Formelsammlung Mathematik: Ableitungen
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Beweis
Für eine komplexe Zahl mit gilt
.
Nun ist
.
Der Vergleich der Realteile liefert die gesuchte Formel.
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Beweis
Für eine komplexe Zahl mit gilt
.
Nun ist
.
Der Vergleich der Imaginärteile liefert die gesuchte Formel.
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Beweis
Der Induktionsanfang für ist klar.
Induktionsschluss:
Da für k>n ist, ändert sich an der 1. Summe nichts, wenn der Laufindex k bis n+1 läuft.
Die 2. Summe ist nach Indexverschiebung .
Und da für k<0 ist, ändert sich an der 2. Summe nichts, wenn der Laufindex k bei 0 beginnt.
Also ist .
Und diese Summe ist nach der Rekursionsformel
für Stirlingzahlen 2. Art gleich .