Definition
Eine Operation oder (zweistellige ) innere Verknüpfung
(
M
,
∘
)
{\displaystyle (M,\ \circ )}
M
{\displaystyle M}
∘
:
M
×
M
→
M
{\displaystyle \circ \colon \ M\times M\to M}
M
2
∋
(
x
,
y
)
↦
∘
(
x
,
y
)
=:
x
∘
y
∈
M
{\displaystyle M^{2}\ni (x,\ y)\mapsto \circ (x,\ y)=:x\circ y\in M}
Operationen auf endlichen Mengen, z. B.
M
=
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle M=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
a
i
,
j
:=
a
i
∘
a
j
{\displaystyle a_{i,j}:=a_{i}\circ a_{j}}
i
,
j
∈
{
0
,
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i,j\in \{0,1,\ldots ,n\}}
∘
{\displaystyle \circ }
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
2
{\displaystyle a_{2}}
a
3
{\displaystyle a_{3}}
…
{\displaystyle \ldots }
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n-1}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
1
1
{\displaystyle a_{1\,1}}
a
1
2
{\displaystyle a_{1\,2}}
a
1
3
{\displaystyle a_{1\,3}}
…
{\displaystyle \ldots }
a
1
n
−
1
{\displaystyle a_{1\,n-1}}
a
1
n
{\displaystyle a_{1\,n}}
a
2
{\displaystyle a_{2}}
a
2
1
{\displaystyle a_{2\,1}}
a
2
2
{\displaystyle a_{2\,2}}
a
2
3
{\displaystyle a_{2\,3}}
…
{\displaystyle \ldots }
a
2
n
−
1
{\displaystyle a_{2\,n-1}}
a
2
n
{\displaystyle a_{2\,n}}
a
3
{\displaystyle a_{3}}
a
3
1
{\displaystyle a_{3\,1}}
a
3
2
{\displaystyle a_{3\,2}}
a
3
3
{\displaystyle a_{3\,3}}
…
{\displaystyle \ldots }
a
3
n
−
1
{\displaystyle a_{3\,n-1}}
a
3
n
{\displaystyle a_{3\,n}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋱
{\displaystyle \ddots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n-1}}
a
n
−
1
1
{\displaystyle a_{n-1\,1}}
a
n
−
1
2
{\displaystyle a_{n-1\,2}}
a
n
−
1
3
{\displaystyle a_{n-1\,3}}
…
{\displaystyle \ldots }
a
n
−
1
n
−
1
{\displaystyle a_{n-1\,n-1}}
a
n
−
1
n
{\displaystyle a_{n-1\,n}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
n
1
{\displaystyle a_{n\,1}}
a
n
2
{\displaystyle a_{n\,2}}
a
n
3
{\displaystyle a_{n\,3}}
…
{\displaystyle \ldots }
a
n
n
−
1
{\displaystyle a_{n\,n-1}}
a
n
n
{\displaystyle a_{n\,n}}
Beispiele
Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition
(
N
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,\ +)}
Die logische Operation
(
{
w
,
f
}
,
A
N
D
)
{\displaystyle (\{w,f\},\mathbf {AND} )}
A
N
D
{\displaystyle \mathbf {AND} }
w
{\displaystyle w}
f
{\displaystyle f}
w
{\displaystyle w}
w
{\displaystyle w}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
(
{
x
,
y
,
z
}
,
∘
)
{\displaystyle (\{x,\ y,\ z\},\circ )}
∘
{\displaystyle \circ }
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
Definition
Eine Halbgruppe ist eine zweistellige innere Verknüpfung, bei der das Assoziativgesetz gilt. Folglich muss gelten:
(
M
,
∘
)
{\displaystyle (M,\circ )}
∀
a
,
b
,
c
∈
M
:
(
a
∘
b
)
∘
c
=
a
∘
(
b
∘
c
)
=:
a
∘
b
∘
c
{\displaystyle \forall \ a,b,c\in M\colon (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)=:a\circ b\circ c}
Beispiele hierfür sind wieder wie oben
(
N
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}
(
{
w
,
f
}
,
A
N
D
)
{\displaystyle (\{w,f\},\mathbf {AND} )}
Definition
Ein Monoid ist eine Halbgruppe, in dem ein neutrales Element existiert. Dieses nennen wir
e
{\displaystyle e}
∀
a
∈
M
:
a
∘
e
=
e
∘
a
=
a
{\displaystyle \forall \,a\in M:a\circ e=e\circ a=a}
Es reicht allerdings anzunehmen, dass sowohl ein rechtsneutrales Element
e
r
{\displaystyle e_{r}\,}
a
∘
e
=
a
∀
a
∈
M
{\displaystyle a\circ e=a\ \forall \,a\in M}
e
l
{\displaystyle e_{l}\,}
e
∘
a
=
a
∀
a
∈
M
{\displaystyle e\circ a=a\ \forall \,a\in M}
e
l
=
e
l
∘
e
r
=
e
r
{\displaystyle e_{l}=e_{l}\circ e_{r}=e_{r}\,}
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{1},e_{2}\,}
e
1
=
e
1
∘
e
2
=
e
2
{\displaystyle e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\,}
Definition
Eine Menge
G
{\displaystyle G}
e
∈
G
{\displaystyle e\in G}
G
×
G
→
G
,
(
a
,
b
)
↦
a
∘
b
{\displaystyle G\times G\rightarrow G,(a,b)\mapsto a\circ b}
heißt Gruppe wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind : Die Verknüpfung ist assoziativ , d.h. für alle
a
,
b
,
c
∈
G
{\displaystyle a,b,c\in G}
(
a
∘
b
)
∘
c
=
a
∘
(
b
∘
c
)
{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}
Das Element e ist ein neutrales Element, d.h. für alle
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
a
∘
e
=
a
=
e
∘
a
{\displaystyle a\circ e=a=e\circ a}
Zu jedem
a
∈
G
{\displaystyle a\in G}
inverses Element, d.h. es gibt ein
c
∈
G
{\displaystyle c\in G}
a
∘
c
=
c
∘
a
=
e
{\displaystyle a\circ c=c\circ a=e}
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls die Operation kommutativ ist, d.h. es muss gelten
∀
a
,
b
∈
M
:
a
∘
b
=
b
∘
a
{\displaystyle \forall \ a,b\in M\colon \quad a\circ b=b\circ a}
Beispiel
Zeige , dass
(
Z
,
0
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,0,+)}
Seien
z
1
,
z
2
,
z
3
∈
Z
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {Z} }
assoziativ :
(
z
1
+
z
2
)
+
z
3
=
z
1
+
(
z
2
+
z
3
)
{\displaystyle (z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})}
neutrales Element :
z
3
+
0
=
0
+
z
3
=
z
3
{\displaystyle z_{3}+0=0+z_{3}=z_{3}}
inverses Element :
z
3
+
(
−
z
3
)
=
(
−
z
3
)
+
z
3
=
0
{\displaystyle z_{3}+(-z_{3})=(-z_{3})+z_{3}=0}
kommutativ :
z
2
+
z
3
=
z
3
+
z
2
{\displaystyle z_{2}+z_{3}=z_{3}+z_{2}}
Zur Übung zeige man, dass
(
R
,
0
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,0,+)}
(
R
∖
{
0
}
,
1
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {R\backslash \lbrace 0\rbrace } ,1,\cdot )}
