Dreieckskonstruktionen

Dreieckskonstruktionen

Dieser Teil gehört zum Buch „Planimetrie“.


Dreieckskonstruktionen [Bearbeiten]

 
(Planimetrie/ Dreieckskonstruktionen)


BezeichnungenBearbeiten

 

  • Angaben in kursiver Schrift dienen der Verbesserung der Genauigkeit und sind nicht zwingend notwendig.


Die fünf StandardkonstruktionenBearbeiten

Konstruktion 1 (SSS)Bearbeiten

Gegeben: Die drei Seiten a, b und c
Notwendige Bedingung:Die Differenz von zwei Seiten (Betrag) muss kleiner sein als die dritte Seite (Dreiecksungleichungen).
  1. Trage auf einer Geraden eine der Seiten ab. Am besten die längste Seite.
  2. Zeichne um einen Endpunkt einen Bogen mit dem Radius, welcher einer anderen Seite entspricht.
  3. Zeichne um den anderen Endpunkt einen Bogen mit dem Radius, welcher der dritten Seite entspricht.
  4. Die beiden Schnittpunkte zeigen den dritten Eckpunkt für die beiden spiegelsymmetrischen Lösungen auf.
Hinweis

Sofern auf der Zeichenfläche keine der Seiten eine gegebene Position hat, sollte mit der längsten Seite begonnen werden. Dies ermöglicht das genaueste Ergebnis.


Konstruktion 2 (SWS)Bearbeiten

Gegeben: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel.
Beispiel
Gegeben: a, b, γ
  1. Zeichne die Strecke AC = b
  2. Trage am Endpunkt C den Winkel γ an.
  3. Trage auf dem freien Schenkel (Gerade g) die Strecke a ab. Man erhält den dritten Eckpunkt B.
  4. Verbinde die Punkte A und B miteinander.


Konstruktion 3 (WSW)Bearbeiten

Gegeben: Eine Seite und die anliegenden Winkel.

Beispiel
Gegeben: c, α und β
  1. Trage auf einer Geraden die Seite c ab.
  2. Trage an die Enden der Seite c auf einer Seite der Geraden die Winkel β und α an.
  3. Verlängere ggf. die freien Schenkel (f und g) der Winkel bis sie sich (im Punkt C) schneiden.
Notwendige Bedingung: Die Summe der beiden Winkel ist kleiner als der gestreckte Winkel.


Konstruktion 4 (SWW)Bearbeiten

Gegeben: Eine Seite, ein anliegender und der gegenüberliegende Winkel.

Beispiel
gegeben: a, β und α.
  1. Trage auf einer Geraden die Seite a ab.
  2. Trage an einem Ende der Seite a (Ecke B) den Winkel β an (Gerade g).
  3. Trage in Punkt B an den freien Schenkel den Winkel α nach außen an. Man erhält den Winkel α + β
  4. Der Winkel zwischen dem so gewonnenen weiteren freien Schenkel und der Gerade, auf der sich die Seite a befindet, ist der Winkel 180° - α - β = γ.
  5. Trage den Winkel γ an der Ecke C an.
  6. Verlängere ggf. die freien Schenkel der Winkel β und γ bis sie sich (im Punkt A) schneiden.

1. Alternativ ab 4.: Verschiebe die sich durch den Winkel α ergebende Strecke von Punkt B parallel nach Punkt C. Der sich ergebende Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Geraden g (siehe 2.) ergibt Punkt A.

2. Alternative: Über die Winkelsumme im Dreieck von 180° kann man den dritten Winkel γ = 180° - α vorab berechnen. Dann kann man das Dreieck auch nach Konstruktion 3 (WSW) konstruieren.


Konstruktion 5 (SSW)Bearbeiten

Gegeben: Zwei Seiten und ein anliegender Winkel.

Beispiel
gegeben: a, b und β.
  1. Trage auf einer Geraden diejenige Seite ab, an der der gegebene Winkel anliegt, im Beispiel also die Seite a.
  2. Trage an der Ecke B der Seite a den Winkel β an und verlängere den freien Schenkel.
  3. Zeichne um den anderen Endpunkt der Seite a, also um die Ecke C, einen Bogen mit dem Radius der Seite b.
  4. Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem freien Schenkel von β liefert den dritten Eckpunkt A.
Hinweis
Je nachdem, wie lang die beiden Seiten sind und wie groß der Winkel ist (spitz oder stumpf), gibt es keine, eine oder zwei Lösungen. Um eine eindeutige Lösung zu bekommen, muss der Winkel der größeren Seite gegenüber liegen.

Weitere KonstruktionenBearbeiten

Konstruktion 6 (HHH)Bearbeiten

Gegeben: Die drei Höhen ha, hb und hc

Diese Konstruktion ist relativ umfangreich und daher auf einer eigenen Seite dargestellt. Siehe dazu unter Dreieck aus drei Höhen.



Dreieck aus drei Höhen [Bearbeiten]

 
(Planimetrie/ Dreieckskonstruktionen)


Dreieckskonstruktion 1. MöglichkeitBearbeiten

 
Skizze unmaßstäblich

Vorüberlegung:

Aus den drei Höhen lässt sich ein Dreieck nicht so ohne weiteres konstruieren. Man kann aber folgende Vorüberlegung anstellen: Die Fläche jedes Dreiecks ist Seitenlänge x Höhe / 2 und zwar für jede Seite gleich. Deshalb besteht ein Zusammenhang zwischen Seitenlängen und Höhen.

(1)    

und damit

(2)    

Man kann nun in einem beliebigen Dreieck von   aus auf der Seite   die Höhe   und auf der Seite   die Höhe   antragen (siehe Skizze) nach (2) als Verhältnisgleichung ist

(3)       und   (3a)    

und damit muss nach dem Strahlensatz die Verbindungslinie   parallel zu   laufen.

 
Skizze unmaßstäblich

Weiter ist dann nach dem Strahlensatz

(4)    

(4a)    

(3a) in (4a) eingesetzt:

(4b)    

Damit sind für das Hilfsdreieck   die drei Seiten bekannt und ist nach dem Kongruenzsatz SSS konstruierbar.

Die eigentliche Dreieckskonstruktion ist nun relativ einfach:

Man konstruiert das Dreieck   aus den Seiten  ,   und  . Auf die Seite   fällt man ein Lot zu Punkt   und verlängert dieses auf die Länge  . Durch den Endpunkt der Höhe   zieht man eine Parallele zur Linie   deren Schnittpunkte mit den Verlängerungen von   und   die Punkte   und   ergeben (siehe Skizze).

Dreieckskonstruktion 2. MöglichkeitBearbeiten

Teil 1: Konstruktion der Strecke d mit dem StrahlensatzBearbeiten

  1. Zeichne eine Gerade   und trage   ab.

  2. Konstruiere mit dem Zirkel den Punkt   in einem Abstand von   und  .

  3. Zeichne das gleichschenklige Dreieck  .

  4. Trage auf beiden Schenkeln die Strecken   ab.

  5. Die Strecke   hat die Länge  .

Teil 2: Konstruktion des DreiecksBearbeiten

  1. Zeichne um ein Ende der Strecke   (Punkt  ) einen Kreisbogen mit dem Radius   und um das andere Ende (Punkt  ) einen Kreisbogen mit dem Radius  . Es entstehen zwei zur Strecke   symmetrische Schnittpunkte (  und  ).

  2. Zeichne die Geraden   und  .

  3. Fälle das Lot von   auf   durch Verbinden der Punkte   und  .

  4. Trage auf dieser Lotgerade von   aus die Strecke   ab (Endpunkt  ).

  5. Konstruiere zur Strecke   eine parallele Gerade im Abstand  .
    1. Ermittle dazu zuerst mit dem Zirkel den Schnittpunkt eines Bogens um   mit dem Radius   und eines Bogens um Punkt   mit dem Radius  .
    2. Verfahre mit einem Bogens um   mit dem Radius   und einem Bogen um   mit dem Radius   genauso.
    3. Verbinde die so gewonnenen Punkte mit einer Geraden.

  6. Die Schnittpunkte dieser Gerade mit den Geraden   und   bildet das gesuchte Dreieck  .

Durchführbarkeit der KonstruktionBearbeiten

Die beschriebene Konstruktion ist offenbar genau dann durchführbar, wenn   konstruiert werden kann. Dies ist genau dann der Fall, wenn   usw. gilt, was aber laut Vorbemerkung auch notwendig ist.

Dreieckskonstruktion 3. MöglichkeitBearbeiten

In der folgenden Konstruktion entsteht direkt aus dem sogenannten Hilfsdreieck AB1C1 das gesuchte Dreieck ABC.

VorüberlegungenBearbeiten

Nach der allgemeinen Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks mit der Grundlinie   gilt

  mit verdoppeltem Flächeninhalt gilt
  mit der Bedingung der Flächeninhalt   bleibt unverändert, wird z. B. die Grundlinie   verdoppelt, damit ergibt sich
  somit zeigt sich

die Länge der Grundlinie   des Dreiecks verhält sich umgekehrt proportional zur Höhe  .

Für das gesuchte Dreieck   bedeutet dies:

  oder
  daraus folgt:

Zwei Seitenlängen eines Dreiecks verhalten sich demnach zueinander wie die Kehrwerte der entsprechenden Höhen. Dies bedeutet, ein sogenanntes Hilfsdreieck dessen Seitenlängen (direkt) proportional zu den Höhen     und   sind, ist ähnlich dem gesuchten Dreieck  

Multipliziert man  ,   bzw.   mit dem Proportionalitätsfaktor  , so erhält man für die Seitenlängen   und   des Hilfsdreiecks folgende Werte:

 

Ist die Seitenlänge  , als Strecke  , aus den zwei Höhen   und   mithilfe des 2. Strahlensatzes auf einer Geraden konstruiert, werden die Höhen   und   als Seiten des Hilfsdreiecks   eingearbeitet. Abschließend erhält man durch eine zentrische Streckung des Hilfsdreiecks   das endgültige Dreieck  

KonstruktionsplanBearbeiten

 
Konstruktion mit Hilfsdreieck AB1C1, Animation siehe
  1. Bezeichne die Höhen unter Berücksichtigung, dass   nicht länger als   ist.
  2. Zeichne eine Gerade   und bestimme darauf den ersten Eckpunkt   des späteren Dreiecks.
  3. Errichte eine Senkrechte zur Gerade   im Punkt   und übertrage darauf die Höhe   als Strecke   ab.
  4. Konstruiere eine Parallele   zur Gerade   durch den Punkt  
  5. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt   mit dem Radius gleich der Höhe   er schneidet die Gerade   im Punkt  
  6. Verbinde den Punkt   mit dem Punkt  
  7. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt   mit dem Radius gleich der Höhe  
  8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke   im Punkt   sie erzeugt den Schnittpunkt   auf dem Kreisbogen mit Radius gleich der Höhe  
  9. Zeichne eine Parallele zur Strecke   ab dem Punkt   bis zur Gerade   es ergibt sich der Schnittpunkt  
  10. Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt   mit dem Radius gleich der Höhe   es ergibt sich der Schnittpunkt   auf dem Kreisbogen mit dem Radius gleich der Höhe   somit sind die drei Eckpunkte des Hilfsdreiecks   bestimmt.
  11. Zeichne eine Gerade ab dem Punkt   durch den Punkt   bis auf die Gerade   es ergibt sich der Schnittpunkt   Der Punkt   ist der zweite Eckpunkt des späteren Dreiecks.
  12. Verbinde den Punkt   mit dem Punkt  
  13. Zeichne eine Parallele zur Strecke   ab dem Punkt   bis auf die Gerade   es ergibt sich der Schnittpunkt   Der Punkt   ist der dritte Eckpunkt des Dreiecks.
  14. Verbinde den Punkt   mit dem Punkt   somit ist das Dreieck   konstruiert.

BeweisBearbeiten

 
Beweis des Hilfsdreiecks

Seitenlängen des HilfsdreiecksBearbeiten

Für die Seitenlängen des Hilfsdreiecks   ergibt sich:

  (Konstruktionsplan, 5.)

  (Konstruktionsplan, 10.)

Die Dreiecke   und   sind zueinander ähnlich, da sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Daraus folgt   und weiter

 

Seitenverhältnisse im HilfsdreieckBearbeiten

Aus dem letzten Abschnitt folgt unmittelbar:

 

 

Übergang zum Dreieck  Bearbeiten

Wegen der Parallelität von   und   (Punkt 13. des Konstruktionsplans) sind die Dreiecke   und   zueinander ähnlich. Somit erhält man für die Seitenverhältnisse im Dreieck  :

 

 

Berücksichtigt man, dass die Höhen umgekehrt proportional zu den Seiten sind, so erhält man daraus:

 

 

Wegen übereinstimmender Seitenverhältnisse kann man daraus schließen, dass das konstruierte Dreieck   zum gesuchten Dreieck ähnlich ist.

Da der Abstand zwischen den Geraden   und   gleich   ist (Konstruktionsplan, 3.), hat die Höhe   den richtigen Wert, das heißt das konstruierte Dreieck ist nicht nur ähnlich, sondern sogar kongruent zum gesuchten Dreieck.

Berechnung der Dreiecksseiten und des FlächeninhaltsBearbeiten

 
Berechnung

1. Dreieck  

1.1  

2. Dreieck  

2.1  

3. Hilfsdreieck  

3.1 Bezeichnungen:
 
 
 
 
3.2 Kosinussatz:  
3.3 Folgerung:  
Durch Erweitern mit   ergibt sich daraus
 .
3.4  
 
 
 
 
3.5  

4. Ähnliche Dreiecke:  

4.1  
 

5. Dreieck  

5.1 Einsetzen des Rechenausdrucks für   in die letzte Gleichung ergibt die Seitenlänge  :
 
 

Entsprechend erhält man die beiden anderen Seitenlängen:

5.2  
5.3  
5.4 Der Flächeninhalt ergibt sich daraus gemäß der Formel  :
 

Dreieckskonstruktion, 4. MöglichkeitBearbeiten

Nachfolgend wird eine relativ einfache Form der Konstruktion aus den drei Höhen erläutert. Diese Lösung kommt ohne jede Vorberechnung aus. Die als   gewählte Höhe sollte kleiner als   sein.


1. Konstruiere das gleichschenklige   nach dem Kongruenzsatz SSS aus den Seitenlängen   (2 mal) und  

2. Trage auf den beiden Strecken   jeweils die Strecke   von Punkt   ab. Man erhält die Punkte   und  

3. Die Verbindung der beiden Endpunkte   und   ergibt die Strecke  

4. Schlage einen Kreisbogen mit dem Radius   um den Punkt  

5. Schlage einen weiteren Kreisbogen mit dem Radius   um den Punkt  

6. Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ergibt den Dreieckspunkt  

7. Zeichne eine parallele Strecke zu   im Abstand   von Punkt  

8. Zeichne eine Strecke von   über   hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt   des gesuchten Dreiecks

9. Zeichne eine Strecke von   über   hinaus. Der Schnittpunkt mit der vorherigen Parallelen ergibt Punkt   des gesuchten Dreiecks

10. Damit ist das   konstruiert

WeblinksBearbeiten



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