Die abzählbare Physik/ Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film

Kapitelnavigation - Die abzählbare Physik

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ? | Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz | Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen | Die Zeit und ihre Messung | Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film | Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten | Information, Raum und Zeit | Dank

 

Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film

Das Messen fundamentaler Größen bedeutet: Zählen.

Ursache von Unschärferelationen ist ein Raster.

Viele gemessene Größen entstehen durch Integration in Zeit oder Raum.

Beim Integrieren kann Information verloren gehen, muss es aber nicht.

Die Aufnahme von Bildern und Filmen macht viele Probleme des Messens anschaulich, da es sich bei Photonen um abzählbare Größen handelt, übliche Bildaufnehmer geometrisch gerastert sind und die Bildwiederholungsrate eine zeitliche Struktur liefert.

Die Struktur des Messapparates begrenzt die Genauigkeit einer Messung. Einzelne Quanten tragen nur eine begrenzte Informationsmenge.

Information ist im Bezug von Quanten untereinander enthalten.

Informationsmenge pro Zeitintervall und Energie sind einander proportional. Bei anderen Beobachtungen gilt es, nach weiteren Formen der Information zu suchen.

Die Frage, wieviel Bit ein Quant transportieren kann, klärt sich, wenn man neben den abzählbaren Quanten noch die Art und Anzahl der Informationskanäle berücksichtigt.

Eine Form von Information kann in eine andere transformiert werden.

Zum Problem des Messens und der Information

Im Zeitalter des Internet ist uns der Begriff „Information“ vom Telefon über das Fernsehen bis zum Bankautomaten alltäglich geworden. Carl Friedrich von Weizsäcker sieht die Information der Physik in Form der Urs im Hintergrund über den übrigen physikalischen Theorien stehen. Mit jeder Messung erwerben wir Information über physikalisches Geschehen und von daher stellt sich schon die Frage, welche Bedeutung Information im Zusammenhang mit dem physikalischen Bild der Welt hat. Bei Messungen ist bekannt, dass es Grenzen der Genauigkeit gibt, d.h. die Informationsmenge des Ergebnisses einer Messung ist beschränkt. In den vorherigen Kapiteln begegnete uns die Information im Zusammenhang mit Quanten, die abzählbar sind und deren Menge einen Einfluss auf Art und Genauigkeit unserer Beobachtungen hat. So hing im „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ die Genauigkeit einer Widerstandsmessung von der Menge der detektierten Elektronen und magnetischen Flussquanten ab, im Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ waren die Abläufe durch die Anzahl der Feldzustände und ihrer Kombinationen beschrieben und im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ war die Zeit nur so genau definiert, wie die vorhandene Energie es zuließ.

Es liegt daher nahe, nach Korrelationen einer Menge von Quanten und einer Menge an Information zu suchen. Wir sind damit vertraut, Information mit Quanten zu übermitteln. Dies geschieht mit elektromagnetischen Wellen durch Photonen vom Rundfunkbereich bis zur kosmischen Strahlung. In der Mikroskopie werden auch Elektronen und Ionen eingesetzt, in der Sonographie verwendet man Schall. Wie verteilt sich die vorhandene Information auf eine Vielzahl von Quanten? Welchen Einfluss hat bei einer Messung der Experimentator durch die Wahl seiner Messmethode? Es ist sicher klar, dass mit einer begrenzten Anzahl von Quanten nur eine begrenzte Menge von Information übertragen werden kann. Wie wird die Information, die ein Objekt enthält, mit Quanten übertragen? Gibt es eine Auswahl von Teilinformationen und wenn ja, wie findet diese Auswahl statt, schon objektseitig oder erst beobachterseitig? Kann man den Informationsgehalt von einer Größe in eine andere transformieren?

In den vorherigen Kapiteln wurde schon gezeigt, dass die Heisenbergsche Unschärferelation ihre Ursache in der Abzählbarkeit des Planckschen Wirkungsquantums $h$ hat. Optische Abbildungen, also Messungen mit Photonen, bieten die Möglichkeit, solchen Fragen anschaulich nachzugehen. Es gehört wohl zum individuellen Erfahrungsschatz, dass man bei Dunkelheit Farben und Formen schlechter sieht, als wenn es hell ist oder gar nicht mehr erkennen kann und jeder, der schon einmal die Abbildung einer Lochkamera gesehen hat, weiß, dass man damit die Entfernung der abgebildeten Objekte nicht ermitteln kann, mit einer Linsenkamera dagegen muss man auf die passende Entfernung scharf stellen. Es ist klar, dass man die Form eines Objektes erst mit genügender Anzahl von Photonen oder Elektronen im Mikroskop rekonstruieren kann. Im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ wurde gezeigt, wie viele Photonen zum Ermitteln einer Abklingzeit nötig sind.

Viele einzelne Quanten können offensichtlich gemeinsam Information transportieren, die über ihre rein individuelle Existenz hinausgeht. Welcher Anteil einer ursprünglich vorhandenen Gesamtinformation oder Summe von Informationen wird nun von den einzelnen Quanten weitergeleitet? Trägt jedes Quant eine spezielle Information, einen typischen Anteil der gesamten Information, oder hat es einen Anteil der gesamten Information in unscharfer Form, und erst die Summe vieler Quanten liefert dann eine verfeinerte Auflösung, die die Information genauer zeigt? Im ersten Fall würde ein Bild so zusammengesetzt, dass ein Bildpunkt nach dem anderen ergänzt wird und die ausgefüllte Fläche im Laufe der Zeit anwächst, so wie ein Drucker ein Bild aus Farbklecksen zusammenfügt, Bild 5-0 oben. Im zweiten Fall darunter wird sofort die ganze Fläche mit Information versorgt, mit mehr Quanten würden dann Strukturen darin immer feiner ausgeführt und dargestellt. Dies kennen wir, wenn bei gestörter digitaler Fernsehübertragung oder beim Aufbau von Bildern im Computer grob gerasterte Strukturen nach und nach durch immer feinere ersetzt werden.

Bild 5-0: Aufbau eines Bildes aus einzelnen Punkten und Realisieren von immer feineren Strukturen.

Wesentliche Anteile von Information sind in den Beziehungen der Quanten untereinander zu finden. Beim Messen wählt man eine bestimmte Gruppe solcher Quanten aus. Zum Bestimmen einer Stromstärke zählt man während der Messdauer die Anzahl der Ladungsträger, die eine Fläche passieren, beim Messen einer Helligkeit zählt man Photonen pro Zeit und Fläche. Strukturen findet man dann durch Vergleich solch gemessener Anzahlen. Physikalische Messungen zeichnen sich im allgemeinen dadurch aus, dass die Anzahlen der beteiligten Quanten über einen Zeit- oder Raumbereich addiert werden, d.h. solche Integration charakterisiert wesentlich dem Messprozess. Ungenauigkeiten können dann durch diese Integrationen entstehen, da dabei nicht notwendig alle vorhandene Information beachtet wird. Andererseits liegt es schon in der Natur der abzählbaren Quanten, nur begrenzte Genauigkeit zuzulassen, da Stufen und Lücken die Kontinuität ersetzen. Die damit zusammenhängenden Fragen und Probleme sollen im Zentrum der folgenden Überlegungen stehen.

Am Beispiel der Bildaufnahme wird gezeigt werden, wie aus der direkt mit den Quanten detektierten Information die uns interessierende Größen, zum Beispiel abgebildete Objekte und Bewegungen, abgeleitet werden können. Auch das besonders im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ schon behandelte Rauschen wird in seiner Notwendigkeit im Zusammenhang mit Informationsselektion aus den gemessenen Größen einen neuen physikalischen Sinn erhalten. Die Frage, welche Menge Information ein Quant in Relation zu anderen transportieren kann, wird dadurch mit 1 Bit beantwortet werden können, also mit der Feststellung, ob es da ist oder nicht. Neben informationstragenden Quanten gibt es noch Kanäle, in und mit denen ausgezeichnete Eigenschaften selektiert sind, dies ist ein weiterer Aspekt beim Umgang mit der Information.

In verschiedenen Beispielen wird dem Leser dann gezeigt, in welcher Form Information bei physikalischen Messungen eine Rolle spielt. Abbildungen lassen sich in einfachster Form mit Lichtstrahlen darstellen. Dieses Bild hilft an dieser Stelle auch, um zu zeigen, wie die Information auf verschiedene Quanten aufgespaltet, transformiert und wieder zusammengesetzt werden kann. Schließlich ist es möglich, die physikalische Grenze zu zeigen, mit der Strukturen, ihre Auflösung und die vorhandene Energie zusammenhängen.

Am Beispiel des Kondensators kann der Zusammenhang zwischen örtlicher Auflösung und Energie demonstriert werden. Außerdem kann gezeigt werden, dass die in dieser Arbeit erwähnten hypothetischen Vakuumfelder keine Ursache von dunkler Energie sein können, sondern dass dafür reale, d.h. informationstragende Quellen, nötig sind.

„Fundamentale“ und abgeleitete Größen

Zu Beginn dieses Kapitels sollte man zunächst die Frage stellen, was kann man messen? Darauf wäre eine mögliche Antwort, dass man solche Größen messen kann, für die es ein Messgerät gibt. Eine grundlegende Voraussetzung für eine sinnvolle Messung ist aber zunächst, dass es überhaupt Informationen gibt, die existieren und die mit Hilfe von Signalen erkannt und transportiert werden können. Üblicherweise beschränkt man sich dann auf einen ausgewählten interessierenden Teil aus der Gesamtheit der Informationen.

Beim Messen existieren Grenzen der Messgenauigkeit. Diese Grenzen können aus der Menge der existierenden und übermittelten Information stammen und physikalischer Natur sein. In den vorherigen Kapiteln tauchte die grundsätzliche Unbestimmtheit wegen der digital gestuften Struktur einiger Grundgrößen auf. Die Ungenauigkeiten können aber auch durch Eigenschaften unserer Apparate gegeben werden, auf der Art der zu messenden Größen beruhen und in der angewandten Methode begründet sein.

Ziel einer Messung ist es, Informationen zu erlangen. Um optimal zu messen, muss der Experimentator auch wissen, welche Signale diese Informationen beinhalten oder transportieren. Bild 51-1 zeigt Enten und von ihnen erzeugte Wasserwellen. Mit einer Messung der Eigenschaften dieser Wellen können Aussagen über die Anzahl und die Bewegung der Enten getroffen werden, dafür würde ein Schwarzweißfoto reichen, aber es ist dann wohl kaum zu erkennen, welche Farbe die Enten haben.

Bild 51-1: Enten erzeugen Wellen.

Im folgenden soll zwischen Größen unterschieden werden, die ich fundamental nenne und solchen, die daraus abgeleitet werden. Fundamental sind in diesem Sinne abzählbare Größen: das Plancksche Wirkungsquantum h, die elektromagnetischen Quanten, des weiteren Photonen, sowie die schon früher vorgestellten entsprechenden mechanischen Größen: Phononen, Auslenkung $\Theta$ und Impuls $\Pi$.

Abgeleitete Größen sind Anzahlen oder Änderungen, die auf Zeit oder Raum bezogen sind, zum Beispiel der Strom $I=dQ/dt=dn\cdot e/dt$, die Spannung $U=d\Phi /dt=dm\cdot \Phi _{0}/dt$, die Kraft F, die Geschwindigkeit v, die Ladungsdichte,...

In den bekannten Unschärferelationen begegnen uns zusammenhängende Größen, deren Produkt eine Wirkung ergibt. In der Natur wird die Wirkung H gequantelt und digital beobachtet: Es gibt nur ganzzahlige Vielfache der Planckkonstanten h:

$H=N\cdot h$, mit einer ganzen Zahl N. [51-1]

Bekannt sind mit ihr im Zusammenhang

$h=dx\cdot dp$, die Grenzen der Unschärfe von Ort und Impuls

$h=2e\cdot \Phi _{0}$, die Kombination fundamentaler elektromagnetischen Größen

$h=E\cdot T=E/f$, die Energiequanten des harmonischen Oszillators und die entsprechende Energie-Zeit-Unschärfe.

Das Ergebnis einer Messung ist in seiner Aussagekraft begrenzt. Ein Faktor ist die Auflösung der Messapparatur, ein anderer die Art und Menge der Quanten, die die Information übertragen.

An dieser Stelle sollte man auch zwischen den Informationsanteilen unterscheiden, die das einzelne Quant trägt und der Information, die ein Kollektiv enthält. Das einzelne Quant kann durch verschiedene individuelle Eigenschaften ausgezeichnet sein. Außerdem hat es aber einen im allgemeinen räumlichen und zeitlichen Bezug zur Welt der anderen Quanten, in dem wesentliche Information enthalten ist. Wie schon beim Messen des Stromes zu sehen war, ist Information erst in dem Bezug zwischen mindestens zwei Quanten zu finden. Das Wirkungsquantum h ist eine Größe, die aus zwei elementaren Quanten gebildet wird, und daher bereits als Informationsträger eines Bits geeignet ist, wie beim Messen von Widerständen zu sehen war. Zahlreiche physikalische Größen bekommen ihre Bedeutung erst, wenn ein Kollektiv von vielen Quanten zur Verfügung steht.

Unschärferelationen abzählbarer Größen

Die Quantelung der abzählbaren Größen führt zu einer digitalen Struktur, zum Beispiel gibt es keine halben oder drittel Elektronen und entsprechend keine kleineren Ladungsänderungen als e. Daraus folgen dann „Digitalisierungs“-Ungenauigkeiten, es gibt keine Werte zwischen den Stufen. Als Folge existieren auch für die abgeleiteten Größen „Unschärferelationen“ und die damit begrenzte Genauigkeit. Dies ist bei Produkten, deren Ergebnis eine ganze Zahl sein muss, leicht einzusehen, wenn die Faktoren beliebige irrationale „analoge“ Werte aufweisen dürfen, die dann mehr oder weniger gut in das vorgegebene Raster der ganzzahligen Basis des Produktes passen.

Die Menge der abzählbaren Quanten begrenzt auch die Anzahl der unterscheidbaren Messergebnisse, ist also ein Maßstab für die vorhandene Menge an Information. Auch der Messapparat kann Grenzen vorgeben, dazu gehören die räumliche und zeitliche Auflösung und andere Schwellen der Detektion.

Beispiele für solche Effekte treten bei der digitalen Photographie auf, so enthalten digitale Bilder ein räumliches Raster durch die Größe und den Abstand der einzelnen Bildpunkte, der lichtempfindlichen Flächen auf dem Detektor, und ein zeitliches durch die Dauer der Belichtungszeit.

Bild 52-1: Die Flügel bewegen sich mit einer aus der Unschärfe messbaren Winkelgeschwindigkeit bei Verlust der genauen Ortsinformation – Messparameter ist die Belichtungszeit, das Raster ist durch die Bildpunkte gegeben.

Bild 52-1 zeigt einen Hubschrauber mit rotierenden Flügeln. Deren Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kann dem Bild aus der Bewegungsunschärfe $\alpha$ dem Betrag nach unter Verlust der Genauigkeit der Ortsangabe x von Punkten des Rotors entnommen werden, die Drehrichtung geht allerdings beim Einzelbild verloren. Das Raster der Bildpunkte und $\Delta t$ skaliert die Unschärfe $N\cdot \Delta x\cdot \Delta \omega =const$., denn die Ortsauflösung ist durch die Größe der Bildpunkte begrenzt, und wenn durch Verkürzen der Belichtungszeit die Bewegungsunschärfe verringert wird, verkleinert sich auch die Menge der beteiligten Bildpunkte und damit die Genauigkeit einer Geschwindigkeitsbestimmung $v=\Delta x/\Delta t$.

Diese einfache Überlegung gilt für einen Punkt auf dem Rotor mit festem Abstand zur Rotationsachse als Bezug und einem Helligkeitsunterschied zwischen dem Rotor und dem Hintergrund, der nur die zwei Zustände kennt, dass der Rotor den Bildpunkt trifft oder nicht. Ein nur teilweises Bedecken eines Bildpunktes würde aber noch Zwischenwerte zur Interpolation der Position ermöglichen, wenn es Graustufen gibt. Außerdem enthält der Rotor viele Punkte mit unterschiedlicher Position, die unterschiedliche Bildpunkte zu unterschiedlichen Zeiten passieren. Dies ermöglicht, entsprechend dem Nonius der Schiebelehre, mit einer feineren Auflösung zu messen, als es ein einzelner Punkt gestattet. Die sich daraus ergebenden Möglichkeiten und Grenzen einer erhöhten Genauigkeit folgen aus den Überlegungen dieses Kapitels, am prinzipiellen Fakt einer Unschärferelation und einer endlichen Zahl möglicher Messergebnisse ändert dies nichts. Allerdings zeigt dies, dass Genauigkeit und Informationsmenge von der Anzahl der beteiligten Quanten und Übertragungskanäle bestimmt wird.

Wo gibt es nun Parallelen zwischen dem allgemeinen Problem des Messens und der Bildaufnahme mit Foto und Film ? Die „fundamentalen“ Größen sind abzählbar: Photonen, Elektronen und die anderen Quanten. Daraus abgeleitet beobachtet man bei der Photographie

• Helligkeit ~ Photonen / (s · m²)

beim elektrischen Messen zählt man

• Strom ~ Elektronen / s
• Magnetpolstärke / m
• Spannung ~ Magnetflussquanten / s
• Elektrischer Fluss / m

und allgemein kann man Leistungen auf

• Leistung ~ Energiequanten / s …

zurückführen.

Alle Messungen, die elementar auf „Abzählen“ beruhen, können kombiniert mit Eindrücken unseres einzigen Sinnesorgans, das direkt auf Quanten reagiert, des Auges, vielleicht besonders gut verstanden werden.

Bildaufnahme

Digitale Photoapparate benutzen üblicherweise einen Bildaufnehmer mit einzelnen Bildpunkten, sie enthalten einen Halbleiterdetektor mit regelmäßig angeordneten Photodioden. Beim klassischen Film gab es weniger regelmäßig verteilte Kristalle in der lichtempfindlichen Schicht. Folge der Belichtung ist Kenntnis über die Anzahl der Photonen, die jeden einzelnen Bildpunkt während der Belichtungszeit getroffen haben. Ein Beispiel zeigt Bild 53-1, den stark vergrößerten Ausschnitt eines entfernt fliegenden Ballons.

Die Größe der einzelnen Bildpunkte begrenzt die räumliche Auflösung, die zeitliche ist durch die Belichtungszeit gegeben. Farbe und Helligkeit der Bildpunkte hängen von der Anzahl der pro Bildpunkt registrierten Photonen ab. Erwähnt sei noch, dass wir beim Foto die Phase der elektromagnetischen Schwingungen vernachlässigen, nicht so beim Hologramm oder der Speckle-Photographie. Auch die Polarisation wird häufig ignoriert, also die in diesen Kanälen enthaltene Information zusammengefasst und Einzelheiten werden daher „weggeworfen“.

Bild 53-1: Ballon in großer Höhe, die auflösungsbedingte Struktur mit quadratischen Bildpunkten ist in der Vergrößerung deutlich zu erkennen.

Bild 53-2: Ein Regenbogen. Die Kombination von Bildpunkten enthält die Information über seine Form und die Farbverteilung.

Wenn man im Idealfall alle Photonen registriert, die die Detektionsfläche treffen, gibt es eine Liste der Photonen mit dem Ort x,y, dem Zeitpunkt des Registrierens t, ihrer Wellenlänge (Farbe)$\lambda =c/f$ ihrer Phase $\phi$, Ausbreitungsrichtung und Polarisation. Mit einer solchen Liste alleine ist uns noch nichts begreifbar, erst die Interpretation gestattet uns die darin enthaltenen Informationen in unser Vorstellungsvermögen zu übersetzen. So sind Helligkeit und Farbe eines einzelnen Bildpunktes von Bild 53-2 zunächst nur ein Zahlenwert (beschränkt auf die individuelle Information), erst die Kombination vieler Bildpunkte lasst den Regenbogen als solchen mit seiner Form und seinem Farbenspiel (der kollektiven Information) erkennen und von dem restlichen Himmel, Dach und Bäumen unterscheiden.

Sammeln einzelner Photonen und Kombination zu Strukturen

Bild 53-3 zeigt eine Detektionsfläche und die auf sie treffenden Photonen. Die mögliche Auflösung ist neben der Messapparatur durch die Welleneigenschaften des Lichtes, örtlich durch die Wellenlänge $\lambda$ und zeitlich durch die Periodendauer T, begrenzt. Der reale Detektionspunkt kann kleiner als diese Grenze sein, im Allgemeinen übernimmt ein Elektron am Ort eines Atoms die Energie des Photons. Die Ausdehnung der Photonen vor dem Messprozess ist nicht bekannt und wohl auch gar nicht definiert, dies soll durch den von den anderen abweichenden schiefen Quader angedeutet werden. Das Bild 53-3 hat daher rein symbolischen Charakter. Es zeigt die Projektion der Orte, an denen die Photonen registriert werden.

Bild 53-3: Einzelne Photonen treffen nacheinander auf die Detektionsfläche. Die Würfel repräsentieren nicht die raum-zeitliche Ausdehnung von Photonen, sondern sind eine Projektion der Orte, wo sie gemessen werden.

Bild 53-4: Helligkeitsverteilung eines Wolkenbildes – es gibt verschiedene Graustufen.

Die Belichtung während der Zeit T liefert für jeden Bildpunkt (x,y) eine Anzahl von Photonen, deren Menge der Helligkeit entspricht. Das Bild 53-4 von Wolken zeigt Bildpunkte mit unterschiedlicher Helligkeit, dies sind die wahrgenommenen Graustufen.

Wenn man Bild 53-3 um die Belichtungszeit T ergänzt, ergibt sich Bild 53-5 mit dem rot begrenzten symbolischen Volumen der detektierten Photonen, das aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit c räumlich real ist. Das oberste Photon gehört also nicht mehr dazu, weil es nicht zu denen gehört, die während der Belichtungszeit T detektiert werden.

Bild 53-5: Während der Belichtungszeit T registrierte Photonen, links die raum- zeitliche Verteilung, rechts Ort und Anzahl N nach der Detektion.

Die Trefforte (Beugungsscheiben) der Photonen einer abgebildeten Punktquelle auf dem Detektor werden normalerweise nicht an dessen Raster angepasst sein, was dazu führt, dass sich das Signal aufeinanderfolgender Photonen auf unterschiedliche Nachbarpunkte verteilen kann, wie in Bild 53-5 angedeutet. Gleichzeitig zu sehen ist rechts, dass die Zahl N aller Photonen, die einen Bildpunkt während der Belichtungszeit treffen, in ihrer Summe zu einer Anzahl zusammengefasst werden. Das bedeutet die Transformation der Information einzelner zeitlich aufeinander folgender Photonen in die Anzahl N der Photonen/Bpkt während der Belichtungszeit T bei gleichzeitigem Verlust der Angabe des genauen Detektionszeitpunktes t innerhalb dieser Zeit und einer verminderten Ortsauflösung durch die Größe benachbarter Bildpunkte.

Bild 53-6: Ungleichmäßig verteilte Photonen und Moiré-Effekt.

Die Genauigkeit des Auftreffortes ist durch die Größe der Bildpunkte begrenzt, es ist unsicher, ob ein Photon nicht auch im Nachbarpunkt hätte registriert werden können. Eine Struktur in der räumlichen Verteilung der Photonen, die ähnlich der Anordnung der Bildpunkte auf dem Detektor ist, führt zu einer Struktur im Aufteilen der Photonen, die als Moiré-Effekt bekannt ist und zu starken Helligkeitsmodulationen führen kann, wie es die beiden überlagerten Muster in Bild 53-6 rechts zeigen.. Wie unterschiedlich die Photonen auf nebeneinander liegende Bildpunkte verteilt registriert werden können ist links mit Gruppen von jeweils vier Photonen gezeigt.

Bild 53-7 zeigt als Beispiel eine Röntgentopographie, die mit einer CCD-Video-Kamera bei einer Belichtungszeit von 20ms/Bild aufgenommen wurde. Jedes Röntgenphoton erzeugt im Siliziumkristall des Detektors bei seiner Absorption einige Tausend Elektronen, die auf eine Gruppe von Bildpunkten verteilt werden und in diesen punktweise zu einem Helligkeitswert führen. Je nach Abstand der Absorption in der Dicke des Kristalls von den die Elektronen sammelnden Bildpunkten in der Oberfläche der integrierten Schaltung und der daraus folgenden räumlichen Verteilung sind die Abbilder der Röntgenphotonen scharf und hell oder verschmiert und dunkler. Die Belichtungszeit (Video Pal - T = 1/50 s) ist kurz genug, so dass maximal ein Röntgen-Photon pro Bildpunkt registriert wurde. In diesem Fall könnte man also die einzelnen Photonen aus der Verteilung der Ladungswolken lokalisieren und zwischen ihnen sind Lücken.

Unser Auge stellt bereits Verbindungen zwischen den Bildpunkten her und meint Strukturen zu erkennen. Damit wird der Integration vorgegriffen, die die beiden folgenden Bilder in Bild 53-8 mit faktisch längerer Belichtungszeit (es wurden 10 oder 100 Videobilder addiert) zeigen.

Bild 53-7: Röntgentopographie mit CCD-Kamera, Belichtungszeit T =1/50 s. unten rechts ein Schnitt durch den CCD-Bildaufnehmer, der zeigt, wie unterschiedlich die vom Röntgenquant freigesetzten Elektronen sich auf die Bildpunkte verteilen, je nach Abstand zwischen den Bildpunkten an der Oberfläche und dem Ort der Absorption in der Tiefe des Sensors.

Bild 53-8: Röntgentopografien wie Bild 53-7, aber über längere Zeit (x10, x100) integriert Aufnahmen HASYlab/DESY 1984.

Strukturen im Bild

Die Addition benachbarter Bildpunkte verbindet die Positionen der einzelnen Photonen miteinander und ermöglicht das Erkennen räumlicher Strukturen. Die Größe Helligkeit bekommt erst einen Sinn, wenn verschiedene Anzahlen von Photonen verglichen werden können. Diese Integration kann zeitlich durch die Länge der Belichtungszeit bestimmt sein oder räumlich durch die Größe der Bildpunkte, wie in Bild 53-1 zu sehen war. Zeitliche Integration führt zu Bewegungsunschärfe, wie sie Bild 52-1 und Bild 53-9 zeigen. Während in Bild 53-9 die sich langsam bewegenden Tropfen a gut zu erkennen sind, sind die des „Wasserstrahls“ b durch Bewegung gerichtet unscharf, was wiederum gestattet, den Geschwindigkeitsvektor zu messen.

Dieses Verwischen erfolgt aber nicht notwendigerweise, wie durch das Mitführen des Teleskops bei der Astrophotographie oder die mitgerissene Kameraführung bei der Sportfotografie möglich ist, da nur die Relativbewegung zur Unschärfe führt. Im Abschnitt 5.5. wird auf dies Problem zurückgekommen.

Bild 53–9: Wasserstrahl. Während die sich langsam bewegenden Tropfen a gut zu erkennen sind, sind die des „Wasserstrahls“ b durch Bewegung gerichtet unscharf, was gestattet, den Geschwindigkeitsvektor zu messen.

Üblicherweise sind die Bildpunkte nicht unabhängig voneinander, sondern es sind Strukturen als Information im Bild enthalten. Typisch dafür sind Ähnlichkeiten benachbarter Bildpunkte. Häufig zeigen sich Linien und Flächen wie in Bild 53-8. Unser Auge registriert im wesentlichen Linien und hebt die Kanten von Flächen deswegen hervor. Die biologische Signalverarbeitung beruht wesentlich auf dem Erkennen von Differenzen, um die Dynamik der Signale in verarbeitbaren Grenzen zu halten. Das Auswerten der Bildinformationen setzt sich also aus Integration und Differenzieren zusammen. Beispiele für Kanten sind in Bild 53-10 zu sehen. Die Anordnung der Vögel im unteren Bild ist mit unserem Sehapparat sofort als Keil identifiziert. Ist die Kante erst erkannt, kann man die Integrationsflächen an diese Struktur anpassen (beidseitig von Kanten im oberen Teil des Bildes getrennte Flächen bilden) und anschließend zum Beispiel das Rauschen in den jeweiligen Flächen minimieren, Raumfrequenzen filtern oder nach anderen Kriterien sortieren, alles kommerziell genutzte Verfahren, die den subjektiven Eindruck von Fotografien verbessern helfen.

Bild 53-10: Kanten und Keil aus Vögeln.

Das Verhältnis vom Signal zum Rauschen

Die Quantelung fundamentaler Größen führt in der Fotografie zum schon in Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ erwähnten Schrotrauschen und damit zu einer Messungenauigkeit, die intensitätsabhängig ist.

Verschiedene Aufnahmetechniken

Bei Tage ist die erfassbare Information des Mondbildes (rechts oben in Bild 54-1) gering, sie wird merklich vom Rauschen der Helligkeit des blauen Himmels überdeckt. Die von der Sonne nicht direkt beleuchtete Mondseite ist nicht zu bemerken. In der Nacht dagegen ist sogar die dunkle, nur von der Erde beleuchtete Schattenseite mit ihren Strukturen zu erkennen. Man sieht, dass die Bilder links oben (Vollmond) und rechts unten (Halbmond) etwa um 90° gegeneinander gedreht sind. Die in Bild 54-1 unten links gezeigte Venus ist tagsüber aus dem gleichen Grund unsichtbar, die hier gezeigte Venusphase war Galileis Beweis der zentralen Position der Sonne in unserem Planetensystem. Vermutlich war die ihm zur Verfügung stehende räumliche Auflösung ähnlich wie die hier mit einem 1000mm Objektiv und einem Sensor mit fünf Millionen Bildpunkten gewonnene Aufnahme.

Bild 54-1: Problem des Schrotrauschens, der Mond bei Tag und in der Nacht, unten links die Venus.

Es liegt nun nahe, störende Signale auszublenden, um das Signal/Rausch-Verhältnis für die interessierenden Informationen zu optimieren. Bei elektronischen Signalen benutzt man häufig Filter, die Netzbrummen und andere Störungen im Frequenzbereich entfernen oder man setzt Zeitfenster, um die zu messenden Signale von unerwünschten zu trennen. In der Optik ist es ebenfalls möglich, Filter zu verwenden, es gibt das Zeitfenster der Belichtung, die spektrale Selektion oder räumlich die Schlierenverfahren. Beispiele für das letztere zeigt Bild 54-2. Bei Schlierenverfahren blendet man im Bild der Beleuchtungsquelle (bei einem Köhlerschen Strahlengang in der Brennebene der das Objekt abbildenden Linse) Teile des Lichtes aus, um die gewünschten Informationen hervorzuheben. Beim Hellfeldverfahren (Bild 54-2 oben links) wird das vom zu beobachtenden Objekt abgelenkte Licht von der Bildebene fern gehalten, wie das auch der Schattenwurf einer Kerzenflamme zeigt, die man mit einer punktförmigen Lichtquelle beleuchtet. Bei der Dunkelfeldabbildung, Bild 54-2 oben mitte-rechts, gelangt nur abgelenktes Licht zur Bildebene, das Beleuchtungslicht wird ausgeblendet. Wegen des Schrotrauschens zeigt das Dunkelfeldverfahren daher meist mehr Details, da der wesentlich nur Helligkeit (und damit auch Rauschen) liefernde relativ informationsarme Hauptstrahl ausgeblendet wird und man nur das viel differentielle Information tragende abgelenkte Licht auswertet.

Bild 54-2: Schlierentechniken am Beispiel von Funken in Wasser (mittlere Reihe) und Luft, Elektrodendurchmesser 2 Millimeter.

Bei starkem Eigenleuchten des Objektes kann dagegen das Hellfeldverfahren die Information tragende Beleuchtung vom störenden Untergrund des Eigenleuchtens trennen, wie die Funken in Luft der unteren Reihe zeigen. In der mittleren Reihe sind von Funken induzierte Phänomene in 1 mm Wasserschichten zu sehen, die Stoßwellen erzeugen und heiße Plasmen, im Wasser bei Unterdruck dann auch Kavitationsblasen. Das störende Eigenleuchten der Funken ist jeweils minimiert. Links ist zum Vergleich die Hellfeld-Aufnahme gezeigt.

Zusammenfügen von Information zum Separieren von Eigenschaften

Eine übliche Methode, bei der Bildaufnahme das Verhältnis von Signal zum Rauschen zu verbessern, besteht darin, die Anzahl der registrierten Photonen zu vergrößern. Dies kann über verlängerte Belichtungszeiten erfolgen oder durch Vergrößern der Fläche eines Bildpunktes, beides auf Kosten von Auflösung in Zeit oder Raum. Im folgenden Beispiel wird gezeigt, was die räumliche Integration bewirkt. Seien die einzelnen kleinen Bildpunkte so kurz belichtet worden, dass sie maximal von einem Photon getroffen wurden. Dann sind in hellen Bildbereichen häufiger benachbarte Punkte belichtet als in dunklen. Das Bild 54-3 zeigt Integrationsflächen bestehend aus 4, 9 und 16 Bildpunkten. Die kleinen Bildpunkte werden jeweils von maximal einem Photon getroffen, kennen also nur zwei Graustufen – hell oder dunkel. Die Anzahlen der Photonen in den größeren Einheiten repräsentieren unterschiedliche Helligkeiten, es gibt mehr als zwei mögliche Photonenanzahlen. Die Unterscheidbarkeit von Graustufen ist allerdings durch die statistische Unsicherheit (1 +-1; 4+-2; 9+-3; ...) des Schrotrauschens begrenzt. Zeigt der kleine Bildpunkt einen Unterschied $(\Delta N=1)$ zwischen zwei Graustufen, hell oder dunkel, so sind es mit einer Fläche von 4 kleinen Punkten dann zwei Graustufen $(\Delta N=2)$, mit 9 Punkten drei $(\Delta N=3)$ und mit 16 Punkten $(\Delta N=4)$ vier unterscheidbare Grauwerte. Zu erwähnen ist, dass einem Bildpunkt, der unbeleuchtet blieb, keine Helligkeitsstufe zuzuordnen ist. Die Frage, in welchem zeitlichen Abstand er von Photonen getroffen wird, ist nämlich nicht zu beantworten. Dieses ist aber, genauso wie ganz zu Beginn beim Messen von Strom durch Detektion einzelner Elektronen diskutiert, das eigentlich entscheidende Kriterium. Von daher ist die geringste Helligkeitsstufe durch 1+-1 Photonen/(Belichtungszeit·Bildpkt) entsprechend dem Intervall (0 ; 2) gegeben.

Bei einem Film wird die Helligkeitsverteilung einer Bildfolge N(t) registriert und damit können auch Bewegungen verfolgt werden. Die sichtbaren Graustufen ergeben sich dann teilweise durch zeitliche Integration mehrerer aufeinander folgender Teilbilder der Bildsequenzen infolge der Trägheit unseres Auges. Dies wird bei der technischen Norm des subjektiven Signal-Rausch-Abstandes beim Fernsehen berücksichtigt. Bei Verfahren, die zum Speichern oder Übertragen der Information deren Datenmenge reduzieren, kann daher das einzelne Bild einer Folge weniger Graustufen enthalten als im Film subjektiv wahrgenommen werden.

Bild 54-3: Das Auflösen von Graustufen ist durch das Schrotrauschen begrenzt. Links jeweils die mit 4,9,16 Bildpunkten große Integrationsfläche mit der zugehörigen Graustufe, rechts die mögliche Verteilung der Photonen auf die kleinen Bildpunkte, deren Signal bei der Integration zusammengefast wird.

Integration und Informationsverlust

Die Verluste an räumlicher oder zeitlicher Auflösung sind durch ein Integrieren zwar zwingend, lassen sich aber, wie mit Bild 54-4 für räumliche Integration gezeigt, kompensieren, indem man mehrfach mit unterschiedlichen Integrationsfenstern zusammengefasst. Im Beispiel ist das Raster der Integration von vier benachbarten Punkten in den vier möglichen Positionen um die vier zentralen Bildpunkte gezeigt. Die Verteilung der Photonen in den vier zentralen kleinen Bildpunkten lasst sich aus dieser Abbildung vollständig rekonstruieren, wenn man Bild 54-3 zur Hilfe nimmt.

Bild 54-4: Kompensation des Auflösungsverlustes durch mehrfache Integration mit verschiedenen Fenstern.

Die zeitliche Integration bei der Langzeitbelichtung dunkler Szenen führt oft zu Unschärfe von bewegten Objekten oder des gesamten Bildes auf Grund von „Verwackeln“. Diese störenden Effekte lassen sich vermindern, wenn man anstatt einer einzelnen Aufnahme mit langer Belichtungszeit eine Folge von nur für kurze Zeit belichteten Bildern registriert. Dann kann man beim Integrieren die einzelnen Bilder der Folge so gegeneinander verschieben, das die interessierenden Bereiche aufeinander liegen und beim Summieren scharf bleiben. Damit ist es möglich, die relative Bewegung der Kamera zu kompensieren und entweder für den Hintergrund oder ein bewegtes Objekt maximale Schärfe erreichen. Bild 54-5 enthält links eine Bildfolge 1-4, die insgesamt verwackelt ist und die im oberen Teil ein von links nach rechts bewegtes Objekt enthalten. Eine einfache Addition der Bilder zum Verbessern der Auflösung von Graustufen liefert durch beide Effekte ein unscharfes Ergebnis, rechts A. Durch passendes Verschieben vor dem Addieren kann das Verwackeln kompensiert werden und unbewegte Objekte bleiben trotz Addition scharf abgebildet, rechts B, vom Objekt oben ist die Bewegung als Unschärfe zu erkennen. Bei rechts C wird das bewegte Objekt oben scharf integriert und seine Form sichtbar, die Bewegungsunschärfe trifft daher die ruhende Umgebung unten.

Bild 54-5: Links 1-4 eine verwackelte Bildfolge mit oben einem von links nach rechts bewegten Objekt, Rechts die Additionen davon. Durch passendes Verschieben vor dem Addieren kann das Verwackeln kompensiert werden, B, oder das bewegte Objekt oben wird scharf integriert, C.

Schrotrauschen und verteilte Information

Bereits vorher wurde Schrotrauschen beim Messen der Impedanz, der Helligkeit und einer Abklingzeit in Kombination mit dem Zählen von Photonen, Elektronen und Flussquanten beobachtet. Im Gegensatz dazu wird die Anzahl der Elektronen auf Kondensatorplatten ohne die aus dem Rauschen folgende Ungenauigkeit gezählt werden können. Was ist der Unterschied ?

Zunächst fällt auf, dass beim Zählen von Photonen zum Bestimmen der Helligkeit jedes Photon die gleiche Energie mitbringt. Bei dem in Abschnitt 5.3.1. verwendeten Ansatz, einer Liste von registrierten Photonen mit Zeit und Ortsangabe, ist die Helligkeit nur eine von mehreren Informationen, die die Photonen vermitteln können. Mit einer größeren Anzahl von Photonen erhält man nicht nur eine genauere Information über die Helligkeit, auch die Orts- und Zeitauflösung wird besser. Wenn dazu exemplarisch Bild 54-3 abgewandelt unter dem Aspekt betrachtet wird, dass nicht Bildpunkte zusammengefasst werden, um Helligkeitsstufen zu differenzieren, sondern umgekehrt in Bild 54-6 die Fläche des Bilddetektors in immer feinere Strukturen zerlegt wird, wenn mehr Photonen vorhanden sind, so dass immer maximal ein Photon pro Bildpunkt auftritt, dann erkennt man, dass auch die mögliche raumzeitliche Auflösung von der Photonenzahl bestimmt wird und mit der Anzahl der Photonen wächst.

Bild 54-6: Die Detektionsfläche wird beim Empfang mehrerer Photonen so zerlegt, dass in den neuen, feineren Strukturen maximal ein Photon pro Bildpunkt existiert. Mit zunehmender Dichte der Photonen steigt daher die Ortsauflösung.

Dies zeigt auf andere Art Bild 54-7, wo in zwei raumzeitlichen Koordinatenrichtungen für die Detektionsfläche die Anzahl der auflösbaren Zeilen und Spalten dargestellt ist. Je mehr Photonen registriert werden, um so mehr Zeilen pro Fläche A und um so mehr Spalten pro Fläche A können unterschieden werden. Die gesamte Zahl der möglichen Photonenanordnungen innerhalb des Rasters entspricht der belegten Fläche mit der Größe Anzahl der Zeilen mal Anzahl der Spalten. Transformiert man jetzt die Photonenliste in ein System, deren eine Achse die Helligkeit ist, so gibt es senkrecht dazu eine Achse, die ein Maß für die Helligkeitsunterschiede zwischen den auflösbaren Bildpunkten darstellt. Die Größe Helligkeit als Diagonale der Fläche, deren Größe mit der Photonenanzahl wächst, wächst daher nur mit der Wurzel aus der Photonenzahl.

Mit einem Photon (symbolisiert durch einen gelben Punkt) gibt es für die gesamte Detektionsfläche nur einen einzigen erkennbaren Bildpunkt, rot=1², unten links. Mit bis zu vier Photonen ist der Detektionsbereich in 2·2 = 4 Bildpunkte zerlegbar, orange=2², es können nun nicht nur zwei Graustufen differenziert werden, sondern auch vier Detektionsorte (zwei Zeilen und zwei Spalten) unterschieden werden. Das zeigt die farblich markierte Flächenverteilung. Damit wird es möglich, auch innerhalb der Detektionsfläche Graustufen zu differenzieren. Noch feiner werden unterscheidbare Strukturen bei den nächsten Helligkeitsstufen, mit neun Photonen in 3·3 = 9 Teile, grün=3² und mit sechzehn in 4·4 = 16, blau=4². Es gibt also neben der gesamten Helligkeit auf der Detektionsfläche A entsprechend der Summe der Photonen noch Information über das Verteilen der Helligkeit innerhalb der Gesamtfläche der Detektion. Die Genauigkeit, mit der das möglich ist, d.h. die Anzahl der Zeilen und Spalten, in die man die Detektionsfläche zerlegen kann, steigt mit der Photonenzahl. Das bedeutet, dass besser bekannt wird, wie die Helligkeit über die Fläche verteilt ist und wo sie um dH vom Mittelwert der Helligkeit H abweicht. Die Röntgenbilder 53-7 und 53-8 zeigten neben der mit der Photonenzahl zunehmenden Anzahl der Graustufen die wachsende Genauigkeit der geometrischen Auflösung. Die Lücken zwischen den Photonen des ersten Bildes werden im Laufe der Zeit gefüllt und mit der Position der Photonen festgelegt.

Bild 54-7: Mit steigender Anzahl von Photonen nimmt nicht nur die Zahl der Helligkeitsstufen H zu, sondern auch die Möglichkeit, Helligkeitsunterschiede dH auf der Detektionsfläche A zeitlich dt und räumlich $dr_{xy}$ zu unterscheiden.

Die Helligkeit H auf der Detektionsfläche einer Kamera ist nicht konstant, sondern zeit- und ortsabhängig. Dies bildet den bei der üblichen Photographie durch die raumzeitliche Integration auf Bildpunkten während der Belichtungszeit vernachlässigten Anteil der Information, der Schrotrauschen für die übriggebliebenen Informationen zur Folge hat. Bild 54-4 zeigte eine prinzipielle Möglichkeit, auch diese räumliche Struktur zu erhalten. Die Helligkeit der gesamten Fläche ist von Natur aus nicht besser definiert, als es die Stufen zeigen, jedenfalls solange man nicht die Informationsmenge für die Zeit- und Ortsauflösung, wie in 5.4.2. behandelt, einschränkt und damit die Größe Helligkeit auf Kosten anderer Information genauer definiert.

Überträgt man diese Gedanken einfach auf das Schrotrauschen, das im Abschnitt „Der Energieaufwand beim Messen und das dabei auftretende Rauschen“ beim Messen eines Widerstandes auftrat, so entspricht die Helligkeit dem aus den Anzahlen von Elektronen und Flussquanten pro Zeitintervall ermittelten Widerstand und es sollte dann dazu einen weiteren Informationsanteil geben, nämlich die zeitliche Folge. Die Genauigkeit der Widerstandsmessung, das Verhältnis der Anzahlen von Flussquanten zu Elektronen, weist Schrotrauschen auf. Der übliche ohmsche Widerstand mit dem Wandeln von Energie in Wärme und dem Vertuschen des zeitlichen Anteils der Information lasst den Impedanzanteil der Information unberührt. Eine Leitung mit ihrer zu messenden Impedanz ermöglicht, die zeitliche Folge der Quanten dagegen nicht im Unbestimmten verschwinden zu lassen, sondern behält sie in Form der raumzeitlichen Verteilung der elektromagnetischen Felder längs der Welle auf der Leitung bei. Dabei gilt gleiches für die Elektronen und den elektrischen Strom, wie es für die Photonen bei der Information „Helligkeit“ behandelt wurde. Um zehn unterscheidbarer Impedanzwerte zu messen werden 100 Quanten benötigt, für die nächsten zehn weitere 300.

Der Anteil an der integralen Information pro Quant nimmt also mit steigender Anzahl ab. Dafür steigt der Anteil der (differentiellen) raum-zeitlichen Information. Belichtet man eine Sekunde, so verschwindet die entsprechende Zeitinformation in dieser Unschärfe des Integrationsintervalls. Belichtet man bei einer astronomischen Aufnahme eine Minute, so geht zusätzlich die Information verloren, in welcher der sechzig Sekunden das jeweilige Photon registriert wurde, der Zeitanteil der Information des einzelnen Photons war also größer als bei kurzer Belichtungszeit und entsprechend kleiner bleibt der Helligkeitsanteil. Hier stehen sich die Anzahl der Quanten N, deren Summe zum Beispiel die Helligkeit repräsentiert, und die Anzahl der Beziehungen der Quanten untereinander gegenüber. Das N-te Quant bildet (N-1) Verknüpfungen zu den übrigen, die Anzahl aller Verknüpfungen wächst nach dem jungen Gauß proportional N², womit sich wieder die Verhältnisse des Schrotrauschens zeigen.

Zur Struktur der Elektronenhülle

Bild 55-1: Einfang eines Elektrons vom Proton.

Die gleiche Struktur, wie sie Bild 54-7 zeigt, kennen wir vom Aufbau der Elektronenschalen eines Atoms, die erste Schale enthält nur s-Elektronen ohne Richtungsinformation, rot. In der zweiten kommen drei p-Orbitale und damit drei unterscheidbare Richtungen im Raum hinzu, orange, in der dritten noch fünf d-Orbitale, grün, in der vierten weitere sieben f-Orbitale, blau…

Im folgenden werde ein System aus einem Proton und einem Elektron betrachtet (siehe Bild 55-1). Im Bezug auf das Proton sei das Elektron zunächst im unendlichen, also überhaupt nicht lokalisiert. Diesem Zustand geben wir normalerweise die Energie null mit einer de-Broglie-Wellenlänge unendlich. Wenn beide Objekte nun ein Wasserstoffatom bilden, dann wird das Elektron in einem Orbital fixiert, sein Raumbereich ist eingeschränkt und es wird die Bindungsenergie als Photon abgestrahlt. In der Energie des Photons ist Information über die neue Position des Elektrons relativ zum Proton enthalten. Im Falle der festesten Bindung, der K-Schale, ist dies die Rydberg-Energie. $(v_{\Phi }=c\cdot 2\alpha$ s. Kap. 1 und 6)

$E_{Ry}=(Me/2)\cdot (e^{2}/2\epsilon _{0})^{2}/h^{2}=(M_{e}/2)\cdot (e\cdot \Phi _{E0}/2)^{2}/h^{2}=13.6eV=(M_{e}/2)\cdot (v_{\Phi }/2)^{2}$ [55-1]

Die Energie des n-ten Orbitals ist darauf bezogen, sie sinkt entsprechend der Anzahl n² der Möglichkeiten (s, p, d, f, ...) pro Schale

$E_{n}=E_{Ry}/n^{2}$ [55-2]

Im Fall von mehreren Protonen im Atomkern, also einer Kernladungszahl Z, gilt

$E_{nZ}=E_{Ry}\cdot Z^{2}/n^{2}$ [55-3]

Dabei ist der Radius r11 für das Wasserstoffatom im Grundzustand der Bohrradius

($R_{e}=e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}\cdot M_{e}\cdot c^{2})=e\cdot \Phi _{E0}/(4\pi \cdot M_{e}\cdot c^{2})$ klassischer Elektronenradius)

$R_{0B}=\epsilon _{0}h^{2}/(\pi M_{e}e^{2})=R_{e}/\alpha ^{2}=r_{11}$ [55-4]

und für andere Kombinationen von Orbital und Kernladung gilt

$r_{nZ}=n^{2}R_{0B}/Z$[55-5] Für das die Information tragende Photon gilt wegen der Beziehung $E=h\cdot f$ natürlich wie immer mit der Periodendauer T

$h=E\cdot T$ [55-6]

Für die räumliche Information des Wasserstoffatoms gilt die vom Orbital unabhängige Kombination von Energie und Radius

$E_{n}\cdot r_{n1}=E_{Ry}\cdot R_{0B}=e^{2}/(8\pi \epsilon _{0})=e\cdot \Phi _{E0}/(8\pi )=h\cdot v_{\Phi }/8\pi$ [55-7]

und für Atomkerne mit der Ladungszahl Z ergibt sich

$E_{nZ}\cdot r_{nZ}=E_{Ry}\cdot R_{0B}\cdot Z=Z\cdot h\cdot v_{\Phi }/8\pi$ [55-8]

Das Elektron hat in diesem Fall nicht nur eine Beziehung zum einem Proton sondern Z Beziehungen zu den Z Protonen des Kerns.

Für die Energie des Photons beim Orbitalwechsel ergibt sich mit einem Bezug zu den Umfängen der Bohrschen Bahnen $u_{n}=2\pi r_{n}$

$h\cdot f=E_{n}-E_{m}=(e\cdot \Phi _{E0}/4)\cdot (u_{m}-u_{n})/(u_{m}\cdot u_{n})$ [55-9]

Die Periodendauer eines emittierten Photons beim Einfangen des freien Elektrons in die K schale des Wasserstoffatoms ist

$T_{0B}=h/E_{Ry}=h\cdot (8\pi \epsilon _{0}r)/e^{2}=h\cdot (8\pi \epsilon _{0}^{2}h^{2})/[(\pi M_{e}e^{2})\cdot e^{2}]=8h^{3}/(M_{e}\cdot e^{2}\cdot \Phi _{E0}^{2})=8h/(M_{e}\cdot v_{\Phi }^{2})=2h/(\alpha ^{2}\cdot M_{e}\cdot c^{2})$ [55-10]

und der Quotient des Umfangs zur Umlaufdauer, also eine Geschwindigkeit, ist

$u_{1}/T_{0B}=e\cdot \Phi _{E0}\cdot v_{\Phi }^{2}/(16\cdot h\cdot c^{2})=c\cdot \alpha ^{3}/2=v_{\Phi }\cdot (\alpha /2)^{2}$ [55-11]

Erwähnt sei noch, dass für den Umfang des n-ten Orbitales bei der Kernladungszahl Z gilt

$u_{nZ}\cdot Z=(h\cdot v_{\Phi }/E_{Ry})\cdot (n/2)^{2}=(T_{0B}\cdot v_{\Phi })\cdot (n/2)^{2}$ [55-12]

Information und Struktur der Elektronenhülle

Aus der Sicht der Information trägt das im Unendlichen befindliche Elektron zunächst die Abzählbarkeit, es existiert oder es existiert nicht, und seine Energie $E_{e}=M_{e}\cdot c^{2}=0,511{\text{ MeV}}$ repräsentiert die schon oft erwähnte Qualität der Information. Dieser Energie kann man in Kombination mit der Ladung dann einem Durchmesser, also einer Länge, zuordnen oder aber an die Wechselwirkung mit anderen Ladungen denkend der potentiellen Information über die Wechselwirkung, die realisiert werden könnte.

Wenn dieses Elektron nun in Wechselwirkung mit dem Proton tritt, dann wird abhängig vom Abstand die potentielle Energie abnehmen und die kinetische zunehmen. Die kinetische Energie repräsentiert nun den gegenseitigen Abstand der beiden Ladungen. Sie wird als Energie des Photons abgegeben, das beim Einfang abgestrahlt wird und über dieses die Information dann an die Umgebung weitervermittelt. Die Information über den Radius des Elektronenorbitals nach dem Einfang ist aber dann auch beim Atom vorzufinden, wenn es entsprechend analysiert wird. Man kann daher problemlos annehmen, dass ein Teil der massebedingten Energie des Elektrons für diesen Informationsanteil verwendet wird. Die oben erwähnte Energie des Elektrons würde für solch eine Zuordnung jedenfalls bis zu einer Kernladungszahl von $Z=193$ ausreichen.

Im Fall des K-Orbitales beim Wasserstoffatom wäre die informationsanteilige Energie die Rydberg-Energie. Der Informationsinhalt beträfe den räumlichen Abstand zum Proton. Im nächst höheren Orbital wäre neben dem Abstand bei den S-Elektronen als weitere Informationsqualität noch die Richtung der P-Elektronen zu bemerken. Es gäbe damit für das S-Orbital und die drei P-Orbitale vier geometrisch zu unterscheidende Möglichkeiten. Für jedes Elektron in einem dieser möglichen Zustände ist die Bindungsenergie nur ein Viertel von der der K-Schale bei entsprechend verminderter Ortsgenauigkeit. Dieses Spiel setzt sich für die folgenden Schalen fort, es gilt stets, dass die Anzahl $G_{n}$ der zu unterscheiden-den Geometrien der Orbitale dem Quadrat der Nummer $n$ des Orbitales entspricht, umgekehrt proportional zur entsprechend verminderten Bindungsenergie $E_{n}=E_{Ry}/n^{2}$ [55-2], und der damit verbundenen räumlichen Auflösung, Tabelle 5.5. Die Informationskombination aus Ortsauflösung - differenzierter Geometrie ist also typisch für das Paar Elektron-Proton ! Die zwei Möglichkeiten des Spins verdoppeln natürlich in der Realität die Elektronenanzahl pro Zelle.

$G_{n}=\Sigma (s,p,d,f,\ldots )=n^{2}$ [55-13]

Tabelle 5.5: Besetzung der Elektronenschalen

n			Gn					n²=s+p+d+f+g
	s	p	d	f	g	h
1	1	0	0	0	0	0		1
2	1	3	0	0	0	0		4
3	1	3	5	0	0	0		9
4	1	3	5	7	0	0		16
5	1	3	5	7	9	0		25
6	1	3	5	7	9	11		36

Bei mehreren Protonen im Atomkern, also einer Kernladungszahl $Z$, gilt ein quadratisches Anwachsen der Bindungsenergie, $E_{nZ}=E_{Ry}\cdot Z^{2}/n^{2}$. Ein Faktor $Z$ beruht auf der wachsenden Zahl der Beziehungen des Elektrons zu den Kernladungen, der zweite Faktor $Z$ spiegelt die höhere Präzision in der räumlichen Auflösung aufgrund des stärkeren elektrischen Feldes wider. Auch hier sind Energie und Informationsmenge korreliert.

Elektron und Längen

In der physikalischen Beschreibung finden wir das Elektron nun mehrfach Beziehung zu Längen. Zum oben erwähnten Bohrradius des Grundzustandes beim Wasserstoffatom gehört ein Umfang

$R_{0B}=\epsilon _{0}h^{2}/(\pi M_{e}e^{2})=h/(2\pi \cdot \alpha \cdot M_{e}\cdot c)=5,29178\cdot 10^{-11}$ m $U_{0B}=h/(\alpha \cdot M_{e}\cdot c)$ [55-14]

Auch der klassische Elektronenradius lasst sich mit einem Umfang ergänzen

$R_{e}=e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}\cdot M_{e}\cdot c^{2})=h\cdot \alpha /(2\pi \cdot M_{e}\cdot c)=2,81794\cdot 10^{-15}$ m $U_{e}=h\cdot \alpha /(M_{e}\cdot c)$ [55-15]

außerdem gibt es noch die Compton-Länge

$\lambda _{compton}=h/(M_{e}\cdot c)=2,43\cdot 10^{-12}$ m [55-16]

und oben als charakteristisch die halbe Wellenlänge des abgestrahlten Photons beim Einfang in die K-Schale, der Abstand zweier Nulldurchgänge der elektromagnetischen Felder.

$\lambda _{photon}/2=h/(\alpha ^{2}\cdot M_{e}\cdot c)=4,56\cdot 10^{-8}$ m [55-17]

Diese vier Längen unterscheiden sich um einen Faktor mit der Feinstrukturkonstante $\alpha$, die wir im Zusammenhang mit der Kombination elektrischer und magnetischer Größen kennen. Der klassische Elektronenradius beruht auf einem Vergleich der Energie auf Basis der Masse und der elektrostatischen Energie abhängig vom Abstand elementarer Ladungen nach dem Coulomb-Gesetz. Die Compton-Länge hat einen Bezug zur Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen. Einen ähnlichen Zusammenhang sieht man vielleicht beim Abstrahlen des Photons, das elektrische und magnetische Felder kombiniert trägt gegenüber der Quelle des statischen elektrischen Feldes des Wasserstoffatomgrundzustandes. Eine weitere Beziehung zwischen Wellen mit Compton-Länge und klassischem Bohrradius scheint nicht offensichtlich. Die Kombinationen der Lichtgeschwindigkeit mit der Feinstrukturkonstante liefern allerdings zwei Geschwindigkeiten, die im nächsten Kapitel noch diskutiert werden, und die hier vielleicht zum Verständnis weiterhelfen.

Wenn man aus $E=h\cdot f$, $E=h\cdot c/\lambda$ eine Länge $\lambda =h\cdot c/E$ ableitet, so ist dies mit der Energie aufgrund der Masse des Elektrons die Compton-Länge gegeben.

$\lambda _{compton}=h\cdot c/(M_{e}\cdot c^{2})$ [55-18]

Die Rydberg-Energie liefert uns die Wellenlänge des emittierten Photons. Die beiden anderen Längen liefern Energien, die durch den Quotienten mit der Feinstrukturkonstante dagegen vergrößert vorliegen.

Mit der Information im Hinterkopf kann man noch eine weitere Länge konstruieren, wenn man beim Coulomb-Gesetz annimmt, dass eine neu erzeugte Ladung ihr Feld zeitlich und räumlich mit Lichtgeschwindigkeit verbreitet. Dazugehörige Wirkungsquanten oder deren Produkt mit der Lichtgeschwindigkeit liefern zeitliche und räumliche Abstände, die mit der Entfernung vom Ladungszentrum wachsen, was einer „Rotverschiebung“ entspricht.

Wieviel Bit transportiert ein Quant ?

Nach den bisher qualitativen Überlegungen ist es nun an der Zeit, die Informationsmenge auch einmal quantitativ zu fassen, also zu fragen, wieviel Bit ein Photon oder Elektron transportieren kann. Dazu gehört auch die Frage, ob ein einzelnes Quant überhaupt reicht, um die kleinste Informationseinheit zu übertragen.

Im Abschnitt 5.3. wurden Eigenschaften des Photons benannt, die man mit Signalen modulieren kann. Nach den bisherigen Überlegungen zeigen die Information transportierenden Quanten abhängig von der Energie eine räumliche Auflösung, eine Richtung der Bewegung und gegebenenfalls lasst sich eine Koordinate in der Ausbreitungsrichtung mit der Zeit korrelieren. Photonen weisen zusätzlich eine Polarisation auf, Elektronen einen Spin. Eine Richtung findet sich auch beim Magnetfeld des Flussquants. Neben einem Ja oder Nein der Existenz gibt es also zusätzliche Eigenschaften, die ein Sortieren erlauben und damit anscheinend gestatten, die transportierte Informationsmenge zu erweitern. Das Ja oder Nein bezieht sich auf Zeit und Ort der Detektion, es gibt viele Orte und Zeiten und damit viele Möglichkeiten. Die minimale Größe des Ortes und die Genauigkeit der Zeit ergeben sich aus der Wellenlänge und der Periodendauer, also der Energie, wenn wir neben dem Teilchencharakter die Welleneigenschaften in unsere Gedanken mit einbeziehen.

Bei Photonen kann man unschwer zunächst die Welleneigenschaft vorstellen, dann ist eine wesentliche Eigenschaft die Frequenz, aus der sich Wellenlänge und Periodendauer ableiten lassen. Frequenzen sind in unendlicher Anzahl vorstellbar, allerdings dauert eine Bestimmung auch unendlich lange, wenn man nicht auf Genauigkeit verzichtet und beliebig kleine Frequenzunterschiede erkennen will. Beschränkt man sich auf Frequenzdifferenzen $\Delta f$, so wird damit die zeitliche Detektionsgenauigkeit auf $\Delta T=1/\Delta f$ begrenzt.

Man stelle sich vor, es gibt einen Sender S von Photonen, eine Übertragungsstrecke Ü und einen Empfänger E, wie es Bild 56-1 zeigt. Wenn der Sender ein Photon emittiert, wird es kurze Zeit später am Empfänger registriert. Bedeutet dies, das jedes Photon ein Bit transportiert ?

Bild 56-1: Übertragungsstrecke für Information vom Sender S zum Empfänger E.

Man kann diese Anordnung nun noch um Polarisatoren P ergänzen wie in Bild 56-2 oben zu sehen ist. Empfangsseitig gibt es dann zwei Detektoren, E1 und E2, die ein Photon registrieren können, entweder vertikal oder horizontal polarisiert. Also kann nun damit mehr als $1bit/Photon$ transportiert werden ?

Bild 56-2: Übertragungsstrecke mit polarisierten Photonen oder mit farbselektiven Empfängern.

Weitere Auswahlmöglichkeiten können ergänzt werden, wenn man dem Photon Farben zubilligt, nach denen wie in Bild 56-2 unten vor dem Empfang sortiert wird.

Kann man dann, entsprechend der Anzahl der Farben, die Menge der Bits vergrößern, die das einzelne Photon transportiert ? Einen solchen Gedanken weiter fortgeführt wäre, dass man anstatt eines einzelnen Detektors eine Vielzahl, zum Beispiel einen Kamerachip einsetzt. Dann gäbe es eine der Bildpunktzahl entsprechende Anzahl von unterscheidbaren Positionen, Bild 56-3.

Bild 56-3: Übertragungsstrecke mit der Lichtquelle S und dem ortsauflösenden Empfänger E.

Hier zeigt sich die falsche Herangehensweise an das Problem. Die Anzahl der transportierten Bits eines einzelnen Photons kann doch nicht von der willkürlichen Anordnung abhängen, mit der man es detektiert. Die obigen Beispiele mit polarisiertem und farbigem Licht kann man in diesen Gedanken integrieren. Nach dem Aufspalten in Farben und Polarisationen befinde sich je ein Empfänger, das heißt ein Element der Matrix wie für einen Kanal in Bild 56-1 zu sehen war. Eine solche erweiterte Anordnung wäre also nichts weiter, als eine Vergrößerung der Anzahl der Matrixelemente, wie sie Bild 56-3 zeigt.

Die wahre Natur der mit solchen Anordnungen differenzierten Informationsübertragung ist parallel zur optischen Abbildung eines Gegenstandes, der in diesem Fall aus einer Anordnung verschiedener Lichtquellen S bestehen soll, die Photonen des charakteristischen Eigenschaften emittieren, im Bild 56-4 eine Matrix. Mit der Linse L werden diese Sender S auf die Detektoren der Matrix E abgebildet.

Hier wird wohl deutlich, dass man durch das oben diskutierte Erweitern nicht die Anzahl der von einem Photon transportierten Bits erhöht, sondern anstatt dessen die Anzahl der Übertragungskanäle vergrößert hat. Diese Kanäle sind im allgemeinen auf dem Weg zwischen Gegenstand und Bild nicht so anschaulich differenziert, wie es mit den Matrizen der Sender in der Gegenstands- und der Empfänger in der Bildebene der Fall ist.

Bild 56-4: Übertragung vieler Kanäle mit einer Abbildung der Sendermatrix auf den Empfänger.

An dieser Stelle bleibt es dann bei der Beobachtung des zugehörigen Kanals, dass ein Photon entweder registriert wird oder nicht, das bedeutet ein Bit / Quant im Detektionsbereich. Dieser Detektionsbereich ist neben den räumlichen Grenzen des Detektors auch durch ein Zeitfenster charakterisiert. Es ist nicht egal, wann das Quant registriert wird. Irgendwann zwischen $\infty <t<+\infty$ beobachtet, trägt es keine relevante Information bei. Über Zeitpunkt und Ort wird eine Relation zu anderen Quanten festgestellt. Wenn der Sender die Information absendet, ist wegen der Geometrie klar, wann die Information beim Empfänger ankommen sollte. Es muss also einen weiteren Bezug zwischen Sender und Empfänger geben, mit dem die Ankunft des Quants erst eingeordnet werden kann. Dies kann über einen externen Zeittakt erfolgen, siehe Bild 56-5, oder über ein weiteres Quant, welches ankündigt, in welchen Zeitbereich die Existenz des diskutierten Quants mit Ja oder Nein zu beobachten ist.

Hierzu gehören die Diskussionen der Zeit aus Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ und des Verteilens der Information in Abschnitt „Zur Struktur der Elektronenhülle“, das sich nun als ein Aufteilen auf Informationskanäle darstellt.

Bild 56-5: Es gibt ein Zeitfenster der Übertragung von Signalen, in dem das Photon entweder registriert wird oder nicht.

Das einzelne Quant kann also keine Information übertragen, wenn es nicht im Zusammenhang / Bezug mit mindestens einem weiteren steht !

Mit Photonen kann man Information übertragen, dabei können einzelne Photonen solche kompletten Abbildungen wie oben besprochen nicht realisieren, erst mit vielen von ihnen ist das möglich. Damit bekommen die Bezüge der Photonen untereinander eine wesentliche Bedeutung beim Übertragen von Information. Orts- und Richtungsangaben unterliegen daher nicht nur der Auflösungsgrenze durch die Energie, sondern auch der Beschränkung durch die aus der Informationsmenge folgenden Unsicherheit der Anzahlen, die sich als Rauschen zeigt.

Allgemein gilt, dass Information in der räumlichen und zeitlichen Verteilung der abzählbaren elementaren Quanten steckt. Bild 56-6 links stellt dar, dass eine Richtung mit mindestens zwei Punkten festgelegt werden muss, für bessere Genauigkeit mit mehr. Rechts ist die analoge Situation eines Punktes gezeigt, längs einer Geraden ist wenigstens das Kreuzen mit einer weiteren nötig, um einen Ort als Punkt zu markieren.

Bild 56-6: Um die Richtung einer Geraden festzulegen, müssen mindestens zwei Punkte von ihr bekannt sein. Der Ort eines Punktes ist als Kreuzung von mindestens zwei Geraden bestimmt.

Offensichtlich müssen die beteiligten Quanten für solche Experimente nicht im klassischen Sinn korreliert sein. Das Weglassen einzelner berührt nur die Genauigkeit des Ergebnisses und kann durch beliebige andere kompensiert werden. Dies ermöglicht die Statistik des Schrotrauschens. Um eine räumliche Angabe zu ermitteln, einen Bildpunkt oder ein Interferenzmuster, spielt es keine Rolle, zu welcher Zeit die Quanten registriert werden, nur ihre Anzahl und geometrische Verteilung prägt die Qualität des Resultats. Umgekehrt ist es beim vorherigen Beispiel der Abklingzeit, um diese zu ermitteln spielt der Ort (gegebenenfalls korrigiert mit der Lichtgeschwindigkeit) des Registrierens keine Rolle.

Die Beobachtung, dass räumliche und zeitliche Auflösung von der Energie abhängen, macht eine Aussage über die raum-zeitliche Informationsdichte. Das zeitliche Integral über diese Energie liefert eine Wirkung, die in Einheiten der Planckschen Konstante $h$ abzählbar gequantelt ist, $H=\int E\cdot dt=N\cdot h$. Die physikalische Beschreibung des einzelnen Photons mit h als Basisfläche wurde im Kapitel „ Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ behandelt, die Informationseinheit ein Bit sollte daher mit h und dessen Bezug zur Raumzeit definierbar sein, wobei Raum und Zeit dann den Bezug zu den anderen Quanten des Universums liefert.

Neben dem atomistischen Weltbild, bei dem das All aus einzelnen individuellen Objekten besteht, gibt es die Vorstellung, dass die Gesamtheit von allem im wesentlichen als Kollektiv die Basis unserer Welt bildet. Obige Gedanken zeigen die Bedeutung der Kombination von beidem, den einzelnen individuellen Quanten und ihren Beziehungen untereinander. Interessant ist dabei unser Einfluss bei der Messung: der Experimentator trifft die Auswahl der beobachteten Gesamtheit, die als Teil des Alls untersucht werden soll. Beispielsweise für ein Experiment mit 1000 Photonen legt die Wahl dieser Zahl die unterscheidbaren Helligkeitsstufen und die raum-zeitliche Auflösung fest. Werden davon eine raumzeitlich begrenzte Untergruppe oder nur eine kleinere Anzahl, zum Beispiel 100 Photonen ausgewertet, so wird die Information nicht nur geringer, es ändern sich auch die Verhältnisse der Informationsanteile für Helligkeit und Auflösung. Mit unserer Auswahl wird festgelegt, welche Gesamtheit mit Beziehungen der Quanten untereinander nun in unserer Wahrnehmung existiert. Solche Gesamtheiten können in unterschiedlichster Weise gebildet werden, mehrfach und unabhängig voneinander. Es können also Untergruppen betrachtet werden, die herausgelöst aus der großen Menge sind und dann unabhängig davon in ihren beobachtbaren Eigenschaften erscheinen, ohne dass Bezüge zur Obergruppe wahrgenommen werden. Diese Beziehungen bleiben aber, wie bei dem Auswirken von Integration in 5.4.3. diskutiert wurde, durchaus erhalten und können in weiteren andersartigen Auswahlen registriert werden.

Information und Energie

Eine wichtige Frage ist, wie verhält sich die Information zu bekannten physikalischen Größen ? Betrachten wir ein Volumen, der Einfachheit halber einen Würfel mit der Kantenlänge $\Lambda$. Um darin 1 bit an Information zu vermitteln, wäre mindestens die Energie eines Photons nötig, das die Wellenlänge $\lambda =2\Lambda$ hat. Dessen Energie ist:

$E_{\Lambda 1}=h\cdot c/\lambda =h\cdot c/2\Lambda$ [57-1]

Damit ist die Qualität dieser Information $I_{Q}$ festgelegt. Je größer das gewählte Volumen ist, desto geringer ist die Genauigkeit der mit dieser Information gekoppelten Größe, wie vorher bei der räumlichen und zeitlichen Auflösung zu sehen war. Erhöht man die Energie, so bedeutet dies entweder ein Anwachsen der Anzahl der Photonen oder man erhöht die Energie eines einzelnen Photons. In beiden Fällen erhält man dann eine dementsprechend bessere Auflösung und Genauigkeit der Größen, deren Messung man betrachtet. Im eindimensionalen Fall geschah dies proportional zwischen Energie und Genauigkeit, im zweidimensionalen mit der Wurzel und Schrotrauschen für die einzelnen gemessenen Größen, denn dann gibt es davon zwei, die voneinander unabhängig sind.

Die Informationsmenge $I_{Q}$ wächst zum einen mit zunehmender Energie $E$. Ein $N$-faches an Photonen liefert $N$ mal so viel Information. Mit dem Volumen $V=\Lambda ^{3}$ wächst auch die Möglichkeit, darin Photonen zu treffen. Es gilt also sowohl

$I_{Q}$ ~ $V$ als auch $I_{Q}$ ~ $E$ und $I_{Q}$ ~ $N$

Die Informationsdichte $I_{V}$ (Information $I_{Q}$ / pro Volumen V) entspricht dann der Anzahl $N$ der bits in diesem Volumen:

$I_{V}=I_{Q}/V=N\cdot I_{q}/V=I_{Q}/\Lambda ^{3}$ [57-2]

und die dafür nötige Energie wäre

$E_{\Lambda }=N\cdot h\cdot f=N\cdot h\cdot c/\Lambda$ [57-3]

mit der Photonendichte

$E_{\Lambda }/V=(N\cdot c/\Lambda ^{4})\cdot h=N\cdot h/(\Lambda ^{3}\cdot T)$ [57-4]

Diese Photonendichte bezieht sich auf ein vierdimensionales Volumen in der Raumzeit und die gequantelte Größe als Maß der Informationseinheit $I_{q}$ ist hier das Plancksche Wirkungsquantum $h$.

Die Denkweise, dass Information $I_{q}$ mit Quanten vermittelt wird, führt zu dem Problem, welchen Unterschied es bei gleichartigen aber in der Energie unterschiedlichen Quanten in Bezug auf die Information $I_{Q}$ gibt. Dies soll jeweils am Beispiel der Photonen und der Elektronen diskutiert werden.

Elektronen und Information

Elektronen bilden in vielen technischen Systemen Repräsentanten für Information. Man denke dabei an die Speicherzellen in einem Computer oder die von Photonen erzeugten Elektronen in einem Bildaufnehmer. Bei diesen Anwendungen ist die Menge an Information proportional zur Anzahl von Elektronen. Eine gleichartige Proportionalität zur Energie ist allerdings nur in Spezialfällen gegeben.

Die statische Situation

Wenn man die Energie eines mit wenigen Elektronen geladenen Kondensators betrachtet, hängt diese mit der Fläche $A$ der Elektrodenplatten zusammen und damit ist sie an die Genauigkeit der Kenntnis der örtlichen Ladungsverteilung gekoppelt.

$E=Q^{2}/2C=n^{2}\cdot e^{2}/2C$, [57-5]

mit

$C=\epsilon \epsilon _{0}\cdot A/d=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ [22-2]

Für wenige Ladungspaare (n Elektronen und Löcher je Elektrode und Gegenelektrode) gilt

$E_{Cn}=n^{2}\cdot e^{2}/(2\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C})$, [57-6]

also eine mit steigender Größe der Fläche $A$ geringere Energie $E$, was eine geringere örtliche Genauigkeit der Position der Ladung bedeutet. Je genauer die Information über den Ort $(\lambda _{C})$ ist, desto mehr Energie ist offensichtlich erforderlich.

Wenn man einen $n$-fach geladenen Kondensator $C_{g}$, wie in Bild 57-1 gezeigt, so aufteilt, dass jede einzelne Ladung e auf einem der $N=n$ von den anderen isolierten extra Kondensator $C_{n}=C_{g}/N$ sitzt, so gilt für die auf einem solchen Teilkondensator gespeicherte Energie

$E_{n}=[n^{2}e^{2}/2C_{g}]=n\cdot e^{2}/(2C_{g}/N)=n\cdot [1\cdot e^{2}/2C_{n}]$ [57-7]

Bild 57-1: Der Kondensator $C_{g}$ mit Elektrodenflächen der Größe $A$ wird in $N=n$ anteilige Kapazitäten $C_{n}$ mit Elektrodenflächen $A_{n}$ aufgespaltet.

Es gibt dann $N$ Orte, die mit $A_{n}=A/N$ entsprechend kleiner und damit genauer lokalisiert sind als die ursprüngliche Fläche $A$. Die Informationsmenge dieser gesamten Anordnung ist also zunächst wegen der $N$-fachen Anzahl der Teilkondensatoren $C_{n}$ von $C_{g}$ $n=Nmal$ so groß wie die Energie eines einzelnen Elektrons pro Teilkondensator $C_{n}$ und zusätzlich $N$-fach genauer bezüglich des Ortes (der Fläche) wegen der kleineren Größe $A_{n}$ statt $A$. Dem Faktor $n^{2}=N\cdot n$ entspricht, dass Energie und Informationsmenge hier einander proportional sind. Bei diesem statischen Problem gibt es keinen zeitlichen Bezug.

Wenn man einzelne Teilkondensatoren $C_{n}$ entlädt, ist deren Position eindeutig bekannt und die Energie für jedes der $n$ Elektronen ist beim Entladen entsprechend ihrem gleichen Informationsanteil die gleiche. Die Energie des großen Kondensators $C_{g}$ ist, voll geladen, klassisch die gleiche wie die von der Summe der kleinen Kondensatoren $C_{n}$, beim Entladen einzelner Elektronen des großen Kondensators $C_{g}$ ist aber kein Ort der Herkunft genauer als mit der großen Elektrodenfläche $A$ definiert. Die mit dem $n$-ten Elektron abgegebene Energie $E_{gn-}$ beim Wechsel zu $n-1$ Elektronen ([25-5]) ist

$E_{gn-}=ne^{2}/C_{g}=e^{2}/C_{n}$ [25-5]

also größer als bei dem Entladen von irgendeinem Elektron eines Teilkondensators. Der Informationsverlust der restlichen Ladung $(n-1)\cdot e$ auf dem Kondensator $C_{g}$ bedeutet dabei zum einen die nun verringerte potentielle Ortsauflösung $A_{n-1}$, da der neue Ladungszustand nach obigem Verfahren nur in $n-1$ Kondensatoren mit einzelnen Elektronen zerlegt werden könnte. Die Information, die in den Beziehungen der Elektronen untereinander steckt, wird um die Anzahl von $n-1$ vom entnommenen n-ten Elektron zu den verbleibenden $n-1$ vermindert.

Im Fall einzelner Ladungen in getrennten Kondensatoren $C_{n}$ wäre neben der örtlichen Genauigkeit und relativen Position ein weiterer Informationsanteil durch die Individualität (man könnte sie vielleicht nummerieren) des am Entladen beteiligten Elektrons gegeben, eine Eigenschaft, die bei dem Kollektiv vieler Elektronen nicht existiert. Auch diese Informationsmöglichkeit wird beim Entladen des großen Kondensators $C_{g}$ verschenkt. Das $n$-te Elektron nimmt beim Entladen also mehr (potentielle) Information aus dem Kondensator $C_{g}$ mit als ein einzelnes Elektron beim Entladen eines Teilkondensators $C_{n}$.

Beim Entladen des großen Kondensators folgt die Summenenergie einer Parabel wegen des quadratischen Zusammenhanges mit der Ladungsmenge. Die Teilkondensatoren verlieren beim Entladen einzelner Elektronen jeweils die gleiche Energie und ihre Summenenergie folgt daher eine Sehne, die die Parabel trifft, wenn die Summe der Elektronen $m$ einem Vielfachen der Summe $N$ der Teilkondensatoren entspricht, Bild 57-2. Für die Anzahl $n$ der Teilkondensatoren, die eine Ladung mehr tragen als der Rest, gilt $n$ mod $N=m$ mod $N$.

Für die Energie des Summenkondensators gilt abhängig vom Füllstand $n$

$E_{Cg}=n^{2}e^{2}/2C_{g}$ [25-2a]

Wenn der große Kondensator in $N$ Teilkondensatoren zerlegt wird, gilt für die Energie der einzelnen mit $n$ Ladungen gefüllten Teilkondensatoren

Bild 57-2: Vergleich der Energie einzelner Elektronen eines großen Kondensators und von zwölf elektrisch gegeneinander getrennten Teilkondensatoren.

$E_{Cn}=n^{2}e^{2}/2C_{n}=n^{2}e^{2}/(2C_{g}/N)$ [25-2b]

und für die Energiedifferenz (grün) zwischen dem großen Kondensator und den $n$ Bruchteilen, die mit Ladungen gefüllt sind, gilt schließlich zunächst für $n$ <= $N$

$\Delta E_{n}=n\cdot (N-n)\cdot e^{2}/2C_{g}$ [57-8]

ein Zusammenhang mit $N$ und $n$, wie er in Bild 57-3 für die Teiler $N=2$ (rot) bis $N=8$ (blau) als Funktion der Elektronenanzahl $m$ als ein Vielfaches der Energie des großen Kondensators gefüllt mit einer Elementarladung, $E_{Cg1}=e^{2}/2C_{g}$, dargestellt ist.

Bild 57-3: Energiedifferenzen beim Entladen im Vergleich des Summen-Kondensators zu den Teilkondensatoren. Rechts daneben die Beziehungen (Möglichkeiten der Umladung) und ihre Anzahl zwischen freien und besetzten Kondensatoren.

Für $m$ > $N$ gilt nun für alle Intervalle der Größe $N$, dass diese Energiedifferenz sich mit der Periode von $N$ wiederholt, wenn die Anzahl der Ladungsträger auf den kleinen Kondensatoren um nicht mehr als eins differiert.

Zum gleichen Ergebnis kommt man aus dem Blickwinkel der Information, wenn man nicht als Außenstehender die Gesamtheit der Teilkapazitäten und die verschiedenen Möglichkeiten (Muster), darauf Ladung zu verteilen, diskutiert, sondern dies aus Sicht der kleinen Kondensatoren zu betrachten versucht. Nehmen wir an, dass zunächst alle Teilkondensatoren gleich stark gefüllt sind und es nun für das nächste Ladungspaar $N$ Möglichkeiten gibt, eine Position zu finden. Die Position dieser Ladung ist um den Faktor $N$ genauer definiert als die Fläche des großen Kondensators. Dazu gehört dann eine Energie, die $N$-mal so groß ist wie die für das erste Ladungspaar auf dem großflächigen Ausgangskondensator. Das gleiche gilt für die Position einer Lücke, also wenn die Zahl $n$ um den Wert 1 kleiner ist als $N$, wie alle Kurven in Bild 57-3 zeigen. Aus Sicht der Information ist ein Vorhandensein gleichwertig mit der Kenntnis des Nichtvorhandenseins. Mit jeder weiteren Ladung nimmt die Zahl dieser Möglichkeiten dann jeweils um eins ab, bis ein Maximum erreicht ist, wenn die Zahl der besetzten und unbesetzten Plätze gleich wird. Innerhalb jeder Periode nimmt also die Zahl der Ladungen um eins steigend zu, $n=$ 1,2,…$N$, während gleichzeitig die Zahl $M=1+N-n$ möglicher Plätze $M=N$, $N$ 1,…0 abnimmt. Die damit verbundene relative Informationsmenge beträgt $M\cdot n-n$ und ist identisch mit dem Faktor in der oben diskutierten Energiedifferenz [57-8]. Für einen außenstehenden Beobachter sind die Teilkondensatoren individuell, d.h. für jeden kann ein definierter Ort angegeben werden, man könnte ihnen Namen oder Nummern geben. Innerhalb des Systems spielt so eine Individualität augenscheinlich keine Rolle, es existieren nur die Anzahlen der geladenen oder ungeladenen Teile und als Beziehung die Möglichkeit, Ladungen zu tauschen, aber keine Individualität, sie sind untereinander ununterscheidbar. Die Struktur dieser Beziehungen ist aus Tab. 5.7. leicht zu entnehmen. Egal ob geladenen oder ungeladenen, die Kondensatoren sind nach außen neutral und zeigen keine Kraftwirkung untereinander.

Dies zeigt, wie die Energie und die Kenntnis von Beziehungen miteinander korreliert sind. Eine Nullpunktsladung muss hier nicht berücksichtigt werden, da es keine Fälle von Unkenntnis gibt, sondern jeweils angenommen wird, dass es bekannt ist, welche Menge an Ladung vorliegt.

Wenn man das Entladen betrachtet, stellt sich die Situation nun folgendermaßen dar: Anschaulich zeigt sich im großen Kondensator, der mit $N$ Elektronen gefüllt ist, ein „Druck“, der ein Entladen antreibt. Zum Entladen bedarf es allerdings zusätzlich noch einer Impedanz, die den Stromfluss ermöglicht. Die das Entladen charakterisierende Zeitkonstante $\tau$ hängt nicht nur mit der Menge der Ladungen, also dem Druck zusammen, sondern mit der Größe der Kapazität $C=\epsilon _{0}\cdot A/d=Q/U$ und der Größe des Widerstandes $R=(\Delta \Phi /\Delta t)/(\Delta Q/\Delta t)$, $\tau =R\cdot C$. Diesen Anteil der Information tragen also nicht die Ladungen, die wir bei Messungen registrieren, selbst, sondern sie ist in der Umgebung enthalten, in der sich die Ladungen befinden.

Die gemessenen Ladungen dienen daher nur zum Abtasten und Übertragen solch einer Information und das in Portionen mit begrenzter Informationsmenge.

Die beim Entladen weitergeleitete Information enthält diese zeitliche Komponente und die schon oben diskutierte potentielle räumliche. Jedes Mal, wenn ein Ladungspaar den Kondensator verlassen hat, beginnt die Prozedur aufs neue: die vorhandene Anzahl der Ladungen bestimmt in Kombination mit der Größe der Kapazität den „Druck“ und es gilt immer wieder aufs neue, dass die Halbwertszeit aussagt, wann in etwa die Hälfte der noch vorhandenen Ladungen den Kondensator über den Widerstand verlassen haben werden. Im Zusammenhang mit der noch vorhandenen Anzahl von Ladungen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das Zeitintervall bis zur nächsten Entladung. Diese Zeitkonstante für die Anzahl der Ladungen ist allerdings nicht identisch mit der Zeitkonstante für die Energie. Mit dem Verschwinden von Ladungen ist nicht nur die mögliche Genauigkeit einer Zeitbestimmung verringert, sondern auch noch die potentielle räumliche Auflösung, wie bei der Parabel in Bild 57-2 zu sehen war, daher der Faktor zwei im Exponenten für die Energie.

Im Fall der $N$-fach aufgeteilten Kapazität bleibt der anfängliche „Druck“ in den geladenen Komponenten erhalten, allerdings schwindet im Laufe der Entladungszeit deren Anzahl. Die räumliche Auflösung wird nicht verändert, wie oben schon im Zusammenhang mit der Energie diskutiert. Es schwindet allerdings die aus der Anzahl resultierende potentielle Genauigkeit von Messungen. Über den Zeitpunkt des Entladens der einzelnen Teilkapazitäten können wir keine Aussage machen. Dies wird allgemein als zufällig angesehen. Wir kennen auch keine Wechselwirkungen zwischen den räumlich (und gegebenenfalls auch zeitlich) getrennten kleinen Kondensatoren. Wir beobachten allerdings ein kollektives Verhalten im zeitlichen Verlauf der Anzahl $N$(t), das identisch mit dem großen Kondensator ist. Daraus lässt sich doch dann wohl schließen, dass die gegebenenfalls vom Experimentator zusammengefassten Objekte einer kollektiven Gesetzmäßigkeit folgen und eine Einheit bilden. Diese ist hier, wie auch schon im Abschnitt „Sanduhr, gedämpfter Oszillator und Kondensatorentladung“ bei der Abstrahlung zu sehen war, nicht nur durch das Objekt selbst, sondern auch durch die umgebenden Impedanzen mitbestimmt.

Tabelle 5.7: Anzahl der Beziehungen für verschiedene Mengen N der Teilkondensatoren in Abhängigkeit von der Ladungsdifferenz $\Delta N$.

N		S		DN	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1		0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2		1		0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
3		4		0	2	2	0	0	0	0	0	0	0
4		10		0	3	4	3	0	0	0	0	0	0
5		20		0	4	6	6	4	0	0	0	0	0
6		35		0	5	8	9	8	5	0	0	0	0
7		56		0	6	10	12	12	10	6	0	0	0
8		84		0	7	12	15	16	15	12	7	0	0
9		120		0	8	14	18	20	20	18	14	8	0
10		165		0	9	16	21	24	25	24	21	16	9	0
11		220		0	10	18	24	28	30	30	28	24	18	10	0
12		286		0	11	20	27	32	35	36	35	32	27	20	11	0
13		364		0	12	22	30	36	40	42	42	40	36	30	22	12	0
14		455		0	13	24	33	40	45	48	49	48	45	40	33	24	13	0
15		560		0	14	26	36	44	50	54	56	56	54	50	44	36	26	14	0
16		680		0	15	28	39	48	55	60	63	64	63	60	55	48	39	28	15	0
17		816		0	16	30	42	52	60	66	70	72	72	70	66	60	52	42	30	16	0
18		969		0	17	32	45	56	65	72	77	80	81	80	77	72	65	56	45	32	17	0
19		1140		0	18	34	48	60	70	78	84	88	90	90	88	84	78	70	60	48	34	18	0
20		1330		0	19	36	51	64	75	84	91	96	99	100	99	96	91	84	75	64	51	36	19	0

Der Bezug zum Coulomb-Feld

Es ist auch interessant, die Information des geladenen Kondensators mit der von Ladungen im Coulomb-Feld zu vergleichen. Die Elektrodenflächen $A=a\cdot \lambda _{C}$ des Kondensators sollen Rechtecke sein, deren eine Kantenlänge genauso lang ist wie der Abstand der Platten, nämlich $a=d$. Dann ist die Kapazität des Kondensators durch eine charakteristische Länge $\lambda _{C}$ gegeben, die unabhängig von den übrigen Abmessungen des Kondensators ist:

$C=\epsilon _{0}\cdot A/d=\epsilon _{0}\cdot d\cdot \lambda _{C}/d=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ [57-9]

und die darin gespeicherte Energie für ein Elektron-Lochpaar beträgt:

$E=e^{2}/2C=e^{2}/(2\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C})$ [57-10]

Beim Aufspalten des Kondensators in Teile entsprechend Bild 57-4 bleiben Plattenabstand und eine Kantenlänge konstant. Information und Ortsauflösung betreffen also nur eine Dimension, die der Länge $\lambda _{C}$. Die halbe Länge $\lambda _{C}$ bedeutet bei gleicher Ladung $Q$ die doppelte Energie $E$ im elektrischen Feld. Wie sind die Verhältnisse, wenn die Ladungen nicht über die Flächen der Elektrodenplatten verteilt sind ? Die Energie zweier Elementarladungen $e+$ und $e-$ im Abstand $R$ ist nach dem Coulomb-Gesetz:

$E=e^{2}/(4\pi \cdot \epsilon _{0}\cdot R)$ [57-11]

Bild 57-4: Der Kondensator $C$ mit Elektrodenflächen der Größe $A$ wird wieder in n anteilige Kapazitäten $C_{n}$ mit Elektrodenflächen $A_{n}$ aufgespaltet. Wenn eine Kantenlänge der Fläche $A$ unverändert gleich dem Abstand $d$ der Platten bleibt, ändert sich nur eine Kante der Länge $l_{C}$ auf $l_{Cn}$. Bei einem Vergleich der Energien der elektrischen Felder mit dem Coulomb-Fall ist diese Länge mit dem Umfang $U$ des aus dem Abstand $R$ der Ladungen folgenden Kreises identisch.

Die Formeln [57-10] und [57-11] sind identisch, wenn die Kantenlänge $\lambda _{C}$ des Kondensators dem Umfang $U=2\pi R$ des Kreises für Ladungen im Abstand $R$ entspricht. Im Coulomb-Fall ist nur der Abstand R der Ladungen wesentlich, für zwei einzelne Ladungen ohne eine Beziehung zur restlichen Welt gibt es keine weitere Positionsangabe als den Abstand, Richtungen gibt es erst in Bezug auf weitere Objekte.

Die dynamische Situation

Ein einfaches dynamisches System, bei dem die Ladung eines Elektrons mit Information gekoppelt ist, lasst sich mit einer elektrischen Leitung realisieren. Bild 57-5 zeigt einen Bandleiter, bei dem ein kleiner Teil als Kondensator zunächst elektrisch vom Rest getrennt mit einem Elektron-Lochpaar aufgeladen wird, links, der gelbe Bereich von Bild 57-5 mit der Länge $l'_{C}$.

Bild 57-5: Der linke geladene Teil des Kondensators wird über den Schalter S mit dem Rest verbunden und löst einen laufenden Impuls aus.

Wenn man den Schalter S schließt, wird sich ein Impuls von links nach rechts auf dem Bandleiter solange ausbreiten, bis er am Ende wieder reflektiert wird. Bei einem verlustfreien System wird dies dann zu einem beliebig lange hin und her laufenden Impuls mit der Energie der Aufladung führen. Der lokalisierte, sich bewegende Impuls enthält Information über seine Position zu bestimmten Zeiten. Durch seine Länge $l'_{C}$ ist die Genauigkeit gegeben, mit der seine Position bestimmt werden kann. Entsprechend der Geschwindigkeit ist damit auch die zeitliche Genauigkeit der Positionsangaben vorgegeben. Die Genauigkeit dieser Informationen ist mit der Energie korreliert. Der vorher diskutierte Fall eines großen Kondensators mit gleichmäßig verteilter Ladung über die Flächen des Bandleiters mit weniger Informationsgehalt wird nicht realisiert. Erst durch einen dämpfenden Einfluss auf diesen Impuls kann solch ein energieärmerer Zustand erreicht werden. Damit geht dann Energie entweder in einer abgestrahlten Welle, die einen Teil der Information wegtransportiert, verloren oder in ungerichtete Wärmebewegung zur Entropieerhöhung über und wird wohl für uns als messbare Information daher unkenntlich.

Wie verteilt sich nun Information bei räumlich verschieden konzentrierter Ladung ? Aus Sicht der Information gibt es zunächst mit einem Bit die Information, ob eine Ladung auf den Elektrodenplatten im Bereich der gesamten Länge lC vorhanden ist oder nicht. Damit verbunden ist die Energie entweder $E_{0}=1\cdot E_{C}$ für vorhanden oder $E_{0}=0\cdot E_{C}$ für nicht vorhanden, also mehr oder weniger als die Nullpunktsenergie $E_{C}/2$ für die Unkenntnis. Diese Information kann präzisiert werden, indem diese Länge halbiert betrachtet wird. Nach diesem Verfahren kann die Genauigkeit weiter gesteigert werden, 1 Bit pro Faktor 2 an Genauigkeitssteigerung. Das bedeutet also pro Bit ein Halbieren der Positionsunschärfe und ein Verdoppeln der Energie. Für $N$ Bit gilt dann

$E_{Nl}=E_{0}\cdot 2(N-1){\text{, }}l_{CN}=l_{C}/2(N-1)$ [57-12]

Damit ist dann die Anzahl der unterscheidbaren räumlichen Positionen:

$M_{R}=2^{(N-1)}$ [57-13]

Bild 57-6 zeigt dies in den Stufen a bis d. Es wird dabei deutlich, dass zur Definition einer Längeneinheit nicht nur das Auslenken in eine Richtung gehört, charakterisiert durch den Wert 1, sondern zum Erkennen auch das entgegengesetzte, der Wert 0 existieren muss. Dies entspricht wieder der Idee des Abtasttheorems.

Bild 57-6: Digitales Strukturieren von Längen- und Zeitbereichen.

Mit diesem Ergebnis könnte man denken, dass die Menge der Möglichkeiten und die Energie einander proportional sind. Neben der räumlichen Position ist aber noch eine weitere Größe zu berücksichtigen, nämlich die Zeit T des Hin und Rücklauf. Der Impuls breitet sich ja mit der Geschwindigkeit c elektromagnetischer Wellen längs der Leitung aus. In Kapitel 1 wurden bereits zwei weitere Größen mit der Einheit einer Geschwindigkeit erwähnt, $v_{\Phi }=\Phi _{E}/2\Phi _{0}=2\alpha \cdot c$ [13-3] und $v_{Q}=Q_{M}/e=c/2\alpha$ [13-4], deren Produkt das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit ergibt, $v_{Q}\cdot v_{\Phi }=c^{2}$. Einzelheiten dazu sind in Kapitel 6 zu finden. Hier interessiert das Verhältnis der kondensatortypischen Länge $\lambda _{CN}$ zu seiner Zeitkonstante $\tau _{CN}$ in Kombination mit dem Klitzing-Widerstand

$v_{\Phi }=\lambda _{CN}/\tau _{CN}$ [57-14].

Für die Anzahl $M_{T}$ der Positionen in der Zeit T/2 gilt:

$M_{T}=2^{(N-1)}$ [57-15].

und die Anzahl der Positionen in Raum und Zeit zusammen:

$M=M_{R}\cdot M_{T}=2^{2(N-1)}$ [57-16].

Damit ist die Energie $E_{Nl}$ also nicht proportional zur Anzahl der gesamten Möglichkeiten. Proportionalität wird gefunden, wenn man den zeitlichen Bezug aus den gesamten Möglichkeiten eliminiert und sich jeweils auf den kleinstmöglichen Zeitbereich bezieht. Dies ist mit der Größe der Wirkung möglich, wobei der Faktor 2 wieder aus dem Abtasttheorem folgt:

$H=E_{Nl}\cdot 2\tau _{CN}$ [57-17]

Die Größe dieses Produktes nimmt mit kleiner werdenden Zeitintervallen $\tau _{CN}$ so ab, dass die einzelne Wirkungseinheit unabhängig von der Anzahl der zeitlichen Möglichkeiten bleibt.

$H=E_{C}\cdot 2^{(N-1)}\cdot 2\tau _{C}/2^{(N-1)}=h$ [57-18]

Bild 57-7 zeigt den sich ausbreitenden Impuls im raumzeitlichen Koordinatensystem. Die Rechtecke mit den Kantenlängen $l_{CN}$ und $\tau _{CN}$ symbolisieren Maße für die Grenzen der Genauigkeit, mit der eine Orts- und Zeitangabe aufgrund der Informationsmenge möglich ist. Das Bild 57-7 zeigt nur die prinzipielle Struktur dieser Ausbreitung. Aus dem eben Diskutierten sieht man damit jedenfalls bereits, dass das Plancksche Wirkungsquantum h aus [57-18] mit der kleinsten Informationseinheit (1 bit) identifiziert werden kann.

Bild 57-7: Digitale Strukturen von Längen- und Zeitbereichen beim Ausbreiten eines Impulses entsprechend dem von Bild 57-6.

Neben diesen hier gezeigten Positionen in Raum und Zeit gibt es die dazugehörigen Phasen der Bewegung. Diese entsprechen einem Stromfluss und sind daher mit den Magnetfeldern gekoppelt. Betrachten wir deswegen einige Einzelheiten beim Ausbreiten eines Impulses auf dem Bandleiter. Ein mit einer Elementarladung geladener Kondensator enthält zunächst die Information über den Ort dieser Ladung, die aufgeladene Elektrodenfläche. Dieser Ort lasst sich gedanklich auf eine Ausdehnung $l'_{C}$ in einer Dimension begrenzen. Diese Ladung existiert zu verschiedenen Zeiten, wenn der Kondensator nicht entladen wird sogar unendlich lange. Wenn der Kondensator entladen wird, existiert diese Ladung nur für eine Zeitdauer $T$(R), die von der Größe des Entladewiderstandes R bestimmt wird. Die zeitliche Auflösung $T$ als Folge der Digitalisierung der Wirkung $H=N\cdot h$, wie sie für den Einzelfall $T=h/E$ beträgt, entspricht der Periodendauer eines energiegleichen Photons und ist wegen

$E_{C1e}=e^{2}/2C=e^{2}\cdot R_{k}/2\tau _{C}=h/2\tau _{C}$ [57-19]

dann gleich

$T=h/E_{C1e}=2\tau _{C}=2C\cdot h/e^{2}=2l'_{C}/v_{\Phi }$ [57-20]

doppelt so lange wie die Zeitkonstante des Entladens über den Klitzing-Widerstand. Diese Unschärferelation des Einzelfalls liefert eine größere zeitliche Unschärfe als die üblicherweise verwendeten mittleren oder wahrscheinlichsten „Heisenbergschen“ Unschärfen, die nur Bruchteile des Planckschen Wirkungsquantums sind, aber eben auch nur für Mittellungen über große Anzahlen sinnvoll verwendet werden können.

Damit ergibt sich ein Problem beim Entladen eines Kondensators über Widerstände, die kleiner als der Klitzing-Widerstand sind, also zum Beispiel die Vakuumimpedanz. Die Zeitkonstanten solcher Entladungen können wesentlich kleiner werden als die zeitliche Auflösung (Dauer) des Ladungszustandes aufgrund der vorhandenen Energie. Der scheinbare Widerspruch verschwindet, wenn man bedenkt, dass mit einem einzelnen Elektron nicht genügend Information zur Verfügung steht, um eine Zeitkonstante genau zu bestimmen; ein Problem, das im vorherigen Kapitel schon bei der Abklingzeit behandelt wurde. Die kürzeren Zeitdauern lassen sich mit Messungen erst erfassen, wenn vielfach gemessen wird und ergeben sich also erst beim Einsatz vieler Elektronen und der damit verbundenen größeren Energie mal Zeit. Die Zeitkonstante ist eine Information, die erst zugehörig einer Gruppe von Beobachtungen mit Kapazität und Entladewiderstand im Hintergrund definiert werden kann.

Bild 57-8: Eine räumlich begrenzte Ladung auf einer Kondensatorplatte ist entweder lokalisiert oder breitet sich aus.

Betrachten wir im folgenden Bild 57-8 den halbierten Kondensator, dessen Ladung durch Hinzuschalten der zweiten ungeladenen Hälfte nun zu einem sich ausbreitenden Impuls führt. Mit einer solchen Anordnung zeigen sich sowohl Reflexionen an Leitungsenden wie auch Phasen der Bewegung des Impulses.

Bild 57-9: Der sich ausbreitende Ladungsimpuls und seine Projektionsflächen auf Raum- und Zeitachse.

Beim Start sei die Ladung zunächst auf der halben Länge des Bandleiters lokalisiert, gelb, unten links. Dies ist der statische Zustand, bei dem nur das elektrische Feld existiert. Es gibt dann keine Bewegung und kein Magnetfeld genauso wie in einer Reflexionsphase, Phase a. Mit dem Ereignis, dass die zweite Hälfte des Kondensators verbunden wird, beginnt der Zustand der Bewegung, Phase b, und der elektrostatische Zustand wird beendet. Dies bedeutet Stromfluss und ein damit verbundenes Magnetfeld, für das Energie benötigt wird. Ein Verteilen der Ladung auf die doppelt so große Fläche setzt Energie des elektrischen Feldes frei, die dann für das Magnetfeld zur Verfügung steht. Wenn das Feld der Ladung in der zweiten Hälfte des Kondensators eingetroffen ist, wird sie wieder stärker lokalisiert und Stromfluss und Magnetfeld verschwinden, Phase c, genauso wie a eine Reflexionsphase. In der folgenden Phase d existiert wieder Bewegung der Ladung entgegengesetzt zu b und ihr Verteilen über eine größere Fläche. Daran schließt sich wieder eine Phase a der Reflexion an, bei der die Ladung auf eine Kondensatorhälfte konzentriert ist und das Magnetfeld verschwindet. Eine solche Darstellung beschreibt das Geschehen vieler solcher Vorgänge im zeitlichen und räumlichen Mittel, für den Einzelfall ist die Unschärfe entsprechend obigen Überlegungen mit $T=2\tau _{C2}$ doppelt so groß anzusetzen.

Das nächste Bild 57-9 zeigt einen solchen Vorgang ergänzt um eine dritte Achse, die Energie. Startet man mit einer Ladung, die auf ein Viertel der Fläche des gesamten Kondensators begrenzt ist ($N=4$), so ist die Energie, wie im oberen Teil des Bildes gezeigt, viermal so groß wie im unteren ($N=1$), wo die Ladung sofort auf den kompletten Kondensator verteilt vorliegt. Der sich auf dem Kondensator hin und her bewegende Impuls liefert Projektionen auf die Energie-Zeit-Ebene (blau) und die Energie-Orts-Ebene (grün). In Bezug auf das Universum ist diese Zeitachse unbegrenzt und die Periodizität des Vorgangs wird sich nur in der Periodendauer widerspiegeln. Die räumliche Ausdehnung der Elektrodenplatten begrenzt allerdings das Wandern der Projektionsflächen auf der Ortsachse und führt zu ständiger Wiederholung, die es auf der Zeitachse nur gäbe, wenn keine Bezüge zu weiteren Teilen des Universums bestehen und die Zeit, wie in Kapitel 4 beim Uhrenpendel diskutiert, nur für die Periodendauer existiert. Die blauen Flächen sind Wirkungen (Energie mal Zeit), die allerdings auch hier nur die minimale Größe des Planckschen Wirkungsquantums erreichen, wenn man die Unschärfe der Zeitdauer entsprechend vergrößert.

$E_{E}\cdot 2\tau _{C}=(e^{2}/2C)\cdot 2R_{k}\cdot C=h$ [57-21].

Die grünen Flächen der Energie-Orts-Ebene haben die Größe

$E\cdot l_{CN}=h\cdot c\cdot \alpha =h\cdot v_{\Phi }/2$ [57-22],

sind also wohl auch zu klein, um den Einzelfall mit richtigem Maß zu beschreiben. Während der Aufenthaltsort der Ladung begrenzt durch die mechanischen Abmessungen der Elektrode im räumlichen Bereich des elektrischen Feldes einschränkt ist, sind solche Grenzen für das Magnetfeld nicht gegeben. Für das beim Bewegen der Ladung erzeugte Magnetfeld ist der Wellenwiderstand ausschlaggebend. Für den Vakuumwellenwiderstand $Z_{0}=377\Omega$ würden auf ein magnetisches Flussquant $N=R_{K}/Z_{0}=1/2\alpha$ Elektronen kommen. Die magnetischen Projektionen auf die Energie - Zeit oder die Energie - Raum Ebene hätten die Größen

$E_{M}\cdot 2\tau _{L}=(2\phi _{0}^{2}/L)\cdot 2(L/R_{k})=h$ [57-23]

und

$E_{M}\cdot \lambda _{L}=(2\Phi _{0}^{2}/L)\cdot \lambda _{L}=2\Phi _{0}^{2}\cdot Q_{M}=h\cdot c/\alpha =h\cdot v_{Q}$ [57-24],

wären also über viele elektrische Ladungsprojektionen ausgedehnt. Die von der Impedanz des systemabhängigen Mengenverhältnisses von Anzahl der Magnetflussquanten zu Anzahl der Elementarladungen lassen sich nun auch so interpretieren, dass nicht die Anzahlen selbst, sondern das Verhältnis ihrer charakteristischen Zeitdauern und ihre raumzeitlichen Ausdehnungen wesentlich sind.

$R=(\Phi _{0}\cdot \Delta m/j\Delta t_{M})/(e\cdot \Delta n/j\Delta t_{E})=!(\Phi _{0}/\tau _{M})/(e/\tau _{E})$ [57-25]

Eben begegneten uns die schon oben erwähnten unterschiedenen Arten der Information, die scheinbar individuelle des einzelnen Teilchens, allerdings bezogen auf Raum und Zeit und die deutlich kollektive der Beziehungen vieler Objekte untereinander. In der althergebrachten Vorstellung von Welle- und Teilcheneigenschaften ist dies schon enthalten, es wird vielleicht an dieser Stelle bewusst, dass das einzelne Teilchen als Objekt nicht punktuell frei in Raum und Zeit steht (und somit seine Charakterisierung als individuelles Teilchen unvollständig ist), sondern zusätzlich der Bezug zu seiner räumlich und zeitlich ausgedehnten Umgebung eine wesentliche informationshaltige und Energie benötigende Eigenschaft ist. Diese Seite der Eigenschaften liefert uns dann das Wellenmodell mit dem Beschreiben von Interferenz und Wechselwirkung.

Information und Photonen

Verschiedene Photonen oder auch Phononen können je nach ihrer Frequenz unterschiedliche Energie haben. Eine Basis aller war in Kapitel 3 das Plancksche Wirkungsquantum $h$, wie es auch Bild 58-1 links mit der Grundfläche $h$ zeigt. Das Volumen dieses Quaders entspricht der Energie $E=h\cdot f$ des Schwingungsquants und je nach Frequenz $f$ fällt dieses Volumen unterschiedlich groß aus. Rechts sind zwei Schwingungsquanten verschiedener Frequenz zu sehen, zu dem energiereicheren höherfrequenten mit $f_{1}$ gehört die rote Deckfläche und zu dem tieferer Frequenz $f_{2}$ die blaue Deckfläche. Wenn man die Energie des höherfrequenten mit $f_{1}$ auf das Volumen vieler niederfrequenter $f_{2}$ Quanten (blau/gelb) verteilt, bleibt die Energie erhalten. Der Information steht jetzt allerdings anstatt eines Wirkungsquants $h$ eine Vielzahl $N$ von Quanten in der Grundfläche der Wirkung und damit eine entsprechende Anzahl von Bits zur Verfügung. Die Periodendauer $T_{1}$des hochfrequenten Quants ist allerdings viel kleiner als die des niederfrequenten $T_{2}=N\cdot T_{1}$ und man sieht leicht, dass die zeitliche Dichte der Wirkungsquanten $N\cdot h/T_{2}=E=h/T_{1}$ und damit die zeitliche Dichte der Information (Bit/Sekunde) im Falle gleicher Energie identisch ist.

Bild 58-1: Photon oder Phonon mit der Fläche h in der Wirkungsebene, links, Schwingungsquanten verschiedener Energie haben eine unterschiedliche Frequenz $f$, rechts im Bild daher unterschiedliche Höhe, $f_{1}$ und $f_{2}$. Bei gleicher Energie (gleichem Volumen) umfasst die größere Grundfläche bei niedrigerer Frequenz mehr Wirkungsquanten.

Es lohnt daher zu schauen, wie die Information auf Zeit und Raum verteilt erscheint. Dazu sollen die Eigenschaften zweier Photonen ungleicher Energie verglichen werden. Die minimale Ausdehnung von Information in Raum und Zeit von zwei Photonen mit um den Faktor zwei unterschiedlicher Energie zeigt das Bild 58-2. Grundlage dieser Darstellung sind das Abtasttheorem und die beugungsbedingte Auflösungsgrenze nach Ernst Abbe.

Bild 58-2: Die minimale Ausdehnung zweier Photonen mit dem Frequenzverhältnis $f2/f1=2$.

Bild 58-3: Unterschiedliche Auflösung mit Photonen des Frequenzverhältnisses $f2/f1=2$.

Die heutzutage realisierte bessere Auflösung unterhalb dieses Beugungslimits benötigt die Interferenz einer Vielzahl von Quanten mit entsprechend mehr Informationsinhalt und ist damit an dieser Stelle für die Diskussion ungeeignet. Die in Bild 58-2 gezeigten zwei Photonen P1 und P2 mit den Frequenzen $2f1=f2$ unterscheiden sich in der räumlichen Auflösung $\Delta x-\Delta y$, reziprok um den Faktor zwei, denn räumlich gilt $2\lambda _{2}=\lambda _{1}$ und entsprechend gilt zeitlich wegen $T=\lambda /c:2\Delta T_{2}=\Delta T_{1}$. Über Information kann man allerdings erst diskutieren, wenn man den Bezug zu weiteren Quanten realisiert. Diesen Bezug zeigt Bild 58-3 mit dem auflösungsbegrenzten Abstand zweier Photonen für den Fall größerer und kleinerer Frequenz.

In Anlehnung an das Abtasttheorem kann man einen Abstand erst mit zwei Fixpunkten bestimmen, wie es in Bild 58-3 für die x-Richtung angedeutet ist. Die rot-orangen niederfrequenten Photonen, P1, müssen den doppelten Abstand voneinander haben wie die bläulichen doppelter Frequenz, P2, um in Bildern die gleiche relative Trennung untereinander zu zeigen. Dies bedeutet für die doppelte lineare Auflösung, die man bei der Frequenz $f_{2}$ erreicht, doppelt so viele Photonen P2 mit jeweils doppelter Energie, also eine quadratische Energiezunahme pro linearer Auflösungssteigerung und im Beispiel also insgesamt den Faktor vier für die Energie. Dies entspricht den im Bild 58-3 unten rechts gezeigten vier Möglichkeiten (2 Bit) der Position einer Grundfläche von P2 mit gegenüber P1 halber Kantenlänge in einem großen Quadrat entsprechend der Grundfläche von P1.

Dieser Gedankengang ist sowohl hinsichtlich steigender Auflösung in einer Richtung als auch raum-zeitlich übertragen auf die weiteren Dimensionen leicht fortzuführen.

Bild 58-4 Der optische Informationsquader zeigt die Beziehung zwischen Graustufen, räumlicher und zeitlicher Auflösung, das Quadrat des Volumens entspricht der Photonenzahl

Das Raster des Bildaufnehmers bei der Photographie gestattet es, die Analogie zur ebenfalls gerasterten Ebene der elementaren physikalischen Größen vorzustellen.

Dies ermöglicht, einen Zusammenhang zwischen dem Signal zu Rausch Verhältnis S/R, der linearen räumlichen Auflösung r und der zeitlichen (1/T)1/2 zu ermitteln, wie es Bild 58-4 zeigt. Im oberen Teil stellt die rote Fläche F rechts einen Bildpunkt in der X,Y-Ebene des Bildaufnehmers dar und links davon sind die Photonen aus dem Volumen $F\cdot c_{T}$ zu sehen, die während der Belichtungszeit T auftreffen und detektiert werden.

Die Größe des Bildpunktes bestimmt die räumliche Auflösung, die Belichtungszeit die zeitliche und die Anzahl der detektierten Photonen das Signal/Rausch-Verhältnis $S/R$. Das Produkt der drei Größen: Signal zu Rausch Verhältnis $S/R$, lineare räumliche Auflösung $r$ (Linienpaare/mm) und Wurzel aus der zeitlichen Auflösung ${\sqrt {1/T}}$, ergibt also ein Volumen, das durch die Anzahl $N$ der Photonen bestimmt wird, Bild 58-4 unten links, die pro Belichtungszeit einen Bildpunkt treffen (genau genommen der Wurzel der Anzahl). Es liegt in der Wahl des Experimentators, ob eine bessere räumliche Auflösung oder mehr Graustufen gewünscht sind, wie es Bild 58-4 unten Mitte mit den Quadern I/schwarz oder II/rot gegenüberstellt. Alternativ kann auch die zeitliche Auflösung vergrößert werden, als Folge muss man dann allerdings mit weniger Graustufen zufrieden sein, dargestellt in Bild 58-4 unten rechts, Quader III.

Die Transformation von Information

Die Information, die einzelne Quanten mit ihren Beziehungen zu den anderen weiterleiten, kann in verschiedener Form realisiert sein. Die Größen, die wir messen, entstehen durch Summation der einzelnen Quantenbeiträge, wie wir schon beim Messen von Strom oder Helligkeit beobachten konnten. Typisch war dabei auch, dass von der gesamten Informationsmenge nur ein Teil ausgenutzt wurde und der Rest unbeachtet verloren ging. Wie schon gezeigt, ist ein solcher Verlust aber nicht nötig, wie man auch bei der Fouriertransformation sieht. Physikalische Phänomene können in ihrer zeitlichen Entwicklung zusammenhängender Größen verfolgt werden, also zum Beispiel Ort und Impuls oder elektrisches und Magnetfeld oder alternativ als Überlagerung unendlich lang andauernder Schwingungen mit frequenzabhängigen Amplituden und Phasen. Deren Addition liefert durch Interferenz eine derart verteilte Energie, dass sie das Geschehen in Raum und Zeit repräsentiert. Beide Beschreibungen lassen sich verlustfrei ineinander umkehren. In der Optik beobachten wir diesen Vorgang räumlich, wie mit einer abbildenden Linse in Bild 59-1 gezeigt wird.

Bild 59-1: Optische Fourier-Transformation-Winkel (Perioden) werden in Abstände transformiert. Die oberste Reihe zeigt Bilder einer Ultraschallwelle mit 2 MHz oder 6 MHz. Links jeweils das Originalbild und rechts die Fourier-Transformierte in der Brennebene der Linse.

Die periodische Strukturen im Bild 59-1 mit der Größe G als Periodenlänge, die rote, grüne und blaue räumliche Periode links neben der Linse, führen wegen der Beugung am Gitter zum Ablenken der Lichtstrahlen um jeweils einen Winkel $\phi ,sin\phi =n\cdot \lambda /d$. Die räumlich periodische Struktur wird in einem Winkel transformiert, ($\lambda /d\rightarrow \phi$). Die Linse vereinigt gleichgerichtete Strahlen in der Brennebene, jedem Winkel $\phi$ auf der linken Seite der Linse entspricht dort eine Position $x,(\phi \rightarrow x)$. Das Beispiel der Photographien darüber zeigt durchleuchtete stehende Ultraschallwellen, jeweils links die Abbildung der Schallwelle, die räumlich hinter der rechten Brennebene liegt, und rechts das Fourier-transformierte Bild aus der Brennebene. Beide Versuche wurden in $CCl_{4}$ bei 2 MHz und 6 MHz Ultraschallfrequenz durchgeführt. Bei 6 MHz ist die Wellenlänge des Schalls nur 1/3 der bei 2 MHz. Daraus ergibt sich die um den Faktor 3 feinere räumliche Struktur und die entsprechend größere Ablenkung $\phi$ und damit der dreimal so große Abstand $x$ der Beugungsordnungen in der Brennebene.

Bei dieser Abbildung werden Einfallsrichtungen von links der Linse in Abstände zur optischen Achse in ihrer rechten Brennebene transformiert. Während in Gegenstands- und Bildebene bei solchen Abbildungen die räumliche Verteilung, in diesem Fall von Überdruck und Unterdruck der Schallwelle. zu sehen ist, stellt die Abbildung in der Fourier-Ebene Strukturen dar, hier werden also im wesentlichen die Periodenlängen in Abstände transformiert. Solche Abbildungen sind ineinander überführbar, es geht also keine Information dabei verloren.

Bild 59-2 zeigt die Prinzipien der Abbildung mit einer Linse. Dabei werden Orte eines Raumbereiches in einen anderen transformiert. Die Genauigkeit dieser Abbildung ist durch zwei Faktoren begrenzt. Erstens durch die Wellenlänge der Photonen, die eine energieabhängige örtliche und zeitliche Schranke der Auflösung liefert. Von der im „Gegenstandsbereich“ dadurch zunächst begrenzt vorhandene Menge an Information wird nur ein Teil durch die Fläche der abbildenden Linse gelangen, beugungsbedingte Unschärfe und entsprechender Verlust an Genauigkeit ist die Folge.

Bild 59-2: Abbildung mit Linse, ein Hologramm in der Brennebene enthält alle Information mit der Menge, die durch die Anzahl der Photonen begrenzt ist.

Die Punkte, die links vom linken Brennpunkt $F_{v}$ liegen, werden in Punkte rechts des rechten bei $F_{h}$ abgebildet. Dabei findet eine Umkehr des Abstandes zur Linse statt. Punkte außerhalb der Entfernung 2F zweier Brennweiten werden in Punkte zwischen der Brennebene (dort landet die unendliche Entfernung) und der doppelten Brennweite $F\leftrightarrow 2F$ abgebildet, dies entspricht einer Verkleinerung von Abständen, und umgekehrt entsprechend einer Vergrößerung. Da Objekte bei dieser Art Abbildung in der Größe verändert werden, ist es naheliegend zu fragen, was dabei mit der wellenlängenabhängigen Auflösungsgrenze passiert ? Die Lösung dieser Frage ist natürlich damit verknüpft, dass die gesamte Information nicht mit einem Photon übertragen werden kann, sondern nur mit der Kombination vieler angenähert beschrieben wird. Damit sind dann entsprechende Unschärfen und Schrotrauschen verbunden. Bei größerer Photonenzahl und verkleinerter Abbildung kann es durchaus sein, dass die Dichte der Photonen mehr Details liefert, als die wellenlängenbedingte Unschärfe zulasst. Wenn aber das Verhältnis der Photonen untereinander bekannt ist (und damit die Phasenlage), dann kann bei der rückwärtigen Vergrößerung trotzdem eine Präzision vorhanden sein, die man auf den ersten Blick vielleicht nicht erwartet hätte. Insbesondere zeigt Bild 59-2 auch, wie die örtliche Information bei der Abbildung vom Ort des linken Quadrats zum rechten verkleinert wird, die Menge möglicher Richtungsinformation durch die Transformation des spitzen Winkels $\phi _{v}$ in den größeren stumpfen $\phi _{h}$ aber zunimmt. Des weiteren sieht man den Einfluss der Apertur auf die Menge der passierenden Information. Der Grenzfall der Transformation ist die Abbildung von Richtungen in Punkte der Brennebene. Damit verbunden ist eine Unschärferelation zwischen Genauigkeit eines Ortes und Genauigkeit einer Richtung.

Alle Information passiert die Brennebenen und muss dort vorhanden sein. Ein dort gewonnenes Hologramm, das die Phasenbeziehungen und Richtungsinformation nicht so ignoriert wie unsere klassische Bildaufnahme, gestattet die vollständige räumliche Reproduktion. Die ausschließliche Auswertung der Amplituden in einer Bildebene führt zum üblichen Effekt der begrenzten Tiefenschärfe, wie sie in Bild 59-3 zu sehen ist. Die von den Photonen übertragene Information enthält nicht nur Angaben über Positionen in der Gegenstands- und Bildebene, sondern auch Information über den Abstand dieser Ebenen zur Linse, einer dritten Raumdimension, die hier dann mit der Eigenschaft „Schärfe“ korrespondiert.

Bild 59-3: Der Effekt der Tiefenschärfe.

An anderer Stelle wurden diesbezügliche Fragen, zum Beispiel der Beugung am Spalt, der Bedeutung von Amplitude und Phase von Wellen bei der Abbildung und wie sich unkorrelierte Photonen in der Bildebene ansammeln, schon diskutiert.

Die hier gezeigten Beispiele reichen wohl aus, eine physikalische Bedeutung der Information beim Messen zu erkennen. Sie tritt in unterschiedlicher Form in Erscheinung, in welcher entscheidet der Experimentator gegebenenfalls mit seinem Einfluss. In gewissem Umfang hat er die Wahl, Informationskanäle auszusuchen. Genauigkeit und Unschärfe bei Messungen werden dann durch die Menge der Information und damit durch Art und Anzahl von Quanten begrenzt. Aus den Ergebnissen des im Abschnitt „Information beim Doppelspaltexperiment“ erwähnten Doppelspaltexperimentes mit wenigen Quanten, den Abklingzeitmessungen bei raum- oder zeitkonzentrierter Anregung und dem EPR-Experiment erkennt man, dass Information nicht raumzeitlich konzentriert ist. Die Quanten, die sie repräsentieren, erscheinen allerdings während der Detektion mit üblichen Messmethoden an einem in Bezug auf das Universum lokalisierten Ort in der Raumzeit.

Anmerkungen

Kapitelnavigation - Die abzählbare Physik

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ? | Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz | Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen | Die Zeit und ihre Messung | Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film | Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten | Information, Raum und Zeit | Dank