Buchanfang Partielle Differentialgleichungen by Richard4321/ Die Fundamentallösung der Laplacegleichung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
Wir setzen im Folgenden stets die Maßtheorie, den Satz von Gauß/Stokes und Analysis II voraus.
Wo stehen wir
BearbeitenWir hatten die Lösungen der Transportgleichung betrachtet.
Der Laplaceoperator ist rotationssymmetrisch
BearbeitenRotationen werden durch eine orthonormale Matrix B beschrieben, für die also gilt
Unter diesen bleibt die Laplacegleichung erhalten.
Satz
Sei B eine orthonromale -Matrix und . Dann gilt
d.h. die Laplacegleichung ist rotationsinvariant.
Beweis
Wir berechnen die ersten und zweiten Ableitungen von . Dabei verwenden wir die Kettenregel
Wegen der Orthonormalität gilt
Aufsummieren der zweiten Ableitungen ergibt
Die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung
BearbeitenDefinition
Die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung definieren wir durch
Das wollen wir uns plausibel machen.
Beweis (Konstruktionsweg)
Betrachte die Laplacegleichung im mit . Da die Laplacegleichung rotationsinvariant ist, suchen wir der Einfachheit halber zuerst nach einer rotationssymmetrischen Lösung, d.h. eine Lösung, die nur von
abhängt, d.h. mit . Welche Differentialgleichung gilt dann für ?
Wir berechnen für die Ableitung des Radius nach den Koordinaten
Das ergibt für die Ableitungen für mit der Kettenregel
Erneutes Ableiten ergibt
Aufsummieren ergibt
Wegen in erhalten wir die gewöhnliche (!) Differentialgleichung für
Setze . Das ergibt die gewöhnliche Differentialgleichung
Mit dem Ansatz folgt
Einsetzen ergibt
Wie wir schon im nächsten Kapitel sehen, bietet es sich an zu setzen und für obige Werte zu wählen.
Eigenschaften der Kugel(-oberfläche)
BearbeitenWir benötigen in folgenden Kapiteln folgende Beziehung für Volumen der Kugel und der Oberfläche der Sphäre.
Satz
Es gilt
Beweis
1.) Wir rechnen aus Symmetriegründen in Polarkoordinaten
2.) Für die Abbildung
berechnet sich das Differential zu
und es gilt mit der Transformationsformel
3.) Für die Abbildung
berechnet sich das Differential zu
und es gilt mit der Transformationsformel
Eigenschaften der Fundamentallösung
BearbeitenSatz
Wir benötigen den Gradienten von
Die Fundamentallösung und ihre Ableitung sind in .
Beweis
1.) Der Gradient von berechnet sich zu
2.) Da die Funktionen nur in gegen Unendlich gehen und außerhalb einer Nullumgebung beschränkt sind, reicht es wegen der vorausgesetzten Kompaktheit (somit Beschränktheit) die Integrierbarkeit auf Kugeln um zu überprüfen.
: Es gilt
Da sich gemäß L'Hospital (siehe Mathe_für_Nicht-Freaks:_Regel_von_L'Hospital) stetig in zu fortsetzen lässt, ist es als stetige Funktion integrierbar auf :
:
3.) Mit Polarkoordinaten gilt
Zeige: . Für gilt