Mathematik: Algebra: Fundamentalsatz der Algebra

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Fundamentalsatz der Algebra

Gegeben sei eine algebraische Gleichung der Form

$P(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\cdot z^{k}=$ $a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_{1}z+a_{0}=0\,$.

( mit komplexen Koeffizienten $a_{k}\in \mathbb {C}$)

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Gleichung dieser Form vom Grad n>0 ($n\in \mathbb {N}$) immer eine Lösung in $\mathbb {C}$ besitzt (oder anders formuliert: Jedes nichtkonstante Polynom besitzt in $\mathbb {C}$ eine Nullstelle).

Lässt man geeignete Vielfachheiten der Lösung(en) zu, so ergibt sich, dass jede Gleichung der obigen Form genau n Lösungen in $\mathbb {C}$ besitzt.

Im Fundamentalsatz der Algebra zeigt sich die besondere Leistungsfähigkeit des Zahlbereiches $\mathbb {C}$ gegenüber dem Zahlbereich $\mathbb {R}$, die dafür sorgt, dass auch Polynomgleichungen, die in $\mathbb {R}$ keine Lösung besitzen (Beispiel: $x^{2}=-1\,$), lösbar sind (die Lösungen in $\mathbb {C}$ sind die Zahlen $i\,$ und $-i\,$ (wg. $i^{2}=-1\,$).

Man sagt dafür auch, dass $\mathbb {C}$ algebraisch abgeschlossen ist. Allerdings ist diese Zahlbereichserweiterung damit verbunden, dass $\mathbb {C}$ (im Gegensatz zu $\mathbb {R}$) nicht vollständig geordnet ist.

Beweis

Hintergrund:

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Inzwischen kennt man mehrere, z.T. sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra oder Topologie beinhalten.

Trotz seines Namens kann der Satz nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden, da er eine Aussage über den Körper $\mathbb {C}$ macht - und dieser ist ein Konstrukt der Analysis. Am einfachsten kann der Fundamentalsatz der Algebra mit Methoden der Funktionentheorie bewiesen werden, und zwar mit Hilfe des Satzes von Liouville, der besagt, dass jede beschränkte ganze (d.h. jede beschränkte auf ganz $\mathbb {C}$ definierte holomorphe) Funktion konstant ist:

Beweis mit Methoden der Funktionentheorie

Sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ein Polynom positiven Grades.

Wegen $\lim \limits _{|z|\to \infty }\left|f(z)\right|=\infty$ existiert ein $R>0\,$ mit $\left|f(0)\right|\leq \left|f(z)\right|$ für alle $z\in \mathbb {C} \setminus U_{R}(0)$.

Weil $\left|f\right|$ stetig und ${\overline {U_{R}(0)}}$ kompakt ist, existiert nach dem Satz von Weierstrass eine Stelle $z_{0}\in {\overline {U_{R}(0)}}$ mit $C:=\left|f(z_{0})\right|\leq \left|f(z)\right|$ für alle $z\in {\overline {U_{R}(0)}}$.

Wegen $C\leq \left|f(0)\right|$ ist $C\leq \left|f(z)\right|$ für alle $z\in \mathbb {C}$. Wäre $C>0\,$, so wäre $z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}$ holomorph auf $\mathbb {C}$ und durch ${\frac {1}{C}}$ beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant.

Literaturempfehlungen (Auswahl)

• van der Waerden, B.L.: Algebra, Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1966 (auch zahlreiche andere Auflagen)
• Kunz, E.: Algebra, Vieweg-Verlag, Braunschweig/ Wiesbaden ²1994
• Scheja, G./ Storch, U.: Lehrbuch der Algebra, Teil 2, B.G.Teubner Verlag, Stuttgart 1988