Ing Mathematik: Ungleichungen

Ungleichungen könnte man als spezielle Intervalle betrachten, welche in mindestens einer Richtung keine Grenze haben, also bis ins Unendliche offen sind. Damit fallen auch die bereits im Kapitel "Intervalle" genannten Offenen Intervalle unter die Kategorie der Ungleichungen. Es handelt sich also um vergleichende Aussagen im Gegensatz zu gleichsetzenden Aussagen bei Gleichungen.

Arten der Ungleichungen

Es gibt einige Ungleichungszeichen, welche unterschiedliche Verhältnisse der beiden zu vergleichenden Größen beschreiben. Die auftretenden Zeichen sind:

< bzw. > als Zeichen für kleiner als bzw. größer als
≤ bzw. ≥ als Zeichen für kleiner gleich bzw. größer gleich
≠ bedeutet ungleich, es kann also sowohl größer als auch kleiner sein.

Darüber hinaus gibt es außerdem die seltener benutzten Zeichen:

⋙ bzw. ⋘ für "sehr viel größer bzw. kleiner als
⋚ und ⋛ für entweder kleiner, gleich oder größer als (keine EInschränkung)

Bei den unteren Zeichen kann man sich streiten, ob sie hierhergehören, der Vollständigkeit halber sollen sie aber genannt werden:

≈ ist das Zeichen für proportional zu und ist etwa
≙ heißt entspricht. Auch dieses Zeichen ähnelt im Prinzip dem "=".

Außerdem gibt es noch folgende Zeichen, welche jedoch auch durch obengenannte ersetzt werden können:

≰ und ≱ gleichbedeutend mit größer als und kleiner als
≸ sowie ≹ gleichbedeutend mit =, es handelt sich dann also um eine Gleichung
≮ und ≯ gleichbedeutend mit größer gleich und kleiner gleich

Rechenregeln

Insgesamt sind die Ungleichungszeichen ähnlich zu behandeln wie Gleichungszeichen, haben aber einige Besonderheiten zu beachten.

Allgemeine Regeln

Ungleichungen kann man, ebenso wie Gleichungen, einfach umdrehen, muss das Relationszeichen jedoch mitnehmen!

AxB≤C entspricht C≥BxA

Subtraktion und Addition

bei der Subtraktion und Addition müssen keine Regeln extra bedacht werden; es gelten dieselben Regeln wie bei Gleichungen.

negative Division und Multiplikation

Stellen Sie sich vor, wir haben eine Ungleichung wie diese:

A*B<C

Sie ist leicht zu überschauen und sagt lediglich aus, dass A und B zusammen kleiner als C sind. Wenn Sie jetzt A in Abhängigkeit der anderen Größen erfassen wollen, Rechnen Sie auf beiden Seiten ":B":

AxB<C   | :B

Jetzt würden Sie vielleicht meinen: Das ist einfach "A<C/B". Stellen Sie sich aber vor, dass B<0 [B kleiner als 0] sei und überdenken Sie die Gleichung: Das kann nicht hinkommen, man müsste das Relationszeichen umdrehen, sodass das Ergebnis wäre:

A<C/B wenn B>0
A>C/B wenn B<0

Kann B auch im weiteren Verlauf nicht genauer benannt werden, so sind beide (und nur beide) Ergebnisse richtig. Wir sehen also:

teilt man durch negative Zahlen oder multipliziert mit ihnen, dreht sich das Relationszeichen um. Sind die entsprechenden Zahlen positiv, verändert sich nichts.

Erweiterung

Ungleichungen kann man nicht nur im Zusammenhang mit einfachen (Un-)Gleichungen betrachten, sondern sie können auch bei Vektoren, Matritzen, oder komplexen Zahlen auftauchen. Hier werden sie jedoch nicht einheitlich behandelt, weshalb an dieser Stelle nicht weiter darauf eingegangen werden soll.

Verweise

weitere Informationen
berühmte Ungleichungen
- Beweis Grönwall'sche Ungleichung
- Beweis Young'sche Ungleichung