Beweis
1.) Das Integral existiert für alle
x
∈
R
n
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
: Da der Träger kompakt ist, ist er in einer Kugel um
0
{\displaystyle 0}
enthalten, d.h. es gibt ein
R
>
0
{\displaystyle R>0}
mit
s
u
p
p
(
f
)
⊆
B
(
x
,
R
)
{\displaystyle supp(f)\subseteq B(x,R)}
. Da f stetig ist, nimmt es auf dem kompakten Träger sein Maximum an und ist insbesondere beschränkr durch ein
C
>
0
{\displaystyle C>0}
. Wir haben im letzten Kapitel gezeigt
P
∈
L
l
o
c
1
(
R
n
)
{\displaystyle P\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung
|
∫
R
n
P
(
x
−
y
)
f
(
y
)
d
y
|
≤
∫
R
n
|
P
(
x
−
y
)
|
⋅
|
f
(
y
)
|
d
y
=
∫
B
(
x
,
R
)
|
P
(
x
−
y
)
|
⋅
|
f
(
y
)
|
d
y
≤
max
y
∈
B
(
x
,
R
)
¯
|
f
(
y
)
|
⋅
∫
B
R
(
x
)
|
P
(
x
−
y
)
|
d
y
=
max
y
∈
B
(
x
,
R
)
¯
|
f
(
y
)
|
⏟
≤
C
∫
B
(
0
,
R
)
|
P
(
z
)
|
d
z
⏟
<
∞
<
∞
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(x-y)f(y)dy\right|\leq &\int _{\mathbb {R} ^{n}}|P(x-y)|\cdot |f(y)|dy\\=&\int _{B(x,R)}|P(x-y)|\cdot |f(y)|dy\\\leq &\max _{y\in {\overline {B(x,R)}}}|f(y)|\cdot \int _{B_{R}(x)}|P(x-y)|dy\\=&\underbrace {\max _{y\in {\overline {B(x,R)}}}|f(y)|} _{\leq C}\underbrace {\int _{B(0,R)}|P(z)|dz} _{<\infty }<\infty \end{aligned}}}
Mit der Transformation
T
:
R
n
→
R
n
,
y
↦
z
=
x
−
y
|
det
D
T
|
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&T:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n},y\mapsto z=x-y\\&|\det DT|=1\end{aligned}}}
und der Transformationsformel gilt
u
(
x
)
=
−
∫
R
n
P
(
x
−
y
)
f
(
y
)
d
y
=
−
∫
R
n
P
(
z
)
f
(
x
−
z
)
d
z
{\displaystyle u(x)=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(x-y)f(y)dy=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(z)f(x-z)dz}
Man sagt auch, die Faltung ist kommutativ.
2.) Integration und Ableitung sind vertauschbar:
Sei
x
0
∈
R
n
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}
beliebig. Wähle einen Radius
R
>
0
{\displaystyle R>0}
, sodass der Träger von
f
{\displaystyle f}
ganz in der Kugel um
R
{\displaystyle R}
enthalten ist
s
u
p
p
(
f
)
⊆
B
R
(
x
0
)
{\displaystyle supp(f)\subseteq B_{R}(x_{0})}
. Damit lassen sich alle Ableitungen in
B
R
(
x
0
)
{\displaystyle B_{R}(x_{0})}
fÜr
a
≤
2
{\displaystyle a\leq 2}
abschätzen gemäß
|
D
x
a
(
P
(
y
)
f
(
x
−
y
)
)
|
≤
P
(
y
)
⋅
1
B
(
x
0
,
R
)
(
y
)
⋅
sup
x
∈
B
(
x
0
,
R
)
|
D
a
f
(
x
)
|
{\displaystyle |D_{x}^{a}(P(y)f(x-y))|\leq P(y)\cdot 1_{B(x_{0},R)}(y)\cdot \sup _{x\in B(x_{0},R)}|D^{a}f(x)|}
und die rechte Seite ist in
L
l
o
c
1
(
R
n
)
{\displaystyle L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
da
P
∈
L
l
o
c
1
(
R
n
)
{\displaystyle P\in L_{loc}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
und
D
a
f
∈
C
(
R
n
)
{\displaystyle D^{a}f\in C(\mathbb {R} ^{n})}
auf seinem kompakten Träger beschränkt ist. Damit steht auf der rechten Seite eine Majorante und Integral und Ableitung lassen sich vertauschen, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung
D
a
u
(
x
0
)
=
−
∫
R
n
P
(
y
)
D
x
a
f
(
x
0
−
y
)
d
y
{\displaystyle D^{a}u(x_{0})=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}P(y)D_{x}^{a}f(x_{0}-y)dy}
3.) Abschätzung der einzelnen Terme:
Wir summieren und erhalten für beliebige
x
∈
R
n
,
ε
>
0
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\varepsilon >0}
ein Integral, das wir aufspalten in ein Integral über eine kleine Kugel um den Ursprung und ein Integral über den Rest des Raumes
Δ
u
(
x
)
=
−
∫
P
(
y
)
Δ
x
f
(
x
−
y
)
d
y
=
−
∫
B
(
0
,
ε
)
P
(
y
)
Δ
x
f
(
x
−
y
)
d
y
−
∫
R
n
∖
B
(
0
,
ε
)
P
(
y
)
Δ
x
f
(
x
−
y
)
d
y
=:
I
ε
+
J
ε
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta u(x)=&-\int P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy\\=&-\int _{B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy-\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy\\=:&I_{\varepsilon }+J_{\varepsilon }\end{aligned}}}
Wir schätzen beide Terme ab: Da
r
|
ln
r
|
{\displaystyle r|\ln r|}
stetig in
0
{\displaystyle 0}
fortsetzbar ist, wie wir im letzten Kapitel mit der Regel von L'Hospital gezeigt haben, ist es in
B
ε
{\displaystyle B_{\varepsilon }}
beschränkt,
r
{\displaystyle r}
ist durch
ε
{\displaystyle \varepsilon }
beschränkt, damit gilt
|
I
ε
|
≤
sup
y
∈
B
(
0
,
ε
)
|
Δ
x
f
(
x
−
y
)
|
∫
B
(
0
,
ε
)
|
P
(
y
)
|
d
y
≤
{
C
1
∫
0
ε
r
|
l
n
r
|
d
r
für
n
=
2
C
2
∫
0
ε
r
d
r
für
n
≥
3
≤
C
ε
→
ε
→
0
0
{\displaystyle {\begin{aligned}|I_{\varepsilon }|\leq &\sup _{y\in B(0,\varepsilon )}|\Delta _{x}f(x-y)|\int _{B(0,\varepsilon )}|P(y)|dy\\\leq &{\begin{cases}C_{1}\int _{0}^{\varepsilon }r|lnr|dr&{\text{ für }}n=2\\C_{2}\int _{0}^{\varepsilon }rdr&{\text{ für }}n\geq 3\\\end{cases}}\\\leq &C\varepsilon \quad {\stackrel {\varepsilon \rightarrow 0}{\rightarrow }}0\end{aligned}}}
Es gilt
Δ
x
f
(
x
−
y
)
=
Δ
y
f
(
x
−
y
)
{\displaystyle \Delta _{x}f(x-y)=\Delta _{y}f(x-y)}
, denn durch die zweifache Ableitung erhält man zweimal den Faktor
−
1
{\displaystyle -1}
. Wegen
s
u
p
p
(
f
)
⊆
B
(
0
,
R
)
{\displaystyle supp(f)\subseteq B(0,R)}
wird nur über eine Kugel integriert und das Integral über den äußeren Rand verschwindet, da
f
{\displaystyle f}
dort identisch Null ist. Mit der Greenschen Formel gilt, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes
J
ε
=
−
∫
R
n
∖
B
(
0
,
ε
)
P
(
y
)
Δ
x
f
(
x
−
y
)
d
y
=
−
∫
B
(
0
,
R
)
∖
B
(
0
,
ε
)
P
(
y
)
Δ
y
f
(
x
−
y
)
d
y
=
Green
∫
B
(
0
,
R
)
∖
B
(
0
,
ε
)
⟨
∇
y
P
(
y
)
,
∇
y
f
(
x
−
y
)
⟩
d
y
−
∫
∂
B
(
0
,
ε
)
P
(
y
)
⟨
∇
y
f
(
x
−
y
)
,
N
⟩
d
S
(
y
)
−
∫
∂
B
(
0
,
R
)
P
(
y
)
⟨
∇
y
f
(
x
−
y
)
⏟
=
0
,
N
⟩
d
S
(
y
)
=:
K
ε
−
L
ε
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{\varepsilon }=&-\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{x}f(x-y)dy=-\int _{B(0,R)\backslash B(0,\varepsilon )}P(y)\Delta _{y}f(x-y)dy\\{\stackrel {\text{Green}}{=}}&\int _{B(0,R)\backslash B(0,\varepsilon )}\langle \nabla _{y}P(y),\nabla _{y}f(x-y)\rangle dy-\int _{\partial B(0,\varepsilon )}P(y)\langle \nabla _{y}f(x-y),N\rangle dS(y)\\&-\int _{\partial B(0,R)}P(y)\langle \underbrace {\nabla _{y}f(x-y)} _{=0},N\rangle dS(y)\\=:&K_{\varepsilon }-L_{\varepsilon }\end{aligned}}}
Bei genügend großer Wahl von
R
{\displaystyle R}
ist
∇
y
f
(
x
−
y
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{y}f(x-y)=0}
auf dem Rand von
B
(
0
,
R
)
{\displaystyle B(0,R)}
und der dritte Term entfällt. Beim zweiten Term zeigt die Normale nach außen aus dem Gebiet d.h. in die Kugel
B
(
0
,
ε
)
{\displaystyle B(0,\varepsilon )}
auf den Nullpunkt zu und es gilt
|
⟨
∇
y
f
(
x
−
y
)
,
N
(
y
)
⟩
|
≤
|
∇
f
(
x
−
y
)
|
≤
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\langle \nabla _{y}f(x-y),N(y)\rangle \right|\leq |\nabla f(x-y)|\leq C\end{aligned}}}
da
f
∈
C
c
2
(
R
n
)
{\displaystyle f\in C_{c}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
, d.h. stetig auf seinem kompakten Träger. Das ergibt
|
L
ε
|
≤
C
∫
∂
B
ε
(
0
)
|
P
(
y
)
|
d
S
(
y
)
=
{
C
2
π
|
ln
ε
|
2
π
ε
=
C
ε
|
ln
ε
|
für
n
=
2
C
n
(
n
−
2
)
V
o
l
(
B
(
0
,
1
)
)
ε
2
−
n
V
o
l
(
∂
B
(
0
,
ε
)
)
für
n
≥
3
=
{
=
C
ε
|
ln
ε
|
für
n
=
2
C
(
n
−
2
)
V
o
l
(
∂
B
(
0
,
1
)
)
ε
2
−
n
ε
n
−
1
V
o
l
(
∂
B
(
0
,
1
)
)
=
C
ε
n
−
2
für
n
≥
3
→
ε
↓
0
0
{\displaystyle {\begin{aligned}|L_{\varepsilon }|\leq &C\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}|P(y)|dS(y)\\=&{\begin{cases}{\dfrac {C}{2\pi }}|\ln \varepsilon |2\pi \varepsilon =C\varepsilon |\ln \varepsilon |&{\text{ für }}n=2\\{\dfrac {C}{n(n-2)Vol(B(0,1))}}\varepsilon ^{2-n}Vol(\partial B(0,\varepsilon ))&{\text{ für }}n\geq 3\\\end{cases}}\\=&{\begin{cases}=C\varepsilon |\ln \varepsilon |&{\text{ für }}n=2\\{\dfrac {C}{(n-2)Vol(\partial B(0,1))}}\varepsilon ^{2-n}\varepsilon ^{n-1}Vol(\partial B(0,1))={\dfrac {C\varepsilon }{n-2}}&{\text{ für }}n\geq 3\\\end{cases}}\\{\stackrel {\varepsilon \downarrow 0}{\rightarrow }}&0\end{aligned}}}
Nun wollen wir den Term
K
ε
{\displaystyle K_{\varepsilon }}
abschätzen. Mit
N
=
−
y
|
y
|
{\displaystyle N={\frac {-y}{|y|}}}
folgt
⟨
∇
y
P
,
N
⟩
=
⟨
−
1
n
V
o
l
(
B
(
0
,
1
)
)
y
|
y
|
n
,
−
y
|
y
|
⟩
=
1
n
V
o
l
(
B
(
0
,
1
)
)
|
y
|
2
|
y
|
n
+
1
{\displaystyle \langle \nabla _{y}P,N\rangle =\left\langle {\frac {-1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {y}{|y|^{n}}},{\frac {-y}{|y|}}\right\rangle ={\frac {1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {|y|^{2}}{|y|^{n+1}}}}
Die Formel von Green lässt sich auf
K
ε
{\displaystyle K_{\varepsilon }}
anwenden, da der Träger von
f
{\displaystyle f}
in einer Kugel um Null enthalten ist
s
u
p
p
(
f
)
⊆
B
R
(
0
)
{\displaystyle supp(f)\subseteq B_{R}(0)}
für ein
R
>
0
{\displaystyle R>0}
. Mit dem oben gezeigten Hilfssatz über die Mittelung einer stetigen Funktion über Kugeloberflächen gilt
K
ε
=
∫
R
n
∖
B
(
0
,
ε
)
⟨
∇
y
P
(
y
)
,
∇
y
f
(
x
−
y
)
⟩
d
y
=
−
∫
R
n
∖
B
(
0
,
ε
)
Δ
P
(
y
)
⏟
=
0
f
(
x
−
y
)
d
y
+
∫
∂
B
(
0
,
ε
)
⟨
∇
y
P
,
N
⟩
f
(
x
−
y
)
d
S
(
y
)
=
∫
∂
B
(
0
,
ε
)
1
n
V
o
l
(
B
(
0
,
1
)
)
|
y
|
2
|
y
|
n
+
1
f
(
x
−
y
)
d
S
(
y
)
=
1
V
o
l
(
∂
B
(
0
,
ε
)
)
∫
∂
B
(
x
,
ε
)
f
(
z
)
d
S
(
z
)
→
Hilfssatz
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\varepsilon }=&\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}\langle \nabla _{y}P(y),\nabla _{y}f(x-y)\rangle dy\\=&-\int _{\mathbb {R} ^{n}\backslash B(0,\varepsilon )}\underbrace {\Delta P(y)} _{=0}f(x-y)dy+\int _{\partial B(0,\varepsilon )}\langle \nabla _{y}P,N\rangle f(x-y)dS(y)\\=&\int _{\partial B(0,\varepsilon )}{\frac {1}{nVol(B(0,1))}}{\frac {|y|^{2}}{|y|^{n+1}}}f(x-y)dS(y)\\=&{\frac {1}{Vol(\partial B(0,\varepsilon ))}}\int _{\partial B(x,\varepsilon )}f(z)dS(z)\\{\stackrel {\text{Hilfssatz}}{\rightarrow }}&f(x)\end{aligned}}}
Da
Δ
u
(
x
)
=
I
ε
+
K
ε
−
L
ε
{\displaystyle \Delta u(x)=I_{\varepsilon }+K_{\varepsilon }-L_{\varepsilon }}
und die linke Seite nicht von
ε
{\displaystyle \varepsilon }
abhängt, gilt
Δ
u
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta u(x)=f(x)}