MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Winkel

Winkel zwischen zwei VektorenBearbeiten

Im Abschnitt über das Skalarprodukt wurden bereits eine Möglichkeit angegeben, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.

Satz

Ist   der Winkel zwischen den Vektoren   und  , so gilt:

 
 


Zu beachten ist hierbei, dass das Produkt im Zähler ein Skalarprodukt ist, also  , während das Produkt im Nenner ein Produkt zweier Beträge   und   und damit das Produkt zweier Zahlen ist.

Winkel zwischen sich schneidenden GeradenBearbeiten

Der Winkel   zwischen zwei sich schneidenden Geraden

 

und

 

ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Dieser hängt eng mit dem Winkel   zwischen den Richtungsvektoren der Geraden   und   zusammen.

  • Ist  , dann ist  .
  • Ist   (wie in der Abb.), dann ist  .

Weil   ist gilt:

Satz

Der Winkel zwischen zwei sich schneiden Geraden mit Richtungsvektoren   und   ist

 
 


Beachte: Die Betragszeichen im Zähler beziehen sich auf den Betrag einer Zahl, nämlich des Skalarproduktes  , während die Betragszeichen im Nenner sich auf den Betrag von Vektoren, nämlich   und   beziehen.


Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene, die sich schneidenBearbeiten

Der Winkel   zwischen einer Ebene

 

und einer Geraden, die selbige schneidet

 

hängt eng mit dem Winkel   zwischen dem Normalenvektor   und dem Richtungsvektor der Geraden   zusammen.

  • Ist   (wie in der Abb.), dann ist  .
  • Ist  , dann ist  .

Also gilt

Satz

Der Winkel zwischene einer Gerade mit Richtungsvektor   und einer Ebene mit Normalenvektor   ist

 
 




Winkel zwischen zwei sich schneidenden EbenenBearbeiten

Der Winkel   zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

 

und

 

hängt folgendermaßen von dem Winkel   zwischen den Normalenvektoren der Ebenen   und   zusammen.

  • Ist  , dann ist  .
  • Ist   (wie in der Abb.), dann ist  .

Damit gilt ähnlich wie beim Schnittwinkel von Geraden

Satz

Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen mit Normalenvektoren   und   ist

 
 



Das Kapitel "Kugel" kann unter Umständen übersprungen werden. Dann geht es weiter bei   "Rechnen mit Matrizen"