Die abzählbare Physik/ Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten

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Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten

Die Information, mit der man die physikalische Welt beschreibt, wird durch Quanten übermittelt. Sie ist in Kombination mit den Beziehungen solcher Quanten zu anderen enthalten. Ein anschauliches Beispiel solcher Beziehungen liefert der elektromagnetische Quader (EMQ), indem die elektromagnetischen Quanten mit den Naturkonstanten, die sie untereinander verbinden, dargestellt sind. In diesem Quader finden sich neben der Lichtgeschwindigkeit und der Feinstrukturkonstanten unter andrem zwei Geschwindigkeiten, deren Produkt das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit ergibt. Basis der Konstruktion dieses Quaders und damit auch der verschiedenen Naturkonstanten sind die vier elektromagnetischen Quanten, aus denen dann ihre Beziehungen folgen.

In unserem technischen Umfeld sind wir gewohnt, Information mit Impulsen über Leitungen zu übertragen. Es bietet sich an, die Gedanken zum elektromagnetischen Quader mit den Fragen zur physikalischen Bedeutung der Information zu verknüpfen.

Vier elektromagnetische Quanten - die Basis des elektromagnetischen Quaders

In den vorherigen Kapiteln sind verschiedene Quanten und zahlreiche Formeln mit ihren Kombinationen aufgetaucht. Beim Abtasten kleinster Strukturen zeigt sich, dass physikalische Information in Kombination mit den Beziehungen der Objekte zueinander enthalten ist. Dies ist natürlich auch zwischen den einzelnen elektromagnetischen Quanten Realität, Kräfte und andere Wechselwirkungen treten erst auf, wenn mindestens zwei Objekte vorhanden sind. Das einzelne Elektron spürt erst Kräfte, wenn es mindestens noch eine weitere elektrische Ladung gibt oder es sich in einem magnetischen Fluss bewegt. Wenn versucht werden soll, diese Wechselwirkungen zu sortieren, werden in der Beschreibung also nicht die einzelnen Quanten auftauchen, sondern Gruppen von mindestens zwei mit ihren gegenseitigen Bezügen. Wir sind damit vertraut, dass nicht einzelne Quanten sondern Quadrate der elektrischen Ladung oder des magnetischen Flusses wesentliche Anteile der Energie, deren Bezug zur Qualität von Information schon erwähnt wurde, liefern.

Im Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ wurde darauf hingewiesen, dass Basis kleinster Informationsmengen Trinitäten sind. Im folgenden sollen solche Trinitäten als Basis benutzt werden, um Beziehungen mit physikalischer Relevanz in und zwischen ihnen zu finden und zu schauen, ob sich dann weitere Zusammenhänge erarbeiten lassen. Solche Trinitäten lassen sich aus den elektromagnetischen Quanten bilden. Die elektrischen und die magnetischen Quellen, $e$, $Q_{M0}$, und ihre Flüsse, $\Phi _{E0}$, $\Phi _{0}$, sind jeweils über eine Naturkonstante raumzeitlich und impedanzmäßig miteinander in Beziehung gesetzt, Bild 61-1.

$\Phi _{E0}=e/\epsilon _{0}$ [12-5]

$\Phi _{M0}=\Phi _{0}/\mu _{0}$; $Q_{M}=2\Phi _{0}/\mu _{0}$ [12-8]

Bild 61-1: elektrische und magnetische Trinitäten.

Bild 61-2: elektromagnetische Beziehungen.

Es gibt also eine elektrische und eine magnetische Trinität. Und beide zeigen wieder Beziehungen untereinander, wie sie ein Tetraeder in Bild 61-2 darstellt. Die Anzahl dieser sechs Beziehung ist dann natürlich größer als die Anzahl der Basis von zwei Quellen und zwei Flüssen. Die ausgangsseitigen Beziehungen, $\epsilon _{0}=e/\Phi _{E0}$ [As/Vm], $\mu _{0}=\Phi _{0}/Q_{M}$ [Vs/Am] enthalten je zwei elektrische und zwei raumzeitliche Komponenten. Die neu dazugekommenen Beziehungen beschränken sich in ihren Einheiten auf die elektromagnetischen [V/A], $R_{K}=2\Phi _{0}/e$, $Z_{MR}=\Phi _{E0}/Q_{M}$, oder die raumzeitlichen Teile [m/s], $v_{\Phi }=\Phi _{E0}/2\Phi _{0}$, $v_{Q}=Q_{M}/e$, es sind Impedanzen oder Geschwindigkeiten. Eine dieser Impedanzen kennen wir schon, es ist der Klitzing-Widerstand $R_{K}$. Die anderen Größen werden wir im folgenden noch diskutieren.

Bild 61-3: Vier elektromagnetische Quanten und ihre Beziehungen

In Bild 61-3 erkennen wir als Struktur zunächst, dass in der oberen Reihe (Zeile) die Koordinate des Raumes und in der unteren Reihe die der Zeit auftritt. Links finden wir in den Einheiten die Spannung und rechts den Strom. Als Quellen von Feldern denken wir uns die rechten Größen häufig lokalisiert in begrenzten Volumen, während die Flüsse zwar als Quanten rechnerisch auftreten, aber nicht etwa räumlich konzentriert sondern über große Flächen verteilt. Der elektrische Fluss und der magnetische Pol in der oberen Reihe haben Bezüge zu den statischen elektrischen und magnetischen Feldern. In der unteren Reihe dagegen hängen die zeitliche Änderung des Magnetflusses mit der Induktionsspannung zusammen und der Strom mit Bewegung von Ladungen. Der Klitzing-Widerstand $R_{K}$ als Beziehung wird daher gebildet, indem man während der Messdauer $T$ die Änderung der Anzahl von magnetischen Flussquanten und elementaren Ladungen zählt. Die Impedanz des Memristors $Z_{MR}$ in der oberen Reihe bezieht sich dagegen auf die räumliche Verteilung von statischen elektrischen und magnetischen Feldern. Links oben sehen wir mit dem elektrischen Fluss kombiniert die elektrische Feldstärke $E=U_{E}/x=\Phi _{E}/A$ raumbezogen und unten die Induktionsspannung $U_{M}=d\Phi _{M}/dt$ mit der Änderung des magnetischen Flusses zeitbezogen. Das Verhältnis dieser Größen $U_{E}/U_{M}$ spiegelt sich in der Geschwindigkeit $v_{\Phi }$ wider. Entsprechend rechts haben wir den Strom und das mit einem Strom raumbezogene Feld des Magnetpols kombiniert mit den bewegten Ladungen des Stromes. Dieser Quotient ist dann in $v_{Q}$ kombiniert. Die im ersten Ansatz oben verwendeten Beziehungen sehen wir hier als Diagonalen und sie können jeweils durch die möglichen Kombinationen von Geschwindigkeit und Impedanz realisiert werden.

Tabelle 6-1: Quanten und Beziehungen im elektromagnetischen Quader

e	ε0	Rk	vQ
ΦE0	ε0	Mk	vΦ
2 Φ0	μ0	Rk	vΦ
QM	μ0	Mk	vQ

ε0	Rk , vΦ	Mk, vQ
μ0	Mk, vΦ	Rk , vQ
Rk	ε0 , vΦ	μ0 , vQ
Mk	ε0, vQ	μ0 , vΦ
vΦ	Rk , εo	Mk, μo
vQ	Rk, μ0	Mk, ε0

$e\cdot \Phi _{E0}\cdot 2\Phi _{0}\cdot Q_{M}=(h\cdot c)^{2}$

In der Tabelle 6-1 finden wir links die vier ausgangsseitigen elektromagnetischen Quanten, deren Zahl eine davon begrenzte Informationsmenge vorgibt. Die sechs dazwischen bestehenden Beziehungen sind in ihrer Anzahl größer und die Informationsmenge reicht daher nicht, sie als selbstständig zu führen, zwischen ihnen müssen bereits Abhängigkeiten bestehen. Mit jeder Beziehung zwischen den vier ausgangsseitigen Quanten sind zwei Dreiecke verbunden, die weitere Beziehungen in Form ihrer Kanten enthalten. Diese beiden Möglichkeiten sind rechts tabelliert und die ausgangsseitig damit verbundenen Quanten farblich markiert. Der fundamentale Tetraeder bildet die Basis der Informationseinheit und es ist daher nicht verwunderlich, dass in der Erweiterung zum gleich gezeigten elektromagnetischen Quader Beziehungen sich entweder wiederholen oder gesetzmäßig aus den Ursprungsgrößen abzuleiten sind.

Wenn man von den elektromagnetischen Beziehungseinheiten, der jeweiligen Kombination von Quellen und Flüssen, ausgeht und dann die elektrischen und magnetischen Trinitäten zusammenbringt, zeigt sich ja nun das Tetraeder mit den vier Eckpunkten und neuen Beziehungen, die zwischen den ausgangsseitig rein elektrischen und magnetischen Einheiten wechselseitig hinzutreten. Das Bild 61-4 demonstriert die Wechselwirkungen von den elektrischen Trinitäten in der oberen Reihe und den magnetischen in der unteren, entsprechend zu den übrigen Quellen und Flüssen. Davon ausgehend zeigen sich hier nach unten ergänzt die neuen Beziehungen zwischen elektrischen und magnetischen Komponenten. In dieser Darstellung finden wir die Dreiecke der Oberflächen des Tetraeders. Diese neuen Beziehungen enthalten jeweils eine elektromagnetische Impedanz und eine raumzeitliche Größe mit dem Maß der Geschwindigkeit. Diese Quotienten einer Länge und eines Zeitintervalls finden sich jedes Mal zwischen raumzeitlich gleichartigen elektromagnetischen Quanten, entweder den Quellen oder den Flüssen. Die Impedanzen dagegen verbinden unterschiedliche Quellen und Flüsse.

Bild 61-4: Dreierkombinationen der Ausgangs Trinitäten des elektromagnetischen Quaders, die Dreiecksoberflächen des Tetraeders. Im Zentrum jeweils der dem Dreieck gegenüberliegende Eckpunkt.

Die Beziehungen zwischen den Quanten in den Ecken der Dreiecke sind Multiplikationsfaktoren. Ausgehend von einem Punkt muss das Produkt solcher Faktoren im abgeschlossenen Umlauf (die Richtung der Multiplikatoren ist durch die geschlossenen Kreise am Ende der Verbindungslinien wie auch an anderer Stelle dieses Beitrags markiert und gestattet das Unterscheiden zur Division, des Umlaufs im Gegensinn) immer eins ergeben. Es gilt daher jeweils

$R_{K}\cdot v_{\Phi }\cdot \epsilon _{0}=1$ [6-1]

$v_{Q}\cdot M_{K}\cdot \epsilon _{0}=1$ [6-2]

$v_{Q}\cdot \mu _{0}/R_{K}=1$ [6-3]

$v_{\Phi }\cdot \mu _{0}/M_{K}=1$[6-4]

Wenn man aus den Paaren obiger Gleichungen jeweils die dort vorhandenen Beziehungen o und o herauskürzt, ergibt sich für die neuen Kombinationen wieder ein Ergebnis ohne Maßeinheit

$R_{K}\cdot v_{\Phi }/(v_{Q}\cdot M_{K})=1$ [6-5]

$v_{Q}\cdot M_{K}/(R_{K}\cdot v_{\Phi })=1$ [6-6]

und daraus dann der gemeinsame Quotient für Impedanzen und Geschwindigkeiten, das Quadrat der doppelten Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante, zuständig für die elektromagnetische Kopplung.

$M_{K}/R_{K}=v_{Q}/v_{\Phi }=(2\alpha )^{2}$ [6-7]

In einem nächsten Schritt gehen wir vom Zentrum dieses Tetraeders aus, Bild 61-5 oben links, und bilden Strahlen durch die Eckpunkte, rot Bild 61-5 unten links, und durch die Mitten der Seiten, Bild 61-5 rechts. Diese Strahlen werden jeweils um den Faktor zwei verlängert und führen zu Punkten, die entweder in den Ecken oder auf den Seitenmitten eines Quaders liegen. Tetraeder und Quader befinden sich allerdings nicht im gleichen Koordinatensystem, die Punkte des Tetraeders enthalten eine raumzeitliche und eine elektromagnetische Koordinate, links rot angedeutet. Der Quader dagegen enthält Multiplikation der ausgangsseitigen Quanten, d.h. deren Quadrate, rot markiert in Bild 61-5 unten links, oder gemischte Produkte, gelbe Punkte der Mitten der Seitenflächen, unten rechts. Das Produkt der vier elektromagnetischen Quanten ergibt das Quadrat der zentralen Koordinate des elektromagnetischen Quaders. Diese Punkte enthalten alle zwei raumzeitliche und zwei elektromagnetische Komponenten, so etwas ist in den Formeln für Energien und Wirkungen zu finden. Der Mittelpunkt des Tetraeder-Koordinatensystems ist der Ursprung in vier Dimensionen und jede der vier Achsen gehört zu einem der elektromagnetischen Quanten. Der Mittelpunkt des Quaders ist $h\cdot c$ [VAms], das Produkt aus Plankscher Konstante und Lichtgeschwindigkeit, wie gleich gezeigt wird. Der Quader ist mit drei Koordinatenachsen differentiell komplett erfasst, der Bezug zu einer Umgebung erforderte eine weitere, vierte Größe.

Die sechs Beziehungen des Tetraeders finden sich in der Projektion als Diagonalen auf die Oberflächen des Quaders wieder. Genauso, wie sich die Quanten im Produkt miteinander multipliziert doppelt wiederfinden, so finden wir auch die Beziehungen als Faktoren verdoppelt, sie selbst sind ja Produkte oder Quotienten. Und bei einfacher Anwendung ausgehend von den vier Eckpunkten führen sie nun zu Punkten auf den Mitten der Oberflächen, die von den sechs möglichen Produkten je zweier der vier Quanten gebildet werden.

Die Verbindungen benachbarter Punkte auf den Oberflächen zeigen nun die schon bekannten Beziehungen rechts oben, rechts unten sind die Beziehungen gegenüberliegender Punkte, die sich in der Mitte kreuzen, zu sehen, sie ergeben sich aus den bisherigen Beziehungen. Dies sind die Lichtgeschwindigkeit $c$, die Vakuumimpedanz $Z_{0}$ und die doppelte Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante $2\alpha$.

Bild 61-5: Projektion des aus den elektromagnetischen Quanten gebildeten Tetraeders zum Quader.

$c^{2}=1/(\mu _{0}\cdot \epsilon _{0})$ [13-6]

${Z_{0}}^{2}=\mu _{0}/\epsilon _{0}$ [13-7]

$(2\alpha )^{2}=(e^{2}/(\epsilon _{0}\cdot h\cdot c))^{2}=e\cdot \Phi _{E0}/(Q_{M}\cdot 2\Phi _{0})$ [13-8]

Besonders markant ist das Produkt aus Magnetfluss und Elementarladung auf der linken Seitenmitte des Quaders, hierbei handelt es sich um das Plancksche Wirkungsquantum h.

$h=2\Phi _{0}\cdot e$ [12-1]

Seine Einheit setzt sich aus zwei elektromagnetischen und raumzeitlichen Komponenten zusammen. Dies sind elektromagnetisch [V] und [A] sowie raumzeitlich Sekunde zum Quadrat, [s²]. Dabei kommt bei passendem Blickwinkel ein Anteil, Ampere-Sekunde [As], von der elektrischen Ladung $e$ und der Anteil Volt-Sekunde [Vs] vom magnetischen Fluss $\Phi _{0}$. Andere elementare Größen, wie der elektrische Fluss $\Phi _{E}$ [Vm] oder die magnetische Polstärke beziehungsweise Ladung $Q_{M}$ [Am], enthalten auf der raumzeitlichen Seite die Einheit Meter [m]. Kombinationen der elektromagnetischen Quanten enthalten in der einfachsten Form immer zwei elektromagnetische und zwei raumzeitlichen Komponenten, wie man schon am Produkt der Elementarladung mit dem magnetischen Flussquant, dem Plankschen Wirkungsquantum $e\cdot 2\Phi _{0}=h$ [VAs²], sieht. Multiplikationen mit den Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit $c$, Permeabilität des Vakuums $\mu _{0}$, der Dielektrizitätszahl $\epsilon _{0}$ und des Klitzing-Widerstandes $R_{K}$ tauschen die Einheiten untereinander aus, so enthält der Mittelpunkt des elektromagnetischen Quaders mit $h\cdot c$ [VAms] alle vier Einheiten.

Aufbau des elektromagnetischen Quaders

Auf Basis der vier elektromagnetischen Quanten wurde aus dem von ihnen gebildeten Tetraeder ein Quader projiziert, der die Beziehungen dieser Größen untereinander mit Faktoren, die Naturkonstanten sind, demonstriert. Die markanten Punkte dieses Quaders werden durch die Produkte zweier elementarer elektromagnetischer Quanten gebildet. Die Mitten der sechs Oberflächen des Quaders stellen Produkte unterschiedlicher Quanten dar, vier der acht Eckpunkte werden aus den Quadraten der elementaren elektromagnetischen Quanten erzeugt. Bild 61-5 zeigt diesen Quader noch einmal in Kombination mit den Verbindungslinien der markanten Punkte, die Multiplikationsfaktoren charakterisieren. Im Bild 61-5 sind die Faktoren so symbolisiert, dass die am offenen Kreis befindliche gequantelte Größe mit diesem Faktor multipliziert zum gefüllten Kreis verschoben wird, Gegenrichtung bedeutet Division.

In der obersten Ebene II finden wir ausgehend vom Quadrat der Elementarladung $e^{2}$ links vorne, wenn man durch die Dielektrizitätskonstante teilt, $1/\epsilon _{0}$, zunächst das Produkt aus Elementarladung und elektrischem Flussquant $e\cdot \Phi _{E0}$ in der Mitte und dann weiter das Quadrat des elektrischen Flussquants $\Phi _{E0}^{2}$, oben hinten. Dieser verbindende Faktor: $\epsilon _{0}=e/\Phi _{E0}$ [As/Vm], das Verhältnis von Elementarladung zum elektrischem Flussquant, beschreibt den raumzeitlichen Zusammenhang zwischen elektrischer Ladung und Fluss, grün im Bild 61-6.

In der untersten Ebene IV finden wir entsprechendes für die magnetischen Größen, links hinten das Quadrat magnetischer Flussquanten $(2\Phi _{0})^{2}$, rechts vorne das Quadrat der (doppelten elementaren) magnetischen Ladung $Q_{M}^{2}$, in der Mitte das Produkt der beiden, $2\Phi _{0}\cdot Q_{M}$. Als Faktor erscheint hier die Permeabilität des Vakuums: $\mu _{0}=2\Phi _{0}/Q_{M}$ [Vs/Am], eine Größe, die das Verhältnis zwischen Polstärke und Fluss charakterisiert, orange im Bild 61-6.

Bild 61-6: Der elektromagnetische Quader mit den in ihm untereinander verknüpften physikalischen Größen.

In der linken senkrechten Ebene I stammen zwei Eckpunkte von der elektrischen Elementarladung e vorne oben und dem zweifachen magnetischen Flussquant $2\Phi _{0}$, hinten unten. Ihr Quotient ist der Klitzing-Widerstand $2\Phi _{0}/e=R_{K}$, entsprechend dem Symbol rechts oben in Bild 61-6. Eine solche Impedanz ist der Quotient von elektrischem Potential zum Stromfluss $Z_{R}=U/I$ [V/A]. Sie gibt in diesem Fall an, wie stark sich der Magnetfluss in einem Zeitintervall ändern muß, um eine entsprechende Anzahl Ladungen in dieser gleichen Zeit passieren zu lassen. Eine raumbezogene Komponente tritt dabei, wie man an den Einheiten sieht, nicht auf. Der in der Mitte der Fläche I liegende Punkt repräsentiert das Plancksche Wirkungsquantum $h=2\Phi _{0}\cdot e$, das Produkt aus elektrischer Elementarladung und zwei magnetischen Flussquanten. Denkt man zunächst beim Betrachten der Ebenen II und IV an $\epsilon _{0}$ [As/Vm] und $\mu _{0}$ [Vs/Am] als statisch räumliche Bezüge zwischen Ladung und Fluss, so sieht man hier den anderen Anteil, wenn man einmal die dazugehörigen Energien $E_{C}=Q^{2}/(2C)$ und $E_{L}=\Phi ^{2}/2L$ betrachtet, bei deren Kombination in der Mitte $E_{CL}=Q\cdot \Phi /2{\sqrt {(L\cdot C)}}$ sich zeigt, dass die räumlichen Komponenten im Nenner sich herauskürzen und nur der zeitliche Bezug ${\sqrt {(L\cdot C)}}$ [s] bleibt. Mit dem Produkt aus der Dielektrizitätskonstante $\epsilon _{0}$ und der Permeabilität des Vakuums $\mu _{0}$ gelangt man nun aber nicht direkt von der elektrischen Ladung zum Magnetfluss, denn dieses Produkt bleibt innerhalb einer horizontalen Ebene und zum Überwinden des Höhenunterschiedes benötigt man noch das doppelte der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $2\alpha$.

In der I gegenüberliegenden Ebene V befinden sich die magnetische Ladung $Q_{M}$ und der elektrische Fluss $\Phi _{E0}$. Im Gegensatz zu den Größen in der Ebene I, die zeitbezogenen waren, ist diese Ebene raumbezogen. Auch in der magnetischen Ladung finden wir die Einheit Ampere (siehe Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“: $I=m\cdot Q_{M0}/l_{L}+e\cdot \Delta n/j\Delta t$ [22-3a], ein konstanter Strom liefert ein Magnetfeld) und beim elektrischen Fluss das Volt als feldbezogenes Maß $(U=n\cdot \Phi _{E0}/l_{C}+\Phi _{0}\cdot \Delta m/(j\Delta t)$ [22 4a]). Der Quotient ist wieder eine Impedanz, diesmal nicht ein Widerstand sondern ein Memristor, $Z_{MR}=\Phi _{E0}/Q_{M}=(2\alpha )^{2}\cdot R_{K}$. Der zahlenmäßige Bezug zur Impedanz des Klitzing-Widerstandes erfolgt über die Feinstrukturkonstante. Es sei darauf hingewiesen, dass dieser Quotient aus elektrischen Fluss und magnetischer Ladung von der ursprünglichen Definition von Leon Chua abweicht, dessen Quotient den Magnetfluss im Verhältnis zur elektrischen Ladung zeigte. Mit den aus Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ übernommenen Größen existieren allerdings noch die Längen, die eine Induktivität, $\lambda _{L}$ und eine Kapazität, $\lambda _{C}$ charakterisieren, und deren Verhältnis eine dimensionslose Zahl ergibt. In der Mitte der Ebene zeigt V finden wir das Produkt $\Phi _{E0}/Q_{M}=h\cdot c^{2}$ [VAm²], die Plancksche Konstante multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

Die Verbindungslinien der elektromagnetischen Ladungen der vorderen senkrechten Ebene $Q_{m}/e=v_{Q}$ und der elektromagnetischen Flüsse der hinteren senkrechten Ebene $\Phi _{E0}/2\Phi _{0}=v_{\Phi }$ liefern uns als Quotienten Größen mit den Einheiten einer Geschwindigkeit. Ihre Symbole sind in Bild 61-6 ganz links zu finden. Wenn man das Plancksche Wirkungsquantum, Mitte links, nacheinander mit diesen beiden Geschwindigkeiten aus den senkrechten Ebenen multipliziert, erhält man das gleiche Ergebnis, als würde man nacheinander mit den elektromagnetischen Feldkonstanten der horizontalen Ebene multiplizieren, also eine Multiplikation mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit.

$h\cdot v_{Q}\cdot v_{\Phi }=h\cdot 1/\epsilon _{0}\cdot 1/\mu _{0}=h\cdot c^{2}$ [61-1]

Diese beiden Geschwindigkeitsgrößen weichen jeweils um den Faktor der doppelten Feinstrukturkonstante von der Lichtgeschwindigkeit ab, der Quotient der ladungsbezogenen Geschwindigkeit ist größer $c/2\alpha =v_{Q}$ und feldbezogen kleiner $2\alpha \cdot c=v_{\Phi }$ als diese. Die Behauptung, dass eine Geschwindigkeit größer ist als die Lichtgeschwindigkeit, scheint auf den ersten Blick ein k.o.-Kriterium zu sein. Eine solche Beziehung ist aber schon bei den de Broglie Materie-Wellen bekannt, das Produkt aus Phasengeschwindigkeit (der Geschwindigkeit des Teilchenstroms $u=\lambda \cdot f)$ und der Gruppengeschwindigkeit (der Geschwindigkeit der Teilchen v) ergibt dort das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit, $u\cdot v=c^{2}$. Wie in Abschnitt 6.4. gezeigt wird, lässt sich das ganze Problem hier anschaulich mit einem mechanisch-elektrischen Vergleich verstehen und dabei werden diese Geschwindigkeiten dann nicht als Bewegungsgröße sondern als Quotient von Längen zu Zeitintervallen auftreten. Konrad Zuse kommt mit seiner Idee, das Universum als einen Automaten zu beschreiben, zu zwei nur lokal auftretenden Geschwindigkeiten, von denen die eine ebenfalls größer als die Lichtgeschwindigkeit ist.

In der mittleren horizontalen Ebene zwischen II und IV befinden sich als Mitte der Kanten die gemischten Produkte von elektrischen und magnetischen Größen. Eine solche Größe ist das Plancksche Wirkungsquantum ganz links, multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit finden wir es ganz rechts. Die charakteristischen Multiplikationsfaktoren in dieser Ebene sind in Richtung von vorn nach hinten die Vakuumimpedanz Z0 und von links nach rechts die Lichtgeschwindigkeit c. Beide ergeben sich als Wurzel aus dem Produkt $c^{2}=1/(\mu _{0}\cdot \epsilon _{0})$ oder dem Quotienten $Z_{0}^{2}=\mu _{0}/\epsilon _{0}$ der elektromagnetischen Naturkonstanten $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$, im Ergebnis werden entweder die elektromagnetischen oder die raumzeitlichen Komponenten herausgekürzt.

In der vorliegenden Form kann man den elektromagnetischen Quader entweder aus drei Kanten in einem kartesischen Koordinatensystem konstruieren, der Lichtgeschwindigkeit c als raumzeitliche Komponente, der Vakuumimpedanz Z0 als elektromagnetische Größe und der Feinstrukturkonstante $2\alpha$ als dimensionsloser Zahl.

Alternativ dazu kann man als Basis drei Flächen wählen. Die Grundfläche enthält elektromagnetische und raumzeitliche Koordinaten. Dies ist die Kombination von Lichtgeschwindigkeit c und Vakuumimpedanz $Z_{0}$ oder diagonal die elektromagnetischen Naturkonstanten $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$ mit ihrem Bezug zu den raumzeitlichen Feldverteilungen in den Impedanzen von Kondensator $C=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ und Spule $L=\mu _{0}\cdot \lambda _{L}$. Die vertikalen Seitenflächen enthalten nur elektromagnetische Größen, die Vakuumimpedanz $Z_{0}$ und die Feinstrukturkonstante $2\alpha$ oder diagonal den Klitzing-Widerstand $R_{K}$ und den hypothetisch fundamentalen Memristor $Z_{MR}$. Die vordere oder hintere senkrechte Fläche (A, B) mit Lichtgeschwindigkeit c und Feinstrukturkonstante $2\alpha$ enthält nur raumzeitliche Komponenten, als Diagonalen die beiden Geschwindigkeiten $v_{Q}$ und $v_{\Phi }$.

Es liegt jetzt nahe, zu schauen, welche Verbindungen es von diesem elektromagnetischen Quader zu anderen bekannten physikalischen Größen gibt. Die Energie lässt sich leicht mit der linken Ebene I in Zusammenhang bringen. Von den drei markanten Punkten, dem Ladungsquadrat $e^{2}$, der Plancksche Konstante h und dem Quadrat des Magnetflussquants $(2\Phi _{0})^{2}$ ist die Energie $E_{xy}$ jeweils nur einen Multiplikationsfaktor entfernt. Diese Multiplikationsfaktoren sind allerdings, anders als die Faktoren im Quader, keine Konstanten und befinden sich auch nicht in seinem dreidimensionalen Koordinatensystem, sondern in weiteren Dimensionen. Vom Ladungsquadrat gelangt man zur dazugehörigen Energie mit dem Faktor $2C=e^{2}/E_{E}$, vom Quadrat der magnetischen Flussquanten mit dem Faktor $2L=(2\Phi _{0})^{2}/E_{M}$. Das Wirkungsquantum muss man durch eine Zeitdauer T teilen, um die dazugehörige Energie zu erreichen. Grafisch dargestellt ergibt sich damit Bild 61-7, in dem die beiden Zeitdauern $T_{E,M}$ uns schon im Zusammenhang mit Kondensator $T_{E}=2\tau _{C},\tau _{C}=R_{k}\cdot C$, [25-4], und Spule $T_{M}=2\tau _{L},\tau _{L}=L/R_{k}$, [27-6], begegnet sind und hier entgegengesetzt gerichtet auftreten, genauso konträr wie die Phasenbezüge zwischen Strom und Spannung bei Kondensator und Spule. Im erweiterten rechten Teil des Bildes sind die Größen Spule und Kondensator in ihre Komponenten von Naturkonstante und charakteristischer Länge aufgespaltet. Damit zeigen sich dann die beiden neuen Geschwindigkeiten in der Kombination von Zeitkonstanten und charakteristische Längen.

Bild 61-7: Die Beziehung von Energie zu den Quanten des elektromagnetischen Quaders. Links ein Ausschnitt mit der elektrischen und der magnetischen Energie von Kondensator und Spule, rechts erweitert um die charakteristischen Längenmaße und Geschwindigkeiten.

Es gelten die Beziehungen:

• $E_{E}=e^{2}/2C=e^{2}/2\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}=e\cdot \Phi _{E0}/2\lambda _{C}$[61-11]
• $E_{M}=(2\Phi _{E0})^{2}/2L=(2\Phi _{E0})^{2}/2\mu _{0}\cdot \lambda _{L}=2\Phi _{E0}\cdot Q_{M}/2\lambda _{L}$ [61-12]
• $T_{E}=2\tau _{C}=2R_{k}\cdot C$, $T_{M}=2\tau _{L}=2L/R_{k}$ [61-13]
• $v_{Q}=\lambda _{L}/\tau _{L}$, $v_{\Phi }=\lambda _{C}/\tau _{C}$ [61-14]
• $c^{2}=v_{Q}\cdot v_{\Phi }$ [61-15]

Während in dem Bereich des elektromagnetischen Quaders von Ebenen I, III ein Bezug zur Energie als Produkt aus Leistung und Zeit besteht, wäre in seiner rechten Hälfte die Kombination von Leistung und Länge naheliegend.

Die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$

Die beiden neuen Größen einer Geschwindigkeit im elektromagnetischen Quader lassen sich veranschaulichen, wenn man die Schallgeschwindigkeit in der mechanischen Welt damit vergleicht. Mechanische Kräfte in einem Feder-Masse-System sind gegeben durch

1. die Massenträgheit gegenüber einer Beschleunigung, also einer zeitbezogenen Trägheit,

$F=M\cdot dv/dt$ [62-1]

und

2. mit Federn gegenüber einer Positionsänderung, also einer räumlichen Trägheit.

$F=f\cdot (x_{0}+dx)$ [62-2]

Bekannt ist das Beispiel der linearen Kette in der Festkörperphysik, bei der Welleneigenschaften durch die atomaren Massen und Federkräfte zwischen ihnen beschrieben werden können. Das Quadrat der Schallgeschwindigkeit ergibt sich im allgemeinen als Quotient des Elastizitätsmoduls El als Vertreter der raumbezogenen Trägheit zur zeitbezogenen Massenträgheit, der Dichte $\rho ,v_{s}^{2}=E/\rho$. Diese beiden Kräfte sind bei Wellen jeweils im Gleichgewicht. Es lohnt daher zu schauen, ob es solche räumlichen und zeitlichen Trägheiten auch bei elektromagnetischen Kräften gibt.

• Die Masse behindert zeitliche Änderungen
• Die Feder behindert räumliche Änderungen

Ähnlich können wir die Kräfte beim Elektromagnetismus auf Ladungen und Magnetpole durch die Felder sortieren. Räumlich ist der Bezug auf Ladungen im elektrischen Feld (Coulomb), zeitbezogen die Lorentzkraft auf die bewegte Ladung im Magnetfeld. Entsprechende Kräfte gibt es statisch auf Magnetpole im Magnetfeld und auf Magnetpole bei Bewegung im elektrischen Feld (Verschiebungsstrom). Nun müssen wir nur noch die entsprechenden Kräfte $F_{i}$ gleichsetzen, um die dazugehörigen Geschwindigkeiten $v$ zu ermitteln.

• Ladung im elektrischen Feld - raumbezogen
• $F_{RE}=e\cdot E$ [62-3]
• bewegte Ladung im Magnetfeld - zeitabhängig
• $F_{DE}=e\cdot v\cdot B$ [62-4]
• Magnetpol im Magnetfeld - raumbezogen
• $F_{RM}=Q_{M}\cdot B=2\Phi _{0}\cdot H$ [62-5]
• bewegter Magnetpol im elektrischen Feld - zeitabhängig
• $F_{DM}=Q_{M}/c^{2}\cdot v\cdot E=2\Phi _{0}\cdot v\cdot D$ [62-6]

Wie oben bei der Schallgeschwindigkeit in der Mechanik üblich, kann man jetzt analog dazu die elektromagnetischen Kräfte so sortieren, dass jeweils eine raumbezogene und eine zeitabhängige Kraft im Gleichgewicht sind. Wenn man durch die Wahl eines entsprechenden Koordinatensystems annimmt, dass das elektrische Feld $E$ in x-Richtung und das Magnetfeld $B$ in y-Richtung ausgerichtet ist, so ergeben sich Geschwindigkeiten $v$ in z-Richtung. Die entsprechenden Komponenten aus den Formeln [62-3] und [62-4] liefern in Kombination mit der elektrischen Ladung für $v_{E_{z}}$

$e\cdot E_{x}=e\cdot v_{E_{z}}\cdot B_{y},\Rightarrow v_{E_{z}}=E_{x}/B_{y}$ [62-7]

und aus Gleichungen [62-5] und [62-6] entnimmt man eine Geschwindigkeit $v_{M_{z}}$ in Bezug auf die magnetischen Größen.

$v_{M_{z}}=c^{2}\cdot B_{y}/E_{x}$. [62-8]

Der Quotient der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten charakterisiert die Impedanz des Wellenleiters oder des wellenleitenden Mediums. Für eine Fläche A, die von den elektrischen und magnetischen Feldern durchströmt wird, gilt:

$E=n\cdot e/(\epsilon _{0}\cdot A)$ [62-9]

$B=m\cdot 2\Phi _{0}/A=m\cdot Q_{M}\cdot \mu _{0}/A$ [62-10]

und für den Quotienten dann

$E/B=c^{2}\cdot n\cdot e/(m\cdot Q_{M})=c^{2}\cdot n/m\cdot 1/v_{Q}$ [62-11]

Daraus folgt für die beiden Geschwindigkeiten:

$v_{Ez}=E_{x}/B_{y}=c^{2}\cdot n/m\cdot 1/v_{Q}=n/m\cdot v_{\Phi }$ [62-12]

und

$v_{Mz}=c^{2}\cdot B_{y}/E_{x}=m/n\cdot v_{Q}$ [62-13]

Bild 62-1: Die Abhängigkeit der Geschwindigkeiten von der Impedanz.

Wenn der Quotient der Anzahlen: $m/n=1$ ist, das gilt für die Impedanz des Klitzing-Widerstandes $R_{k}$, dann entsprechen diese Geschwindigkeiten also den neuen Größen $v_{Mz}(1,1)=v_{Q}$ und $v_{Ez}(1,1)=v_{\Phi }$ im elektromagnetischen Quader. Für die Impedanz des Vakuums $Z_{0}=2\alpha \cdot R_{K}$ ergibt sich dagegen für beide Geschwindigkeiten wegen $m/n=2\alpha$ die Lichtgeschwindigkeit, $v_{Ez}=v_{Mz}=c$, Bild 62-1.

Beim Betrachten der Eigenschaften von Spulen und Kondensatoren haben wir diesen Bauelementen zwei charakteristische Größen zugeordnet, eine Länge und einer Zeitkonstante. Die Längen $\lambda _{L}$ und $\lambda _{C}$ sind eigentlich ein Quotient aus Fläche und Abstand, $\lambda =A/d$ und beschreiben die räumliche Geometrie von Feldern, die Zeitkonstante ergibt sich beim Entladen der Felder über den Klitzing-Widerstand,$\tau _{L}=L/R_{k}$ [27-6], $\tau _{C}=R_{k}\cdot C$ [25-4]. Die Quotienten dieser Längen und Zeitkonstanten sind für den Kondensator, [57-14],

$\lambda _{C}/\tau _{C}=v_{\Phi }$ [62-14]

und für die Spule [57-23], [57-24],

$\lambda _{L}/\tau _{L}=v_{Q}$ [62-15].

Auch in diesen Fällen ist der Bezug der Zeitintervalle zum Quotienten $R_{k}=2\Phi _{0}/e$ des Klitzing-Widerstandes deutlich.

Bild 62-2: Der Zusammenhang zwischen den Abmessungen eines Kreisstroms und der zeitlichen Folge $T_{E}$ elektrischer Ladungen, wenn ein elementarer Magnetfluss gebildet wird.

Im Falle eines Kreisstroms gibt es einen Zusammenhang zwischen der Größe des Stromes $I$, den Abmessungen des Ringes und dem Magnetfluss, $\Phi =\mu _{0}\cdot H\cdot \pi \cdot r^{2}$, $H=I/2r$, Bild 62-2. Für die magnetischen Flussquanten und elementaren Ladungen besteht dann ein Zusammenhang zwischen dem Umfang des Kreises $u=2\pi r$ und dem zeitlichen Abstand zweier Ladungen $e/I=T_{E}$, der die Größe des Stromes charakterisiert.

$2\Phi _{0}/\mu _{0}=Q_{M}=2H\cdot \pi \cdot r^{2}=2\pi \cdot r^{2}\cdot I/2r=u\cdot e/2T_{E}$ [62-16]

$v_{Q}=Q_{M}/e=(u/2)/T_{E}$ [62-17]

Entsprechend ergibt sich aus der elektrischen Spannung im Zusammenhang mit der zeitlichen Änderung eines Magnetfeldes $U=d\Phi _{M}/dt$ und mit der Geometrie eines elektrischen Feldes $|E|=U/d$ mit der Fläche der $A$

$v_{\Phi }=\Phi _{E0}/2\Phi _{0}=(A/d)/T_{M}$ [62-18]

als Quotient von einer Länge mit der zeitlichen Folge der magnetischen Flussquanten.

Im Zusammenhang mit Gedanken der speziellen Relativitätstheorie sei nun noch ein Kondensator betrachtet, dessen Länge $\lambda _{C}$ der Elektrodenfläche in Richtung eines sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegenden Beobachters liege. Dieser sieht diese Länge dann relativistisch verkürzt,$\lambda _{C}'=\tau _{C}\cdot {\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}$, und damit auch eine entsprechend kleinere Kapazität mit der ebenfalls verkürzten charakteristischen Zeitkonstante $\tau _{C}'$. Für den Quotienten $\lambda _{C}'/\tau _{C}'=v_{\Phi }$ gilt allerdings weiter die Gleichung [62-14] unabhängig von der Geschwindigkeit $v$. In Kombination mit einer Spule lässt sich ein Schwingkreis realisieren, der die Periodendauer $T'=2\pi {\sqrt {(L'\cdot C')}}=2\pi {\sqrt {(\tau _{L}'\cdot \tau _{C}')}}$, [3-21], in Einklang mit der Energietransformation aufweist. Die Transformation der Zeit kompensiert dann diesen Effekt, was wieder den Unterschied zwischen der Zeit als Dauer und der ablaufenden Zeit zeigt.

Das Ausbreiten eines Impulses auf einer Leitung

Im folgenden sollen elektromagnetische Wellen betrachtet werden, die sich im Raum mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Wir können den Raum auf eine Dimension beschränken, wenn sich ein elektrischer Impuls auf einer Leitung befindet. Dann bildet ein zweidimensionales Koordinatensystem mit den Achsen des Ortes x und der Zeit t die Basis unseres Modells. Die Leitung ist dann längst der räumlichen Koordinate ausgedehnt und im Bild 63-1 durch die längenspezifischen Induktivitäten L' und Kapazitäten C' dargestellt. Für eine kurze Dauer Timp sollen Impulse konstanten Stromes in die Leitung eingespeist werden. Als Folge davon wird sich ein elektromagnetischer Impuls längs der Leitung ausbreiten. Ein solches Signal besteht nicht aus den originalen, in die Leitung gegebenen Elektron-Lochpaaren, sondern aus den von ihnen ausgelösten elektromagnetischen Feldern. In Bild 63-1 sind zwei solche Impulse auf der blauen, diagonalen Linie der Lichtausbreitung dargestellt. Der zeitliche Abstand $T_{e}$ aufeinanderfolgender Elektronen hängt von der Stromstärke I ab. In der Abbildung sind Impulse gleicher Ladungsmenge Q aber mit einer um den Faktor zwei unterschiedlichen Stromstärke gezeigt, bei doppeltem Strom $I_{2}=2I_{1}$ ist die Impulsdauer $T_{imp1}=2T_{imp2}$ dann halb so lang. Die Projektion solcher Impulse auf die Zeit-Strom-Ebene ergibt eine zur Ladung $Q=I\cdot t$ proportionale Fläche. Eine entsprechende Projektion (im Bild gelb) auf die Ebene von Raum- und Stromachse enthält ergänzende Information, ist aber bei der gegenwärtigen physikalischen Sichtweise eine mit der Einheit [Am] in der Technik als magnetische Polstärke geläufige Größe, die im vorherigen Abschnitt schon als magnetische Ladung auftrat. Sie entspricht einer zweimal räumlich (über eine Fläche) integrierten magnetischen Feldstärke. Die elektrische Ladung $Q=n\cdot e$ und die magnetische Polstärke $Q_{m}=m\cdot Q_{M}$ liegen gequantelt vor, Strom-, Raum- und Zeitachse repräsentieren beliebige analoge Werte mit definiert begrenzter Genauigkeit.

Bild 63-1: Impulse auf einer Leitung mit gleicher Ladung Q verteilt auf unterschiedliche Impulsdauern $T_{imp1}=2T_{imp2}$. Die Ebene repräsentiert den Minkowski-Raum, raumartige Ereignisse sind im hellgelben Bereich, zeitartige im hellblauen Bereich, die elektromagnetischen Wellen breiten sich auf der blauen Diagonale, der Lichtlinie, aus.

Im Bild 63-2 wird diese Quantelung zunächst für die elektrische Ladung berücksichtigt. Die elektrischen Ladungen tauchen hier zwingend, wie schon im ersten Kapitel „In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig“ begründet, unregelmäßig nacheinander im zeitlichen Abstand $T_{e}$ auf, also mit einer Genauigkeit entsprechend dieser Dauer auf der Zeitachse, mit der Folge, dass auch die Stromamplitude genauso schwankt und rauscht. Die Quantelung der magnetischen Größe muss allerdings noch gesondert betrachtet werden, da die elektromagnetischen Quanten im Allgemeinen nicht in gleicher Anzahl vorliegen.

Bild 63-2: Strom eines Rechteckimpulses auf einer Leitung.

Bild 63-3: Spannung eines Rechteckimpulses auf einer Leitung.

Wenn man die Achse des Stromes gegen die einer Spannung austauscht, sind die Projektionen des Impulses auf die Zeitachse, wie Bild 63-3 zeigt, magnetischer Fluss und die Projektionen auf die Raumachse der elektrische Fluss, beide ebenfalls gequantelt. Berücksichtigt man die Quantelung der raumbezogenen Größen $Q_{M}$ und $\Phi _{E0}$, wird es möglich, die zeitlichen Abstände der Quanten e und $2\Phi _{0}$ mit den räumlichen Abständen der anderen, $Q_{M}$ und $\Phi _{E0}$, zu vergleichen. In einen solchen Vergleich geht die Impedanz der Leitung mit dem Quotienten von Induktivität L' pro Länge zu Kapazität C' pro Längeneinheit ein, $Z={\sqrt {(L'/C')}}$. Diese Impedanz ist als ein rationales Vielfaches des Klitzing-Widerstandes definiert, $Z=(m/n)\cdot R_{k}=m\cdot 2\Phi _{0}/(n\cdot e)$, mit den Grenzen der Genauigkeit, die aus den Anzahlen folgen. Für die anschließende Betrachtung sei zur Vereinfachung der Quotient $(m/n)=1$, die Impedanz der Leitung sei also unrealistischerweise der Klitzing-Widerstand. Eine zeichnerische Darstellung wäre dann schwierig, daher soll außerdem der Faktor $1/2\alpha$ auf den Faktor 2 reduziert werden. Dann sind die im elektromagnetischen Quader aufgetauchten Geschwindigkeiten $v_{\phi }$ und $v_{Q}$ vernünftig im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit c darzustellen. Bild 63-4 zeigt für unterschiedliche Ausgangsgrößen, welche Beziehungen zwischen zeitlichen und räumlichen Abständen für die vier Quanten paarweise untereinander bestehen.

Dazu sollte man noch einmal die unterschiedlichen Formen der Zeit, die in dieser Darstellung auftreten, in Erinnerung rufen. Die Achsen des Koordinatensystems sind zunächst Positionen x und die aktuelle, ablaufende Zeit t. Die im Experiment beobachteten zeitlichen Abstände zwischen den Quanten, $T_{e}$ und $T_{\Phi }$, sind dagegen Dauern, also Zeitbereiche, innerhalb derer die Quanten bei der Detektion erwartet werden. Entsprechendes gilt für die Ausdehnung der Raumbereiche der Quanten $Q_{M}$ und $\Phi _{E0}$ mit den Längen $s_{Q}$ und $s_{\Phi }$. Dies sind die Raumbereiche, die die Genauigkeit beschreiben, mit der eine Ortsangabe bei der Detektion überhaupt nur definiert ist, also mit der man ihre Position dann bestenfalls auch nur angeben kann.

Bild 63-4: Die zeitlichen Abstände einzelner Quanten ergeben in Bezug auf die räumlichen Abmessungen der elektromagnetisch komplementären Größen die beiden Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$ des elektromagnetischen Quaders.

Bild 63-4 zeigt nun, wie mit steigender Leistung, $P=U\cdot I$, die Genauigkeit, mit der man die Quanten detektierten kann, sowohl zeitlich wie räumlich zunimmt. Die zeitlichen und räumlichen Unschärfen sind einander jeweils proportional. Die Geschwindigkeiten $v_{\Phi }$ und $v_{Q}$ liefern die Proportionalitätsfaktoren. Man kann nun versuchen, durch Kombination dieser Kenntnisse das Ausbreiten mit Lichtgeschwindigkeit zu verstehen. In Bild 63-5 sehen wir links die Kombination der zeitlichen und räumlichen Abstände von Ladungen, in der Mitte die entsprechende Kombination der Flüsse. Beides zeigt, dass sich entweder die Längen bei den Ladungen oder die Dauern bei den Flüssen überlappen. Ganz rechts ist zu sehen, wie die elektrischen Ladungen und Flüsse auf der einen Seite und auf der anderen die magnetischen Ladungen und Flüsse sich passend zur Lichtgeschwindigkeit ergänzen.

Bild 63-5: Die Kombination der räumlichen Längen und zeitlichen Dauern der einzelnen elektromagnetischen Quanten innerhalb eines Impulses liefern in ihrer Kombination den Bezug zur Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen.

Wenn man nun die elektrischen und die magnetischen Größen einander angleichen möchte, geschieht dies leicht über das Verhältnis ihrer Anzahlen. Im betrachteten Fall muss natürlich berücksichtigt werden, dass in den Bildern an Stelle eines Faktors $1/2\alpha$ der Faktor 2 verwendet wird und die sich daraus ergebenden Anzahlen der elektrischen Ladung zu den Magnetflüssen auch $1/2\alpha$beträgt. Das ergibt aber genau die Verhältnisse, die zum Ausbreiten eines elektromagnetischen Impulses im Vakuum mit seiner Impedanz $Z_{0}=2\alpha \cdot R_{K}$ erforderlich sind.

Wie in Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ zu sehen war, ist die Impedanz $Z={\sqrt {(L'/C')}}$ durch das Verhältnis $(m/n)\cdot {R_{k}/2}$ der Anzahl m der magnetischen Flussquanten zur Anzahl n der elementaren Ladungen gegeben. Betrachten wir einen Bandleiter, wie ihn Bild 63-6 zeigt, so hängen die längenspezifischen Kapazitäten und Induktivitäten von der Geometrie des Leiters ab, speziell von der rechts gezeigten Form seines Querschnitts. Bei gleicher Breite hat dabei der untere gezeigte Leiter schon wegen seiner geringeren Kapazität pro Länge die höhere Impedanz. Im linken Teil des Bildes soll ein Teil des Impulses betrachtet werden, der gerade zu einem magnetischen Fluss $2\Phi _{0}$ von zwei elementaren Einheiten führt. Die Länge dieses Leitungsstücks sei b. Im realistischen Fall befinden sich dann zahlreiche feldtragende elementare Ladungen $n\cdot e$ in diesem Bereich der Leitung. Die Ladungen haltende Fläche hat die Größe $a\cdot b=A_{E}$, Bild 63-6 links oben dunkel blau. Die mit dem elektrischen Feld gefüllte Kapazität ist $C=\mu _{0}a\cdot b/d$. Darunter ist die vom Magnetfluss durchströmte Fläche $A_{M}=b\cdot d$ rot violett und die Induktivität $L=\mu _{0}\cdot b\cdot d/a$. Die Anteile elektrischer und magnetischer Energie eines Impulses sind gleich groß. Der elektrische Anteil ist hier

$E_{E}=n^{2}\cdot e^{2}/2C=n^{2}\cdot e^{2}\cdot d/(2\epsilon _{0}\cdot a\cdot b)$ [63-1]

und der magnetische

$E_{M}=(2\Phi _{0})^{2}/2L=(2\Phi _{0})^{2}\cdot a/(2\mu _{0}\cdot b\cdot d)$. [63-2]

Bild 63-6: Der Anteil eines Impulses auf einer Leitung, der zu einem Paar magnetischer Flussquanten gehört. Links oben das elektrische Feld, links unten das Magnetfeld, rechts der Querschnitt, der die Impedanz der Leitung bestimmt.

Bei elektromagnetischen Wellen ist die Energie gleichmäßig auf elektrische und magnetische Felder verteilt. Aus dieser Gleichheit folgt

$(2\Phi _{0})^{2}/e^{2}=n^{2}\cdot \mu _{0}\cdot d^{2}/(\epsilon _{0}\cdot a^{2})=n^{2}\cdot Z_{0}^{2}\cdot d^{2}/a^{2}=R_{K}^{2}$, [63-3]

so dass die Anzahl der Ladungsquanten pro magnetischem Fluss von der Form des Querschnitts der Wellenfront abhängt. Beim Ausbreiten im Vakuum ist keine Richtung ausgezeichnet, daher kann man in diesem Fall annehmen, dass die Abmessungen der elektromagnetischen Felder senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gleichmäßig mit dem Abstand zur Quelle zunehmen und deswegen $a=d$ gilt. Zwar ändert sich die Fläche des Querschnitts der Strahlung im dreidimensionalen Raum mit dem Abstand zur Strahlungsquelle, aber der Quotient $(a\cdot b)/(d\cdot b)=1$, also eigentlich nicht ein Quotient von Längen, sondern das Verhältnis der von den elektrischen und magnetischen Feldern durchströmten Flächen, ändert sich eben nicht. In diesem Falle gilt für die Anzahl n der Ladungsquanten pro Flussquant die halbe reziproke Feinstrukturkonstante $1/2\alpha$.

$n=R_{K}/Z_{0}=1/2\alpha$ [63-4]

Der elektromagnetische Impuls als Informationsträger

Im folgenden Beispiel wird einen Bandleiter betrachtet, auf dem sich ein elektromagnetischer rechteckförmiger Impuls ausbreitet. Der Bandleiter, Bild 63-11, ist durch seine charakteristischen Induktivitäten $L'=\Delta L/\Delta x$ und Kapazitäten $C'=\Delta C/\Delta x$ pro Leitungslänge charakterisiert, die Folge davon sind seine Impedanz $Z={\sqrt {(L'/C')}}$ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c=1/{\sqrt {(L'\cdot C')}}$ des Impulses, die hier mit $\mu =\epsilon =1$ dann die Lichtgeschwindigkeit ist. Zum einfacheren Verständnis des Problems wird angenommen, dass die Impedanz des Bandleiters der Klitzing-Widerstand $R_{k}$ ist. Für eine solche Impedanz müsste der Abstand d der Leiter groß im Verhältnis zu deren Breite a sein, was zu merklichen Inhomogenitäten der Felder und Abstrahlung führen würde, die bei den Betrachtungen im vorliegenden Kapitel vernachlässigt werden. Ein mehr realistischer Ansatz ergibt sich dann aus den folgenden Überlegungen für kleinere Impedanzwerte.

Bild 63-11: Ein Strom-Impuls breitet sich auf einer Leitung aus. Am offenen Ende der Leitung wird er reflektiert und nachdem der halbe Impuls reflektiert ist, wird der Schalter S1 geöffnet und das weitere Ausbreiten behindert.

Für die Dauer T1 werde einen konstanten Strom $I_{1}$ in den Leiter eingespeist, also eine Folge von Elementarladungen im mittleren zeitlichen Abstand $\tau _{1}$. Die räumliche Länge dieses Impulses ergibt sich dann zu $X_{1}=c\cdot T_{1}$ und der mittlere räumlicher Abstand der Elektronen in Laufrichtung zu $\Lambda _{1}=c\cdot \tau _{1}$. Zu jedem Elektron-Lochpaar des Stromflusses gehört dann wegen der Klitzing-Impedanz ein Paar magnetischer Flussquanten $2\Phi _{0}$, die sich dann in Kombination mit dem elektrischen Feld mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreiten. Jede dieser Einheiten hat die Energie eines Photons der Frequenz $f_{1}=1/\tau _{1}$

$E=I^{2}\cdot R\cdot T=(e/\tau _{1})^{2}\cdot R_{K}\cdot \tau _{1}=h/\tau _{1}$ [63-11]

und in Kombination mit dem zeitlichen Abstand $\tau _{1}$ dieser Einheiten ergibt sich als Produkt das Plancksche Wirkungsquantum $h$. Nach den vorherigen Diskussionen können wir also vermuten, dass mit der Menge dieser Wirkungsquanten auch die Menge an Information, die der Impuls trägt, definiert ist. Die Qualitäten der Information, $\Lambda _{1}$ die räumliche in Richtung der Ausbreitung und $\tau _{1}$ die zeitliche Auflösung, sind energieabhängig.

Wenn dieser Impuls am offenen Ende dieser Leitung nun reflektiert wird, dann sind hin und rücklaufender Strom entgegengesetzt und das Magnetfeld verschwindet. Mit der Länge $b=X_{1}/2$ vom Leitungsende bildet sich dann ein Bereich, in dem nur ein elektrisches Feld besteht. Dieser Zustand kann eingefroren werden, wenn an passender Stelle ein Schalter $S_{1}$ zum richtigen Zeitpunkt geöffnet wird, so dass das mit Ladung gefüllte Leitungsstück zwei offene Enden hat. Dieser Zustand in Bild 63-12 ist dann statisch und ohne Ableitung der Ladung von beliebiger Dauer. Zwar würde eine hin und her laufende Welle zunächst die gleichen Eigenschaften haben, wegen der endlichen Leitfähigkeit des Bandleiters würde dieser Zustand aufgrund der Dämpfung langzeitlich nicht bestehen. Die Energie des Magnetfeldes vom laufenden Impuls, die eine zeitliche Informationskomponente repräsentiert, geht in das elektrische Feld über, indem für die einzelnen Ladungsträger jetzt nur noch halb so viel Raum $(a\cdot \Lambda _{1}/2)$ wie beim laufenden Impuls vorhanden ist, die räumliche Auflösung wird verdoppelt.

Bild 63-12: Durch Öffnen des Schalters $S_{1}$ entsteht der statische Zustand ohne Magnetfeld mit der Energie nur im elektrischen Feld. Die Elementarladungen nehmen in diesem aufgeladenen Leitungs-stück nur halb so viel Raum ein wie beim sich ausbreitenden Impuls.

In diesem statischen Fall besteht seitens der Information kein Bezug zur Zeit, dafür ist gegenüber dem laufenden Impuls die räumliche Präzision und Energiedichte verdoppelt. Die Zeit wird in dieses System erst wieder integriert, wenn sich wieder ein Impuls durch Schließen eines Schalters fortbewegenden kann. Für das von der Umgebung separierte statische System existiert die Dimension Zeit nicht. Sie wird durch Betätigen eines Schalters und die damit verbundene Kopplung zum Universum getrennt oder wieder eingeführt. Da die Zeitkomponente entfällt, verliert auch die Wirkung in der Form $H=E\cdot T$ ihre Bedeutung. In diesem statischen Zustand bleiben Energie und Komponenten des Raums definiert. Die das elektrische Feld tragende Kapazität $C=\epsilon _{0}\cdot \lambda _{C}$ ist halb so groß wie die zur einzelnen Ladung gehörende Kapazität des laufenden Impulses und wurde in Gleichung [22-2] durch eine Länge $\Lambda _{C}=A/d$ charakterisiert, die der Quotient aus Elektrodenfläche geteilt durch Elektrodenabstand ist. Wenn man die Energie nun mit dem doppelten dieser Länge multipliziert, so ergibt sich

$E\cdot 2\lambda _{C}=e\cdot \Phi _{E0}=h\cdot v_{\Phi }$ [63-12]

der Mittelpunkt der oberen elektrischen Fläche im elektromagnetischen Quader.

Bild 63-13: Durch Schließen des Schalters S2 kann sich der Impuls nun über den deutlich breiteren Bandleiter ausbreiten. Bei gleicher Energie und Ladungsmenge ist die Dauer des Impulses $\tau _{2}$ soviel kürzer wie die Impedanz abgenommen und die Breite und Querschnittsfläche des Bandleiters zugenommen hat.

Solch ein Schalter, mit dem ein Ende des statischen Zustandes und damit infolge einer Änderung die Größe Zeit eingeführt werden kann, soll im Bild 63-13 nun seitlich angebracht werden, S2, so dass sich der Impuls über einen breiteren Bandleiter ausbreiten kann. Die zeitliche Länge dieses Impulses wäre dann $\tau _{2}=\Lambda _{2}/c=2a/c$ und damit in diesem Beispiel deutlich kleiner als in der Bandleitergeometrie des einlaufenden Impulses. Die Impedanz des Bandleiters 2 mit der Breite b ist kleiner als die des Bandleiters 1 mit der Breite a. Die Anzahl der virtuellen Ladungsträger bleibt unverändert, die Anzahl der magnetischen Flussquanten verringert sich um einen Faktor entsprechend der Impedanzänderung. Um den gleichen Faktor ist das Verhältnis Breite (a, b)/ Höhe d des Bandleiters größer. Das Volumen der elektromagnetischen Felder bleibt unverändert gegenüber dem ursprünglichen dynamischen Fall des einlaufenden Impulses.

Wenn man statt der hier gezeigten räumlichen Verteilung der virtuellen Ladungen diese in zeitlicher Reihenfolge sortiert und jeder Ladung damit ein magnetisches Flussquanten Paar zugeordnet, wäre dies zwar zulässig, da bei kleinen Anzahlen elektromagnetischer Quanten (Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“) Impedanzen nicht genau definiert sind, es würde die Kenntnis des Verhältnisses elektrischer zu magnetischen Quanten, die in der Impedanz enthalten ist, aber ignorieren. Hier tritt wieder die Auswahl des Experimentators in Erscheinung. In Bild 63 -13 werden die Elektronen an fünf verschiedenen Orten längs der Breite b während des Zeitraums $T_{2}$ detektiert. Geschieht diese Messung mit erhöhter Zeitauflösung über die ganze Breite des Leiters hinweg, dann werden die Elektronen nacheinander im mittleren Zeitabstand $\tau _{2E}$ detektiert. Dieser Zeitabstand unterscheidet sich von dem Abstand der detektierten Magnetflussquanten $\tau _{2M}$ im Beispiel um den Faktor fünf, $\tau _{2M}=5\cdot \tau _{2E}$, entsprechend Bild 63-14.

Bild 63-14: Wenn man sich die am Strom beteiligten virtuellen Ladungen in zeitlicher Reihenfolge vorstellt, sind bei dieser Impedanz die zeitlichen Abstände kleiner als bei den magnetischen Flussquanten.

Man kann diesen Bandleiter nun längs im Teilstücke (hier 2) aufteilen und den Impuls bei unveränderter Dauer darauf weiterlaufen lassen. Dann ist es möglich, die einzelnen Komponenten so zu addieren, Bild 63-15 rechts, dass die Spannung vervielfacht wird und die Impedanz des neuen Bandleiters wieder größer und entsprechend auch der Magnetfluss mit der größeren Fläche steigt. Teile der Bandleiter enthalten sich kompensierende Ladungen, diese und auch deren realen Leiterteile werden überflüssig, wie ganz rechts zu sehen.

Bild 63-15: Durch Auftrennen des Leiters in zwei separierte Streifen, die anschließend übereinandergelegt werden, wird die Impedanz des Leiters transformiert (*4). Dies halbiert die Stromstärke des Impulses und die Anzahl der beteiligten Ladungen, die Spannung und Anzahl der magnetischen Flussquanten wird verdoppelt.

Die Anzahl der Ladungsquanten und die der elektrischen Flussquanten nehmen entsprechend ab. Dies verringert die Stromstärke des Impulses, die Spannung und Anzahl der magnetischen Flussquanten nimmt zu. Die Energie, die Querschnittsfläche der elektromagnetischen Felder und die Dauer des Impulses bleiben erhalten. Die Querschnittsfläche und damit auch das Volumen der Felder kann man nun wiederum ändern, wenn dabei die Impedanz, die durch das Verhältnis von Breite des Leiters zum Abstand der Leiter gegeben ist, unverändert bleibt.

Bei all diesen Prozessen bleibt die Energie erhalten ebenso wie die Anzahl der Volumenstücke mit der Energie von Photonen, die Wirkungsquanten entsprechen. Für den Erhalt von Information spricht, dass die ausgeführten Prozesse umkehrbar sind. Die Anzahlen der elektromagnetischen Quanten sind dagegen keine konstanten Größen und alleine daher für die Repräsentation der Information nicht relevant. Das Produkt aus den Anzahlen elektrischer Quanten n und Magnetischer Quanten m geteilt durch die zeitliche Dauer T des informationstragenden Intervalls ist dagegen die für die Energie relevante Größe und bei konstanter Informationsmenge gilt dann

$E_{ges}=h\cdot m\cdot n/T$, [63-13]

ein Ergebnis, das mit dem im Kapitel „Die Zeit und ihre Messung“ behandelten beim Mischen beobachteten Effekt übereinstimmt.

Die Idee, den Bandleiter in Parallelleitungen aufzuschneiden, kann man nun auch auf den eingangsseitigen Bandleiter von Bild 63-11 anwenden, wie es Bild 63-16 zeigt. Jedes einzelne der im Beispiel fünf Elektronen wird in den fünf Leitungsstücken innerhalb des Zeitbereiches $T_{1}$ anzutreffen sein, allerdings mit einer zeitlichen Genauigkeit, die fünfmal ungenauer ist als in dem ersten Beispiel mit $\tau _{5}=5\cdot \tau _{1}$. Entsprechend ungenauer ist auch die räumliche Position $\Lambda _{5}$ des einzelnen Ladungsträgers. Die Impedanz der Teilleitungsstücke ist um den Faktor 5 größer und entsprechend größer damit die Anzahl der Magnetflussquanten pro Elektron. Da die Magnetflüsse der parallelen Leitungsstücke sich aneinander anschließen, bleibt der gesamte Fluss auch in der Summe der gleiche wie im Bild 63-11. Auch die raumzeitliche Genauigkeit ist in diesem Fall die gleiche wie im ersten Beispiel, da zwar die einzelnen Ladungsträger eine geringere Genauigkeit vermitteln, es aber fünf Möglichkeiten gibt, sie in Kombination anzutreffen, was diese Ungenauigkeit wieder kompensiert.

Bild 63-16: Ein Strom-Impuls breitet sich auf einer Leitung aus, die teilweise in fünf parallele Leitungen aufgetrennt wird.

Dies hier betrachtete Beispiel der Leitungen lässt anhand der Bilder vielleicht vermuten, dass das mit Feldern gefüllte Volumen am Gedankengang wesentlich beteiligt ist. Dem ist aber nicht so, wie man sieht, wenn man den Querschnitt der Leitung unter Beibehaltung der Impedanz variiert. Dann lässt sich das Volumen der Felder wesentlich ändern, solange der Quotient der Kanten des Querschnitts-Rechtecks konstant bleibt. Eine charakteristische raumzeitliche Größe ist nur die Länge in Ausbreitungsrichtung bzw. die zeitliche Dauer des Impulses. Dies ermöglicht dann auch den gedanklichen Übergang zum dreidimensionalen Ausbreiten von Wellen, bei dem der Querschnitt der Welle mit zunehmendem Abstand zur Quelle zunimmt, ohne dass der Informationsinhalt geändert wird, während die Dauer des Impulses unverändert bleibt. Die für die Wellenausbreitung charakteristische Impedanz ist durch die spezifischen Kapazitäten und Induktivitäten in Ausbreitungsrichtung gegeben $Z^{2}=L'/C'$. Beide Größen sind durch einen Quotienten von Fläche zu Flächenabstand bestimmt, $L'=\mu _{0}\cdot d\cdot x'/a$ und $C'=\epsilon _{0}\cdot a\cdot x'/d$, wobei die spezifische Länge x' in Ausbreitungsrichtung die gleiche ist. Die Impedanz ist dann

$Z={\sqrt {(L'/C')}}=Z_{0}\cdot d/a$ [63-14]

wobei der die Form des Querschnitts charakterisierende Faktor aus räumlichen Komponenten $a/d=Z_{0}/Z$ genauso dimensionslos ist wie die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante.

$2\alpha =Z_{0}/R_{K}$ [63-15]

Es liegt nun nahe, auch hier nach einem Quotienten räumlicher Dimensionen zu suchen. Für die Wellenausbreitung im freien Raum mit der Impedanz $Z_{0}$ folgt, da diese im Vakuum und in isotropen homogenen Medien unabhängig von Raumrichtungen gleich erfolgt, was gleichbedeutend mit der Aussage ist, dass die Breite und der Abstand der Felder und Leitungen identisch sind, $a=d$. In die Impedanz des Vakuums gehen dann nur die raumzeitlichen Kopplungen der Felder mit ihren Quellen ein, $Z_{0}={\sqrt {(\mu _{0}/\epsilon _{0})}}.$

Anders sieht es nun aus, wenn man einzelne elektromagnetische Quanten betrachtet. Aus dem Coulomb-Gesetz folgt ein Zusammenhang zwischen dem Umfang ue einer einzelnen Elementarladung e und der ihr zugeordneten Energie EE, den man mit Größen des elektromagnetischen Quaders in Beziehung setzen kann.

$u_{e}=e^{2}/(2\epsilon _{0}\cdot E_{E})=e\cdot \Phi _{E0}/2E_{E}=\lambda _{C}$ [63-16]

Fragt man nach dem Umfang einer Leiterschleife für zwei elektromagnetische Flussquanten, so ergibt sich entsprechend

$\lambda _{L}=Q_{M}\cdot 2\Phi _{0}/2E_{M}$ [63-17]

Diese Längen, die Kapazität und Induktivität charakterisieren, finden sich beim Impuls auf der Leitung, Bild 63-17 links, in deren Abmessungen wieder: $\lambda _{C}=b\cdot a/d$, $\lambda _{L}=b\cdot d/a$. Das elektrische Feld steht senkrecht auf der horizontalen gelben Fläche $b\cdot a$, das Magnetfeld ist senkrecht auf der vertikalen violetten Fläche $b\cdot d$ und die Fläche des Leitungsquerschnitts ist grün $a\cdot d$. Der Quotient dieser Längen $\lambda$ ist bei gleicher Größe von elektrischer und magnetischer Energie

$\lambda _{L}/\lambda _{C}=d^{2}/a^{2}=Q_{M}\cdot 2\Phi _{0}/(e\cdot \Phi _{E0})=R_{K}^{2}/Z_{0}^{2}=(1/2\alpha )^{2}$, [63-18]

was den Zusammenhang zwischen den Abmessungen, Impedanzen und der Feinstrukturkonstante $\alpha$, Bild 63-17 rechts, für diesen speziellen Fall zeigt.

Bild 63-17: Links die Größe eines elektromagnetischen Feldpakets aus elementaren Quanten im Impuls bei einer Leitung mit der Impedanz des Klitzing-Widerstandes $R_{K}$. Rechts der Faktor der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $\alpha$ im elektromagnetischen Quader.

Die Pseudolängen $\lambda _{C}=C/\epsilon _{0}$ und $\lambda _{L}=L/\mu _{0}$o haben durchaus einen Bezug zu den elektromagnetischen Naturkonstanten, in ihrem Quotienten kürzt sich dieser im üblichen Maßsystem offensichtlich weg. Im elektromagnetischen Quader tauchen die Naturkonstanten $\epsilon _{0}$ und $\mu _{0}$ als die Verknüpfungen von Polen mit Flüssen auf, um von den Ecken des Quaders mit den elektromagnetischen Quanten in die Mitte der horizontalen Flächen zu gelangen. In der Kombination der Quellen mit den Flüssen stehen jetzt die elektrischen (oben) und die magnetischen (unten) Komponenten senkrecht übereinander, jeweils um den Faktor zweimal Feinstrukturkonstante $2\alpha$ vom Zentrum des Quaders $h\cdot c$ (Plancksche Konstante mal Lichtgeschwindigkeit) getrennt. Bei gleicher Ausdehnung $b$ der elektrischen und magnetischen Felder in Ausbreitungsrichtung der Welle liefert die Impedanz (hier $R_{K}$) das Verhältnis der Länge der elektrischen Feldlinien $d$ zu dem der äquivalenten magnetischen Feldlinien $a$ und umgekehrt die Breite und Fläche der Felder jeweils senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Mit der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante $\alpha$ wird also die Asymmetrie bei der räumlichen Verteilung der elektrischen und magnetischen Felder der elektromagnetischen Quanten charakterisiert, die sich aus den unterschiedlichen Kopplungen für magnetische und elektrische Pol-Fluss Kombinationen ergibt.

Den besprochenen Transformationen kann man nun noch weitere hinzufügen, indem man anstatt des Vakuums Materie zwischen die Leitungen einbringen. Die Folge davon ist, dass die Abmessungen entsprechender Kapazitäten und Induktivitäten verringert sind und die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Impulses kleiner wird. Erhalten bleibt die zeitliche Dauer des Impulses $T_{x}$.

Wenn man sich nun bemüht, in dem Impuls Informationseinheiten zu finden, dann bieten sich bei der Leitung mit der Klitzing-Impedanz die Quader an, die durch Elementarladung und magnetische Flussquanten in Kombination mit ihrem zeitlichen Abstand auftreten und die Energie von Photonen haben. Bild 63-18 zeigt dies links für eine Leitung mit der Klitz-Ingimpedanz im Vergleich zu einem Bandleiter wesentlich niedrigerer Impedanz, rechts. Eine solch niedrigere Impedanz kann man durch Parallelschalten von Klitzing-Widerständen erreichen, entsprechend Bild 63-15 könnte man die Reihenschaltung für größere Widerstände realisieren.

Wie eingangs beim Messen von Strom diskutiert, ist die Information nicht in den registrierten einzelnen Quanten enthalten, sondern in ihren Beziehungen untereinander. Diese wählt der Experimentator, z.B. die Impedanz der Leitung. Damit ist das Zeitintervall $T$ zwischen den bei der Messung aufeinanderfolgenden Ladungen für den Strom $I=\Delta Q/\Delta t$ und Flussquanten für die Spannung $U=\Delta \Phi /\Delta t$, dies entspricht im Bild 63-18 der Länge $b=c\cdot T$ pro Elementarquant, ein wesentlicher Anteil dieser Information. Die Dauer $T$ unterliegt den oben diskutierten Schwankungen, die auf der begrenzten Informationsmenge beruhen. Bei der Leitung mit der Klitzing-Impedanz würde man daher eine zeitliche Folge der Informationsbausteine zur Mittelung heranziehen, die zu einem festen Zeitpunkt auch räumlich zur Verfügung stehen. Bei der niederohmigen Leitung rechts im Bild 63-18 stehen solche Bausteine zeitlich parallel zur Verfügung und man summiert diese Reihen in diesem Koordinatensystem zunächst eindeutig räumlich.

Bild 63-18: Die Information tragenden Pakete innerhalb eines elektromagnetischen Impulses. Links die Leitung mit der Klitzing-Impedanz, rechts mit einem Achtel davon.

Diese Informationsblöcke enthalten nun als Produkt von Ladung $e$ und magnetischem Fluss $2\Phi _{0}$ das Wirkungsquantum $h=2\Phi _{0}\cdot e$, die Basis für die Abzählbarkeit der Informationspakete. Ihre Leistung $P=U\cdot I=h/T^{2}$ in den daraus resultierenden elektromagnetischen Feldern ergibt sich mit dem Quotienten, der Impedanz $R_{k}=2\Phi _{0}/e$, und dem die Genauigkeit repräsentierenden Abstand der Quanten $X=b=c\cdot T$ in ihrer raumzeitlichen Folge. Als Quotient aus Wirkung und Zeitintervall ergibt die Energie $E=h/T$ (genauso wie der Impuls $p=h/X$) das Maß der Qualität (Genauigkeit) der Information.

Was passiert nun, wenn wie oben diskutiert, der Impuls so reflektiert wird, dass sich die Magnetfelder weginterferieren ? Damit verschwindet ja einiges, was die Informationsblöcke im Bild 63-18 auszeichnete. Dann liegt ein aufgeladener Kondensator wie in Bild 63-19 vor, dessen Energie wir in Abhängigkeit von der Ladungsmenge kennen. Kommen wir nun auf die Idee des Kapitels „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ zurück, bei der Impedanzen als Quotient von Spannungen und Strömen berechnet wurden, wenn diese auf gequantelte elektromagnetische Einheiten zurückzuführen sind. Eine Energie ist nun zu berechnen, indem man das Produkt aus Spannung und Strom, die Leistung, mit dem Zeitintervall multipliziert. Für den Widerstand und damit auch für eine Leitungsimpedanz ergibt sich:

$E=T\cdot [d\Phi /(jdt)]\cdot [dQ/jdt]=T\cdot 2\Phi _{0}\cdot [\Delta m/(j\Delta t)]\cdot e\cdot [\Delta n/j\Delta t]=T\cdot h\cdot \Delta n\cdot \Delta m/(j\Delta t)^{2}$ [63-19]

und für die Impedanz des Klitzing-Widerstandes, wenn die Anzahlen $(\Delta n=\Delta m=1$) eins sind, zeigt sich

$E=h/T=h\cdot f$ [12-12]

Entsprechend gilt dann beim Kondensator

$E=T\cdot [Q(t)/C]\cdot [dQ/jdt]=T\cdot n(t)\cdot (e/C)\cdot \Delta n\cdot (e/j\Delta t)$ [63-20]

Und wenn man die oben eingeführten Abkürzungen für den Kondensator einsetzt, dann ist die Energie für einzelne Elektronen

$E=\Delta n\cdot e\cdot n\cdot \Phi _{E0}\cdot (d/ab)\cdot T/j\Delta t$ [63-21] -> $(n=\Delta n=1)$ -> $E_{1}=h\cdot c/2b=h/2T$ [63-22]

Also auch hier findet man wieder die Plancksche Konstante und einen Bezug zur Zeit über die Abmessungen. Die Zeit 2T entspricht dann der Dauer eines über die Strecke b/2 hin und her laufenden Impulses als Repräsentant einer stehenden Welle, die in diesem Fall das Magnetfeld auslöscht. In diesem statischen Fall müssen die gleichen Überlegungen natürlich auch gelten, wenn die Seiten a -> a' und b -> b' vertauscht werden, wie dies mit der Beschriftung links und rechts an dieser Kapazität in Bild 63-19 angedeutet sein soll. Angepasst an die Menge der Ladungen und Geometrie des Kondensators muss man das Volumen zwischen den Elektrodenplatten mit solchen Informationsblöcken füllen. Entsprechend umgekehrtes kann man sich für die stromführende Leiterschleife mit Magnetfeld überlegen, bei der das elektrische Feld fehlt.

Bild 63-19: Ein elektrostatisch aufgeladener Kondensator als Teil eines Bandleiters gedacht, auf dem eine Welle am offenen Ende reflektiert wird. Für die räumlichen Dimensionen gilt $d/a=1/2\alpha$

Der elektromagnetische Quader gestattet also zum einen eine geometrisch einfache Möglichkeit, verschiedene Kombinationen von Naturkonstanten geschlossen darzustellen und in Formeln zu übertragen. Andererseits liefert er uns einen Bezug zur Information. Die hier gezeigte Konstruktion basiert ja auf der Idee, aus den elektromagnetischen Quanten Informationsbezüge zu vereinen. In umgekehrter Richtung ist es mit Hilfe der Impulse auf Leitungen auch möglich, Eigenschaften von physikalisch relevanten Informationseinheiten zu veranschaulichen.

Gibt es Analogien zum elektromagnetischen Quader ?

Die Struktur des elektromagnetischen Quaders, die sich dort in den Beziehungen zwischen vier ausgangsseitigen Quanten zeigt, ist auch auf andere physikalische Probleme übertragbar. Im ersten Schritt sei dabei der elektromagnetischen Schwingkreis aus Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ betrachtet, bei dem Kopplungen statt über reine Naturkonstanten durch die Induktivität und Kapazität seiner Elemente erfolgen. Information und Energie werden nicht mehr im Raum verbreitet, sie pendeln zwischen Induktivität und Kapazität hin und her. Damit entfällt im Koordinatensystem der räumliche Anteil, der für Wellen charakteristisch ist.

Als folgender Schritt soll dann der Übergang zu mechanischen Systemen erfolgen, ein System aus Masse und Feder liefert genau so einen harmonischen Oszillator wie der LC-Schwingkreis. Die schon in Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ benutzte elektromechanische Analogie, bei der die Kraft einer Spannung entspricht, wird hier einfach angewendet. In einem nächsten Schritt soll dann wieder ein räumlicher Koordinaten-Anteil eingefügt werden, mit dem Ziel, etwas Allgemeines über mechanische Systeme zu erkennen.

Der Quader in Bild 64-1 zeigt die Komponenten, die in Analogie zum elektromagnetischen Quader betrachtet werden. In der ganz linken Spalte der Tabelle 64-1 sind die entsprechenden Buchstaben zu finden und rechts daneben dann die Komponenten des elektromagnetischen Quaders, dann die des Schwingkreises, des Masse-Feder Pendels und der versuchten Verallgemeinerung des mechanischen Systems.

Bild 64-1: Die Analogie zum elektromagnetischen Quader mit ihren Komponenten.

Beim LC-Schwingkreis beobachten wir die Schwingung zwischen den elektrischen und magnetischen Feldern aufgrund von Ladungen auf dem Kondensator oder alternativ eines magnetischen Flusses in der Spule. Durch die Größe des Kondensators C ist die elektrostatische Energie beim Aufladen mit einem elementaren Ladungspaar gegeben und damit der Mittelpunkt der oberen Fläche. Entsprechend koppeln Magnetfluss und Induktivität zur Größe der Stufen der Energie des Magnetfeldes und bestimmen den Mittelpunkt der unteren Fläche. Das Produkt der Kapazität und der Induktivität und ihrer im Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ erwähnten charakteristischen Zeitkonstanten ist für die Größe der Eigenfrequenz verantwortlich. Ihr Quotient bestimmt eine Impedanz $Z_{S}={\sqrt {(L/C)}}$. Bild 64-2 zeigt diese und die daraus folgenden übrigen Größen.

Tabelle 64-1: Analogien zum elektromagnetischen Quader (EMQ)

	EMQ	[]	LC	[]	Masse-Feder	[]	Schallwelle *x	[]
a	e	As	e	As	Θ=F/fk	m	Θ	m
b	2Φ0	Vs	2Φ0	Vs	Π=M·v	Ns	Π	Ns
c	ΦE0	Vm	U=ΦE0/λC	V	F	N	E	Nm
d	QM	Am	I=QM/λL	A	v/2	m / s	A/t	m²/s
a	e²	A²s²	e²	A²s²	Θ²=h/2ZM	m²	Θ²	m²
b	(2Φ0)²	V²s²	(2Φ0)²	V²s²	Π² = h·ZM/2	N²s²	Π²	N²s²
c	ΦE0²	V²m²	U²	V²	F ²	N²	E ²	N²m²
d	QM²	A²m²	I²	A²	v²/4	m²/s²	A²/t²	m4/s²
e	ΦE0·e	VAms	ΦE=e·U=e²/2C	VAs	Epot=F·Θ=fk·Θ²/2	Nm	E·Θ=F·A/2	Nm²
f	QM2Φ0	VAms	EM=I·2Φ0=(2Φ0)²/2L	VAs	Ekin=Π·v= Π²/2M=Mv²/2	kg m²/s²=Nm	E·x=Π·v·x=x·M·v²/2	Nm²
g	QM·e	A²ms	e·I	A²s	v·Θ	m²/s	V/t=v·A=ΘA/t	m³/s
j	ΦE02Φ0	V²ms	U·2Φ0	V²s	F·P =F·M·v	N²s	E · P	N²ms
h	2Φoe =h	VAs²	e·2Φo=h	VAs²	h=Q·Π	Nms	h=Q·Π	Nms
k	ΦE0QM=c²·h	VAm²	P=U·I=ΦE0·QM/(λL·λC)	VA	F·v=P=h·f²	Nm / s	P·A=P·λ²=h·vS²	Nm³/s
m	h·c	VAms	h·f= E	VAs	hf=E=(h·P)1/2	Nm	E·x	Nm²
			T=(TETM)1/2
n	c	m/s	f=1/T =(U·I/ h)1/2	Hz	f=(fk/4M)1/2 =(F·v/h)1/2	Hz	λ·f'=vS=(F·x/(4M))1/2	m/s
o	Z0	V/A	ZS=(L/C)1/2(U2Φo/eI)1/2	V/A	ZM=(M·fk)1/2=(ΠF/Θv)1/2	Ns/m	(fk·M)1/2=(ΠF/(Θv))1/2	Ns/m
p	(2α)=e·ΦE0/2Φ0QM	1	EE/EM=(U·e/ I·2Φ0)1/2	1	Epot/Ekin=F·Θ/(Πv)	1	E·Θ·t/(A·Π)=vΦ/vQ	1
q	1/ε0	Vm/As	1/2C=1/(2ε0·λC)	V/As	1/2ng=fk/2	N / m	F/2=fk·x	N
r	1/μ0	Am/Vs	1/2L=1/(2μ0·λL)	A/Vs	1/2M	m/Ns²=1/kg	λ/2M =A/(t·Π)= v²/F	m²/Ns²=m/kg
			1/f²=TE·TM
s	vQ	m/s	I/e=1/TE	Hz	v/Q	Hz	A/(t·Q)	m/s
t	vΦ	m/s	U/2Φ0=1/TM	Hz	F/Π	Hz	E/Π	m/s
w	RK	V/A	RK=2Φ0/e	V/A	Π/Θ=Mv/x	Ns/m	Π/Θ= M/T	Ns/m
z	ZMR	V/A	ZMR=U/I=L/(RK·C)	V/A	F/v=H/A	Ns/m	E/(A/t)=H/A	Nms/s²

Bild 64-2: LC-Schwingkreis

Durch die Vorgabe der Kapazität $C$ und der Induktivität $L$ ist in Kombination mit dem Planckschen Wirkungsquantum h die mittlere Ebene vorgegeben. Auf der Basis dieser Dreiergruppe existiert daher das elektromagnetische Schwingungsquant, das Photon. Es begegnet uns mit seiner Energie $E=h\cdot f$ im Mittelpunkt der Fläche. Es gibt nun noch eine weitere Kombination von drei elementaren Größen, Elementarladung, magnetisches Flussquant und Plancksches Wirkungsquantum. Diese Kombination liefert den Klitzing-Widerstand RK, der nun in einem Verhältnis zur Impedanz aus Induktivität und Kapazität steht. Die Größen von Induktivität und Kapazität sind im praktischen Fall frei wählbar. Daraus folgt dann, dass für gleiche Energien der elektrischen und magnetischen Felder während des Schwingungsvorgangs je nach Wahl von $Z_{S}={\sqrt {(L/C)}}$ unterschiedliche Anzahlen elementarer Ladungen und Flussquanten vorliegen. Die im elektromagnetischen Quader existierende Feinstrukturkonstante wird hier also durch ein Impedanzverhältnis $R_{K}/Z_{S}$ ersetzt, mit dem das Verhältnis der beteiligten Anzahlen elektrischer und magnetischer Quanten vorgegeben wird. Diese Feststellung gestattet wiederum, die Feinstrukturkonstante im elektromagnetischen Quader aus einem anderen Blickwinkel zu betrachten. Weiterhin ist in diesem LC-System die Größe Raum ausgeklammert. Sie ist in der Kapazität und der Induktivität versteckt, für das vorliegende Problem einer lokalen Schwingung interessiert sie nicht. Daher gibt es auch keine Geschwindigkeiten, nur die Zeit und elektromagnetische Größen sind präsent.

Im originalen elektromagnetischen Quader sind die in Kapitel „Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz“ benannten Spannungen [22-4] und Ströme [22-3] als Kombination von gequantelten zeitabhängigen und raumabhängigen Anteilen, links die zeitabhängigen wie hier auch und rechts die raumabhängigen Basisgrößen zu finden. Die raumbezogenen Anteile fehlen an dieser Stelle natürlich, während Ladungen pro Zeit und Flussquanten pro Zeit eine wichtige Rolle für den zeitlichen Verlauf im Schwingkreis spielen.

Bild 64-3: Masse-Feder-Pendel

Aus der elektromechanischen Analogie folgt dann Bild 64-3, wenn man mechanische Schwingungen betrachtet. Kapitel „Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen“ benutzte die Analogie der Phononen zu den Photonen. Dabei zeigten sich Ladung und magnetisches Flussquant entsprechend Amplitude und Impuls im mechanisch schwingenden System. Kondensator (verzögert Spannungsänderungen) und Spule (verzögert Stromänderungen) sind durch die raum- und zeitlichen Trägheiten von Feder und Masse ersetzt. Den elektromagnetischen Energien entsprechen die potentielle und die kinetische Energie. Strom und Spannung werden zu Geschwindigkeit und Kraft. Auch hier ist der Raum einer Wellenausbreitung ausgeblendet. Es gibt aber eine Geschwindigkeit aus der Kombination von Auslenkung und zeitlichem Schwingungsablauf. Diese hat nichts mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Wellen zu tun. Und Masse und Feder liefern auch eine Impedanz $Z_{M}={\sqrt {(M\cdot f_{k})}}$.

Bild 64-4: Mechanischer Quader

Wenn nun wieder die Einheit der Länge zur Raumzeit beiträgt, wie es im elektromagnetischen Fall zu Beginn realisiert war, dann zeigt sich Bild 64-4 für das mechanische Problem. Links sind weiterhin Auslenkung und Impuls zum Wirkungsquant vereint. Rechts davon finden wir gegenüber dem Masse-Feder-Pendel alle Größen um eine Raumkomponente erweitert. Das Produkt aus Wellenlänge und Frequenz ist die Schallgeschwindigkeit.

In jedem Falle ist die Existenz gequantelter Größen gekoppelt an die Existenz des Planckschen Wirkungsquantums. In unserer Vorstellung der mechanischen Welt sind Massen und Federkonstanten beliebige nicht gequantelte Größen, genauso wie Spulen und Kondensatoren in der elektromagnetischen. Dies zeigt insbesondere bei der Sommerfeldschen Feinstrukturkonstante, das eine solche freie Wahl für das Beschreiben des Universums nicht existiert. Im elektromagnetischen Fall gibt es ein zweites Quant, zum Beispiel die Elementarladung, womit dann in Kombination mit den Kopplungsgrößen auch die übrigen drei erwähnten elektromagnetischen Quanten festgelegt sind.

In der eben gezeigten elektromechanischen Analogien tritt dem Masse als träge Masse und im Quader als Multiplikationsfaktor auf. Vergleicht man das Coulomb-Gesetz mit dem Gravitationsgesetz, so entspricht die dort schwere Masse der elektrischen Ladung und die Gravitationskonstante entspräche der Dielektrizitätskonstante. Wenn man nun in Analogie zum elektromagnetischen Quader mit dem Planckschen Wirkungsquantum $h$ startet und um Lichtgeschwindigkeit $c$ und Gravitationskonstante $\Gamma$ ergänzt, erhält man eine Masse analog zur Planckmasse. Vielleicht lohnt es sich ja, an dieser Stelle mit weiteren Gedanken anzusetzen, was im Kapitel „Information, Raum und Zeit“ versucht wird.

Anmerkungen

Kapitelnavigation - Die abzählbare Physik

In welcher Form ist Information für physikalische Aussagen wichtig ? | Die digitale Struktur von Strom, Spannung und Impedanz | Lokalisierte Photonen, der LC-Schwingkreis und Phononen | Die Zeit und ihre Messung | Das Problem physikalischer Messungen am Beispiel der Bildaufnahme bei Foto und Film | Der elektromagnetische Quader - Die Basis von zehn Naturkonstanten | Information, Raum und Zeit | Dank