Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Die Transformationsformel – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\rightarrow V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_{n}\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruiert, indem wir Funktionen äquivalent nannten, die sich nur auf einer Nullmenge unterschieden. Wir haben Riemann-Integral und Lebesgueintegral verglichen und in manchen Fällen als gleich erkannt. Und wir haben einen Weg gefunden, über schrittweise eindimensionale Integration zum Integral über ein Maß auf einem mehrdimensionalen Raum zu gelangen. Dann haben wir Bedingungen angegeben, wann das Integral mit einer Ableitung oder einem Grenzwert vertauscht.

Integration über das Bildmaß

Wir zeigen, dass man mit einer Funktion $f:(W_{1},S_{1},m)\rightarrow (W_{2},S_{2})$ ein Bildmaß $m_{f}$ im Raum $(W_{2},S_{2})$ erzeugen kann. Sei $h:(W_{2},S_{2})\rightarrow ({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$. Dann ist es egal, ob man $h$ im Bildraum $(W_{2},S_{2})$ mit $m_{f}$ integriert oder $h$ verknüpft mit $f$ im Raum $(W_{1},S_{1})$ mit $m$ integriert: es kommt dasselbe heraus.

Satz

Gegeben seien

$(W_{1},S_{1},m){\stackrel {f}{\rightarrow }}(W_{2},S_{2},m_{f}){\stackrel {h}{\rightarrow }}({\overline {\mathbb {R} }},{\overline {\mathbb {B} }})$

mit dem von $f$ erzeugten Maß

$m_{f}:S_{2}\rightarrow \mathbb {R} ,A\mapsto m[f^{-1}(A)]$

Es ist für den Wert des Integrales egal, ob man im Bildraum $h$ mit $m_{f}$ oder im Urbildraum $h\circ f$ mit $m$ integriert:

Für $h\geq 0$ gilt

$\int hdm_{f}=\int (h\circ f)dm$

Weiter gilt

${\text{ h ist }}m_{f}{\text{ integrierbar }}\iff h\circ f{\text{ ist m-integrierbar}}$

und in diesem Fall sind die Integrale wieder gleich.

Beweis

Wir beweisen es erst für die Indikatorfunktion, dann für primitive Funktionen, dann für nicht-negative messbare Funktionen und dann für beliebige Funktionen. Dazu benötigen wir folgende Beziehung für Indikatorfunktionen, wobei $A_{i}\in S_{2}$

${\begin{aligned}1_{f^{-1}(A_{i})}(w_{1})=&{\begin{cases}1&w_{1}\in f^{-1}(A_{i})\\0&{\text{sonst}}\\\end{cases}}{\text{ lebt auf }}W_{1}\\=&{\begin{cases}1&f(w_{1})\in A_{i}\\0&{\text{sonst}}\\\end{cases}}{\text{ lebt auf }}W_{2}\\=&1_{A_{i}}(f(w_{1}))\\=&(1_{A_{i}}\circ f)(w_{1})\end{aligned}}$

Beachte, dass $1_{f^{-1}(A_{i})}$ auf $W_{1}$ lebt, $1_{A_{i}}$ jedoch auf $W_{2}$.

0.) $m_{f}$ ist ein Maß:

Mit den Rechenregeln von $f^{-1}$ (im Kapitel über messbare Funktionen) und mit der Eigenschaft von $m$ gilt

${\begin{aligned}m_{f}(\emptyset )=&m(f^{-1}(\emptyset ))=m(\emptyset )=0\\m_{f}\left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=&m\left(f^{-1}\left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\right)=m\left(\biguplus _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(A_{n})\right)=\sum _{n=1}^{\infty }m(f^{-1}(A_{n}))=\sum _{n=1}^{\infty }m_{f}(A_{n})\end{aligned}}$

Damit ist $m_{f}$ ein Maß.

1.) Die Indikatorfunktion:

Sei $h=1_{A_{i}}$. WIr wenden die gerade gezeigte Beziehung für Indikatorfunktinen an und benutzen die Definition von m_f. Das ergibt

${\begin{aligned}\int 1_{A_{i}}\circ fdm=&\int 1_{f^{-1}(A_{i})}dm=m(f^{-1}(A_{i}))\\=&m_{f}(A_{i})=\int 1_{A_{i}}dm_{f}\end{aligned}}$

2.) Primitive Funktionen:

Sei $h=\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}},a_{i}\in \mathbb {R} ^{+},A_{i}\in S_{2}$. Wir benutzen 1.) und die Linearität der Integrale über m und m_f.

${\begin{aligned}\int \sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}dm_{f}=&\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}dm_{f}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\int 1_{A_{i}}\circ fdm\\=&\int \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}\right)\circ fdm\end{aligned}}$

3.) nicht-negative messbare Funktionen:

Sei $h\in P^{\ast }$ und $u_{n}=\sum _{i=1}^{k_{n}}a_{i,n}1_{A_{i,n}}\in P$ mit $u_{n}\uparrow h$. Da die $u_{n}$ und $u_{n}\circ f$ monoton steigend gegen $h$ und $h\circ f$ gehen, gilt nach Definition des Integrales und 2.)

${\begin{aligned}\int hdm_{f}=&\int \lim _{n\rightarrow \infty }\underbrace {u_{n}} _{\geq 0,\uparrow }dm_{f}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int u_{n}dm_{f}\\{\stackrel {2.)}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }\int \underbrace {u_{n}\circ f} _{\geq 0,\uparrow }dm\\=&\int \lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}\circ fdm=\int h\circ fdm\end{aligned}}$

4.) messbare Funktionen:

Wegen 3.) gilt

${\begin{aligned}\int h^{+}dm_{f}=&\int (h^{+}\circ f)dm\\\int h^{-}dm_{f}=&\int (h^{-}\circ f)dm\end{aligned}}$

Sind beide endlich, so sind h, bzw h\circ f integrierbar

${\begin{aligned}\int hdm_{f}=&\int h^{+}dm_{f}-\int h^{-}dm_{f}\\=&\int h^{+}\circ fdm-\int h^{-}\circ fdm\\=&\int h\circ fdm\end{aligned}}$

Aufgabe zur Integration über das Bildmaß

Aufgabe (Eigenschaften von $m_{f}$)

Sei $f:(W,S,m)\rightarrow (W_{2},S_{2})$ gegeben.

a) Sei $m_{f}$ endlich. Dann ist $m$ endlich.

b) Sei $m_{f}$ sigma-endlich. Dann ist $m$ sigma-endlich.

c) Sei $m$ sigma-endlich. Dann ist nicht notwendigerweise $m_{f}$ sigma-endlich.

Wie kommt man auf den Beweis? (Eigenschaften von $m_{f}$)

Schreibe die Definition von sigma-endlich genau hin. Nenutze die Eigenschaften von $f^{-1}$ aus dem Kapitel über messbare Funktionen

Beweis (Eigenschaften von $m_{f}$)

a)

$m(W)=m(f^{-1}(W_{2}))=m_{f}(W_{2}){\stackrel {Vor}{<}}\infty$

b)

Es gibt eine Folge von $A_{n}\in S_{2}$ mit $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=W_{2}$ und $\forall n\in \mathbb {N} :\ m_{f}(A_{n})<\infty$. Verwende nun einfach die Mengen $f^{-1}(A_{n})$ für die Sigma-endlichkeit von $m$, denn

${\begin{aligned}\forall n\in \mathbb {N} :\ m(f^{-1}(A_{n}))=&m_{f}(A_{n})<\infty \\\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f^{-1}(A_{n})=&f^{-1}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=f^{-1}(W_{2})=W\end{aligned}}$

c)

Sei $(W,S,m)=(\mathbb {R} ,\mathbb {B} ,l)$. Dann ist $l$ sigma-endlich (mit $\forall n\in \mathbb {N} :\ A_{n}=(-n,n])$. Sei $f=const=1$. Dann gilt

${\begin{aligned}\forall A\in S_{2}:&f^{-1}(A)\in \{\emptyset ,W\}\\\forall A\in S_{2}:&m_{f}(A)=m(f^{-1}(A))\in \{0,\infty \}\end{aligned}}$

Damit kann man keine sigma-endliche Folge von Mengen konstruieren, ihr Maß ist entweder Null oder unendlich.

Das Lebesguemaß ist verschiebungsinvariant

Satz

$l^{p}$ ändert sich nicht bei Verschiebungen:

$\forall c\in \mathbb {R} ^{n},\forall A\in \mathbb {B} ^{p}:\ l^{p}(c+A)=l^{p}(A)$

Beweis

Für Intervalle bzw. Rechtecke bzw. (verallgemeinerte) Quader $(a,b]$ gilt.

${\begin{aligned}l^{p}(c+(a,b])=&\prod _{i=1}^{p}(b_{i}+c_{i}-(a_{i}+c_{i}))\\=&\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})=l^{p}((a,b])\end{aligned}}$

Damit gilt Gleichheit auf dem Ring $F^{p}$ und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für $(-n,n]\uparrow \mathbb {R} ^{p}$) sind beide Maße gleich.

Das Lebeguemaß einer Menge bei elementaren Zeilenumformungen

Satz

Für Zeilenumformungen in $\mathbb {R} ^{p}$ gilt $\forall A\in \mathbb {B} ^{p}$

${\begin{aligned}l^{p}(E_{ij,c}^{-1}(A))=&l^{p}(A)\\l^{p}(P_{ij}^{-1}(A))=&l^{p}(A)\\\forall c\neq 0:\ l^{p}(M_{ic}(A))=&|c|l^{p}(A)\end{aligned}}$

wobei $E_{ij,c}$ das $c$-fache der $j$-ten zur $i$-ten Zeile addiert, $P_{ij}$ $i$-te und $j$-te Zeile vertauscht und $M_{i,c}$ die $i$-te Zeile mit $c$ multipliziert.

Beweis

$E_{ij,c},P_{ij},M_{ic}$ sind linear, also stetig und messbar, d.h. die linke Seite ist definiert. Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring $F^{p}$ und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für $(-n,n]\uparrow \mathbb {R} ^{p}$) sind beide Maße gleich.

1.):

Dann gilt $E_{ij,-c}$ addiert das $-c$-fache der j-ten Zeile zur i-ten Zeile

$\left({\begin{array}{c}a_{1}+x_{1}\\\vdots \\a_{n}+x_{n}\\\end{array}}\right){\stackrel {E_{ij,-c}}{\mapsto }}\left({\begin{array}{c}a_{1}+x_{1}\\a_{i}+x_{i}-c(a_{j}+x_{j})\\a_{n}+x_{n}\\\end{array}}\right)$

Sei

$C:=\left\{\left({\begin{array}{c}a_{1}+x_{1}\\a_{i}+x_{i}-c(a_{j}+x_{j})\\a_{n}+x_{n}\\\end{array}}\right):x_{i}\in (0,b_{i}-a_{i}]\right\}$

Dann ist

$E_{ij,c}^{-1}=E_{ij,-c}:(a,b]\rightarrow C,y\mapsto \left({\begin{array}{c}y_{1}\\y_{i}-cy_{j}\\y_{n}\\\end{array}}\right)$

umkehrbar mit

$E_{ij,-c}^{-1}=E_{ij,c}:C\rightarrow (a,b],y\mapsto \left({\begin{array}{c}y_{1}\\y_{i}+cy_{j}\\y_{n}\\\end{array}}\right)$

Damit gilt

${\begin{aligned}&l_{i}((E_{ij,c})^{-1}(a,b])|_{w_{1}\times \ldots \times w_{i-1}\times w_{i+1}\times \ldots \times w_{p}}\\=&l_{i}((a_{i}-c(a_{j}+x_{j}),b_{i}-c(a_{j}+x_{j})])\cdot \prod _{j=1,j\neq i}^{n}1_{(a_{j},b_{j}]}(w_{j})\\=&(b_{i}-a_{i})\cdot \prod _{j=1,j\neq i}^{n}1_{(a_{j},b_{j}]}(w_{j})\end{aligned}}$

und somit

${\begin{aligned}&l^{p}((E_{ij,c})^{-1}(a,b])\\=&\int l_{i}((E_{ij,c})^{-1}(a,b])|_{w_{1}\times \ldots \times w_{i-1}\times w_{i+1}\times \ldots \times w_{p}}dl_{1}\otimes \ldots \otimes dl_{i-1}\otimes dl_{i+1}\otimes \ldots \otimes dl_{p}\\=&\int (b_{i}-a_{i})\prod _{j=1,j\neq i}^{p}1_{(a_{j},b_{j}]}dl_{1}\otimes \ldots \otimes dl_{i-1}\otimes dl_{i+1}\otimes \ldots \otimes dl_{p}\\=&(b_{i}-a_{i})\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\int 1_{(a_{j},b_{j}]}dl_{j}\\=&\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})\\=&l^{p}((a,b])\end{aligned}}$

2.):

Da

$P_{ij}((a,b])=(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (a_{j},b_{j}]\times \ldots \times (a_{i},b_{i}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]$

folgt

$l^{p}(P_{ij}((a,b]))=\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})=l^{p}((a,b])$

3.):

Da

${\begin{aligned}M_{i,c}=(a_{1},b_{1}]\times \ldots \times (ca_{i},cb_{i}]\times \ldots \times (a_{n},b_{n}]\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}l^{p}(M_{i,c}^{-1}((a,b]))=&(b_{1}-a_{1})\cdot \ldots \cdot |c|\cdot (b_{i}-a_{i})\cdot \ldots \cdot (b_{n}-a_{n})\\=&|c|\prod _{i=1}^{p}(b_{i}-a_{i})=|c|\cdot l^{p}((a,b])\end{aligned}}$

Das Lebeguemaß einer Menge unter linearen Abbildungen

Satz

Sei B eine umkehrbare $p\times p$ -Matrix. Dann gilt $\forall A\in \mathbb {B} ^{p}:$

$l^{p}(B^{-1}(A))=|\det B^{-1}|\cdot l^{p}(A)$

Beweis

Zeige es für die Intervalle. Dann gilt Gleichheit auf dem Ring $F^{p}$ und mit dem Maßerweiterungssatz und dem Eindeutigkeitssatz (es gilt auch für $(-n,n]\uparrow \mathbb {R} ^{p}$) sind beide Maße gleich.

Es gibt einfache Zeilenumformungen $E_{k}$ und $M_{i,c_{i}}$ mit

${\begin{aligned}M_{1,c_{1}}\cdots M_{p,c_{p}}\cdot E_{1}\cdots E_{n}B=&1\\M_{1,c_{1}}\cdots M_{p,c_{p}}\cdot E_{1}\cdots E_{n}=&B^{-1}\end{aligned}}$

Da B umkehrbar ist, gilt $c_{i}\neq 0$ und somit

${\begin{aligned}|\det B^{-1}|=&|\det M_{1,c_{1}}|\cdots |\det M_{p,c_{p}}|\\=&\prod _{i=1}^{p}|c_{i}|\\l^{p}(B^{-1}(A))=&l^{p}(M_{1,c_{1}}\cdots M_{p,c_{p}}\cdot E_{1}\cdots E_{n}A)\\=&l^{p}(M_{1,c_{1}}\cdots M_{p,c_{p}}A)\\=&l^{p}(A)\prod _{i=1}^{p}|c_{i}|\\=&|\det B^{-1}|\cdot l^{p}(A)\end{aligned}}$

Ein Hilfssatz

Satz

Sei $h:[a-\delta ,b+\delta ]\rightarrow \mathbb {R} ^{p}$ differenzierbar. Dann gilt $\forall x,y\in (a,b)$

$\parallel h(x)-h(y)\parallel _{2}\leq \parallel x-y\parallel _{2}\sup _{c\in [0,1]}\parallel Dh(x+c(y-x))\parallel _{2}$

Beweis

$g:(-\delta ,1+\delta )\rightarrow \mathbb {R} ,t\mapsto \langle h(x+t(y-x)),h(y)-h(x)\rangle$

ist differenzierbar und für $t\in [0,1]$ gilt

${\begin{aligned}g'(t)=&\langle {\frac {d}{dt}}h(x+t(y-x)),h(y)-h(x)\rangle \\=&\langle Dh(x+t(y-x))\cdot (y-x),h(y)-h(x)\rangle \\\leq &\sup _{0\leq c\leq 1}\parallel Dh(x+c(y-x))\parallel _{2}\parallel y-x\parallel _{2}\parallel h(y)-h(x)\parallel _{2}\\\end{aligned}}$

Mit dem Mittelwertsatz folgt

${\begin{aligned}\parallel h(y)-h(x)\parallel _{2}^{2}{\stackrel {Def}{=}}&g(1)-g(0)=g'(s)\\\leq &\sup _{0\leq c\leq 1}\parallel Dh(x+c(y-x))\parallel _{2}\parallel y-x\parallel _{2}\parallel h(y)-h(x)\parallel _{2}\\\end{aligned}}$

Die Transformationsformel

Satz

Seien $U,V\subset \mathbb {R} ^{p}$ offen und $t:U\rightarrow V$ umkehrbar mit $t,t^{-1}$ stetig differenzierbar. Dann gilt

a) $\forall A\subset U,A\in \mathbb {B} ^{p}$ gilt

$l^{p}(t(A))=\int _{A}|\det t|dl^{p}$

b) Für alle messbaren $f\geq 0$ gilt

$\int _{Y}fdl^{p}=\int _{X}(f\circ t)|\det Dt|dl^{p}$

c) $f:Y\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ ist integrierbar $\iff f\circ t|\det Dt|dl^{p}$ ist integrierbar.

Dann gilt

$\int _{Y}fdl^{p}=\int _{X}f\circ t|\det Dt|dl^{p}$

Beweis

1.):

Da $[a,b]\subset U$ gilt

$\exists \delta >0\ \forall z\in [a,b]:[z-\delta ,z+\delta ]\subset U$

Sei

$M:=\sup _{y\in [a,b]}\parallel (Dt(y))^{-1}\parallel$

Da $Dt,(Dt)^{-1}$ auf [a,b] gleichmäßig stetig und beschränkt sind, wähle $\delta$ so klein, daß

${\begin{aligned}\sup _{x,y\in [z-\delta ,z+\delta ]}\parallel Dt(x)-Dt(y)\parallel \leq {\frac {\varepsilon }{\sqrt[{p}]{M}}}\end{aligned}}$

Wähle eine Zerlegung von $(a,b]$ in Quader $(a^{i},b^{i}]$ für $i=1,\ldots ,N$ mit Seitenlänge $d\leq {\frac {\delta }{2}}$. Dann gilt

$\forall x,y\in (a^{i},b^{i}]:\ \parallel Dt(x)-Dt(y)\parallel \leq {\frac {\varepsilon }{\sqrt[{p}]{M}}}$

Wähle für $i=1,\ldots ,n$ ein $c_{i}\in [a^{i},b^{i}]$ mit

$|\det Dt(c_{i})|=\min _{y\in [a^{i},b^{i}]}|\det Dt(y)|$

und setze

$T_{i}:=Dt(c_{i})$

Mit

${\begin{aligned}h(x):=&t(x)-T_{i}x\\y:=&c_{i}\end{aligned}}$

gilt $\forall x\in (a^{i},b^{i}]$

${\begin{aligned}&\parallel t(x)-t(c_{i})-T_{i}(x-c_{i})\parallel \\\leq &\parallel x-c_{i}\parallel _{2}\sup _{s\in [0,1]}\parallel Dt(x+s(c_{i}-x))-T_{i}\parallel \\{\stackrel {Vor}{\leq }}&{\frac {\delta \varepsilon }{\sqrt[{p}]{M}}}\end{aligned}}$

Mit

$t(x)=t(c_{i})+\underbrace {Dt(c_{i})} _{=T_{i}}(x-c_{i})+r(x){\text{ mit }}\parallel r(x)\parallel _{2}\leq {\frac {\delta \varepsilon }{\sqrt[{p}]{M}}}$

gilt

${\begin{aligned}t((a^{i},b^{i}])\subset t(a_{i})-T_{i}c_{i}+T_{i}((a^{i},b^{i}])+\left({\frac {\varepsilon \delta }{\sqrt[{p}]{M}}},{\frac {\varepsilon \delta }{\sqrt[{p}]{M}}}\right]\end{aligned}}$

und da $l^{p}$ invariant gegen Verschiebungen ist, ergibt sich

${\begin{aligned}&l^{p}\left(t((a^{i},b^{i}])\right)\\\leq &l^{p}\left(T_{i}((a^{i},b^{i}]\right)+l^{p}\left(T_{i}^{-1}T_{i}{\frac {-\varepsilon \delta }{\sqrt[{p}]{M}}},{\frac {\varepsilon \delta }{\sqrt[{p}]{M}}}\right]\\=&|\det T_{i}|\cdot l^{p}\left((a^{i},b^{i}]\right)+|\det T_{i}|\cdot \underbrace {\det |T^{-1}|} _{\leq M}l^{p}\left(\left({\frac {-\varepsilon \delta }{\sqrt[{p}]{M}}},{\frac {\varepsilon \delta }{\sqrt[{p}]{M}}}\right]\right)\\\leq &|\det T_{i}|\cdot \left(l^{p}\left((a^{i},b^{i}]\right)+l^{p}\left((-\varepsilon \delta ,\varepsilon \delta ]\right)\right)\\=&|\det T_{i}|\cdot \left(l^{p}\left((a^{i},b^{i}]\right)+(2\varepsilon \delta )^{p}\right)\\=&|\det T_{i}|\cdot l^{p}\left((a^{i},b^{i}]\right)(1+2^{p}\varepsilon ^{p})\end{aligned}}$

Mit

$|\det T_{i}|1_{(a^{i},b^{i}]}\leq |\det Dt|1_{(a^{i},b^{i}]}$

ergibt summieren über $i=1,\ldots ,n$

${\begin{aligned}l^{p}(t((a,b]))\leq &(1+2^{p}\varepsilon ^{p})\sum _{i=1}^{n}|\det T_{i}|\cdot l^{p}((a^{i},b^{i}])\\\leq &(1+2^{p}\varepsilon ^{p})\int _{(a,b]}|\det Dt|dl^{p}\end{aligned}}$

Da $\varepsilon >0$ beliebig war, gilt

$l^{p}(t((a,b]))\leq \int _{(a,b]}|\det Dt|dl^{p}$

Da $(a,b]$ Erzeugendensystem von $\mathbb {B} (U)$ ist, gilt

$l^{p}(t(A))\leq \int _{A}|\det Dt|dl^{p}$

da die rechte Seite ein Maß ist.

2.):

Für alle $f\geq 0$ messbar gilt}

$\int _{Y}fdl^{p}\leq \int _{X}f\circ t|\det Dt|dl^{p}$

Begründung: Sei $B\in \mathbb {B} ,B\subset Y$ und $A:=t^{-1}(B)$. Dann gilt

${\begin{aligned}\int _{Y}1_{B}dl^{p}=&l^{p}(t(A))\\\leq &\int _{A}|\det Dt|dl^{p}\\=&\int _{X}1_{B}\circ t|\det Dt|dl^{p}\end{aligned}}$

Für primitive Funktionen $u=\sum _{i=1}^{k}a_{i}1_{B_{i}}$ gilt

${\begin{aligned}\int _{Y}udl^{p}=&\int _{Y}\sum _{i=1}^{k}a_{i}1_{B_{i}}dl^{p}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\int _{Y}1_{B_{i}}dl^{p}\\\leq &\sum _{i=1}^{k}a_{i}\int _{X}1_{B_{i}}\circ t|\det Dt|dl^{p}=\int _{X}u\circ t|\det Dt|dl^{p}\end{aligned}}$

und für $u_{n}\uparrow f$

${\begin{aligned}\int _{Y}fdl^{p}{\stackrel {u_{n}\uparrow f}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{Y}u_{n}dl^{p}\\\leq &\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{X}u_{n}\circ t|\det Dt|dl^{p}\\{\stackrel {u_{n}\uparrow f}{=}}&\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{X}u_{n}\circ t|\det Dt|dl^{p}\end{aligned}}$

3.):

Für alle $f\geq 0$ gilt}

$\int _{Y}fdl^{p}=\int _{X}f\circ t|\det Dt|dl^{p}$

Begründung: Mit $t^{-1}:V\rightarrow U$ und $f\circ t|\det Dt|$ statt $t$ und $f$ gilt

${\begin{aligned}\int _{U}f\circ t|\det Dt|dl^{p}\leq &\int _{V}f\circ t\circ t^{-1}|\det Dt||\det Dt^{-1}|dl^{p}\\=&\int _{V}fdl^{p}\end{aligned}}$

d.h.

${\begin{aligned}\int _{U}f\circ t|\det Dt|dl^{p}=\int _{V}fdl^{p}\end{aligned}}$

Für $f^{+}$ und $f^{-}$ gilt es, also auch für $f$. Wegen

${\begin{aligned}1_{t(A)}(w)=&{\begin{cases}1&w\in t(A)\\0&w\not \in t(A)\\\end{cases}}\\=&{\begin{cases}1&t^{-1}(w)\in A\\0&t^{-1}(w)\not \in A\\\end{cases}}\\=&(1_{A}\circ t^{-1})(w)\end{aligned}}$

gilt

${\begin{aligned}l^{p}(t(A))=&\int _{V}1_{t(A)}d^{p}=\int _{V}(1_{A}\circ t^{-1})(w)dl^{p}\\=&\int _{U}1_{A}\circ t^{-1}\circ t|\det Dt|dl^{p}\\=&\int _{A}|\det Dt|dl^{p}\end{aligned}}$

Polarkoordinaten

Damit können wir die Formel für die Polarkoordinaten beweisen, die in der Physik schon in dem ersten Semester verwendet wird.

Satz

Sei $p\geq 2$ und

${\begin{aligned}&t:(0,\infty )\times (0,\pi )^{p-2}\times (0,2\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{p}\\&(r,\phi _{1},\ldots ,\phi _{p-1})\mapsto \left({\begin{array}{l}r\cos \phi _{1}\\r\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\\\vdots \\r\sin \phi _{1}\ldots \sin \phi _{k-1}\cos \phi _{k}\\\vdots \\r\sin \phi _{1}\ldots \sin \phi _{p-2}\cos \phi _{p-1}\\r\sin \phi _{1}\ldots \sin \phi _{p-2}\sin \phi _{p-1}\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$

Für $f:(\mathbb {R} ^{p},\mathbb {B} ^{p})\rightarrow (\mathbb {R} ,\mathbb {B} )$ mit $f\geq 0$ gilt

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{p}}fdl^{p}=&\int _{(0,\infty )\times (0,\pi )^{p-2}\times (0,2\pi )}f(t(r,\phi _{1},\ldots ,\phi _{p-1}))\\&r^{p-1}\sin ^{p-2}\phi _{1}\ldots \sin \phi _{p-1}dl^{p}(r,\phi _{1},\ldots ,\phi _{p-1})\end{aligned}}$

Beweis

Sei

$H_{p}:=\{y\in \mathbb {R} ^{p}:y_{p-1}\geq 0,y_{p}=0\}$

Die Abbildung

$t:(0,\infty )\times (0,\pi )^{p-2}\times (0,2\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{p}\backslash H_{p}$

ist stetig differenzierbar und umkehrbar und

${\begin{aligned}&t^{-1}:\mathbb {R} ^{p}\backslash H_{p}\rightarrow (0,\infty )\times (0,\pi )^{p-2}\times (0,2\pi )\\&y\mapsto \left({\begin{array}{l}r=\parallel y\parallel _{2}\\\phi _{1}=\arccos {\frac {y_{1}}{\parallel y\parallel _{2}}}\\\phi _{2}=\arccos {\frac {y_{2}}{\parallel y\parallel _{2}\sin \phi _{1}}}\\\vdots \\\phi _{p-1}=\arccos {\frac {y_{p-1}}{\parallel y\parallel _{2}\sin \phi _{1}\cdots \sin \phi _{p-2}}}\\\end{array}}\right)\end{aligned}}$

ist stetig differenzierbar.

Entwicklung der Determinante liefert

${\begin{aligned}&\det Dt\\=&\det \left({\begin{array}{llll}\cos \phi _{1}&-r\sin \phi _{1}&0&0\\\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}&r\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}&-r\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}&0\\\vdots \\\end{array}}\right)\\=&\cos ^{2}\phi _{1}r^{p-1}\sin ^{p-2}\phi _{1}\det \left({\begin{array}{lll}\cos \phi _{2}&-\sin \phi _{2}&0\\\sin \phi _{2}\cos \phi _{3}&\cos \phi _{2}\cos \phi _{3}&-\sin \phi _{2}\sin \phi _{3}\\\vdots \\\end{array}}\right)\\&-(-r\sin \phi _{1})r^{p-2}\sin ^{p-1}\phi _{1}\det \left({\begin{array}{lll}\cos \phi _{2}&-\sin \phi _{2}&0\\\sin \phi _{2}\cos \phi _{3}&\cos \phi _{2}\cos \phi _{3}&-\sin \phi _{2}\sin \phi _{3}\\\vdots \\\end{array}}\right)\\=&r^{p-1}\sin ^{p-2}\phi _{1}\det \left({\begin{array}{llll}\cos \phi _{2}&-\sin \phi _{2}&0&0\\\sin \phi _{2}\cos \phi _{3}&\cos \phi _{2}\cos \phi _{3}&-\sin \phi _{2}\sin \phi _{3}&0\\\vdots \\\end{array}}\right)\end{aligned}}$

Das ist dieselbe Form wie in der ersten Zeile. Induktion ergibt also

$\det Dt=r^{p-1}\sin ^{p-2}\phi _{1}\sin ^{p-3}\phi _{2}\cdots \sin ^{2}\phi _{p-3}\sin \phi _{p-2}$

Da $H_{p}$ eine Nullmenge ist, gilt

$\int _{\mathbb {R} ^{p}}fdl^{p}=\int _{\mathbb {R} ^{p}\ H^{p}}fdl^{p}$

und somit

${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{p}}fdl^{p}=&\int _{(0,\infty )\times (0,\pi )^{p-2}\times (0,2\pi )}(f\circ t)r^{p-1}\sin ^{p-2}\phi _{1}\ldots \sin \phi _{p-1}dl^{p}(r,\phi _{1},\ldots ,\phi _{p-1})\end{aligned}}$