Mathematik: Algebra: Fundamentalsatz der Algebra


Fundamentalsatz der AlgebraBearbeiten

Gegeben sei eine algebraische Gleichung der Form

   .

( mit komplexen Koeffizienten  )

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jede Gleichung dieser Form vom Grad n>0 ( ) immer eine Lösung in   besitzt (oder anders formuliert: Jedes nichtkonstante Polynom besitzt in   eine Nullstelle).

Lässt man geeignete Vielfachheiten der Lösung(en) zu, so ergibt sich, dass jede Gleichung der obigen Form genau n Lösungen in   besitzt.


Im Fundamentalsatz der Algebra zeigt sich die besondere Leistungsfähigkeit des Zahlbereiches   gegenüber dem Zahlbereich  , die dafür sorgt, dass auch Polynomgleichungen, die in   keine Lösung besitzen (Beispiel:  ), lösbar sind (die Lösungen in   sind die Zahlen   und   (wg.  ).

Man sagt dafür auch, dass   algebraisch abgeschlossen ist. Allerdings ist diese Zahlbereichserweiterung damit verbunden, dass   (im Gegensatz zu  ) nicht vollständig geordnet ist.

BeweisBearbeiten

Hintergrund:

Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben. Inzwischen kennt man mehrere, z.T. sehr unterschiedliche Beweise, die Begriffe und Ideen aus Analysis, Algebra oder Topologie beinhalten.

Trotz seines Namens kann der Satz nicht mit rein algebraischen Methoden bewiesen werden, da er eine Aussage über den Körper   macht - und dieser ist ein Konstrukt der Analysis. Am einfachsten kann der Fundamentalsatz der Algebra mit Methoden der Funktionentheorie bewiesen werden, und zwar mit Hilfe des Satzes von Liouville, der besagt, dass jede beschränkte ganze (d.h. jede beschränkte auf ganz   definierte holomorphe) Funktion konstant ist:

Beweis mit Methoden der FunktionentheorieBearbeiten

Sei   ein Polynom positiven Grades.

Wegen   existiert ein   mit   für alle  .

Weil   stetig und   kompakt ist, existiert nach dem Satz von Weierstrass eine Stelle   mit   für alle  .

Wegen   ist   für alle  . Wäre  , so wäre   holomorph auf   und durch   beschränkt, also nach dem Satz von Liouville konstant.

Literaturempfehlungen (Auswahl)Bearbeiten

  • van der Waerden, B.L.: Algebra, Erster Teil, Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1966 (auch zahlreiche andere Auflagen)
  • Kunz, E.: Algebra, Vieweg-Verlag, Braunschweig/ Wiesbaden 21994
  • Scheja, G./ Storch, U.: Lehrbuch der Algebra, Teil 2, B.G.Teubner Verlag, Stuttgart 1988