Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Fundamentallösung der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Wir setzen im Folgenden stets die Maßtheorie, den Satz von Gauß/Stokes und Analysis II voraus.

Wo stehen wir

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Wir hatten die Lösungen der Transportgleichung betrachtet.

Der Laplaceoperator ist rotationssymmetrisch

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Rotationen werden durch eine orthonormale Matrix B beschrieben, für die also gilt

 

Unter diesen bleibt die Laplacegleichung erhalten.

Satz

Sei B eine orthonromale  -Matrix und  . Dann gilt

 

d.h. die Laplacegleichung ist rotationsinvariant.

Beweis

Wir berechnen die ersten und zweiten Ableitungen von  . Dabei verwenden wir die Kettenregel

 

Wegen der Orthonormalität gilt

 

Aufsummieren der zweiten Ableitungen ergibt

 

Die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung

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Definition

Die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung definieren wir durch

 

Das wollen wir uns plausibel machen.

Beweis (Konstruktionsweg)

Betrachte die Laplacegleichung   im   mit  . Da die Laplacegleichung rotationsinvariant ist, suchen wir der Einfachheit halber zuerst nach einer rotationssymmetrischen Lösung, d.h. eine Lösung, die nur von

 

abhängt, d.h.   mit  . Welche Differentialgleichung gilt dann für  ?

Wir berechnen für   die Ableitung des Radius nach den Koordinaten

 

Das ergibt für die Ableitungen für   mit der Kettenregel

 

Erneutes Ableiten ergibt

 

Aufsummieren ergibt

 

Wegen   in   erhalten wir die gewöhnliche (!) Differentialgleichung für  

 

Setze  . Das ergibt die gewöhnliche Differentialgleichung

 

Mit dem Ansatz   folgt

 

Einsetzen ergibt

 

Wie wir schon im nächsten Kapitel sehen, bietet es sich an   zu setzen und für   obige Werte zu wählen.

Eigenschaften der Kugel(-oberfläche)

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Wir benötigen in folgenden Kapiteln folgende Beziehung für Volumen der Kugel und der Oberfläche der Sphäre.

Satz

Es gilt

 

Beweis

1.) Wir rechnen aus Symmetriegründen in Polarkoordinaten

 

2.) Für die Abbildung

 

berechnet sich das Differential zu

 

und es gilt mit der Transformationsformel

 

3.) Für die Abbildung

 

berechnet sich das Differential zu

 

und es gilt mit der Transformationsformel

 

Eigenschaften der Fundamentallösung

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Satz

Wir benötigen den Gradienten von  

 

Die Fundamentallösung und ihre Ableitung sind in  .

Beweis

1.) Der Gradient von   berechnet sich zu

 

2.) Da die Funktionen nur in   gegen Unendlich gehen und außerhalb einer Nullumgebung beschränkt sind, reicht es wegen der vorausgesetzten Kompaktheit (somit Beschränktheit) die Integrierbarkeit auf Kugeln um   zu überprüfen.

 : Es gilt

 

Da   sich gemäß L'Hospital (siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Regel_von_L'Hospital) stetig in   zu   fortsetzen lässt, ist es als stetige Funktion integrierbar auf  :

 

 :

 

3.) Mit Polarkoordinaten gilt

Zeige:  . Für   gilt