

Das Universum enthält also Objekte und für den begrenzten Teil, den wir physikalisch betrachten, existiert deren Anzahl, wenn auch nicht als Erhaltungsgröße. Die Objekte zeigen untereinander Beziehungen. Gleichartige Beziehungen eines Objekts zu anderen können zusammengefasst werden und liefern in klassischer Beschreibung gegebenenfalls Felder oder Grundlagen für Gesetze.

Zum Beschreiben physikalischer Probleme benutzen wir normalerweise sechs Koordinaten. In der Mechanik sind dies drei für die Position (Ort) und weitere drei für die Bewegung (Impuls). Die Genauigkeit der Kombinationen von Ort und Impuls sind durch die Unschärferelation begrenzt, praktisch gibt es auch in der geläufigen Beschreibung definierte Grenzen physikalischer Realität. Beim Elektromagnetismus sind diese Koordinaten drei für das elektrische Feld (zum Beispiel verursacht durch die Position von Ladungen) und drei für das Magnetfeld (zum Beispiel charakterisiert durch die Bewegung von Ladungen). Wir interessieren uns also jeweils für Zustände und ihre Änderungen in Raum und Zeit. Wenn Informationen das damit verknüpfte Wissen vermitteln, dann werden diese vermutlich auch sechs Komponenten umfassen.

Was ist typisch für die „abzählbare Physik“ ?

An dieser Stelle soll nun zusammengefasst werden, worin sich die Vorstellung der „abzählbaren Physik“ von den bisher üblichen Sichtweisen unterscheidet. So wird beim Betrachten des elektromagnetischen Quaders im letzten Kapitel zunächst die Darstellung als ein Zusammenfassen bisher bekannter Gesetze unter einem vielleicht didaktisch glücklichen Blickwinkel erscheinen. Allgemein nicht bekannt war wohl ohne diese Darstellung die Aussage, dass das elektromagnetische physikalische System mit vier Naturkonstanten und ihren Maßen erfasst ist und mindestens zwei davon als fundamentale Quanten auftreten. Die auf diesem System aufbauende Beschreibung enthält durchaus analoge Größen, aber jeweils mit einer eingeschränkten Präzision.

Damit unvereinbar ist zunächst der Glaube an ein Kontinuum. Anstatt der „kontinuierlich analogen“ Differentialrechnung tauchen endlich große Differenzen auf. Bei einem Messergebnis kann zwar ein beliebiger irrationaler Wert auftauchen, aber jeder solche Wert ist mit einer aus Menge und Qualität der Information folgenden Ungenauigkeit verknüpft, die die Grenzen liefert, mit der dieser Wert in der Natur oder zumindest innerhalb des betrachteten Systems definiert ist. Unterscheidbare Größen treten damit in Stufen auf, allerdings sind diese Stufen dann nicht notwendig von konstantem Abstand, wie man es in der Digitaltechnik oder beim Abzählen gleichartiger Quanten gewohnt ist, sondern es treten naturgesetzlich sinnvolle Schwankungen auf, die die vorhandene Ungenauigkeit repräsentieren. Mit jeder Messung sammelt man Information. Diese Information ist im Umfang begrenzt und endlich und kann sinnvollerweise nicht größer sein, als der Informationsgehalt des betrachteten Systems. Im Normalfall wird sogar nur ein Teil der gesamten Information einen Beitrag zum Messergebnis liefern und der Rest der Information dann andersartigen Größen zugeordnet sein.

Die Information steckt in der Kombination von Beziehungen und Objekten oder Ereignissen. Diese Größen können gegebenenfalls gequantelt sein. Bei einer Messung liefern diese Objekte Signale, die dem Experimentator und Beobachter Information vermitteln. Da es wesentlich mehr Beziehungen zwischen den Objekten als Objekte selbst gibt, sind diese Beziehungen zahlreicher als die Menge der Information, die allein durch die Anzahl der Objekte charakterisiert ist. Der Experimentator wählt Beziehungen aus und legt damit Übertragungskanäle für die untersuchten Signale fest (Abschnitt „Wieviel Bit transportiert ein Quant ?“). Damit steht die von den Signalen repräsentierte und zahlenmäßig begrenzte Information nun anderen Kanälen im Rahmen dieser Messung gegebenenfalls nicht mehr zur Verfügung, mit den bekannten experimentell beobachteten Einschränkungen der Erkenntnis (zum Beispiel Unschärferelationen und Rauschen) als Folge. Die Auswahl eines Kanals bedingt beispielsweise die alternative Vorstellung: Welle oder Teilchen.

Die Beziehungen eines Objekts zu den vielen anderen des Universums kann man anstatt paarweise zusammengefasst global durch Koordinatensysteme darstellen. Die physikalischen Größen Raum und Zeit sind erst durch solche Beziehungen existent. Sie können Abstände räumlich zwischen Objekten (relative Positionen) oder zeitliche Folgen von Ereignissen beschreiben.

Ergänzend besteht die zweite Darstellung der Teile des Universums, bei der mit Zeit und Raum charakteristische Dauern und Längen beschrieben werden. Dies erfordert, anders als bisher üblich, zwischen den charakteristischen Dauern von Systemen, also zum Beispiel Abklingzeiten oder Periodendauern $T$ [1/Hz], und dem zeitlichen Abstand $t$ [s] von Ereignissen gedanklich und formal zu unterscheiden. Eine Verbindung zwischen beiden kann durch die Kopplung mit einem Ereignis erfolgen, dies könnte das Anstoßen eines Pendels, das Auf- oder Entladen eines Kondensators oder die stimulierte Emission von Photonen sein. Dies wäre wohl auch eine Verbindung zu dem von Heidegger benannten Zeitraum.

Entsprechendes gilt für den (linearen) räumlichen Abstand von Objekten und ihrer eigenen charakteristischen Ausdehnung (zumindest Flächen). Im räumlichen Bereich sollte wohl weiterhin auch zwischen der eindimensionalen Größe, einer Entfernung zwischen Positionen, und einem Quotienten aus Fläche und Länge differenziert werden, ähnlich wie man polare und axiale Vektoren unterschiedlich behandeln muss. Solche Quotienten charakterisierten die Größen von Spule [2-21] und Kondensator [2-22] im Abschnitt „Strom – Spannung - Impedanz“ unabhängig von den realen Dimensionen der Flächen und Abstände oder Längen. In der Geometrie liefert der Quotient aus der Oberfläche einer Kugel zu ihrem Durchmesser den Umfang eines Großkreises, durch dessen Drehen man die Kugeloberfläche rekonstruieren kann. Wenn sich eine Welle richtungsunabhängig gleichmäßig von einem Zentrum entfernt, so gehören die Orte der Oberfläche einer Kugel zeitlich zueinander und bilden daher eine Einheit, während das Volumen unterschiedlichen Zeiten der Erzeugung zuzuordnen ist.

Während die ablaufende Zeit und auch die relative Position durch eine Richtung ausgezeichnet sind, zeigen die Größen Dauer und Länge eine solche Ausrichtung nicht in gleicher Art. Basis unseres Zeitmaßstabs ist die konstante Periodendauer von ungedämpften harmonischen Oszillatoren. Beim Entladen eines Kondensators war zu sehen, dass solch ein an Ereignissen orientierter Zeitmaßstab in einem gedämpften System anders erscheint.

In der Welt der Physik begegnen uns Quanten, dies können Objekte sein, die immer gleich groß sind, wie die Ladung des Elektrons und das Wirkungsquantum oder sie können in variabler Größe erscheinen, wie die Energiepakete des Photons und des Phonons. Solche Quanten kann man zählen und diese Anzahlen können Grundlage einer Messung sein. Die Basis solcher Anzahlen sind die natürlichen Zahlen mit der Stufengröße 1. Die Quotienten entsprechender Anzahlen liefern uns dann rationale Zahlen, die nur in Sonderfällen in das Stufenraster der natürlichen Zahlen passen. Kombinationen solcher Quotienten, die wegen der digitalen Struktur von Information wieder in das Schema der ganzen Zahlen passen sollen, sind dann zwingend wegen der Rundungsfehler mit Unschärfen verbunden.

Die im ersten Kapitel aufgezählten und in den folgenden Kapiteln als informationsvermittelnde Objekte benutzten elektromagnetischen gequantelten Größen existieren nicht unabhängig voneinander. So ist die Größe eines elektrischen Flusses zum einen gegeben durch die Größe der erzeugenden Ladung und zum anderen durch die Gesetzmäßigkeit in seiner Beziehung zu anderen Objekten des Universums, zu Raum und Zeit. Solche Abhängigkeiten wurden im Kapitel „Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten“ anhand des elektromagnetischen Quaders diskutiert. In praktischen Experimenten und daher auch in unserer Vorstellung ist die elektrische Ladung mit Teilchen verbunden, dem Elektron, dem Proton… Von solch einer zwingenden Teilchenvorstellung sollte man sich im Rahmen der „abzählbaren Physik“ allerdings lösen. Hier taucht die gequantelte Ladung separat auch virtuell im Zusammenhang mit materielosen elektromagnetischen Feldern, zum Beispiel bei den Photonen auf. Dann ist diese Größe Ladung nicht notwendig lokalisiert und auch nicht mit Masse verbunden. Das wechselwirkungsfreie Durchdringen elektromagnetischer Wellen legt nahe, dass die virtuellen Ladungen auch anders reagieren, als reale es würden. Das Gegenstück zur Elementarladung, der magnetische Monopol, wurde in der Natur noch nicht explizit als Teilchen beobachtet. Es gelang allerdings schon, Pole eines magnetischen Dipols weitgehend zu separieren. In diesem Beitrag gilt die Vorstellung eines Magnetpols mehr im Sinne der auch technisch genutzten Polstärke und der im Hintergrund stehenden Ursache eines magnetischen Feldes, so wie die Elementarladung als Basis von Photonen existiert, und nicht notwendig als Gegenstand eines realen, materiebehafteten und lokalisierten individuellen Teilchens.

Im Abschnitt „Die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$“ wurden raumbezogene und zeitbezogene Kräfte im Gleichgewicht als verantwortlich für die Geschwindigkeiten von Wellen befunden. Daraus folgte eine Abhängigkeit von der Impedanz des Ausbreitungsmediums. Beim Klitzing-Widerstand und seinen Pendant auf der anderen Seite des elektromagnetischen Quaders ergaben sich die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$ für elektrische und magnetische Anteile. Dann sind die elektrischen und magnetischen Quanten in jeweils gleichartiger Menge vorhanden. Da nun elektrische und magnetische Felder und das Verteilen der Energie darauf vom Koordinatensystem des Betrachters abhängen und im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie ausgetauscht werden können, müssten wir Probleme beim Wechsel der beteiligten Quanten erwarten. Die Lösung solche Schwierigkeiten erfolgt einfach, wenn die Impedanz des Mediums, in dem sich die Wellen ausbreiten, die Vakuumimpedanz ist. Dann unterscheidet sich die raumzeitliche Verteilung der elektrischen und magnetischen Energie nicht und die gemeinsame Geschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit.

Im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ tritt das Plancksche Wirkungsquantum $h$ als die Größe auf, die eine kleinste Informationseinheit bei Messungen repräsentiert, indem es ein Maß für die aus der Menge an Information folgende nicht zu vermeidende Ungenauigkeit lieferte. Beim Messen resultieren dann verschiedene Formen des Rauschens. Wenn die Information durch Anzahlen definiert ist, sind nur die Null und die natürlichen Zahlen in den Ergebnissen von Messungen und Kalkulationen zulässig. Fehlende Information liefert dann automatisch die Nullpunktsenergie oder eine entsprechende Unsicherheit der abzählbaren Objekte, wie man sie auch bei virtuellen Photonen findet.

Solch eine Wirkung tritt in der Hamiltonschen Theorie auf und ergibt abgeleitet nach der Zeit die Energie und abgeleitet nach den Raumkoordinaten den Impuls. Im vierdimensionalen Raumzeitsystem der speziellen Relativitätstheorie wäre damit eine schlüssige Informationskomponente gefunden. Diese abzählbare Anteil der Information, $N\cdot h$, muss noch mit der Qualität der Information ergänzt werden, die oben in den ungequantelten Ableitungen nach Raum und Zeit zu finden war. Anzahl und Qualität der Informationseinheiten lassen sich ineinander transformieren, wie beim Mischen im Abschnitt „Erweiterung des Zeitbereichs über die Periodendauer hinaus“ mit Photonen diskutiert wurde.

Das Doppelspaltexperiment demonstriert im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“, wie Information über Raum und Zeit hinausreicht und mit Strukturen verknüpft ist. Und immer wieder zeigt sich ihre kleinste Realisierung in der Trinität von zwei Objekten, Ereignissen… und der Beziehung dazwischen.

Beim Ausarbeiten dieser Schrift gab es einige vorher nicht so gesehene Zusammenhänge, so die Lichtgeschwindigkeit $c$ als Kombination von $v_{Q}$ und $v_{\Phi }$, die Kombination der Quanten des harmonischen Oszillators mit der Impedanz, speziell bei der mechanischen Amplitude und dem Impuls, die Hysteresekurve des Memristors und die identischen Strukturen bei der Analyse von Bildinhalten und den Orbitalen des Atoms.

Die Fülle der betrachteten Phänomene zeigt, dass man nicht erst in die submikroskopischen Größenordnungen der Planck-Einheiten gehen muss, um eine digitale Struktur der Welt zu finden. Die vorhandene Menge an beobachteter Information begrenzt die erfassbare Auflösung und das Beschreiben unserer Welt durchaus schon im makroskopischen Bereich. Die in diesem Beitrag gezeigten offenen Fragen seien eine Anregung für weitere Arbeiten.

Die vorgestellte Sicht der abzählbaren Physik hat jedenfalls kein Problem damit, dass die Quantenmechanik nur Wahrscheinlichkeiten vorhersagen kann und trotzdem in der klassischen Physik ein Determinismus mit Ursache und Wirkung unbestritten ist, auch wenn bei den beobachteten Zusammenhängen auf atomarer Skala Zufälligkeiten das Geschehen wesentlich prägen. Damit sehen wir die Entwicklung des Universums eben nicht von Gott ein für alle Mal vorherbestimmt, sondern dank der begrenzten Informationsmenge und des Zufalls mit Gottes würfeln, seiner vorgegebenen Strukturen sowie der Möglichkeit unseres Eingriffs in das Geschehen nur begrenzt vorhersagbar. Es bleibt die Herausforderung, dass wir uns mit Freude und Verantwortung am Gestalten der Zukunft auf Basis und unter Kenntnis der Vergangenheit beteiligen.

Anmerkungen

Kapitelnavigation - Die abzählbare Physik

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