Planimetrie
Konstruktionen der ebenen Geometrie
RauteDS.svg
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ElementeBearbeiten

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Es gibt Geometrie in der Ebene (2D) und im Raum (3D). Planimetrie ist die Geometrie in der Ebene. Die fundamentalen Elemente der Geometrie sind Punkt, Gerade, Strecke, Strahl, Winkel und Ebene.

  • Als Punkt wird in der Geometrie ein Objekt ohne Ausdehnung verstanden. Siehe Punkt
  • Eine Gerade ist eine unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie konstanter Ausrichtung. Siehe Gerade
  • Eine Strecke ist ein von zwei Punkten begrenzter Teil einer Gerade. Siehe Strecke
  • Ein Strahl ist eine von einem Punkt einseitig begrenzter Teil einer Gerade. Siehe Strahl
  • Die Ebene ist ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt. Siehe Ebene
  • Ein Winkel ist ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird. Siehe Winkel

GrundkonstruktionenBearbeiten

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Hier werden wichtige Grundkonstruktionen der ebenen Geometrie erläutert. Es geht hier um Konstruktionen mit klassischen Mitteln, also nur Zirkel und (unskaliertes) Lineal.

Aufbau des SystemsBearbeiten

Voraussetzung für alle Konstruktionen sind die beiden Elementarkonstruktionen "Strecke abtragen" und "Winkel antragen", deren Funktionsweise sich direkt erschließt. Darauf bauen die beiden wichtigsten Grundkonstruktionen "Halbieren einer Strecke" und "Halbieren eines Winkels" auf. Diese wiederum sind die Basis für die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen.

ElementarkonstruktionenBearbeiten

Abtragen einer Strecke auf einer GeradenBearbeiten

Gegeben: Eine Strecke AB und eine Gerade mit einem Punkt P darauf.
  1. Mit dem Zirkel in Punkt A einstecken und den Abstand zu B einstellen.
  2. Den Zirkel in Punkt P einstecken und die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden zeichnen.
  3. Es gibt zwei (!) Möglichkeiten.


Antragen eines Winkels in einem Punkt an eine GeradeBearbeiten

Winkelantragen.svg
Gegeben: Ein Winkel α und eine Gerade mit einem Punkt P darauf.
  1. Mit dem Zirkel in den Scheitelpunkt S des Winkels einstecken und einen Bogen durch beide Schenkel zeichnen (Punkte A und B).
  2. Den gleichen Bogen auch um den Punkt P der Geraden zeichnen. Es ergibt sich Punkt C .
  3. Den Zirkel auf den Abstand der beiden Punkte A und B einstellen und einen Bogen um C zeichnen.
  4. Die Schnittpunkte der beiden Kreise um P und C ergibt den möglichen Punkt D auf dem anderen Schenkel des Winkels.
  5. Es gibt durch zweifache Spiegelung vier (!) Möglichkeiten.


Grundkonstruktionen erster StufeBearbeiten

Halbieren einer Strecke (Mittelsenkrechte, Streckensymmetrale)Bearbeiten

DivideAStraightLine.svg
Gegeben: Eine Strecke AB
  1. Zeichne um den Punkt A einen Bogen mit einem Radius größer als AB / 2 .
  2. Zeichne um den Punkt B einen Bogen mit dem gleichen Radius.
  3. Verbinde die Schnittpunkte der Bögen( P und Q) mit einer Geraden. Diese halbiert AB in Punkt M und ist senkrecht zu AB.


Halbieren eines WinkelsBearbeiten

Winkelhalbierung.svg
Gegeben: Ein Winkel α
  1. Zeichne um den Scheitelpunkt S einen Bogen mit beliebigem Radius. Die Schnittpunkte sind A und B .
  2. Zwei weitere Bögen mit je ausreichendem Radius schneiden sich in einem weiteren Punkt C.
  3. Die Gerade durch S und C halbiert den Winkel.
Hinweis

Die beiden Bögen um die Punkte A und B müssen den gleichen Radius haben. Dieser darf jedoch vom Radius des Bogens um S abweichen. Je größer die gewählten Radien, um so genauer wird die Konstruktion.


Grundkonstruktionen zweiter StufeBearbeiten

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden (Fällen des Lotes)Bearbeiten

GetThePerpendicular.svg
Gegeben: Eine Gerade g und ein Punkt P außerhalb der Gerade.
  1. Zeichne um zwei verschiedene Punkte (A , B) der Gerade jeweils einen Bogen vom Punkt P auf die andere Seite.
  2. Der andere Schnittpunkt ist die Spiegelung P' des Punktes P an der Geraden.
  3. Verbinde die Punkte mit einer Geraden. Diese ist das Lot von P auf die Gerade g mit dem Fußpunkt F.
Hinweis

Die in vielen Lehrbüchern dargestellte Konstruktion mit zwei gleichen Radien ist mathem. nicht notwendig und nur sinnvoll, wenn der Punkt so nahe an der Gerade liegt, dass die Konstruktion zu ungenau wird. Siehe dazu auch unter "Errichten einer Senkrechten" auf einem Punkt.


Errichten einer Senkrechten zu einer Geraden (Errichten des Lotes)Bearbeiten

SenkrechteErrichten.svg

Linke Bildhälfte:

Gegeben: Eine Gerade g und ein Punkt M auf der Gerade.
  1. Markiere mit dem Zirkel von dem Punkt M aus zwei weitere Punkte mit gleichem Abstand zu M auf der Gerade (A, B)
  2. Zeichne um diese Punkte jeweils einen Kreis mit größerem Radius als zuerst mit dem Zirkel abgetragen.
  3. Die Gerade durch M und den Schnittpunkt S der Kreise ist die Senkrechte s zu g im Punkt M und die Mittelsenkrechte der Stecke AB.

Rechte Bildhälfte:
Dieses Verfahren ist auch geeignet, Das Lot auf eine Gerade zu fällen, wenn der geg. Punkt nahe an der Gerade liegt.

Parallele in vorgegebenem AbstandBearbeiten

ParalleleAbstand.svg
Gegeben: Eine Gerade g1 und ein Abstand d.
  1. In zwei beliebigen aber verschiedenen Punkten P und Q der Gerade g1 werden die Senkrechten s1 und s2 errichtet.
  2. Trage auf den Senkrechten ( auf einer Seite der Gerade g1) jeweils den Abstand d ab.
  3. Die Gerade g2 durch die so gefundenen Punkte R und S ist zu g1 parallel und hat den Abstand PR = QS = d.
Hinweis

Je länger die Strecke PQ gewählt wird, desto genauer kann gezeichnet werden.


Parallele durch einen vorgegebenen PunktBearbeiten

ParallelePunkt.svg
Gegeben: Eine Gerade g1 und ein Punkt P außerhalb von g1.

Möglichkeit 1Bearbeiten

  1. Zeichne einen Bogen mit einem Radius r um P, welcher die Gerade g1 in einem Punkt Q schneidet.
  2. Trage ab Q den Radius r auf der Geraden ab (Punkt R).
  3. Zeichne einen Bogen mit dem Radius r um R, welcher den ersten Bogen in Punkt S schneidet.
  4. Die Gerade durch S und P ist die Parallele.


Möglichkeit 2Bearbeiten

01-Parallele durch einen Punkt.svg
  1. Zeichne einen unterbrochenen Kreisbogen um den auf der Geraden g1 gewählten Punkt M durch den Punkt P mit dem Radius r1. Er schneidet die Gerade g1 in den Punkten A und B.
  2. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius r2, entspricht dem Abstand |AP|, um den Punkt B bis er den Kreisbogen um M in C schneidet.
  3. Die Gerade durch P und C ist die Parallele.


Möglichkeit 3 mit kollabierendem ZirkelBearbeiten

01-Paralle durch Punkt, kollabierender Zirkel.svg
  1. Zeichne einen Kreis um den auf der Geraden g1 gewählten Punkt M durch den Punkt P. Er schneidet die Gerade g1 im Punkt A.
  2. Zeichne einen Kreis um den Punkt P durch den Punkt M.
  3. Zeichne einen Kreis um den Punkt A durch den Punkt M. Er schneidet den Kreis um P in B.
  4. Die Gerade durch P und B ist die Parallele.


WeblinksBearbeiten


DreieckskonstruktionenBearbeiten

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BezeichnungenBearbeiten

mittig

  • Angaben in kursiver Schrift dienen der Verbesserung der Genauigkeit und sind nicht zwingend notwendig.


Die fünf StandardkonstruktionenBearbeiten

Konstruktion 1 (SSS)Bearbeiten

DreieckSSS.svg
Gegeben: Die drei Seiten a, b und c
Notwendige Bedingung:Die Differenz von zwei Seiten (Betrag) muss kleiner sein als die dritte Seite (Dreiecksungleichungen).
  1. Trage auf einer Geraden eine der Seiten ab. Am besten die längste Seite.
  2. Zeichne um einen Endpunkt einen Bogen mit dem Radius, welcher einer anderen Seite entspricht.
  3. Zeichne um den anderen Endpunkt einen Bogen mit dem Radius, welcher der dritten Seite entspricht.
  4. Die beiden Schnittpunkte zeigen den dritten Eckpunkt für die beiden spiegelsymmetrischen Lösungen auf.
Hinweis

Sofern auf der Zeichenfläche keine der Seiten eine gegebene Position hat, sollte mit der längsten Seite begonnen werden. Dies ermöglicht das genaueste Ergebnis.


Konstruktion 2 (SWS)Bearbeiten

DreieckSWS.svg
Gegeben: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel.
Beispiel
Gegeben: a, b, γ
  1. Zeichne die Strecke AC = b
  2. Trage am Endpunkt C den Winkel γ an.
  3. Trage auf dem freien Schenkel (Gerade g) die Strecke a ab. Man erhält den dritten Eckpunkt B.
  4. Verbinde die Punkte A und B miteinander.


Konstruktion 3 (WSW)Bearbeiten

DreieckWSW.svg

Gegeben: Eine Seite und die anliegenden Winkel.

Beispiel
Gegeben: c, α und β
  1. Trage auf einer Geraden die Seite c ab.
  2. Trage an die Enden der Seite c auf einer Seite der Geraden die Winkel β und α an.
  3. Verlängere ggf. die freien Schenkel (f und g) der Winkel bis sie sich (im Punkt C) schneiden.
Notwendige Bedingung: Die Summe der beiden Winkel ist kleiner als der gestreckte Winkel.


Konstruktion 4 (SWW)Bearbeiten

DreieckSWW.svg

Gegeben: Eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel.

Beispiel
gegeben: a, β und α.
  1. Trage auf einer Geraden die Seite a ab.
  2. Trage an einem Ende der Seite a (Ecke B) den Winkel β an (Gerade g).
  3. Trage in Punkt B an den freien Schenkel den Winkel α nach außen an. Man erhält den Winkel α + β
  4. Der Winkel zwischen dem so gewonnenen weiteren freien Schenkel und der Gerade, auf der sich die Seite a befindet, ist der Winkel 180° - α - β = γ.
  5. Trage den Winkel γ an der Ecke C an.
  6. Verlängere ggf. die freien Schenkel der Winkel β und γ bis sie sich (im Punkt A) schneiden.

1. Alternativ ab 4.: Verschiebe die sich durch den Winkel α ergebende Strecke von Punkt B parallel nach Punkt C. Der sich ergebende Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Geraden g (siehe 2.) ergibt Punkt A.

2. Alternative: Über die Winkelsumme im Dreieck von 180° kann man den dritten Winkel γ = 180° - α vorab berechnen. Dann kann man das Dreieck auch nach Konstruktion 3 (WSW) konstruieren.


Konstruktion 5 (SSW)Bearbeiten

Gegeben: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel.

Beispiel
gegeben: a, b und β.
  1. Trage auf einer Geraden diejenige Seite ab, an der der gegebene Winkel anliegt, im Beispiel also die Seite a.
  2. Trage an der Ecke B der Seite a den Winkel β an und verlängere den freien Schenkel.
  3. Zeichne um den anderen Endpunkt der Seite a, also um die Ecke C, einen Bogen mit dem Radius der Seite b.
  4. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem freien Schenkel von β liefert den dritten Eckpunkt A.
Hinweis
Je nachdem, wie lang die beiden Seiten sind und wie groß der Winkel ist (spitz oder stumpf), gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen, muss der Winkel der größeren Seite gegenüber liegen.

Weitere KonstruktionenBearbeiten

Konstruktion 6 (HHH)Bearbeiten

Gegeben: Die drei Höhen ha, hb und hc

Diese Konstruktion ist relativ umfangreich und daher auf einer eigenen Seite dargestellt. Siehe dazu unter Dreieck aus drei Höhen.


Dreieck aus drei HöhenBearbeiten

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Dreieckskonstruktion 1. MöglichkeitBearbeiten

Skizze unmaßstäblich

Vorüberlegung:

Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen: Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich. Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.

(1)  

und damit

(2)  

Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von aus auf der Seite die Höhe und auf der Seite die Höhe antragen (siehe Skizze) nach (2) als Verhältnisgleichung ist

(3)     und   (3a)  

und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie parallel zu laufen.

Skizze unmaßstäblich

Weiter ist dann nach dem Strahlensatz

(4)  

(4a)  

(3a) in (4a) eingesetzt:

(4b)  

Damit sind für das Hilfsdreieck die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.

Die eigentliche Dreieckskonstruktion ist nun relativ einfach:

Man konstruiert das Dreieck aus den Seiten , und . Auf die Seite fällt man ein Lot zu Punkt und verlängert dieses auf die Länge . Durch den Endpunkt der Höhe zieht man eine Parallele zur Linie deren Schnittpunkte mit den Verlängerungen von und die Punkte und ergeben (siehe Skizze).

Dreieckskonstruktion 2. MöglichkeitBearbeiten

DreieckHHH-1.svg

Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem StrahlensatzBearbeiten

  1. Zeichne eine Gerade und trage ab.

  2. Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt in einem Abstand von und .

  3. Zeichne das gleichschenklige Dreieck .

  4. Trage auf beiden Schenkeln die Strecken ab.

  5. Die Strecke hat die Länge .

Teil 2: Konstruktion des DreiecksBearbeiten

DreieckHHH-2.svg
  1. Zeichne um ein Ende der Strecke (Punkt ) einen Kreisbogen mit dem Radius und um das andere Ende (Punkt ) einen Kreisbogen mit dem Radius . Es entstehen zwei zur Strecke symmetrische Schnittpunkte ( und ).

  2. Zeichne die Geraden und .

  3. Fälle das Lot von auf durch Verbinden der Punkte und .

  4. Trage auf dieser Lotgerade von aus die Strecke ab (Endpunkt ).

  5. Konstruiere zur Strecke eine parallele Gerade im Abstand .
    1. Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um mit dem Radius und eines Bogens um Punkt mit dem Radius .
    2. Verfahre mit einem Bogens um mit dem Radius und einem Bogen um mit dem Radius genauso.
    3. Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.

  6. Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden und bildet das gesuchte Dreieck .

Durchführbarkeit der KonstruktionBearbeiten

Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn konstruiert werden kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.

Dreieckskonstruktion 3. MöglichkeitBearbeiten

In der folgenden Konstruktion entsteht direkt aus dem sogenannten Hilfsdreieck AB1C1 das gesuchte Dreieck ABC.

VorüberlegungenBearbeiten

Nach der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie gilt

mit verdoppeltem Flächeninhalt gilt
mit der Bedingung der Flächeninhalt bleibt unverändert, wird z. B. die Grundlinie verdoppelt, damit ergibt sich
somit zeigt sich

die Länge der Grundlinie des Dreiecks verhält sich umgekehrt proportional zur Höhe .

Für das gesuchte Dreieck bedeutet dies:

oder
daraus folgt:

Zwei Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich demnach zueinander wie die Kehrwerte der entsprechenden Höhen. Dies bedeutet, ein sogenanntes Hilfsdreieck dessen Seitenlängen (direkt) proportional zu den Höhen und sind, ist ähnlich dem gesuchten Dreieck

Multipliziert man , bzw. mit dem Proportionalitätsfaktor , so erhält man für die Seitenlängen und des Hilfsdreiecks folgende Werte:

Ist die Seitenlänge , als Strecke , aus den zwei Höhen und mithilfe des 2. Strahlensatzes auf einer Geraden konstruiert, werden die Höhen und als Seiten des Hilfsdreiecks eingearbeitet. Abschließend erhält man durch eine zentrische Streckung des Hilfsdreiecks das endgültige Dreieck

KonstruktionsplanBearbeiten

Konstruktion mit Hilfsdreieck AB1C1, Animation siehe
  1. Bezeichne die Höhen unter Berücksichtigung, dass nicht länger als ist.
  2. Zeichne eine Gerade und bestimme darauf den ersten Eckpunkt des späteren Dreiecks.
  3. Errichte eine Senkrechte zur Gerade im Punkt und übertrage darauf die Höhe als Strecke ab.
  4. Konstruiere eine Parallele zur Gerade durch den Punkt
  5. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius gleich der Höhe er schneidet die Gerade im Punkt
  6. Verbinde den Punkt mit dem Punkt
  7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius gleich der Höhe
  8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke im Punkt sie erzeugt den Schnittpunkt auf dem Kreisbogen mit Radius gleich der Höhe
  9. Zeichne eine Parallele zur Strecke ab dem Punkt bis zur Gerade es ergibt sich der Schnittpunkt
  10. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius gleich der Höhe es ergibt sich der Schnittpunkt auf dem Kreisbogen mit dem Radius gleich der Höhe somit sind die drei Eckpunkte des Hilfsdreiecks bestimmt.
  11. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt durch den Punkt bis auf die Gerade es ergibt sich der Schnittpunkt Der Punkt ist der zweite Eckpunkt des späteren Dreiecks.
  12. Verbinde den Punkt mit dem Punkt
  13. Zeichne eine Parallele zur Strecke ab dem Punkt bis auf die Gerade es ergibt sich der Schnittpunkt Der Punkt ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
  14. Verbinde den Punkt mit dem Punkt somit ist das Dreieck konstruiert.

BeweisBearbeiten

Beweis des Hilfsdreiecks

Seitenlängen des HilfsdreiecksBearbeiten

Für die Seitenlängen des Hilfsdreiecks ergibt sich:

(Konstruktionsplan, 5.)

(Konstruktionsplan, 10.)

Die Dreiecke und sind zueinander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Daraus folgt und weiter

Seitenverhältnisse im HilfsdreieckBearbeiten

Aus dem letzten Abschnitt folgt unmittelbar:

Übergang zum Dreieck Bearbeiten

Wegen der Parallelität von und (Punkt 13. des Konstruktionsplans) sind die Dreiecke und zueinander ähnlich. Somit erhält man für die Seitenverhältnisse im Dreieck :

Berücksichtigt man, dass die Höhen umgekehrt proportional zu den Seiten sind, so erhält man daraus:

Wegen übereinstimmender Seitenverhältnisse kann man daraus schließen, dass das konstruierte Dreieck zum gesuchten Dreieck ähnlich ist.

Da der Abstand zwischen den Geraden und gleich ist (Konstruktionsplan, 3.), hat die Höhe den richtigen Wert, das heißt das konstruierte Dreieck ist nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent zum gesuchten Dreieck.

Berechnung der Dreiecksseiten und des FlächeninhaltsBearbeiten

Berechnung

1. Dreieck

1.1

2. Dreieck

2.1

3. Hilfsdreieck

3.1 Bezeichnungen:



3.2 Kosinussatz:
3.3 Folgerung:
Durch Erweitern mit ergibt sich daraus
.
3.4



3.5

4. Ähnliche Dreiecke:

4.1

5. Dreieck

5.1 Einsetzen des Rechenausdrucks für in die letzte Gleichung ergibt die Seitenlänge :


Entsprechend erhält man die beiden anderen Seitenlängen:

5.2
5.3
5.4 Der Flächeninhalt ergibt sich daraus gemäß der Formel :

Dreieckskonstruktion, 4. MöglichkeitBearbeiten

Dreieck-hoehen-4.png

Nachfolgend wird eine relativ einfache Form der Konstruktion aus den drei Höhen erläutert. Diese Lösung kommt ohne jede Vorberechnung aus. Die als gewählte Höhe sollte kleiner als sein.


1. Konstruiere das gleichschenklige nach dem Kongruenzsatz SSS aus den Seitenlängen (2 mal) und

2. Trage auf den beiden Strecken jeweils die Strecke von Punkt ab. Man erhält die Punkte und

3. Die Verbindung der beiden Endpunkte und ergibt die Strecke

4. Schlage einen Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt

5. Schlage einen weiteren Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt

6. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ergibt den Dreieckspunkt

7. Zeichne eine parallele Strecke zu im Abstand von Punkt

8. Zeichne eine Strecke von über hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt des gesuchten Dreiecks

9. Zeichne eine Strecke von über hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt des gesuchten Dreiecks

10. Damit ist das konstruiert

WeblinksBearbeiten


ViereckskonstruktionenBearbeiten

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Die Konstruktionsbeschreibungen bauen auf die Grundkonstruktionen auf. Die Reihenfolge ist so gewählt, dass nachfolgende Beschreibungen auf die zuvor dargestellten Bezug nehmen können.

Konstruktion einer RauteBearbeiten

Fall DSBearbeiten

RauteDS.svg
Gegeben: Eine Diagonale d und die Seite s.
  1. Zeichne eine Gerade und trage die Diagonale AC ab.
  2. Zeichne um die Streckenenden je einen Bogen mit dem Radius r gleich der Seitenlänge s.
  3. Die Schnittpunkte der Bögen ( B und D) sind die fehlenden Eckpunkte.
  4. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.
Hinweis

Dieses Verfahren ist eine Konstruktion der Mittelsenkrechten mit vorgegebenem Zirkelradius.



Fall DDBearbeiten

RauteDD.svg
Gegeben: Die beiden Diagonalen.
  1. Zeichne eine Gerade g1 und trage die Diagonale d1 = AC ab.
  2. Konstruiere die Mittelsenkrechte g2 dazu.
  3. Trage auf der Mittelsenkrechten vom Schnittpunkt g1 x g2 mit dem Zirkel auf einer Seite die zweite Diagonale d2 ab (Punkt P).
  4. Halbiere diese Diagonale (Punkt B).
  5. Übertrage den so gefundenen Punkt auf die andere Seite der ersten Diagonale (Punkt D).
  6. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.
Hinweis

Bei d1 = d2 entsteht ein Quadrat.


Fall SWBearbeiten

RauteSW.svg
Gegeben: Ein Winkel α und die Seite a.
  1. Führe eine Winkelhalbierung durch und verwende dabei als Radius der Bögen nur die Seitenlänge.
  2. Zeichne statt der Winkelhalbierenden die fehlenden Seiten zum vierten Eckpunkt.


Fall GPBearbeiten

RauteGP.svg
Gegeben: Die Gerade, auf der eine Seite (a) liegt und einer der Eckpunkte ( A) ausserhalb.
  1. Konstruiere die Parallele zu g1 durch den Punkt A und verwende als Radius die Seite a.


Konstruktion eines RechtecksBearbeiten

Fall SSBearbeiten

RechteckSS.svg
Gegeben: Seite a und b.

Konstruktion 1Bearbeiten

  1. Zeichne eine Gerade g1
  2. Konstruiere eine Parallele mit gegebenem Abstand b und verwende dabei zwei Punkte (A, B) der Gerade g1 mit dem Abstand a zueinander.
  3. Verbinde die gefundenen Eckpunkte C und D miteinander.

Konstruktion 2Bearbeiten

Konstruktion wie beim Quadrat die Konstruktion 2, jedoch mit der Besonderheit, dass b = AD ist.

Fall SDBearbeiten

Gegeben: Seite a und Diagonale d.
  1. Zeichne eine Gerade g1 und trage darauf die Diagonale d = AC ab.
  2. Halbiere die Diagonale. Der so gewonnene Punkt M ist die Mitte des Rechtecks.
  3. Zeichne einen Vollkreis von den Enden der Diagonale um Punkt M
  4. Zeichne um jedes Ende der Diagonale einen Bogen mit Seite a als Radius, von jedem Ende aus auf einer anderen Seite der Diagonale. Die Schnittpunkte mit dem ersten Kreis sind die Positionen der beiden anderen Eckpunkte B und D.
  5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.
Hinweis

Diese Konstruktion baut auf dem Satz des Thales auf.

Konstruktion eines QuadratsBearbeiten

Fall SBearbeiten

Gegeben: Seite a

Konstruktion 1Bearbeiten

Konstruktion wie beim Rechteck, jedoch mit der Besonderheit, dass b = a ist.

Konstruktion 2Bearbeiten

Quadrat bei gegebener Seitenlänge

Eine alternative Konstruktion zeigt die nebenstehende Darstellung. Der rechte Winkel wird mithilfe des Thaleskreises gefunden.

  1. Zeichne die Seite a = AB.
  2. Bestimme den Punkt M mit einem beliebigen Abstand |AM|.
  3. Ziehe den Thaleskreis um Punkt M mit dem Radius |AM|. Der Schnittpunkt des Thaleskreises mit der Seite a ist E.
  4. Ziehe eine gerade Linie von E durch M bis zum Thaleskreis. Der Schnittpunkt der geraden Linie mit dem Thaleskreis ist F.
  5. Nimm die Seite a in den Zirkel und schlage einen kurzen Kreisbogen um Punkt A.
  6. Ziehe eine gerade Linie von A durch F bis zum kurzen Kreisbogen, dabei ergeben sich der rechte Winkel EAF und der Schnittpunkt D. Die Strecke AD ist eine Seite des entstehenden Quadrates.
  7. Nimm die Seite a in den Zirkel und schlage jeweils einen kurzen Kreisbogen um Punkt D und um Punkt B, die beiden Kreisbögen schneiden sich in C.
  8. Verbinde abschließend den Punkt B mit C und den Punkt C mit D.

Konstruktion 3Bearbeiten

Weitere Konstruktion bei gegebener Seitenlänge

Diese Konstruktion ist der zweiten ähnlich, kommt aber mit einer einzigen Zirkeleinstellung aus.

  1. Zeichne die Seite a = AB.
  2. Zeichne einen Kreisbogen c1 mit dem Radius a um Endpunkt A der Seite (mind. einen Viertelkreis).
  3. Zeichne einen Kreisbogen c2 mit dem Radius a um den Endpunkt B der Strecke (mind. einen Viertelkreis). Der Schnittpunkt mit c1 ist Punkt M (die dritte Ecke des gleichseitigen Dreiecks ABM).
  4. Zeichne eine Gerade g1 von B durch M, mind. um BM über M hinaus.
  5. Zeichne mit dem gleichen Radius a einen Thaleskreisct um M, von B über A bis zu g1; der Schnittpunkt ist E.
  6. Verbinde A mit E; der neue Schnittpunkt mit c1 ist eine weitere Ecke (D) des Quadrats.
  7. Zeichne mit dem gleichen Radius a um Eckpunkt D einen dritten Kreisbogen c3 von A bis zum anderen Schnittpunkt mit c2; Dieser ist die vierte Ecke C des Quadrats.
  8. Verbinde die Punkte B, C, D und A zum Quadrat.

Fall DBearbeiten

Quadrat bei gegebener Diagonale
Gegeben: Diagonale d.
  1. Zeichne die Diagonale d = AC.
  2. Halbiere die Diagonale und zeichne dabei durch die Schnittpunkte O und P die Mittelsenkrechte ein. Der so gewonnene Punkt M ist die Mitte des Quadrats.
  3. Zeichne einen Vollkreis von den Enden der Diagonale um Punkt M.
  4. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechten sind die beiden anderen Eckpunkte B und D des Quadrats.
  5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.


Konstruktion eines ParallelogrammsBearbeiten

Fall SSHBearbeiten

Parallelogramm (g1 nicht eingezeichnet), für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt frei wählbar.
Gegeben: Die Seiten a und b und die Höhe h auf eine Seite, z. B. ha.
  1. Zeichne eine Gerade g1 und trage darauf die Seite a = AB ab, zu der die Höhe gegeben ist.
  2. Konstruiere die Parallele im Abstand ha.
  3. Zeichne um die Enden der Seite einen Bogen mit dem Radius gleich der anderen Seitenlänge.
  4. Zwei Schnittpunkte mit m Abstnd a sind die beiden fehlenden Eckpunkte C und D.
  5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.

Fall SWSBearbeiten

Gegeben: Beide Seiten und ein Winkel.
  1. Trage auf den Schenkeln des Winkels die beiden Seiten ab.
  2. Zeichne um die freien Enden der Seiten einen Bogen mit dem Radius gleich der jeweils anderen Seite.
  3. Die fehlende vierte Ecke ist derjenige Schnittpunkt der beiden Bögen, welcher zu einem konvexen Viereck führt, das andere Viereck ist überschlagen.
  4. Verbinde die Eckpunkte zyklisch miteinander.
Hinweis

Diese Konstruktion baut auf der Dreieckkonstruktion "SWS" auf.

Fall HWHBearbeiten

ParGrHWH.svg
Gegeben: Beide Höhen und ein Winkel.
  1. Konstruiere eine Gerade und eine Parallele mit einer Höhe als Abstand.
  2. Trage an einem Punkt der Geraden den Winkel an.
  3. Zeichne eine Parallele zum anderen Schenkel des Winkels im Abstand der anderen Höhe.
  4. Verbinde die Eckpunkte miteinander.


Konstruktion eines DrachenvierecksBearbeiten

Drachenviereck.svg

Fall WSSBearbeiten

Gegeben: Die beiden Seitenlängen a und b und ein zwischen gleichen Seiten (auf der Symmetrieachse) liegender Winkel α

  1. Zeichne eine Gerade, Wähle darauf einen Punkt A und trage von dort die Seite mit dem angrenzenden gegebenen Winkel ab.
  2. Trage in Punkt A den geg. Winkel an.
  3. Trage auf dem freien Schenkel des Winkels die andere Seite gleicher Länge ab.
  4. Zeichne um die beiden freien Enden (Die Ecken B und D) einen Kreis mit einem Radius gleich der anderen Seitenlänge.
  5. Derjenige Schnittpunkt der Kreise, welcher einen größeren Abstand zu A hat, ist die vierte Ecke C. (Der andere Schnittpunkt erzeugt ein konkaves Viereck) . Verbinde die Punkte B und D mit dem Punkt C.

Fall SWSBearbeiten

Gegeben: Die beiden Seitenlängen a und b und ein zwischen verschiedenen Seiten ( nicht auf der Symetrieachse) liegender Winkel β

  1. Zeichne eine Gerade, Wähle darauf einen Punkt A und trage von dort die Seite mit dem angrenzenden gegebenen Winkel ab. Das andere Seitenende ist Punkt B.
  2. Trage in Punkt B den geg. Winkel an.
  3. Trage auf dem freien Schenkel des Winkels die andere Seite ab. Man erhält den Punkt C.
  4. Verbinde die freien Endpunkte A und C miteinander. Das ist eine Diagonale und die Symetrieachse.
  5. Spiegele Punkt B an dieser Diagonalen. Der Spiegelpunkt ist die vierte Ecke D.
  6. Verbinde D mit A und C.


Konstruktion eines SehnenvierecksBearbeiten


Sonstige ViereckeBearbeiten

Kurzinhalt: Hier werden verschiedene Konstruktionen für regelmäßige Polygone vorgestellt. Das Kapitel Animationen stellt einige davon in einem animierten Video dar. Für Näherungskonstruktionen wird die Genauigkeit berechnet und eindrucksvoll veranschaulicht.

PolygonkonstruktionenBearbeiten

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EinführungBearbeiten

Die Konstruktion von Polygonen hängt nicht nur von der Eckenzahl, sondern auch von den Symmetrien ab. So benötigt man z.B. für die Konstruktion eines Quadrates nur eine Größe (Länge der Seite oder Diagonale), da die große Symmetrie festschreibt, dass a) alle Winkel rechte Winkel sind und b) alle Seiten gleich lang sind. Nimmt man eine Symmetrie weg, z.B. das Rechteck, so dass sich die generelle Unbestimmtheit erhöht (Seiten können verschieden lang sein) so benötigt man bereits zwei Werte. Geht man zum Parallelogramm über (Winkel sind paarweise variabel) , so benötigt man drei Werte u.s.w. Die Zusatzbedingungen, wie z.B. gleiche Werte, sorgen dafür, dass man zusätzliche Werte als ursprünglich gegeben erhält.

BeispielBearbeiten

Bei einem Dreieck ist nur eine Seite gegeben. Das reicht im allgemeinen Fall nicht für die Konstruktion aus. ist aber noch angegeben, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, so kann aus den Formeln

α + β + γ = 180°

und

a = b = c (gleichseitig)

die Angabe

α = β = γ = 60°

gewonnen werden. Hier ergeben sich also vier Werte, davon sind drei voneinander unabhängig. Diese Werte reichen für die Konstruktion aus.

Allgemeines PolygonBearbeiten

Ein unregelmäßigen N-Eck ist konstruierbar, wenn:

  1. N-1 Seiten und die dazwischenliegenden N-2 Winkel bekannt sind.

Regelmäßiges PolygonBearbeiten

AnimationenBearbeiten

Alternative Konstruktionen (bei gegebenem Umkreis) zu Quadrat, Fünfeck, Achteck und Zehneck sind auf einer Extraseite zu finden.

DreieckBearbeiten

Das "regelmäßige" Dreieck ist das gleichseitige Dreieck. Zur Konstruktion bei gegebener Seite siehe Konstruktion 1 (SSS) mit dem Sonderfall, dass alle Seiten gleich sind.

Die Konstruktion bei gegebenem Umkreis entspricht weitgehend der Konstruktion des Sechsecks, mit dem Unterschied, dass nur jeder zweite Punkt auf dem Kreis miteinander verbunden wird.

ViereckBearbeiten

Das regelmäßige Viereck ist das Quadrat. Siehe Konstruktion eines Quadrats.

FünfeckBearbeiten

Fünfeck bei gegebenem UmkreisBearbeiten

Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis
  1. Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um dem Mittelpunkt M.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein.
  3. Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D).
  4. Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius DE um Punkt D. Er schneidet die Strecke AM im Punkt F. Die Strecke EF ist die Länge der Seite.
  5. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Fünfeck bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

Fünfeck bei gegebener Seitenlänge

Mit Anwendung des goldenen Schnitts,  äußere Teilung.

  1. Zeichne eine Strecke AB deren Länge die vorgegebene Seite des Fünfecks ist.
  2. Verlängere die Strecke ab dem Punkt A um ca. drei Viertel der Strecke AB
  3. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius AB.
  4. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB, es ergibt sich der Schnittpunkt F.
  5. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AB durch den Punkt F, es ergibt sich der Punkt G
  6. Zeichne eine Parallele zur Strecke FG ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H.
  7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius GH bis zur Verlängerung der Strecke AB, es ergibt sich der Schnittpunkt J.
  8. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius BJ bis über die Senkrechte die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A.
  9. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius BA bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
  10. Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das Fünfeck.

Wie in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis, ist auch hier der  Goldene Schnitt der maßgebende Baustein:  

SechseckBearbeiten

Sechseck bei gegebenem UmkreisBearbeiten

Konstruktion eines Sechsecks mit Zirkel und Lineal

Ein reguläres Sechseck wird konstruiert, indem bei einem Kreis der Radius des Kreises sechsmal auf dem Kreisrand abgetragen wird. Die erhaltenen Punkte sind die Ecken des Sechsecks.

Sechseck bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

Konstruktion eines Sechsecks, Seitenlänge gegeben

Ein reguläres Sechseck lässt sich ebenfalls konstruieren, wenn eine vorhandene Strecke als Seitenlänge verwendet werden soll.

  1. Bezeichne die Endpunkte der Strecke mit A bzw. B.
  2. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB.
  3. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius AB, es ergibt sich der Schnittpunkt M, der Mittelpunkt vom späteren Umkreis.
  4. Zeichne einen Kreis um den Punkt M mit dem Radius AM, dies ist der Umkreis des späteren Sechsecks.
  5. Trage die Strecke AB ab dem Punkt B viermal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
  6. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Sechseck ABCDEF

SiebeneckBearbeiten

Nur mit Zirkel und Lineal kann das Siebeneck nicht exakt konstruiert werden. Es gibt jedoch Näherungen.

Näherung 1Bearbeiten

Siebeneck, einfache Näherungskonstruktion mit gegebenem Umkreis bzw. gegebener Seite

Bei gegebenem Umkreis.

  1. Konstruiere das dem Kreis einbeschriebene gleichseitige Dreieck, indem am Kreis der Radius sechsmal abgetragen wird (Sechseck) und jeder zweite Punkt miteinander verbunden wird.
  2. Halbiere eine Dreieckseite, durch verbinden einer Ecke mit dem gegenüberliegenden Punkt auf dem Umkreis. Die halbe Dreieckseite ist eine Näherung für das Siebeneck.

Relativer Fehler:

Bei einem Radius von 1 m ist die Seite 1,7 mm zu kurz.
  • Als Ergänzung nebenan eine Konstruktion, die zwar vom 1. Punkt der Beschreibung etwas abweicht, aber mit deren 2. Punkt im Wesentlichen übereinstimmt. Sie bedarf deshalb keiner weiteren Erklärung.

Bei gegebener Seitenlänge.

  • Das Besondere der nebenstehenden Darstellung ist: Sie zeigt alternativ die Umkehrung, nämlich wie aus einer gegebener Seite, mithilfe eines gleichseitigen Dreiecks mit zwei halbierten Seiten, eine Näherung für das Siebeneck entsteht.

Näherung 2Bearbeiten

Diese sehr genaue Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.

AchteckBearbeiten

Achteck bei gegebenem UmkreisBearbeiten

  1. Konstruiere das zum gegebenen Umkreis gehörende Quadrat, ohne jedoch seine Seiten einzuzeichnen (also nur die Ecken).
  2. Halbiere einen Zentriwinkel und übertrage ihn auf die anderen rechten Winkel.
  3. Verbinde die Ecken.

Achteck bei gegebener SeiteBearbeiten

Siehe Achteck.

NeuneckBearbeiten

Nur mit Zirkel und Lineal kann das regelmäßige Neuneck nicht exakt konstruiert werden. Es gibt jedoch Näherungen. Eine sehr genaue Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.

ZehneckBearbeiten

  1. Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck, entsprechend der Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal (s.o.).
  2. Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises, der in Schritt 1 gemacht wurde, zur anderen Seite des gleichen Kreises.
  3. Die fünf Ecken des Fünfecks legen jede zweite Ecke des Zehnecks fest. Die verbliebenen fünf Ecken sind die Punkte, die durch Schritt 2 auf der anderen Seite des Kreises konstruiert wurden.

ElfeckBearbeiten

Das regelmäßige Elfeck ist als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Erlaubt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in elf gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, führt dies zu einer exakten Seitenlänge des Elfecks.

Eine Exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel sowie eine Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis sind wegen des Platzbedarfs auf einer Extraseite zu finden.

ZwölfeckBearbeiten

Für die Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks konstruiert man die Ecken des regelmäßigen Sechsecks und halbiert die Zentriwinkel.

DreizehneckBearbeiten

Nur mit Zirkel und Lineal kann das regelmäßige Dreizehneck nicht exakt konstruiert werden.

Eine Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel sowie eine Näherung ist wegen des Platzbedarfs auf einer Extraseite zu finden.

VierzehneckBearbeiten

Nur mit Zirkel und Lineal kann das regelmäßige Vierzehneck nicht exakt konstruiert werden. Eine Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel sowie eine Näherung ist wegen des Platzbedarfs auf einer Extraseite zu finden.

FünfzehneckBearbeiten

Das regelmäßige Fünfzehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Die Konstruktionen zu "Bei gegebenem Umkreis" bzw. "Bei gegebener Seitenlänge" sind im Artikel  Fünfzehneck beschrieben.

SiebzehneckBearbeiten

Das regelmäßige Siebzehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Die Konstruktionen zu "Bei gegebenem Umkreis" bzw. "Bei gegebener Seitenlänge" sind auf einer Extraseite zu finden.

Eigenschaften, Mathematischer Hintergrund u. a. m. ist im Artikel  Siebzehneck beschrieben.

257-EckBearbeiten

Exakte Konstruktion

Eine exakte Konstruktion mit gegebenem Umkreis ist in  257-Eck beschrieben. Ein Zitat aus dem Artikel: "Die praktische Durchführung der Konstruktion ist per Hand kaum möglich, da die Anforderungen an Präzision bei der notwendigen Größe sehr schwer einzuhalten sind."

  • Näherungskonstruktion der 1. Seite
Da die exakte Konstruktion des 257-Ecks sehr umfangreich ist und nicht übersichtlich dargestellt werden kann, macht es Sinn auch eine pragmatische Lösung darzustellen. Diese Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.
  • Exakte Konstruktion der 1. Seite mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel
Erlaubt man jedoch neben Zirkel und Lineal ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in n gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine gut nachvollziehbare exakte Konstruktion der ersten Ecke E1 des 257-Ecks darstellbar. Diese Konstruktion ist auf der gleichen Extraseite zu finden.

65537-EckBearbeiten

  • Näherungskonstruktion der 1. Seite
Im Folgenden wird die erste Seite als Näherungskonstruktion mit zwei Hauptschritten, in vergrößerter Ansicht, dargestellt. Diese Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.


AnimationenBearbeiten

Seitentitel: Planimetrie/ LaTeX
(Planimetrie/ LaTeX)


QuadratBearbeiten

Die Vorgehensweise ergibt sich aus der Animation.

Straight Square Inscribed in a Circle.gif

FünfeckBearbeiten

Die Vorgehensweise ergibt sich aus der Animation.

Regular Pentagon Inscribed in a Circle.gif

AchteckBearbeiten

Die Vorgehensweise ergibt sich aus der Animation.

Regular Octagon Inscribed in a Circle.gif

ZehneckBearbeiten

Die Konstruktion entspricht der Konstruktion der Ecken eines Fünfecks mit anschließender Winkelhalbierung.

Regular Decagon Inscribed in a Circle.gif


SiebeneckBearbeiten

Seitentitel: Planimetrie/ LaTeX
(Planimetrie/ LaTeX)


Siebeneck (Heptagon)Bearbeiten

Näherungskonstruktion (!) für das regelmäßige Siebeneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Die gepunkteten Linien mit den daraufliegenden Punkten, dienen als Hilfe für die Berechnung der Seite des Siebenecks.

01-Siebeneck-Approximation-1

KonstruktionBearbeiten

  1. Zeichne um einen Punkt M einen Kreis - den späteren Umkreis des Siebenecks - mit Radius r.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Geraden durch den Mittelpunkt. Einer der Schnittpunkte mit dem Kreis ist die erste Ecke A des Siebenecks.
  3. Teile die Strecke AM in drei Teile, es ergeben sich die Punkte J und K
  4. Zeichne einen Halbkreis um den Mittelpunkt M mit Radius MJ, er schneidet die Strecke MH im Punkt L.
  5. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius r ab Punkt M, er schneidet den Halbkreis im Punkt N.
  6. Zeichne eine Gerade ab Punkt L durch Punkt N etwas über den Umkreis hinaus.
  7. Errichte eine Senkrechte zur Gerade, die durch Punkt N geht, ab Punkt A bis sie den Umkreis im Punkt O schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt P.
  8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AM im Punkt J bis sie die Strecke AO im Punkt Q schneidet.
  9. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt H mit Radius r, es ergibt sich der Schnittpunkt R auf dem Umkreis.
  10. Errichte eine Senkrechte zur Strecke MH durch Punkt R, sie halbiert die Strecke MH im Punkt S.
  11. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt R mit Radius OQ.
  12. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt S mit Radius r bis er den Kreisbogen um Punkt R schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt T
  13. Zeichne eine Gerade ab Punkt T durch Punkt Q bis zur Gerade, die durch Punkt N geht, es ergibt sich der Schnittpunkt U
  14. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius AU ab Punkt U, er schneidet den Umkreis im Punkt B.
  15. Verbinde den Punkt A mit Punkt B, die rote Strecke AB ist die gesuchte Seite des Siebenecks.
  16. Trage die Strecke AB, ab Punkt B, fünfmal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
  17. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Siebeneck ABCDEFG

FehlerBearbeiten

Bei einem Umkreis mit Radius r = 1:

  • Konstruierte Siebeneckseite s = 0,867767268512597... [LE]
  • Soll-Siebeneckseite = ss = 2 • sin(180°/7) = 0,867767478235116... [LE]
  • Absoluter Fehler = sss = -0,000000209722519... = -2,097...E-7 [LE]

Bei einem Umkreis mit Radius r = 10 km wäre die Abweichung der konstruierten Seite ≈ -2,1 mm

BerechnungBearbeiten

Gleichschenkliges Dreieck AMNBearbeiten

1.0
Gegeben:  ;  ;
 
1.1   Mit dem Kosinussatz ergibt sich:
 
   
 
   
1.2 Höhe zur Seite
   
 
1.3    

Rechtwinkeliges Dreieck LJNBearbeiten

2.0
Gegeben:
  • (aus 1.3)
  • (aus 1.2)
2.1
2.2 Hypotenuse
Winkel ergibt sich aus
2.3
2.4

Rechtwinkeliges Dreieck LAPBearbeiten

3.0
Gegeben:
  • ähnlich zu (aus 2.0)
  • (aus 2.2)
  • (aus 2.4)
3.1
3.2
3.3
oder:
 
3.3

Rechtwinkeliges Dreieck JAQBearbeiten

4.0

Gegeben:
  • (aus 3.3)
4.1
4.2.

Gleichseitiges Dreieck HMRBearbeiten

5.0
Gegeben:
5.2 Höhe:

Rechtwinkeliges Dreieck HAOBearbeiten

6.0
Gegeben:
  • ähnlich (aus 2.0) also
  • (aus 4.2)
  •  ;  ; (aus 2.4)

6.1

6.2

Stumpfwinkeliges Dreieck RSTBearbeiten

7.0
Gegeben:
  • (aus 6.2)
  • (aus 5.2)

7.1 Nach dem Kosinussatz gilt:

7.2 Berechnung und

(Berechnung indirekt, um den arithm. Ausdruck zu erhalten)
Mit dem Additionstheorem:
ergibt sich:

7.3 Höhe von zur Seite

Rechtwinkeliges Dreieck TWRBearbeiten

8.0
Gegeben:
  • (aus 6.2)
  • (aus 7.3)

8.1

Rechtwinkeliges Dreieck QXTBearbeiten

9.0

Gegeben:
  • (aus 7.3)
  • (aus Zeichnung)
9.1
9.2
mit
  • (aus 5.2)
  • (aus 8.1)
  • (aus 4.1)
ergibt sich:

9.3 Berechnung

  mit  

Rechtwinkeliges Dreieck QPUBearbeiten

10.0

Gegeben:
  • (aus 4.2)
  • (aus 3.2)
  • (aus 3.1)
  • (aus 9.3)

10.1

10.2 Berechnung

Mit dem Additionstheorem
ergibt sich:
  mit  
  mit  
10.3
  mit  

Rechtwinkeliges Dreieck APUBearbeiten

11.0

Gegeben:
  • (aus 3.2)
  • (aus 10.3)
11.1

Die Länge der Siebeneckseite entspricht AU und beträgt:

Vereinfacht:
  mit  

WeblinksBearbeiten

Commons-logo.svg Siebeneck, Näherungskonstruktion


NeuneckBearbeiten

Seitentitel: Planimetrie/ LaTeX
(Planimetrie/ LaTeX)


Neuneck (Nonagon)Bearbeiten

  • Näherungskonstruktion für das regelmäßige Neuneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.
  • Einleitung und Erklärungen zu "Mathematische Zusammenhänge", "Konstruktionen" mit weiteren Näherungskonstruktionen u. a. m. sind in dem Artikel  Neuneck enthalten.

KonstruktionBearbeiten

BesonderheitBearbeiten

  • Die Darstellung zeigt eine Konstruktion bei gegebenem Umkreis. Eine Alternative bei gegebener Seite ist mit "alternativ" gekennzeichnet.

Konstruktion bei gegebenem UmkreisBearbeiten

01-Neuneck
  1. Zeichne eine frei wählbare Strecke MJ.
  2. Bestimme den Punkt S auf der Strecke MJ. In der Darstellung wurde hierfür die Strecke MJ halbiert. Prinzipiell ist die Lage des Punktes S bei gegebenem Umkreis frei wählbar.
  3. Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt S, es ist der Umkreis des späteren Neunecks.
  4. Ziehe einen kurzen Kreisbogen um den Punkt J mit dem Radius MJ.
  5. Bestimme den Punkt B mit einem Abstand |SB|, der gleich lang ist wie die Strecke MS. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
  6. Zeichne eine gerade Linie ab dem Punkt M bis zum kurzen Kreisebogen, es ergibt sich der Schnittpunkt K.
  7. Verbinde den Punkt K mit dem Punkt J, somit entsteht das gleichseitige Dreieck MJK.
  8. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W1.
  9. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W2, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke MJ.
  10. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W3, etwas länger als die Strecke MJ.
  11. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W4, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W3.
  12. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W4, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W4 und der Schnittpunkt N auf W3.
  13. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
  14. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |NO|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
  15. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke PQ, sie ist ein Drittel der Strecke OP.
  16. Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius OP, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
  17. Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M, es ergibt sich der Schnittpunkt A auf dem Umkreis des entstehenden Neunecks.
  18. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, es ergibt sich die erste Seite des entstehenden Neunecks.
  19. Trage die Strecke AB siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
  20. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.

Fehler der ersten SeiteBearbeiten

1.0  

Gegeben:

 
1.1  
1.2  

Beispiel zur VerdeutlichungBearbeiten

Bei einem Umkreisradius r = 100.000 km wäre der absolute Fehler der 1. Seite ca. 8,6 mm.

Konstruktion bei gegebener SeiteBearbeiten

  1. Zeichne eine frei wählbare Strecke MJ.
  2. Konstruiere über und mittels der Strecke MJ ein gleichseitiges Dreieck und bezeichne den dritten Eckpunkt mit K.
  3. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W1.
  4. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W2, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke MJ.
  5. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W3, etwas länger als die Strecke MJ.
  6. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W4, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W3.
  7. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W4, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W4 und der Schnittpunkt N auf W3.
  8. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
  9. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |NO|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
  10. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke PQ, sie ist ein Drittel der Strecke OP.
  11. Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius OP, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
  12. Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M.
  13. Konstruiere vom Winkel die Winkelhalbierende W5.
  14. Zeichne auf der Winkelhalbierenden W5 einen Kreis um den in der Lage frei wählbaren Punkt T mit einem Radius, der gleich der halben gegebenen Neuneckseite ist.
  15. Konstruiere eine Senkrechte zur Winkelhalbierende W5 durch den Punkt T, es ergibt sich auf dem Kreis um Punkt T der Schnittpunkt V.
  16. Konstruiere eine Parallele zur Winkelhalbierende W5 ab dem Punkt V bis zur Strecke MK, es ergibt sich der Schnittpunkt B. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
  17. Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt B, es ist der Umkreis des entstehenden Neunecks. Es ergibt sich der Schnittpunkt A auf der Strecke MR.
  18. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, dies ist die erste Seite des entstehenden Neunecks.
  19. Trage die Strecke AB siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
  20. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.

Fehler des UmkreisradiusBearbeiten

2.0  

Gegeben:

 
 
 
2.1  

Beispiel zur VerdeutlichungBearbeiten

Bei einer Seitenlänge s1 = 10.000 km wäre der konstruierte Umfangsradius r ≈ 14.629,0219989 km um ca. 1,8 mm zu kurz.

BerechnungBearbeiten

Kreissektor mit gleichseitigem Dreieck MJKBearbeiten

01-Neuneck-3-Berechnungsskizze
1.0  

Gegeben aus Zeichnung:

 
 
 
 
 
 
 
 
1.1  
1.2  
1.3  


Rechtwinkeliges Dreieck PNTBearbeiten

2.0  

Gegeben:

  • Der Punkt liegt mittig auf der Sekante
 
 
2.1  
2.2  
2.3  

Rechtwinkeliges Dreieck MNUBearbeiten

3.0 

Gegeben:

 
 
 
 
3.1  
3.2  
3.3  

Rechtwinkeliges Dreieck MQUBearbeiten

4.0 

Gegeben:

 
 
 
 
4.1  
4.2  
4.3  

Stumpfwinkeliges Dreieck MQRBearbeiten

5.0 

Gegeben:

 
 
 
 
 

Mit dem Kosinussatz ergibt sich:

5.1  

Nebenwinkel JMRBearbeiten

6.0 

Gegeben:

 
 
 
6.1  

Zentriwinkel RMKBearbeiten

7.0 

Gegeben:

 
7.1  

Erste Seite des NeunecksBearbeiten

8.0 

Gegeben:

 
8.1  
8.2  

Konstruierter Umkreisradius bei gegebener Seite s1Bearbeiten

9.0 

Gegeben:

 
 
 
9.1  

Umkreisradius bei gegebener Seite s1Bearbeiten

10.0 

Gegeben:

 
 
 
10.1  

WeblinksBearbeiten

Dreiteilung des Winkels 60° in diesem Buch im Kapitel Die drei antiken Probleme

Drittel der Strecke in diesem Buch im Kapitel Verschiedenes

Neuneck mit gegebener Seitenlänge

 Winkelhalbierende

Wikibooks-logo.svg Konstruktion einer Parallelen durch einen gegebenen Punkt

 Parallele

 Kreiswinkel (Zentriwinkel)


ElfeckBearbeiten

Seitentitel: Planimetrie/ LaTeX
(Planimetrie/ LaTeX)


Elfeck (Hendekagon)Bearbeiten

Das regelmäßige Elfeck ist als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Erlaubt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in elf gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, führt dies zu einer exakten Seitenlänge des Elfecks.

Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, es sind aber nur wenige in der einschlägigen Literatur zu finden. Die bekanntesten ist wohl die Näherungskonstruktion nach Dürer aus dem Jahr 1525.

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches HilfsmittelBearbeiten

01-Elfeck-Quadratrix.svg
  1. Zeichne einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis).
  2. Konstruiere über dem Radius OA1 das Quadrat OA1BC.
  3. Bestimme die Quadratrix von Hippias mit der Parameterkurve :

mit

  1. Zeichne eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O.
  2. Trage auf der Halbgeraden ab O elf gleiche Abstände ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Teilungspunkte bis 4 und und der Abschlußpunkt 11 dargestellt.

Anmerkung
Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab bis in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke OC kann nur ein Elftel des Winkels erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels aus dem Umkreis mit seinen das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt der Strecke OC, zur Konstruktion des Zentriwinkels genutzt.

  1. Verbinde den Abschlußpunkt 11 mit C.
  2. Ziehe eine Parallele zu C11 ab dem Teilungspunkt 4 bis OC, damit ergibt sich der Punkt 4'.
  3. Ziehe eine Parallele zu OA1 ab dem Punkt 4' bis zur Quadratrix, damit ergibt sich der Punkt D.
  4. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch D bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der zweite Eckpunkt A2 des entstehenden Elfecks sowie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) μ.
  5. Verbinde den Punkt A1 mit A2, die Länge der Strecke ist die exakte Seitenlänge des regelmäßigen Elfecks.
  6. Trage auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt A2 die Strecke A1A2 neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

Näherungskonstruktion bei gegebenem UmkreisBearbeiten

01-Elfeck-3.svg
  1. Es sei ein Kreis um mit beliebigem Radius .
  2. Halbgerade durch und ergibt Schnittpunkt .
  3. Halbgerade senkrecht zu durch ergibt Schnittpunkte und .
  4. Strecken eintragen.
  5. Kreis um durch ergibt Schnittpunkte und .
  6. Strecke , Kreis um durch .
  7. Bestimmen der Funktionspunkte:
Es beginnt mit Punkt , dessen Abstand zu Punkt ist gleich der Strecke . In der Darstellung beschrieben als . Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von als bis als (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.
  1. Einzeichnen der Kreissekanten:
Es beginnt mit der Sekante ab durch bis sie die äußere Kreislinie in schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt durch bis sie wieder die äußere Kreislinie in schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von bis (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.
  1. Die Verbindung von mit schneidet den innersten Kreis in als zweiten Eckpunkt des entstehenden Elfecks.
  2. Trage auf den Umkreis ab Eckpunkt die Strecke , sie entspricht der Seitenlänge des Elfecks, neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Elfecks E1 bis E11.

ErgebnisBearbeiten

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Elfecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)
  • Seitenlänge des Elfecks
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler
  • Konstruierter Zentriwinkel des Elfecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen)
  • Zentriwinkel des Elfecks
  • Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:
Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichenBearbeiten

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

01-Elfeck-Quadratrix-Seitenlänge.svg

Ist die Seitenlänge a' eines Elfecks bei gegebenem Umkreis bereits bestimmt, kann daraus mithilfe der sogenannten zentrischen Streckung ein Elfeck mit gegebener Seitenlänge a (in der nebenstehenden Zeichnung grün) konstruiert werden.

  1. Ist die gegebene Seitenlänge a länger als a', so verlängere zuerst beide Winkelschenkel des Zenriwinkels .
  2. Konstruiere die Winkelhalbierende wh des Winkels .
  3. Bestimme den Punkt M auf wh mit beliebiger Position.
  4. Zeichne eine Parallele zu a' = A1'A2' durch M.
  5. Ziehe einen Halbkreis um M mit Radius r = a/2, die Schnittpunkte sind E und F.
  6. Zeichne je eine Parallele zu wh ab E und F bis zu dem betreffenden Winkelschenkel, die Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte A1 und A2 des gesuchten Elfecks.
  7. Ziehe den somit gefundenen Umkreis um O mit dem Radius ru = OA1.
  8. Trage auf den Umkreis, ab dem Eckpunkt A2, die Seitenlänge a neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

WeblinksBearbeiten

 Zentrische Streckung

  Näherungskonstruktion nach Dürer (1525)

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Archimedische Spirale

 Quadratrix des Hippias

 Mittelpunktswinkel

 Konstruierbares Polygon

 Commons: Elfeck, Animation von dieser Näherungskonstruktion – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien


DreizehneckBearbeiten

Seitentitel: Planimetrie/ LaTeX
(Planimetrie/ LaTeX)


Dreizehneck (Tridecagon)Bearbeiten

  • Das regelmäßige Dreizehneck ist nicht als (exakte) Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

KonstruktionBearbeiten

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit HilfsmittelBearbeiten

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel Tomahawk zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Animation der Konstruktionsskizze
Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt mit Radius . Es folgt die Festlegung des Punktes . Um den Punkt zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte , als zwölfter Teil von , sowie bestimmt, die Strecke halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf ab schneidet den Thaleskreis in . Die Verbindung des Punktes mit ergibt für das Eintragen des Punktes . Im Anschluss die Zahlenwerte und auf ermitteln sowie die Punkte und einzeichnen.

Zum Finden der Punkte und wird zuerst der Zahlenwert auf festgelegt und eine Senkrechte durch die errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um durch , schneidet er die Senkrechte in und . Nach dem Verbinden der Punkte und mit sowie dem Ziehen eines Kreises um durch , wird der Winkel mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte und . Eine Gerade durch und ergibt und , die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem UmkreisBearbeiten

01-Dreizehneck-3.svg
  1. Es sei ein Kreis um mit beliebigem Radius .
  2. Gerade durch und ergibt Schnittpunkt .
  3. Gerade senkrecht zu durch ergibt Schnittpunkte und .
  4. Strecken eintragen.
  5. Kreis um durch ergibt Schnittpunkte und .
  6. Strecke , Kreis um durch .
  7. Bestimmen der Funktionspunkte:
Es beginnt mit Punkt , dessen Abstand zu Punkt