Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Gruppen, Ringe und Körper



Operationen, Halbgruppen und GruppenBearbeiten

OperationenBearbeiten

Definition
Eine Operation oder (zweistellige) innere Verknüpfung   bezeichnet man eine Menge   mit der Abbildung   mit  .

Operationen auf endlichen Mengen, z. B.   lassen sich durch so genannte Verknüpfungstabellen darstellen. Es gilt   für  .

             
             
             
             
             
             
             


Beispiele
  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition  .
  • Die logische Operation  :
     
     
     
  •  
       
       
       
       

HalbgruppenBearbeiten

Definition
Eine Halbgruppe ist eine zweistellige innere Verknüpfung, bei der das Assoziativgesetz gilt. Folglich muss gelten:
  •   ist eine zweistellige Operation
  •  

Beispiele hierfür sind wieder wie oben   und  , jedoch nicht das dritte Beispiel.

MonoideBearbeiten

Definition
Ein Monoid ist eine Halbgruppe, in dem ein neutrales Element existiert. Dieses nennen wir  .
 

Es reicht allerdings anzunehmen, dass sowohl ein rechtsneutrales Element   (für dass   gilt) und ein linksneutrales Element   (für das   gilt) existiert, denn aus   folgt, dass diese gleich sein müssen. Wenn es zwei neutrale Elemente   gäbe, folgt aus  , dass diese gleich sind.

GruppenBearbeiten

Definition
Eine Menge   mit einem ausgezeichneten Element   und einer Verknüpfung
 
heißt Gruppe wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind :
  1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle   gilt
     
  2. Das Element e ist ein neutrales Element, d.h. für alle   gilt
     
  3. Zu jedem   gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein   mit
     

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls die Operation kommutativ ist, d.h. es muss gelten

 
Beispiel
  • Zeige , dass   eine kommutative Gruppe ist.
Seien   beliebig, dann gilt :
  1. assoziativ :  
  2. neutrales Element :  
  3. inverses Element :  
  4. kommutativ :  

Zur Übung zeige man, dass   und   kommutative Gruppen sind.

RingeBearbeiten

Definition
Eine Menge   heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
  und  
und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente   gibt, die folgende Eigenschaften erfüllen:
1. Axiome der Addition
  1. Assoziativgesetz: für alle   gilt:  
  2. Kommutativgesetz: für alle   gilt:  
  3. Das neutrale Element der Addition ist  , d.h. für alle   ist  
  4. Existenz des Negativen: zu jedem   gibt es ein   mit  .
2. Axiome der Multiplikation
  1. Assoziativgesetz: für alle   gilt:  
  2. Das neutrale Element der Multiplikation ist  , d.h. für alle   ist  
3. Distributivgesetz: für alle   gilt:   und  


KörperBearbeiten

Definition
Ein kommutativer Ring   heißt Körper, wenn   ist und wenn jedes von   verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ist also   eine Menge und gibt es zwei Verknüpfungen   und   so führt dies auf eine gleichartige Festlegung.

Definition
Ein Körper   muss folgende Bedingungen erfüllen:
  •   ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0)
  •   ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 1 ungleich 0)
  • Es gilt das Distributivgesetz: