Mathematik: Algebra: Körper



GrundlagenBearbeiten

KörperBearbeiten

Definition: Eine Menge   mit zwei Verknüpfungen

 

heißt Körper im Zeichen  , wenn folgendes gilt:

(K1)   ist eine kommutative Gruppe
(K2)   ist ebenfalls eine kommutative Gruppe
(K3) Es gelten die Distributivgesetze, also ist für  
  und  

Dabei werden die neutralen Elemente von   mit   und von   mit   bezeichnet. Das zu   inverse Element wird mit   oder mit   bezeichnet. Für   schreibt man  . Das inverse Element zu   ist  .

Kurz gesagt: Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Einselement, in dem jedes von   verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Beispiele:

  • Die rationalen, reellen und komplexen Zahlen   bilden jeweils einen Körper.
  •   ist kein Körper, da z.B.   kein multiplikatives Inverses besitzt
  •   ist ein Körper. Allgemeiner ist   genau dann ein Körper, wenn   Primzahl ist.


Aus dieser Definition lassen sich weitere Eigenschaften eines Körpers herleiten.

Ein Körper ist nullteilerfrei, denn aus   und   folgt durch Multiplikation mit  , dass  .

Definition: Sei   ein Körper. Existiert eine (die kleinste) natürliche Zahl  , für die gilt  , so heißt   die Charakteristik von  . Gibt es keine solche Zahl, so setzt man  .

VektorräumeBearbeiten

Definition: Eine Menge   mit zwei Verknüpfungen

 

heißt Vektorraum über dem Körper  , falls gilt:

(V1)   ist eine kommutative Gruppe
(V2)   für alle  
(V3)   für alle  
(V4)   für alle  

Die Elemente von   werden in diesem Zusammenhang als Skalare bezeichnet, die Verknüpfung   heißt Skalarmultiplikation.

Beispiele:

  • Die Menge   der  -Tupel bildet einen Vektorraum über  . Hierbei ist die Addition komponentenweise definiert und die Skalarmultiplikation durch

 .

  • Der Polynomring   ist ein Vektorraum über  .

Definition: Erzeugendensystem, linear-unabhängig, Basis

Satz: Je zwei Basen eines Vektorraums haben die gleiche Elementanzahl.

Definition: Dimension

KörpererweiterungenBearbeiten

Definition: Eine Teilmenge   eines Körpers   heißt Teilkörper von  , wenn   mit der Addition und Multiplikation von   selbst ein Körper ist.

Definition: Sei   ein Körper,   ein Teilkörper von  . Dann heißt   Erweiterungskörper von   und der Zusammenhang   wird als Körpererweiterung bezeichnet.

Beispiel:   ist eine Körpererweiterung.


Definition: Sei   eine Körpererweiterung,   eine Menge von Elementen. Dann bezeichnet   den kleinsten Teilkörper von  , der alle Elemente aus   enthält, genannt die durch Adjunktion von   erzeugte Körpererweiterung von  .


Definition: Eine Körpererweiterung heißt endlich erzeugbar, wenn   endlich ist. Man schreibt dann mit   für die Körpererweiterung  


Definition: Eine Körpererweiterung heißt einfach, wenn sie von einem Element erzeugt werden kann.


Definition: Sei   eine Körpererweiterung. Dann heißt die Dimension von   als  -Vektorraum Grad der Körperweiterung von   über  . Körpererweiterungen mit endlichem Grad heißen ferner endlich (nicht zu verwechseln mit endlich erzeugt).


Definition: Sei   eine Körpererweiterung. Ein Element   heißt algebraisch über  , wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten aus   ist. Anderenfalls nennt man   transzendent über  . Sind alle   algebraisch über  , so spricht man von einer algebraischen Körpererweiterung.


Beispiele:

  • Die Körpererweiterung   ist algebraisch und vom Grad 2.
  • Die Körpererweiterung   ist nicht algebraisch und eine unendliche Körpererweiterung.


Satz: Es gilt   genau dann, wenn a algebraisch über   ist.