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Planimetrie

Konstruktionen der ebenen Geometrie

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Elemente

(Planimetrie/ LaTeX)

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Es gibt Geometrie in der Ebene (2D) und im Raum (3D). Planimetrie ist die Geometrie in der Ebene. Die fundamentalen Elemente der Geometrie sind Punkt, Gerade, Strecke, Strahl, Winkel und Ebene.

• Als Punkt wird in der Geometrie ein Objekt ohne Ausdehnung verstanden. Siehe Punkt
• Eine Gerade ist eine unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie konstanter Ausrichtung. Siehe Gerade
• Eine Strecke ist ein von zwei Punkten begrenzter Teil einer Gerade. Siehe Strecke
• Ein Strahl ist eine von einem Punkt einseitig begrenzter Teil einer Gerade. Siehe Strahl
• Die Ebene ist ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt. Siehe Ebene
• Ein Winkel ist ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird. Siehe Winkel

Grundkonstruktionen

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Hier werden wichtige Grundkonstruktionen der ebenen Geometrie erläutert. Es geht hier um Konstruktionen mit klassischen Mitteln, also nur Zirkel und (unskaliertes) Lineal.

Aufbau des Systems

Voraussetzung für alle Konstruktionen sind die beiden Elementarkonstruktionen "Strecke abtragen" und "Winkel antragen", deren Funktionsweise sich direkt erschließt. Darauf bauen die beiden wichtigsten Grundkonstruktionen "Halbieren einer Strecke" und "Halbieren eines Winkels" auf. Diese wiederum sind die Basis für die Konstruktion von Senkrechten und Parallelen.

Elementarkonstruktionen

Abtragen einer Strecke auf einer Geraden

Gegeben: Eine Strecke AB und eine Gerade mit einem Punkt P darauf.

1. Mit dem Zirkel in Punkt A einstecken und den Abstand zu B einstellen.
2. Den Zirkel in Punkt P einstecken und die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden zeichnen.
3. Es gibt zwei (!) Möglichkeiten.

Antragen eines Winkels in einem Punkt an eine Gerade

Gegeben: Ein Winkel α und eine Gerade mit einem Punkt P darauf.

1. Mit dem Zirkel in den Scheitelpunkt S des Winkels einstecken und einen Bogen durch beide Schenkel zeichnen (Punkte A und B).
2. Den gleichen Bogen auch um den Punkt P der Geraden zeichnen. Es ergibt sich Punkt C .
3. Den Zirkel auf den Abstand der beiden Punkte A und B einstellen und einen Bogen um C zeichnen.
4. Die Schnittpunkte der beiden Kreise um P und C ergibt den möglichen Punkt D auf dem anderen Schenkel des Winkels.
5. Es gibt durch zweifache Spiegelung vier (!) Möglichkeiten.

Grundkonstruktionen erster Stufe

Halbieren einer Strecke (Mittelsenkrechte, Streckensymmetrale)

Gegeben: Eine Strecke AB

1. Zeichne um den Punkt A einen Bogen mit einem Radius größer als AB / 2 .
2. Zeichne um den Punkt B einen Bogen mit dem gleichen Radius.
3. Verbinde die Schnittpunkte der Bögen( P und Q) mit einer Geraden. Diese halbiert AB in Punkt M und ist senkrecht zu AB.

Halbieren eines Winkels

Gegeben: Ein Winkel α

1. Zeichne um den Scheitelpunkt S einen Bogen mit beliebigem Radius. Die Schnittpunkte sind A und B .
2. Zwei weitere Bögen mit je ausreichendem Radius schneiden sich in einem weiteren Punkt C.
3. Die Gerade durch S und C halbiert den Winkel.

Hinweis

Die beiden Bögen um die Punkte A und B müssen den gleichen Radius haben. Dieser darf jedoch vom Radius des Bogens um S abweichen. Je größer die gewählten Radien, um so genauer wird die Konstruktion.

Grundkonstruktionen zweiter Stufe

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden (Fällen des Lotes)

Gegeben: Eine Gerade g und ein Punkt P außerhalb der Gerade.

1. Zeichne um zwei verschiedene Punkte (A , B) der Gerade jeweils einen Bogen vom Punkt P auf die andere Seite.
2. Der andere Schnittpunkt ist die Spiegelung P' des Punktes P an der Geraden.
3. Verbinde die Punkte mit einer Geraden. Diese ist das Lot von P auf die Gerade g mit dem Fußpunkt F.

Hinweis

Die in vielen Lehrbüchern dargestellte Konstruktion mit zwei gleichen Radien ist mathem. nicht notwendig und nur sinnvoll, wenn der Punkt so nahe an der Gerade liegt, dass die Konstruktion zu ungenau wird. Siehe dazu auch unter "Errichten einer Senkrechten" auf einem Punkt.

Errichten einer Senkrechten zu einer Geraden (Errichten des Lotes)

Linke Bildhälfte:

Gegeben: Eine Gerade g und ein Punkt M auf der Gerade.

1. Markiere mit dem Zirkel von dem Punkt M aus zwei weitere Punkte mit gleichem Abstand zu M auf der Gerade (A, B)
2. Zeichne um diese Punkte jeweils einen Kreis mit größerem Radius als zuerst mit dem Zirkel abgetragen.
3. Die Gerade durch M und den Schnittpunkt S der Kreise ist die Senkrechte s zu g im Punkt M und die Mittelsenkrechte der Stecke AB.

Rechte Bildhälfte:
Dieses Verfahren ist auch geeignet, Das Lot auf eine Gerade zu fällen, wenn der geg. Punkt nahe an der Gerade liegt.

Parallele in vorgegebenem Abstand

Gegeben: Eine Gerade g1 und ein Abstand d.

1. In zwei beliebigen aber verschiedenen Punkten P und Q der Gerade g1 werden die Senkrechten s1 und s2 errichtet.
2. Trage auf den Senkrechten ( auf einer Seite der Gerade g1) jeweils den Abstand d ab.
3. Die Gerade g2 durch die so gefundenen Punkte R und S ist zu g1 parallel und hat den Abstand PR = QS = d.

Hinweis

Je länger die Strecke PQ gewählt wird, desto genauer kann gezeichnet werden.

Parallele durch einen vorgegebenen Punkt

Gegeben: Eine Gerade g1 und ein Punkt P außerhalb von g1.

Möglichkeit 1

1. Zeichne einen Bogen mit einem Radius r um P, welcher die Gerade g1 in einem Punkt Q schneidet.
2. Trage ab Q den Radius r auf der Geraden ab (Punkt R).
3. Zeichne einen Bogen mit dem Radius r um R, welcher den ersten Bogen in Punkt S schneidet.
4. Die Gerade durch S und P ist die Parallele.

Möglichkeit 2

1. Zeichne einen unterbrochenen Kreisbogen um den auf der Geraden g₁ gewählten Punkt M durch den Punkt P mit dem Radius r₁. Er schneidet die Gerade g₁ in den Punkten A und B.
2. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius r₂, entspricht dem Abstand |AP|, um den Punkt B bis er den Kreisbogen um M in C schneidet.
3. Die Gerade durch P und C ist die Parallele.

Möglichkeit 3 mit kollabierendem Zirkel

1. Zeichne einen Kreis um den auf der Geraden g₁ gewählten Punkt M durch den Punkt P. Er schneidet die Gerade g₁ im Punkt A.
2. Zeichne einen Kreis um den Punkt P durch den Punkt M.
3. Zeichne einen Kreis um den Punkt A durch den Punkt M. Er schneidet den Kreis um P in B.
4. Die Gerade durch P und B ist die Parallele.

Weblinks

•   Kollabierender Zirkel

Dreieckskonstruktionen

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Bezeichnungen

• Angaben in kursiver Schrift dienen der Verbesserung der Genauigkeit und sind nicht zwingend notwendig.

Die fünf Standardkonstruktionen

Konstruktion 1 (SSS)

Gegeben: Die drei Seiten a, b und c

Notwendige Bedingung:Die Differenz von zwei Seiten (Betrag) muss kleiner sein als die dritte Seite (Dreiecksungleichungen).

1. Trage auf einer Geraden eine der Seiten ab. Am besten die längste Seite.
2. Zeichne um einen Endpunkt einen Bogen mit dem Radius, welcher einer anderen Seite entspricht.
3. Zeichne um den anderen Endpunkt einen Bogen mit dem Radius, welcher der dritten Seite entspricht.
4. Die beiden Schnittpunkte zeigen den dritten Eckpunkt für die beiden spiegelsymmetrischen Lösungen auf.

Hinweis

Sofern auf der Zeichenfläche keine der Seiten eine gegebene Position hat, sollte mit der längsten Seite begonnen werden. Dies ermöglicht das genaueste Ergebnis.

Konstruktion 2 (SWS)

Gegeben: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel.

Beispiel

Gegeben: a, b, γ

1. Zeichne die Strecke AC = b
2. Trage am Endpunkt C den Winkel γ an.
3. Trage auf dem freien Schenkel (Gerade g) die Strecke a ab. Man erhält den dritten Eckpunkt B.
4. Verbinde die Punkte A und B miteinander.

Konstruktion 3 (WSW)

Gegeben: Eine Seite und die anliegenden Winkel.

Beispiel

Gegeben: c, α und β

1. Trage auf einer Geraden die Seite c ab.
2. Trage an die Enden der Seite c auf einer Seite der Geraden die Winkel β und α an.
3. Verlängere ggf. die freien Schenkel (f und g) der Winkel bis sie sich (im Punkt C) schneiden.

Notwendige Bedingung: Die Summe der beiden Winkel ist kleiner als der gestreckte Winkel.

Konstruktion 4 (SWW)

Gegeben: Eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel.

Beispiel

gegeben: a, β und α.

1. Trage auf einer Geraden die Seite a ab.
2. Trage an einem Ende der Seite a (Ecke B) den Winkel β an (Gerade g).
3. Trage in Punkt B an den freien Schenkel den Winkel α nach außen an. Man erhält den Winkel α + β
4. Der Winkel zwischen dem so gewonnenen weiteren freien Schenkel und der Gerade, auf der sich die Seite a befindet, ist der Winkel 180° - α - β = γ.
5. Trage den Winkel γ an der Ecke C an.
6. Verlängere ggf. die freien Schenkel der Winkel β und γ bis sie sich (im Punkt A) schneiden.

1. Alternativ ab 4.: Verschiebe die sich durch den Winkel α ergebende Strecke von Punkt B parallel nach Punkt C. Der sich ergebende Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Geraden g (siehe 2.) ergibt Punkt A.

2. Alternative: Über die Winkelsumme im Dreieck von 180° kann man den dritten Winkel γ = 180° - α vorab berechnen. Dann kann man das Dreieck auch nach Konstruktion 3 (WSW) konstruieren.

Konstruktion 5 (SSW)

Gegeben: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel.

Beispiel

gegeben: a, b und β.

1. Trage auf einer Geraden diejenige Seite ab, an der der gegebene Winkel anliegt, im Beispiel also die Seite a.
2. Trage an der Ecke B der Seite a den Winkel β an und verlängere den freien Schenkel.
3. Zeichne um den anderen Endpunkt der Seite a, also um die Ecke C, einen Bogen mit dem Radius der Seite b.
4. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem freien Schenkel von β liefert den dritten Eckpunkt A.

Hinweis

Je nachdem, wie lang die beiden Seiten sind und wie groß der Winkel ist (spitz oder stumpf), gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen, muss der Winkel der größeren Seite gegenüber liegen.

Weitere Konstruktionen

Konstruktion 6 (HHH)

Gegeben: Die drei Höhen h_a, h_b und h_c

Diese Konstruktion ist relativ umfangreich und daher auf einer eigenen Seite dargestellt. Siehe dazu unter Dreieck aus drei Höhen.

Dreieck aus drei Höhen

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Dreieckskonstruktion 1. Möglichkeit

Skizze unmaßstäblich

Vorüberlegung:

Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen: Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich. Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.

(1)   $A={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}={\frac {b\cdot h_{b}}{2}}={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}$

und damit

(2)   $a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=c\cdot h_{c}$

Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von $C$ aus auf der Seite $b$ die Höhe $h_{a}$ und auf der Seite $a$ die Höhe $h_{b}$ antragen (siehe Skizze) nach (2) als Verhältnisgleichung ist

(3)   ${\frac {a}{h_{b}}}={\frac {b}{h_{a}}}$   und   (3a)   $\qquad {\frac {c}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{c}}}$

und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie $d$ parallel zu $c$ laufen.

Skizze unmaßstäblich

Weiter ist dann nach dem Strahlensatz

(4)   ${\frac {d}{c}}={\frac {h_{a}}{b}}$

(4a)   $d=h_{a}\cdot {\frac {c}{b}}$

(3a) in (4a) eingesetzt:

(4b)   $d={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{c}}}$

Damit sind für das Hilfsdreieck $CDE$ die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.

Die eigentliche Dreieckskonstruktion ist nun relativ einfach:

Man konstruiert das Dreieck $CDE$ aus den Seiten $h_{a}$, $h_{b}$ und $h_{c}$. Auf die Seite $d$ fällt man ein Lot zu Punkt $C$ und verlängert dieses auf die Länge $h_{c}$. Durch den Endpunkt der Höhe $h_{c}$ zieht man eine Parallele zur Linie $d$ deren Schnittpunkte mit den Verlängerungen von $h_{a}$ und $h_{b}$ die Punkte $A$ und $B$ ergeben (siehe Skizze).

Dreieckskonstruktion 2. Möglichkeit

Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem Strahlensatz

1. Zeichne eine Gerade $g_{1}$ und trage ${\overline {SG}}=h_{c}$ ab.
   
   
2. Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt $H$ in einem Abstand von ${\overline {SH}}=h_{c}$ und ${\overline {GH}}=h_{b}$.
   
   
3. Zeichne das gleichschenklige Dreieck $\triangle {GSH}$.
   
   
4. Trage auf beiden Schenkeln die Strecken ${\overline {SK}}={\overline {SL}}=h_{a}$ ab.
   
   
5. Die Strecke ${\overline {KL}}=d$ hat die Länge $d={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{c}}}$.
   
   

Teil 2: Konstruktion des Dreiecks

1. Zeichne um ein Ende der Strecke $d={\overline {DE}}$ (Punkt $D$) einen Kreisbogen mit dem Radius $h_{b}$ und um das andere Ende (Punkt $E$) einen Kreisbogen mit dem Radius $h_{a}$. Es entstehen zwei zur Strecke ${\overline {DE}}$ symmetrische Schnittpunkte ($C$ und $H$).
   
   
2. Zeichne die Geraden ${\overline {CD}}$ und ${\overline {CE}}$.
   
   
3. Fälle das Lot von $C$ auf ${\overline {DE}}$ durch Verbinden der Punkte $C$ und $H$.
   
   
4. Trage auf dieser Lotgerade von $C$ aus die Strecke $h_{c}$ ab (Endpunkt $G$).
   
   
5. Konstruiere zur Strecke ${\overline {DE}}$ eine parallele Gerade im Abstand ${\overline {FG}}$.
   1. Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um $E$ mit dem Radius ${\overline {FG}}$ und eines Bogens um Punkt $F$ mit dem Radius ${\overline {EG}}$.
   2. Verfahre mit einem Bogens um $D$ mit dem Radius ${\overline {FG}}$ und einem Bogen um $F$ mit dem Radius ${\overline {DG}}$ genauso.
   3. Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.
      
      
6. Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden ${\overline {CD}}$ und ${\overline {CE}}$ bildet das gesuchte Dreieck $\triangle {ABC}$.
   
   

Durchführbarkeit der Konstruktion

Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn $CDE$ konstruiert werden kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${\tfrac {1}{h_{a}}}+{\tfrac {1}{h_{b}}}>{\tfrac {1}{h_{c}}}$ usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.

Dreieckskonstruktion 3. Möglichkeit

In der folgenden Konstruktion entsteht direkt aus dem sogenannten Hilfsdreieck AB₁C₁ das gesuchte Dreieck ABC.

Vorüberlegungen

Nach der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie $g$ gilt

$A={\frac {1}{2}}\cdot g\cdot h\;$ mit verdoppeltem Flächeninhalt gilt

$2A=g\cdot h$ mit der Bedingung der Flächeninhalt $2A$ bleibt unverändert, wird z. B. die Grundlinie $g$ verdoppelt, damit ergibt sich

$2A=2g\cdot {\frac {h}{2}}\;$ somit zeigt sich

die Länge der Grundlinie $g$ des Dreiecks verhält sich umgekehrt proportional zur Höhe $h$.

Für das gesuchte Dreieck $ABC$ bedeutet dies:

$a:b={\frac {1}{h_{a}}}:{\frac {1}{h_{b}}};\;\;b:c={\frac {1}{h_{b}}}:{\frac {1}{h_{c}}};\;\;a:c={\frac {1}{h_{a}}}:{\frac {1}{h_{c}}}\;$ oder

$a:b:c={\frac {1}{h_{a}}}:{\frac {1}{h_{b}}}:{\frac {1}{h_{c}}}\;$ daraus folgt:

Zwei Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich demnach zueinander wie die Kehrwerte der entsprechenden Höhen. Dies bedeutet, ein sogenanntes Hilfsdreieck dessen Seitenlängen (direkt) proportional zu den Höhen ${\frac {1}{h_{a}}},$ ${\frac {1}{h_{b}}},$ und ${\frac {1}{h_{c}}}$ sind, ist ähnlich dem gesuchten Dreieck $ABC.$

Multipliziert man ${\frac {1}{h_{a}}}$, ${\frac {1}{h_{b}}}$ bzw. ${\frac {1}{h_{c}}}$ mit dem Proportionalitätsfaktor $h_{a}\cdot h_{b}$, so erhält man für die Seitenlängen $a_{1},b_{1}$ und $c_{1}$ des Hilfsdreiecks folgende Werte:

$a_{1}={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{a}}}=h_{b};\;\;b_{1}={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{b}}}=h_{a};\;\;c_{1}={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{c}}}$

Ist die Seitenlänge $c_{1}$, als Strecke ${\overline {AB_{1}}}$, aus den zwei Höhen $h_{a}$ und $h_{b}$ mithilfe des 2. Strahlensatzes auf einer Geraden konstruiert, werden die Höhen $h_{a}$ und $h_{b}$ als Seiten des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ eingearbeitet. Abschließend erhält man durch eine zentrische Streckung des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ das endgültige Dreieck $ABC.$

Konstruktionsplan

Konstruktion mit Hilfsdreieck AB₁C₁, Animation siehe

1. Bezeichne die Höhen unter Berücksichtigung, dass $h_{c}$ nicht länger als $h_{a}$ ist.
2. Zeichne eine Gerade $g_{1}$ und bestimme darauf den ersten Eckpunkt $A$ des späteren Dreiecks.
3. Errichte eine Senkrechte zur Gerade $g_{1}$ im Punkt $A$ und übertrage darauf die Höhe $h_{c}$ als Strecke ${\overline {AD}}$ ab.
4. Konstruiere eine Parallele $g_{2}$ zur Gerade $g_{1}$ durch den Punkt $D.$
5. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_{a},$ er schneidet die Gerade $g_{2}$ im Punkt $E.$
6. Verbinde den Punkt $A$ mit dem Punkt $E.$
7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_{b}.$
8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke ${\overline {AE}}$ im Punkt $A,$ sie erzeugt den Schnittpunkt $F$ auf dem Kreisbogen mit Radius gleich der Höhe $h_{b}.$
9. Zeichne eine Parallele zur Strecke ${\overline {AE}}$ ab dem Punkt $F$ bis zur Gerade $g_{1},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $B_{1}.$
10. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $B_{1}$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_{b},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $C_{1}$ auf dem Kreisbogen mit dem Radius gleich der Höhe $h_{a},$ somit sind die drei Eckpunkte des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ bestimmt.
11. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt $A$ durch den Punkt $C_{1}$ bis auf die Gerade $g_{2},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $C.$ Der Punkt $C$ ist der zweite Eckpunkt des späteren Dreiecks.
12. Verbinde den Punkt $B_{1}$ mit dem Punkt $C_{1}.$
13. Zeichne eine Parallele zur Strecke ${\overline {B_{1}C_{1}}}$ ab dem Punkt $C$ bis auf die Gerade $g_{1},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $B.$ Der Punkt $B$ ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
14. Verbinde den Punkt $A$ mit dem Punkt $B,$ somit ist das Dreieck $ABC$ konstruiert.

Beweis

Beweis des Hilfsdreiecks

Seitenlängen des Hilfsdreiecks

Für die Seitenlängen des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ ergibt sich:

$|AC_{1}|=h_{a}$ (Konstruktionsplan, 5.)

$|B_{1}C_{1}|=h_{b}$ (Konstruktionsplan, 10.)

Die Dreiecke $AFB_{1}$ und $ADE$ sind zueinander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Daraus folgt $|AB_{1}|:|AF|=|AE|:|AD|$ und weiter

$|AB_{1}|={\frac {|AF|\cdot |AE|}{|AD|}}={\frac {h_{b}\cdot h_{a}}{h_{c}}}.$

Seitenverhältnisse im Hilfsdreieck

Aus dem letzten Abschnitt folgt unmittelbar:

$|AB_{1}|:|AC_{1}|={\frac {h_{b}\cdot h_{a}}{h_{c}}}:h_{a}=h_{b}:h_{c}$

$|AC_{1}|:|B_{1}C_{1}|=h_{a}:h_{b}$

Übergang zum Dreieck $ABC$

Wegen der Parallelität von $B_{1}C_{1}$ und $BC$ (Punkt 13. des Konstruktionsplans) sind die Dreiecke $AB_{1}C_{1}$ und $ABC$ zueinander ähnlich. Somit erhält man für die Seitenverhältnisse im Dreieck $ABC$:

$|AB|:|AC|=|AB_{1}|:|AC_{1}|=h_{b}:h_{c}$

$|AC|:|BC|=|AC_{1}|:|B_{1}C_{1}|=h_{a}:h_{b}$

Berücksichtigt man, dass die Höhen umgekehrt proportional zu den Seiten sind, so erhält man daraus:

$|AB|:|AC|=c:b$

$|AC|:|BC|=b:a$

Wegen übereinstimmender Seitenverhältnisse kann man daraus schließen, dass das konstruierte Dreieck $ABC$ zum gesuchten Dreieck ähnlich ist.

Da der Abstand zwischen den Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ gleich $h_{c}$ ist (Konstruktionsplan, 3.), hat die Höhe $h_{c}$ den richtigen Wert, das heißt das konstruierte Dreieck ist nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent zum gesuchten Dreieck.

Berechnung der Dreiecksseiten und des Flächeninhalts

Berechnung

1. Dreieck $AED$

1.1 $\cos(\beta )={\frac {h_{c}}{h_{a}}}$

2. Dreieck $AFB_{1}$

2.1 $c_{1}=|AB_{1}|={\frac {h_{b}}{\cos(\beta )}}={\frac {h_{b}h_{a}}{h_{c}}}$

3. Hilfsdreieck $AB_{1}C_{1}$

3.1 Bezeichnungen:

$a_{1}=|B_{1}C_{1}|=h_{b}$

$b_{1}=|AC_{1}|=h_{a}$

$c_{1}=|AB_{1}|={\frac {h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$

$h_{a1}=|AG|$

3.2 Kosinussatz: ${c_{1}}^{2}={a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}-2a_{1}b_{1}\cdot \cos(\gamma )={h_{b}}^{2}+{h_{a}}^{2}-2h_{a}h_{b}\cos(\gamma )$

3.3 Folgerung: $\cos(\gamma )={\frac {{h_{b}}^{2}+{h_{a}}^{2}-{c_{1}}^{2}}{2h_{a}h_{b}}}={\frac {{h_{b}}^{2}+{h_{a}}^{2}-\left({\frac {h_{a}h_{b}}{h_{c}}}\right)^{2}}{2h_{a}h_{b}}}$

Durch Erweitern mit ${h_{c}}^{2}$ ergibt sich daraus

$\cos(\gamma )={\frac {{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+{h_{a}}^{2}{h_{c}}^{2}-{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}}{2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}}$.

3.4 $\sin(\gamma )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\gamma )}}={\sqrt {1-\left({\frac {{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+{h_{a}}^{2}{h_{c}}^{2}-{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}}{2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}}\right)^{2}}}$

$={\sqrt {\frac {\left(2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}\right)^{2}-\left({h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+{h_{a}}^{2}{h_{c}}^{2}-{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}\right)^{2}}{\left(2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}\right)^{2}}}}$

$={\sqrt {\frac {4{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}-2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}+2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{2}+2{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}}{4{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}}}}$

$={\sqrt {\frac {2{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{2}+2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}{4{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}}}}$

$={\frac {\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}{2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}}$

3.5 $h_{a1}=b_{1}\cdot \sin(\gamma )=h_{a}\cdot \sin(\gamma )$

4. Ähnliche Dreiecke: $AB_{1}C_{1}\sim ABC$

4.1 ${\frac {h_{a}}{h_{a1}}}={\frac {a}{h_{b}}}$

$a={\frac {h_{a}h_{b}}{h_{a1}}}={\frac {h_{a}h_{b}}{h_{a}\sin(\gamma )}}={\frac {h_{b}}{\sin(\gamma )}}$

5. Dreieck $ABC$

5.1 Einsetzen des Rechenausdrucks für $\sin(\gamma )$ in die letzte Gleichung ergibt die Seitenlänge $a$:

$a=h_{b}\cdot {\frac {2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

$a={\frac {2h_{a}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

Entsprechend erhält man die beiden anderen Seitenlängen:

5.2 $b={\frac {2{h_{a}}^{2}h_{b}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

5.3 $c={\frac {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}h_{c}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

5.4 Der Flächeninhalt ergibt sich daraus gemäß der Formel $A={\frac {1}{2}}ah_{a}$:

$A={\frac {{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

Dreieckskonstruktion, 4. Möglichkeit

Nachfolgend wird eine relativ einfache Form der Konstruktion aus den drei Höhen erläutert. Diese Lösung kommt ohne jede Vorberechnung aus. Die als $h_{a}$ gewählte Höhe sollte kleiner als $h_{c}$ sein.

1. Konstruiere das gleichschenklige $\triangle {HFG}$ nach dem Kongruenzsatz SSS aus den Seitenlängen $h_{c}$ (2 mal) und $h_{b}$

2. Trage auf den beiden Strecken $h_{c}$ jeweils die Strecke $h_{a}$ von Punkt $H$ ab. Man erhält die Punkte $D$ und $E$

3. Die Verbindung der beiden Endpunkte $D$ und $E$ ergibt die Strecke $d$

4. Schlage einen Kreisbogen mit dem Radius $h_{a}$ um den Punkt $D$

5. Schlage einen weiteren Kreisbogen mit dem Radius $h_{b}$ um den Punkt $E$

6. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ergibt den Dreieckspunkt $C$

7. Zeichne eine parallele Strecke zu ${\overline {FG}}$ im Abstand $h_{c}$ von Punkt $C$

8. Zeichne eine Strecke von $C$ über $D$ hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt $A$ des gesuchten Dreiecks

9. Zeichne eine Strecke von $C$ über $E$ hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt $B$ des gesuchten Dreiecks

10. Damit ist das $\triangle {ABC}$ konstruiert

Weblinks

•  Kosinussatz
•  Konstruktion mit Zirkel und Lineal
•  Kongruenzsatz
•  Parallelogramm
•  Proportionalitätsfaktor
•  Strahlensatz
• Matroids Matheplanet Zum HHH-Fall ein Beispiel für eine Konstruktion, aus dem Buch "geometria – scientiae

Viereckskonstruktionen

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Die Konstruktionsbeschreibungen bauen auf die Grundkonstruktionen auf. Die Reihenfolge ist so gewählt, dass nachfolgende Beschreibungen auf die zuvor dargestellten Bezug nehmen können.

Konstruktion einer Raute

Fall DS

Gegeben: Eine Diagonale d und die Seite s.

1. Zeichne eine Gerade und trage die Diagonale AC ab.
2. Zeichne um die Streckenenden je einen Bogen mit dem Radius r gleich der Seitenlänge s.
3. Die Schnittpunkte der Bögen ( B und D) sind die fehlenden Eckpunkte.
4. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.

Hinweis

Dieses Verfahren ist eine Konstruktion der Mittelsenkrechten mit vorgegebenem Zirkelradius.

Fall DD

Gegeben: Die beiden Diagonalen.

1. Zeichne eine Gerade g1 und trage die Diagonale d1 = AC ab.
2. Konstruiere die Mittelsenkrechte g2 dazu.
3. Trage auf der Mittelsenkrechten vom Schnittpunkt g1 x g2 mit dem Zirkel auf einer Seite die zweite Diagonale d2 ab (Punkt P).
4. Halbiere diese Diagonale (Punkt B).
5. Übertrage den so gefundenen Punkt auf die andere Seite der ersten Diagonale (Punkt D).
6. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.

Hinweis

Bei d1 = d2 entsteht ein Quadrat.

Fall SW

Gegeben: Ein Winkel α und die Seite a.

1. Führe eine Winkelhalbierung durch und verwende dabei als Radius der Bögen nur die Seitenlänge.
2. Zeichne statt der Winkelhalbierenden die fehlenden Seiten zum vierten Eckpunkt.

Fall GP

Gegeben: Die Gerade, auf der eine Seite (a) liegt und einer der Eckpunkte ( A) ausserhalb.

1. Konstruiere die Parallele zu g1 durch den Punkt A und verwende als Radius die Seite a.

Konstruktion eines Rechtecks

Fall SS

Gegeben: Seite a und b.

Konstruktion 1

1. Zeichne eine Gerade g1
2. Konstruiere eine Parallele mit gegebenem Abstand b und verwende dabei zwei Punkte (A, B) der Gerade g1 mit dem Abstand a zueinander.
3. Verbinde die gefundenen Eckpunkte C und D miteinander.

Konstruktion 2

Konstruktion wie beim Quadrat die Konstruktion 2, jedoch mit der Besonderheit, dass b = AD ist.

Fall SD

Gegeben: Seite a und Diagonale d.

1. Zeichne eine Gerade g1 und trage darauf die Diagonale d = AC ab.
2. Halbiere die Diagonale. Der so gewonnene Punkt M ist die Mitte des Rechtecks.
3. Zeichne einen Vollkreis von den Enden der Diagonale um Punkt M
4. Zeichne um jedes Ende der Diagonale einen Bogen mit Seite a als Radius, von jedem Ende aus auf einer anderen Seite der Diagonale. Die Schnittpunkte mit dem ersten Kreis sind die Positionen der beiden anderen Eckpunkte B und D.
5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.

Hinweis

Diese Konstruktion baut auf dem Satz des Thales auf.

Konstruktion eines Quadrats

Fall S

Gegeben: Seite a

Konstruktion 1

Konstruktion wie beim Rechteck, jedoch mit der Besonderheit, dass b = a ist.

Konstruktion 2

Quadrat bei gegebener Seitenlänge

Eine alternative Konstruktion zeigt die nebenstehende Darstellung. Der rechte Winkel wird mithilfe des Thaleskreises gefunden.

1. Zeichne die Seite a = AB.
2. Bestimme den Punkt M mit einem beliebigen Abstand |AM|.
3. Ziehe den Thaleskreis um Punkt M mit dem Radius |AM|. Der Schnittpunkt des Thaleskreises mit der Seite a ist E.
4. Ziehe eine gerade Linie von E durch M bis zum Thaleskreis. Der Schnittpunkt der geraden Linie mit dem Thaleskreis ist F.
5. Nimm die Seite a in den Zirkel und schlage einen kurzen Kreisbogen um Punkt A.
6. Ziehe eine gerade Linie von A durch F bis zum kurzen Kreisbogen, dabei ergeben sich der rechte Winkel EAF und der Schnittpunkt D. Die Strecke AD ist eine Seite des entstehenden Quadrates.
7. Nimm die Seite a in den Zirkel und schlage jeweils einen kurzen Kreisbogen um Punkt D und um Punkt B, die beiden Kreisbögen schneiden sich in C.
8. Verbinde abschließend den Punkt B mit C und den Punkt C mit D.

Konstruktion 3

Weitere Konstruktion bei gegebener Seitenlänge

Diese Konstruktion ist der zweiten ähnlich, kommt aber mit einer einzigen Zirkeleinstellung aus.

1. Zeichne die Seite a = AB.
2. Zeichne einen Kreisbogen c₁ mit dem Radius a um Endpunkt A der Seite (mind. einen Viertelkreis).
3. Zeichne einen Kreisbogen c₂ mit dem Radius a um den Endpunkt B der Strecke (mind. einen Viertelkreis). Der Schnittpunkt mit c₁ ist Punkt M (die dritte Ecke des gleichseitigen Dreiecks ABM).
4. Zeichne eine Gerade g₁ von B durch M, mind. um BM über M hinaus.
5. Zeichne mit dem gleichen Radius a einen Thaleskreisc_t um M, von B über A bis zu g₁; der Schnittpunkt ist E.
6. Verbinde A mit E; der neue Schnittpunkt mit c₁ ist eine weitere Ecke (D) des Quadrats.
7. Zeichne mit dem gleichen Radius a um Eckpunkt D einen dritten Kreisbogen c₃ von A bis zum anderen Schnittpunkt mit c₂; Dieser ist die vierte Ecke C des Quadrats.
8. Verbinde die Punkte B, C, D und A zum Quadrat.

Fall D

Quadrat bei gegebener Diagonale

Gegeben: Diagonale d.

1. Zeichne die Diagonale d = AC.
2. Halbiere die Diagonale und zeichne dabei durch die Schnittpunkte O und P die Mittelsenkrechte ein. Der so gewonnene Punkt M ist die Mitte des Quadrats.
3. Zeichne einen Vollkreis von den Enden der Diagonale um Punkt M.
4. Die Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechten sind die beiden anderen Eckpunkte B und D des Quadrats.
5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.

Konstruktion eines Parallelogramms

Fall SSH

Parallelogramm (g₁ nicht eingezeichnet), für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt $E$ frei wählbar.

Gegeben: Die Seiten a und b und die Höhe h auf eine Seite, z. B. h_a.

1. Zeichne eine Gerade g1 und trage darauf die Seite a = AB ab, zu der die Höhe gegeben ist.
2. Konstruiere die Parallele im Abstand h_a.
3. Zeichne um die Enden der Seite einen Bogen mit dem Radius gleich der anderen Seitenlänge.
4. Zwei Schnittpunkte mit m Abstnd a sind die beiden fehlenden Eckpunkte C und D.
5. Verbinde die Punkte A, B, C und D zyklisch miteinander.

Fall SWS

Gegeben: Beide Seiten und ein Winkel.

1. Trage auf den Schenkeln des Winkels die beiden Seiten ab.
2. Zeichne um die freien Enden der Seiten einen Bogen mit dem Radius gleich der jeweils anderen Seite.
3. Die fehlende vierte Ecke ist derjenige Schnittpunkt der beiden Bögen, welcher zu einem konvexen Viereck führt, das andere Viereck ist überschlagen.
4. Verbinde die Eckpunkte zyklisch miteinander.

Hinweis

Diese Konstruktion baut auf der Dreieckkonstruktion "SWS" auf.

Fall HWH

Gegeben: Beide Höhen und ein Winkel.

1. Konstruiere eine Gerade und eine Parallele mit einer Höhe als Abstand.
2. Trage an einem Punkt der Geraden den Winkel an.
3. Zeichne eine Parallele zum anderen Schenkel des Winkels im Abstand der anderen Höhe.
4. Verbinde die Eckpunkte miteinander.

Konstruktion eines Drachenvierecks

Fall WSS

Gegeben: Die beiden Seitenlängen a und b und ein zwischen gleichen Seiten (auf der Symmetrieachse) liegender Winkel α

1. Zeichne eine Gerade, Wähle darauf einen Punkt A und trage von dort die Seite mit dem angrenzenden gegebenen Winkel ab.
2. Trage in Punkt A den geg. Winkel an.
3. Trage auf dem freien Schenkel des Winkels die andere Seite gleicher Länge ab.
4. Zeichne um die beiden freien Enden (Die Ecken B und D) einen Kreis mit einem Radius gleich der anderen Seitenlänge.
5. Derjenige Schnittpunkt der Kreise, welcher einen größeren Abstand zu A hat, ist die vierte Ecke C. (Der andere Schnittpunkt erzeugt ein konkaves Viereck) . Verbinde die Punkte B und D mit dem Punkt C.

Fall SWS

Gegeben: Die beiden Seitenlängen a und b und ein zwischen verschiedenen Seiten ( nicht auf der Symetrieachse) liegender Winkel β

1. Zeichne eine Gerade, Wähle darauf einen Punkt A und trage von dort die Seite mit dem angrenzenden gegebenen Winkel ab. Das andere Seitenende ist Punkt B.
2. Trage in Punkt B den geg. Winkel an.
3. Trage auf dem freien Schenkel des Winkels die andere Seite ab. Man erhält den Punkt C.
4. Verbinde die freien Endpunkte A und C miteinander. Das ist eine Diagonale und die Symetrieachse.
5. Spiegele Punkt B an dieser Diagonalen. Der Spiegelpunkt ist die vierte Ecke D.
6. Verbinde D mit A und C.

Sonstige Vierecke

Kurzinhalt: Hier werden verschiedene Konstruktionen für regelmäßige Polygone vorgestellt. Das Kapitel Animationen stellt einige davon in einem animierten Video dar. Für Näherungskonstruktionen wird die Genauigkeit berechnet und eindrucksvoll veranschaulicht.

Polygonkonstruktionen

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Einführung

Die Konstruktion von Polygonen hängt nicht nur von der Eckenzahl, sondern auch von den Symmetrien ab. So benötigt man z.B. für die Konstruktion eines Quadrates nur eine Größe (Länge der Seite oder Diagonale), da die große Symmetrie festschreibt, dass a) alle Winkel rechte Winkel sind und b) alle Seiten gleich lang sind. Nimmt man eine Symmetrie weg, z.B. das Rechteck, so dass sich die generelle Unbestimmtheit erhöht (Seiten können verschieden lang sein) so benötigt man bereits zwei Werte. Geht man zum Parallelogramm über (Winkel sind paarweise variabel) , so benötigt man drei Werte u.s.w. Die Zusatzbedingungen, wie z.B. gleiche Werte, sorgen dafür, dass man zusätzliche Werte als ursprünglich gegeben erhält.

Beispiel

Bei einem Dreieck ist nur eine Seite gegeben. Das reicht im allgemeinen Fall nicht für die Konstruktion aus. ist aber noch angegeben, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, so kann aus den Formeln

α + β + γ = 180°

und

a = b = c (gleichseitig)

die Angabe

α = β = γ = 60°

gewonnen werden. Hier ergeben sich also vier Werte, davon sind drei voneinander unabhängig. Diese Werte reichen für die Konstruktion aus.

Allgemeines Polygon

Ein unregelmäßigen N-Eck ist konstruierbar, wenn:

1. N-1 Seiten und die dazwischenliegenden N-2 Winkel bekannt sind.

Regelmäßiges Polygon

Animationen

Alternative Konstruktionen (bei gegebenem Umkreis) zu Quadrat, Fünfeck, Achteck und Zehneck sind auf einer Extraseite zu finden.

Dreieck

Das "regelmäßige" Dreieck ist das gleichseitige Dreieck. Zur Konstruktion bei gegebener Seite siehe Konstruktion 1 (SSS) mit dem Sonderfall, dass alle Seiten gleich sind.

Die Konstruktion bei gegebenem Umkreis entspricht weitgehend der Konstruktion des Sechsecks, mit dem Unterschied, dass nur jeder zweite Punkt auf dem Kreis miteinander verbunden wird.

Viereck

Das regelmäßige Viereck ist das Quadrat. Siehe Konstruktion eines Quadrats.

Fünfeck

Fünfeck bei gegebenem Umkreis

Konstruktion eines Fünfecks in einem umschließenden Kreis

1. Zeichne einen Kreis (späterer Umkreis, blau) mit Radius r um dem Mittelpunkt M.
2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Durchmesser (rot) ein.
3. Halbiere einen Radius (magenta, Punkt D).
4. Zeichne einen Kreis (grün) mit dem Radius DE um Punkt D. Er schneidet die Strecke AM im Punkt F. Die Strecke EF ist die Länge der Seite.
5. Zum Abtragen auf dem Umkreis einen weiteren Kreisbogen (orange) mit Radius EF um E zeichnen. Er schneidet den ersten Kreis (blau) in G. Vorgang entsprechend wiederholen.

Fünfeck bei gegebener Seitenlänge

Fünfeck bei gegebener Seitenlänge

Mit Anwendung des goldenen Schnitts,  äußere Teilung.

1. Zeichne eine Strecke AB deren Länge die vorgegebene Seite des Fünfecks ist.
2. Verlängere die Strecke ab dem Punkt A um ca. drei Viertel der Strecke AB
3. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius AB.
4. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB, es ergibt sich der Schnittpunkt F.
5. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AB durch den Punkt F, es ergibt sich der Punkt G
6. Zeichne eine Parallele zur Strecke FG ab dem Punkt A bis über den Kreisbogen um Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt H.
7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt G mit dem Radius GH bis zur Verlängerung der Strecke AB, es ergibt sich der Schnittpunkt J.
8. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius BJ bis über die Senkrechte die durch den Punkt F geht, es ergeben sich die Schnittpunkte D auf der Senkrechten und E mit dem Kreisbogen um Punkt A.
9. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt D mit dem Radius BA bis er den Kreisbogen um Punkt B schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
10. Verbinde die Punkte B-C-D-E-A, somit ergibt sich das Fünfeck.

Wie in der Konstruktion bei gegebenem Umkreis, ist auch hier der  Goldene Schnitt der maßgebende Baustein:   ${\frac {\overline {BJ}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AJ}}}=\Phi \approx 1{,}618$

Sechseck

Sechseck bei gegebenem Umkreis

Konstruktion eines Sechsecks mit Zirkel und Lineal

Ein reguläres Sechseck wird konstruiert, indem bei einem Kreis der Radius des Kreises sechsmal auf dem Kreisrand abgetragen wird. Die erhaltenen Punkte sind die Ecken des Sechsecks.

Sechseck bei gegebener Seitenlänge

Konstruktion eines Sechsecks, Seitenlänge gegeben

Ein reguläres Sechseck lässt sich ebenfalls konstruieren, wenn eine vorhandene Strecke als Seitenlänge verwendet werden soll.

1. Bezeichne die Endpunkte der Strecke mit A bzw. B.
2. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius AB.
3. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius AB, es ergibt sich der Schnittpunkt M, der Mittelpunkt vom späteren Umkreis.
4. Zeichne einen Kreis um den Punkt M mit dem Radius AM, dies ist der Umkreis des späteren Sechsecks.
5. Trage die Strecke AB ab dem Punkt B viermal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
6. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Sechseck ABCDEF

Siebeneck

Nur mit Zirkel und Lineal kann das Siebeneck nicht exakt konstruiert werden. Es gibt jedoch Näherungen.

Näherung 1

Siebeneck, einfache Näherungskonstruktion mit gegebenem Umkreis bzw. gegebener Seite

Bei gegebenem Umkreis.

1. Konstruiere das dem Kreis einbeschriebene gleichseitige Dreieck, indem am Kreis der Radius sechsmal abgetragen wird (Sechseck) und jeder zweite Punkt miteinander verbunden wird.
2. Halbiere eine Dreieckseite, durch verbinden einer Ecke mit dem gegenüberliegenden Punkt auf dem Umkreis. Die halbe Dreieckseite ist eine Näherung für das Siebeneck.

$s\approx r\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\approx r\cdot 0{,}8660254$

Relativer Fehler:

$f={\frac {0{,}8660254037844386-0{,}8677674782351162}{0{,}8677674782351162}}\cdot 100\%\approx -0{,}2\%$

Bei einem Radius von 1 m ist die Seite 1,7 mm zu kurz.

• Als Ergänzung nebenan eine Konstruktion, die zwar vom 1. Punkt der Beschreibung etwas abweicht, aber mit deren 2. Punkt im Wesentlichen übereinstimmt. Sie bedarf deshalb keiner weiteren Erklärung.

Bei gegebener Seitenlänge.

• Das Besondere der nebenstehenden Darstellung ist: Sie zeigt alternativ die Umkehrung, nämlich wie aus einer gegebener Seite, mithilfe eines gleichseitigen Dreiecks mit zwei halbierten Seiten, eine Näherung für das Siebeneck entsteht.

Näherung 2

Diese sehr genaue Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.

Achteck

Achteck bei gegebenem Umkreis

1. Konstruiere das zum gegebenen Umkreis gehörende Quadrat, ohne jedoch seine Seiten einzuzeichnen (also nur die Ecken).
2. Halbiere einen Zentriwinkel und übertrage ihn auf die anderen rechten Winkel.
3. Verbinde die Ecken.

Achteck bei gegebener Seite

Siehe Achteck.

Neuneck

Nur mit Zirkel und Lineal kann das regelmäßige Neuneck nicht exakt konstruiert werden. Es gibt jedoch Näherungen. Eine sehr genaue Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.

Zehneck

1. Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck, entsprechend der Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal (s.o.).
2. Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises, der in Schritt 1 gemacht wurde, zur anderen Seite des gleichen Kreises.
3. Die fünf Ecken des Fünfecks legen jede zweite Ecke des Zehnecks fest. Die verbliebenen fünf Ecken sind die Punkte, die durch Schritt 2 auf der anderen Seite des Kreises konstruiert wurden.

Elfeck

Das regelmäßige Elfeck ist als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Erlaubt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in elf gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, führt dies zu einer exakten Seitenlänge $a$ des Elfecks.

Eine Exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel sowie eine Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis sind wegen des Platzbedarfs auf einer Extraseite zu finden.

Zwölfeck

Für die Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks konstruiert man die Ecken des regelmäßigen Sechsecks und halbiert die Zentriwinkel.

Dreizehneck

Nur mit Zirkel und Lineal kann das regelmäßige Dreizehneck nicht exakt konstruiert werden.

Eine Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel sowie eine Näherung ist wegen des Platzbedarfs auf einer Extraseite zu finden.

Vierzehneck

Nur mit Zirkel und Lineal kann das regelmäßige Vierzehneck nicht exakt konstruiert werden. Eine Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel sowie eine Näherung ist wegen des Platzbedarfs auf einer Extraseite zu finden.

Fünfzehneck

Das regelmäßige Fünfzehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Die Konstruktionen zu "Bei gegebenem Umkreis" bzw. "Bei gegebener Seitenlänge" sind im Artikel  Fünfzehneck beschrieben.

Siebzehneck

Das regelmäßige Siebzehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Die Konstruktionen zu "Bei gegebenem Umkreis" bzw. "Bei gegebener Seitenlänge" sind auf einer Extraseite zu finden.

Eigenschaften, Mathematischer Hintergrund u. a. m. ist im Artikel  Siebzehneck beschrieben.

257-Eck

Exakte Konstruktion

Eine exakte Konstruktion mit gegebenem Umkreis ist in  257-Eck beschrieben. Ein Zitat aus dem Artikel: "Die praktische Durchführung der Konstruktion ist per Hand kaum möglich, da die Anforderungen an Präzision bei der notwendigen Größe sehr schwer einzuhalten sind."

• Näherungskonstruktion der 1. Seite

Da die exakte Konstruktion des 257-Ecks sehr umfangreich ist und nicht übersichtlich dargestellt werden kann, macht es Sinn auch eine pragmatische Lösung darzustellen. Diese Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.

• Exakte Konstruktion der 1. Seite mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Erlaubt man jedoch neben Zirkel und Lineal ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in n gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine gut nachvollziehbare exakte Konstruktion der ersten Ecke E₁ des 257-Ecks darstellbar. Diese Konstruktion ist auf der gleichen Extraseite zu finden.

65537-Eck

• Näherungskonstruktion der 1. Seite

Im Folgenden wird die erste Seite als Näherungskonstruktion mit zwei Hauptschritten, in vergrößerter Ansicht, dargestellt. Diese Näherung ist wegen des Aufwands auf einer Extraseite zu finden.

• Exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias und GeoGebra als zusätzliche Hilfsmittel

Animationen

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Quadrat

Die Vorgehensweise ergibt sich aus der Animation.

Fünfeck

Die Vorgehensweise ergibt sich aus der Animation.

Achteck

Die Vorgehensweise ergibt sich aus der Animation.

Zehneck

Die Konstruktion entspricht der Konstruktion der Ecken eines Fünfecks mit anschließender Winkelhalbierung.

Siebeneck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Siebeneck (Heptagon)

Näherungskonstruktion (!) für das regelmäßige Siebeneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Die gepunkteten Linien mit den daraufliegenden Punkten, dienen als Hilfe für die Berechnung der Seite des Siebenecks.

01-Siebeneck-Approximation-1

Konstruktion

1. Zeichne um einen Punkt M einen Kreis - den späteren Umkreis des Siebenecks - mit Radius r.
2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Geraden durch den Mittelpunkt. Einer der Schnittpunkte mit dem Kreis ist die erste Ecke A des Siebenecks.
3. Teile die Strecke AM in drei Teile, es ergeben sich die Punkte J und K
4. Zeichne einen Halbkreis um den Mittelpunkt M mit Radius MJ, er schneidet die Strecke MH im Punkt L.
5. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius r ab Punkt M, er schneidet den Halbkreis im Punkt N.
6. Zeichne eine Gerade ab Punkt L durch Punkt N etwas über den Umkreis hinaus.
7. Errichte eine Senkrechte zur Gerade, die durch Punkt N geht, ab Punkt A bis sie den Umkreis im Punkt O schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt P.
8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AM im Punkt J bis sie die Strecke AO im Punkt Q schneidet.
9. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt H mit Radius r, es ergibt sich der Schnittpunkt R auf dem Umkreis.
10. Errichte eine Senkrechte zur Strecke MH durch Punkt R, sie halbiert die Strecke MH im Punkt S.
11. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt R mit Radius OQ.
12. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt S mit Radius r bis er den Kreisbogen um Punkt R schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt T
13. Zeichne eine Gerade ab Punkt T durch Punkt Q bis zur Gerade, die durch Punkt N geht, es ergibt sich der Schnittpunkt U
14. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius AU ab Punkt U, er schneidet den Umkreis im Punkt B.
15. Verbinde den Punkt A mit Punkt B, die rote Strecke AB ist die gesuchte Seite des Siebenecks.
16. Trage die Strecke AB, ab Punkt B, fünfmal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
17. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Siebeneck ABCDEFG

Fehler

Bei einem Umkreis mit Radius r = 1:

• Konstruierte Siebeneckseite s = 0,867767268512597... [LE]
• Soll-Siebeneckseite = s_s = 2 • sin(180°/7) = 0,867767478235116... [LE]
• Absoluter Fehler = s − s_s = -0,000000209722519... = -2,097...E-7 [LE]

Bei einem Umkreis mit Radius r = 10 km wäre die Abweichung der konstruierten Seite ≈ -2,1 mm

Berechnung

Gleichschenkliges Dreieck AMN

1.0$\triangle {AMN}$

Gegeben: ${\overline {AM}}=r$ ; ${\overline {AN}}=r$ ; ${\overline {MN}}={\frac {r}{3}}$

 

1.1   $\angle {MAN}$ Mit dem Kosinussatz ergibt sich:

 

   $\cos(\angle {MAN})=1-{\frac {({\frac {r}{3}})^{2}}{2r^{2}}}=1-{\frac {1}{18}}={\frac {17}{18}}$

 

   $\alpha =\angle {MAN}=\arccos \left({\frac {17}{18}}\right)\approx 19{,}1881364537209^{\circ }$

1.2 Höhe zur Seite ${\overline {AM}}$

   ${\overline {VN}}=r\,\sin {\alpha }=r{\sqrt {1-\left({\frac {17}{18}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {35}}{18}}r\approx 0{,}3286710990610898$

 

1.3    ${\overline {MV}}={\sqrt {{\overline {NM}}^{2}-{\overline {NV}}^{2}}}={\frac {1}{18}}r$

Rechtwinkeliges Dreieck LJN

2.0 $\triangle {LJN}$

Gegeben:

• ${\overline {MV}}={\frac {1}{18}}r$ (aus 1.3)
• ${\overline {LM}}={\frac {1}{3}}r$
• ${\overline {JL}}={\frac {2}{3}}r$
• ${\overline {NV}}={\frac {\sqrt {35}}{18}}r$ (aus 1.2)

2.1 ${\overline {LV}}={\overline {LM}}+{\overline {MV}}\Rightarrow {\overline {LV}}={\frac {7}{18}}r$

2.2 Hypotenuse ${\overline {LN}}={\sqrt {{\overline {LV}}^{2}+{\overline {NV}}^{2}}}\Rightarrow {\overline {LN}}={\sqrt {\frac {7}{27}}}\,r$

Winkel $\beta =\angle {JLN}=\angle {ALP}$ ergibt sich aus

2.3 $\beta =\arcsin {\frac {\overline {NV}}{\overline {LN}}}=\arcsin \left({\frac {\frac {\sqrt {35}}{18}}{\sqrt {\frac {7}{27}}}}\right)=\arcsin \left({\frac {\sqrt {15}}{6}}\right)$

$\beta \approx 40{,}202965886569769^{\circ }$

2.4 ${\overline {JN}}={\sqrt {{\overline {LJ}}^{2}-{\overline {LN}}^{2}}}={\sqrt {\frac {5}{27}}}\,r$

Rechtwinkeliges Dreieck LAP

3.0 $\triangle {LAP}$

Gegeben:

• $\triangle {LAP}$ ähnlich zu $\triangle {LJN}$ (aus 2.0)
• ${\overline {AL}}={\frac {4}{3}}r=2{\overline {LJ}}$
• ${\overline {NL}}={\sqrt {\frac {7}{27}}}\,r$ (aus 2.2)
• ${\overline {JN}}={\sqrt {\frac {5}{27}}}\,r$ (aus 2.4)

3.1 ${\overline {PL}}=2{\overline {NL}}\Rightarrow {\overline {PL}}=2{\sqrt {\frac {7}{27}}}\,r$

3.2 ${\overline {AP}}=2{\overline {JN}}\Rightarrow {\overline {AP}}=2{\sqrt {\frac {5}{27}}}\,r$

3.3 $\gamma =\angle {PAL}=90^{\circ }-\beta$

oder:

$\gamma =\arccos {\sqrt {\frac {5}{12}}}=\arcsin {\sqrt {\frac {7}{12}}}$

 

3.3 $\gamma \approx 49{,}797034113430231^{\circ }$

Rechtwinkeliges Dreieck JAQ

4.0 $\triangle {JAQ}$

Gegeben:

• ${\overline {JA}}={\frac {2}{3}}r$
• $\angle {QAJ}=\angle {PAL}=\gamma$ (aus 3.3)

4.1

${\overline {QJ}}={\overline {JA}}\tan(\gamma )={\overline {JA}}{\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}$

${\overline {QJ}}={\overline {JA}}{\frac {\sqrt {\frac {7}{12}}}{\sqrt {\frac {5}{12}}}}$

${\overline {QJ}}={\overline {JA}}{\sqrt {\frac {7}{5}}}={\frac {2{\sqrt {7}}}{3{\sqrt {5}}}}r$

${\overline {QJ}}\approx 0{,}788810637746615r$

4.2.

${\overline {AQ}}={\overline {JA}}\,{\frac {\overline {JA}}{\cos \gamma }}={\overline {JA}}\,{\sqrt {\frac {12}{5}}}$

${\overline {AQ}}={\frac {2{\sqrt {12}}}{3{\sqrt {5}}}}r={\sqrt {\frac {16}{15}}}r\approx 1{,}032795558988645r$

Gleichseitiges Dreieck HMR

5.0 $\triangle {HMR}$

Gegeben:

• ${\overline {HM}}=r$
• ${\overline {SM}}={\frac {1}{2}}r$
• $\angle {RMS}=\delta =60^{\circ }$

5.2 Höhe:

${\overline {RS}}={\overline {HM}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r\approx 0{,}866025403784439\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck HAO

6.0 $\triangle {HAO}$

Gegeben:

• $\triangle {HAO}$ ähnlich $\triangle {LJN}$ (aus 2.0) also ${\frac {\overline {HA}}{\overline {LJ}}}={\frac {\overline {AO}}{\overline {JN}}}$
• ${\overline {AQ}}={\sqrt {\frac {16}{15}}}r$ (aus 4.2)
• ${\overline {HA}}=2r$ ; ${\overline {LJ}}={\frac {2}{3}}\cdot r$ ; ${\overline {JN}}={\sqrt {\frac {5}{27}}}\cdot r$ (aus 2.4)

6.1 ${\overline {AO}}={\frac {{\overline {JN}}\cdot {\overline {HA}}}{\overline {LJ}}}={\frac {{\sqrt {\frac {5}{27}}}\cdot 2}{\frac {2}{3}}}\,r=3\cdot {\sqrt {\frac {5}{27}}}\,r={\sqrt {\frac {5}{3}}}\cdot r\approx 1{,}290994448735805\cdot r$

6.2 ${\overline {QO}}={\overline {AO}}-{\overline {AQ}}=\left({\sqrt {\frac {5}{3}}}-{\sqrt {\frac {16}{15}}}\right)r=\left({\sqrt {\frac {25}{15}}}-{\sqrt {\frac {16}{15}}}\right)r={\frac {{\sqrt {25}}-{\sqrt {16}}}{\sqrt {15}}}r={\frac {1}{\sqrt {15}}}r\approx 0{,}258198889747161r$

Stumpfwinkeliges Dreieck RST

7.0 $\triangle {RST}$

Gegeben:

• ${\overline {TR}}={\overline {QO}}={\frac {1}{\sqrt {15}}}r$ (aus 6.2)
• ${\overline {ST}}=r$
• ${\overline {RS}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r$ (aus 5.2)

7.1 Nach dem Kosinussatz gilt:

$\cos(\angle {SRT})=\cos(\epsilon )={\frac {{\overline {TR}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}-{\overline {ST}}^{2}}{2{\overline {TR}}\cdot {\overline {RS}}}}={\frac {{\frac {1}{15}}+{\frac {3}{4}}-1}{2\cdot {\frac {1}{\sqrt {15}}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}}}={\frac {\frac {4+45-60}{60}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}}={\frac {-11{\sqrt {5}}}{60}}$

$\epsilon =\arccos \left({\frac {-11{\sqrt {5}}}{60}}\right)\approx 114{,}201429828962958^{\circ }$

7.2 Berechnung $\angle {WTR}$ und $\cos \angle {WTR}$

(Berechnung indirekt, um den arithm. Ausdruck zu erhalten)

$\angle {WTR}=\zeta =\epsilon -90^{\circ }$

Mit dem Additionstheorem:

$\cos(x-y)=\cos x\;\cos y+\sin x\;\sin y$

ergibt sich:

$\cos \zeta =\sin \epsilon ={\sqrt {1-\cos ^{2}(\epsilon )}}={\sqrt {1-\cos ^{2}(\epsilon )}}={\frac {\sqrt {2995}}{60}}$

$\zeta \approx 24{,}201429828962958$

7.3 Höhe ${\overline {WT}}$ von $\triangle {RST}$ zur Seite ${\overline {RS}}$

${\overline {WT}}={\overline {TR}}\cdot \cos \zeta ={\frac {1}{\sqrt {15}}}\cdot {\frac {\sqrt {2995}}{60}}\cdot r={\frac {\sqrt {599}}{60{\sqrt {3}}}}\cdot r$

${\overline {WT}}\approx 0{,}235505759935852\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck TWR

8.0 $\triangle {TWR}$

Gegeben:

• ${\overline {RT}}={\overline {QO}}={\frac {1}{\sqrt {15}}}\cdot r$ (aus 6.2)
• ${\overline {WT}}={\frac {\sqrt {599}}{60{\sqrt {3}}}}\cdot r$ (aus 7.3)

8.1

${\overline {WR}}={\sqrt {{\overline {RT}}^{2}-{\overline {WT}}^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{15}}-{\frac {599}{60^{2}\cdot 3}}}}\cdot r={\sqrt {\frac {720-599}{60^{2}\cdot 3}}}\cdot r={\sqrt {\frac {121}{60^{2}\cdot 3}}}\cdot r={\frac {11}{60{\sqrt {3}}}}\cdot r$

${\overline {WR}}\approx 0{,}105847549351431\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck QXT

9.0 $\triangle {QXT}$

Gegeben:

• ${\overline {WT}}={\frac {\sqrt {599}}{60{\sqrt {3}}}}\cdot r$ (aus 7.3)
• ${\overline {SJ}}={\frac {5}{6}}\cdot r$ (aus Zeichnung)

9.1

${\overline {XQ}}={\overline {SJ}}-{\overline {WT}}=\left({\frac {5}{6}}-{\frac {\sqrt {599}}{60{\sqrt {3}}}}\right)\cdot r={\frac {50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}}{60{\sqrt {3}}}}\cdot r$

${\overline {XQ}}\approx 0{,}597827573397482\cdot r$

9.2

${\overline {XT}}={\overline {RS}}+{\overline {WR}}-{\overline {QJ}}$

mit

• ${\overline {RS}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}r$ (aus 5.2)
• ${\overline {WR}}={\frac {11}{60{\sqrt {3}}}}\cdot r$ (aus 8.1)
• ${\overline {QJ}}={\frac {2{\sqrt {7}}}{3{\sqrt {5}}}}\cdot r$ (aus 4.1)

ergibt sich:

${\overline {XT}}=\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {11}{60{\sqrt {3}}}}-{\frac {2{\sqrt {7}}}{3{\sqrt {5}}}}\right)\cdot r=\left({\frac {90+11}{60{\sqrt {3}}}}-{\frac {2{\sqrt {7}}}{3{\sqrt {5}}}}\right)\cdot r=\left({\frac {101-8{\sqrt {105}}}{60{\sqrt {3}}}}\right)\cdot r$

${\overline {XT}}\approx 0{,}183062315389255\cdot r$

9.3 Berechnung $\angle {XTQ}=\eta$

$\tan(\eta )={\frac {\overline {XQ}}{\overline {XT}}}={\frac {50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}}{101-8{\sqrt {105}}}}$

$\eta =\arctan \left({\frac {50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}}{101-8{\sqrt {105}}}}\right)=\arctan \left({\frac {p}{q}}\right)$  mit  $p=50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}\quad ;\quad q=101-8{\sqrt {105}}$

$\eta \approx 72{,}974753574847806^{\circ }$

Rechtwinkeliges Dreieck QPU

10.0 $\triangle {QPU}$

Gegeben:

• ${\overline {AQ}}={\sqrt {\frac {16}{15}}}\,r$ (aus 4.2)
• ${\overline {AP}}=2{\sqrt {\frac {5}{27}}}\,r$ (aus 3.2)
• ${\overline {PL}}=2{\sqrt {\frac {7}{27}}}\,r$ (aus 3.1)
• $\tan \eta ={\frac {50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}}{101-8{\sqrt {105}}}}$ (aus 9.3)

10.1

${\overline {QP}}={\overline {AQ}}-{\overline {AP}}=\left({\frac {\sqrt {16}}{\sqrt {15}}}-{\frac {2\cdot {\sqrt {5}}}{\sqrt {27}}}\right)r=\left({\frac {4\cdot 3-2\cdot 5}{\sqrt {27\cdot 5}}}\right)r={\frac {2}{\sqrt {135}}}\cdot r$

${\overline {QP}}\approx 0{,}172132593164774\cdot r$

10.2 Berechnung $\tan \angle {PQU}=\theta$

$\tan \beta ={\frac {\overline {AP}}{\overline {LP}}}={\frac {2{\sqrt {\frac {5}{27}}}}{2{\sqrt {\frac {7}{27}}}}}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {7}}}$

$\theta =\eta -\beta$

Mit dem Additionstheorem

$\tan(\eta -\beta )={\frac {\tan \eta -\tan \beta }{1+\tan \eta \;\tan \beta }}$

ergibt sich:

$\tan \theta ={\frac {{\frac {50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}}{101-8{\sqrt {105}}}}-{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {7}}}}{1+{\frac {50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}}{101-8{\sqrt {105}}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {7}}}}}={\frac {{\frac {p}{q}}-{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {7}}}}{1+{\frac {p}{q}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {7}}}}}$  mit  $p=50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}\quad ;\quad q=101-8{\sqrt {105}}$

$\tan \theta ={\frac {{\sqrt {7}}\cdot (50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})-{\sqrt {5}}\cdot (101-8{\sqrt {105}})}{{\sqrt {5}}\cdot (50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})+{\sqrt {7}}\cdot (101-8{\sqrt {105}})}}={\frac {{\sqrt {7}}\cdot p-{\sqrt {5}}\cdot q}{{\sqrt {5}}\cdot p+{\sqrt {7}}\cdot q}}$  mit  $p=50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}\quad ;\quad q=101-8{\sqrt {105}}$

$\tan \theta \approx 0{,}643759341824444$

$\theta \approx 32{,}771787688277979^{\circ }$

10.3

${\overline {PU}}={\overline {QP}}\cdot \tan \theta ={\frac {2}{\sqrt {135}}}\cdot {\frac {{\sqrt {7}}\cdot (50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})-{\sqrt {5}}\cdot (101-8{\sqrt {105}})}{{\sqrt {5}}\cdot (50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})+{\sqrt {7}}\cdot (101-8{\sqrt {105}})}}\cdot r$

${\overline {PU}}={\frac {2}{\sqrt {135}}}\cdot {\frac {{\sqrt {7}}\cdot p-{\sqrt {5}}\cdot q}{{\sqrt {5}}\cdot p+{\sqrt {7}}\cdot q}}\cdot r$  mit  $p=50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}\quad ;\quad q=101-8{\sqrt {105}}$

${\overline {PU}}\approx 0{,}110811964882290\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck APU

11.0 $\triangle {APU}$

Gegeben:

• ${\overline {AP}}=2{\sqrt {\frac {5}{27}}}\,r$ (aus 3.2)
• ${\overline {PU}}={\frac {2}{\sqrt {135}}}\cdot {\frac {{\sqrt {7}}\cdot (50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})-{\sqrt {5}}\cdot (101-8{\sqrt {105}})}{{\sqrt {5}}\cdot (50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})+{\sqrt {7}}\cdot (101-8{\sqrt {105}})}}\cdot r$ (aus 10.3)

11.1

Die Länge der Siebeneckseite entspricht AU und beträgt:

${\overline {AU}}={\sqrt {{\overline {AP}}^{2}+{\overline {PU}}^{2}}}={\sqrt {{\frac {20}{27}}+{\frac {4}{135}}\cdot {\frac {7(8099-100{\sqrt {1797}})+5(16921-1616{\sqrt {105}})-2{\sqrt {35}}(50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})(101-8{\sqrt {105}})}{5(8099-100{\sqrt {1797}})+7(16921-1616{\sqrt {105}})+2{\sqrt {35}}(50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}})(101-8{\sqrt {105}})}}}}\,\cdot \,r$

$s={\overline {AU}}\approx 0{,}86776726851259754370992295342964\,r$

Vereinfacht:

$s={\overline {AU}}={\sqrt {{\frac {20}{27}}+{\frac {4}{135}}\cdot {\frac {7p^{2}+5q^{2}-2{\sqrt {5\cdot 7}}\cdot p\cdot q}{5p^{2}+7q^{2}+2{\sqrt {5\cdot 7}}\cdot p\cdot q}}}}\cdot r$  mit  $p=50{\sqrt {3}}-{\sqrt {599}}\quad ;\quad q=101-8{\sqrt {105}}$

Weblinks

Siebeneck, Näherungskonstruktion

Neuneck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Neuneck (Nonagon)

• Näherungskonstruktion für das regelmäßige Neuneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.
• Einleitung und Erklärungen zu "Mathematische Zusammenhänge", "Konstruktionen" mit weiteren Näherungskonstruktionen u. a. m. sind in dem Artikel  Neuneck enthalten.

Konstruktion

Besonderheit

• Die Darstellung zeigt eine Konstruktion bei gegebenem Umkreis. Eine Alternative bei gegebener Seite ist mit "alternativ" gekennzeichnet.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis

01-Neuneck

1. Zeichne eine frei wählbare Strecke MJ.
2. Bestimme den Punkt S auf der Strecke MJ. In der Darstellung wurde hierfür die Strecke MJ halbiert. Prinzipiell ist die Lage des Punktes S bei gegebenem Umkreis frei wählbar.
3. Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt S, es ist der Umkreis des späteren Neunecks.
4. Ziehe einen kurzen Kreisbogen um den Punkt J mit dem Radius MJ.
5. Bestimme den Punkt B mit einem Abstand |SB|, der gleich lang ist wie die Strecke MS. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
6. Zeichne eine gerade Linie ab dem Punkt M bis zum kurzen Kreisebogen, es ergibt sich der Schnittpunkt K.
7. Verbinde den Punkt K mit dem Punkt J, somit entsteht das gleichseitige Dreieck MJK.
8. Konstruiere vom Winkel $\angle {JMK}$ die Winkelhalbierende W₁.
9. Konstruiere vom Winkel $\angle {JMW_{1}}$ die Winkelhalbierende W₂, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke MJ.
10. Konstruiere vom Winkel $\angle {W_{2}MW_{1}}$ die Winkelhalbierende W₃, etwas länger als die Strecke MJ.
11. Konstruiere vom Winkel $\angle {W_{2}MW_{3}}$ die Winkelhalbierende W₄, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W₃.
12. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W₄, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W₄ und der Schnittpunkt N auf W₃.
13. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
14. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |NO|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
15. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke PQ, sie ist ein Drittel der Strecke OP.
16. Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius OP, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
17. Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M, es ergibt sich der Schnittpunkt A auf dem Umkreis des entstehenden Neunecks.
18. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, es ergibt sich die erste Seite des entstehenden Neunecks.
19. Trage die Strecke AB siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
20. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.

Fehler der ersten Seite

1.0  $Absoluter\;Fehler\;von\;{\overline {AB}}$

Gegeben:

 ${\overline {AB}}\approx \;r\cdot \;0{,}684040286737349\;[LE]\;(aus\;8.2\;der\;Berechnung)$

1.1  $Neuneckseite,\;s=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{9}}\right)\approx \;r\cdot \;0{,}684040286651337\;[LE]$

1.2  $Fehler\;absolut,\;F_{a}={\overline {AB}}-s=r\cdot 0{,}00000000008601...\approx \;r\cdot \;8,6E-11\;[LE]$

Beispiel zur Verdeutlichung

Bei einem Umkreisradius r = 100.000 km wäre der absolute Fehler der 1. Seite ca. 8,6 mm.

Konstruktion bei gegebener Seite

1. Zeichne eine frei wählbare Strecke MJ.
2. Konstruiere über und mittels der Strecke MJ ein gleichseitiges Dreieck und bezeichne den dritten Eckpunkt mit K.
3. Konstruiere vom Winkel $\angle {JMK}$ die Winkelhalbierende W₁.
4. Konstruiere vom Winkel $\angle {JMW_{1}}$ die Winkelhalbierende W₂, mit einer Länge ca. drei Viertel der Strecke MJ.
5. Konstruiere vom Winkel $\angle {W_{2}MW_{1}}$ die Winkelhalbierende W₃, etwas länger als die Strecke MJ.
6. Konstruiere vom Winkel $\angle {W_{2}MW_{3}}$ die Winkelhalbierende W₄, mit einer Länge etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W₃.
7. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt K bis zur Winkelhalbierende W₄, es ergibt sich der Schnittpunkt O auf W₄ und der Schnittpunkt N auf W₃.
8. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt O den Punkt N anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte O und N angelegt), aber nur bis zum Punkt O verläuft. Somit ist zwischen den Punkten O und N keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.
9. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt O mit dem Radius |NO|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt P.
10. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke PQ, sie ist ein Drittel der Strecke OP.
11. Zeichne einen Kreis um den Punkt Q mit dem Radius OP, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MON der Schnittpunkt R.
12. Verbinde den Punkt R mit dem Punkt M.
13. Konstruiere vom Winkel $\angle {RMK}$ die Winkelhalbierende W₅.
14. Zeichne auf der Winkelhalbierenden W₅ einen Kreis um den in der Lage frei wählbaren Punkt T mit einem Radius, der gleich der halben gegebenen Neuneckseite ist.
15. Konstruiere eine Senkrechte zur Winkelhalbierende W₅ durch den Punkt T, es ergibt sich auf dem Kreis um Punkt T der Schnittpunkt V.
16. Konstruiere eine Parallele zur Winkelhalbierende W₅ ab dem Punkt V bis zur Strecke MK, es ergibt sich der Schnittpunkt B. Dies ist der erste Eckpunkt des entstehenden Neunecks.
17. Zeichne um den Punkt M einen Kreis durch den Punkt B, es ist der Umkreis des entstehenden Neunecks. Es ergibt sich der Schnittpunkt A auf der Strecke MR.
18. Verbinde den Punkt A mit dem Punkt B, dies ist die erste Seite des entstehenden Neunecks.
19. Trage die Strecke AB siebenmal entgegen dem Uhrzeigersinn auf dem Umkreis ab.
20. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHI.

Fehler des Umkreisradius

2.0  $Absoluter\;Fehler\;von\;{\overline {MS}}=r$

Gegeben:

 $s_{1}=1{,}0\;[LE]\;(aus\;9.0\;der\;Berechnung)$

 $r_{k}\approx 1{,}461902199897722\;[LE]\;(aus\;9.1\;der\;Berechnung)$

 $\;r\approx 1{,}461902200081543\;[LE]\;(aus\;10.1\;der\;Berechnung)$

2.1   $Fehler\;absolut,\;F_{a}=r_{k}-r=-0{,}000000000183821\ldots \approx -1{,}8E-10\;[LE]$

Beispiel zur Verdeutlichung

Bei einer Seitenlänge s₁ = 10.000 km wäre der konstruierte Umfangsradius r ≈ 14.629,0219989 km um ca. 1,8 mm zu kurz.

Berechnung

Kreissektor mit gleichseitigem Dreieck MJK

01-Neuneck-3-Berechnungsskizze

1.0  $Kreisssektor\;und\;\triangle {MJK}$

Gegeben aus Zeichnung:

 ${\overline {MS}}=Umkreisradius\;r=1[LE]$

 ${\overline {MJ}}={\overline {JK}}={\overline {KM}}={\overline {MN}}={\overline {MO}}=2r$

 $\angle {MKJ}=\alpha =60^{\circ }$

 $\angle {JML}=\gamma =30^{\circ }$

 $\angle {JMw_{2}}=\delta =15^{\circ }$

 $\angle {JMN}=\epsilon ={\frac {1}{2}}\cdot \left(\gamma +\delta \right)=22,5^{\circ }$

 $\angle {JMO}=\zeta ={\frac {1}{2}}\cdot \left(\delta +\epsilon \right)=18,75^{\circ }$

 $\angle {OMN}=\eta =\epsilon -\zeta =3,75^{\circ }$

1.1  ${\overline {NO}}={\overline {OP}}={\overline {QR}}$

1.2  ${\overline {NO}}=4r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}130876331287104$

1.3  ${\overline {PQ}}={\frac {4}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}043625443762368$

Rechtwinkeliges Dreieck PNT

2.0   $\triangle {PNT}$

Gegeben:

• Der Punkt $U$ liegt mittig auf der Sekante ${\overline {NO}}$

 ${\overline {NO}}=4r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}130876331287104\;(aus\;1.2)$

 ${\overline {PQ}}={\frac {4}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}043625443762368\;(aus\;1.3)$

2.1  ${\overline {NP}}=2\cdot {\overline {NO}}=8r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}261752662574209$

2.2  ${\overline {NQ}}={\overline {NP}}-{\overline {PQ}}={\frac {20}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}218127218811840$

2.3  ${\overline {NU}}={\frac {1}{2}}\cdot {\overline {NO}}=2r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}065438165643552$

Rechtwinkeliges Dreieck MNU

3.0  $\triangle {MNU}$

Gegeben:

 ${\overline {MN}}=2r\;(aus\;1.0)$

 $\angle {JMN}=\epsilon ={\frac {1}{2}}\cdot \left(\gamma +\delta \right)=22,5^{\circ }\;(aus\;1.0)$

 $\angle {JMO}=\zeta ={\frac {1}{2}}\cdot \left(\delta +\epsilon \right)=18,75^{\circ }\;(aus\;1.0)$

 $\angle {OMN}=\eta =\epsilon -\zeta =3,75^{\circ }\;(aus\;1.0)$

3.1  $\angle {JMU}=\theta ={\frac {1}{2}}\cdot \left(\zeta +\epsilon \right)=20,625^{\circ }$

3.2  $\angle {UMN}=\iota ={\frac {1}{2}}\eta =1,875^{\circ }$

3.3  ${\overline {MU}}=cos\left(\iota \right)\cdot {\overline {MN}}=2r\cdot cos\left(\iota \right)\approx r\cdot 1{,}998929174952731$

Rechtwinkeliges Dreieck MQU

4.0  $\triangle {MQU}$

Gegeben:

 ${\overline {MU}}=cos\left(\iota \right)\cdot {\overline {MN}}=2r\cdot cos\left(\iota \right)\approx r\cdot 1{,}998929174952731\;(aus\;3.3)$

 ${\overline {NP}}=8r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}261752662574209\;(aus\;2.1)$

 ${\overline {PQ}}={\frac {4}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}043625443762368\;(aus\;1.3)$

 ${\overline {NU}}=2r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}065438165643552\;(aus\;2.3)$

4.1  ${\overline {UQ}}={\overline {NP}}-{\overline {PQ}}-{\overline {NU}}={\frac {14}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}152689053168288$

4.2  $\angle {QMU}=\kappa =arctan\left({\frac {\overline {UQ}}{\overline {MU}}}\right)={\frac {{\frac {14}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)}{2r\cdot cos\left(\iota \right)}}={\frac {{\frac {7}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)}{r\cdot cos\left(\iota \right)}}\approx 4{,}368080079657319^{\circ }$

4.3  ${\overline {MQ}}={\sqrt {{\overline {MU}}^{2}+{\overline {UQ}}^{2}}}={\sqrt {\left(2r\cdot cos\left(\iota \right)\right)^{2}+\left({\frac {14}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\right)^{2}}}={\sqrt {\left(2r\cdot cos\left(1,875^{\circ }\right)\right)^{2}+\left({\frac {14}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {3,75^{\circ }}{2}}\right)\right)^{2}}}\approx r\;\cdot \;2{,}004752302264455$

Stumpfwinkeliges Dreieck MQR

5.0  $\triangle {MQR}$

Gegeben:

 ${\overline {MQ}}={\sqrt {\left(2r\cdot cos\left(\iota \right)\right)^{2}+\left({\frac {14}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\right)^{2}}}\approx r\;\cdot \;2{,}004752302264455\;(aus\;4.3)$

 ${\overline {QR}}={\overline {NO}}=4r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\approx r\cdot 0{,}130876331287104\;(aus\;1.2)$

 ${\overline {MR}}=2r\;(aus\;Zeichnung)$

 $\eta =3,75^{\circ }\;(aus\;1.0)$

 $\iota =1,875^{\circ }\;(aus\;3.2)$

Mit dem Kosinussatz ergibt sich:

5.1   $\angle {QMR}=\lambda =arccos\left({\frac {{\overline {MQ}}^{2}+{\overline {MR}}^{2}-{\overline {QR}}^{2}}{2\cdot {\overline {MR}}\cdot {\overline {MQ}}}}\right)=\left({\frac {\left(2r\cdot cos\left(\iota \right)\right)^{2}+\left({\frac {14}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\right)^{2}+4r^{2}-\left(4r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\right)^{2}}{4r\cdot {\sqrt {\left(2r\cdot cos\left(\iota \right)\right)^{2}+\left({\frac {14}{3}}r\cdot \sin \left({\frac {\eta }{2}}\right)\right)^{2}}}}}\right)\Rightarrow arccos\left({\frac {4r^{2}\cdot \cos ^{2}\left(1.875^{\circ }\right)+{\frac {52}{9}}r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {3.75^{\circ }}{2}}\right)+4r^{2}}{4r{\sqrt {4r^{2}\cdot cos^{2}\left(1.875^{\circ }\right)+{\frac {196}{9}}r^{2}\cdot sin^{2}\left({\frac {3.75^{\circ }}{2}}\right)}}}}\right)\approx 3{,}743080074412935^{\circ }$

Nebenwinkel JMR

6.0  $\angle {JMR}$

Gegeben:

 $\angle {JMU}=\theta ={\frac {1}{2}}\cdot \left(\zeta +\epsilon \right)=20,625^{\circ }\;(aus\;3.1)$

 $\angle {QMU}=\kappa \approx 4{,}368080079657319^{\circ }\;(aus\;4.2)$

 $\angle {QMR}=\lambda \approx 3{,}743080074412935^{\circ }\;(aus\;5.1)$

6.1   $\angle {JMR}=\mu =\angle {JMU}-\angle {QMU}+\angle {QMR}=\theta -\kappa +\lambda \approx 19{,}999999994755615^{\circ }$

Zentriwinkel RMK

7.0  $\angle {RMK}$

Gegeben:

 $\angle {JMR}=\mu \approx 19{,}999999994755615^{\circ }\;(aus\;6.1)$

7.1  $\angle {RMK}=\beta =60^{\circ }-\mu =60^{\circ }-19{,}999999994755615^{\circ }\approx 40{,}000000005244385^{\circ }$

Erste Seite des Neunecks

8.0  ${\overline {AB}}$

Gegeben:

 $\angle {RMK}=\beta =60^{\circ }-\mu \approx 40{,}000000005244385^{\circ }\;(aus\;7.1)$

8.1   $Sekante\;{\overline {KR}}=sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)\;\cdot \;4r=sin\left({\frac {40{,}000000005244385^{\circ }}{2}}\right)\;\cdot \;4r\;\approx \;r\;\cdot \;1{,}368080573474698$

8.2   $\mathbf {{\overline {AB}}={\frac {\overline {KR}}{2}}={\frac {sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot 4r}{2}}=sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot 2r\approx \;r\cdot 0{,}684040286737349} \;[LE]$

Konstruierter Umkreisradius $r_{k}$ bei gegebener Seite s₁

9.0  $r_{k}={\overline {MS}}$

Gegeben:

 $\;s_{1}=1{,}0\;[LE]\;zum\;Beispiel$

 $\;\;\beta \approx 40{,}000000005244385^{\circ }\;(aus\;7.1)$

 $s_{1}=sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot 2r_{k}\;(aus\;8.2)$

9.1   $\mathbf {r_{k}={\frac {s_{1}}{2\cdot sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\cdot sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)}}\approx 1{,}461902199897722\;[LE]}$

Umkreisradius $r$ bei gegebener Seite s₁

10.0  $r$

Gegeben:

 $s_{1}=1{,}0\;[LE]\;(aus\;9.0)$

 $\;\beta =40^{\circ }$

 $s_{1}=sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot 2r$

10.1  $\mathbf {r={\frac {s_{1}}{2\cdot sin\left({\frac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {1}{2\cdot sin\left({\frac {40^{\circ }}{2}}\right)}}\approx 1{,}461902200081543\;[LE]}$

Weblinks

Dreiteilung des Winkels 60° in diesem Buch im Kapitel Die drei antiken Probleme

Drittel der Strecke in diesem Buch im Kapitel Verschiedenes

Neuneck mit gegebener Seitenlänge

 Winkelhalbierende

Konstruktion einer Parallelen durch einen gegebenen Punkt

 Parallele

 Kreiswinkel (Zentriwinkel)

Elfeck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Elfeck (Hendekagon)

Das regelmäßige Elfeck ist als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Erlaubt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in elf gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, führt dies zu einer exakten Seitenlänge $a$ des Elfecks.

Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, es sind aber nur wenige in der einschlägigen Literatur zu finden. Die bekanntesten ist wohl die Näherungskonstruktion nach Dürer aus dem Jahr 1525.

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

1. Zeichne einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis).
2. Konstruiere über dem Radius OA₁ das Quadrat OA₁BC.
3. Bestimme die Quadratrix von Hippias mit der Parameterkurve $\gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}})\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$:

$\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}$

mit

${\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}$

4. Zeichne eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O.
5. Trage auf der Halbgeraden ab O elf gleiche Abstände ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Teilungspunkte bis 4 und der Abschlußpunkt 11 dargestellt.

Anmerkung
Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus $\mu ={\frac {360^{\circ }}{11}},$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab $>0^{\circ }$ bis $\leq 90^{\circ }$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke OC kann nur ein Elftel des Winkels $90^{\circ }$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels $\mu$ aus dem Umkreis mit seinen $360^{\circ },$ das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt $4'$ der Strecke OC, zur Konstruktion des Zentriwinkels $\mu$ genutzt.

6. Verbinde den Abschlußpunkt 11 mit C.
7. Ziehe eine Parallele zu C11 ab dem Teilungspunkt 4 bis OC, damit ergibt sich der Punkt 4'.
8. Ziehe eine Parallele zu OA₁ ab dem Punkt 4' bis zur Quadratrix, damit ergibt sich der Punkt D.
9. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch D bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der zweite Eckpunkt A₂ des entstehenden Elfecks sowie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) μ.
10. Verbinde den Punkt A₁ mit A₂, die Länge der Strecke ${\overline {A_{1}A_{2}}}$ ist die exakte Seitenlänge $a$ des regelmäßigen Elfecks.
11. Trage auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt A₂ die Strecke A₁A₂ neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_{1}$.
3. Halbgerade senkrecht zu ${\overline {AE_{1}}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken ${\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkte $K$ und $L$.
6. Strecke ${\overline {DJ}}={\overline {JA}}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $N$, dessen Abstand zu Punkt $L$ ist gleich der Strecke ${\overline {MJ}}$. In der Darstellung beschrieben als $|LN|={\overline {MJ}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $O$ als $|DO|={\overline {DF}}$ bis $Z$ als $|DZ|={\overline {MD}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $Z$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $A_{1}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $A_{1}$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $B_{1}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $C_{1}$ bis $J_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von $J_{1}$ mit $N$ schneidet den innersten Kreis in $E_{2}$ als zweiten Eckpunkt des entstehenden Elfecks.
10. Trage auf den Umkreis ab Eckpunkt $E_{2}$ die Strecke ${\overline {E_{1}E_{2}}}$, sie entspricht der Seitenlänge $a$ des Elfecks, neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Eine Näherung des regelmäßigen Elfecks E₁ bis E₁₁.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Elfecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) $a=0{,}563465113682859\;[LE]$
• Seitenlänge des Elfecks $a_{SOLL}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{11}}\right)=0{,}563465113682859...\;[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler $F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE]$

• Konstruierter Zentriwinkel des Elfecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen) $\mu =32{,}7272727272727^{\circ }$
• Zentriwinkel des Elfecks $\mu _{SOLL}=\left({\frac {360^{\circ }}{11}}\right)=32{,}{\overline {72}}^{\circ }$
• Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:

Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler $F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Bei gegebener Seitenlänge

Ist die Seitenlänge a' eines Elfecks bei gegebenem Umkreis bereits bestimmt, kann daraus mithilfe der sogenannten zentrischen Streckung ein Elfeck mit gegebener Seitenlänge a (in der nebenstehenden Zeichnung grün) konstruiert werden.

1. Ist die gegebene Seitenlänge a länger als a', so verlängere zuerst beide Winkelschenkel des Zenriwinkels $\mu$.
2. Konstruiere die Winkelhalbierende wh des Winkels $\mu$.
3. Bestimme den Punkt M auf wh mit beliebiger Position.
4. Zeichne eine Parallele zu a' = A₁'A₂' durch M.
5. Ziehe einen Halbkreis um M mit Radius r = a/2, die Schnittpunkte sind E und F.
6. Zeichne je eine Parallele zu wh ab E und F bis zu dem betreffenden Winkelschenkel, die Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte A₁ und A₂ des gesuchten Elfecks.
7. Ziehe den somit gefundenen Umkreis um O mit dem Radius r_u = OA₁.
8. Trage auf den Umkreis, ab dem Eckpunkt A₂, die Seitenlänge a neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

Weblinks

 Zentrische Streckung

  Näherungskonstruktion nach Dürer (1525)

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Archimedische Spirale

 Quadratrix des Hippias

 Mittelpunktswinkel

 Konstruierbares Polygon

 Commons: Elfeck, Animation von dieser Näherungskonstruktion – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Dreizehneck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Dreizehneck (Tridecagon)

• Das regelmäßige Dreizehneck ist nicht als (exakte) Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Konstruktion

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel Tomahawk zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Animation der Konstruktionsskizze

Dreizehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Für das Dreizehneck beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt $O(0,0)$ mit Radius $12$. Es folgt die Festlegung des Punktes $A_{13}(12,0)$. Um den Punkt $P\left({\sqrt {13}}-1,0\right)$ zu erhalten, werden zunächst die Zahlenwerte $1$, als zwölfter Teil von ${\overline {O13}}$, sowie $13$ bestimmt, die Strecke ${\overline {O13}}$ halbiert und um deren Mittelpunkt der Thaleskreis gezogen. Die danach errichtete Senkrechte auf ${\overline {O13}}$ ab $1$ schneidet den Thaleskreis in $E$. Die Verbindung des Punktes $O$ mit $E$ ergibt ${\sqrt {13}}$ für das Eintragen des Punktes $P\left({\sqrt {13}}-1,0\right)$. Im Anschluss die Zahlenwerte $5$ und $7$ auf ${\overline {O13}}$ ermitteln sowie die Punkte $Q\left(5-{\sqrt {13}},0\right)$ und $R\left(7+{\sqrt {13}},0\right)$ einzeichnen.

Zum Finden der Punkte $K$ und $L$ wird zuerst der Zahlenwert $6$ auf ${\overline {O13}}$ festgelegt und eine Senkrechte durch die $6$ errichtet. Zieht man nun einen Kreisbogen um $R$ durch $Q$, schneidet er die Senkrechte in $K\left(6,{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {13}}+1\right)\right)$ und $L\left(6,-{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {13}}+1\right)\right)$. Nach dem Verbinden der Punkte $K$ und $L$ mit $P$ sowie dem Ziehen eines Kreises um $P$ durch $K$, wird der Winkel $LPK$ mit einer frei wählbaren Methode gedrittelt. Hier z. B. geschieht dies mithilfe eines sogenannten Tomahawks, dabei ergeben sich die Punkte $S$ und $T$. Eine Gerade durch $S$ und $T$ ergibt $A_{1}$ und $A_{12}$, die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreizehnecks $A_{1},\dots ,A_{13}$ sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens $OA_{13}A_{1}$ nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$.
2. Gerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_{1}$.
3. Gerade senkrecht zu ${\overline {AE_{1}}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken ${\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkte $K$ und $O$.
6. Strecke ${\overline {DJ}}={\overline {JA}}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $L$, dessen Abstand zu Punkt $E_{1}$ ist gleich der Strecke ${\overline {DI}}$. In der Darstellung beschrieben als $|E_{1}L|={\overline {DI}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $N$ als $|CN|={\overline {IJ}}$ bis $Y$ als $|CY|={\overline {CX}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $Y$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $Z$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $Z$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $A_{1}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $B_{1}$ bis $J_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von $J_{1}$ mit $M$ schneidet den innersten Kreis in $E_{2}$, als zweiten Eckpunkt des entstehenden Dreizehnecks.
10. Trage auf den Umkreis ab dem Eckpunkt $E_{2}$ die Strecke ${\overline {E_{1}E_{2}}}$, sie entspricht der Seitenlänge $a$ des Dreizehnecks, elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Eine Näherung des regelmäßigen Dreizehnecks E₁ bis E₁₃.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) $a=0{,}478631328575115\;[LE]$
• Seitenlänge des Dreizehnecks $a_{Soll}=r\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{13}}\right)=0,478631328575115534...\;[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler $F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE]$

• Konstruierter Zentriwinkel des Dreizehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 14 Nachkommastellen) $\mu =27{,}69230769230769^{\circ }$
• Zentriwinkel des Dreizehnecks $\mu _{SOLL}=\left({\frac {360^{\circ }}{13}}\right)=27{,}{\overline {692307}}^{\circ }$
• Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:

Bis zu den max. angezeigten 14 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler $\mu _{k}-\mu =0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Konstruierbares Polygon

 Tomahawk (Geometrische Form)

 Dreizehneck

• Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 192–194 (p. 193 Fig.4)"

• GeoGebra

Vierzehneck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Vierzehneck (Tetradecagon)

• Das regelmäßige Vierzehneck ist nicht als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

Konstruktion

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mit Hilfsmittel

Die folgende Darstellung ist eine Weiterführung der Konstruktionskizze (Abbildung) des Siebenecks (Heptagon) nach Andrew Mattei Gleason aus dem Jahr 1988, mit dem Hilfsmittel "Tomahawk" zur Dreiteilung eines Winkels (siehe Weblinks).

Animation der Konstruktionsskizze

Vierzehneck, Konstruktionsskizze mit Tomahawk (hellblau)

Es beginnt im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems im Punkt $O$ mit einem Kreis mit Radius $6.$ Es folgt die Festlegung der Punkte $A(6,0),P(-1,0),Q(-3,0)$ und $R(3,0)$. Anschließend werden die Punkte $K(0,{\sqrt {27}})$ und $L(0,-{\sqrt {27}})$ bestimmt, sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit Basis ${\overline {QR}}$. Nach dem Verbinden der Punkte $K$ und $L$ mit $P$ $($in der Original-Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly, siehe Einzelnachweise, ist dieser Punkt zwischen $P$ und $O)$, wird um $P$ ein Kreisbogen von $K$ bis $L$ gezogen. Nun drittelt man den Winkel $LPK$ mit einer freiwählbaren Methode (z. B. Kurven, Tomahawk etc.), dabei ergeben sich die Punkte $S$ und $T$. Eine Gerade durch $S$ und $T$ ergibt $B$ und $G$, die zusammen mit $G$ Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks sind.

Nun bedarf es noch einer Halbierung des Zentriwinkels $AOB$ des Siebenecks und man erhält so den zweiten Eckpunkt $E_{2}$ des gesuchten Vierzehnecks. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens $OAE_{2}$ nacheinander gefunden werden.

Näherungskonstruktion bei gegebenem Umkreis

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_{1}$.
3. Halbgerade senkrecht zu ${\overline {AE_{1}}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken ${\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$.
6. Strecken ${\overline {DJ}}={\overline {JA}}={\overline {AK}}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $L$, dessen Abstand zu Punkt $B$ ist gleich der Strecke ${\overline {MH}}$. In der Darstellung beschrieben als $|BL|={\overline {MH}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $N$ als $|CN|={\overline {AG}}$ bis $V$ als $|CV|={\overline {MK}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $V$ durch $U$ bis sie die äußere Kreislinie in $W$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $W$ durch $T$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $Z$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $A_{1}$ bis $H_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung $H_{1}$ mit $M$ schneidet den innersten Kreis in $E_{3}$ als dritten Eckpunkt des entstehenden Vierzehnecks; die Strecke ${\overline {E_{3}E_{1}}}$ ist die angenäherte Seitenlänge eines regelmäßigen Siebenecks.
10. Halbiere den Winkel $E_{1}ME_{3}$, es ergibt auf dem innersten Kreis den Eckpunkt $E_{2}$ des Vierzehnecks.
11. Verbinde den Eckpunkt $E_{2}$ mit $E_{1}$, es ergibt die angenäherte Seitenlänge $a$ des regelmäßigen Vierzehnecks.
12. Trage auf den innersten Kreis, ab dem Eckpunkt $E_{2}$, die Seitenlänge $a$ elfmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

• Somit ergibt sich:

Eine Näherung des regelmäßigen Vierzehnecks E₁ bis E₁₄.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des Vierzehnecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen) $a=0{,}445041867912629\;[LE]$
• Seitenlänge des Siebenecks $a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{14}}\right)=0{,}445041867912629\ldots \;[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler $F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE]$

• Konstruierter Zentriwinkel des Siebenecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen) $\mu =25{,}7142857142857^{\circ }$
• Zentriwinkel des Siebenecks $\mu _{SOLL}={\frac {360^{\circ }}{14}}=25{,}7142857142857\ldots ^{\circ }$
• Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels

Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler $F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Weblinks

Gleason, Andrew Mattei (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon p. 185–187 (p. 193 Fig.4)" Archivdatei abgerufen am 04. 04. 2016

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Konstruierbares Polygon

 Tomahawk (Geometrische Form)

GeoGebra

Siebzehneck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Siebzehneck

Eigenschaften, mathematischer Hintergrund u. a. m. sind in dem Artikel  Siebzehneck enthalten.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis nach H. W. Richmond

Siebzehneck nach Herbert W. Richmond, ausführlich dargestellte Version

Das folgende regelmäßiges Siebzehneck ist eine ausführlich dargestellte Version der Konstruktion, die von Herbert W. Richmond 1893 veröffentlicht wurde.

Ist ein Kreis k₁ (der Umkreis um das entstehende Siebzehneck) um den Mittelpunkt O gegeben, kann das Siebzehneck konstruiert werden durch:

1. Zeichnen eines Durchmessers von k₁; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B.
2. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k₁ sind C und D.
3. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
4. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FA.
5. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ zwischen OF und FA.
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ zwischen m und w₁; Schnittpunkt mit AB ist G.
7. Konstruktion der Senkrechten s zu w₂ durch F.
8. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₃ zwischen s und w₂; Schnittpunkt mit AB ist H.
9. Konstruktion des Thaleskreises k₂ (mit Mittelpunkt M) über HA; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
10. Konstruktion eines Kreises k₃ um G, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N (dabei liegt N sehr nahe an M).
11. Konstruktion der Tangente an k₃ durch N; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte P₃ und P₁₄ des Siebzehnecks.
12. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d₁ = AP₃ von k₁ auf k₁ – ab dem Eckpunkt P₃ entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P₁₄ im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k₁ sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
13. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Variation der Konstruktion nach H. W. Richmond

Siebzehneck, Variation, darin liegt Punkt N nicht mehr so nah an M

Unterschiede zum Original

• Der Kreis k₂ bestimmt statt der Winkelhalbierenden w₃ den Punkt H.
• Der Kreis k₄ um den Punkt G′ (Spiegelung des Punktes G an m) ergibt den Punkt N, der dadurch für die Konstruktion der Tangente nicht mehr so nah an M liegt.
• Einige Bezeichnungen sind geändert.

Konstruktionsbeschreibung

1. Zeichnen eines großen Kreises k₁ (des Umkreises des entstehenden Siebzehnecks) um den Mittelpunkt O.
2. Zeichnen eines Durchmessers; Schnittpunkte mit k₁ sind A und B.
3. Konstruktion der Mittelsenkrechten m zu AB; Schnittpunkte mit k₁ sind C und D.
4. Konstruktion des Mittelpunktes E von DO.
5. Konstruktion des Mittelpunktes F von EO und Zeichnen von FB.
6. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₁ zwischen OF und FB; Schnittpunkt mit AB ist Q.
7. Konstruktion der Winkelhalbierenden w₂ zwischen OF und FQ; Schnittpunkt mit AB ist G.
8. Konstruktion von G′ durch Spiegelung von G an m.
9. Konstruktion des Kreises k₂ um Q, der durch F verläuft; der näher an m liegende Schnittpunkt mit AB ist H.
10. Konstruktion des Thaleskreises k₃ über HB; Schnittpunkte mit CD sind J und K.
11. Konstruktion des Kreises k₄ um G′, der durch J und K verläuft; Schnittpunkte mit AB sind L und N.
12. Konstruktion der Tangente an k₄ durch N; Schnittpunkte mit k₁ sind die Eckpunkte P₃ und P₁₄ des Siebzehnecks.
13. Je siebenmaliges Abtragen der Sehne d₁ = AP₃ von k₁ auf k₁ – ab dem Eckpunkt P₃ entgegen dem Uhrzeigersinn und ab dem Eckpunkt P₁₄ im Uhrzeigersinn; Schnittpunkte mit k₁ sind alle restlichen Eckpunkte des Siebzehnecks.
14. Verbinden der so gefundenen Punkte.

Gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke

Das folgende Konstruktionsprinzip nutzt als Ansatz die gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels

$\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\;\right).$

Zuerst wird auf einer Zahlengeraden der Hauptteil der Formel ohne den Faktor ${\frac {1}{16}}$ abgebildet. Es folgt die geometrische Division mit dem Divisor $16$ und schließt mit einer zehnfachen Vergrößerung einer Dreieckseite ab, deren Länge dem Kosinus des Zentriwinkels entspricht.

Hauptteil der Formel, ohne Faktor ${\frac {1}{16}}$

Siebzehneck, Hauptteil der Formel, ohne Faktor ${\tfrac {1}{16}}$, Konstruktionsskizze

1. Zeichne die Zahlengerade $s_{1}$ und bestimme darauf Punkt $A$, die Strecke ${\overline {AB}}=1$ und ${\overline {AC}}=17\cdot {\overline {AB}}.$
2. Errichte die Zahlengerade $s_{2}$ durch Punkt $A$ als Senkrechte zur Zahlengerade $s_{1}$ und bestimme darauf die Strecke ${\overline {AD}}=4\cdot {\overline {AB}}$, dabei ist Punkt $D=0$ auf $s_{2}.$
3. Ziehe durch $D$ die zweite Zahlengerade $s_{3}$ als Parallele zur $s_{1}.$
4. Halbiere die Strecke ${\overline {AC}},$ als Schnittpunkt ergibt sich Punkt $F.$
5. Zeichne den Halbkreis um $F$ ab $C$ und eine Parallele zur Zahlengeraden $s_{2}$ ab Punkt $B$ bis zum Halbkreis, als Schnittpunkt ergibt sich $G.$
6. Verbinde den Punkt $A$ mit $G$, die so erhaltene Strecke ${\overline {AG}}={\sqrt {17}}.$
7. Ziehe einen Halbkreis um Punkt $A$ mit dem Radius ${\overline {AB}}$, als Schnittpunkt ergibt sich $H=-1$ auf $s_{1}.$
8. Übertrage ab Punkt $H$ die Strecke ${\overline {AG}}={\sqrt {17}}$ auf die Zahlengerade $s_{1}$, als Schnittpunkt ergibt sich $I=-1+{\sqrt {17}}.$
9. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden $s_{2}$ ab Punkt $I$ bis $s_{3}$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt $J.$
10. Bestimme die Strecke ${\overline {AK}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\overline {AG}}$ von ${\overline {AC}}$, somit ist ${\overline {AK}}=17-{\sqrt {17}}.$
11. Verdopple die Strecke ${\overline {AK}}$, als Schnittpunkt ergibt sich $L$, somit ist ${\overline {AL}}=2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right).$
12. Ziehe den Kreisbogen $b_{1}:$ $LMK$ und addiere anschließend zum Punkt $K$ die Strecke ${\overline {AB}}=1$, als Schnittpunkt ergibt sich $N.$
13. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden $s_{1}$ ab Punkt $N$ bis zum Kreisbogen $b_{1}$, als Schnittpunkt ergibt sich $O.$
14. Verbinde Punkt $K$ mit $O$, die so erhaltene Strecke ${\overline {KO}}={\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}.$
15. Bestimme die Strecke ${\overline {AP}}$ durch Addition der Strecke ${\overline {KO}}$ zur Strecke ${\overline {AI}}$, somit ist ${\overline {AP}}=-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}.$
16. Fälle das Lot vom Punkt $P$ auf die Zahlengerade $s_{3}$, als Schnittpunkt ergibt sich $Q.$
17. Bestimme die Strecke ${\overline {AT}}$ durch dreimalige Addition der Strecke ${\overline {AG}}$ zur Strecke ${\overline {AC}}$, als Schnittpunkte ergeben sich $R,S$ und $T,$ somit ist ${\overline {AT}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}.$
18. Bestimme die Strecke ${\overline {AU}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\overline {KO}}$ von ${\overline {AT}}$, somit ist ${\overline {AU}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}.$
19. Bestimme die Strecke ${\overline {SV}},$ sie ist gleich lang wie ${\overline {AR}}=17+{\sqrt {17}}.$
20. Ziehe den Kreisbogen $b_{2}:$ $SWV$ und addiere anschließend zum Punkt $V$ die Strecke ${\overline {AB}}=1$, als Schnittpunkt ergibt sich $A_{1}.$
21. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden $s_{1}$ ab $A_{1}$ bis zum Kreisbogen $b_{2}$, als Schnittpunkt ergibt sich $B_{1}.$
22. Verbinde Punkt $V$ mit $B_{1}$, die so erhaltene Strecke ${\overline {VB_{1}}}={\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}.$
23. Bestimme die Strecke ${\overline {AC_{1}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\overline {VB_{1}}}$ von ${\overline {AU}}$, somit ist ${\overline {AC_{1}}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-{\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}.$
24. Bestimme die Strecke ${\overline {AD_{1}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\overline {VB_{1}}}$ von ${\overline {AC_{1}}}$, somit ist ${\overline {AD_{1}}}=17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2\cdot {\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}.$
25. Halbiere die Strecke ${\overline {AD_{1}}}$, als Schnittpunkt ergibt sich $F_{1}$
26. Ziehe den Kreisbogen $b_{3}:$ $D_{1}G_{1}F_{1}$ und addiere anschließend zum Punkt $F_{1}$ die Strecke ${\overline {AB}}=1$, als Schnittpunkt ergibt sich $H_{1}.$
27. Errichte eine Senkrechte auf der Zahlengeraden $s_{1}$ ab $H_{1}$ bis zum Kreisbogen $b_{3}$, als Schnittpunkt ergibt sich $I_{1}.$
28. Verbinde den Punkt $F_{1}$ mit $I_{1}$, die so erhaltene Strecke ${\overline {F_{1}I_{1}}}={\sqrt {17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2\cdot {\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}.$
29. Addiere zur Strecke ${\overline {DQ}}\;(={\overline {AP}})$ zweimal die Strecke ${\overline {F_{1}I_{1}}}$, als Schnittpunkte ergeben sich $J_{1}$ und $K_{1},$ somit ist der Hauptteil der Formel auf $s_{3}$ konstruiert; die Strecke ${\overline {DK_{1}}}=-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2\cdot {\sqrt {17+3\cdot {\sqrt {17}}-{\sqrt {2\cdot \left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2\cdot {\sqrt {2\cdot \left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}.$

Geometrische Division mit dem Divisor 16

Siebzehneck, geometrische Division mit dem Divisor 16, Konstruktionsskizze

1. Bestimme die Strecke ${\overline {AL_{1}}}$ durch Subtraktion der Strecke ${\overline {AB}}=1$ von ${\overline {AC}}$, somit ist ${\overline {AL_{1}}}=16\cdot {\overline {AB}}.$
2. Fälle das Lot vom Punkt $L_{1}$ auf die Zahlengerade $s_{3}$, als Schnittpunkt ergibt sich $M_{1}.$
3. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade $s_{2}$ vom Punkt $B$ bis auf $s_{3}$, als Schnittpunkt ergibt sich $N_{1}.$
4. Halbiere die Strecke ${\overline {AD}}$, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt $O_{1}$, dabei ist $O_{1}=2$ auf der Zahlengeraden $s_{2}.$
5. Zeichne eine Parallele zur Zahlengerade $s_{3}$ ab dem Punkt $O_{1}$ bis auf die Strecke ${\overline {N_{1}B}}$, als Schnittpunkt ergibt sich $P_{1}.$
6. Lege ein Lineal mit seiner Kante an die Punkte $P_{1}$ und $M_{1},$ danach markiere mithilfe der Linealkante auf der Zahlengeraden $s_{2}$ den Schnittpunkt $Q_{1}.$ Eine Linie durch $P_{1}$ nach $M_{1}$ ist nicht notwendig, sie würde auch zu dicht an der folgenden (grünen) Fuktionslinie sein.
7. Verbinde den Punkt $Q_{1}$ mit $K_{1}$, die Strecke ${\overline {Q_{1}K_{1}}}$ (grüne Linie) schneidet die Strecke ${\overline {O_{1}P_{1}}}$ in einem, wegen des sehr kleinen Dreiecks $\Delta O_{1}P_{1}Q_{1}$, nicht sichtbaren Punkt; nennen wir den virtuellen Punkt $R_{1}$.

Somit ist die geometrische Division mit dem Divisor $16$ durchgeführt.

Die virtuelle Strecke ${\overline {O_{1}R_{1}}}$ entspricht bereits dem Kosinus des Zentriwinkels:

${\begin{aligned}{\overline {O_{1}R_{1}}}&={\frac {1}{16}}\cdot {\overline {DK_{1}}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\;\right)\\&=0{,}9324722294043558\ldots \;{\widehat {=}}\;\cos \mu \\\end{aligned}}$

Um das Siebzehneck fertig konstruieren zu können, bedarf es noch einer starken Vergrößerung der Strecke ${\overline {O_{1}R_{1}}}.$

Vorüberlegungen

Betrachtet man zuerst von den beiden ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken $\Delta N_{1}M_{1}P_{1}$ und $\Delta O_{1}P_{1}Q_{1}$ (beide nur durch deren Eckpunkte bestimmt) jeweils das Verhältnis der kleinen zur großen Kathete, so zeigt sich mit ${\overline {O_{1}P_{1}}}=1$:

${\overline {N_{1}P_{1}}}:{\overline {N_{1}M_{1}}}=2:15={\overline {O_{1}Q_{1}}}:1=0{,}1{\overline {3}}=0{,}4:3,$

d. h. bei einer Vergrößerung der kleinen Kathete ${\overline {O_{1}Q_{1}}}$ mit dem Faktor $10,$ wird deren Länge

$10\cdot 0{,}1{\overline {3}}=1{,}{\overline {3}}={\frac {4}{3}}\;[LE].$

Nun zum virtuellen rechtwinkligen Dreieck $\Delta O_{1}R_{1}Q_{1}$ mit den beiden Gegebenheiten:

• Kleine Kathete ${\overline {O_{1}Q_{1}}},$ ist dieselbe des rechtwinkligen Dreiecks $\Delta O_{1}P_{1}Q_{1},$
• Winkel am Scheitel $Q_{1},$ durch den Verlauf der Strecke ${\overline {Q_{1}K_{1}}}$ (grüne Linie) bestimmt.

Konstruiert man nun, wie im Folgenden beschrieben, ein rechtwinkliges Dreieck, das dem virtuellen rechtwinkligen Dreieck $\Delta O_{1}R_{1}Q_{1}$ ähnlich ist und eine kleine Kathete mit der Länge ${\frac {4}{3}}\;[LE]$ besitzt, ergibt sich als verwendbare große Kathete nochmals der Kosinus des Zentriwinkels $\mu .$

Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke

Vergrößerung der Seite ${\overline {O_{1}R_{1}}}$ des virtuellen rechtwinkligen Dreiecks $\Delta O_{1}R_{1}Q_{1}$

1. Bestimme den Punkt $S_{1}$ nahe $M_{1},$ als dritten Teil der Strecke ${\overline {M_{1}L_{1}}}=4$, es ergibt sich die Länge der Strecke ${\overline {S_{1}M_{1}}}={\frac {1}{3}}\cdot {\overline {M_{1}L_{1}}}={\frac {1}{3}}\cdot 4={\frac {4}{3}}\;[LE].$
2. Zeichne eine Parallele zur Zahlengeraden $s_{3}$ ab dem Punkt $S_{1}$ bis auf die Strecke ${\overline {Q_{1}K_{1}}}$ (grüne Linie), als Schnittpunkt ergibt sich $R_{1}'.$
3. Zeichne ab $K_{1}$ eine Parallele zur Strecke ${\overline {M_{1}L_{1}}}$ bis auf ${\overline {S_{1}R_{1}'}},$ als Schnittpunkt ergibt sich $T_{1}.$

Das rechtwinklige Dreieck $\Delta T_{1}R_{1}'K_{1}$ ist ähnlich dem virtuellen Dreieck $\Delta O_{1}R_{1}Q_{1};$ der Punkt $R_{1}'$ ist das Pendant des oben benannten Punktes $R_{1}.$

Somit ist die Strecke ${\overline {T_{1}R_{1}'}}=\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)$ der gesuchte Kosinus des Zentriwinkels $\mu .$

4. Verdoppele die Strecke ${\overline {AD}}$ auf dem Zahlenstrahl $s_{2}$ und addiere anschließend dazu geometrisch den Zahlenwert $2$ (Strecke ${\overline {AO_{1}}}$), es ergeben sich auf $s_{2}$ die Zahlenwerte $8$ und $10.$
5. Bestimme den Punkt $U_{1}$ auf $s_{2}$ beliebig und zeichne ab $U_{1}$ eine Parallele zu $s_{1}.$
6. Übertrage die Strecke ${\overline {D10}}$ auf diese Parallele, als Schnittpunkt ergibt sich $T_{1}'.$
7. Ziehe den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks um $T_{1}'$ durch $U_{1},$ dabei ergibt sich der siebzehnte Eckpunkt $E_{17}$.
8. Übertrage die Strecke ${\overline {T_{1}R_{1}'}}(=cos\mu )$ ab $T_{1}'$ auf den Radius des Umkreises, als Schnittpunkt ergibt sich der Punkt $R_{1}''.$
9. Errichte eine Senkrechte auf $\cos \mu$ ab $R_{1}''$ entgegen dem Uhrzeigersinn bis zum Kreis, als Schnittpunkt ergibt sich $E_{1},$ der erste Eckpunkt des Siebzehnecks.
10. Verbinde den Eckpunkt $E_{1}$ mit $E_{17}$, somit ist die erste Seite $a$ des Siebzehnecks exakt konstruiert.
11. Abschließend trage die Strecke ${\overline {E_{17}E_{1}}}$ noch fünfzehnmal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis ab. Nach dem Verbinden der benachbarten Eckpunkte ergibt sich das regelmäßige Siebzehneck $E1\ldots E17$.

Weblinks

 Siebzehneck

Siebzehneck, Seite gegeben

 Mittelsenkrechte

 Thaleskreis

 Winkelhalbierende

 Spiegelung (Geometrie)

Parallele hier im Kapitel Grundkonstruktionen

 Kreiswinkel, Zentriwinkel

 Zentrische Streckung

 Dritter Strahlensatz

 Zahlengerade

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Siebzehneck, gaußsche Formel für den Kosinus des Zentriwinkels als konstruierte Strecke, mit Kurzbeschreibung, Animation

Herbert W. Richmond 1893 Siebzehneck Beschreibung und Siebzehneck Abbildung (Fig. 6)

257-Eck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Konstruktion

Das regelmäßige 257-Eck, im englischen Sprachraum 257-gon, ist zwar als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal theoretisch möglich, kann aber wegen der sehr hohen Anzahl und Dichte der erforderlichen Linien nicht übersichtlich abgebildet werden.

Die im Jahre 1991 veröffentlichte Konstruktionsmethode von Duane W. DeTemple unter Verwendung des sogenannten Carlyle-Kreises, ist deutlich einfacher, verwehrt aber wegen der dicht neben- und übereinander liegenden 150 Hilfskreisen den erforderlichen Durchblick.

Erlaubt man jedoch neben Zirkel und Lineal ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in n gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, ist eine gut nachvollziehbare exakte Konstruktion der ersten Ecke E₁ und damit die Seitenlänge des 257-Ecks darstellbar.

Exakte Konstruktion der Seitenlänge mit der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Würde der gleiche Ansatz wie beim Elfeck angewandt werden, d. h. den Umkreisradius zuerst in 257 gleiche Abschnitte teilen und anschließend den vierten Teilungspunkt zur Konstruktion des Mittelpunktswinkels μ nutzen, wäre z.B. bei einem Umkreisradius r = 100 mm der Abstand von einem zum nächsten Teilungspunkt etwas kleiner als 0,4 mm.

Eine machbare Alternative zeigt die folgende Konstruktion. Übrigens ist sie auch mit realem Zirkel, Lineal und z. B. mithilfe der Quadratrix in Form einer Schablone auf einem Blatt Papier im Format DIN A4 realisierbar.

Unter Verwendung der Quadratrix wird nicht zuerst der erste Eckpunkt E₁ des 257-Ecks gesucht, sondern der sechzehnte Eckpunkt E₁₆.

Der Eckpunkt $E_{16}$ lässt sich auf folgende Art und Weise finden.

Für den Mittelpunktswinkel $\mu$ des Kreisausschnittes $OE_{257}E_{16}$ gilt

$\mu =16\cdot {\frac {360^{\circ }}{257}}=22{,}41245...^{\circ }$,

mit Berücksichtigung des Mittelpunktswinkels $90^{\circ }$ des Viertelkreises erhält man

${\frac {1}{\mu }}\cdot 90^{\circ }={\frac {257\cdot 90^{\circ }}{16\cdot 360^{\circ }}}=4{\frac {1}{64}}=4{,}015625.$

Diese Dezimalzahl ist mithilfe des dritten Strahlensatzes mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Die Länge der Strecke ${\overline {OM}}$ in Längeneinheiten [LE], sprich der Abstand vom Mittelpunkt $O$ des Umkreises bis zum Funktionspunkt $M$ errechnet sich aus

${\overline {OM}}={\frac {\mu }{90^{\circ }}}={\frac {16\cdot 360^{\circ }}{257\cdot 90^{\circ }}}={\frac {64}{257}}={\frac {1}{4{,}015625}}=0{,}249027\ldots$ [LE]

Der der Wert des Quotienten ${\frac {1}{4{,}015625}}$ ist ebenso mit Zirkel und Lineal mithilfe des dritten Strahlensatzes konstruierbar.

Die fünf Hauptschritte der Konstruktion

1. Schema
2. Zahl 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
3. Einheitskreis mit Quadratrix des Hippias
4. Strecke OM aus dem Quotient 1 : 4,015625 (mithilfe des dritten Strahlungssatzes)
5. Eckpunkt E₁

Schema

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Konstruktion des Schemas

1. Bestimme den Punkt A.
2. Zeichne die Strecke AB mit der Länge 1.
3. Errichte eine zu AB senkrechte Strecke BC mit der Länge 1.
4. Konstruiere eine Strecke CD parallel zur Strecke AB, etwas länger als 1.
5. Zeichne eine Gerade parallel zur Strecke BC durch den Punkt A mit einer kurzen Unterbrechung nahe der Strecke CD, d. h. CD und die Gerade haben keinen Schnittpunkt.
6. Teile die Strecken AB in 10 gleiche Abschnitte, aber zeichne nur die Teilungspunkte (Teilungspunkt im weiteren Verlauf mit TP bezeichnet) TP1 bis TP3 und TP5 bis TP7 ein.
7. Projiziere die TPs der Strecke AB auf die Strecke CD und ergänze darauf TP4.
8. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch TP1 der Strecke AB sowie eine gerade Linie vom Punkt B durch TP1 der Strecke CD, jeweils bis zur Geraden die durch A verläuft, es ergeben sich die Scheitelpunkte C₁ bzw. B₁.
9. Verbinde TP1 von Strecke AB mit TP1 von Strecke CD, es ergibt die Strecke (1)(1).

Zahl 4,015625

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Konstruktion der Zahl 4,015625

10. Verbinde TP5 (letzte Nachkommastelle der Zahl 4,015625) mit C₁, es ergibt den Schnittpunkt 5 auf AB. Der Wert der Zahl 5 ist damit auf 0,5 verkleinert, eingetragen wird aber 5.
11. Addiere 5 zum TP2 auf AB, es ergibt 25.
12. Verbinde 25 mit B₁, es ergibt den Schnittpunkt 25 auf CD.
13. Greife die Strecke (1)25 von CD ab und subtrahiere sie vom TP7 auf AB, es ergibt 625.
14. Verbinde 625 mit B₁, es ergibt den Schnittpunkt 625 auf CD.
15. Addiere 625 zum TP5 auf CD, es ergibt 5625.

$\Rightarrow$ Zusätzlicher Hilfsstrahl wird eingearbeitet:

16. Bestimme den Punkt E auf C₁,B₁, mit AE ungefähr ein Viertel der Länge von BC.
17. Errichte eine Senkrechte zur Strecke C₁,B₁ ab E bis auf die Strecke (1)(1), es ergibt den Schnittpunkt F.
18. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt C durch F bis zur Strecke C₁,B₁, es ergibt den Schnittpunkt C₂.

$\Rightarrow$ Es geht weiter mit 5625

19. Verbinde 5625 mit C₂, es ergibt 5625 auf der Strecke EF.
20. Addiere 5625 zum TP1 auf CD, es ergibt 15625.
21. Verbinde 15625 mit C₁, es ergibt den Schnittpunkt 15625 auf AB.

$\Rightarrow$ Da die nächste Dezimalstelle eine 0 (Null) ist, muss der bisher hierher konstruierte Wert 0,15625 nochmals durch 10 geteilt werden, bevor er weiter verwendet werden kann.

22. Verbinde 15625 mit B₁, es ergibt den Schnittpunkt 015625 auf CD, die Unterbrechung der Geraden ermöglicht eine Markierung des Punktes 015625.
23. Greife die Strecke (1)015625 von CD ab und subtrahiere sie vom TP5 auf AB, somit ist die Zahl 4,015625 fertig konstruiert.

Einheitskreis mit Quadratrix des Hippias

257-Eck, exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix des Hippias, Einheitskreis und Quadratrix

24. Halbiere die Strecke C₁,B₁, es ergibt den Schnittpunkt G.
25. Bestimme den Mittelpunkt O für den Umkreis des 257-Ecks mit dem Radius GO = AB = 1.
26. Zeichne den Umkreis um O, es ergibt den Schnittpunkt E₂₅₇ auf der Geraden.
27. Errichte eine zu GE₂₅₇ senkrechte Strecke OH.
28. Mit den noch fehlenden Seiten (Länge 1) vervollständige das Quadrat über OE₂₅₇.
29. Zeichne die Quadratrix ein mit der Parameterkurve $\gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}}]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$:

$\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}$

mit

${\begin{aligned}x(t)&={\begin{cases}t\cot \left({\frac {\pi t}{2\cdot 1}}\right)\,&,0\leq t\leq 1\end{cases}}\\y(t)&=t\end{aligned}}$

Strecke OM aus dem Quotient 1 : 4,015625

257-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

30. Verlängere die Strecke (1)(1) bis zur Strecke OH, es ergibt den Schnittpunkt I.
31. Errichte eine Senkrechte im Punkt G bis zur Strecke BC, es ergibt den Schnittpunkt J.
32. Ziehe eine Parallele ab der konstruierten Zahl 4,015625 bis zur Strecke GJ, es ergibt den Schnittpunkt K.
33. Ziehe eine gerade Linie vom Punkt K durch I bis zur Strecke OE₂₅₇, es ergibt den Schnittpunkt L.
34. Verbinde Punkt J mit L, es ergibt den Schnittpunkt M auf OH, somit ist die Funktionsstrecke OM konstruiert.

Eckpunkt E₁₆ bis E₁

35. Ziehe eine Parallele zu OE₂₅₇ ab dem Punkt M bis zur Quadratrix, es ergibt den Schnittpunkt N.
36. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch N bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der sechzehnte Eckpunkt E₁₆ des 257-Ecks.
37. Die abschließende vierfache Winkelhalbierung erzeugt die Eckpunkte $E_{8}$, $E_{4}$, $E_{2}$ und schließlich $E_{1}$. Somit entspricht der Abstand |E₂₅₇E₁| exakt der Seitenlänge des 257-Ecks.

Näherungskonstruktion der 1. Seite

Zwar nicht exakt, aber deutlich einfacher ist die folgende Konstruktion.

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_{257}$.
3. Halbgerade senkrecht zu ${\overline {AE_{257}}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken ${\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkt $K$.
6. Strecke ${\overline {DJ}}={\overline {JA}}={\overline {AL}}$, Kreis um $M$ durch $J$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $N$, dessen Abstand zu Punkt $K$ ist gleich der Strecke ${\overline {AD}}$. In der Darstellung beschrieben als $|KN|={\overline {AD}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $O$ als $|FO|={\overline {MG}}$ bis $Z$ als $|AZ|={\overline {CH}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $Z$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $A_{1}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $A_{1}$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $B_{1}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $C_{1}$ bis $K_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die Verbindung von $K_{1}$ mit $M$ schneidet den innersten Kreis in $E_{4}$, als vierten Eckpunkt des entstehenden 257-Ecks.
10. Konstruiere innerhalb des Winkels $E_{257}ME_{4}$ zwei Winkelhalbierende, es ergeben sich die Eckpunkte $E_{2}$ und $E_{1}$.

• Somit ergibt sich mit der Strecke ${\overline {E_{257}E_{1}}}=a$ annähernd die erste Seite des 257-Ecks.

Ergebnis

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

• Konstruierte Seite des 257-Ecks in GeoGebra (Anzeige 15 signifikante Nachkommastellen, gerundet) ${\overline {E_{257}E_{1}}}=a=2,44475829850863E-2\;[LE]$
• Seite des 257-Ecks, 15 sigifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet $a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{257}}\right)=2,44475829850863E-2\;[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seite $F_{a}=a-a_{SOLL}=0\;[LE]$
• Konstruierter Zentriwinkel in GeoGebra (Anzeige 14 signifikante Nachkommastellen, gerundet) $\mu =1{,}40077821011673^{\circ }$
• Zentriwinkel des 257-Ecks, 14 signifikante Nachkommastellen, ebenfalls gerundet $\mu _{SOLL}={\frac {360^{\circ }}{257}}=1{,}40077821011673^{\circ }$
• Absoluter Fehler des konstruierten Zentriwinkels $F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=0^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Radius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge a < 1 mm.

Weblinks

 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

 Carlyle-Kreis

 Quadratrix des Hippias

 Mittelpunktswinkel

  Scheitelpunkt

 GeoGebra

257-Eck E-15, Näherungskonstruktion der ersten Seite, Animation

65537-Eck

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Näherungskonstruktion der ersten Seite in zwei Hauptschritten

• Da eine exakte Konstruktion allein mit Zirkel und Lineal nicht praktikabel abgebildet werden kann, wird im Folgenden mithilfe GeoGebra die erste Seite als Näherungskonstruktion in einer stark vergrößerter Ansicht dargestellt.

Näherungskonstruktion der Ecke 1.024

1. Es sei ein Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$.
2. Halbgerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $E_{65537}$.
3. Halbgerade senkrecht zu ${\overline {AE_{65537}}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $B$ und $C$.
4. Strecken ${\overline {AD}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $D$ ergibt Schnittpunkt $J$.
6. Strecke ${\overline {AK}}={\overline {DK}}$, Kreis um $M$ durch $K$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $L$, dessen Abstand zu Punkt $E_{65537}$ ist gleich der Strecke ${\overline {FK}}$. In der Darstellung beschrieben als $|E_{65537}L|={\overline {FK}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $N$ als $|BN|={\overline {AH}}$ bis $A_{1}$ als $|E_{65537}A_{1}|={\overline {MA}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $A_{1}$ durch $W$ bis sie die äußere Kreislinie in $B_{1}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $B_{1}$ durch $V$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $C_{1}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $D_{1}$ bis $M_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Verbinde den Punkt $M_{1}$ mit dem Mittelpunkt $M$, auf dem Umkreis ergibt sich somit annähernd die Ecke $E_{1024}$, d. h. der Kreisbogen $ME_{65537}E_{1024}$ beinhaltet annähernd 1024 Seiten des regelmäßigen 65537-Ecks.

Näherungskonstruktion der ersten Seite

65537-Eck, 1. Vergrößerung Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens $ME_{65537}E_{1024}$ und halbiere mittels MS dreimal den Winkel $E_{65537}ME_{1024}$, ergibt die Ecken $E_{512},E_{256}$ und $E_{128}$

65537-Eck, 2. Vergrößerung Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens $ME_{65537}E_{128}$ und halbiere mittels MS viermal den Winkel $E_{65537}ME_{128}$, ergibt die Ecken $E_{64},E_{32},E_{16}$ und $E_{8}$

65537-Eck, 3. Vergrößerung Erzeuge eine stark vergrößerte Ansicht des Kreisbogens $ME_{65537}E_{8}$ und halbiere mittels MS dreimal den Winkel $E_{65537}ME_{8}$, ergibt die Ecken $E_{4},E_{2}$ und $E_{1}$

In der dritten Vergrößerung, ergibt sich somit annähernd die erste Seite E₆₅₅₃₇E₁ = a des regelmäßigen 65537-Ecks.

Ergebnis

• Konstruierter Winkel (Anzeige GeoGbra) $\mu _{1024}=5{,}62491417062117^{\circ }$
• Winkel $\mu _{1024\;SOLL}=360^{\circ }\cdot {\frac {1024}{65537}}=5{,}62491417062118^{\circ }$, gerundet
• Absoluter Fehler des konstruierten Winkels $F_{\mu 1024}=\mu _{1024}-\mu _{1024\;SOLL}=-1E-14^{\circ }$

(1 Winkelsekunde = ${\frac {1^{\circ }}{3600}}$ = 0,000277...° = 2,77...E-4°)

 

• Konstruierte Seite des 65537-Ecks (Anzeige GeoGbra) $a={\overline {E_{65537}E_{1}}}=9{,}58723363103780E-5\;[LE]$
• Seite des 65537-Ecks $a_{SOLL}=2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{65537}}\right)=9{,}5872336310378200E-5\;[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten ersten Seite $F_{a}=a-a_{SOLL}=-2E-19\;[LE]$
• Absoluter Fehler der letzten Seite $F_{a65537}=-F_{a}\cdot 65537=2E-19\cdot 65537=1{,}31074E-14\;[LE]$

 

• Konstruierter Zentriwinkel (Anzeige GeoGbra) $\mu =5{,}49308024474723E-3^{\circ }$
• Zentriwinkel $\mu _{SOLL}={\frac {360^{\circ }}{65537}}=5{,}4930802447472420E-3^{\circ }$
• Absoluter Fehler vom konstruierten Zentriwinkel $F_{\mu }=\mu -\mu _{SOLL}=-1{,}2...E-17^{\circ }$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

Bei einem Umkreisradius r = 10 Billionen km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 1 Jahr und 21 Tage) wäre die 1. Seite ca. 2 mm zu kurz, bzw. die 65537. Seite ca. 131 m zu lang.

Weblinks

•  65537-Eck
•  GeoGebra
•  Lichtgeschwindigkeit
• 65527-Eck, exakte Konstruktion der 1. Seite mit der Quadratrix des Hippias und einem Programm für dynamische Geometrie als zusätzliche Hilfsmittel
• 65537-Eck aus mathematik-olympiaden.de, mit Bildern der Dokumentation nach HERMES; abgerufen am 16. Juli 2016

Kreiskonstruktionen

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Konstruktion des Mittelpunkts

Konstruktion des Kreismittelpunkts.

1. Lege auf einer gegebenen Kreislinie (c₀) einen Punkt (A) fest.
2. Zeichne um den Punkt A einen Kreis c_a mit einem Radius größer als dem des geg. Kreises, beispielsweise ca. 3/2 des gegebenen Kreises. Die Schnittpunkte mit c₀ sind B und C.
3. Zeichne um die Punkte B und C mit dem gleichen Radius (also durch A) zwei weitere Kreise, c_b und c_c. Die Schnittpunkte mit c_a sind D und E, bzw. F und G.
4. Verbinde die Schnittpunkte D und E, bzw. F und G jeweils mit einer Geraden. Der Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des gegebenen Kreises.

Konstruktion eines Kreises durch drei Punkte

Konstruktion eines Kreises durch drei gegebene Punkte.

Diese Konstruktion entspricht der Konstruktion des Umkreises um ein Dreieck, ohne die Dreieckseiten zu konstruieren:

1. Konstruiere für die nicht notwendigerweise dargestellte Strecke zwischen zwei Punkten der gegeben Punkte A,B, und C - beispielsweise A und B - die Mittelsenkrechte. (in der Zeichnung blau).
2. Verfahre mit einer anderen Strecke genauso (in der Zeichnung türkis). Der Schnittpunkt M der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des gesuchten Kreises c.
3. Zeichne den Kreis c durch die Punkte.

Konstruktion der Tangenten an einen Kreis

Konstruktion der Tangenten von einem gegebenen Punkt an einen gegebenen Kreis.

Um die Tangenten von einem Punkt P an einen Kreis C zu erhalten, verfahre wie folgt:

1. Verbinde den Mittelpunkt M vom gegebenen Kreis c mit dem gegebenen Punkt P.
2. Halbiere die Strecke MP; man erhält Punkt H.
3. Zeichne um H einen durch M und P gehenden Kreis; Die Schnittpunkte mit dem gegeben Kreis sind die Tangentenpunkte T₁ und T₂.
4. Zeichne die Tangenten t₁ und t₂.

Kurzinhalt: die Quadratur des Kreises, die Dreiteilung des Winkels, die Verdoppelung des Würfels

Näherung 1

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Transformation Quadrat in Kreis

Tranformation Quadrat in Kreis

Näherungskonstruktion: Aus einem gegebenen Quadrat wird ein Kreis mit nahezu gleichem Flächeninhalt konstruiert, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Die gepunktete Linie ab Punkt G sowie der Punkt J, dienen als Hilfe für die Berechnung des Radius r.

Konstruktion

1. Konstruiere ein Quadrat ABCD, dessen halbe Seitenlänge gleich EM ist.
2. Bestimme die Strecke EF, sie ist ein Sechstel der Strecke EM.
3. Zeichne einen Kreisbogen um den Mittelpunkt M mit dem Radius EM ab E.
4. Errichte eine Senkrechte auf EM in F bis sie den Kreisbogen um M in G schneidet.
5. Zeichne einen Kreisbogen um D mit dem Radius |DG| ab G bis er die Strecke AD in H schneidet.
6. Verbinde den Punkt H mit M; die Strecke HM ist der gesuchte Radius r.
7. Zeichne abschließend einen Kreis um den Mittelpunkt M mit dem Radius r.

Fehler

Bei einem Quadrat mit der Seite s = 1 [LE]:

• Konstruierter Radius r = 0,564189924824387...[LE]
• Soll-Radius r_s = ${\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$ = 0,564189583547756...[LE]
• Absoluter Fehler = r - r_s = 0,000000341276631... = 3,412...E-7 [LE]
• Mit konstruiertem Radius r erzeugte Kreisfläche A = r² ⋅ ${\pi }$ = 1,000001209794523... [FE]
• Soll-Kreisfläche A_s = 1,0 [FE]
• Absoluter Fehler = A - A_s = 0,000001209794523... = 1,209...E-6 [FE]
  • Bei einem Quadrat mit der Seite s = 10 km wäre der Fehler des Radius r ≈ 3,4 mm
  • Bei einem Quadrat mit der Seite s = 1 m wäre der Fehler der Kreisfläche A ≈ 1,2 mm²

Berechnung

Die gepunktete Linie ab Punkt G sowie der Punkt J, dienen als Hilfe für die Berechnung des Radius r.

Rechtwinkeliges Dreieck FMG

(nicht eingezeichnet)

1.0  $\triangle {FMG}$

 Gegeben:

 ${\overline {GM}}={\overline {EM}}={\frac {1}{2}}\cdot s$

 ${\overline {EF}}={\frac {1}{12}}\cdot s$

1.1  ${\overline {FM}}={\overline {EM}}-{\overline {EF}}={\frac {1}{2}}\cdot s-{\frac {1}{12}}\cdot s={\frac {5}{12}}\cdot s$

1.2  ${\overline {FG}}={\overline {EJ}}={\sqrt {{\overline {GM}}^{2}-{\overline {FM}}^{2}}}=s\cdot {\sqrt {{\frac {1}{4}}-{\frac {25}{144}}}}=s\cdot {\sqrt {\frac {11}{144}}}$

 ${\overline {FG}}\approx 0,276385399196283\cdot s$

Rechtwinkeliges Dreieck JGD

(nicht eingezeichnet)

2.0  $\triangle {JGD}$

 Gegeben:

 ${\overline {DE}}={\overline {EM}}={\frac {1}{2}}\cdot s$

 ${\overline {GJ}}={\overline {EF}}={\frac {1}{12}}\cdot s\;\;\mathrm {(aus\;1.0)}$

 ${\overline {EJ}}={\overline {FG}}=s\cdot {\sqrt {\frac {11}{144}}}\;\;\mathrm {(aus\;1.2)}$

2.1  ${\overline {DJ}}={\overline {DE}}-{\overline {EJ}}={\frac {1}{2}}\cdot s-s\cdot {\sqrt {\frac {11}{144}}}=s\cdot {\frac {6-{\sqrt {11}}}{12}}$

 ${\overline {DJ}}\approx 0,223614600803716\cdot s$

2.2  ${\overline {DG}}={\sqrt {{\overline {DJ}}^{2}+{\overline {GJ}}^{2}}}=s\cdot {\sqrt {\left({\frac {6-{\sqrt {11}}}{12}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{12}}\right)^{2}}}\;\;\Rightarrow s\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(4-{\sqrt {11}}\right)}}$

 ${\overline {DG}}\approx 0,238637662863702\cdot s$

Rechtwinkeliges Dreieck EMH

(nicht eingezeichnet)

3.0  $\triangle {EMH}$

 Gegeben:

 ${\overline {EM}}={\frac {1}{2}}\cdot s$

 ${\overline {DH}}={\overline {DG}}=s\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(4-{\sqrt {11}}\right)}}\;\;\mathrm {(aus\;2.2)}$

3.1  ${\overline {EH}}={\overline {DE}}-{\overline {DH}}=s\cdot {\frac {1}{2}}-s\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(4-{\sqrt {11}}\right)}}\;\;\Rightarrow s\cdot \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(4-{\sqrt {11}}\right)}}\right)$

 ${\overline {EH}}\approx 0,261362337136297\cdot s$

3.2 ${\overline {HM}}=r={\sqrt {{\overline {EH}}^{2}+{\overline {EM}}^{2}}}=s\cdot {\sqrt {\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(4-{\sqrt {11}}\right)}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\;\;\Rightarrow s\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\sqrt {\left(3-{\sqrt {3\left(4-{\sqrt {11}}\right)}}\right)^{2}+9}}$

Konstruierter Radius des Kreises

$\mathbf {r=s\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\sqrt {\left(3-{\sqrt {3\left(4-{\sqrt {11}}\right)}}\right)^{2}+9}}\;\approx 0,564189924824387\cdot s} .$

Schema für die Näherungskonstruktion regelmäßiger Vielecke

01- Schema-Vielecke-wiki

Verwendungszweck: Als Hilfsmittel für regelmäßige Vielecke mit gegebenem Umkreis, die keine exakte Lösung haben.

Konstruktionsprinzip

• Eine Anwendung des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen.
• Die Hauptelemente sind zwei zueinander parallele Teilerstrahlen s₁ und s₄, ein auf s₁ senkrecht stehender Zahlenstrahl s₂ und ein zu s₂ paralleler Scheitelstrahl s₃.
• Es sind echte und unechte Brüche sowie Dezimalbrüche, die im Schema Platz finden, einsetzbar.
• Tipp: Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die entsprechende Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.

Konstruktion

1. Zeichne durch den Punkt M einen Kreis - den späteren Umkreis des Vielecks - mit Radius r.
2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Mittelachsen des Kreises. Der unten liegende Schnittpunkt (Mittelachse mit dem Umkreis) ist die erste Ecke A des Vielecks.
3. Zeichne eine Parallele s₁ zur Strecke MA durch den Punkt K.
4. Zeichne eine Parallele s₂ zur Strecke MK durch den Punkt A, es ergibt sich der Schnittpunkt L.
   
5. Teile die Strecke MA in drei Teile, es ergibt sich der Schnittpunkt r/3.
6. Trage die Länge r/3, vom Punkt K wegführend, ab Punkt L zweimal auf die Parallele s₁ ab, es ergeben sich die Schnittpunkte N und O.
7. Zeichne eine Parallele s₃ zur Parallele s₂ durch den Punkt O.
8. Setze den Punkt P, mit dem Abstand Strecke KO + Strecke MK (oder mit einem ähnlich großen Abstand) zum Punkt O auf die Parallele s₃.
9. Zeichne eine Parallele s₄ zur Parallele s₁ durch den Punkt P ca. gleich lang wie die Parallele s₁.
10. Trage die Strecke L r/3, einmal ab Punkt r/3 und fünfmal ab Punkt K auf der Parallele s₁ ab, es ergibt sich als zehnter Teilungspunkt der Schnittpunkt Q. Die Parallele s₁ wird im Folgenden als Teilerstrahl s₁ bezeichnet.
11. Trage die Strecke L r/3, ab Punkt P, zehnmal auf der Parallele s₄ ab, es ergibt sich als zehnter Teilungspunkt der Schnittpunkt S. Die Parallele s₄ wird im Folgenden als Teilerstrahl s₄ bezeichnet.
12. Verbinde den Punkt N mit dem Punkt R, es ergibt sich der Schnittpunkt V.
13. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt S durch den Punkt N bis auf die Parallele s₃, es ergibt sich der Schnittpunkt T. Der Punkt T ist der Scheitelpunkt für die Strahlen, die vom Teilerstrahl s₄ ausgehen.
14. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt Q durch den Punkt R bis auf die Parallele s₃, es ergibt sich der Schnittpunkt U. Der Punkt U ist der Scheitelpunkt für die Strahlen, die vom Teilerstrahl s₁ ausgehen.
15. Verbinde den Punkt L mit dem Punkt V, somit ist das Schema konstruiert.

Regelmäßige Vielecke mit gegebener Seite

Ohne Umkreis und ohne die beiden Mittelachsen ist das Schema auch für regelmäßige Vielecke mit gegebener Seite, die keine exakte Lösung haben, anwendbar.

Siehe hierzu die Beschreibung im Abschnitt "Das regelmäßige Neuneck" unter "Regelmäßiges Neuneck mit gegebener Seite".

Weblinks

  Dritter Strahlensatz
  Zahlenstrahl

Neuneck (Nonagon)

Näherungskonstruktion mit gegebenem Umkreis

Konstruktionsprinzip

• Die Hauptelemente sind zwei zueinander parallele Teilerstrahlen s₁ und s₄, ein auf s₁ senkrecht stehender Zahlenstrahl s₂ und ein zu s₂ paralleler Scheitelstrahl s₃.
• Von dem vorgegebenen Zähler werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert und auf einem Teilerstrahl s₁ oder s₄ geometrisch addiert oder subtrahiert.
• Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an 2 ⋅ sin(180°/9) hat, sowie die Anwendung des dritten Strahlensatzes in kompakter Form.

Konstruktion

01-Neuneck-wiki-2

• Als Basiskonstruktion ist das Schema für die Näherungskonstruktion regelmäßiger Vielecke eingearbeitet.
• Alternative: Die Konstruktion manuell mit Zirkel und Lineal auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion erstellen.

1. Wähle einen Dezimalbruch der die gewünschte Näherung an 2 ⋅ sin(180°/9) hat.
   • Die Qualität der Näherung ist einfach voraussehbar, wenn ein Dezimalbruch (Anzahl der Nullen im Nenner) eingesetzt wird.
   • Im dargestellten Beispiel ist der Dezimalbruch 68404/1E+5 = 684040/1E+6 = gewählt.
   • Sechs Nachkommastellen sind gleich dem Wert 2 ⋅ sin(180°/9) = 0,684040286651337...
2. Verbinde den vierten Punkt des Zahlenstrahls s₄ (Zahl 4, Einerstelle des Zählers vom Dezimalbruch) mit dem Scheitelpunkt T, es ergibt sich der Punkt 4 auf dem Zahlenstrahl s₁. Der Wert der Zahl 4 vom Zahlenstrahl s₄ ist dadurch verkleinert (Faktor 1/10).
   • Beachte: Die nächste Stelle (Zehner) des Zählers ist eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 4 vom Zahlenstrahl s₄, vor der geometrischen Addition mit der nächsten Dezimalstelle 4, mit dem Faktor 1/100 verkleinert sein!
3. Verbinde den Punkt 4 des Zahlenstrahls s₁ mit dem Scheitelpunkt U, es ergibt sich der Punkt 04. Der Wert der Zahl 4 vom Zahlenstrahl s₄ ist nun mit Faktor 1/100 verkleinert.
4. Greife die Strecke R04 ab und subtrahiere sie vom fünften Teilungspunkt des Zahlenstrahls s₁, es ergibt sich der Punkt 404. Da der Wert 404 sehr nahe am vierten Teilungspunkt liegt, wird dieser vor der geometrischen Subtraktion entfernt.
5. Verbinde den Punkt 404 des Zahlenstrahls s₁ mit dem Scheitelpunkt U, es ergibt sich der Punkt 404 auf dem Zahlenstrahl s₄.
6. Greife die Strecke P404 ab und addiere sie zum achten Teilungspunkt des Zahlestrahls s₄, es ergibt sich der Punkt 8404.
7. Verbinde den Punkt 8404 des Zahlenstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt T, es ergibt sich der Punkt 8404 auf dem Zahlenstrahl s₁.
8. Greife die Strecke O8404 ab und addiere sie zum sechsten Teilungspunkt des Zahlestrahls s₄, es ergibt sich der Punkt 68404.
9. Verbinde den Punkt 68404 des Zahlenstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt T, es ergibt sich der Punkt 68404 auf dem Zahlenstrahl s₁.
10. Greife die Strecke O68404 ab und addiere sie zum ersten Teilungspunkt N des Zahlestrahls s₁, es ergibt sich der Punkt W.
11. Zeichne eine Parallele zur Strecke LV durch den Punkt W bis zur Strecke NR, es ergibt sich der Schnittpunkt X. Die rote Strecke NX ist die Seite des Neunecks.
12. Trage die Strecke NX, ab Punkt A, achtmal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
13. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Neuneck ABCDEFGHJ.

Fehler

Bei einem Umkreisradius r = 1 [LE]:

• Konstruierte Neuneckseite s = 0,68404 [LE]
• Soll-Neuneckseite s_s = 2 ⋅ sin(180°/9) ⋅ 1 [LE] = 0,684040286651337... [LE]
• Absoluter Fehler = s − s_s = -0,000000286651337... = -2.866...E-7 [LE]
  • Bei einem Umkreisradius r = 10 km wäre die Abweichung ≈ -2,9 mm

Berechnung

a) Für das dargestellte Beispiel: Konstruierte Neuneckseite $s=0{,}68404\cdot r$

b) Allgemein: Konstruierte Neuneckseite $s=Dezimalbruch\cdot r;$   Neuneckseite $s_{s}=0,684040286651337...\cdot r$   ($r$ = Umkreisradius)

• Die Berechnung der konstruierten Neuneckseite $s$ geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen / Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnissen auf den Zahlenstrahlen $s_{1}$ bzw. $s_{4}$.
• Der vorgegebene Dezimalbruch ${\frac {68404}{1E+5}}\cdot r$ und somit die konstruierte Seite des Neunecks $s=0{,}68404\cdot r$ werden auf der Strecke ${\overline {NR}}$ prinzipiell exakt dargestellt.

Die Quadratur des Kreises

Näherungskonstruktion: Aus einem gegebenen Kreis wird ein Quadrat mit nahezu gleichem Flächeninhalt sowie der halbe Kreisumfang konstruiert, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Version 1, halber Kreisumfang (π) als Strecke

Die Quadratur des Kreises und daraus den halben Kreisumfang (π) als Strecke

1. Zeichne zwei zueinander senkrechte Mittelachsen des Kreises.
2. Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt M, es ergeben sich die Schnittpunkte F und G auf den Mittelachsen.
3. Errichte eine Senkrechte zur Strecke MG durch den Punkt G und eine Senkrechte zur Strecke MF durch den Punkt F, die Senkrechten schneiden sich im Punkt H.
4. Konstruiere die Strecke GJ, sie ist ein Drittel der Strecke GH.
5. Halbiere die Strecke GJ, es ergibt sich der Punkt K.
6. Übertrage die Strecke GK auf die Strecke MG, es ergibt sich der Punkt L.
7. Zeichne eine Parallele zur Strecke GH ab dem Punkt L etwas länger als die Strecke GJ.
8. Übertrage die Strecke GK auf die Parallele aus 7., es ergibt sich der Punkt N.
9. Übertrage die Strecke GJ auf die Parallele aus 7., es ergibt sich der Punkt O.
10. Verbinde den Punkt K mit dem Punkt O.
11. Verbinde den Punkt N mit dem Punkt H, es ergibt sich der Schnittpunkt P.
12. Zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius GK um den Punkt F, er schneidet die Strecke FH im Punkt Q, den Kreis im Punkt R und die Strecke FM im Punkt S.
13. Errichte eine Senkrechte zur Strecke FM durch den Punkt S und eine Parallele zur Strecke FM durch den Punkt R, es ergibt sich der Schnittpunkt T.
14. Verbinde den Punkt H mit dem Punkt T.
15. Zeichne eine Parallele zur Strecke HT durch den Punkt P bis zur Strecke Strecke NO, es ergibt sich der Schnittpunkt U auf dem Kreis und der Schnittpunkt V auf der Strecke NO.
16. Verbinde den Punkt V mit dem Punkt M. Die Strecke MV ist die halbe Seitenlänge bzw. der Inkreisradius des gesuchten Quadrates.
17. Zeichne einen Kreisbogen ab dem Punkt V bis auf die Strecke MG, es ergibt sich der Schnittpunkt W.
18. Übertrage die Strecke MW zweimal auf die Mittelachse MF und einmal auf die Mittelachse MG, es ergeben sich die Schnittpunkte X, Z, u. Y.
19. Konstruiere das Quadrat ABCD. Die Punkte W, X, Y u. Z sind Mittelpunkte der betreffenden Seiten des Quadrates.

Halber Kreisumfang (π) als Strecke

20. Errichte eine Senkrechte auf die Strecke FM im Punkt F.
21. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt M mit dem Radius AB (s), es ergibt sich der Schnittpunkt F₁.
22. Verbinde den Punkt F₁ mit dem Punkt M.
23. Verlängere die Strecke FM mit einer Geraden ab dem Punkt F.
24. Errichte eine Senkrechte auf die Strecke MF₁ im Punkt F₁, es ergibt sich der Schnittpunkt B₁ mit der Geraden aus 23..

Die Strecke $\mathbf {\overline {MF_{1}}}$ entspricht $\mathbf {\approx {\frac {1}{2}}U\;sowie\approx r\cdot \pi }$.

Fehler

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• Konstruierte Seite des Quadrates s = 1,77245384141934376... [LE]
• Soll-Seite des Quadrates s_s = ${\sqrt {\pi }}\cdot 1$ = 1,772453850905516... [LE]
• Absoluter Fehler = s - s_s = -0,000000009486172... = -9,486...E-9 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates A = s² = 3,141592619962188... [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates A_s = ${\pi }\cdot 1$ = 3,141592653589793... [FE]
• Absoluter Fehler = A - A_s = -0,000000033627605... = -3,3627...E-8 [FE]
• Fazit: Sieben Nachkommastellen sind gleich denen von ${\sqrt {\pi }}$ bzw. sind gleich denen von $\pi$.
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1000 km wäre der Fehler der Seite s ≈ -9,5 mm
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ -3,4 mm²
  • Bei einem Kreis mit dem Radius r = 100 km wäre der Fehler des halben Kreisumfanges U/2 ≈ -3,4 mm

Berechnung

Die gepunkteten schwarzen Linien sowie die Punkte A₁, B₁, C₁, D₁ und E₁ dienen als Hilfe für die Berechnung der Seite des Quadrates s.

Rechtwinkeliges Dreieck A₁HN

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

1.0   $\triangle {A_{1}HN}$

  Gegeben aus Zeichnung:

${\overline {A_{1}L}}={\overline {GH}}=r$

${\overline {A_{1}H}}={\overline {LN}}={\overline {NO}}={\overline {JK}}={\frac {1}{6}}r$

$\angle {OKJ}=\alpha =45^{\circ }$

1.1   $\sin \alpha =\cos \alpha ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

1.2   ${\overline {A_{1}N}}={\overline {A_{1}L}}-{\overline {LN}}=r-{\frac {1}{6}}r={\frac {5}{6}}r$

1.3   Hypotenuse ${\overline {HN}}={\sqrt {{\overline {A_{1}N}}^{2}+{\overline {A_{1}H}}^{2}}}=r\cdot {\sqrt {\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}$   $\Rightarrow {\overline {HN}}=r\cdot {\sqrt {\frac {13}{18}}}$

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

  ${\overline {HN}}\approx 0{,}849836585598797\cdot r$

1.4   $\angle {A_{1}NH}=\beta =\arctan \left({\frac {\overline {A_{1}H}}{\overline {A_{1}N}}}\right)=\arctan \left({\frac {{\frac {1}{6}}r}{{\frac {5}{6}}r}}\right)\Rightarrow \beta =\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)$

  $\beta \approx 11{,}30993247402021308^{\circ }$

1.5   $\tan \beta ={\frac {1}{5}}=0,2$

1.6   $\sin \beta ={\frac {\tan \beta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\beta }}}={\frac {\frac {1}{5}}{\sqrt {1+\left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {26}}}\approx 0{,}196116135138184$

1.7   $\cos \beta ={\sqrt {1-\sin ^{2}\beta }}={\sqrt {1-\left({\frac {1}{\sqrt {26}}}\right)^{2}}}={\frac {5}{\sqrt {26}}}\approx 0{,}980580675690920$

Stumpfwinkeliges Dreieck HKP (2.0) mit eingebundenem rechtwinkeligen Dreieck B₁PH (2.1)

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

2.0  $\triangle {HKP}$

 Gegeben:

 $\angle {OKJ}=\alpha =45^{\circ }\;(aus\;1.0)$

 $\sin \alpha =\cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\;(aus\;1.1)$

 ${\overline {HK}}={\overline {A_{1}N}}={\frac {5}{6}}r\;(aus\;1.2)$

2.1  $\triangle {B_{1}PH}$

 Gegeben:

 $\angle {B_{1}HP}=\angle {A_{1}NH}=\beta =\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)\;(aus\;1.4)$

 $\sin \beta ={\frac {1}{\sqrt {26}}}\;(aus\;1.6)$

 $\cos \beta ={\frac {5}{\sqrt {26}}}\;(aus\;1.7)$

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

 2.1.1  $\angle {HPB_{1}}=\gamma$

Berechnung des arithm. Ausdrucks

$\gamma =90^{\circ }-\beta$

Mit dem Additionstheorem

$\sin(90^{\circ }-\beta )=\sin 90^{\circ }\cdot \cos \beta -\cos 90^{\circ }\cdot \sin \beta$

ergibt sich:

 2.1.2  $\sin \gamma =\sin \left(90^{\circ }-\beta \right)=1\cdot {\frac {5}{\sqrt {26}}}-0={\frac {5}{\sqrt {26}}}\approx 0{,}980580675690920$

Mit dem Additionstheorem

$\sin(90^{\circ }-\beta )=\sin 90^{\circ }\cdot \cos \beta -\cos 90^{\circ }\cdot \sin \beta$

ergibt sich:

 2.1.3  $\cos \gamma =\cos \left(90^{\circ }-\beta \right)=0+1\cdot {\frac {1}{\sqrt {26}}}={\frac {1}{\sqrt {26}}}\approx 0{,}196116135138184$

$\gamma =\arcsin \left({\frac {5}{\sqrt {26}}}\right)=\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {26}}}\right)\approx 78{,}6900675259797869^{\circ }$

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

2.2   $\angle {HPK}=\delta =\alpha +\gamma$

Berechnung des arithm. Ausdrucks

$\delta =45^{\circ }+\gamma$

Mit dem Additionstheorem

$\sin \left(45^{\circ }+\gamma \right)=\sin 45^{\circ }\cdot \cos \gamma +\cos 45^{\circ }\cdot \sin \gamma$

ergibt sich:

 2.2.1  $\sin \delta =\sin \left(45^{\circ }+\gamma \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {26}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {5}{\sqrt {26}}}={\frac {3}{\sqrt {13}}}\approx 0{,}832050294337843$

 2.2.2  $\delta =180^{\circ }-\arcsin \left({\frac {3}{\sqrt {13}}}\right)=180^{\circ }-56,309932474020...^{\circ }\approx 123{,}6900675259797869^{\circ }$

2.3   ${\overline {HP}}$

Mit dem Sinussatz ergibt sich:

 2.3.1  ${\overline {HP}}={\frac {{\overline {HK}}\cdot \sin \alpha }{\sin \delta }}={\frac {5}{6}}r\cdot {\frac {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {3}{\sqrt {13}}}}=r\cdot {\frac {5{\sqrt {26}}}{36}}$

${\overline {HP}}\approx 0{,}708197154665664\cdot r$

Gleichschenkeliges Dreieck MFR

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

3.0  $\triangle {MFR}$

 Gegeben aus Zeichnung:

 ${\overline {MF}}={\overline {MR}}=r$

 ${\overline {FR}}={\overline {FS}}={\frac {1}{6}}r$

3.1  $\epsilon =\angle {RMF}$

 Mit dem Kosinussatz ergibt sich:

 3.1.1   $\cos \epsilon ={\frac {{\overline {FM}}^{2}+{\overline {MR}}^{2}-{\overline {FR}}^{2}}{2{\overline {FM}}\cdot {\overline {MR}}}}={\frac {2-\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}{2}}\Rightarrow \cos \epsilon ={\frac {71}{72}}$

$\epsilon =\arccos \left({\frac {71}{72}}\right)\approx 9{,}560383694398317^{\circ }$

 3.1.2   $\sin \epsilon ={\sqrt {1-\cos ^{2}\epsilon }}$

3.2  Höhe zur Seite ${\overline {FM}}$

 3.2.1   ${\overline {C_{1}R}}=r\cdot \sin \epsilon =r\cdot {\sqrt {1-\left({\frac {71}{72}}\right)^{2}}}=r\cdot {\frac {\sqrt {143}}{72}}$

${\overline {C_{1}R}}\approx 0{,}166086954765297\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck HE₁T

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

4.0  $\triangle {D_{1}HT}$

  Gegeben:

 ${\overline {D_{1}T}}={\overline {FS}}={\frac {1}{6}}r\;(aus\;1.0)$

 ${\overline {D_{1}F}}={\overline {C_{1}R}}=r\cdot {\frac {\sqrt {143}}{72}}\;(aus\;3.2)$

4.1  ${\overline {D_{1}H}}={\overline {HF}}+{\overline {D_{1}F}}=r\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {143}}{72}}\right)$

 ${\overline {D_{1}H}}\approx 1{,}166086954765297\cdot r$

4.2  Hypotenuse   ${\overline {HT}}=r\cdot {\sqrt {{\overline {D_{1}H}}^{2}+{\overline {D_{1}T}}^{2}}}=r\cdot {\sqrt {\left(1+{\frac {\sqrt {143}}{72}}\right)^{2}+{\frac {1}{36}}}}$

 ${\overline {HT}}\approx 1{,}177937419327352\cdot r$

4.3  $\angle {THD_{1}}=\zeta =\arcsin \left({\frac {\overline {D_{1}T}}{\overline {HT}}}\right)=\arcsin \left({\frac {\frac {1}{6}}{\sqrt {\left(1+{\frac {\sqrt {143}}{72}}\right)^{2}+{\frac {1}{36}}}}}\right)\Rightarrow \zeta =\arcsin \left({\frac {1}{6\cdot {\sqrt {{\frac {1}{36}}+\left(1+{\frac {\sqrt {143}}{72}}\right)^{2}}}}}\right)$

 $\zeta \approx 8{,}134090101448814^{\circ }$

Rechtwinkeliges Dreieck A₁HN

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

5.0  $\triangle {A_{1}E_{1}H}$

 Gegeben:

 ${\overline {A_{1}H}}={\frac {1}{6}}r\;(aus\;1.0)$

 $\sin \zeta =\left({\frac {1}{6\cdot {\sqrt {{\frac {1}{36}}+\left(1+{\frac {\sqrt {143}}{72}}\right)^{2}}}}}\right)\approx 0,141490255706317\;(aus\;4.3)$

5.1  $\tan \zeta ={\frac {\sin \zeta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\zeta }}}=\left({\frac {\frac {1}{6\cdot {\sqrt {{\frac {1}{36}}+\left(1+{\frac {\sqrt {143}}{72}}\right)^{2}}}}}{\sqrt {1-\left({\frac {1}{6\cdot {\sqrt {{\frac {1}{36}}+\left(1+{\frac {\sqrt {143}}{72}}\right)^{2}}}}}\right)^{2}}}}\right)\Rightarrow \tan \zeta =r\cdot \left({\frac {12}{72+{\sqrt {143}}}}\right)$

  $\tan \zeta \approx 0{,}142928163277679$

5.2  ${\overline {A_{1}E_{1}}}={\overline {A_{1}H}}\cdot \tan \zeta =r\cdot {\frac {1}{6}}\cdot \left({\frac {12}{72+{\sqrt {143}}}}\right)=r\cdot \left({\frac {2}{72+{\sqrt {143}}}}\right)$

 ${\overline {A_{1}E_{1}}}\approx 0{,}0238213605462799\cdot r$

Stumpfwinkeliges Dreieck E₁HN

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

6.0  $\triangle {E_{1}HN}$

 Gegeben:

 ${\overline {A_{1}N}}={\frac {5}{6}}r\;(aus\;1.2)$

 ${\overline {HN}}=r\cdot {\sqrt {\frac {13}{18}}}\;(aus\;1.3)$

 ${\overline {HP}}=r\cdot {\frac {5{\sqrt {26}}}{36}}\;(aus\;2.3.1)$

 ${\overline {A_{1}E_{1}}}=r\cdot \left({\frac {2}{72+{\sqrt {143}}}}\right)\;(aus\;5.2)$

6.1  ${\overline {E_{1}N}}={\overline {A_{1}N}}-{\overline {A_{1}E_{1}}}=r\cdot \left({\frac {5}{6}}-\left({\frac {2}{72+{\sqrt {143}}}}\right)\right)$

${\overline {E_{1}N}}\approx 0{,}809511972787053\cdot r$

6.2:  ${\overline {NP}}={\overline {HN}}-{\overline {HP}}=r\cdot {\sqrt {\frac {13}{18}}}-r\cdot {\frac {5{\sqrt {26}}}{36}}\Rightarrow r\cdot {\frac {\sqrt {26}}{36}}$

  ${\overline {NP}}=r\cdot {\frac {\sqrt {26}}{36}}\approx 0{,}1416394309331329\cdot r$

Stumpfwinkeliges Dreieck NPV

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

7.0  $\triangle {NPV}\;ist\;{\mbox{ähnlich}}\;\triangle {E_{1}HN}\;(aus\;6.0)$

  Gegeben:

 ${\overline {HN}}=r\cdot {\sqrt {\frac {13}{18}}}\;(aus\;1.3)$

 ${\overline {E_{1}N}}=r\cdot \left({\frac {5}{6}}-\left({\frac {2}{72+{\sqrt {143}}}}\right)\right)\;(aus\;6.1)$

 ${\overline {NP}}=r\cdot {\frac {\sqrt {26}}{36}}\;(aus\;6.2)$

7.1  ${\overline {NV}}={\frac {{\overline {E_{1}N}}\cdot {\overline {NP}}}{\overline {HN}}}=r\cdot \left({\frac {\left({\frac {5}{6}}-\left({\frac {2}{72+{\sqrt {143}}}}\right)\right)\cdot {\frac {\sqrt {26}}{36}}}{\sqrt {\frac {13}{18}}}}\right)\Rightarrow {\overline {NV}}=r\cdot {\frac {348+5{\sqrt {143}}}{36\left(72+{\sqrt {143}}\right)}}$

 ${\overline {NV}}\approx 0{,}134918662131175\cdot r$

Rechtwinkeliges Dreieck LMV

01-Quadratur-des Kreises-9-0-Berechnung-wiki

8.0  $\triangle {LMV}$

  Gegeben:

 ${\overline {LN}}=r\cdot {\frac {1}{6}}\;(aus\;1.0)$

 ${\overline {LM}}={\overline {A_{1}N}}=r\cdot {\frac {5}{6}}\;(aus\;1.2)$

 ${\overline {NV}}=r\cdot {\frac {348+5{\sqrt {143}}}{36\left(72+{\sqrt {143}}\right)}}\;(aus\;7.1)$

8.1  ${\overline {LV}}={\overline {LN}}+{\overline {NV}}=r\cdot \left({\frac {1}{6}}+{\frac {348+5{\sqrt {143}}}{36\left(72+{\sqrt {143}}\right)}}\right)\approx 0{,}301585328797842\cdot r$

8.2   ${\overline {MV}}$ entspricht der konstruierten Hälfte der Seite $(s\cdot {\frac {1}{2}})$ des Quadrates.

  Hypotenuse ${\overline {MV}}={\sqrt {{\overline {LM}}^{2}+{\overline {LV}}^{2}}}=r\cdot {\sqrt {{\frac {25}{36}}+\left({\frac {1}{6}}+{\frac {348+5{\sqrt {143}}}{36\left(72+{\sqrt {143}}\right)}}\right)^{2}}}\;\approx 0{,}886226920709671881\cdot r$

Konstruierte Seite des Quadrates

$\mathbf {s=2r\cdot {\sqrt {{\frac {25}{36}}+\left({\frac {1}{6}}+{\frac {348+5{\sqrt {143}}}{36\left(72+{\sqrt {143}}\right)}}\right)^{2}}}\;\approx 1{,}77245384141934376\cdot r}$

Version 2

Näherungskonstruktion

1. Kreis um $M$ mit beliebigem Radius ${\overline {AM}}$.
2. Gerade durch $A$ und $M$ ergibt Schnittpunkt $B$.
3. Gerade senkrecht zu ${\overline {AB}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $C$ und $D$.
4. Strecken ${\overline {AE}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {AM}}={\overline {AF}}={\overline {FG}}={\overline {GH}}={\overline {HI}}$ eintragen.
5. Kreis um $M$ durch $E$.
6. Strecken ${\overline {EJ}}={\overline {JA}}={\overline {FL}}$, Kreis um $M$ durch $J$ ergibt Schnittpunkt $K$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $N$, dessen Abstand zu Punkt $C$ ist gleich der Strecke ${\overline {GJ}}$. In der Darstellung beschrieben als $|CN|={\overline {GJ}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $O$ als $|KO|={\overline {ML}}$ bis $W$ als $|CW|={\overline {BI}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $W$ durch $V$ bis sie die äußere Kreislinie in $Z_{1}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $Z_{1}$ durch $U$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $A_{1}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $B_{1}$ bis $H_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Die letzte Sekante ${\overline {H_{1}E}}$ schneidet die Strecke ${\overline {CM}}$ in $I_{1}$ und liefert somit die Strecke ${\overline {I_{1}M}}={\frac {1}{2}}\cdot a$.
10. Konstruiere abschließend mittels der Strecke ${\overline {I_{1}M}}$ das Quadrat $A'B'C'D'$ mit Seite $a$.

• Somit ergibt sich:

Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der des gegebenen Kreises.

Fehler

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

Der absolute Fehler der konstruierten Seite des gesuchten Quadrats ist mit der vorliegenden Konstruktion in GeoGebra nicht darstellbar, da das Ergebnis der konstruierten Seite in allen angezeigten fünfzehn Nachkommastellen mit dem Ergebnis der berechneten Seite übereinstimmt (siehe Weblinks → GeoGebra) .

• Konstruierte Seitenlänge des Quadrates mit z. B. $a=1{,}772453850905516\;[LE]$. → Die letzte Nachkommastelle kann sich von Konstruktion zu Konstruktion unterscheiden!
• Seitenlänge des Quadrates $a_{SOLL}={\sqrt {\pi }}=1{,}772453850905516\;027\ldots \;[LE]$.
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:

Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler $F_{a}=a-a_{SOLL}=0{,}0\;[LE]$

• Flächeninhalt des konstruierten Quadrates $A=a^{2}=3{,}141592653589793\;141\ldots \;[FE]$.
• Flächeninhalt des Quadrates $A_{SOLL}=\pi =3{,}141592653589793\;238\ldots \;[FE]$
• Absoluter Fehler des Flächeninhalts des Quadrates $=F_{A}=a^{2}-a_{SOLL}^{2}=-9{,}67\ldots E-17\;[FE]$.

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Radius r = 1 Mrd.km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min) wäre der Fehler der konstruierten Seite des Quadrats < 1 mm.
• Bei einem Radius r = 1.000 km wäre der Fehler des Flächeninhalts des Quadrats < -1 cm².

Weblinks

• Geogebra
•  Quadratur des Kreises
• Quadratur des Kreises, Animation

Dreiteilung des Winkels 60°

01- Dreiteilung des Winkels 60°

• Näherungskonstruktion
• "Konstruktionsprinzip", "Konstruktion Winkel 0 > bis 180°" u. a. m. siehe Kapitel Dreiteilung des Winkels.
• Beginnt der Kreisbogen b um den Punkt M ab dem Punkt E und endet im Punkt B, ist der Punkt G auf der Hilfslinie g gut erkennbar. Somit kann bereits ein Winkel $\geqq$ 60° direkt gedrittelt werden.

Konstruktion

1. Zeichne durch den Punkt M eine Gerade.
2. Bestimme den beliebigen Punkt A auf dieser Gerade, es ergibt sich die Strecke MA als erster Winkelschenkel.
3. Konstruiere den Winkel 60° um den Punkt M entgegen dem Uhrzeigersinn, mittels je einem kurzen Kreisbogen um den Punkt A sowie um den Punkt M mit dem Radius gleich der Strecke MA, die beiden Kreisbogen schneiden sich im Punkt B
4. Verbinde den Punkt M mit dem Punkt B, es ergibt sich der zweite Winkelschenkel.
5. Konstruiere vom Winkel $\angle {AMB}$ die Winkelhalbierende W₁.
6. Konstruiere vom Winkel $\angle {AMW_{1}}$ die Winkelhalbierende W₂, die Länge der Strecke MW₂ etwas länger als $\mathbf {{\frac {1}{2}}r}$
7. Konstruiere vom Winkel $\angle {W_{2}MW_{1}}$ die Winkelhalbierende W₃, etwas länger als die Strecke MA.
8. Konstruiere vom Winkel $\angle {W_{2}MW_{3}}$ die Winkelhalbierende W₄, etwa gleich lang wie die Winkelhalbierende W₃.
9. Zeichne den Kreisbogen b um den Punkt M, ab dem Punkt B bis zur Winkelhalbierende W₄, es ergibt sich der Schnittpunkt E auf W₄ und der Schnittpunkt D auf W₃.
10. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt E den Punkt D anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte E und D angelegt), aber nur bis zum Punkt E verläuft. Somit ist zwischen den Punkten E und D keine gerade Hilfslinie g und der Kreisbogen MED für den späteren Schnittpunkt H frei zugänglich.
11. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt E mit dem Radius gleich dem Abstand |DE|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt F.
12. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke FG, sie ist ein Drittel der Strecke EF.
13. Zeichne einen Kreis um den Punkt G mit dem Radius gleich der Strecke EF, es ergibt sich auf dem Kreisbogen MED der Schnittpunkt H.
14. Verbinde den Punkt H mit dem Punkt M, die Winkelschenkel MH und MA schließen den Winkel $\mathbf {\beta } \approx \mathbf {{\frac {1}{3}}\alpha }$ ein.

• Somit ist der Winkel 60° nahezu gedrittelt.

Zusätzliche Approximationen herleitbar

• Neuneckseite
• Seite vom 36-Eck, Näherungskonstruktion Winkel 10°
• Näherungskonstruktion Winkel 5°

Fehler

• Die Fehler der Winkel $\mathbf {\beta }$ bzw. $\mathbf {\gamma }$ sind zu gering für eine korrekte Anzeige in GeoGebra, sie werden deshalb als exakt 20° bzw. 40° angezeigt.
• Neuneckseite, bei einem Radius r = MA = 100.000 km wäre der Fehler an der Sehne ca. 8,6 mm.

Berechnung

• Im Kapitel Neuneck, unter Berechnung sind zur Verifizierung des Konstruktionsprinzips alle Berechnungsschritte für die Dreiteilung des Winkels 60° aufgezeigt.

Weblinks

Neuneck in diesem Buch im Kapitel Polynomkonstruktionen

Dreiteilung des Winkels in diesem Buch im Kapitel Die drei antiken Probleme

Dreiteilung des Winkels in diesem Buch im Kapitel Die drei antiken Probleme

Drittel der Strecke in diesem Buch

Verdoppelung des Würfels

Version 1

1. Quadrat mit beliebiger Seitenlänge $a_{1}$, Ecken gegen den Uhrzeigersinn $A,B,C,$ und $D$.
2. Mittelpunkt $M$ des Quadrates mithilfe zweier kurzer Diagonalenabschnitte, Umkreis des Quadrates.
3. Mittelachse durch $M$ ergibt Schnittpunkte $E,I,J,$ und $F$.
4. Mittelachse senkrecht zu ${\overline {EF}}$ durch $M$ ergibt Schnittpunkte $G,K,L,$ und $H$.
5. Strecken ${\overline {IN}}={\frac {1}{10}}\cdot {\overline {IJ}},\;\;{\overline {IO}}={\overline {IN}}={\overline {NP}}={\overline {PQ}}$.
6. Strecken ${\overline {OR}}={\frac {1}{2}}\cdot {\overline {IO}}={\overline {ES}}$, Kreis um $M$ durch $S$ ergibt Schnittpunkt $T$.
7. Bestimmen der Funktionspunkte:

Es beginnt mit Punkt $U$, dessen Abstand zu Punkt $G$ ist gleich der Strecke ${\overline {IN}}$. In der Darstellung beschrieben als $|GU|={\overline {IN}}$. Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von $V$ als $|PV|={\overline {PH}}$ bis $F_{1}$ als $|BF_{1}|={\overline {MQ}}$ (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.

8. Einzeichnen der Kreissekanten:

Es beginnt mit der Sekante ab $F_{1}$ durch $E_{1}$ bis sie die äußere Kreislinie in $G_{1}$ schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt $G_{1}$ durch $D_{1}$ bis sie wieder die äußere Kreislinie in $H_{1}$ schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von $I_{1}$ bis $O_{1}$ (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.

9. Letzte Sekante von $O_{1}$ bis $E$ schneidet die Mittelachse ${\overline {GH}}$ in $P_{1}$.
10. Ein kurzer Kreisbogen um $M$ mit Radius ${\overline {P_{1}M}}$ liefert mit ${\overline {P_{1}Q_{1}}}=a_{2}$ die Seitenlänge des gesuchten Würfels 2.

• Somit ergibt sich:

a) Die Strecke P₁Q₁, sie entspricht der Seitenlänge a₂ des Würfels 2.

b) Ein Würfel 2 mit einem Volumen, das im Vergleich zum gegebenen Würfel 1 nahezu doppelt so groß ist.

Fehler

Bezogen auf einem Würfel mit der Seitenlänge a₁ = 1 [LE]

• Konstruierte Seitenlänge des verdoppelten Würfels in GeoGebra $a_{2}=1{,}259921049894872\;[LE]$
• Seitenlänge des verdoppelten Würfels $a_{2\;SOLL}={\sqrt[{3}]{2}}=1{,}259921049894873164...\;[LE]$
• Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des verdoppelten Würfels $Fa_{2}=-1{,}16...E-15\;[LE]$
• Volumen des verdoppelten Würfels mit konstruierter Seitenlänge in GeoGebra $a_{2}{^{3}}=1{,}999999999999994453...\;[VE]$
• Volumen des verdoppelten Würfels $a_{2\;SOLL}{^{3}}=2{,}0\;[VE]$
• Absoluter Fehler des Volumens mit konstruierter Seitenlänge $F_{V}=a_{2}{^{3}}-a_{2\;SOLL}{^{3}}=-5{,}54...E-15\;[VE]$

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 ca. -1,2 mm.
• Bei einem Würfel 1 mit der Seitenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 ca. -5,5 dm³ oder ca. -5,5 Liter

Konstruktionsprinzip

• Näherungskonstruktion
• Die Hauptelemente sind ein Zahlenstrahl s₁, zwei darauf senkrecht stehende Teilerstrahlen s₂ und s₄, ein zu s₁ paralleler Scheitelstrahl s₃, zwei Diagonalstrahlen s₅ und s₆ und zwei Hilfsstrahlen s₇ und s₈. Näheres wird in der Konstruktion beschrieben.
• Von dem vorgegebenen Zähler bzw. Nenner (wenn keine Dezimalzahl) werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert und auf einem Teilerstrahl s₂ oder s₄ geometrisch addiert oder subtrahiert.
• Zuerst wird der Nenner konstruiert, anschließend zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert und der sich dabei ergebende Schnittpunkt, z. B. T, Nenner, mit dem Punkt U des Zahlenstrahls s₁ (S₁ Würfel 1) verbunden, dabei ergibt sich die Verbindungsstrecke T, NennerU.

Der konstruierte Zähler wird ebenfalls zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt, z. B. V, Zähler.

Die abschließende Parallele zur Verbindungstrecke T, NennerU erzeugt den Schnittpunkt W auf dem Zahlenstrahl s₁. Somit entspricht die Länge der Stecke AW exakt dem Wert des vorgegebenen Bruches.

• Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an $\mathbf {\sqrt[{3}]{2}}$ hat. Die Anwendung der Strahlensätze in kompakter Form.

Konstruktion

• Als Basiskonstruktion ist das Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl eingearbeitet.
• Alternative: Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.
• Wähle z. B. einen Dezimalbruch der die gewünschte Näherung an $\mathbf {\sqrt[{3}]{2}}$ hat. Die Qualität der Näherung ist einfach voraussehbar, wenn ein Dezimalbruch (Anzahl der Nullen im Nenner) eingesetzt wird.
• Im dargestellten Beispiel ist der Dezimalbruch ${\frac {S_{2}{\mbox{Würfel 2}}}{S_{1}{\mbox{Würfel 1}}}}={\frac {1.259.921.049.894.873.164.767}{1E+21}}$ gewählt.
• Einundzwanzig Nachkommastellen sind gleich deren des Wertes $\mathbf {\sqrt[{3}]{2}}$.

Nenner

1. Bestimme die Seite des Würfel 1 S₁ mittels der beliebigen Strecke AU.
2. Konstruiere den Würfel 1 so, dass die Vorderseite auf dem Zahlenstrahl s₁ und an dem Teilerstrahl s₂ anliegt.
3. Verbinde den Punkt T,Nenner mit dem Punkt U, somit ist der Nenner konstruiert.

Zähler

4. Verbinde den siebten Punkt des Teilerstrahls s₄ (Zahl 7, Einerstelle des Zählers vom Dezimalbruch) mit dem Scheitelpunkt N, es ergibt sich der Schnittpunkt 7 auf dem Hilfsstrahl s₇. Der Wert der Zahl 7 vom Teilerstrahl s₄ ist dadurch mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ verkleinert.
5. Greife die Strecke J7 ab und addiere sie zum sechsten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Schnittpunkt 67.
6. Verbinde den Schnittpunkt 67 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt P, es ergibt sich der Schnittpunkt 67 auf dem Hilfsstrahl s₈. Es könnte alternativ mit den Scheitelpunkten O oder I verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s₃ haben, ist es vorteilhaft abfangs die Teilerstrahlen (s₂, s₄) und Hilfsstrahlen (s₇, s₈) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
7. Greife die Strecke K67 ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich der Schnittpunkt 767.
8. Verbinde den Schnittpunkt 767 des Zahlenstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt H, es ergibt sich der Schnittpunkt 767 auf dem Teilerstrahl s₂.
9. Greife die Strecke C767 ab und addiere sie zum vierten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Schnittpunkt 4.767. Es ist bezüglich Übersicht im Folgenden vorteilhaft: Die Zifferngruppierung (Punkt oder Abstand) zu verwenden und ggf. lange Zahlen mittig mit "..." abzukürzen.
10. Setze diese Vorgehensweise bis zur Zahl 49.894.873.164.767 (angezeigt als 49.894...767 auf Teilerstrahl s₄) fort.

• Beachte: Die nächste Stelle des Zählers ist eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 49.894...767 vom Teilerstrahl s₄, vor der geometrischen Addition mit der übernächsten Dezimalstelle 1, mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert sein! In diesem Fall ist die erste Verkleinerung mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ stets auf einem Teilerstrahl durchzuführen, da die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden können!

11. Verbinde den Schnittpunkt 49.894...767 des Teilerstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt H, es ergibt sich der Schnittpunkt 49.894...767 auf dem Teilerstrahl s₂. Der Wert der Zahl 49.894...767 vom Teilerstrahl s₄ ist nun mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ verkleinert.
12. Verbinde den Schnittpunkt 49.894...767 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt I, es ergibt sich der Schnittpunkt 049.894...164.767 auf dem Teilerstrahl s₄. Der Wert der Zahl 49.894...767 vom Teilerstrahl s₄ ist nun mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert.
13. Greife die Strecke F049.894...164.767 ab und subtrahiere sie vom zweiten Teilungspunkt A des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Schnittpunkt 1.049...767.
14. Setze diese Vorgehensweise fort bis der Zähler mit dem Schnittpunkt 1.259.921.049.894.873.164.767 auf dem Teilerstrahl s₄ konstruiert ist.
15. Greife die Strecke E1.259.921.049.894.873.164.767 ab und addiere sie zum zweiten Teilungspunkt A des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Punkt V, Zähler.
16. Zeichne eine Parallele zur Strecke T,NennerU ab dem Punkt V, Zähler bis zum Zahlenstrahl s₁, es ergibt sich der Schnittpunkt W. Die Strecke AW ist die gesuchte Seite S₂ des Würfel 2.
17. Konstruiere den Würfel 2 so, dass die Vorderseite auf dem Zahlenstrahl s₁ und an dem Teilerstrahl s₂ anliegt.

• Somit ergibt sich:

Ein Würfel 2 mit einem Volumen, das im Vergleich zum gegebenen Würfel 1 nahezu doppelt so groß ist..

Berechnung

• Allgemein: Seite des Würfel 2 S₂ = S₁ • $\mathbf {\sqrt[{3}]{2}}$.
• Die Berechnung der konstruierten Seite des Würfel 2 S₂ geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen bzw. Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnisse auf den Teilerstrahlen s₂ bzw. s₄.
• Der vorgegebene Dezimalbruch ${\frac {1.259.921.049.894.873.164.767}{1E+21}}$ wird auf dem Teilerstrahl s₄ und s₂ prinzipiell exakt dargestellt.

Fehler

Bezüglich des Ansatzes sind die Fehler bis zur 21. Nachkommastelle prinzipiell = 0 [LE bzw. VE]. Siehe hierzu auch die Abschnitte Berechnung und Weblinks (Animation).

Beispiele um den Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Würfel 1 mit S₁ = 1 Billiarde km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 105,8 Jahre) wäre vom Würfel 2 der Fehler der Seite S₂ ≈ -0,21 mm.
• Bei einem Würfel 1 mit S₁ = 100 km wäre vom Würfel 2 der Fehler des Volumens ≈ -1,0 cm³

Weblinks

 Commons: Animation, Verdoppelung des Würfels – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Weblinks

•   Quadrat
•  Würfelverdoppelung
•  GeoGebra
•  Einheitskreis
•  Mittelsenkrechte
•  Messabweichung

Näherung 2

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Als Die drei antiken Probleme oder Klassische Probleme der antiken Mathematik werden bezeichnet:

• die Quadratur des Kreises
• die Dreiteilung des Winkels
• die Verdoppelung des Würfels

Sie sind erwiesenermaßen nicht (exakt) als  Konstruktion mit Zirkel und Lineal lösbar.

• Lösungskriterien, Historisches u. a. m. sind im Artikel  Klassische Probleme der antiken Mathematik enthalten.
• In diesem Kapitel werden zu den drei klassischen Problemen Methoden aufgezeigt, mit denen außergewöhnlich genaue Näherungslösungen möglich sind. Die Approximationen sind auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung auf Format DIN A4 darstellbar.

Hilfsmittel

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl

Verwendungszweck

• Für Quadratur des Kreises, Verdoppelung des Würfels u. a. m., in denen ein Bruch als exakte Strecke benötigt wird.
• Vorzugsweise geeignet für Brüche ${\frac {8}{1}}$ > ${\frac {\mbox{Zähler}}{\mbox{Nenner}}}$ > ${\frac {1}{8}}$

Konstruktionsprinzip

• Eine Anwendung des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen.
• Die Hauptelemente sind ein Zahlenstrahl s₁, zwei darauf senkrecht stehende Teilerstrahlen s₂ und s₄, ein zu s₁ paralleler Scheitelstrahl s₃, zwei Diagonalstrahlen s₅ und s₆ und zwei Hilfsstrahlen s₇ und s₈.
• Es sind echte und unechte Brüche sowie Dezimalbrüche, die im Schema Platz finden, einsetzbar.
• Tipp: Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die entsprechende Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.

Konstruktion

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl

1. Die Lage des Zahlenstrahls s₁ ist frei wählbar (siehe im Folgenden Quadratur des Kreises). Ist es bezüglich des Platzbedarfs möglich, zeichne z. B. durch den Punkt A den Zahlenstrahl s₁. Er ist für die Darstellung des konstruierten Zählers und des konstruierten Nenners bestimmt.
2. Zeichne den Teilerstrahl s₂ durch den Punkt A senkrecht stehend zum Zahlenstrahl s₁.
3. Trage z. B. zwei gleichlange Strecken ab dem Punkt A nach unten auf dem Teilerstrahl s₂ ab und bezeichne deren Endpunkte mit B bzw. C.

• Beachte: Die Position des Punktes A vom Strahl s₁ auf dem Strahl s₂ (Abstand zu Punkt C) ist frei wählbar.

4. Zeichne durch den Punkt C den zum Zahlenstrahl s₁ parallelen Scheitelstrahl s₃.
5. Trage die Strecke AB achtmal ab dem Punkt A nach oben auf dem Teilerstrahl s₂ ab, es ergibt sich der Schnittpunkt D,10, der Teilerstrahl s₂ ist somit in zehn gleiche Teile geteilt.
6. Konstruiere die Strecke CE auf dem Scheitelstrahl s₃ mittels eines Kreisbogens um C mit dem Radius gleich der Strecke CD,10.
7. Zeichne den Teilerstrahl s₄ ab dem Punkt E parallel zum Teilerstrahl s₂.
8. Trage die Strecke AB einmal ab dem Punkt E sowie achtmal ab dem Punkt 2 auf dem Teilerstrahl s₄ ab, es ergeben sich die Schnittpunkte F und 10,G, der Teilerstrahl s₄ ist somit in zehn gleiche Teile geteilt.
9. Verbinde den Punkt B mit dem Punkt F.
10. Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl s₅ ab dem Scheitelstrahl s₃ durch den Punkt B bis zum Punkt 10,G, es ergibt sich auf dem Scheitelstrahl s₃ der Scheitelpunkt H. Der Scheitelpunkt H ist für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl s₄ ausgehen.
11. Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl s₆ ab dem Scheitelstrahl s₃ durch den Punkt F bis zum Punkt D,10, es ergibt sich auf dem Scheitelstrahl s₃ der Scheitelpunkt I. Der Scheitelpunkt I ist für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl s₂ ausgehen.
12. Teile den Scheitelstrahl s₃ in drei gleichlange Teile, es ergeben sich die Punkte J und K.
13. Zeichne die Hilfsstrahlen s₇ und s₈ jeweils senkrecht stehend zum Scheitelstrahl s₃ ab dem Punkt J bzw. ab dem Punkt K. Die beiden Hilfsstrahlen werden alternativ nur zur Lagebestimmung (Abstand zum Scheitelstrahl s₃) der projizierten Zahl verwendet.

• Beachte: Die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen können nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden!

14. Konstruiere die Strecke LE gleich der Strecke EI auf dem Scheitelstrahl s₃
15. Verbinde den Punkt L mit dem Punkt 3 auf dem Teilerstrahl s₄.
16. Zeichne eine Parallele zur Strecke L3 ab dem Punkt F vom Teilerstrahl s₄, es ergibt sich der Schnittpunkt M auf dem Scheitelstrahl s₃.
17. Konstruiere die Strecke NJ gleich der Strecke LM sowie die Strecke JO gleich der Strecke EM auf dem Scheitelstrahl s₃, es entstehen die beiden Scheitelpunkte N und O.
18. Konstruiere die Strecke KP gleich der Strecke LM sowie die Strecke KQ gleich der Strecke EM auf dem Scheitelstrahl s₃, es entstehen die beiden Scheitelpunkte P und Q.

• Somit ist das Schema (exakt) konstruiert.

Weblinks

  Dritter Strahlensatz
  Zahlenstrahl

Quadratur des Kreises

Variante 1

Näherungskonstruktion mit Darstellung des halben Kreisumfangs

Konstruktionsprinzip

• Die Hauptelemente sind ein Zahlenstrahl s₁, zwei darauf senkrecht stehende Teilerstrahlen s₂ und s₄, ein zu s₁ paralleler Scheitelstrahl s₃, zwei Diagonalstrahlen s₅ und s₆ und zwei Hilfsstrahlen s₇ und s₈.
• Von dem vorgegebenen Nenner und Zähler werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert und auf einem Teilerstrahl s₂ oder s₄ geometrisch addiert bzw. subtrahiert.
• Zuerst wird der Nenner konstruiert, anschließend zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert und der sich dabei ergebende Schnittpunkt, z. B. V, Nenner, mit dem Punkt T des Zahlenstrahls s₁ (Wert = 1) verbunden, dabei ergibt sich die Verbindungsstrecke V, NennerT.

Der konstruierte Zähler wird ebenfalls zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt, z. B. W, Zähler.

Die abschließende Parallele zur Verbindungstrecke V, NennerT erzeugt den Schnittpunkt B₁ auf dem Zahlenstrahl s₁. Somit entspricht die Länge der Stecke AB₁ exakt dem Wert des vorgegebenen Bruches.

• Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an $\mathbf {\pi }$ bzw. an $\mathbf {\sqrt {\pi }}$ hat. Die Anwendung der Strahlensätze in kompakter Form.
• Es sind sämtliche Brüche z. B. ${\frac {355}{113}},\;{\frac {3.141.592}{1.000.000}},\;{\frac {177.245}{100.000}}$ mit einer beliebigen Näherung an $\mathbf {\pi }$ bzw. an $\mathbf {\sqrt {\pi }}$ einsetzbar.

Konstruktion

• Als Basiskonstruktion ist das Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl eingearbeitet. Da für den Zahlenstrahl s₁ der Abstand AC auf s₂ frei wählbar ist, wurde er aus Gründen des Platzbedarfs (Einer des Zählers ist 2 ) nahe 2,5 gewählt.
• Wähle z. B. einen Dezimalbruch oder einen unechten Bruch der die gewünschte Näherung an $\mathbf {\pi }$ hat.
• Im dargestellten Beispiel ist der unechte Bruch ${\frac {245.850.922}{78.256.779}}$ gewählt, dieser wurde schon 1770 von Johann Heinrich Lambert in seinem Buch "Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung" veröffentlicht.
• Fünfzehn Nachkommastellen sind gleich deren des Wertes $\mathbf {\pi }$.

Radius des Kreises

1. Bestimme den Radius r des Kreises mittels der beliebigen Strecke AT. Um die prinzipielle Genauigkeit des Konstruktionsprinzips (mithilfe GeoGebra) zu verdeutlichen, ist in der folgenden Darstellung der Radius r = 1 gewählt.
2. Konstruiere den Mittelpunkt M_K so, dass der anschließend eingezeichnete Kreis mit dem Radius r gleich der Strecke M_KT, den Teilerstrahl s₂ und den Zahlenstrahl s₁ berührt.

Nenner

1. Verbinde den neunten Punkt des Teilerstrahls s₄ (Zahl 9, START Einer, Nenner) mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s₇, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 9. Der Wert der Zahl 9 vom Teilerstrahl s₄ ist dadurch mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ verkleinert.
2. Greife die Strecke J9 ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 79.
3. Verbinde den Schnittpunkt 79 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt P des Hilfsstrahls s₈, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 79. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt O des Hilfsstrahls s₇ oder mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s₄ verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s₃ haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen (s₂, s₄) und Hilfsstrahlen (s₇, s₈) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
4. Greife die Strecke K79 vom Hilfsstrahl s₈ ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 779.
5. Verbinde den Schnittpunkt 779 des Teilerstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 779.
6. Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Nenner mit dem Schnittpunkt 78.256.779 auf dem Teilerstrahl s₄ konstruiert ist.
7. Greife die Strecke EU (Nenner) ab und addiere sie zum Punkt A des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt V, Nenner. Somit ist der Nenner konstruiert.
8. Verbinde den Schnittpunkt V, Nenner mit dem Punkt T des Zahlenstrahles s₁, es ergibt sich die Strecke V, NennerT.

Zähler

1. Verbinde den zweiten Punkt des Teilerstrahls s₄ (Zahl 2, START Einer, Zähler) mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s₇, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 2.
2. Greife die Strecke R2 ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom dritten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 22.
3. Verbinde den Schnittpunkt 22 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 22.
4. Greife die Strecke F22 ab und subtrahiere sie vom zehnten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 922.

• Beachte: Die nächste Stelle des Zählers ist eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 922 vom Teilerstrahl s₄, vor der geometrischen Addition mit der übernächsten Dezimalstelle 5, mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert sein! In diesem Fall ist die erste Verkleinerung mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ stets auf einem Teilerstrahl durchzuführen, da die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden können!

5. Verbinde den Schnittunkt 922 des Teilerstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 922.
6. Verbinde den Schnittunkt 922 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 0.922. Der Wert der Zahl 922 vom Teilerstrahl s₄ ist dadurch mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert.
7. Greife die Strecke F0.922 ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom sechsten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 50.922.
8. Verbinde den Schnittpunkt 50.922 des Teilerstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt Q des Hilfsstrahls s₈, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 50.922. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s₇ oder mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s₂ verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s₃ haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen (s₂, s₄) und Hilfsstrahlen (s₇, s₈) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
9. Greife die Strecke K50.922 vom Hilfsstrahl s₈ ab und addiere sie zum achten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Schnittpunkt 850.922.
10. Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Zähler mit dem Schnittpunkt 245.850.922 auf dem Teilerstrahl s₄ konstruiert ist.
11. Greife die Strecke E245.850.922 (Zähler) und addiere sie zum Punkt A des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt W, Zähler. Somit ist der Zähler konstruiert.
12. Ziehe eine Parallele zur Strecke V, NennerT bis auf den Zahlenstrahl s₁, damit ergibt sich der Schnittpunkt B₁.
13. Errichte eine Senkrechte auf den Zahlenstrahl s₁ ab dem Punkt B₁ bis auf die Mittelachse des Kreises, es ergibt sich der Schnittpunkt C₁.
14. Halbiere die Strecke D₁C₁, dabei entsteht der Mittelpunkt M₁.
15. Zeichne über M₁ den Thaleskreis ab C₁, er schneidet die Mittelachse des Kreises in E₁.
16. Verbinde den Punkt D₁ mit dem Punkt E₁, die Strecke D₁E₁ entspricht der konstruierten Seitenlänge S_QK des gesuchten Quadrates.
17. Halbiere die Strecke D₁E₁, es ergibt sich der Schnittpunkt M₂.
18. Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt M_K mit dem Radius M_KM₂.
19. Konstruiere mithilfe der Seitenlänge S_QK um den Mittelpunkt M_K und mittels des Hilfskreises mit dem Radius M_KM₂ das gesuchte Quadrat.

• Somit ergibt sich:

a) Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der vom gegebenen Kreis.

b) Eine Strecke AB₁ mit einer Länge, die nahezu gleich dem halben Umfang des Kreises ist.

Berechnung

• Allgemein: Seite des Quadrates S_Q = r • $\mathbf {\sqrt {\pi }}$
• Die Berechnung der konstruierten Seite des Quadrates S_QK geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen bzw. Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnisse auf den Teilerstrahlen s₂ bzw. s₄.
• Der vorgegebene unechte Bruch ${\frac {245.850.922}{78.256.779}}$ wird auf dem Zahlenstrahl s₁ prinzipiell exakt dargestellt.

Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates F_SQK

${\begin{aligned}F_{S_{QK}}&=S_{QK}-{\sqrt {\pi }}\\S_{QK}&={\sqrt {\frac {245.850.922}{78.256.779}}}\\&=\;\;\;1,77245385090551600524...\\-{\sqrt {\pi }}&=-1,77245385090551602729...\\\hline S_{QK}-{\sqrt {\pi }}&=-0,00000000000000002205...\\\end{aligned}}$

$F_{S_{QK}}\approx -2,2E-17$ [LE]

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Kreis mit Radius r = 100 Milliarden km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 91 Stunden) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates S_QK ≈ 2,2 mm.
• Bei einem Kreis mit Radius r = 100 km wäre der Fehler der Fläche des Quadrates ≈ -0,781 mm²

Variante 2

Näherungskonstruktion

Sie beruht auf der Näherung

$\pi \approx \left({\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=3{,}141\;592\;653\;5{\color {red}94\ldots }.$

Nach dem Ziehen des Einheitskreises ($r=1$ [LE]) werden die x-Achse $|AB|$ und die y-Achse $|CD|$ eingetragen. Es folgen der Kreisbogen $BEM$ und die (nicht eingezeichnete) Mittelsenkrechte zwischen $C$ und $E$ mit Schnittpunkt $F$. Nun wird das Lot von $F$ auf $|AB|$ mit Fußpunkt $G$ gefällt. Das dadurch erzeugte rechtwinklige Dreieck $MGF$ hat wegen der Hypotenuse ${\overline {FM}}=1$ und des Winkels $GMF=75^{\circ }$ die Katheten ${\overline {FG}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$ und ${\overline {MG}}={\tfrac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$. Die Strecke ${\overline {FG}}$ wird in $H$ halbiert. Um den oben beschriebenen Ansatz für die Näherung zu erhalten, stellt man sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ${\sqrt {\pi }}$ und der kleinen Kathete ${\overline {KL}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$ vor. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für die große Kathete ${\overline {JK}}$

${\overline {JK}}={\sqrt {\pi -\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}}}=1{,}486\;129\;184\;054\;190\ldots \;\Rightarrow$

$\;\;\;\approx {\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}=1{,}486\;129\;184\;05{\color {red}5\;7\ldots }.$

Die Länge der Kathete ${\overline {JK}}={\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}$ ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar (siehe Animation, gleiches Konstruktions-Prinzip wie in Variante 1).

Weiter geht es mit dem Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks anhand der jetzt bekannten Seiten. Hierzu wird zuerst der Punkt $H$ mithilfe einer Parallelen zur x-Achse $|AB|$ auf die y-Achse $|CD|$ projiziert, der Schnittpunkt ist $I$. Der darauf folgende Kreis mit dem Radius $r={\tfrac {5}{7}}\cdot {\sqrt {\tfrac {46643}{43100}}}$ schneidet die Parallele in $J$ und $K$. Die Halbgerade ab $J$ durch den Kreismittelpunkt $M$ und die in $K$ errichtete Senkrechte schneiden sich in $L$ und ergeben damit das Dreieck $JLK$. Der abschließende Kreis mit Radius $|MJ|$ ist der Inkreis des gesuchten Quadrates $NOPQ$.

Fehler

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• In GeoGebra konstruierte Seite des Quadrates ${\overline {A'H_{1}}}=a=1{,}772453850906837$ [LE]
• Soll-Seite des Quadrates $a_{s}={\sqrt {\pi }}\cdot 1=1{,}772453850905516\ldots$ [LE]
• Absoluter Fehler $F=a-a_{s}=0{,}000000000001322...=1{,}322\ldots$ E-12 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates $A_{k}=a^{2}=3{,}141592653594478\ldots$ [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates $A_{s}={\pi }\cdot 1=3{,}141592653589793\ldots$ [FE]
• Absoluter Fehler $A_{k}-A_{s}=0,000000000004686\ldots =4{,}685\ldots$ E-12 [FE]

Verdeutlichung:

• 11 Nachkommastellen sind gleich denen von ${\sqrt {\pi }}$ bzw. 10 Nachkommastellen sind gleich denen von $\pi$.
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 Mio. km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1,3 mm
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 km wäre der Fehler der Fläche A ≈ 5 mm²

Weblinks

 Quadratur des Kreises
 Johann Heinrich Lambert: Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung Quadratur des Circuls, S. 157 Abgerufen am 2. Juli 2017.

 Commons: Animation, Quadratur des Kreises – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Dreiteilung des Winkels

• Einleitung und Erklärungen zu "Klassisches Problem", "Verallgemeinerung", "Nicht-klassische Verfahren" u. a. m. sind im Artikel  Dreiteilung des Winkels enthalten.

Variante 1

Konstruktionsprinzip

• Näherungskonstruktion
• Den gegebenen Winkel mit vier Winkelhalbierenden verkleinern und den Kreisbogen MFG zwischen Winkelhabierende w₃ und w₄ mit einer Näherungslösung dritteln.

Konstruktion für Winkel > 0° bis 180°

• Für Winkel $\mathbf {\alpha }$ < 90° ist, zur klaren Unterscheidung der Punkte die auf der geraden Hilfslinie g liegen, meist die Drittelung des Supplementwinkels vorteilhaft. Dies wird im folgenden Beispiel berücksichtigt.

1. Zeichne durch den Punkt M eine Gerade.
2. Zeichne um den Punkt M einen Halbkreis, es ergeben sich auf der Gerade die Schnittpunkte A und B, die Strecke MA ist der erste Winkelschenkel.
3. Konstruiere eine Senkrechte zur Strecke AB ab Punkt M bis sie den Halbkreis schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
4. Konstruiere als Beispiel den Winkel $\mathbf {\alpha }$ = 60°, es ergibt sich der Schnittpunkt D auf dem Halbkreis MAB
5. Verbinde den Punkt M mit dem Punkt D, es ergibt sich der zweite Winkelschenkel der mit der Strecke MB den Supplementwinkel $\mathbf {\alpha _{1}}$ = 120° einschließt.
6. Konstruiere vom Winkel $\angle {DMB}$ die Winkelhalbierende w₁, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt E.
7. Konstruiere vom Winkel $\angle {EMB}$ die Winkelhalbierende w₂, die Länge der Strecke Mw₂ etwas länger als $\mathbf {{\frac {1}{2}}r}$
8. Konstruiere vom Winkel $\angle {EMw_{2}}$ die Winkelhalbierende w₃, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt F.
9. Konstruiere vom Winkel $\angle {FMw_{2}}$ die Winkelhalbierende w₄, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt G.
10. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt G den Punkt F anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte F und G angelegt), aber mit ihrer Länge, ca. Abstand |EF|, nur bis zum Punkt G verläuft und keine Verbindung der Punkte F und G herstellt. Somit ist zwischen diesen beiden Punkten der Halbkreis MAB für den späteren Schnittpunkt J frei zugänglich.
11. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt G mit dem Radius gleich dem Abstand |FG|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt H.
12. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke HI, sie ist ein Drittel der Strecke GH.
13. Zeichne einen Kreis um den Punkt I mit dem Radius gleich der Strecke GH, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB zwischen den Punkten F und G der Schnittpunkt J.
14. Verbinde den Punkt J mit dem Punkt M, die Winkelschenkel JM und MB schließen den Winkel $\mathbf {\beta _{1}} \approx \mathbf {{\frac {1}{3}}\alpha _{1}}$ ein. Somit ist vorerst vom Supplementwinkel 120° ein approximiertes Drittel dargestellt. .
15. Halbiere die Strecke JM, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt K.
16. Zeichne um den Punkt M einen Halbkreis der durch den Punkt K verläuft, es ergeben sich die Schnittpunkte L und N auf der Strecke AB.
17. Zeichne um den Punkt K einen Halbkreis der vom Punkt M zum Punkt J verläuft, es ergibt sich der Schnittpunkt O mit dem Halbkreis MNL.
18. Zeichne eine Gerade vom Punkt J durch den Punkt O bis zum Halbkreis MAB, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt P.
19. Verbinde den Punkt P mit dem Punkt M, die Winkelschenkel PM und MA schließen den Winkel $\mathbf {\beta } \approx \mathbf {{\frac {1}{3}}\alpha }$ ein.
20. Trage die Strecke AP ab dem Punkt P einmal auf dem Halbkreis MAB ab, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt Q. Somit ist der Winkel 60° nahezu gedrittelt.

Fehler

• Der max. Winkelfehler von $\mathbf {\beta }$ bzw. $\mathbf {\beta _{1}}$ ist ca. $\mathbf {\pm }$ 1,25E-6°, wenn der Winkel $\mathbf {\alpha }$ nahezu 0° bzw. nahezu 180° ist.

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Radius r = MA = 100 km wäre der max. Fehler an der Sehne $\mathbf {\approx } {\pm }$ 2,2 mm

Berechnung

• Im Kapitel "Neuneck", unter "Berechnung" sind zur Verifizierung des Konstruktionsprinzips alle Berechnungsschritte für die Dreiteilung des Winkels (Beispiel $\angle {60^{\circ }}$) aufgezeigt. Für die Dreiteilung des oben dargestellten Supplementwinkels 120°, sind in den Formeln die entsprechenden Werte (u. a. Länge des Winkelschenkels ändert sich von 2r in r) und Bezeichnungen (Punkte, Winkel, Strecken etc.) einzusetzen.

Variante 2

Konstruktionsprinzip

• Näherungskonstruktion
• Ein paar Konstruktionselemente stammen aus Alberts' Konstruktion.

Mit der stark vereinfachten Konstruktion wird folgendes erreicht:

• Der größte Teil der Konstruktion liegt in der unteren Hälfte des Kreises $k_{1}.$
• Eine praktikable Dreiteilung des Winkels ab nahe $0^{\circ }$ bis $180^{\circ }.$
• Die Animation (Schrittgröße ca. 3° bis 4°) zeigt alternativ die Konstruktion für Winkel > 0° bis 90° sowie die dazu spiegelbildliche Konstruktion ab 90° bis 180°. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind die Punkte ohne Beschriftung.

Konstruktion für Winkel > 0° bis 180°

1. Kreis $k_{1}$ mit beliebigem Durchmesser ${\overline {AB}}$ um Mittelpunkt $O.$
2. Winkelschenkel ${\overline {OA}}$ und Winkelschenkel ${\overline {OC}}$ schließen den Winkel $\alpha$ im Scheitel $O$ ein, ${\overline {OB}}$ und ${\overline {OC}}$ den Ergänzungswinkel $\gamma .$
3. Kreis $k_{2}$ um $O$ mit Radius ${\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}$; die Verlängerung des Winkelschenkels ${\overline {CO}}$ schneidet Kreis $k_{2}$ in $D.$
4. Durchmesser ${\overline {EF}}$ mit $\angle {EOA=45^{\circ }}$ und Verbindung des Punktes $D$ mit $E.$
5. Punkt $G$ auf Kreis $k_{2}$ so, dass $|EG|={\overline {EO}}.$
6. Strecke ${\overline {OF}}$ in $H$ halbieren, die anschließende Mittelsenkrechte von $|GH|$ schneidet ${\overline {OE}}$ in $I,$ ergibt $|IG|={\overline {IH}}.$
7. Parallele zu ${\overline {ED}}$ ab $I$ erreicht Kreis $k_{2}$ in $J.$
8. Parallele zu ${\overline {IJ}}$ ab $D,$ Punkt $K$ darauf so, dass ${\overline {JK}}={\overline {JE}}.$
9. Linie ab $J$ durch $K$ erreicht Kreis $k_{1}$ in $L,$ anschließend Linie ab $L$ bis $O.$
10. Parallele zu ${\overline {LO}}$ ab $D$ erreicht Kreis $k_{2}$ in $M.$
11. Strecke ${\overline {KE}}$ über $E$ hinaus verlängern, Punkt $N$ darauf so, dass ${\overline {MN}}={\overline {MD}}.$
12. Linie ab $M$ durch $N$ erreicht Kreis $k_{1}$ in $P.$
13. Bestimme Punkt $Q$ so, dass Winkel $POQ=30^{\circ },$ Verbindung $Q$ mit $O$ ergibt den Winkel $AOQ=\beta .$
14. Mittelsenkrechte von $|CQ|$ schneidet $k_{1}$ in $R,$ verbinde $R$ mit $O.$
15. Bestimme Punkt $S$ so, dass Winkel $QOS=120^{\circ }.$
16. Abschließende Verbindung $S$ mit $O$ ergibt Winkel $SOB=\delta .$

• Der Winkel $AOQ=\beta$ ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels $AOC=\alpha .$
• Der Winkel $SOB=\delta$ ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels $COB=\gamma .$

Fehlerbetrachtung

Eine Fehleranalyse, ähnlich Alberts' Konstruktion, ist nicht vorhanden.

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade meist mit signifikanten dreizehn Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels $\beta$ bzw. $\delta$, sprich, die Differenzwerte aus ${\frac {\alpha }{3}}-\beta$ bzw. ${\frac {\gamma }{3}}-\delta ,$ werden von GeoGebra stets mit $0^{\circ }$ angezeigt.

Betrachtet man die Grafik in GeoGebra, in sehr kleinen Schritten, die zu- oder abnehmenden Winkelweiten des Winkels $\beta$ bzw. $\delta$ mithilfe des Schiebereglers oder der Animation, ist vereinzelt eine max. Abweichung $1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }}$ vom SOLL-Wert ${\frac {\alpha }{3}}$ bzw. ${\frac {\gamma }{3}}$ ablesbar.

Verdeutlichung des absoluten Fehlers

Der in GeoGebra ablesbare Differenzwert von max. $1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }}$ entspricht einem absoluten Fehler $F$ der – nicht eingezeichneten – Sehne $|AR|$ bzw. $|BT|,$ der sich wie folgt ergibt:

$F=2\cdot \sin \left({\frac {1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }{2}}\right)=0{,}000\;000\;000\;000\;001\;745\ldots =1{,}745\ldots \cdot 10^{-15}\;[\mathrm {LE} ]$

Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich 1 Milliarde km (das Licht bräuchte für diese Strecke ≈ 56 Minuten, das ist etwas weniger als 7-mal die Entfernung Erde – Sonne), wäre der absolute Fehler der beiden – nicht eingezeichneten – Sehnen $|AR|$ bzw. $|BS|$ ≈ 1,7 mm.

Weblinks

Neuneck in diesem Buch

 Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Dreiteilung einer Strecke in diesem Buch

Dreiteilung des Winkels 60° in diesem Buch

 Commons: Dreiteilung des Winkels mit 5 Wh – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

 Alberts' Konstruktion: Näherung für Winkelweiten größer 0° bis 90°, mit Fehleranalyse

 Lichtgeschwindigkeit

• Dreiteilung des Winkels, Prinzip Linse

Verdoppelung des Würfels

Eine relativ einfache Näherungskonstruktion, aber mit einer ebenfalls außergewöhnlichen Genauigkeit ist im Folgenden beschrieben.

• Einleitung, Erklärung und Weiterführungen sind im Artikel  Würfelverdoppelung enthalten.

• $a_{1}$ ist die Kantenlänge des Ausgangswürfels, $a_{2}$ die des verdoppelten Würfels

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Einheitskreis mit Radius ${\overline {OA}}=1=a_{1}$ und dem Einzeichnen des Durchmessers ${\overline {AB}}$. Als nächstes wird die zum Durchmesser ${\overline {AB}}$ senkrecht stehende Mittelachse ${\overline {CD}}$ eingetragen. Es folgt jeweils ein Kreisbogen mit Radius ${\overline {OA}}$ um $A$ und $B$; die Schnittpunkte sind $E,E'$ und $F,F'$. Eine nicht eingezeichnete Mittelsenkrechte des Abstandes $|E'D|$ halbiert den Kreisbogen $OE'D$ in $G$. Eine Parallele zu ${\overline {AB}}$ ab $G$ ergibt die Strecke ${\overline {GH}}$. Den Punkt $I$ bestimmt man mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes $|HF'|$.

Weiter geht es mit dem Übertragen des Abstandes $|IF'|$ ab $E$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt $J$. Eine Parallele zu ${\overline {AB}}$ ab $J$ ergibt die Strecke ${\overline {JK}}$. Der Punkt $L$ wird mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes $|KF|$ bestimmt. Die abschließende Verbindung des Punktes $A$ mit $L$ schneidet ${\overline {OC}}$ in $M$ und liefert somit die Strecke ${\overline {AM}}$, deren Länge nahezu gleich dem Sollwert ${\sqrt[{3}]{2}}$ ist.

Fehler

In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.

${\begin{alignedat}{2}{\text{in GeoGebra konstruierte Länge der Strecke }}\qquad {\overline {AM}}&=&&1{,}259921049894873\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{Sollwert }}\qquad -{\sqrt[{3}]{2}}&=-&&1{,}259921049894873\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}$

Beispiel zur Verdeutlichung der Fehler

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min.) wäre bezüglich der konstruierten Kantenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 kein Fehler evaluierbar.
  

Somit liegt die Vemutung nahe, dass der absolute Fehler < 1 mm ist.

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 vermutlich < 0,7 dm³ oder < 1  Liter.

Weblinks

•  Commons: Animation, Verdoppelung des Würfels – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
•   Quadrat
•  GeoGebra
•  Einheitskreis
•  Mittelsenkrechte
•  Messabweichung

n-Ecke mit Zahlenstrahl

Das Kapitel n-Ecke mit Zahlenstrahl ist noch nicht vorhanden.

Dezimalzahl als Strecke

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Weitere Konstruktionen der Schulmathematik bis einschließlich 10. Jahrgangsstufe

Dezimalzahl 3,0 + 7 Nachkommastellen von Pi mit Anwendung der Strahlensätze

Basiskonstruktion (Schema), auch für div. ähnliche Konstruktionen anwendbar

1. Zeichne durch den Punkt $A$ einen Strahl $s_{1}$. Der Strahl $s_{1}$ wird im Folgenden als Zahlenstrahl $s_{1}$ bezeichnet.
2. Zeichne ab dem Punkt $A$ den Strahl $s_{2}$, mit einem Winkel $\angle {s_{2}\;A\;s_{1}\approx 30^{\circ }}$.

01-Pi-Strecke-7-Nachkommastellen

3. Trage vier gleiche Strecken ab dem Punkt $A$ auf dem Strahl $s_{2}$ ab, es ergeben sich die Schnittpunkte $1'$, $2'$, $3'$ und $4'$.
4. Konstruiere den Strahl $s_{3}$ durch den Punkt $4'$ parallel zum Zahlenstrahl $s_{1}$.
5. Errichte den Zahlenstrahl $s_{4}$ senkrecht auf den Strahl $s_{3}$ durch den Punkt $A$, es ergibt sich der Schnittpunkt $D$.
6. Errichte über den Punkt $4'$ den Zahlenstrahl $s_{5}$ senkrecht auf den Strahl $s_{3}$.
7. Zeichne um den Punkt $A$ einen Halbkreis, der etwas kleiner als die Strecke ${\overline {A1'}}$ vom Strahl $s_{2}$ ist, und bezeichne den Schnittpunkt mit dem Strahl $s_{1}$ mit $1$, es ergeben sich die Schnittpunkte $B$ und $C$ mit dem Zahlenstrahl $s_{4}$.
8. Trage die Strecke ${\overline {A1}}$ zweimal ab Punkt $1$ auf dem Strahl $s_{1}$ ab, es ergeben sich die Schnittpunkte $2$ und $3$.
9. Trage eine Strecke, etwas länger ein Drittel der Strecke ${\overline {A1}}$, ab dem Punkt $D$ zehnmal auf dem Zahlenstrahl $s_{4}$ ab.
10. Trage die gleiche Strecke ab dem Punkt $4'$ zehnmal auf dem Zahlenstrahl $s_{5}$ ab.
11. Zeichne den Diagonalstrahl $s_{6}$ durch den Punkt $(10)$ vom Zahlenstrahl $s_{4}$ und durch den Punkt $(1)$ vom Zahlenstrahl $s_{5}$ bis auf den Strahl $s_{3}$, es ergibt sich der Scheitelpunkt $E$.
12. Zeichne den Diagonalstrahl $s_{7}$ durch den Punkt $(10)$ vom Zahlenstrahl $s_{5}$ und durch den Punkt $(1)$ vom Zahlenstrahl $s_{4}$ bis auf den Strahl $s_{3}$, es ergibt sich der Scheitelpunkt $F$. Somit ist das Schema konstruiert.

Konstruktion des Zählers und der Strecke

13. Bezeichne den $6.$ Teilungspunkt vom Zahlenstrahl $s_{5}$ mit $6,\;{\mbox{Zähler,}}\;Einerstelle\;(START)$ .
14. Bezeichne den $1.$ Teilungspunkt vom Zahlenstrahl $s_{5}$ mit $(1)\;Nenner\;1,0E+7$.
15. Projiziere den Punkt $6$ vom Zahlenstrahl $s_{5}$ mittels des Scheitelpunktes $F$ vom Strahl $s_{3}$ auf den Zahlenstrahl $s_{4}$, es ergibt sich der Punkt $6$. Der Wert der Zahl $6$ auf dem Zahlenstrahl $s_{4}$ ist somit nur mehr ein Zehntel des Wertes der Zahl $6,\;{\mbox{Zähler,}}\;Einerstelle\;(START)$ auf dem Zahlenstrahl $s_{5}$. Vergleiche die Strecke ${\overline {D6}}$ mit der Strecke ${\overline {4'6}}$.
16. Übertrage ab dem $2.$ Teilungspunkt die Strecke ${\overline {D6}}$ auf den Zahlenstrahl $s_{4}$, es ergibt sich der Punkt $26$.
17. Projiziere den Punkt $26$ vom Zahlenstrahl $s_{4}$ mittels des Scheitelpunktes $E$ vom Strahl $s_{3}$ auf den Zahlenstrahl $s_{5}$, es ergibt sich der Punkt $26$.
18. Übertrage ab dem $9.$ Teilungspunkt die Strecke ${\overline {4'26}}$ auf den Zahlenstrahl $s_{5}$, es ergibt sich der Punkt $926$.
19. Wiederhole diesen Ablauf "Projizieren ... Übertragen" so oft, bis der Punkt $1415926$ auf dem Zahlenstrahl $s_{5}$ konstruiert ist.
20. Konstruiere eine Parallele zum Strahl $s_{3}$ durch den Punkt $1415926$ bis auf den Zahlenstrahl $s_{4}$, es entsteht der Punkt $1415926$ mit dem gleichen Wert wie auf dem Zahlenstrahl $s_{5}$.
    

Beachte: Bei einer Projektion des Punktes $1415926$ mittels des Scheitelpunktes $F$ auf den Zahlenstrahl $s_{4}$ wäre der Punkt $1415926$ für eine Verwendung zu nahe am Punkt $15926$.

21. Projiziere den Punkt $1415926$ vom Zahlenstrahl $s_{4}$ mittels des Scheitelpunktes $E$ vom Strahl $s_{3}$ auf den Zahlenstrahl $s_{5}$, es ergibt sich der Punkt $1415926$.
22. Übertrage ab dem $4.$ Teilungspunkt die Strecke ${\overline {(1)1415926}}$ auf den Zahlenstrahl $s_{5}$, es ergibt sich der Punkt $31415926$. Somit ist der Zähler konstruiert.
23. Verbinde den Punkt $(1)\;Nenner\;1,0E+7$ mit dem Punkt $3'$ vom Strahl $s_{2}$.
24. Konstruiere ab dem Punkt $31415926$ eine Parallele zur Strecke ${\overline {(1)3'}}$ bis auf den Strahl $s_{2}$, es ergibt sich der Schnittpunkt $F$.
25. Übertrage ab dem Punkt $4'$ die Strecke ${\overline {AF}}$ auf den Strahl $s_{2}$, es ergibt sich der Punkt $G$.
26. Konstruiere eine Parallele zur Strecke ${\overline {3'3}}$ ab dem Punkt $G$ bis auf den Zahlenstrahl $s_{1}$, es ergibt sich der Schnittpunkt $H$.
27. Verbinde den Punkt $A$ mit dem Punkt $H$. Die somit konstruierte Strecke ${\overline {AH}}$ hat die exakte Länge 3,1415926.

Weblinks

 Dritter Strahlensatz, Formulierung der Strahlensätze 3. Punkt

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf Strahl

Sterne zeichnen

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Stern mit 5 Zacken

Der fünfzackige Stern ist ein sogenanntes Sternpolygon. Das Sternpolygon lässt sich – im Gegensatz zum Stern – in einem Linienzug zeichnen.

Exakte Konstruktion

• Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt $M$.
• Zeichne den Durchmesser ${\overline {AB}}$.
• Konstruiere senkrecht zu ${\overline {AB}}$ die zweite Mittelachse des Kreises, der Schnittpunkt $C$ markiert den ersten Zacken.
• Halbiere ${\overline {AM}}$, dabei entsteht der Schnittpunkt $D$.
• Ziehe einen Kreisbogen um $D$ mit dem Radius ${\overline {DC}}$ ab $C$ bis auf ${\overline {AB}}$, dabei entsteht der Schnittpunkt $E$.
• Ziehe einen Kreisbogen um $C$ mit dem Radius ${\overline {CE}}$, die Schnittpunkte $F$ und $G$ markieren den zweiten bzw. dritten Zacken.
• Ziehe einen weiteren Kreisbogen um $G$ mit dem Radius ${\overline {GC}}$, der Schnittpunkt $H$ markiert den vierten Zacken.
• Ziehe den letzten Kreisbogen um $H$ mit dem Radius ${\overline {HG}}$, der Schnittpunkt $I$ markiert den fünften Zacken.
• Abschließend verbinde alle 5 Zacken mit dem jeweils übernächsten.

Einfaches Zeichnen

• Zeichne einen Kreis.
• Zeichne eine Linie durch den Kreismittelpunkt.
• Einer der beiden Schnittpunkte markiert den ersten Zacken.
• Miss einen 72° Winkel am Kreismittelpunkt von der Mittellinie weg.
• Der Winkel und der Kreis markieren den zweiten Zacken.
• Nimm die Entfernung der beiden ersten Zacken als neue Einstellung für den Zirkel.
• Zeichne von den Zacken mit dem Zirkel Kreise; die Schnittpunkte zwischen den Kreisen mit dem ursprünglichem Kreis ergeben jeweils einen neuen Zacken.
• Sobald du alle 5 Zacken hast, verbinde alle Zacken mit dem jeweils übernächsten.

Stern mit 6 Zacken

Der sechszackige Stern – auch Davidstern genannt – ist leicht zu zeichnen.

• Zeichne einen Kreis, es ist der Umkreis des werdenden Hexagramms.
• Ziehe mit dem gleichen Radius einen Kreis mit Mittelpunkt auf dem Umkreis, er schneidet den Umkreis zweimal.
• Ziehe in gleicher Weise drei weitere Kreise mit gleichem Radius.
• Nun hast du die 6 Punkte der Zacken.
• Verbinde alle 6 Punkte jeweils mit den beiden übernächsten Punkten.

Weblinks

•  Stern (Geometrie)

Dreiteilung einer Strecke

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Schwerpunktmethode

Gegeben: Eine Strecke (${\overline {AB}}$).

1. Zeichne an ein Ende der Strecke ($AB$) eine Gerade mit beliebigem Winkel ungleich Null.
2. Zeichne mit dem Zirkel auf dieser Gerade in beliebigem Abstand zwei Punkte mit gleichem Abstand zum Streckenende ($C$ und $D$).
3. Verbinde einen der beiden Punkte mit dem anderen Ende der Strecke.
4. Halbiere diese Strecke (${\overline {AC}}$). Man erhält Punkt $E$.
5. Verbinde diese Streckenmitte mit dem Zweiten Schnittpunkt des Kreises. Der Schnittpunkt $T$ teilt ${\overline {AB}}$ im Verhältnis 1:2.

Diese Methode ermittelt den Schwerpunkt eines Dreiecks, bei dem die gegebene Strecke eine Seitenhalbierende ist und erfordert sieben Schritte (drei davon zur Halbierung einer Stecke). Grundsätzlich sind Winkel und Radius egal, die Konstruktion wird in der Praxis bei sehr spitzem Winkel jedoch sehr ungenau.

Mit gleichseitigen Dreiecken

Gegeben: Eine Strecke (${\overline {AB}}$).

1. Zeichne um die beiden Enden $A$ und $B$ einen Kreis mit dem Radius $r\,=\,{\overline {AB}}$. Auf diese Weise erhält man die Schnittpunkte $C$ und $D$, welche mit $A$ und $B$ jeweils ein gleichseitiges Dreieck bilden.
2. Zeichen um $C$ ebenfalls einen Kreis mit dem Radius $r\,=\,{\overline {AB}}$. Man Erhält Punkt $E$.
3. Zeichne ${\overline {AC}}$ und ${\overline {EB}}$. Der Schnittpunkt ist $F$.
4. Zeichne ${\overline {FD}}$. Der Schnittpunkt $T$ teilt ${\overline {AB}}$ im Verhältnis 1:2.

Diese Methode baut auf der ersten auf, nutzt jedoch die Symmetrien des gleichseitigen Dreiecks und erfordert nur sechs Schritte. Wenn der Platz ausreicht, ist diese Methode besonders schnell, da der Zirkel nur einmal eingestellt werden muss.

Kreise auf Winkelhalbierenden

(Planimetrie/ LaTeX)

(Planimetrie/ LaTeX)

Kreis zwischen Winkelschenkeln und einem gegebenen Kreis

Zwei Kreise liegen auf derselben Winkelhalbierenden

1. Zeichne ab dem Winkelscheitel A zwei Winkelschenkel mit beliebiger Winkelweite.
2. Zeichne einen Kreisbogen um A mit einem beliebigen Radius, es ergibt die Schnittpunkte B und C.
3. Errichte in B eine Senkrechte zum Winkelschenkel AB.
4. Errichte in C eine Senkrechte zum Winkelschenkel AC, es ergibt den Schnittpunkt M₁.
5. Ziehe eine Halbgerade ab A durch M₁, sie ist die Winkelhalbierende ω_α.
6. Zeichne einen Kreisbogen um M₁ mit dem Radius M₁B, es ergibt den Schnittpunkt D, den ersten Berührungspunkt des gesuchten Kreises.
7. Errichte in D eine Senkrechte zur Winkelhalbierenden ω_α bis sie die Strecke AC in E schneidet.
8. Verbinde den Punkt C mit D.
9. Ziehe eine Parallele zu CD ab E bis ω_α, sie liefert den Mittelpunkt M₂ des gesuchten Kreises.
10. Ziehe einen Kreis um M₂ mit dem Radius M₂D.

Somit ist der gesuchte Kreis (rot) eingearbeitet. Die Berührungspunkte sind: F und G mit den Winkelschenkeln und D mit dem benachbarten Kreis um M₁.

Zwei Kreise liegen auf unterschiedlichen Winkelhalbierenden

1. Zeichne ein beliebiges Dreieck ABC.
2. Konstruiere die Winkelhalbierende ω_α.
3. Konstruiere die Winkelhalbierende ω_β.
4. Bestimme beliebig den Mittelpunkt M₁ des ersten Kreises auf der Winkelhalbierenden ω_α.
5. Konstruiere eine Senkrechte zur Strecke AB durch M₁ mit Fußpunkt D.
6. Zeichne den ersten Kreis um M₁ durch D; es ergibt den Schnittpunkt E.
7. Fälle das Lot vom Mittelpunkt M₁ auf die Strecke AC mit Fußpunkt F.
8. Konstruiere eine Senkrechte zur Winkelhalbierenden ω_β ab E, bis sie die Strecke AB in G schneidet.
9. Ziehe einen Kreisbogen um B mit dem Radius BG, bis er die über E hinaus verlängerte Senkrechte in H schneidet.

Hinweis: Sollte dieser Kreisbogen um B und damit der Punkt H, zu nahe an der Strecke AC liegen, verlängere die Senkrechte durch M₁ über den Punkt D hinaus.

10. Übertrage die Strecke DH ab G auf AB; dabei ergibt sich der Schnittpunkt I nahe am Punkt B.
11. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AB ab I bis ω_β, sie liefert den Mittelpunkt M₂ des gesuchten Kreises.
12. Zeichne einen Kreis um M₂ durch I.

Somit ist der gesuchte zweite Kreis (rot) eingearbeitet. Die Berührungspunkte sind: I und K mit zwei Seiten des Dreiecks und J mit dem ersten Kreis um M₁.

Weblinks

• Errichten einer Senkrechten
• Fällen des Lotes
•  Winkel
•  Winkelhalbierende
•   Halbgerade