Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Gruppen, Ringe und Körper

Mathematik Lineare Algebra Grundlagen Gruppen, Ringe und Körper
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Operationen, Halbgruppen und Gruppen

Operationen

Definition

Eine Operation oder (zweistellige) innere Verknüpfung $(M,\ \circ )$ bezeichnet man eine Menge $M$ mit der Abbildung $\circ \colon \ M\times M\to M$ mit $M^{2}\ni (x,\ y)\mapsto \circ (x,\ y)=:x\circ y\in M$.

Operationen auf endlichen Mengen, z. B. $M=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ lassen sich durch so genannte Verknüpfungstabellen darstellen. Es gilt $a_{i,j}:=a_{i}\circ a_{j}$ für $i,j\in \{0,1,\ldots ,n\}$.

$\circ$	$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$\ldots$	$a_{n-1}$	$a_{n}$
$a_{1}$	$a_{1\,1}$	$a_{1\,2}$	$a_{1\,3}$	$\ldots$	$a_{1\,n-1}$	$a_{1\,n}$
$a_{2}$	$a_{2\,1}$	$a_{2\,2}$	$a_{2\,3}$	$\ldots$	$a_{2\,n-1}$	$a_{2\,n}$
$a_{3}$	$a_{3\,1}$	$a_{3\,2}$	$a_{3\,3}$	$\ldots$	$a_{3\,n-1}$	$a_{3\,n}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\vdots$
$a_{n-1}$	$a_{n-1\,1}$	$a_{n-1\,2}$	$a_{n-1\,3}$	$\ldots$	$a_{n-1\,n-1}$	$a_{n-1\,n}$
$a_{n}$	$a_{n\,1}$	$a_{n\,2}$	$a_{n\,3}$	$\ldots$	$a_{n\,n-1}$	$a_{n\,n}$

Beispiele

• Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition $(\mathbb {N} ,\ +)$.
• Die logische Operation $(\{w,f\},\mathbf {AND} )$:

$\mathbf {AND}$	$w$	$f$
$w$	$w$	$f$
$f$	$f$	$f$

• $(\{x,\ y,\ z\},\circ )$

$\circ$	$x$	$y$	$z$
$x$	$x$	$z$	$x$
$y$	$y$	$z$	$y$
$z$	$y$	$x$	$x$

Halbgruppen

Definition

Eine Halbgruppe ist eine zweistellige innere Verknüpfung, bei der das Assoziativgesetz gilt. Folglich muss gelten:

• $(M,\circ )$ ist eine zweistellige Operation
• $\forall \ a,b,c\in M\colon (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)=:a\circ b\circ c$

Beispiele hierfür sind wieder wie oben $(\mathbb {N} ,+)$ und $(\{w,f\},\mathbf {AND} )$, jedoch nicht das dritte Beispiel.

Monoide

Definition

Ein Monoid ist eine Halbgruppe, in dem ein neutrales Element existiert. Dieses nennen wir $e$.

$\forall \,a\in M:a\circ e=e\circ a=a$

Es reicht allerdings anzunehmen, dass sowohl ein rechtsneutrales Element $e_{r}\,$ (für dass $a\circ e=a\ \forall \,a\in M$ gilt) und ein linksneutrales Element $e_{l}\,$ (für das $e\circ a=a\ \forall \,a\in M$ gilt) existiert, denn aus $e_{l}=e_{l}\circ e_{r}=e_{r}\,$ folgt, dass diese gleich sein müssen. Wenn es zwei neutrale Elemente $e_{1},e_{2}\,$ gäbe, folgt aus $e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{2}\,$, dass diese gleich sind.

Gruppen

Definition

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element $e\in G$ und einer Verknüpfung

$G\times G\rightarrow G,(a,b)\mapsto a\circ b$

heißt Gruppe wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind :

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle $a,b,c\in G$ gilt
   $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
2. Das Element e ist ein neutrales Element, d.h. für alle $a\in G$ gilt
   $a\circ e=a=e\circ a$
3. Zu jedem $a\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein $c\in G$ mit
   $a\circ c=c\circ a=e$

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls die Operation kommutativ ist, d.h. es muss gelten

$\forall \ a,b\in M\colon \quad a\circ b=b\circ a$

Beispiel

• Zeige , dass $(\mathbb {Z} ,0,+)$ eine kommutative Gruppe ist.

Seien $z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {Z}$ beliebig, dann gilt :

1. assoziativ : $(z_{1}+z_{2})+z_{3}=z_{1}+(z_{2}+z_{3})$
2. neutrales Element : $z_{3}+0=0+z_{3}=z_{3}$
3. inverses Element : $z_{3}+(-z_{3})=(-z_{3})+z_{3}=0$
4. kommutativ : $z_{2}+z_{3}=z_{3}+z_{2}$

Zur Übung zeige man, dass $(\mathbb {R} ,0,+)$ und $(\mathbb {R\backslash \lbrace 0\rbrace } ,1,\cdot )$ kommutative Gruppen sind.

Ringe

Definition

Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R\rightarrow R$ und $\cdot :R\times R\rightarrow R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente $0,1\in R$ gibt, die folgende Eigenschaften erfüllen:

1. Axiome der Addition

1. Assoziativgesetz: für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a+b)+c=a+(b+c)$
2. Kommutativgesetz: für alle $a,b\in R$ gilt: $a+b=b+a$
3. Das neutrale Element der Addition ist $0$, d.h. für alle $a\in R$ ist $a+0=a$
4. Existenz des Negativen: zu jedem $a\in R$ gibt es ein $b\in R$ mit $a+b=0$.

2. Axiome der Multiplikation

1. Assoziativgesetz: für alle $a,b,c\in R$ gilt: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
2. Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$, d.h. für alle $a\in R$ ist $a\cdot 1=1\cdot a=a$

3. Distributivgesetz: für alle $a,b,c\in R$ gilt: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ und $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$

Körper

Definition

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn $R\neq 0$ ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ist also $K$ eine Menge und gibt es zwei Verknüpfungen $\oplus$ und $\odot$ so führt dies auf eine gleichartige Festlegung.

Definition

Ein Körper $(K,\oplus ,\odot )$ muss folgende Bedingungen erfüllen:

• $\left(K,\oplus \right)$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0)
• $\left(K\setminus \{0\},\odot \right)$ ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 1 ungleich 0)
• Es gilt das Distributivgesetz: $\forall \ a,b,c\in K:\ (a\oplus b)\odot c=(a\odot c)\oplus (b\odot c)$