Formelsammlung Mathematik: Differentialrechnung

Formelsammlung Mathematik

AbleitungBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   und sei   eine offene Umgebung von  .

Definition. Ableitung.

Ableitung (Differentialquotient) von   an der Stelle  :

 

mit  .

AbleitungsregelnBearbeiten

Seien   an der Stelle   differenzierbare Funktionen und es gelte  . Seien   konstante reelle Zahlen.

Dann gilt:

Funktion Ableitung an der Stelle   Bezeichnung
    Konstantenregel
    Faktorregel (Homogenität)
    Summenregel (Additivität)
    Differenzenregel
    Produktregel
    Quotientenregel
    Kehrwertregel

Kettenregel: Sei

 

Ist   an der Stelle   differenzierbar und   an der Stelle   differenzierbar, so gilt

 

oder in leibnizscher Notation:

 


Ableitung elementarer FunktionenBearbeiten

Name Funktion Ableitung    
Potenzfunktion        
Potenzfunktion        
Kehrwert        
Quadratwurzel        
n-te Wurzel        
eulersche Exponentialfunktion        
Exponentialfunktion        
natürlicher Logarithmus        
Logarithmus        
Sinus        
Kosinus        
Tangens        
Kotangens        
Arkussinus        
Arkuskosinus        
Arkustangens        
Arkuskotangens        
Sinus Hyperbolicus        
Kosinus Hyperbolicus        
Tangens Hyperbolicus        
Kotangens Hyperbolicus        
Areasinus Hyperbolicus        
Areakosinus Hyperbolicus        
Areatangens Hyperbolicus        
Areakotangens Hyperbolicus        
Ableitungen

Approximation, ReihenentwicklungBearbeiten

Tangente und NormaleBearbeiten

Funktionsgleichung der Tangente an den Graphen von   an der Stelle  :

 

Funktionsgleichung der Normale an den Graphen von   an der Stelle  :

 

TaylorreiheBearbeiten

Sei   eine an der Stelle a unendlich oft differenzierbare Funktion.

Definition. Taylorreihe.

Taylorreihe von   an der Stelle a:

 
 

mit  .

Beim Spezialfall a=0 spricht man von einer Maclaurin-Reihe.

Es gilt immer  .

Für einige Funktionen gilt   in einer Umgebung von a.

Für manche Funktionen gilt   sogar für alle x. Das ist z. B. bei allen Polynomfunktionen und bei exp, sin, cos der Fall.

Liste von Reihenentwicklungen

Sätze über differenzierbare FunktionenBearbeiten

StetigkeitBearbeiten

Satz. Satz über die Stetigkeit einer differenzierbaren Funktion.

Ist eine reelle Funktion an einer Stelle differenzierbar, dann ist sie dort auch stetig.

Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion auf dem Intervall differenzierbar, dann ist sie auf dem Intervall auch stetig. Das Intervall ist beliebig, es kann auf beiden Seiten unabhängig voneinander jeweils offen, geschlossen oder unbeschränkt sein. Bei einem geschlossenen Intervall ist aber an der Randstelle nur die einseitige Differenzierbarkeit gefordert, denn die Stellen abseits der Randstelle gehören nicht mehr zum Definitionsbereich.

Sätze über stetige Funktionen

MittelwertsatzBearbeiten

Satz. Mittelwertsatz.

Sei a<b. Sei   auf [ab] stetig und auf (ab) differenzierbar.

Es gibt mindestens ein  , so dass

 

gilt.

Anschaulich: Es gibt mindestens eine Tangente mit der gleichen Steigung wie die Sekante durch die Punkte (af(a)) und (bf(b)).

Satz von RolleBearbeiten

Satz. Satz von Rolle.

Sei a<b. Sei   auf [ab] stetig und auf (ab) differenzierbar.

Im Fall   gibt es mindestens ein   mit der Eigenschaft