Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Greensche Funktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Wo stehen wirBearbeiten

Wir hatten die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet. Mit dieser konnten wir im Ganzraum die Lösung der Poissongleichung beweisen. Dann hatten wir die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen gezeigt und das Maximumprinzip harmonischer Funktionen eingeführt. Wir hatten daraufhin die Harnacksche Ungleichung hergeleitet und bewiesen, dass harmonische Funktionen unendlich oft differenzierbar sind. Wir hatten dann Schranken für die Ableitungen harmonischer Funktionen gezeigt und mit diesen bewiesen, dass harmonische Funktionen analytisch sind, sich also lokal durch ihre Tayorreihe darstellen lassen.

In diesem Kapitel suchen wir eine Lösungsformel für das Dirichletproblem der Poissongleichung, d.h. für

 

Dafür definieren wir uns die Greensche Funktion   aus der Fundamentallösung   und den vielen Lösungen des Randwertproblems für alle  

 

Damit erhalten wir eine Darstellungsformel für die Lösung

 

Wir haben dabei das Problem der Lösung übergewälzt auf   und schauen uns in den folgenden Kapiteln zwei spezielle Mengen   an: Für den Halbraum und die Kugel können wir dann explizite (!) Lösungsformeln für   angeben, die Beweise sind allerdings technisch langwierig. Die Lösungen finden direkt Anwendung z.B. in der Physik in der Elektrostatik.

Gebiete mit -RandBearbeiten

Definition (Gebiete mit  -Rand)

Sei   ein beschränktes Gebiet, d.h.   ist offen und zusammenhängend.   hat einen Rand   vom Typ   genau dann wenn

a) U ist das Innere des Abschlusses von U, d.h.  

b) Für jeden Randpunkt   gibt es eine offene Umgebung   von   und eine  -Funktion   sodass gilt

i) Die Funktion teilt mit ihrem Funktionswert die Teile von   innerhalb und außerhalb von   auf durch das Vorzeichen.

 

ii)   für alle  .

Es gilt dann

 

Da f differenzierbar ist, ist der Rand schön rund und hat keine Knicke.

Die Bedingung a) verhindert, dass einzelne Linien oder Punkte aus   ausgeschnitten sind (was   offen ließe).

Leider steht uns die erforderliche Differentialgeometrie noch nicht zur Verfügung: Mit dem Umkehrsatz zeigt man, dass   eine  -dimensionale Untermannigfaltigkeit ist. Der (kurze?) Beweis, dass   eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand ist, wäre noch zu führen.

To-Do:

Der 1. Beweis steht in der Differentialgeometrie, für den 2. Beweis wäre eine Literaturquelle zu finden

Erste Darstellungsformel für die Lösung der PoissongleichungBearbeiten

Satz

Sei   offen und beschränkt mit  -Rand. Ist   eine Lösung der Poissongleichung

 

mit  , so gilt für alle  

 

wobei   die Fundamentallösung der Laplacegleichung darstellt. Es gehen also nur die Werte von   und seiner Ableitung auf dem Rand ein!

Diese Darstellung ist der erste Schritt auf dem Weg zur Darstellung mit der Greenschen Funktion.

Beweis

Sei   beliebig und  . Da   die Poissongleichung erfüllt, erhalten wir mit der Greenschen Formel und dann über Aufteilung des Integrationsbereiches

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

 

wobei ein Minuszeichen im zweiten Term auftritt, weil der äußere Normalenvektor aus dem Gebiet in die Kugel hinein zeigt. Wir teilen den letzten Term auf in zwei Terme, die wir getrennt untersuchen wollen

 

Es gilt  . Zudem ist der Gradient von   differenzierbar und damit stetig und damit beschränkt auf dem kompakten Rand ist. Wie wir im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum#Die Lösung_der_Poissongleichung_im_Ganzraumfall gezeigt haben folgt

 

Wir haben im Kapitel der Fundamentallösung Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung#Eigenschaften_der_Fundamentallösung den Gradienten von   bewiesen, d.h.

 

Mit der Verschiebung

 

ergibt sich mit zweimaligem Anwenden der Transformationsformel Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Die_Transformationsformel#Die_Transformationsformel

 

wobei der letzte Grenzübergang mit der Stetigkeit von   schon bewiesen wurde im Kapitel

Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum#Die_Lösung_der_Poissongleichung_im_Ganzraumfall

Das ergibt insgesamt

 

und damit mit   für   die Behauptung. Da   stetig ist, ist es auf dem kompakten   beschränkt. Das verbleibende Integral geht gegen Null, wie wir gezeigt haben im Kapitel Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Poissongleichung_im_Ganzraum#Die_Lösung_der_Poissongleichung_im_Ganzraumfall

 

Die Definition der Greenschen FunktionBearbeiten

Definition

Sei   offen. Zu jedem   betrachte die Anfangswertaufgabe

 

Das ergibt für jedes   ggf. eine Funktion  . Ist diese in  , so nennt man

 

die Greensche Funktion. Für diese gilt

 

Wir geben also als Randwert die Fundamentallösung vor und lösen für jedes   die Poissongleichung. Die Greensche Funktion wird auf dem Rande Null.

  heißt die Korrektorfunktion. Für beschränktes   ist die Korrektorfunktion wegen der Eindeutigkeit der Lösung der Poissongleichung eindeutig, wenn sie existiert. Damit ist auch die Greensche Funktion eindeutig. Wegen

 

folgt

 

und

 

ist harmonisch: es ist von der Klasse  .

Auf dem Rand gilt außerdem

 

Darstellung der Lösung der Poissongleichung mittels der Greenschen FunktionBearbeiten

Satz

Es sei   offen und beschränkt mit  -Rand und sei   eine Lösung der Randwertaufgabe

 

mit  . Zudem existiere die Greensche Funktion   auf   mit   für  . Dann gilt

 

WENN wir eine Lösung vorliegen haben UND die Greensche Funktion existiert, erhalten wir hier eine simple Darstellungsformel: zwei Integrale. Alles entscheidet sich also über die Greensche Funktion, die wir für zwei Spezialfälle in folgenden Kapiteln ermitteln werden.

Beweis

Da   die Randwertaufgabe löst erhalten wir mit der Greenschen Formel

 

Wir verwenden die Darstellung von   im ersten Satz dieses Kapitels, setzen die Definition von   ein und setzen daraufhin die gerade gezeigte Beziehung ein

 

Symmetrie der Greenschen FunktionBearbeiten

Satz (Symmetrie der Greensche Funktion)

Sei   offen und beschränkt mit  -Rand. Existiert die Greensche Funktion   auf   mit  , so ist sie symmetrisch, d.h. für alle   mit   gilt

 

Beweis (Symmetrie der Greensche Funktion)

Seien   mit  . Setze

 

Da die Greensche Funktion   harmonisch ist in der ersten Komponente und Null wird auf dem Rand, gilt

 

Wähle   so klein, dass die  -Kugeln um   und   sich nicht schneiden und ganz in   enthalten sind

 

und setze

 

Mit der Greenschen Formel

Mathe_für_Nicht-Freaks: Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Der_Satz_von_Stokes

gilt unter Aufteilung des Integrales, wobei sich das Vorzeichen durch Umkehrung des äußeren Normalenvektors ergibt

 

Das ergibt

 

Da   harmonisch ist, ist seine stetige Ableitung auf dem kompakten   beschränkt

 

Mit der Definition von  

 

rechnen wir weiter, da   stetig ist und somit auf dem kompakten   beschränkt

 

Den Limes für den Fall   zeigt man mit der Regel von L'Hospital:

  lässt sich stetig in   zu   fortsetzen:

 

Das war der zweite Term der linken Seite. Nun zerlegen wir den ersten Term der linken Seite mit   zu

 

Wobei der linke dieser Terme im ersten Beweis dieses Kapitels gezeigt wurde (er hieß  )und der rechte Term gegen Null geht, da   stetig und damit beschränkt ist.

Insgesamt gilt

 

Völlig analog beweist man

 

Das ergibt

 

und damit die Symmetrie von  .