MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Winkel
Winkel zwischen zwei VektorenBearbeiten
Im Abschnitt über das Skalarprodukt wurden bereits eine Möglichkeit angegeben, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen.
Satz
Ist der Winkel zwischen den Vektoren und , so gilt:
Zu beachten ist hierbei, dass das Produkt im Zähler ein Skalarprodukt ist, also , während das Produkt im Nenner ein Produkt zweier Beträge und und damit das Produkt zweier Zahlen ist.
Winkel zwischen sich schneidenden GeradenBearbeiten
Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden
und
ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Dieser hängt eng mit dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Geraden und zusammen.
- Ist , dann ist .
- Ist (wie in der Abb.), dann ist .
Weil ist gilt:
Satz
Der Winkel zwischen zwei sich schneiden Geraden mit Richtungsvektoren und ist
Beachte: Die Betragszeichen im Zähler beziehen sich auf den Betrag einer Zahl, nämlich des Skalarproduktes , während die Betragszeichen im Nenner sich auf den Betrag von Vektoren, nämlich und beziehen.
Beispiele
Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene, die sich schneidenBearbeiten
Der Winkel zwischen einer Ebene
und einer Geraden, die selbige schneidet
hängt eng mit dem Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Richtungsvektor der Geraden zusammen.
- Ist (wie in der Abb.), dann ist .
- Ist , dann ist .
Also gilt
Satz
Der Winkel zwischene einer Gerade mit Richtungsvektor und einer Ebene mit Normalenvektor ist
Beweis
Beispiele
Winkel zwischen zwei sich schneidenden EbenenBearbeiten
Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen
und
hängt folgendermaßen von dem Winkel zwischen den Normalenvektoren der Ebenen und zusammen.
- Ist , dann ist .
- Ist (wie in der Abb.), dann ist .
Damit gilt ähnlich wie beim Schnittwinkel von Geraden
Satz
Der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen mit Normalenvektoren und ist
Beispiele