Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Relationen



RelationBearbeiten

Eine Relation   zwischen zwei Mengen   und   ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes  , also  . Für   schreibt man auch kurz   (und sagt: „  steht in der Relation   zu  .“). Oft werden Relationen mit Symbolen wie   und   bezeichnet.

Beispiele
  •  . Dann gilt beispielsweise:  
  •  . Für   gilt dann:  
  •  . Dann gilt  
Definition
Seien   und   Mengen,   ihr kartesisches Produkt und   eine Aussageform zweier Variablen aus   und  . Die Menge   heißt Relation. Für   schreibt man auch   und sagt: "  steht in der Relation   zu  ".

ÄquivalenzrelationBearbeiten

Sei   eine Relation auf einer Menge  . Man nennt   Äquivalenzrelation, falls für alle   gilt:

  •   (Reflexivität)
  •   (Symmetrie)
  •   (Transitivität)

Mit   bezeichnen wir die Äquivialenzklasse eines Elements  . Die Äquivalenzklassen bilden eine Partition von  , das heißt, sind  , so gilt   oder  . Wir bezeichnen mit   die Menge aller Äquivalenzklassen der Relation.