Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Poissongleichung im Ganzraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wo stehen wir

Bearbeiten

Wir haben die Transportgleichung betrachtet und danach die Fundamentallösung der Laplacegleichung hergeleitet.

Der Mittelwert über Kugeloberflächen einer stetigen Funktion

Bearbeiten

Wir konstruieren aus der Fundamentallösung der Laplacegleichung über eine sogenannte "Faltung" eine Ganzraumlösung der Poissongleichung  . Dafür beweisen wir erst einen Hilfssatz, dass bei stetigen Funktionen f ihr mittlerer Wert über eine Sphäre sich dem Wert am Kugelmittelpunkt annähert. Das hatten wir erwartet, da die stetige Funktion bei immer kleineren werdenden Kugeln immer weniger abweicht von ihrem Wert am Kugelmittelpunkt.

Satz

Sei   offen und   und   und

 

Dann gilt

 

Beweis

 

wobei die Stetigkeit von   im letzten Schritt verwendet wurde.

Die Lösung der Poissongleichung im Ganzraumfall

Bearbeiten

Satz

Durch Faltung der Fundamentallösung   aus dem letzten Kapitel mit   erhält man eine Lösung der Poissongleichung: Sei  , d.h.   ist zweimal stetig differenzierbar und hat einen kompakten, insbesonderen beschränkten Träger. Sei

 

Dann gilt

a)  

b)   in  .

Beweis

1.) Das Integral existiert für alle  : Da der Träger kompakt ist, ist er in einer Kugel um   enthalten, d.h. es gibt ein   mit  . Da f stetig ist, nimmt es auf dem kompakten Träger sein Maximum an und ist insbesondere beschränkr durch ein  . Wir haben im letzten Kapitel gezeigt  , siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Partielle_Differentialgleichungen_by_Richard4321/ Die_Fundamentallösung_der_Laplacegleichung

 

Mit der Transformation

 

und der Transformationsformel gilt

 

Man sagt auch, die Faltung ist kommutativ.

2.) Integration und Ableitung sind vertauschbar:

Sei   beliebig. Wähle einen Radius  , sodass der Träger von   ganz in der Kugel um   enthalten ist  . Damit lassen sich alle Ableitungen in   fÜr   abschätzen gemäß

 

und die rechte Seite ist in   da   und   auf seinem kompakten Träger beschränkt ist. Damit steht auf der rechten Seite eine Majorante und Integral und Ableitung lassen sich vertauschen, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/ Vertauschen_von_Integral_und_Ableitung

 

3.) Abschätzung der einzelnen Terme:

Wir summieren und erhalten für beliebige   ein Integral, das wir aufspalten in ein Integral über eine kleine Kugel um den Ursprung und ein Integral über den Rest des Raumes

 

Wir schätzen beide Terme ab: Da   stetig in   fortsetzbar ist, wie wir im letzten Kapitel mit der Regel von L'Hospital gezeigt haben, ist es in   beschränkt,   ist durch   beschränkt, damit gilt

 

Es gilt  , denn durch die zweifache Ableitung erhält man zweimal den Faktor  . Wegen   wird nur über eine Kugel integriert und das Integral über den äußeren Rand verschwindet, da   dort identisch Null ist. Mit der Greenschen Formel gilt, siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Der_Satz_von_Stokes

 

Bei genügend großer Wahl von   ist   auf dem Rand von   und der dritte Term entfällt. Beim zweiten Term zeigt die Normale nach außen aus dem Gebiet d.h. in die Kugel   auf den Nullpunkt zu und es gilt

 

da  , d.h. stetig auf seinem kompakten Träger. Das ergibt

 

Nun wollen wir den Term   abschätzen. Mit   folgt

 

Die Formel von Green lässt sich auf   anwenden, da der Träger von   in einer Kugel um Null enthalten ist   für ein  . Mit dem oben gezeigten Hilfssatz über die Mittelung einer stetigen Funktion über Kugeloberflächen gilt

 

Da   und die linke Seite nicht von   abhängt, gilt