Formelsammlung Mathematik: Differentialrechnung

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Ableitung

Definition

Sei $f\colon U\to \mathbb {R}$ und sei $U\subseteq \mathbb {R}$ eine offene Umgebung von $x_{0}$.

Definition. Ableitung.

Ableitung (Differentialquotient) von $f$ an der Stelle $x_{0}$:

$f'(x_{0}):=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

mit $h=x-x_{0}$.

Ableitungsregeln

Seien $f,g,h$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbare Funktionen und es gelte $h(x_{0})\neq 0$. Seien $a,n$ konstante reelle Zahlen.

Dann gilt:

Funktion	Ableitung an der Stelle $x=x_{0}$	Bezeichnung
$y(x)=a$	$y'(x)=0$	Konstantenregel
$y(x)=af(x)$	$y'(x)=af'(x)$	Faktorregel (Homogenität)
$y(x)=f(x)+g(x)$	$y'(x)=f'(x)+g'(x)$	Summenregel (Additivität)
$y(x)=f(x)-g(x)$	$y'(x)=f'(x)-g'(x)$	Differenzenregel
$y(x)=f(x)g(x)$	$y'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$	Produktregel
$y(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$	$y'(x)={\frac {g'(x)h(x)-h'(x)g(x)}{h(x)^{2}}}$	Quotientenregel
$y(x)={\frac {1}{h(x)}}$	$y'(x)={\frac {-h'(x)}{h(x)^{2}}}$	Kehrwertregel

Kettenregel: Sei

$y(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x)).$

Ist $g$ an der Stelle $x_{0}$ differenzierbar und $f$ an der Stelle $g(x_{0})$ differenzierbar, so gilt

$y'(x_{0})=(f'\circ g)(x_{0})\cdot g'(x_{0})$

oder in leibnizscher Notation:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=x_{0}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} g}}{\bigg |}_{g=g(x_{0})}\cdot {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}{\bigg |}_{x=x_{0}}.$

Ableitung elementarer Funktionen

Name	Funktion	Ableitung	$D(f)$	$D(f')$
Potenzfunktion	$x^{n},\,n\in \mathbb {N}$	$nx^{n-1}$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Potenzfunktion	$x^{r},\,r\in \mathbb {R}$	$rx^{r-1}$	$(0,\infty )$	$D(f)$
Kehrwert	${\frac {1}{x}}$	$-{\frac {1}{x^{2}}}$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$	$D(f)$
Quadratwurzel	${\sqrt {x}}$	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$	$[0,\infty )$	$(0,\infty )$
n-te Wurzel	${\sqrt[{n}]{x}}$	${\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}$	$[0,\infty )$	$(0,\infty )$
eulersche Exponentialfunktion	$\mathrm {e} ^{x}$	$\mathrm {e} ^{x}$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Exponentialfunktion	$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
natürlicher Logarithmus	$\ln x$	${\frac {1}{x}}$	$(0,\infty )$	$D(f)$
Logarithmus	$\log _{a}x$	${\frac {1}{x\ln a}}$	$(0,\infty )$	$D(f)$
Sinus	$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Kosinus	$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Tangens	$\tan x$	${\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$	${\Big \{}x{\Big |}x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}}{\Big \}}$	$D(f)$
Kotangens	$\cot x$	$-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-1-\cot ^{2}x$	$\{x|x\neq k\pi \}$	$D(f)$
Arkussinus	$\arcsin x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$[-1,1]$	$(-1,1)$
Arkuskosinus	$\arccos x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$	$[-1,1]$	$(-1,1)$
Arkustangens	$\arctan x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Arkuskotangens	$\operatorname {arccot} x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Sinus Hyperbolicus	$\sinh x$	$\cosh x$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Kosinus Hyperbolicus	$\cosh x$	$\sinh x$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Tangens Hyperbolicus	$\tanh x$	${\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=1-\tanh ^{2}x$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Kotangens Hyperbolicus	$\coth x$	$-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=1-\coth ^{2}x$	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$	$D(f)$
Areasinus Hyperbolicus	$\operatorname {arsinh} x$	${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\mathbb {R}$	$D(f)$
Areakosinus Hyperbolicus	$\operatorname {arcosh} (x)$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$	$[1,\infty )$	$(1,\infty )$
Areatangens Hyperbolicus	$\operatorname {artanh} (x)$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$	$(-1,1)$	$D(f)$
Areakotangens Hyperbolicus	$\operatorname {arcoth} (x)$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$	$(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$	$D(f)$

→ Ableitungen

Approximation, Reihenentwicklung

Tangente und Normale

Funktionsgleichung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_{0}$:

$T(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0}).$

Funktionsgleichung der Normale an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_{0}$:

$N(x)=f(x_{0})-{\frac {1}{f'(x_{0})}}\cdot (x-x_{0}).$

Taylorreihe

Sei $f$ eine an der Stelle a unendlich oft differenzierbare Funktion.

Definition. Taylorreihe.

Taylorreihe von $f$ an der Stelle a:

$f[a](x):=(\exp((x-a)D)f)(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(D^{k}f)(a)}{k!}}\cdot (x-a)^{k}$

$=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}\cdot (x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{6}}\cdot (x-a)^{3}+\ldots$

mit $f^{(k)}(a)=(D^{k}f)(a)$.

Beim Spezialfall a=0 spricht man von einer Maclaurin-Reihe.

Es gilt immer $f[a](a)=f(a)$.

Für einige Funktionen gilt $f[a](x)=f(x)$ in einer Umgebung von a.

Für manche Funktionen gilt $f[a](x)=f(x)$ sogar für alle x. Das ist z. B. bei allen Polynomfunktionen und bei exp, sin, cos der Fall.

→ Liste von Reihenentwicklungen

Sätze über differenzierbare Funktionen

Stetigkeit

Satz. Satz über die Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion.

Ist eine reelle Funktion an einer Stelle differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.

Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion auf dem Intervall differenzierbar, dann ist sie auf dem Intervall auch stetig. Das Intervall ist beliebig, es kann auf beiden Seiten unabhängig voneinander jeweils offen, geschlossen oder unbeschränkt sein. Bei einem geschlossenen Intervall ist aber an der Randstelle nur die einseitige Differenzierbarkeit gefordert, denn die Stellen abseits der Randstelle gehören nicht mehr zum Definitionsbereich.

→ Sätze über stetige Funktionen

Mittelwertsatz

Satz. Mittelwertsatz.

Sei a<b. Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar.

Es gibt mindestens ein $x_{0}\in (a,b)$, so dass

$f'\left(x_{0}\right)={\frac {f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}$

gilt.

Anschaulich: Es gibt mindestens eine Tangente mit der gleichen Steigung wie die Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)).

Satz von Rolle

Satz. Satz von Rolle.

Sei a<b. Sei $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ auf [a, b] stetig und auf (a, b) differenzierbar.

Im Fall $f(a)=f(b)$ gibt es mindestens ein $x_{0}\in (a,b)$ mit der Eigenschaft

$f'\left(x_{0}\right)=0.$