Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Mengen 2



Die natürlichen Zahlen Bearbeiten

  sind die sogenannten natürlichen Zahlen. Es sind alle ganzen Zahlen von Eins anfangend. Das folgende Axiomensystem von Giuseppe Peano beschreibt alle Eigenschaften dieser Menge.

Laut DIN-Norm 5473 ist die Null ein Element der natürlichen Zahlen, einige Mathematiker ignorieren dies jedoch, weshalb man immer auf den Kontext achten muss! Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null wird zum Beispiel mit   bezeichnet. Ab 1894 gebrauchte Peano für die natürlichen Zahlen mit Null das Symbol  , das heute ebenfalls stilisiert und nach Peano durch   definiert wird.

Axiomensystem von G. PeanoBearbeiten

  1.   ist eine natürliche Zahl
  2. Jede natürliche Zahl   hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger  .
  3.   ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl
  4. Gilt  , so folgt  
  5. Für jede Menge  , die   und mit   auch jeden Nachfolger   enthält, gilt  .

Beweisprinzip der vollständigen InduktionBearbeiten

Das Axiomensystem von G. Peano erlaubt induktive Definitionen und führt auf das sehr wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion:   sei eine Aussage, in der eine natürliche Zahl   vorkommt. Wenn dann

  1.   ist wahr
  2. Falls   wahr ist, ist auch   wahr
gilt, ist die Aussage   für jede natürliche Zahl wahr.

Häufig gebrauchte Varianten

  • Man startet bei  . Die Aussage ist dann allerdings nur für   wahr.
  • Falls   wahr sind, ist auch   wahr.

Definition von   und  , mit Hilfe des Induktions-Axioms:

 
 
 
 

Beispiel:

Zeige mittels Induktion für   die Gültigkeit der Formel :  .
n = 1 :
 . Die Formel stimmt also für  .
  :
 
Die Formel ist für   gültig und damit bewiesen.

Die Ganzen Zahlen Bearbeiten

Die Ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen um deren negative Gegenstücke. Also zum Beispiel:  .

Aufbau der ganzen ZahlenBearbeiten

Die ganzen Zahlen können als Äquivalenzklassen auf   verstanden werden. Wir definieren eine Relation   wie folgt:

 

Die Paare   und   sind also äquivalent, falls   gilt. Damit bilden die Äquivalenzklassen die Menge aller Differenzen von natürlichen Zahlen und das sind gerade die ganzen Zahlen. Addition und Multiplikation lassen sich nun folgendermaßen beschreiben:

 
 

Die rationalen Zahlen Bearbeiten

Die Rationalen Zahlen oder Brüche sind alle Zahlen, die sich als Bruch   schreiben lassen. Also:

 

Aufbau der rationalen ZahlenBearbeiten

Wie zuvor die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen gebildet werden konnten, so können nun die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen gebildet werden. Hierzu definieren wir eine Relation  :

 

Die Äquivalenzklassen   entsprechen also gerade den Brüchen  . Addition und Multiplikation sehen also so aus:

 
 

Die reellen Zahlen Bearbeiten

Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen. Auf die Definition kommen wir noch später zu sprechen, jedoch einige Beispiele für irrationale Zahlen:

  •  
  • allgemein:  
  •   (Die Kreiszahl Pi)
  •   (Die eulersche Zahl)

Die komplexen Zahlen Bearbeiten

Die komplexen Zahlen sind eine gedanklich geschaffene Zahlenmenge, um mit Zahlen rechnen zu können die in der Menge der Reellen Zahlen nicht existieren. Man kann sie als eine Art Hilfsmittel betrachten, mit denen bestimmte Berechnungen (z.B. in der Elektrotechnik) gelöst werden können. Ohne die Komplexen Zahlen wäre dies häufig nicht, oder nur mit erheblich größerem Aufwand möglich.

Eine komplexe Zahl Z hat immer die folgende Form:

 

a und b sind jeweils reelle Zahlen. a heißt Realteil, b Imaginärteil. i wird als Imaginäre Einheit bezeichnet.

Die Imaginäre Einheit i ist die Zahl, die aus der folgenden Gleichung resultiert:     Daraus folgt, dass i den Wert     haben müsste. Die Wurzel von negativen Zahlen ist jedoch nicht definiert. Deshalb wird der Buchstabe i als Platzhalter verwendet. (In der Elektrotechnik wird statt "i" der Buchstabe "j" verwendet.) Es gelten dieselben Rechenregeln wie für die Reellen Zahlen. Übrigens kann jede reelle Zahl auch als komplexe Zahl angegeben werden. Hierbei ist der Imaginärteil einfach 0.

Ist der Imaginärteil des Ergebnisses einer komplexen Berechnung nicht Null, so muss das Ergebnis je nach Anwendungsgebiet speziell interpretiert werden.

Beispiele:

  •         (3 ist der Realteil, 2 der Imaginärteil.)
  •  
  •  
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Weitere häufig benutzte MengenBearbeiten

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