Mathematik: Algebra: Gruppentheorie

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Grundbegriffe

Mengen und Abbildungen

Einige Begriffe und Definitionen werden im Weiteren vorausgesetzt, diese sind Bestandteil anderer mathematischer Bereiche und wurden im Zuge des Wikibooks-Projektes schon erklärt. Deshalb befindet sich hier nur eine Auflistung mit Verweisen auf die entsprechenden Bücher.

• etwas Aussagenlogik und übliche mathematische Notationen wie z.B. Quantoren.
• Mengen
• Abbildungen (auch Funktionen)
• Eigenschaften von Abbildungen wie Injektivität, Surjektivität, Bijektivität.
• Relationen (insbesondere Äquivalenzrelationen).
• Partitionen

Magma

Definition:

Wenn in einer nichtleeren Menge $G\,$ eine Verknüpfung $\circ$ existiert, durch die jedem Paar $a,b\in G$ ein eindeutig bestimmtes Element $a\circ b\in G$ als Ergebnis dieser Verknüpfung zugeordnet wird, heißt das Paar $(G,\circ )$ ein Magma oder Gruppoid (Abgeschlossenheit). Die Menge $G\,$ selbst wird in diesem Zusammenhang auch Magma genannt.

Beispiel:

• Die natürlichen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung, $(\mathbb {N} ,+)$.

Definition:

Ein Element $e\,$ eines Magmas $G\,$ heißt linksneutral (bzw. rechtsneutral), wenn es folgende Eigenschaft erfüllt:

• $\forall _{g\in G}:e\circ g=g$ ( bzw. $\forall _{g\in G}:g\circ e=g$).

Ein Element, das sowohl links- als auch rechtsneutral ist, wird auch neutrales Element genannt.

Halbgruppe

Definition:

Eine Halbgruppe $(G,\circ )$ ist ein Magma, in dem die Verknüpfung assoziativ ist, d.h.

• (A) $\forall _{a,b,c\in G}:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$

Beispiele:

• $(\mathbb {N} ,+)$ und $(\mathbb {N} ,\cdot )$ sind Halbgruppen.
• $(\mathbb {Z} ,+)$ und $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ sind Halbgruppen.
• Entsprechend sind auch $(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {Q} ,\cdot ),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R} ,\cdot ),(\mathbb {C} ,+)$ und $(\mathbb {C} ,\cdot )$ Halbgruppen.
• Für eine beliebige Menge $X\,$ bildet die Menge aller Teilmengen von $X\,$, die Potenzmenge von X, ${\mathcal {P}}(X)$, mit der Vereinigung von Mengen $\cup$ und mit dem Durchschnitt von Mengen $\cap$ Halbgruppen, $({\mathcal {P}}(X),\cup )$ und $({\mathcal {P}}(X),\cap )$.

Satz:

Besitzt eine Halbgruppe $(G,\circ )$ sowohl ein linksneutrales Element $e_{l}\,$ als auch ein rechtsneutrales Element $e_{r}\,$ so stimmen diese Elemente überein, d.h. $e_{l}=e_{r}\,$.

Beweis:

Nach Voraussetzung gilt: $e_{l}\circ g=g$ und $g\circ e_{r}=g$ für alle $g\in G$.Also gilt insbesondere: $e_{l}=e_{l}\circ e_{r}=e_{r}$ nach den Voraussetzungen. $\Box$

Monoid

Definition:

Eine Halbgruppe $(G,\circ )$ heißt Monoid, wenn sie ein neutrales Element besitzt, d.h.:

• (N) es existiert ein Element $e\in G$, so daß für alle Elemente $g\in G$ gilt: $e\circ g=g=g\circ e$.

Beispiele:

• $(\mathbb {N} ,\cdot )$ ist ein Monoid, mit $1\,$ als neutralem Element, $(\mathbb {N} ,+)$ ist kein Monoid.
• Die Menge $X^{X}\,$ aller Abbildungen einer Menge $X\,$ in sich bildet mit der Hintereinanderausführung $\circ$ ein Monoid, $(X^{X},\circ )$. Das neutrale Element ist die identische Abbildung $\operatorname {id} \colon X\rightarrow X,x\mapsto x$.

Gruppe

Definition:

Ein Tripel $(G,\circ ,e)$ heißt Gruppe, wenn $(G,\circ )$ eine Halbgruppe ist, zusammen mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und falls gilt:

• (N) Das Element $e$ ist linksneutrales Element der Gruppe, d.h. es gilt $e\circ a=a$ für alle $a\in G$
• (I) Zu jedem $a\in G$ gibt es ein Element $a'\in G$, das linksinverse Element zu $a\in G$, mit der Eigenschaft $a'\circ a=e$

Gilt darüber hinaus das Kommuntativgesetz

• (K) $a\circ b=b\circ a$ für alle $a,b\in G$

dann heißt die Gruppe eine kommutative Gruppe (auch abelsche Gruppe).

Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was das (links-)neutrale Element ist, so schreibt man für die Gruppe auch $(G,\circ )$ bzw. auch nur $G\,$. Bei abelschen Gruppen wird meist die additive Schreibweise verwendet, also $(G,+)\,$. Entsprechend die $0\,$ als Symbol für das neutrale Element und $-a\,$ für das Inverse eines Elementes $a\,$. Bei multiplikativer Schreibweise der Gruppe $(G,\cdot )$ wird ganz analog die $1\,$ für das neutrale Element geschrieben und $a^{-1}\,$ für das Inverse eines Elementes $a\,$.

Das neutrale Element spielt hier die gleiche Rolle wie die Null bei der Zahlenaddition oder die Eins bei der Multiplikation (deshalb auch Nullelement oder Einselement)

Beispiel:

• $(\mathbb {Z} ,+)$ (eigentlich: $(\mathbb {Z} ,+,0)$) ist eine Gruppe.
• Ebenso bilden $(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot ),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot ),(\mathbb {C} ,+)$ und $(\mathbb {C} \setminus \{0\},\cdot )$ eine Gruppe.
• Die Menge $\operatorname {Sym} (X)$ aller bijektiven Abbildungen einer Menge $X\,$ in sich bildet mit der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe, die symmetrische Gruppe $(\operatorname {Sym} (X),\circ )$.

Gegenbeispiel:

• $(\mathbb {N} ,+),(\mathbb {N} ,\cdot )$ und $(\mathbb {Z} \setminus \{0\},\cdot )$ bilden keine Gruppe.
• Falls die Menge $X\,$ mindestens zwei Elemente besitzt, ist $(X^{X},\circ )$ keine Gruppe.

Satz:

Es gibt in der Gruppe $(G,\circ )$ genau ein neutrales Element $e\,$ und für dieses gilt $a\circ e=e\circ a=a$

Das inverse Element $a'\,$ zu einem beliebigen Element $a\in G$ ist eindeutig bestimmt und es gilt $a\circ a'=a'\circ a=e$.

Beweis:

Sei $a\in G$ beliebig, $a'\,$ linksinvers zu $a\,$ und $a''\,$ linksinvers zu $a'\,$.

Dann gilt, und zwar nacheinander wegen (N), (I), (A), (I), (A), (N) und wieder (I)

$a\circ a'=e\circ (a\circ a')=(a''\circ a')\circ (a\circ a')=(a''\circ (a'\circ a))\circ a'=(a''\circ e)\circ a'=a''\circ (e\circ a')=a''\circ a'=e$,

also $a\circ a'=a'\circ a=e$.

Weiter gilt nach (I), (A), dem eben Bewiesenen und (N)

$a\circ e=a\circ (a'\circ a)=(a\circ a')\circ a=e\circ a=a$,

also $a\circ e=e\circ a=a$.

Ist jetzt ${\hat {e}}$ ebenfalls linksneutral, so folgt weiter ${\hat {e}}={\hat {e}}\circ e=e$.

Ist schließlich ${\bar {a}}$ ebenfalls linksinvers zu $a\,$, so

${\bar {a}}={\bar {a}}\circ e={\bar {a}}\circ (a\circ a')=({\bar {a}}\circ a)\circ a'=e\circ a'=a'$. $\Box$

Satz:

Seien $a,b\in G$, so sind die Gleichungen

(1) $x\circ a=b$

(2) $a\circ y=b$

eindeutig lösbar.

Beweis:

Existenz:

Die Elemente $x=b\circ a'$ und $y=a'\circ b$ erfüllen die Gleichungen, wegen $x\circ a=(b\circ a')\circ a=b\circ (a\circ a')=b\circ e=b$ und $a\circ y=a\circ (a'\circ b)=(a\circ a')\circ b=e\circ b=b$.

Eindeutigkeit:

Umgekehrt folgt aus $x\circ a=b$ auch

$x=x\circ e=x\circ (a\circ a')=(x\circ a)\circ a'=b\circ a'$

bzw. aus $a\circ y=b$

$y=e\circ y=(a'\circ a)\circ y=a'\circ (a\circ y)=a'\circ b$

Somit sind die Lösungen zu (1) und (2) auch eindeutig. $\Box$

Bemerkung:

• Im Allgemeinen sind die Lösungen der beiden Gleichungen im vorhergehenden Satz verschieden. In abelschen Gruppen hingegen sind sie immer gleich.
• Gruppen lassen sich auch als Halbgruppen definieren, in denen jede Gleichung (1) und (2) eine Lösung besitzt.

Definition:

Ist $(G,\circ )$ eine Halbgruppe und $x\in G$, so definieren wir $x^{1}:=x\,$ und rekursiv $x^{n+1}:=x\circ x^{n}$. Ist $G\,$ ein Monoid, definieren wir weiter $x^{0}:=e\,$. Ist $G\,$ sogar Gruppe, so definieren wir für $n\in \mathbb {N}$ weiter $x^{-n}\,$ als das Inverse von $x^{n}\,$.

Falls $G\,$ additiv geschrieben wird, schreiben wir $n\cdot x$ statt $x^{n}\,$.

Bemerkung:

• Da hiernach $x^{-1}\,$ das Inverse zu $x\,$ ist, besteht kein Konflikt mit der entsprechenden oben gewählten Schreibweise für Inverse.
• Man weist per Induktion unter Benutzung der Assoziativität leicht nach, dass $x^{m}\circ x^{n}=x^{m+n}$ gilt, soweit $x^{m}\,$ und $x^{n}\,$ definiert sind. Entsprechend gilt auch $(x^{m})^{n}=x^{mn}\,$.

Ordnung einer Gruppe

Definition:

Eine Gruppe $(G,\circ )$, die aus endlich vielen Elementen besteht, heißt endlich.

Definition:

Die Anzahl der Elemente einer Gruppe $(G,\circ )$, ihre Mächtigkeit $\mid G\mid$, bezeichnet man als die Ordnung der Gruppe.

Hat $(G,\circ )$ unendlich viele Elemente, so setzt man $|G|=\infty$.

Beispiele für Gruppen, Gruppentabellen

Permutationen

Für eine Menge $M\,$ bildet die Menge aller bijektiven Abbildungen der Menge in sich, mittels der Hintereinanderausführung $\circ$ als Verknüpfung, eine Gruppe, gennant die symmetrische Gruppe $\operatorname {Sym} (M)$.

Ist $M\,$ die $n\,$-elementige Menge $\{1,\ldots ,n\}$, so schreibt man auch gerne $S_{n}\,$.

Gruppenhomomorphismen, strukturerhaltende Abbildungen

Sobald man Mengen mit einer Struktur versehen hat, wie es hier für Magmen etc. geschehen ist, wird es interessant, verschiedene Exemplare solcher Strukturen miteinander zu vergleichen. Dies geschieht vor allem, indem man Abbildungen zwischen den Mengen betrachtet, die die Struktur respektieren. Der allgemeine Begriff hierzu ist der Homomorphismus.

Definition:

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\cdot )$ Magmen, dann nennt man eine Abbildung $\Phi :G\rightarrow H$ einen Magmahomomorphismus von $G\,$ nach $H\,$, wenn für alle $x,y\in G$ gilt:

• $\Phi (x\circ y)=\Phi (x)\cdot \Phi (y)$.

Für das Abbild eines Elementes $g\in G$ unter $\Phi \,$ schreibt man gewöhnlich $\Phi (g)\,$ oder $g^{\Phi }\,$ und spricht vom Bild von $g\,$ unter $\Phi \,$.

Sind $G\,$ und $H\,$ sogar Halbgruppen, so heißt $\Phi \,$ Halbgruppenhomomorphismus.

Sind $G\,$ und $H\,$ sogar Monoide, so heißt ein Magmahomomorphismus $\Phi \,$ Monoidhomomorphismus, falls er zusätzlich das neutrale Element $e_{G}\in G$ auf das neutrale Element $e_{H}\in H$ abbildet, also

• $\Phi (e_{G})=e_{H}\,$

Sind $G\,$ und $H\,$ Gruppen, so heißt ein Monoidhomomorphismus $\Phi \,$ Gruppenhomomorphismus), wenn er zusätzlich die Inversenrelation respektiert, d.h.

• $\Phi (a^{-1})=(\Phi (a))^{-1}\,$ für alle $a\in G$.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch vereinfachend von Homomorphismus.

Beispiele:

• Die Exponentialfunktion $exp:(\mathbb {R} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot ),x\mapsto e^{x}$ ist ein Homomorphismus.

Notation:

Für Homomorphismen mit speziellen Eigenschaften haben sich besondere Bezeichnungen durchgesetzt. So bezeichnet man injektive Homomorphismen als Monomorphismen, surjektive Homomorphismen als Epimorphismen und bijektive Homomorphismen als Isomorphismen. Homomorphismen eines Objekts in sich nennt man Endomorphismen, bijektive Endomorphismen, also Isomorphismen eines Objekts in sich heißen Automorphismen.

Satz:

Jeder Magmahomomorphismus $\Phi \colon G\to H$ zwischen zwei Gruppen $G\,$ und $H\,$ ist bereits ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis:

Wegen $\Phi (e)=\Phi (e\cdot e)=\Phi (e)\cdot \Phi (e)$ folgt $\Phi (e)=e\,$.

Wegen $\Phi (a^{-1})\cdot \Phi (a)=\Phi (a^{-1}\cdot a)=\Phi (e)=e$ folgt weiter $\Phi (a^{-1})=(\Phi (a))^{-1}\,$. $\Box$.

Bemerkung:

• Sei $(M,\circ )$ ein Monoid. Dann ist $m\mapsto 0$ ein Magmahomomorphismus von $(M,\circ )$ nach $(\mathbb {Z} ,\cdot )$, der jedoch das neutrale Element von $M$ nicht auf das von $\mathbb {Z}$ (also auf die $1\,$) abbildet. Ein entsprechender Satz gilt für Monoidhomomorphismen daher nicht, für diese muss $\Phi (e)=e\,$ jeweils nachgewiesen werden.

Beispiele:

• Ist $(G,\cdot )$ eine Gruppe und $g\in G$, so ist $\operatorname {Inn} _{g}\colon G\to G,a\mapsto g\cdot a\cdot g^{-1}$ ein Endomorphismus von $G$, denn $(g\cdot a\cdot g^{-1})\cdot (g\cdot b\cdot g^{-1})=g\cdot (a\cdot b)\cdot g^{-1}$. Die Abbildung heißt auch Konjugation mit $g\,$.

Satz:

Sind $\Phi \colon G\to H$ und $\Psi \colon H\to K$ Homomorphismen, so ist die Hintereinanderausführung $\Psi \circ \Phi \colon G\to K$ ein Homomorphismus.

Beweis:

Für $a,b\in G$ folgt $(\Psi \circ \Phi )(a\cdot b)=\Psi (\Phi (a\cdot b)=\Psi (\phi (a)\cdot \Phi (b))=\Psi (\Phi (a))\cdot \Psi (\Phi (b))=(\Psi \circ \Phi )(a)\cdot (\Psi \circ \Phi )(b)$.

Falls Monoide betrachtet werden, braucht man noch $(\Psi \circ \Phi )(e)=\Psi (\Phi (e))=\Psi (e)=e$. $\Box$

Satz:

Ist $\Phi \colon G\to H$ ein Homomorphismus, so ist $\Phi \,$ ein Isomorphismus genau dann, wenn ein Homomorphismus $\Psi \colon H\to G$ mit $\Phi \circ \Psi =\operatorname {id} _{H}$ und $\Psi \circ \Phi =\operatorname {id} _{G}$ existiert.

In dem Fall ist $\Psi \,$ ebenfalls ein Isomorphismus.

Beweis:

Existiert ein Homomorphismus $\Psi \,$ mit den genannten Eigenschaften, so ist $\Phi \,$ offenbar bijektiv und somit ein Isomorphismus.

Sei nun $\Phi \,$ ein Isomorphismus. Da $\Phi \,$ bijektiv ist, können wir $\Psi \colon H\to G$ zunächst als Abbildung definieren, indem $\Psi (h)\,$ zu gegebenem $h\in H$ als dasjenige eindeutig bestimmte $g\in G$ definiert wird, für das $\Phi (g)=h\,$ gilt.

Dann sind $\Psi \circ \Phi$ und $\Phi \circ \Psi$ offensichtlich die jeweiligen identischen Abbildungen. Sei jetzt $h_{1},h_{2}\in H$. Dann gilt $\Phi (\Psi (h_{1})\cdot \Psi (h_{2}))=\Psi (\Phi (h_{1}))\cdot \Psi (\Phi (h_{2}))=h_{1}\cdot h_{2}$, also $\Psi (h_{1}\cdot h_{2})=\Psi (h_{1})\cdot \Psi (h_{2})$. Falls Monoide betrachtet werden, ist wegen $\Phi (e)=e\,$ noch klar, dass $e=\Psi (e)\,$ gilt. Also ist $\Psi \,$ ein Homomorphismus und in der Tat, weil bijektiv, sogar ein Isomorphismus. $\Box$

Bemerkung:

In allgemeineren Zusammenhängen definiert man Isomorphismus über die im Satz genannte Eigenschaft statt über Bijektivität.

Beispiele:

• Ist $(G,\cdot )$ eine Gruppe und $g_{1},g_{2}\in G$, so rechnet man leicht nach, dass $\operatorname {Inn} _{g_{1}}\circ \operatorname {Inn} _{g_{2}}=\operatorname {Inn} _{g_{1}\cdot g_{2}}$ gilt. Insbesondere folgt zu $g\in G$ sofort $\operatorname {Inn} _{g}\circ \operatorname {Inn} _{g^{-1}}=\operatorname {Inn} _{g^{-1}}\circ \operatorname {Inn} _{g}=\operatorname {Inn} _{e}=\operatorname {id} _{G}$, d.h. Konjugation mit einem Gruppenelement ist ein Automorphismus. Ein Automorphismus dieser Form wird auch innerer Automorphismus genannt.

Satz:

Ist $G\,$ eine Gruppe so bildet die Menge $\operatorname {End} (G)$ aller Endomorphismen von $G\,$ mit der Hintereinanderausführung (oder Komposition) als Verknüpfung ein Monoid mit der identischen Abbildung als neutralem Element. Die Menge $\operatorname {Aut} (G)$ aller Automorphismen bildet eine Gruppe.

Beweis:

Für komponierbare Abbildungen gilt grundsätzlich $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$, denn für jedes $x\,$ aus dem Definitionsbereich liefern beide Seiten $f(g(h(x)))\,$. Die Komposition von Endomorphismen ist außerdem ein Endomorphismus. Da schließlich die identische Abbildung $\operatorname {id} _{G}\colon G\to G$ ein Endomorphismus ist und neutral bezüglich der Komposition wirkt, ist $\operatorname {End} (G)$ folglich ein Monoid.

Die Komposition bijektiver Abbildungen ist wiederum bijektiv, so dass $\operatorname {Aut} (G)$ abgeschlossen bezüglich der Komposition ist. Die identische Abbildung ist wieder neutrales Element und laut dem vorhergehenden Satz existiert zu jedem Automorphismus ein inverser Automorphismus. $\Box$

Operation von Gruppen

Definition: Ist $G\,$ ein Monoid und $X\,$ eine Menge und $\Phi \colon G\to X^{X}$ ein Monoidhomomorphismus mit $\Phi (e)=\operatorname {id} _{X}$, so sagt man $G\,$ operiert (von links) auf der Menge $X\,$ und schreibt auch $g(x)\,$ oder, sofern keine Verwechselungsgefahr besteht, $g\cdot x$ statt $\Phi (g)(x)\,$. Trägt $X\,$ dagegen eine zusätzliche (algebraische) Struktur (ist z.B. eine Gruppe), so spricht man oft nur dann von einer Operation, wenn $\Phi \,$ ein Monoidhomomorphismus von $G\,$ nach $\operatorname {End} (X)$ ist.

Beispiele:

• Ist $(G,\cdot )$ ein Monoid, so operiert $(G,\cdot )$ auf der Menge $G\,$ durch Linksmultiplikation: $g(x):=g\cdot x$.
• Ist $(G,\cdot )$ eine Gruppe, so operiert $(G,\cdot )$ auf der Gruppe $(G,\cdot )$ durch Konjugation: $g(x):=g\cdot x\cdot g^{-1}$. Für diese Operation benutzt man manchmal auch die Schreibweise $x^{g}\,$ für $g^{-1}(x)\,$; damit gilt $x^{g\cdot h}=(x^{g})^{h}$.

Bahnen, Fixpunkte und Stabilisatoren

Definition: Die Gruppe $G\,$ operiere auf der Menge $X\,$ und es sei $x\in X$.

• Die Menge $G(x):=\{g(x)\mid g\in G\}\subseteq X$ heißt die Bahn oder der Orbit von $x\,$.
• Die Operation heißt transitiv, wenn zu $x,y\in X$ stets ein $g\in G$ mit $g(x)=y\,$ existiert.
• Enthält die Bahn von $x\,$ nur $x\,$, so heißt $x\,$ Fixpunkt.
• Die Menge $\{g\in G\mid g(x)=x\}$ heißt Stabilisator von $x\,$

Satz: Operiert die Gruppe $G\,$ auf der Menge $X\,$ und ist $Y\subseteq X$ eine Bahn, so operiert $G\,$ durch Einschränkung auch auf $Y\,$ und diese Operation ist transitiv.

Beweis: Sei $Y$ eine Bahn, etwa $Y=G(x)\,$ mit $x\in X$. Sind dann $y_{1}=g_{1}(x)\,$ und $y_{2}=g_{2}(x)\,$ beliebige Elemente von $Y\,$, so ist einerseits für $g\in G$ auch $g(y_{1})=(g\cdot g_{1})(x)\in Y$, andererseits gilt $(g_{2}\cdot {g_{1}}^{-1})(y_{1})=g_{2}(x)=y_{2}$. $\Box$

Korollar: Operiert die Gruppe $G\,$ auf der Menge $X\,$, so sind zwei Bahnen entweder gleich oder disjunkt. Die Bahnen bilden also eine Partition von $X\,$.

Beweis: Seien $Y_{1},Y_{2}\subseteq X$ zwei nicht disjunkte Bahnen und etwa $y\in Y_{1}\cap Y_{2}$. Dann ist einerseits $G(y)=Y_{1}\,$, da $G\,$ transitiv auf $Y_{1}\,$ operiert, ebenso jedoch auch $G(y)=Y_{2}\,$. $\Box$

Unterstrukturen

Untergruppen

Definition:

Eine nichtleere Teilmenge $U\subset G$ einer Gruppe $(G,\circ )$, die Bezüglich der Verknüpfung $\circ$ wieder eine Gruppe ist, heißt Untergruppe. Man schreibt dann auch $U\leq G$.

Satz (Untergruppenkriterium): Eine nichtleere Teilmenge $U\subset G$ einer Gruppe $(G,\circ )$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

• $a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U$
• $a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U$

Beweis:

Ist $U\,$ eine Untergruppe von $G\,$, so beachte man, dass die Inklusionsabbildung $U\to G$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

.Folglich ist das neutrale Element von $U\,$ auch das von $G\,$. .Ebenso ergibt sich, dass die Inversenbildung in $U\,$ mit der in $G\,$ übereinstimmt, so dass die Untergruppe $U\,$ wegen der Abgeschlossenheit und der Existenz der Inversen natürlich die beiden Eigenschaften erfüllt.

Sei nun andererseits $U\,$ eine nichtleere Teilmenge mit den angegebenen Eigenschaften. Dann erfüllt $U\,$ mit der auf $G\,$ definierten Verknüpfung $\circ$ die Abgeschlossenheit wegen der ersten Eigenschaft, und da die Verknüpfung auf ganz $G\,$ assoziativ ist, also auch auf $U\,$, erfüllt $U\,$ auch die Assoziativität bzgl. $\circ$.

.Da $U\neq \emptyset$, existiert mindestens ein $x\in U$ und wegen der zweiten Eigenschaft liegt auch das Inverse $x^{-1}\,$ zu $x\,$ in $U\,$. .Also liegt auch $e=x\circ x^{-1}$ in $U\,$ und spielt natürlich auch für $U\,$ die Rolle eines neutralen Elements. Schließlich enthält $U\,$ wegen der zweiten Eigenschaft mit jedem Element auch dessen Inverses. .$U\,$ erfüllt also alle Gruppeneigenschaften und ist somit eine Untergruppe von $G\,$. $\Box$

Satz (Variante des Untergruppenkriteriums): Eine nichtleere Teilmenge $U\subset G$ einer Gruppe $(G,\circ )$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

• $a,b\in U\Rightarrow a\circ b^{-1}\in U$.

Beweis:

Ist $U\,$ eine Untergruppe von $G\,$, dann erfüllt sie wegen der Abgeschlossenheit und der Existenz der Inversen natürlich das Kriterium.

Sei nun $U\,$ eine nichtleere Teilmenge von $G\,$, die das Kriterium erfüllt. Sind $a\,$ und $b\,$ beliebige Elemente von $U\,$, so liegen folglich auch $(a\circ a^{-1})\circ a^{-1}=a^{-1}$ und $a\circ ((a\circ a^{-1})\circ b^{-1})^{-1}=a\circ (e\circ b^{-1})^{-1}=a\circ (b^{-1})^{-1}=a\circ b$ in $U\,$. Nach dem vorhergehenden Satz ist $U\,$ somit eine Untergruppe $\Box$

Beispiele:

• Die Untergruppe $G\,$ und die einelementige Untergruppe $\{e\}\,$ bilden Untergruppen, die trivialen Untergruppen, von $G\,$.
• Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen.
• $2\mathbb {Z} =\{2z|z\in \mathbb {Z} \}\leq \mathbb {Z}$.
• Für jede Gruppe $G\,$ ist die Menge $\operatorname {Inn} (G)$ der inneren Automorphismen eine Untergruppe von $\operatorname {Aut} (G)$. Dies folgt aus $\operatorname {Inn} _{a}\circ (\operatorname {Inn} _{b})^{-1}=\operatorname {Inn} _{a\cdot b^{-1}}$.

Korollar: Sei $G\,$ eine Gruppe, $U\leq G$ und $V\leq U$. Dann gilt:

• $V\leq G$.

Die Relation Untergruppe zu sein ist also transitiv.

Beweis:

Sei also $G\,$ eine Gruppe und es gelte $U\leq G$ und $V\leq U$. Dann ist wegen $V\subseteq U\subseteq G$ nach Voraussetzung $V\,$ eine nichtleere Teilmenge von $G\,$. Und nach Voraussetzung auch eine Gruppe, also definitionsgemäß eine Untergruppe von $G\,$. $\Box$

Korollar: Der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen $U_{i},i\in I$ einer Gruppe $G\,$ ist wieder eine Untergruppe von $G\,$, d.h. $\bigcap _{i\in I}U_{i}\leq G$.

Beweis:

Sei $G\,$ eine Gruppe, $U_{i}\leq G$ für alle $i\in I$ und $V=\bigcap _{i\in I}U_{i}$. Dann ist $V\neq \emptyset$ da $e\in U_{i}$ für alle $i\in I$, insbesondere gilt also $e\in V$.

Seien nun $a,b\in V$ beliebig, dann sind $a,b\in U_{i}$ für alle$i\in I$ also auch $a,b^{-1}\in U_{i}$ für alle $i\in I$ nach dem Untergruppenkriterium liegt dann auch $a\cdot b^{-1}\in U_{i}$ für alle $i\in I$ und somit letztlich auch im Durchschnitt $V\,$. $V\,$ erfüllt also das Untergruppenkriterium, d.h. $\bigcap _{i\in I}U_{i}=V\leq G$. $\Box$

Definition:

Für eine Teilmenge $M\,$ einer Gruppe $(G,\circ )$ definiert man die von $M\,$ erzeugte Untergruppe $\langle M\rangle$ als den Durchschnitt aller $M\,$ enthaltenden Untergruppen.

Ist $M={m}\,$ schreibt man auch verkürzend $\langle m\rangle$ statt $\langle \{m\}\rangle$.

Bemerkung:

• Da dieser Durchschnitt ebenfalls $M\,$ enthält und eine Untergruppe ist, ist $\langle M\rangle$ offenbar die kleinste $M\,$ enthaltende Untergruppe.
• Diese Definition ermöglicht es nun die von den einzelnen Elementen erzeugten Untergruppen zu betrachten, und so den Ordnungsbegriff von Gruppen auf die Elemente der Gruppen zu übertragen.

Definition:

Eine Gruppe $(G,\circ )$ heißt endlich erzeugt, wenn sie von einer endlichen Menge erzeugt wird, d.h. wenn $(G,\circ )=\langle M\rangle$ für eine endliche Menge $M\,$

Eine Gruppe $(G,\circ )$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird, d.h. wenn $(G,\circ )=\langle a\rangle$ für ein $a\in G$ gilt. Als Ordnung eines Elementes $a\in G$ bezeichnet man die Ordnung der von $a\,$ erzeugten Untergruppe $\langle a\rangle \leq G$. Es gilt somit $\operatorname {ord} (a)=|\langle a\rangle |$. Besonders hervorzuheben sind Elemente der Ordnung 2, sie werden als Involution bezeichnet.

Beispiele:

• $\mathbb {Z} =\langle 1\rangle$ und $2\mathbb {Z} =\langle 2\rangle$ sind beide zyklisch und es ist $\operatorname {ord} (1)=|\mathbb {Z} |=\infty ,\operatorname {ord} (2)=|2\mathbb {Z} |=\infty$.

Satz (Untergruppenkriterium für endliche Gruppen): Eine nichtleere Teilmenge $U\subset G$ einer endlichen Gruppe $(G,\circ )$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:

• $a,b\in U\Rightarrow a\circ b\in U$.

Bei endlichen Gruppen ist also jede bzgl. der Gruppenverknüpfung abgeschlossene nicht-leere Teilmenge eine Untergruppe.

Beweis:

Sei $(G,\cdot )$ eine endliche Gruppe, und $U\leq G$. Dann folgt das Kriterium wie im vorvorigen Satz.

Sei nun $(G,\cdot )$ eine endliche Gruppe und $U\subseteq G$ nicht leer und erfülle das Kriterium. Sei $a\in U$ beliebig. Die Menge $\{a^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$ aller Potenzen von $a\,$ ist laut Kriterium eine Teilmenge von $U\,$. Da sie endlich ist, gibt es zwei natürliche Zahlen $n<m\,$ mit $a^{n}=a^{m}\,$. Mit $d:=m-n\,$ ist dann auch $a^{d}=e\in U$. Ist jetzt $d=1\,$, so $a=e\,$ und somit auch $a^{-1}=e\in U$. Ansonsten folgt $a^{-1}=a^{d-1}\in U$. Es folgt also auf jeden Fall $a^{-1}\in U$ und nach dem vorvorigen Satz somit $U\leq G$. $\Box$

Korollar: Sei $G\,$ eine Gruppe, $\emptyset \neq M\subseteq G$. Dann ist $\langle M\rangle$ die Menge aller endlichen Produkte von Elementen und Inversen von Elementen von $M\,$.

Beweis:

Die Menge $U\,$ aller endlichen Produkten von Elementen und Inversen von Elementen von $M\,$ ist nicht leer (enthält nämlich $M\,$) und abgeschlossen gegen Produkt- und Inversenbildung, folglich gilt $M\subseteq U\leq G$, also $\langle M\rangle \leq U$.

Umgekehrt enthält $\langle M\rangle$ alle Elemente von $M\,$ sowie deren Inversen und, wie per Induktion über die Anzahl der Faktoren folgt, auch alle endlichen Produkte hiervon. $\Box$

Satz: Die Gruppe $G\,$ operiere auf der Mange $X\,$. Dann ist für jedes $x\in X$ der Stabilisator von $x\,$ eine Untergruppe von $G\,$.

Beweis:

Sei $U=\{g\in G\mid g(x)=x\}$. Wegen $e(x)=x\,$ ist $U\,$ nicht leer. Sind $g,h\in U$, so folgt auch $h^{-1}(x)=h^{-1}(h(x))=x\,$ und $(g\circ h)(x)=g(h(x))=x$. Somit gilt $U\leq G$. $\Box$

Korollar: Jede endliche Gruppe gerader Ordnung besitzt eine Involution.

Beweis:

Sei $G\,$ eine Gruppe. Dann operiert die zyklische Gruppe $C_{2}\,$ der Ordnung 2 auf der Menge $G\,$, indem das nicht-neutrale Element von $C_{2}\,$ jedes Element von $G\,$ auf sein Inverses abbildet.

Fixpunkte der Operation sind genau $e\,$ und alle Involutionen, alle anderen Bahnen haben die Länge 2.

Ist jetzt $G\,$ endlich und besitzt keine Involution, so ist die Ordnung von $G$ folglich ungerade, da $G\,$ in eine einelementige und ansonsten lauter zweielementige Bahnen zerfällt.

Umgekehrt enthält also eine endliche Gruppe gerader Ordnung mindestens eine Involution. $\Box$

Nebenklassen

Definition:

Sei $(G,\circ )$ eine Gruppe und es seien $A\subset G$ und $B\subset G$ beliebige Teilmengen von $G\,$. Unter dem Produkt $A\circ B$ versteht man die Menge $A\circ B:=\{a\circ b:a\in A,b\in B\}$. Statt $\{a\}\circ B$ und $A\circ \{b\}$ schreibt man auch $a\circ B$ bzw. $A\circ b$.

Bemerkungen:

• Auf diese Weise ergibt sich ein Monoid $({\mathcal {P}}(G),\circ )$ mit neutralem Element $\{e\}\,$.
• Ist $U\leq G$, so gilt $U\circ U=U$. Die Umkehrung gilt nicht: $U\,$ könnte auch ein Monoid sein.

Satz: Ist $(G,\circ )$ eine Gruppe, so operiert $G\,$ auf der Menge ${\mathcal {P}}$ von links vermöge $g(A)=g\circ A$ für $A\subseteq G$. Eine weitere Operation ist durch $g(A)=A\circ g^{-1}$ gegeben.

Beweis: klar. $\Box$

Definition:

Es sei $U\,$ eine Untergruppe von $G\,$ und $g\in G$. Dann heißt:

$g\circ U=\{g\circ u|u\in U\}$ eine Linksnebenklasse von $U\,$ und

$U\circ g=\{u\circ g|u\in U\}$ eine Rechtsnebenklasse von $U\,$.

Die Menge der Linksnebenklassen wird mit $G/U\,$ bezeichnet, die der Rechtsnebenklassen mit $U\setminus G$.

Satz: Ist $U\leq G$, so sind zwei Linksnebenklassen entweder gleich oder disjunkt. Ebenso sind zwei Rechtsnebenklassen entweder gleich oder disjunkt.

Beweis:

$U\,$ operiert auf (der Menge) $G\,$ durch $u(g)=u\circ g$ bzw. $u(g)=g\circ u'$. Die Bahn von $g\in G$ unter dieser Operation ist gerade $U\circ g$ bzw. $g\circ U$. Die Behauptung folgt aus der entsprechenden Aussage über Bahnen. $\Box$

Die Links- bzw. Rechtsnebenklassen bilden also eine Partition von $G\,$.

Satz, Definition: Ist $U\leq G$, so wird durch $A\mapsto \{a^{-1}\mid a\in A\}$ wird eine Bijektion $G/U\to U\setminus G$ definiert. Es ist also $|U\setminus G|=|G/U|$. Die Anzahl der (Rechts- oder Links-) Nebenklassen heißt der Index von $U\,$ in $G\,$.

Beweis:

Es wird die Nebenklasse $g\cdot U$ auf $U\cdot g^{-1}$ abgebildet. $\Box$

Satz: Ist $U\leq G$, so operiert $G$ auf der Menge der Linksnebenklassen vermöge $g(h\circ U)=(g\circ h)\circ U$ und auf den Rechtsnebenklassen vermöge $g(U\circ h)=U\circ (h\circ g^{-1}).$

Beweis:

Dies sind dieselben Operation wie auf ${\mathcal {P}}(G)$, d.h. es ist nur zu zeigen, dass Nebenklassen auf Nebenklassen abgebildet werden. Das ist jedoch klar. $\Box$

Satz von Lagrange

Satz: Die Gruppe $G\,$ operiere auf der Menge $X\,$ und es sei $x\in X$. Dann ist $|G|\,$ endlich genau dann, wenn $|G(x)|\,$ und $|\operatorname {Stab} (x)|$ endlich sind. In dem Falle gilt weiter $|G|=|G(x)|\cdot |\operatorname {Stab} (x)|$

Beweis:

Falls $|G(x)|\,$ oder $|\operatorname {Stab} (x)|$ unendlich sind, ist klar, dass auch $|G|\,$ unendlich ist. Sei daher $|G(x)|<\infty$ und $|\operatorname {Stab} (x)|<\infty$. Ist $y=g(x)\in G(x)$, so ist $a\mapsto g\circ a$ eine Abbildung von $\operatorname {Stab} (x)$ nach $\{g\in G\mid g(x)=y\}$ mit Umkehrabbildung $a\mapsto g'\circ a$. Also ist $|\{g\in G\mid g(x)=y\}|=|\operatorname {Stab} (x)|$. Da $G\,$ die disjunkte Vereinigung aller $\{g\in G\mid g(x)=y\}$ ist, wenn $y\,$ über ganz $G(x)\,$ läuft, folgt die Behauptung.

Satz (Lagrange): Ist $G\,$ eine endliche Gruppe und $U\leq G$, so ist $|G|=|G/U|\cdot |U|$. Insbesondere sind die Ordnung einer Untergruppe und die Anzahl ihrer Nebenklassen Teiler der Gruppenordnung.

Beweis:

Wende den vorhergehenden Satz an auf die Operation von $G\,$ auf den Nebenklassen durch Links- (bzw. Rechts-)Multiplikation. Man muss nur beachten, dass der Stabilisator der Nebenklasse $U\,$ gerade $U\,$ ist und dass die Operation transitiv ist, d.h. die Bahn einer Nebenklasse umfasst sämtliche Nebenklassen. $\Box$

Normalteiler

Definition: Ein Normalteiler (oder normale Untergruppe) $N\,$ ist eine Untergruppe einer Gruppe $G\,$ für die gilt:

$a\in G$ und $b\in N\Rightarrow a\cdot b\cdot a^{-1}\in N$

Es sind also genau die Untergruppen, die unter den inneren Automorphismen invariant sind.

Beispiele:

• $\operatorname {Inn} (G)$ ist ein Normalteiler von $\operatorname {Aut} (G)$, denn man rechnet leicht nach, dass für $\Phi \in \operatorname {Aut} (G)$ und $g\in G$ stets $\Phi \circ \operatorname {Inn} _{g}\circ \Phi ^{-1}=\operatorname {Inn} _{\Phi (g)}$ gilt.

Satz: Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler, wenn die Rechtsnebenklasse und die Linksnebenklasse identisch sind.

Beweis:

Ist $N\,$ Normalteiler, $a\cdot N$ eine Linksnebenklasse und $a\cdot n\in a\cdot N$ ein beliebiges Element hiervon, so gilt auch $(a\cdot n\cdot a^{-1})\cdot a\in N\cdot a$, also $a\cdot N\subseteq N\cdot a$. Ebenso zeigt man $N\cdot a\subseteq a\cdot N$, also $a\cdot N=N\cdot a$.

Stimmen umgekehrt Rechts- und Linksnebenklassen überein, gibt es also zu jedem $a\in G$ ein $c\in G$ mit $a\cdot N=N\cdot c$, so gilt wegen $a\in N\cdot c$ sogar $a\cdot N=N\cdot a$. Somit gibt es zu $b\in N$ auch ein $d\in N$ mit $a\cdot b=d\cdot a$, also $a\cdot b\cdot a^{-1}=d\in N$. $\Box$

Korollar: Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler.

Beweis:

Es gibt genau zwei Linksnebenklassen $N\,$ und $a\cdot N$ für ein $a\not \in N$, ebenso zwei Rechtsnebenklassen $N\,$ und $N\cdot a$.

Da $G\,$ jeweils deren disjunkte Vereinigung ist, folgt $a\cdot N=N\cdot a$. $\Box$

Satz: Ist $G\,$ ein Normalteiler, so ist das Produkt zweier Nebenklassen wieder eine Nebenklasse

Beweis:

In der Tat ist $(a\cdot N)\cdot (b\cdot N)=a\cdot (N\cdot b)\cdot N=a\cdot (b\cdot N)\cdot N=(a\cdot b)\cdot (N\cdot N)=(a\cdot b)\cdot N$.

Definition:

Für einen Homomorphismus $\Phi \colon G\rightarrow H$ von Gruppen bezeichnet man die Menge $\operatorname {Kern} (\Phi )=\{g\in G|\Phi (g)=e\}\subseteq G$ als den Kern von $\Phi \,$ und die Menge $\operatorname {Bild} (\Phi )=\{\Phi (g)|g\in G\}\subseteq H$ als das Bild von $\Phi \,$. Der Kern eines Homomorphismus beinhaltet also alle Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden und das Bild eines Homomorphismus ist die Menge aller Bilder von Elementen aus $G\,$.

Satz:

Ist $\Phi \colon G\rightarrow H$ ein Homomorphismus von Gruppen, so ist $\operatorname {Kern} (\Phi )$ ein Normalteiler von $G$ und $\operatorname {Bild} (\Phi )$ Untergruppe von $H\,$.

Beweis:

Wegen $\Phi (e)=e\,$ ist $\operatorname {Kern} (\Phi )$ nicht leer. Sind $a,b\in \operatorname {Kern} (\Phi )$, so wegen $\Phi (a\cdot b^{-1})=\Phi (a)\cdot (\Phi (b))^{-1}=e\cdot e^{-1}=e$ auch $a\cdot b^{-1}\in \operatorname {Kern} (\Phi )$. Nach dem Untergruppenkriterium ist also $\operatorname {Kern} (\Phi )\leq G$. Ebenso ist $\operatorname {Bild} (\Phi )$ nicht leer und mit $a=\Phi (x)\,$ und $b=\Phi (y)\,$ ist auch $a\cdot b^{-1}=\Phi (x)\cdot (\Phi (y))^{-1}=\Phi (x\cdot y^{-1})$ in $\operatorname {Bild} (\Phi )$ und folglich $\operatorname {Bild} (\Phi )\leq H$.

Um einzusehen, dass $\operatorname {Kern} (\Phi )$ sogar Normalteiler ist, beachte man, dass für $a\in G$ und $b\in \operatorname {Kern} (\Phi )$ gilt: $\Phi (a\cdot b\cdot a^{-1})=\Phi (a)\cdot \Phi (b)\cdot \Phi (a^{-1})=\Phi (a)\cdot e\cdot (\Phi (a))^{-1}=e$. $\Box$

Satz: Ein Gruppenhomomorphismus $\Phi \colon G\to H$ ist genau dann injektiv, wenn $\operatorname {Kern} (\Phi )=\{e\}$.

Beweis:

Ist $\Phi \,$ injektiv, so kann $\operatorname {Kern} (\Phi )$ nicht mehr als das neutrale Element enthalten. Sei umgekehrt $\operatorname {Kern} (\Phi )=\{e\}$. Dann folgt aus $\Phi (a)=\Phi (b)\,$ stets $\Phi (a\cdot b^{-1})=e$, also $a\cdot b^{-1}\in \{e\}$ und schließlich $a=b\,$. $\Box$

Faktorgruppen

Satz, Definition: Es sei $(G,\circ )$ eine Gruppe und es sei $N\,$ ein Normalteiler der Gruppe $G\,$,

Die Menge der Nebenklassen ${\hat {G}}=\{g\circ N:g\in G\}$ mit dem Produkt $A\circ B,A,B\in {\hat {G}}$ als Operation ist eine Gruppe, die Faktorgruppe von $G\,$ nach $N\,$, geschrieben $(G/N,\circ )$ bzw. $G/N\,$.

Die Abbildung $G\to G/N,g\mapsto g\circ N$ ist ein Gruppenhomomorphismus und heißt kanonischer Hommorphismus auf die Faktorgruppe. Sein Kern ist $N\,$.

Hierbei ist zu beachten, das $\circ$ in $G\,$ nicht dasselbe bedeutet, wie $\circ$ in $G/N\,$.

Beweis:

Wegen $(a\cdot N)\cdot (b\cdot N)=(a\cdot b)\cdot N$ ist $G/N\,$ unter Multiplikation abgeschlossen, insbesondere ist $(e\cdot N)\cdot (a\cdot N)=a\cdot N$ und $(a^{-1}\cdot N)\cdot (a\cdot N)=e\cdot N$. Die Assoziativität gilt bereits allgemein in dem Monoid $({\mathcal {P}}(G),\circ )$. Somit ist $(G/N,\circ )$ in der Tat eine Gruppe.

Dass $g\mapsto g\cdot N$ ein Homomorphismus ist, ist wieder eine unmittelbare Folge der Gleichheit $(a\cdot N)\cdot (b\cdot N)=(a\cdot b)\cdot N$. Da $g\cdot N=N$ genau für $g\in N$ gilt, folgt die Aussage über den Kern.

Da wir bereits gesehen haben, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus immer ein Normalteiler ist, ergibt sich auf diese Weise eine andere Charakterisierung von Normalteilern: Normalteiler sind genau die Kerne von Homomorphismen.

Zentrum einer Gruppe

Definition: Das Zentrum $Z(G)\,$ einer Gruppe $(G,\circ )$ ist die Menge $\{z\in G|\forall g\in G:g\circ z=z\circ g\}$

Das ganze ist natürlich nur für nicht-kommutative Gruppen interessant, da für kommutative Gruppen stets $Z(G)=G\,$ gilt.

Satz: $Z(G)\,$ ist ein Normalteiler von $G\,$

Beweis $Z(G)\,$ ist genau der Kern des Homomorphismus $G\to \operatorname {Inn} (G),g\mapsto \operatorname {Inn} _{g}$. $\Box$

Direktes Produkt von Gruppen

Definition: Sind $(G,\circ )$ und $(H,\cdot )$ Gruppen, so ist auf $G\times H=\{(g,h)|g\in G,h\in H\}$ durch $(g_{1},h_{1})\star (g_{2},h_{2})=(g_{1}\circ g_{2},h_{1}\cdot h_{2})$, also durch komponentenweise Verknüpfung, eine Gruppenverknüpfung gegeben. Die Gruppe $(G\times H,\star )$ heißt das (äußere) direkte Produkt von $(G,\circ )$ und $(H,\cdot )$.

Struktursätze

Inneres direktes Produkt

Satz: Sei $(G,\cdot )$ eine Gruppe und seien $H,J\leq G$ Untergruppen mit:

• $h\cdot j=j\cdot h$ für alle $h\in H,j\in J$
• $H\cdot J=G$
• $H\cap J=\{e\}$

Dann ist die Abbildung $\phi :H\times J\rightarrow G,(h,j)\mapsto h\cdot j$ ein Isomorphismus, $G\,$ also isomorph zum direkten Produkt von $H\,$ und $J\,$. $G\,$ heißt dann inneres direktes Produkt von $H\,$ und $J\,$.

Beweis: Wegen der ersten Forderung gilt: $\phi ((h_{1},j_{1})\cdot (h_{2},j_{2}))=\phi (h_{1}\cdot h_{2},j_{1}\cdot j_{2})=h_{1}\cdot h_{2}\cdot j_{1}\cdot j_{2}=h_{1}\cdot j_{1}\cdot h_{2}\cdot j_{2}=\phi (h_{1},j_{1})\cdot \phi (h_{2},j_{2})$ und damit ist $\phi \,$ ein Gruppenhomomorphismus, und zwar, wegen des zweiten Punktes, ein surjektiver. Sei nun $\phi (h,j)=h\cdot j=e$. Dann ist $h=j^{-1}\in H\cap J=\{e\}$. Also ist der Kern trivial und $\phi \,$ injektiv und somit ein Isomorphismus.

erster Isomorphiesatz

Es seien $G\,$ eine Gruppe, $N\,$ ein Normalteiler in $G\,$, und $H\,$ eine Untergruppe von $G$. Dann ist auch das Produkt $HN:=\{hn\mid h\in H,n\in N\}$ eine Untergruppe von $G\,$; $N\,$ ist ein Normalteiler in $HN\,$ und die Gruppe $H\cap N$ ist ein Normalteiler in $H\,$. Es gilt:

$H/(H\cap N)\cong HN/N.$

Dabei bezeichnet $\cong$ die Isomorphie von Gruppen.

zweiter Isomorphiesatz

Es seien $G\,$ eine Gruppe, $H\,$ ein Normalteiler in $G\,$ und $N\,$ eine Untergruppe von $H\,$, die Normalteiler in $G\,$ ist. Dann gilt:

• $(G/N)/(H/N)\cong G/H.$

Satz von Cauchy

Sei $G\,$ eine endliche Gruppe und $p\,$ eine Primzahl, welche die Ordnung $|G|\,$ der Gruppe teilt. Es gibt ein $a\in G$ mit $ord\,$ $a=p\,$.

Sätze von Sylow

Definition

$p\$ sei eine Primzahl

Man nennt eine endlich Gruppe $p\$-Gruppe genau dann, wenn es ein $k\in \mathbb {N}$ gibt so, dass $|G|=p^{k}\$

Definition

Sei $G\$ eine endliche Gruppe und $p\$ eine Primzahl.

Sei $|G|=n=p^{l}*m\$ mit $p\nmid m$

eine Untergruppe $H\leq G\,$ nennt man eine

$p\$-Untergruppe, wenn $|H|=p^{k}\$ mit $k\leq l$

$p\$-Sylowuntergruppe, wenn $|H|=p^{l}\$

Eine $p\$-Sylowuntergruppe ist also die $p\$-Untergruppe von maximaler Ordnung.

Satz

1. $G\$ hat eine Untergruppe der Ordnung $\ p^{r}$.
2. Sei $P\leq G$ eine $p\$-Sylowuntergruppe. Dann enthält $P\,$ von jeder Untergruppe $U\leq G$, die $p\$-Gruppe ist, eine Konjugierte. Es gibt also ein $g\in G$ mit $gUg^{-1}\subseteq P$.
3. Die Anzahl der $p\$-Sylow-Gruppen ist ein Teiler von $|G|\$ und von der Form $1+kp\$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$.

Spezielle Gruppen

Isometrien des dreidimensionalen Raumes

Die Isometrien des $\mathbb {R} ^{3}$ (oder auch jedes anderen metrischen Raumes) bilden mit Hintereinanderausführung eine Gruppe. Eine wichtige Untergruppe hiervon sind diejenigen Isometrien, die den Ursprung festhalten. Diese Gruppe wird orthogonale Gruppe genannt und mit $O(3)$ bezeichnet. Eine Untergruppe hierin ist die spezielle orthogonale Gruppe $SO(3)\,$ der orientierungserhaltenden Elemente von $O(3)\,$. Es ist $SO(3)\,$ ein Normalteiler von $O(3)\,$ vom Index 2.

Ebenso, wie die $O(3)\,$ dadurch innerhalb der Isometrien dadurch eingegrenzt wurde, dass ihre Elemente den Ursprung invariant lassen, kann man auch andere Teilmengen des $M\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ betrachten und überlegen, welche Bewegungen diese $M\,$ (ggf. orientierungstreu) invariant lassen. Meist ist hierbei $M\,$ ein Polyeder. Die betrachteten Gruppen operieren dann auf der Menge der Ecken von $M\,$ und lassen sich auf diese Weise als Untergruppen von Permutationsgruppen auffassen.

Permutationsgruppen / symmetrische Gruppen

Ist $M=\{m_{1},...m_{k}\}\,$ eine endliche Menge, so heißt jede bijektive Abbildungen von $M\,$ auf sich auch Permutation, die Gruppe dieser Abbildungen Permutationsgruppe. Im Fall von $M=\{1,...,n\}\,$ wird die Gruppe mit $S_{n}\,$ bezeichnet (Symmetrische Gruppe). Die Gruppe $S_{n}\,$ enthält genau $n!\,$ Elemente.

Elemente von $S_{n}\,$

Element $\sigma \,$ kann als Wertetabelle geschrieben werden

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\\sigma \left(1\right)&\sigma \left(2\right)&\cdots &\sigma \left(n\right)\end{pmatrix}}$

Andere Schreibweise: Produkt disjunkter Zyklen

Diedergruppen

Sei $M\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ ein reguläres $n\,$-Eck, $n>2\,$. Die Menge aller Isometrien des $\mathbb {R} ^{2}$, die $M\,$ invariant lassen heißt dann eine Diedergruppe. Je zwei solche Gruppen sind (bei gleichem Wert von $n\,$) isomorph. Ein beliebig gewählter Vertreter dieser Isomorphieklasse wird mit $D_{n}\,$ bezeichnet. Die Diedergruppe permutiert die Ecken von $M\,$ und kann dadurch als Untergruppe von $S_{n}\,$ aufgefaßt werden. Als solche wird $D_{n}\,$ erzeugt von $(12\ldots n)$ und $(1n)(2n-1)(3n-2)\ldots$. Die orientierungstreuen Abbildungen bilden einen zyklischen Normalteiler.

allgemeine lineare Gruppe

Die allgemeine lineare Gruppe ist auf den invertierbaren $(n\times n)$) Matrizen definiert und damit auf den ihr zugrundeliegenden Isomorphismen. Die Gruppenverknüpfung der allgemeinen linearen Gruppe ist die Matrizenmultiplikation, die Bezeichnung $\mathrm {GL} (n,K)$ beschreibt die Größe der Matrizen und den zugrundeliegenden Körper K.