Mathematik: Algebra: Gruppentheorie


GrundbegriffeBearbeiten

Mengen und AbbildungenBearbeiten

Einige Begriffe und Definitionen werden im Weiteren vorausgesetzt, diese sind Bestandteil anderer mathematischer Bereiche und wurden im Zuge des Wikibooks-Projektes schon erklärt. Deshalb befindet sich hier nur eine Auflistung mit Verweisen auf die entsprechenden Bücher.

MagmaBearbeiten

Definition:

Wenn in einer nichtleeren Menge   eine Verknüpfung   existiert, durch die jedem Paar   ein eindeutig bestimmtes Element   als Ergebnis dieser Verknüpfung zugeordnet wird, heißt das Paar   ein Magma oder Gruppoid (Abgeschlossenheit). Die Menge   selbst wird in diesem Zusammenhang auch Magma genannt.


Beispiel:

  • Die natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung,  .


Definition:

Ein Element   eines Magmas   heißt linksneutral (bzw. rechtsneutral), wenn es folgende Eigenschaft erfüllt:
  •   ( bzw.  ).
Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsneutral ist, wird auch neutrales Element genannt.

HalbgruppeBearbeiten

Definition:

Eine Halbgruppe   ist ein Magma, in dem die Verknüpfung assoziativ ist, d.h.
  • (A)  


Beispiele:

  •   und   sind Halbgruppen.
  •   und   sind Halbgruppen.
  • Entsprechend sind auch   und   Halbgruppen.
  • Für eine beliebige Menge   bildet die Menge aller Teilmengen von  , die Potenzmenge von X,  , mit der Vereinigung von Mengen   und mit dem Durchschnitt von Mengen   Halbgruppen,   und  .


Satz:

Besitzt eine Halbgruppe   sowohl ein linksneutrales Element   als auch ein rechtsneutrales Element   so stimmen diese Elemente überein, d.h.  .

Beweis:

Nach Voraussetzung gilt:   und   für alle  .Also gilt insbesondere:   nach den Voraussetzungen.  

MonoidBearbeiten

Definition:

Eine Halbgruppe   heißt Monoid, wenn sie ein neutrales Element besitzt, d.h.:
  • (N) es existiert ein Element  , so daß für alle Elemente   gilt:  .


Beispiele:

  •   ist ein Monoid, mit   als neutralem Element,   ist kein Monoid.
  • Die Menge   aller Abbildungen einer Menge   in sich bildet mit der Hintereinanderausführung   ein Monoid,  . Das neutrale Element ist die identische Abbildung  .

GruppeBearbeiten

Definition:

Ein Tripel   heißt Gruppe, wenn   eine Halbgruppe ist, zusammen mit einem ausgezeichneten Element   und falls gilt:
  • (N) Das Element   ist linksneutrales Element der Gruppe, d.h. es gilt   für alle  
  • (I) Zu jedem   gibt es ein Element  , das linksinverse Element zu  , mit der Eigenschaft  
Gilt darüber hinaus das Kommuntativgesetz
  • (K)   für alle  
dann heißt die Gruppe eine kommutative Gruppe (auch abelsche Gruppe).
Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was das (links-)neutrale Element ist, so schreibt man für die Gruppe auch   bzw. auch nur  . Bei abelschen Gruppen wird meist die additive Schreibweise verwendet, also  . Entsprechend die   als Symbol für das neutrale Element und   für das Inverse eines Elementes  . Bei multiplikativer Schreibweise der Gruppe   wird ganz analog die   für das neutrale Element geschrieben und   für das Inverse eines Elementes  .
Das neutrale Element spielt hier die gleiche Rolle wie die Null bei der Zahlenaddition oder die Eins bei der Multiplikation (deshalb auch Nullelement oder Einselement)


Beispiel:

  •   (eigentlich:  ) ist eine Gruppe.
  • Ebenso bilden   und   eine Gruppe.
  • Die Menge   aller bijektiven Abbildungen einer Menge   in sich bildet mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe, die symmetrische Gruppe  .

Gegenbeispiel:

  •   und   bilden keine Gruppe.
  • Falls die Menge   mindestens zwei Elemente besitzt, ist   keine Gruppe.


Satz:

Es gibt in der Gruppe   genau ein neutrales Element   und für dieses gilt  

Das inverse Element   zu einem beliebigen Element   ist eindeutig bestimmt und es gilt  .

Beweis:

Sei   beliebig,   linksinvers zu   und   linksinvers zu  .
Dann gilt, und zwar nacheinander wegen (N), (I), (A), (I), (A), (N) und wieder (I)
 ,
also  .
Weiter gilt nach (I), (A), dem eben Bewiesenen und (N)
 ,
also  .
Ist jetzt   ebenfalls linksneutral, so folgt weiter  .
Ist schließlich   ebenfalls linksinvers zu  , so
 .  


Satz:

Seien  , so sind die Gleichungen
(1)  
(2)  
eindeutig lösbar.

Beweis:

Existenz:
Die Elemente   und   erfüllen die Gleichungen, wegen   und  .
Eindeutigkeit:
Umgekehrt folgt aus   auch
 
bzw. aus  
 
Somit sind die Lösungen zu (1) und (2) auch eindeutig.  


Bemerkung:

  • Im Allgemeinen sind die Lösungen der beiden Gleichungen im vorhergehenden Satz verschieden. In abelschen Gruppen hingegen sind sie immer gleich.
  • Gruppen lassen sich auch als Halbgruppen definieren, in denen jede Gleichung (1) und (2) eine Lösung besitzt.

Definition:

Ist   eine Halbgruppe und  , so definieren wir   und rekursiv  . Ist   ein Monoid, definieren wir weiter  . Ist   sogar Gruppe, so definieren wir für   weiter   als das Inverse von  .
Falls   additiv geschrieben wird, schreiben wir   statt  .

Bemerkung:

  • Da hiernach   das Inverse zu   ist, besteht kein Konflikt mit der entsprechenden oben gewählten Schreibweise für Inverse.
  • Man weist per Induktion unter Benutzung der Assoziativität leicht nach, dass   gilt, soweit   und   definiert sind. Entsprechend gilt auch  .

Ordnung einer GruppeBearbeiten

Definition:

Eine Gruppe  , die aus endlich vielen Elementen besteht, heißt endlich.


Definition:

Die Anzahl der Elemente einer Gruppe  , ihre Mächtigkeit  , bezeichnet man als die Ordnung der Gruppe.
Hat   unendlich viele Elemente, so setzt man  .

Beispiele für Gruppen, GruppentabellenBearbeiten

Permutationen

Für eine Menge   bildet die Menge aller bijektiven Abbildungen der Menge in sich, mittels der Hintereinanderausführung   als Verknüpfung, eine Gruppe, gennant die symmetrische Gruppe  .
Ist   die  -elementige Menge  , so schreibt man auch gerne  .

Gruppenhomomorphismen, strukturerhaltende AbbildungenBearbeiten

Sobald man Mengen mit einer Struktur versehen hat, wie es hier für Magmen etc. geschehen ist, wird es interessant, verschiedene Exemplare solcher Strukturen miteinander zu vergleichen. Dies geschieht vor allem, indem man Abbildungen zwischen den Mengen betrachtet, die die Struktur respektieren. Der allgemeine Begriff hierzu ist der Homomorphismus.


Definition:

Seien   und   Magmen, dann nennt man eine Abbildung   einen Magmahomomorphismus von   nach  , wenn für alle   gilt:
  •  .
Für das Abbild eines Elementes   unter   schreibt man gewöhnlich   oder   und spricht vom Bild von   unter  .
Sind   und   sogar Halbgruppen, so heißt   Halbgruppenhomomorphismus.
Sind   und   sogar Monoide, so heißt ein Magmahomomorphismus   Monoidhomomorphismus, falls er zusätzlich das neutrale Element   auf das neutrale Element   abbildet, also
  •  
Sind   und   Gruppen, so heißt ein Monoidhomomorphismus   Gruppenhomomorphismus), wenn er zusätzlich die Inversenrelation respektiert, d.h.
  •   für alle  .
Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch vereinfachend von Homomorphismus.


Beispiele:

  • Die Exponentialfunktion   ist ein Homomorphismus.

Notation:

Für Homomorphismen mit speziellen Eigenschaften haben sich besondere Bezeichnungen durchgesetzt. So bezeichnet man injektive Homomorphismen als Monomorphismen, surjektive Homomorphismen als Epimorphismen und bijektive Homomorphismen als Isomorphismen. Homomorphismen eines Objekts in sich nennt man Endomorphismen, bijektive Endomorphismen, also Isomorphismen eines Objekts in sich heißen Automorphismen.

Satz:

Jeder Magmahomomorphismus   zwischen zwei Gruppen   und   ist bereits ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis:

Wegen   folgt  .
Wegen   folgt weiter  .  .

Bemerkung:

  • Sei   ein Monoid. Dann ist   ein Magmahomomorphismus von   nach  , der jedoch das neutrale Element von   nicht auf das von   (also auf die  ) abbildet. Ein entsprechender Satz gilt für Monoidhomomorphismen daher nicht, für diese muss   jeweils nachgewiesen werden.

Beispiele:

  • Ist   eine Gruppe und  , so ist   ein Endomorphismus von  , denn  . Die Abbildung heißt auch Konjugation mit  .


Satz:

Sind   und   Homomorphismen, so ist die Hintereinanderausführung   ein Homomorphismus.

Beweis:

Für   folgt  .
Falls Monoide betrachtet werden, braucht man noch  .  

Satz:

Ist   ein Homomorphismus, so ist   ein Isomorphismus genau dann, wenn ein Homomorphismus   mit   und   existiert.
In dem Fall ist   ebenfalls ein Isomorphismus.

Beweis:

Existiert ein Homomorphismus   mit den genannten Eigenschaften, so ist   offenbar bijektiv und somit ein Isomorphismus.
Sei nun   ein Isomorphismus. Da   bijektiv ist, können wir   zunächst als Abbildung definieren, indem   zu gegebenem   als dasjenige eindeutig bestimmte   definiert wird, für das   gilt.
Dann sind   und   offensichtlich die jeweiligen identischen Abbildungen. Sei jetzt  . Dann gilt  , also  . Falls Monoide betrachtet werden, ist wegen   noch klar, dass   gilt. Also ist   ein Homomorphismus und in der Tat, weil bijektiv, sogar ein Isomorphismus.  

Bemerkung:

In allgemeineren Zusammenhängen definiert man Isomorphismus über die im Satz genannte Eigenschaft statt über Bijektivität.

Beispiele:

  • Ist   eine Gruppe und  , so rechnet man leicht nach, dass   gilt. Insbesondere folgt zu   sofort  , d.h. Konjugation mit einem Gruppenelement ist ein Automorphismus. Ein Automorphismus dieser Form wird auch innerer Automorphismus genannt.

Satz:

Ist   eine Gruppe so bildet die Menge   aller Endomorphismen von   mit der Hintereinanderausführung (oder Komposition) als Verknüpfung ein Monoid mit der identischen Abbildung als neutralem Element. Die Menge   aller Automorphismen bildet eine Gruppe.

Beweis:

Für komponierbare Abbildungen gilt grundsätzlich  , denn für jedes   aus dem Definitionsbereich liefern beide Seiten  . Die Komposition von Endomorphismen ist außerdem ein Endomorphismus. Da schließlich die identische Abbildung   ein Endomorphismus ist und neutral bezüglich der Komposition wirkt, ist   folglich ein Monoid.
Die Komposition bijektiver Abbildungen ist wiederum bijektiv, so dass   abgeschlossen bezüglich der Komposition ist. Die identische Abbildung ist wieder neutrales Element und laut dem vorhergehenden Satz existiert zu jedem Automorphismus ein inverser Automorphismus.  

Operation von GruppenBearbeiten

Definition: Ist   ein Monoid und   eine Menge und   ein Monoidhomomorphismus mit  , so sagt man   operiert (von links) auf der Menge   und schreibt auch   oder, sofern keine Verwechselungsgefahr besteht,   statt  . Trägt   dagegen eine zusätzliche (algebraische) Struktur (ist z.B. eine Gruppe), so spricht man oft nur dann von einer Operation, wenn   ein Monoidhomomorphismus von   nach   ist.

Beispiele:

  • Ist   ein Monoid, so operiert   auf der Menge   durch Linksmultiplikation:  .
  • Ist   eine Gruppe, so operiert   auf der Gruppe   durch Konjugation:  . Für diese Operation benutzt man manchmal auch die Schreibweise   für  ; damit gilt  .

Bahnen, Fixpunkte und StabilisatorenBearbeiten

Definition: Die Gruppe   operiere auf der Menge   und es sei  .

  • Die Menge   heißt die Bahn oder der Orbit von  .
  • Die Operation heißt transitiv, wenn zu   stets ein   mit   existiert.
  • Enthält die Bahn von   nur  , so heißt   Fixpunkt.
  • Die Menge   heißt Stabilisator von  

Satz: Operiert die Gruppe   auf der Menge   und ist   eine Bahn, so operiert   durch Einschränkung auch auf   und diese Operation ist transitiv.

Beweis: Sei   eine Bahn, etwa   mit  . Sind dann   und   beliebige Elemente von  , so ist einerseits für   auch  , andererseits gilt  .  

Korollar: Operiert die Gruppe   auf der Menge  , so sind zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt. Die Bahnen bilden also eine Partition von  .

Beweis: Seien   zwei nicht disjunkte Bahnen und etwa  . Dann ist einerseits  , da   transitiv auf   operiert, ebenso jedoch auch  .  

UnterstrukturenBearbeiten

UntergruppenBearbeiten

Definition:

Eine nichtleere Teilmenge   einer Gruppe  , die Bezüglich der Verknüpfung   wieder eine Gruppe ist, heißt Untergruppe. Man schreibt dann auch  .


Satz (Untergruppenkriterium): Eine nichtleere Teilmenge   einer Gruppe   ist genau dann eine Untergruppe, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

  •  
  •  

Beweis:

Ist   eine Untergruppe von  , so beachte man, dass die Inklusionsabbildung   ein Gruppenhomomorphismus ist.

.Folglich ist das neutrale Element von   auch das von  . .Ebenso ergibt sich, dass die Inversenbildung in   mit der in   übereinstimmt, so dass die Untergruppe   wegen der Abgeschlossenheit und der Existenz der Inversen natürlich die beiden Eigenschaften erfüllt.

Sei nun andererseits   eine nichtleere Teilmenge mit den angegebenen Eigenschaften. Dann erfüllt   mit der auf   definierten Verknüpfung   die Abgeschlossenheit wegen der ersten Eigenschaft, und da die Verknüpfung auf ganz   assoziativ ist, also auch auf  , erfüllt   auch die Assoziativität bzgl.  .

.Da  , existiert mindestens ein   und wegen der zweiten Eigenschaft liegt auch das Inverse   zu   in  . .Also liegt auch   in   und spielt natürlich auch für   die Rolle eines neutralen Elements. Schließlich enthält   wegen der zweiten Eigenschaft mit jedem Element auch dessen Inverses. .  erfüllt also alle Gruppeneigenschaften und ist somit eine Untergruppe von  .  


Satz (Variante des Untergruppenkriteriums): Eine nichtleere Teilmenge   einer Gruppe   ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

  •  .

Beweis:

Ist   eine Untergruppe von  , dann erfüllt sie wegen der Abgeschlossenheit und der Existenz der Inversen natürlich das Kriterium.
Sei nun   eine nichtleere Teilmenge von  , die das Kriterium erfüllt. Sind   und   beliebige Elemente von  , so liegen folglich auch   und   in  . Nach dem vorhergehenden Satz ist   somit eine Untergruppe  


Beispiele:

  • Die Untergruppe   und die einelementige Untergruppe   bilden Untergruppen, die trivialen Untergruppen, von  .
  • Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen.
  •  .
  • Für jede Gruppe   ist die Menge   der inneren Automorphismen eine Untergruppe von  . Dies folgt aus  .


Korollar: Sei   eine Gruppe,   und  . Dann gilt:

  •  .

Die Relation Untergruppe zu sein ist also transitiv.

Beweis:

Sei also   eine Gruppe und es gelte   und  . Dann ist wegen   nach Voraussetzung   eine nichtleere Teilmenge von  . Und nach Voraussetzung auch eine Gruppe, also definitionsgemäß eine Untergruppe von  .  

Korollar: Der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen   einer Gruppe   ist wieder eine Untergruppe von  , d.h.  .

Beweis:

Sei   eine Gruppe,   für alle   und  . Dann ist   da   für alle  , insbesondere gilt also  .
Seien nun   beliebig, dann sind   für alle  also auch   für alle   nach dem Untergruppenkriterium liegt dann auch   für alle   und somit letztlich auch im Durchschnitt  .   erfüllt also das Untergruppenkriterium, d.h.  .  


Definition:

Für eine Teilmenge   einer Gruppe   definiert man die von   erzeugte Untergruppe   als den Durchschnitt aller   enthaltenden Untergruppen.
Ist   schreibt man auch verkürzend   statt  .

Bemerkung:

  • Da dieser Durchschnitt ebenfalls   enthält und eine Untergruppe ist, ist   offenbar die kleinste   enthaltende Untergruppe.
  • Diese Definition ermöglicht es nun die von den einzelnen Elementen erzeugten Untergruppen zu betrachten, und so den Ordnungsbegriff von Gruppen auf die Elemente der Gruppen zu übertragen.


Definition:

Eine Gruppe   heißt endlich erzeugt, wenn sie von einer endlichen Menge erzeugt wird, d.h. wenn   für eine endliche Menge  
Eine Gruppe   heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird, d.h. wenn   für ein   gilt. Als Ordnung eines Elementes   bezeichnet man die Ordnung der von   erzeugten Untergruppe  . Es gilt somit  . Besonders hervorzuheben sind Elemente der Ordnung 2, sie werden als Involution bezeichnet.


Beispiele:

  •   und   sind beide zyklisch und es ist  .


Satz (Untergruppenkriterium für endliche Gruppen): Eine nichtleere Teilmenge   einer endlichen Gruppe   ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

  •  .

Bei endlichen Gruppen ist also jede bzgl. der Gruppenverknüpfung abgeschlossene nicht-leere Teilmenge eine Untergruppe.

Beweis:

Sei   eine endliche Gruppe, und  . Dann folgt das Kriterium wie im vorvorigen Satz.
Sei nun   eine endliche Gruppe und   nicht leer und erfülle das Kriterium. Sei   beliebig. Die Menge   aller Potenzen von   ist laut Kriterium eine Teilmenge von  . Da sie endlich ist, gibt es zwei natürliche Zahlen   mit  . Mit   ist dann auch  . Ist jetzt  , so   und somit auch  . Ansonsten folgt  . Es folgt also auf jeden Fall   und nach dem vorvorigen Satz somit  .  


Korollar: Sei   eine Gruppe,  . Dann ist   die Menge aller endlichen Produkte von Elementen und Inversen von Elementen von  .

Beweis:

Die Menge   aller endlichen Produkten von Elementen und Inversen von Elementen von   ist nicht leer (enthält nämlich  ) und abgeschlossen gegen Produkt- und Inversenbildung, folglich gilt  , also  .
Umgekehrt enthält   alle Elemente von   sowie deren Inversen und, wie per Induktion über die Anzahl der Faktoren folgt, auch alle endlichen Produkte hiervon.  

Satz: Die Gruppe   operiere auf der Mange  . Dann ist für jedes   der Stabilisator von   eine Untergruppe von  .

Beweis:

Sei  . Wegen   ist   nicht leer. Sind  , so folgt auch   und  . Somit gilt  .  

Korollar: Jede endliche Gruppe gerader Ordnung besitzt eine Involution.

Beweis:

Sei   eine Gruppe. Dann operiert die zyklische Gruppe   der Ordnung 2 auf der Menge  , indem das nicht-neutrale Element von   jedes Element von   auf sein Inverses abbildet.
Fixpunkte der Operation sind genau   und alle Involutionen, alle anderen Bahnen haben die Länge 2.
Ist jetzt   endlich und besitzt keine Involution, so ist die Ordnung von   folglich ungerade, da   in eine einelementige und ansonsten lauter zweielementige Bahnen zerfällt.
Umgekehrt enthält also eine endliche Gruppe gerader Ordnung mindestens eine Involution.  

NebenklassenBearbeiten

Definition:

Sei   eine Gruppe und es seien   und   beliebige Teilmengen von  . Unter dem Produkt   versteht man die Menge  . Statt   und   schreibt man auch   bzw.  .

Bemerkungen:

  • Auf diese Weise ergibt sich ein Monoid   mit neutralem Element  .
  • Ist  , so gilt  . Die Umkehrung gilt nicht:   könnte auch ein Monoid sein.

Satz: Ist   eine Gruppe, so operiert   auf der Menge   von links vermöge   für  . Eine weitere Operation ist durch   gegeben.

Beweis: klar.  


Definition:

Es sei   eine Untergruppe von   und  . Dann heißt:
  eine Linksnebenklasse von   und
  eine Rechtsnebenklasse von  .
Die Menge der Linksnebenklassen wird mit   bezeichnet, die der Rechtsnebenklassen mit  .

Satz: Ist  , so sind zwei Linksnebenklassen entweder gleich oder disjunkt. Ebenso sind zwei Rechtsnebenklassen entweder gleich oder disjunkt.

Beweis:

  operiert auf (der Menge)   durch   bzw.  . Die Bahn von   unter dieser Operation ist gerade   bzw.  . Die Behauptung folgt aus der entsprechenden Aussage über Bahnen.  

Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden also eine Partition von  .

Satz, Definition: Ist  , so wird durch   wird eine Bijektion   definiert. Es ist also  . Die Anzahl der (Rechts- oder Links-) Nebenklassen heißt der Index von   in  .

Beweis:

Es wird die Nebenklasse   auf   abgebildet.  

Satz: Ist  , so operiert   auf der Menge der Linksnebenklassen vermöge   und auf den Rechtsnebenklassen vermöge  

Beweis:

Dies sind dieselben Operation wie auf  , d.h. es ist nur zu zeigen, dass Nebenklassen auf Nebenklassen abgebildet werden. Das ist jedoch klar.  

Satz von LagrangeBearbeiten

Satz: Die Gruppe   operiere auf der Menge   und es sei  . Dann ist   endlich genau dann, wenn   und   endlich sind. In dem Falle gilt weiter  

Beweis:

Falls   oder   unendlich sind, ist klar, dass auch   unendlich ist. Sei daher   und  . Ist  , so ist   eine Abbildung von   nach   mit Umkehrabbildung  . Also ist  . Da   die disjunkte Vereinigung aller   ist, wenn   über ganz   läuft, folgt die Behauptung.


Satz (Lagrange): Ist   eine endliche Gruppe und  , so ist  . Insbesondere sind die Ordnung einer Untergruppe und die Anzahl ihrer Nebenklassen Teiler der Gruppenordnung.

Beweis:

Wende den vorhergehenden Satz an auf die Operation von   auf den Nebenklassen durch Links- (bzw. Rechts-)Multiplikation. Man muss nur beachten, dass der Stabilisator der Nebenklasse   gerade   ist und dass die Operation transitiv ist, d.h. die Bahn einer Nebenklasse umfasst sämtliche Nebenklassen.  

NormalteilerBearbeiten

Definition: Ein Normalteiler (oder normale Untergruppe)   ist eine Untergruppe einer Gruppe   für die gilt:

  und  

Es sind also genau die Untergruppen, die unter den inneren Automorphismen invariant sind.

Beispiele:

  •   ist ein Normalteiler von  , denn man rechnet leicht nach, dass für   und   stets   gilt.

Satz: Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler, wenn die Rechtsnebenklasse und die Linksnebenklasse identisch sind.

Beweis:

Ist   Normalteiler,   eine Linksnebenklasse und   ein beliebiges Element hiervon, so gilt auch  , also  . Ebenso zeigt man  , also  .
Stimmen umgekehrt Rechts- und Linksnebenklassen überein, gibt es also zu jedem   ein   mit  , so gilt wegen   sogar  . Somit gibt es zu   auch ein   mit  , also  .  

Korollar: Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler.

Beweis:

Es gibt genau zwei Linksnebenklassen   und   für ein  , ebenso zwei Rechtsnebenklassen   und  .
Da   jeweils deren disjunkte Vereinigung ist, folgt  .  

Satz: Ist   ein Normalteiler, so ist das Produkt zweier Nebenklassen wieder eine Nebenklasse

Beweis:

In der Tat ist  .

Definition:

Für einen Homomorphismus   von Gruppen bezeichnet man die Menge   als den Kern von   und die Menge   als das Bild von  . Der Kern eines Homomorphismus beinhaltet also alle Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden und das Bild eines Homomorphismus ist die Menge aller Bilder von Elementen aus  .

Satz:

Ist   ein Homomorphismus von Gruppen, so ist   ein Normalteiler von   und   Untergruppe von  .

Beweis:

Wegen   ist   nicht leer. Sind  , so wegen   auch  . Nach dem Untergruppenkriterium ist also  . Ebenso ist   nicht leer und mit   und   ist auch   in   und folglich  .
Um einzusehen, dass   sogar Normalteiler ist, beachte man, dass für   und   gilt:  .  

Satz: Ein Gruppenhomomorphismus   ist genau dann injektiv, wenn  .

Beweis:

Ist   injektiv, so kann   nicht mehr als das neutrale Element enthalten. Sei umgekehrt  . Dann folgt aus   stets  , also   und schließlich  .  

FaktorgruppenBearbeiten

Satz, Definition: Es sei   eine Gruppe und es sei   ein Normalteiler der Gruppe  ,

Die Menge der Nebenklassen   mit dem Produkt   als Operation ist eine Gruppe, die Faktorgruppe von   nach  , geschrieben   bzw.  .

Die Abbildung   ist ein Gruppenhomomorphismus und heißt kanonischer Hommorphismus auf die Faktorgruppe. Sein Kern ist  .

Hierbei ist zu beachten, das   in   nicht dasselbe bedeutet, wie   in  .

Beweis:

Wegen   ist   unter Multiplikation abgeschlossen, insbesondere ist   und  . Die Assoziativität gilt bereits allgemein in dem Monoid  . Somit ist   in der Tat eine Gruppe.
Dass   ein Homomorphismus ist, ist wieder eine unmittelbare Folge der Gleichheit  . Da   genau für   gilt, folgt die Aussage über den Kern.

Da wir bereits gesehen haben, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus immer ein Normalteiler ist, ergibt sich auf diese Weise eine anderer Charakterisierung von Normalteilern: Normalteiler sind genau die Kerne von Homomorphismen.

Zentrum einer GruppeBearbeiten

Definition: Das Zentrum   einer Gruppe   ist die Menge  

Das ganze ist natürlich nur für nicht-kommutative Gruppen interessant, da für kommutative Gruppen stets   gilt.

Satz:   ist ein Normalteiler von  

Beweis   ist genau der Kern des Homomorphismus  .  

Direktes Produkt von GruppenBearbeiten

Definition: Sind   und   Gruppen, so ist auf   durch  , also durch komponentenweise Verknüpfung, eine Gruppenverknüpfung gegeben. Die Gruppe   heißt das (äußere) direkte Produkt von   und  .


StruktursätzeBearbeiten

Inneres direktes ProduktBearbeiten

Satz: Sei   eine Gruppe und seien   Untergruppen mit:

  •   für alle  
  •  
  •  

Dann ist die Abbildung   ein Isomorphismus,   also isomorph zum direkten Produkt von   und  .   heißt dann inneres direktes Produkt von   und  .

Beweis: Wegen der ersten Forderung gilt:   und damit ist   ein Gruppenhomomorphismus, und zwar, wegen des zweiten Punktes, ein surjektiver. Sei nun  . Dann ist  . Also ist der Kern trivial und   injektiv und somit ein Isomorphismus.

erster IsomorphiesatzBearbeiten

Es seien   eine Gruppe,   ein Normalteiler in  , und   eine Untergruppe von  . Dann ist auch das Produkt   eine Untergruppe von  ;   ist ein Normalteiler in   und die Gruppe   ist ein Normalteiler in  . Es gilt:

 

Dabei bezeichnet   die Isomorphie von Gruppen.

zweiter IsomorphiesatzBearbeiten

Es seien   eine Gruppe,   ein Normalteiler in   und   eine Untergruppe von  , die Normalteiler in   ist. Dann gilt:

  •  

Satz von CauchyBearbeiten

Sei   eine endliche Gruppe und   eine Primzahl, welche die Ordnung   der Gruppe teilt. Es gibt ein   mit    .

Sätze von SylowBearbeiten

Definition

  sei eine Primzahl
Man nennt eine endlich Gruppe  -Gruppe genau dann, wenn es ein   gibt so, dass  

Definition

Sei   eine endliche Gruppe und   eine Primzahl.
Sei   mit  
eine Untergruppe   nennt man eine
 -Untergruppe, wenn   mit  
 -Sylowuntergruppe, wenn  
Eine  -Sylowuntergruppe ist also die  -Untergruppe von maximaler Ordnung.

Satz

  1.   hat eine Untergruppe der Ordnung  .
  2. Sei   eine  -Sylowuntergruppe. Dann enthält   von jeder Untergruppe  , die  -Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein   mit  .
  3. Die Anzahl der  -Sylow-Gruppen ist ein Teiler von   und von der Form   mit  .

AutomorphismenBearbeiten

Spezielle GruppenBearbeiten

Isometrien des dreidimensionalen RaumesBearbeiten

Die Isometrien des   (oder auch jedes anderen metrischen Raumes) bilden mit Hintereinanderausführung eine Gruppe. Eine wichtige Untergruppe hiervon sind diejenigen Isometrien, die den Ursprung festhalten. Diese Gruppe wird orthogonale Gruppe genannt und mit   bezeichnet. Eine Untergruppe hierin ist die spezielle orthogonale Gruppe   der orientierungserhaltenden Elemente von  . Es ist   ein Normalteiler von   vom Index 2.

Ebenso, wie die   dadurch innerhalb der Isometrien dadurch eingegrenzt wurde, dass ihre Elemente den Ursprung invariant lassen, kann man auch andere Teilmengen des   betrachten und überlegen, welche Bewegungen diese   (ggf. orientierungstreu) invariant lassen. Meist ist hierbei   ein Polyeder. Die betrachteten Gruppen operieren dann auf der Menge der Ecken von   und lassen sich auf diese Weise als Untergruppen von Permutationsgruppen auffassen.

Permutationsgruppen / symmetrische GruppenBearbeiten

Ist   eine endliche Menge, so heißt jede bijektive Abbildungen von   auf sich auch Permutation, die Gruppe dieser Abbildungen Permutationsgruppe. Im Fall von   wird die Gruppe mit   bezeichnet (Symmetrische Gruppe). Die Gruppe   enthält genau   Elemente.

Elemente von  

Element   kann als Wertetabelle geschrieben werden

 

Andere Schreibweise: Produkt disjunkter Zyklen

DiedergruppenBearbeiten

Sei   ein reguläres  -Eck,  . Die Menge aller Isometrien des  , die   invariant lassen heißt dann eine Diedergruppe. Je zwei solche Gruppen sind (bei gleichem Wert von  ) isomorph. Ein beliebig gewählter Vertreter dieser Isomorphieklasse wird mit   bezeichnet. Die Diedergruppe permutiert die Ecken von   und kann dadurch als Untergruppe von   aufgefaßt werden. Als solche wird   erzeugt von   und  . Die orientierungstreuen Abbildungen bilden einen zyklischen Normalteiler.

allgemeine lineare GruppeBearbeiten

Die allgemeine lineare Gruppe ist auf den invertierbaren  ) Matrizen definiert und damit auf den ihr zugrundeliegenden Isomorphismen. Die Gruppenverknüpfung der allgemeinen linearen Gruppe ist die Matrizenmultiplikation, die Bezeichnung   beschreibt die Größe der Matrizen und den zugrundeliegenden Körper K.

TetraedergruppenBearbeiten

OktaedergruppenBearbeiten

IkosaedergruppenBearbeiten

Die BewegungsgruppenBearbeiten