Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Abbildungen



Abbildung (Funktion)Bearbeiten

Eine Abbildung (oder Funktion) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Definitionsmenge (auch Definitionsbereich) genau ein Element einer Wertemenge (auch Zielmenge oder Bildbereich) zuweist. Im normalen Sprachgebrauch würde man eine Abbildung auch eine Zuordnung nennen, denn es werden den Elementen der Definitionsmenge jeweils ein Element der Wertemenge zugeordnet.

Man schreibt:

  •   (bedeutet:   ist eine Funktion, die Definitionsmenge von   ist   und die Wertemenge von   ist  )
  •   oder   (bedeutet: Die Funktion   bildet   auf   ab).

Ein Element   heißt hierbei Bild unter  . Die Menge derjenigen  , die auf   abgebildet werden, heißt das Urbild von  .

Wenn   gilt, definiert man für eine Untermenge    

Eigenschaften von FunktionenBearbeiten

 
Injektivität
 
Surjektivität
 
Bijektivität

Sei   eine Abbildung. Dann nennt man   :

  • injektiv, falls für   gilt, dass   immer   impliziert. Äquivalent dazu ist  .
  • surjektiv, falls es zu jedem   mindestens ein   gibt, für das   gilt.
  • bijektiv, falls   sowohl injektiv, als auch surjektiv ist.

Anschaulicher formuliert bedeutet dies, dass jedes  

  • für injektives   höchstens ein Element
  • für surjektives   mindestens ein Element
  • für bijektive Abbildungen genau ein Element

in seinem Urbild besitzt.

Restriktion (oder Einschränkung) und FortsetzungBearbeiten

Haben zwei Abbildungen   und   mit   dieselbe Funktionsvorschrift, ist also   für alle  , so nennt man   die Restriktion (oder Einschränkung) von   auf   und schreibt  . Andererseits ist   eine Fortsetzung von   auf  .

Urbildbereich/Inverse FunktionenBearbeiten

Wenn   eine Funktion ist, definiert man   wobei für    . Dies bezeichnet man als den Urbildbereich von  . Wenn   gilt,   also nur aus einem Element besteht, schreibt man statt   auch  . Hierbei muss man beachten, dass   im allgemeinen eine Menge erzeugt, die auch (wenn die Funktion nicht surjektiv ist) leer sein kann. Nur wenn   bijektiv ist, ist   auch eine bijektive Funktion  .

Beispiele
  • Die Identität   ist eine bijektive Abbildung.
  • Die Funktion   ist von   eine bijektive Abbildung.   ist dagegen nur injektiv.
  •   ist injektiv, jedoch nicht surjektiv, da etwa   in den ganzen Zahlen keine Lösung besitzt, also kein Urbild zu   existiert.
  •   ist surjektiv, jedoch nicht injektiv, denn  .
  •   ist weder injektiv, denn  , noch surjektiv, denn zu   kein reelles   existiert, so dass  .

PermutationenBearbeiten

Eine bijektive Selbstabbildung einer endlichen Menge bezeichnet man als Permutation von A.

Zwei Abbildungen   und   heißen gleich, wenn  ,   und   für alle   gilt.