Dreieck aus drei Höhen

(Planimetrie/ Dreieckskonstruktionen/ Dreieck aus drei Höhen)

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Dreieckskonstruktion 1. Möglichkeit

Skizze unmaßstäblich

Vorüberlegung:

Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen: Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich. Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.

(1)   $A={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}={\frac {b\cdot h_{b}}{2}}={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}$

und damit

(2)   $a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=c\cdot h_{c}$

Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von $C$ aus auf der Seite $b$ die Höhe $h_{a}$ und auf der Seite $a$ die Höhe $h_{b}$ antragen (siehe Skizze) nach (2) als Verhältnisgleichung ist

(3)   ${\frac {a}{h_{b}}}={\frac {b}{h_{a}}}$   und   (3a)   $\qquad {\frac {c}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{c}}}$

und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie $d$ parallel zu $c$ laufen.

Skizze unmaßstäblich

Weiter ist dann nach dem Strahlensatz

(4)   ${\frac {d}{c}}={\frac {h_{a}}{b}}$

(4a)   $d=h_{a}\cdot {\frac {c}{b}}$

(3a) in (4a) eingesetzt:

(4b)   $d={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{c}}}$

Damit sind für das Hilfsdreieck $CDE$ die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.

Die eigentliche Dreieckskonstruktion ist nun relativ einfach:

Man konstruiert das Dreieck $CDE$ aus den Seiten $h_{a}$, $h_{b}$ und $h_{c}$. Auf die Seite $d$ fällt man ein Lot zu Punkt $C$ und verlängert dieses auf die Länge $h_{c}$. Durch den Endpunkt der Höhe $h_{c}$ zieht man eine Parallele zur Linie $d$ deren Schnittpunkte mit den Verlängerungen von $h_{a}$ und $h_{b}$ die Punkte $A$ und $B$ ergeben (siehe Skizze).

Dreieckskonstruktion 2. Möglichkeit

Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem Strahlensatz

1. Zeichne eine Gerade $g_{1}$ und trage ${\overline {SG}}=h_{c}$ ab.
   
   
2. Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt $H$ in einem Abstand von ${\overline {SH}}=h_{c}$ und ${\overline {GH}}=h_{b}$.
   
   
3. Zeichne das gleichschenklige Dreieck $\triangle {GSH}$.
   
   
4. Trage auf beiden Schenkeln die Strecken ${\overline {SK}}={\overline {SL}}=h_{a}$ ab.
   
   
5. Die Strecke ${\overline {KL}}=d$ hat die Länge $d={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{c}}}$.
   
   

Teil 2: Konstruktion des Dreiecks

1. Zeichne um ein Ende der Strecke $d={\overline {DE}}$ (Punkt $D$) einen Kreisbogen mit dem Radius $h_{b}$ und um das andere Ende (Punkt $E$) einen Kreisbogen mit dem Radius $h_{a}$. Es entstehen zwei zur Strecke ${\overline {DE}}$ symmetrische Schnittpunkte ($C$ und $H$).
   
   
2. Zeichne die Geraden ${\overline {CD}}$ und ${\overline {CE}}$.
   
   
3. Fälle das Lot von $C$ auf ${\overline {DE}}$ durch Verbinden der Punkte $C$ und $H$.
   
   
4. Trage auf dieser Lotgerade von $C$ aus die Strecke $h_{c}$ ab (Endpunkt $G$).
   
   
5. Konstruiere zur Strecke ${\overline {DE}}$ eine parallele Gerade im Abstand ${\overline {FG}}$.
   1. Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um $E$ mit dem Radius ${\overline {FG}}$ und eines Bogens um Punkt $F$ mit dem Radius ${\overline {EG}}$.
   2. Verfahre mit einem Bogens um $D$ mit dem Radius ${\overline {FG}}$ und einem Bogen um $F$ mit dem Radius ${\overline {DG}}$ genauso.
   3. Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.
      
      
6. Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden ${\overline {CD}}$ und ${\overline {CE}}$ bildet das gesuchte Dreieck $\triangle {ABC}$.
   
   

Durchführbarkeit der Konstruktion

Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn $CDE$ konstruiert werden kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${\tfrac {1}{h_{a}}}+{\tfrac {1}{h_{b}}}>{\tfrac {1}{h_{c}}}$ usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.

Dreieckskonstruktion 3. Möglichkeit

In der folgenden Konstruktion entsteht direkt aus dem sogenannten Hilfsdreieck AB₁C₁ das gesuchte Dreieck ABC.

Vorüberlegungen

Nach der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie $g$ gilt

$A={\frac {1}{2}}\cdot g\cdot h\;$ mit verdoppeltem Flächeninhalt gilt

$2A=g\cdot h$ mit der Bedingung der Flächeninhalt $2A$ bleibt unverändert, wird z. B. die Grundlinie $g$ verdoppelt, damit ergibt sich

$2A=2g\cdot {\frac {h}{2}}\;$ somit zeigt sich

die Länge der Grundlinie $g$ des Dreiecks verhält sich umgekehrt proportional zur Höhe $h$.

Für das gesuchte Dreieck $ABC$ bedeutet dies:

$a:b={\frac {1}{h_{a}}}:{\frac {1}{h_{b}}};\;\;b:c={\frac {1}{h_{b}}}:{\frac {1}{h_{c}}};\;\;a:c={\frac {1}{h_{a}}}:{\frac {1}{h_{c}}}\;$ oder

$a:b:c={\frac {1}{h_{a}}}:{\frac {1}{h_{b}}}:{\frac {1}{h_{c}}}\;$ daraus folgt:

Zwei Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich demnach zueinander wie die Kehrwerte der entsprechenden Höhen. Dies bedeutet, ein sogenanntes Hilfsdreieck dessen Seitenlängen (direkt) proportional zu den Höhen ${\frac {1}{h_{a}}},$ ${\frac {1}{h_{b}}},$ und ${\frac {1}{h_{c}}}$ sind, ist ähnlich dem gesuchten Dreieck $ABC.$

Multipliziert man ${\frac {1}{h_{a}}}$, ${\frac {1}{h_{b}}}$ bzw. ${\frac {1}{h_{c}}}$ mit dem Proportionalitätsfaktor $h_{a}\cdot h_{b}$, so erhält man für die Seitenlängen $a_{1},b_{1}$ und $c_{1}$ des Hilfsdreiecks folgende Werte:

$a_{1}={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{a}}}=h_{b};\;\;b_{1}={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{b}}}=h_{a};\;\;c_{1}={\frac {h_{a}\cdot h_{b}}{h_{c}}}$

Ist die Seitenlänge $c_{1}$, als Strecke ${\overline {AB_{1}}}$, aus den zwei Höhen $h_{a}$ und $h_{b}$ mithilfe des 2. Strahlensatzes auf einer Geraden konstruiert, werden die Höhen $h_{a}$ und $h_{b}$ als Seiten des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ eingearbeitet. Abschließend erhält man durch eine zentrische Streckung des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ das endgültige Dreieck $ABC.$

Konstruktionsplan

Konstruktion mit Hilfsdreieck AB₁C₁, Animation siehe

1. Bezeichne die Höhen unter Berücksichtigung, dass $h_{c}$ nicht länger als $h_{a}$ ist.
2. Zeichne eine Gerade $g_{1}$ und bestimme darauf den ersten Eckpunkt $A$ des späteren Dreiecks.
3. Errichte eine Senkrechte zur Gerade $g_{1}$ im Punkt $A$ und übertrage darauf die Höhe $h_{c}$ als Strecke ${\overline {AD}}$ ab.
4. Konstruiere eine Parallele $g_{2}$ zur Gerade $g_{1}$ durch den Punkt $D.$
5. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_{a},$ er schneidet die Gerade $g_{2}$ im Punkt $E.$
6. Verbinde den Punkt $A$ mit dem Punkt $E.$
7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $A$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_{b}.$
8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke ${\overline {AE}}$ im Punkt $A,$ sie erzeugt den Schnittpunkt $F$ auf dem Kreisbogen mit Radius gleich der Höhe $h_{b}.$
9. Zeichne eine Parallele zur Strecke ${\overline {AE}}$ ab dem Punkt $F$ bis zur Gerade $g_{1},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $B_{1}.$
10. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt $B_{1}$ mit dem Radius gleich der Höhe $h_{b},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $C_{1}$ auf dem Kreisbogen mit dem Radius gleich der Höhe $h_{a},$ somit sind die drei Eckpunkte des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ bestimmt.
11. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt $A$ durch den Punkt $C_{1}$ bis auf die Gerade $g_{2},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $C.$ Der Punkt $C$ ist der zweite Eckpunkt des späteren Dreiecks.
12. Verbinde den Punkt $B_{1}$ mit dem Punkt $C_{1}.$
13. Zeichne eine Parallele zur Strecke ${\overline {B_{1}C_{1}}}$ ab dem Punkt $C$ bis auf die Gerade $g_{1},$ es ergibt sich der Schnittpunkt $B.$ Der Punkt $B$ ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
14. Verbinde den Punkt $A$ mit dem Punkt $B,$ somit ist das Dreieck $ABC$ konstruiert.

Beweis

Beweis des Hilfsdreiecks

Seitenlängen des Hilfsdreiecks

Für die Seitenlängen des Hilfsdreiecks $AB_{1}C_{1}$ ergibt sich:

$|AC_{1}|=h_{a}$ (Konstruktionsplan, 5.)

$|B_{1}C_{1}|=h_{b}$ (Konstruktionsplan, 10.)

Die Dreiecke $AFB_{1}$ und $ADE$ sind zueinander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Daraus folgt $|AB_{1}|:|AF|=|AE|:|AD|$ und weiter

$|AB_{1}|={\frac {|AF|\cdot |AE|}{|AD|}}={\frac {h_{b}\cdot h_{a}}{h_{c}}}.$

Seitenverhältnisse im Hilfsdreieck

Aus dem letzten Abschnitt folgt unmittelbar:

$|AB_{1}|:|AC_{1}|={\frac {h_{b}\cdot h_{a}}{h_{c}}}:h_{a}=h_{b}:h_{c}$

$|AC_{1}|:|B_{1}C_{1}|=h_{a}:h_{b}$

Übergang zum Dreieck $ABC$

Wegen der Parallelität von $B_{1}C_{1}$ und $BC$ (Punkt 13. des Konstruktionsplans) sind die Dreiecke $AB_{1}C_{1}$ und $ABC$ zueinander ähnlich. Somit erhält man für die Seitenverhältnisse im Dreieck $ABC$:

$|AB|:|AC|=|AB_{1}|:|AC_{1}|=h_{b}:h_{c}$

$|AC|:|BC|=|AC_{1}|:|B_{1}C_{1}|=h_{a}:h_{b}$

Berücksichtigt man, dass die Höhen umgekehrt proportional zu den Seiten sind, so erhält man daraus:

$|AB|:|AC|=c:b$

$|AC|:|BC|=b:a$

Wegen übereinstimmender Seitenverhältnisse kann man daraus schließen, dass das konstruierte Dreieck $ABC$ zum gesuchten Dreieck ähnlich ist.

Da der Abstand zwischen den Geraden $g_{1}$ und $g_{2}$ gleich $h_{c}$ ist (Konstruktionsplan, 3.), hat die Höhe $h_{c}$ den richtigen Wert, das heißt das konstruierte Dreieck ist nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent zum gesuchten Dreieck.

Berechnung der Dreiecksseiten und des Flächeninhalts

Berechnung

1. Dreieck $AED$

1.1 $\cos(\beta )={\frac {h_{c}}{h_{a}}}$

2. Dreieck $AFB_{1}$

2.1 $c_{1}=|AB_{1}|={\frac {h_{b}}{\cos(\beta )}}={\frac {h_{b}h_{a}}{h_{c}}}$

3. Hilfsdreieck $AB_{1}C_{1}$

3.1 Bezeichnungen:

$a_{1}=|B_{1}C_{1}|=h_{b}$

$b_{1}=|AC_{1}|=h_{a}$

$c_{1}=|AB_{1}|={\frac {h_{a}h_{b}}{h_{c}}}$

$h_{a1}=|AG|$

3.2 Kosinussatz: ${c_{1}}^{2}={a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}-2a_{1}b_{1}\cdot \cos(\gamma )={h_{b}}^{2}+{h_{a}}^{2}-2h_{a}h_{b}\cos(\gamma )$

3.3 Folgerung: $\cos(\gamma )={\frac {{h_{b}}^{2}+{h_{a}}^{2}-{c_{1}}^{2}}{2h_{a}h_{b}}}={\frac {{h_{b}}^{2}+{h_{a}}^{2}-\left({\frac {h_{a}h_{b}}{h_{c}}}\right)^{2}}{2h_{a}h_{b}}}$

Durch Erweitern mit ${h_{c}}^{2}$ ergibt sich daraus

$\cos(\gamma )={\frac {{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+{h_{a}}^{2}{h_{c}}^{2}-{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}}{2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}}$.

3.4 $\sin(\gamma )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\gamma )}}={\sqrt {1-\left({\frac {{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+{h_{a}}^{2}{h_{c}}^{2}-{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}}{2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}}\right)^{2}}}$

$={\sqrt {\frac {\left(2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}\right)^{2}-\left({h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+{h_{a}}^{2}{h_{c}}^{2}-{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}\right)^{2}}{\left(2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}\right)^{2}}}}$

$={\sqrt {\frac {4{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}-2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}+2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{2}+2{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}}{4{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}}}}$

$={\sqrt {\frac {2{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}+2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{2}+2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}{4{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{4}}}}$

$={\frac {\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}{2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}}$

3.5 $h_{a1}=b_{1}\cdot \sin(\gamma )=h_{a}\cdot \sin(\gamma )$

4. Ähnliche Dreiecke: $AB_{1}C_{1}\sim ABC$

4.1 ${\frac {h_{a}}{h_{a1}}}={\frac {a}{h_{b}}}$

$a={\frac {h_{a}h_{b}}{h_{a1}}}={\frac {h_{a}h_{b}}{h_{a}\sin(\gamma )}}={\frac {h_{b}}{\sin(\gamma )}}$

5. Dreieck $ABC$

5.1 Einsetzen des Rechenausdrucks für $\sin(\gamma )$ in die letzte Gleichung ergibt die Seitenlänge $a$:

$a=h_{b}\cdot {\frac {2h_{a}h_{b}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

$a={\frac {2h_{a}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

Entsprechend erhält man die beiden anderen Seitenlängen:

5.2 $b={\frac {2{h_{a}}^{2}h_{b}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

5.3 $c={\frac {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}h_{c}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

5.4 Der Flächeninhalt ergibt sich daraus gemäß der Formel $A={\frac {1}{2}}ah_{a}$:

$A={\frac {{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}}{\sqrt {2{h_{a}}^{2}{h_{b}}^{2}{h_{c}}^{2}\left({h_{a}}^{2}+{h_{b}}^{2}+{h_{c}}^{2}\right)-{h_{b}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{c}}^{4}-{h_{a}}^{4}{h_{b}}^{4}}}}$

Dreieckskonstruktion, 4. Möglichkeit

Nachfolgend wird eine relativ einfache Form der Konstruktion aus den drei Höhen erläutert. Diese Lösung kommt ohne jede Vorberechnung aus. Die als $h_{a}$ gewählte Höhe sollte kleiner als $h_{c}$ sein.

1. Konstruiere das gleichschenklige $\triangle {HFG}$ nach dem Kongruenzsatz SSS aus den Seitenlängen $h_{c}$ (2 mal) und $h_{b}$

2. Trage auf den beiden Strecken $h_{c}$ jeweils die Strecke $h_{a}$ von Punkt $H$ ab. Man erhält die Punkte $D$ und $E$

3. Die Verbindung der beiden Endpunkte $D$ und $E$ ergibt die Strecke $d$

4. Schlage einen Kreisbogen mit dem Radius $h_{a}$ um den Punkt $D$

5. Schlage einen weiteren Kreisbogen mit dem Radius $h_{b}$ um den Punkt $E$

6. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ergibt den Dreieckspunkt $C$

7. Zeichne eine parallele Strecke zu ${\overline {FG}}$ im Abstand $h_{c}$ von Punkt $C$

8. Zeichne eine Strecke von $C$ über $D$ hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt $A$ des gesuchten Dreiecks

9. Zeichne eine Strecke von $C$ über $E$ hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt $B$ des gesuchten Dreiecks

10. Damit ist das $\triangle {ABC}$ konstruiert

Weblinks

•  Kosinussatz
•  Konstruktion mit Zirkel und Lineal
•  Kongruenzsatz
•  Parallelogramm
•  Proportionalitätsfaktor
•  Strahlensatz
• Matroids Matheplanet Zum HHH-Fall ein Beispiel für eine Konstruktion, aus dem Buch "geometria – scientiae