Im Abschnitt über das Skalarprodukt wurden bereits eine Möglichkeit angegeben, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.
a
→
⋅
b
→
=
a
1
⋅
b
1
+
a
2
⋅
b
2
+
a
3
⋅
b
3
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}}
|
a
→
|
=
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
{\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}}
|
b
→
|
=
b
1
2
+
b
2
2
+
b
3
2
{\displaystyle \left|{\vec {b}}\right|={\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}}
Winkel zwischen sich schneidenden Geraden
Bearbeiten
Der Winkel
α
{\displaystyle \left.\alpha \right.}
g
1
:
x
→
=
p
→
+
s
⋅
u
→
(
s
∈
R
)
{\displaystyle g_{1}:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}\qquad \left(s\in \mathbb {R} \right)}
und
g
2
:
x
→
=
q
→
+
t
⋅
v
→
(
t
∈
R
)
{\displaystyle g_{2}:\;{\vec {x}}={\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)}
ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Dieser hängt eng mit dem Winkel
φ
{\displaystyle \varphi }
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
Ist
φ
≤
90
∘
{\displaystyle \varphi \leq 90^{\circ }}
α
=
φ
{\displaystyle \alpha =\varphi }
Ist
φ
>
90
∘
{\displaystyle \varphi >90^{\circ }}
α
=
180
∘
−
φ
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }-\varphi }
Weil
arccos
(
|
x
|
)
=
{
arccos
(
x
)
,
wenn
arccos
(
x
)
≤
90
∘
180
∘
−
arccos
(
x
)
,
wenn
arccos
(
x
)
>
90
∘
{\displaystyle \arccos \left(\left|x\right|\right)={\begin{cases}\arccos(x),&{\mbox{wenn }}\arccos(x)\leq 90^{\circ }\\180^{\circ }-\arccos(x),&{\mbox{wenn }}\arccos(x)>90^{\circ }\end{cases}}}
u
→
⋅
v
→
{\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
Die Geraden
g
1
:
x
→
=
(
3
−
3
0
)
+
s
⋅
(
−
2
2
2
)
(
s
∈
R
)
{\displaystyle g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\;\left(s\in \mathbb {R} \right)}
und
g
2
:
x
→
=
(
1
7
0
)
+
t
⋅
(
2
2
−
3
)
(
t
∈
R
)
{\displaystyle g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\7\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)}
schneiden sich im Punkt
P
(
−
3
|
3
|
6
)
{\displaystyle P\left(-3|3|6\right)}
α
=
arccos
|
(
−
2
2
2
)
⋅
(
2
2
−
3
)
|
|
(
−
2
2
2
)
|
⋅
|
(
2
2
−
3
)
|
=
arccos
6
12
⋅
17
≈
arccos
(
0
,
42
)
≈
65
,
2
∘
{\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\left|{\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}-2\\2\\2\\\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}2\\2\\-3\\\end{pmatrix}}\right|}}=\arccos {\frac {6}{{\sqrt {12}}\cdot {\sqrt {17}}}}\approx \arccos(0,42)\approx 65,2^{\circ }}
Bearbeiten
Der Winkel
α
{\displaystyle \left.\alpha \right.}
E
:
x
→
⋅
n
→
=
c
{\displaystyle E:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=c}
und einer Geraden, die selbige schneidet
g
:
x
→
=
p
→
+
t
⋅
v
→
(
t
∈
R
)
{\displaystyle g:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+t\cdot {\vec {v}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)}
hängt eng mit dem Winkel
φ
{\displaystyle \varphi }
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
Ist
φ
<
90
∘
{\displaystyle \varphi <90^{\circ }}
α
=
90
∘
−
φ
{\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\varphi }
Ist
φ
>
90
∘
{\displaystyle \varphi >90^{\circ }}
α
=
φ
−
90
∘
{\displaystyle \alpha =\varphi -90^{\circ }}
Also gilt
α
=
90
∘
−
arccos
(
x
)
⇒
arccos
(
x
)
=
90
∘
−
α
⇒
x
=
cos
(
90
∘
−
α
)
=
sin
(
α
)
⇒
α
=
arcsin
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{lrcl}&\alpha &=&90^{\circ }-\arccos(x)\\\Rightarrow &\arccos(x)&=&90^{\circ }-\alpha \\\Rightarrow &x&=&\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin(\alpha )\\\Rightarrow &\alpha &=&\arcsin(x)\end{array}}}
Die Ebene
E
:
x
→
⋅
(
2
−
2
1
)
=
12
{\displaystyle E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}}=12}
und die Gerade
g
:
x
→
=
(
0
−
2
2
)
+
t
⋅
(
1
0
1
)
(
t
∈
R
)
{\displaystyle g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}\;\left(t\in \mathbb {R} \right)}
schneiden sich im Punkt
P
(
2
|
−
2
|
4
)
{\displaystyle P\left(2|-2|4\right)}
α
=
arcsin
|
(
2
−
2
1
)
⋅
(
1
0
1
)
|
|
(
2
−
2
1
)
|
⋅
|
(
1
0
1
)
|
=
arcsin
3
3
⋅
2
=
arcsin
(
1
2
)
=
45
∘
{\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {\left|{\begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}2\\-2\\1\\\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\\end{pmatrix}}\right|}}=\arcsin {\frac {3}{3\cdot {\sqrt {2}}}}=\arcsin \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=45^{\circ }}
Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen
Bearbeiten
Der Winkel
α
{\displaystyle \left.\alpha \right.}
E
1
:
x
→
⋅
n
→
1
=
c
1
{\displaystyle E_{1}:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{1}=c_{1}}
und
E
2
:
x
→
⋅
n
→
2
=
c
2
{\displaystyle E_{2}:\;{\vec {x}}\cdot {\vec {n}}_{2}=c_{2}}
hängt folgendermaßen von dem Winkel
φ
{\displaystyle \varphi }
n
→
1
{\displaystyle {\vec {n}}_{1}}
n
→
2
{\displaystyle {\vec {n}}_{2}}
Ist
φ
≤
90
∘
{\displaystyle \varphi \leq 90^{\circ }}
α
=
φ
{\displaystyle \alpha =\varphi }
Ist
φ
>
90
∘
{\displaystyle \varphi >90^{\circ }}
α
=
180
∘
−
φ
{\displaystyle \alpha =180^{\circ }-\varphi }
Damit gilt ähnlich wie beim Schnittwinkel von Geraden
Die Ebene
E
1
:
x
→
⋅
(
12
3
4
)
=
9
{\displaystyle E_{1}:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}12\\3\\4\\\end{pmatrix}}=9}
und
E
2
:
x
→
=
⋅
(
2
−
1
−
2
)
=
3
{\displaystyle E_{2}:\;{\vec {x}}=\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\\\end{pmatrix}}=3}
schneiden sich.
α
=
arccos
|
(
12
3
4
)
⋅
(
2
−
1
−
2
)
|
|
(
12
3
4
)
|
⋅
|
(
2
−
1
−
2
)
|
=
arccos
13
13
⋅
3
=
arccos
1
3
≈
70
,
5
∘
{\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\left|{\begin{pmatrix}12\\3\\4\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\\\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}12\\3\\4\\\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\\\end{pmatrix}}\right|}}=\arccos {\frac {13}{13\cdot 3}}=\arccos {\frac {1}{3}}\approx 70,5^{\circ }}
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