Mathematik: Algebra: Ringe



In einer Gruppe gab es lediglich eine Verknüpfung, dessen Bezeichnung eigentlich nebensächlich ist. Oft werden allerdings eine Multiplikation und eine Addition benötigt. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit den Beziehungen zwischen diesen Operationen.

GrundbegriffeBearbeiten

Wir betrachten zunächst eine Menge   mit zwei Operationen. Diese werden üblicherweise Addition und Multiplikation genannt

RingeBearbeiten

Definition (Ring): Eine Menge   mit zwei Verknüpfungen

 

heißt Ring, geschrieben als Tupel  , wenn Folgendes gilt:

(R1)   ist eine kommutative Gruppe
(R2)   ist eine Halbgruppe
(R3) Es gelten die Distributivgesetze
  und  

Gilt zusätzlich   für alle  , so nennt man   einen kommutativen Ring.

Für das neutrale Element von   schreibt man oft   oder  . Das inverse Element von   bezüglich der Addition   bezeichnet man für gewöhnlich mit  .

Ist   sogar ein Monoid, so wird dessen neutrales Element mit   oder   bezeichnet und heißt Einselement von  . Man spricht in diesem Fall von einem unitären Ring oder auch von einem Ring mit Einselement. Man beachte, dass   für   gerade der Nullring   ist.


Beispiel: Die ganzen Zahlen   mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Ring mit Einselement. Dagegen ist die Menge   der natürlichen Zahlen kein Ring, da   keine Gruppe ist.


Satz Ist   eine abelsche Gruppe, so bilden die Endomorphismen von   mit punktweiser Addition und Hintereinanderausführung als Multiplikation, einen unitären Ring: den Endomorphismenring  . Hierbei ist die identische Abbildung auf   das Einselement.

Beweis: einfach; z.B. Distributivgesetz:  


Beispiel:  , da jeder Endomorphismus durch das Bild   bereits vollständig beschrieben ist (  für alle  ).


Beispiel:   enthält z.B. die Elemente  ,  ,  , die gegeben sind durch  ,  ,  . Es gilt  ,  ,  . Insbesondere ist dieser Ring nicht kommutativ. (Tatsächlich ist er isomorph zum Matrizenring  .)


Definition: Sei   ein Ring. Die Menge der multiplikativ invertierbaren Elemente von  ,   heißt Menge der Einheiten von  .


Definition: Sei   ein Ring,  . Dann heißt   Schiefkörper.


Beispiel: Die Hamiltonschen Quaternionen   sind ein Schiefkörper, aber wegen der fehlenden Kommutativität der Multiplikation kein Körper. Im Schiefkörper der Quaternionen gilt nämlich:

  •  
  •  
  •  
  •  

NullteilerBearbeiten

Definition: Wenn es   gibt mit   so heißt   ein linker Nullteiler und   ein rechter Nullteiler.   heißt nullteilerfrei, wenn aus   stets   oder   folgt.

IntegritätsbereichBearbeiten

Nullteilerfreie kommutative Ringe mit Einselement heißen Integritätsbereiche.

RinghomomorphismenBearbeiten

Sind   und   Ringe, dann heißt eine Abbildung   ein Ringhomomorphismus, wenn sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d.h. wenn für alle   gilt:

  •  
  •  

(Hierbei bedeuten   und   links die Addition bzw. Multiplikation in  , rechts die in  .)

Der Kern von   besteht aus allen Elementen aus  , die auf   abgebildet werden. Das Bild von   umfasst alle   für die es ein   gibt, für das  .


Definitionen: Ein Ringhomomorphismus heißt

  • Ringepimorphismus, wenn er surjektiv ist, d.h. es gibt zu jedem   ein  , für das  
  • Ringmonomorphismus, wenn er injektiv ist, d.h. wenn für   gilt  , so folgt  
  • Ringisomorphismus, wenn er injektiv und surjektiv (genannt bijektiv) ist
  • Ringendomorphismus, wenn  
  • Ringautomorphismus, wenn   und er bijektiv ist

IdealeBearbeiten

Bei Gruppen kann man Faktorgruppen bilden, indem man die Nebenklassen bzgl. eines Normalteilers betrachtet. Auf ähnliche Weise kann man Faktorringe (Restklassenringe) bilden. Wir betrachten die Nebenklassen   bzgl. einer Menge  . Ist   eine additive Untergruppe - und damit Normalteiler, da die Addition kommutativ ist - so ist auf  , wie wir bereits wissen, eine Addition definiert. Welche Eigenschaft muss   haben, damit auch die Multiplikation wohldefiniert ist? Wir haben für alle  , :  , vorausgesetzt dass   und   in   enthalten sind. (Gilt dies für alle  ,   so folgt automatisch auch  .)

Definition (Ideal) Es sei   ein Ring. Eine Teilmenge   heißt ein Links-Ideal in  , wenn gilt:

  •  
  •  

Gilt zusätzlich

  •  ,

so heißt   ein Ideal von  .

Satz

  • Ist   ein Ideal von  , so bilden die additiven Restklassen modulo   einen Ring, den Restklassenring oder Faktorring  .
  • Es gibt einen natürlichen surjektiven Homorphismus  , der jedes Element auf seine Restklasse abbildet.
  • Ist   ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von   ein Ideal von  , und das Bild von   ist ein Teilring von  , der zu   isomorph ist.

Beispiel Ist   eine natürliche Zahl, dann ist   ein Ring mit   Elementen, bestehend aus den Restklassen von  .

Direktes ProduktBearbeiten

Sind   Ringe, wobei   eine beliebige Indexmenge durchläuft, so ist auch das direkte Produkt   mit elementweiser Addition und Multiplikation ein Ring.

Polynomringe und PotenzreihenringeBearbeiten

Sei   ein Ring. Wir nehmen ein Symbol   (eine "Unbestimmte") und betrachten die formalen Summen   mit  . (Die   heißen die Koeffizienten.) Dies ist zunächst nur eine spezielle Schreibweise für die Tupel  . Sie legt aber eine besondere Definition der Multiplikation auf diesen Tupeln nahe, nämlich  . Die innere Summe rechts läuft über die (endlich vielen) natürlichen Zahlen  ,   mit  . Die Addition erfolgt koeffizientenweise:  . Man kann nachrechnen, dass die formalen Summen mit der so definierten Multiplikation und Addition einen Ring bilden, den sogenannten Potenzreihenring  . Beschränkt man sich auf endliche Summen, d.h. auf Tupel mit   für alle bis auf endlich viele  , so erhält man einen Teilring, den sog. Polynomring  . Wir fassen   als Teilring von   auf, indem wir   mit dem Polynom   identifizieren. Für ein Polynom   heißt das größte   mit   der Grad  . Der Koeffizient   heißt der Leitkoeffizient von  .   heißt normiert, falls sein Leitkoeffizient   ist. Wir definieren außerdem  . Die Elemente von   entsprechen genau den Polynomen vom Grad  , sowie dem Nullpolynom; diese heißen konstante Polynome.

Satz

  • Ist   nullteilerfrei, so gilt  . Insbesondere ist auch   nullteilerfrei.
  • Im allgemeinen Fall gilt  , mit Ungleichheit nur dann, wenn das Produkt der beiden Leitkoeffizienten   ergibt.

Beweis: Ergibt sich sofort aus der Definition des Produkts.

Satz Ist   ein Ringhomomorphismus und   ein Element, das mit jedem Element von   kommutiert, dann gibt es eine eindeutige Fortsetzung   von   mit  .

Beweis: Durch vollständige Induktion folgt sofort, dass   auf   abgebildet werden muss. Dass die so definierte Abbildung wirklich einen Ringhomomorphismus darstellt, folgt durch einfaches Nachrechnen. (Dabei wird verwendet, dass die   mit den   kommutieren.