Mathematik: Algebra: Körper

Zurück zu Ringe, Ideale und Algebrenn | Hoch zu Algebra | Vor zu Literaturverzeichnis

Grundlagen

Körper

Definition: Eine Menge $K\,$ mit zwei Verknüpfungen

${\begin{alignedat}{2}+:K\times K\rightarrow K&\quad &(a,b)\mapsto a+b\\\cdot :K\times K\rightarrow K&&(a,b)\mapsto a\cdot b\end{alignedat}}$

heißt Körper im Zeichen $(K;+,\cdot )$, wenn folgendes gilt:

(K1) $(K,+)\,$ ist eine kommutative Gruppe

(K2) $(K\setminus \{0\},\cdot )$ ist ebenfalls eine kommutative Gruppe

(K3) Es gelten die Distributivgesetze, also ist für $a,b,c\in K$

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ und $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Dabei werden die neutralen Elemente von $(K,+)\,$ mit $0\,$ und von $(K,\cdot )$ mit $1\,$ bezeichnet. Das zu $a\in (K,\cdot )$ inverse Element wird mit $a^{-1}\,$ oder mit $1/a\,$ bezeichnet. Für $a,b\in (K,\cdot )$ schreibt man $a/b=ab^{-1}=b^{-1}a\,$. Das inverse Element zu $a\in (K,+)$ ist $-a\,$.

Kurz gesagt: Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem jedes von $0\,$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Beispiele:

• Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ bilden jeweils einen Körper.
• $\mathbb {Z}$ ist kein Körper, da z.B. $2\,$ kein multiplikatives Inverses besitzt
• $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}}\}$ ist ein Körper. Allgemeiner ist $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ genau dann ein Körper, wenn $p\,$ Primzahl ist.

Aus dieser Definition lassen sich weitere Eigenschaften eines Körpers herleiten.

Ein Körper ist nullteilerfrei, denn aus $ab=0\,$ und $a\not =0$ folgt durch Multiplikation mit $a^{-1}\,$, dass $b=0\,$.

Definition: Sei $K\,$ ein Körper. Existiert eine (die kleinste) natürliche Zahl $n\,$, für die gilt $\underbrace {1+\ldots +1} _{\mbox{n-mal}}=0$, so heißt $char(K)=n\,$ die Charakteristik von $K\,$. Gibt es keine solche Zahl, so setzt man $char(K)=0\,$.

Vektorräume

Definition: Eine Menge $V\,$ mit zwei Verknüpfungen

${\begin{alignedat}{2}+:V\times V\rightarrow V&\quad &(v,w)\mapsto v+w\\\cdot :K\times V\rightarrow V&&(a,v)\mapsto a\cdot v\end{alignedat}}$

heißt Vektorraum über dem Körper $K$, falls gilt:

(V1) $(V,+)\,$ ist eine kommutative Gruppe

(V2) $(ab)v=a(bv)\,$ für alle $a,b\in K,v\in V$

(V3) $(a+b)v=av+bv\,$ für alle $a,b\in K,v\in V$

(V4) $a(v+w)=av+aw\,$ für alle $a\in K,v,w\in V$

Die Elemente von $K\,$ werden in diesem Zusammenhang als Skalare bezeichnet, die Verknüpfung $\cdot :K\times V\rightarrow V$ heißt Skalarmultiplikation.

Beispiele:

• Die Menge $K^{n}\,$ der $n\,$-Tupel bildet einen Vektorraum über $K\,$. Hierbei ist die Addition komponentenweise definiert und die Skalarmultiplikation durch

$a\cdot (x_{1},...,x_{n})=(ax_{1},...,ax_{n})$.

• Der Polynomring $K[X]\,$ ist ein Vektorraum über $K\,$.

Definition: Erzeugendensystem, linear-unabhängig, Basis

Satz: Je zwei Basen eines Vektorraums haben die gleiche Elementanzahl.

Definition: Dimension

Körpererweiterungen

Definition: Eine Teilmenge $K\,$ eines Körpers $L\,$ heißt Teilkörper von $L\,$, wenn $K\,$ mit der Addition und Multiplikation von $L\,$ selbst ein Körper ist.

Definition: Sei $L\,$ ein Körper, $K\,$ ein Teilkörper von $L\,$. Dann heißt $L\,$ Erweiterungskörper von $K\,$ und der Zusammenhang $L/K\,$ wird als Körpererweiterung bezeichnet.

Beispiel: $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ ist eine Körpererweiterung.

Definition: Sei $L/K\,$ eine Körpererweiterung, $M\subset L$ eine Menge von Elementen. Dann bezeichnet $K(M)\,$ den kleinsten Teilkörper von $L\,$, der alle Elemente aus $M\,$ enthält, genannt die durch Adjunktion von $M\,$ erzeugte Körpererweiterung von $K\,$.

Definition: Eine Körpererweiterung heißt endlich erzeugbar, wenn $M\,$ endlich ist. Man schreibt dann mit $M=\{a_{1},\ldots ,a_{k}\}$ für die Körpererweiterung $K(a_{1},\ldots ,a_{k})$

Definition: Eine Körpererweiterung heißt einfach, wenn sie von einem Element erzeugt werden kann.

Definition: Sei $L/K\,$ eine Körpererweiterung. Dann heißt die Dimension von $L\,$ als $K\,$-Vektorraum Grad der Körperweiterung von $L\,$ über $K\,$. Körpererweiterungen mit endlichem Grad heißen ferner endlich (nicht zu verwechseln mit endlich erzeugt).

Definition: Sei $L/K\,$ eine Körpererweiterung. Ein Element $l\in L$ heißt algebraisch über $K\,$, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus $K\,$ ist. Anderenfalls nennt man $l\,$ transzendent über $K\,$. Sind alle $l\in L$ algebraisch über $K\,$, so spricht man von einer algebraischen Körpererweiterung.

Beispiele:

• Die Körpererweiterung $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ ist algebraisch und vom Grad 2.
• Die Körpererweiterung $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ ist nicht algebraisch und eine unendliche Körpererweiterung.

Satz: Es gilt $K(a)=K[a]\,$ genau dann, wenn a algebraisch über $K\,$ ist.