Diskussion:Till Eulenspiegels lustige Serie

Hallo Bautsch! So weit ich weiß, sind solche "Zufälle" nicht ganz ungewöhnlich, die sind nämlich statistisch vorgesehen (noch einmal, so weit ich weiß). Wäre es vielleicht doch sinnvoll, dass der Leser auch darüber informiert wird? Yomomo 15:31, 16. Mär. 2021 (CET)

Danke für den Input, den ich gleich und gerne im Beitrag berücksichtige. -Bautsch 12:03, 17. Mär. 2021 (CET)

Also, wenn ich das gut verstehe, die Andeutung ist, dass Strauss von der Serie wusste und seine Melodie entsprechend komponiert hat. LG Yomomo 10:05, 18. Mär. 2021 (CET)

Nochmals danke, das sollte natürlich auch klar aus dem Text hervorgehen und ist bereits nachgetragen. -Bautsch 10:18, 18. Mär. 2021 (CET)

Der quantenphysikalische Hintergrund

Vorschlag, die Physik zum Thema zu ergänzen

Der Quantenmechanik gelang es im zwanzigsten Jahrhundert, den Bau der Atome und die Wechselwirkung zwischen geladenen Materieteilchen (beispielsweise Elektronen) und den Lichtteilchen (Photonen) sehr genau zu beschreiben.

Das elektromagnetische Lichtfeld reagiert mit anderen Teilchen so, dass ein Quantum mit der Energie $E=h\cdot \nu$ entweder aufgefangen oder abgegeben wird. Die Konstante $h$ ist das Planck'sche Wirkungsquantum und $\nu$ ist die Frequenz einer elektromagnetischen Welle.

Die Bindung zwischen dem Elektron und dem Proton des Wasserstoffatoms nimmt genau dann eine relativ zeitstabile, also stationäre, Form an, wenn es eine räumlich konzentrierte stehende Welle gibt, die die berühmte Schrödinger-Gleichung erfüllt, die 1926 vom österreichischen Physiker Erwin Schrödinger (* 1887; † 1961) aufgestellt wurde. Wie bei großen mechanischen Objekten auch, etwa Saiten und Orgelpfeifen, sind die möglichen Frequenzen sehr gut mit kleinen ganzen Zahlen verbunden. Seit Pythagoras wissen wir, dass die harmonischen Intervalle von Tönen nichts anderes sind als solche Frequenzen, deren Verhältnisse zwei ganze Zahlen sind. Sie treten gern in Erscheinung als die Eigenfrequenzen von schwingenden Objekten.

Die Eigenfrequenzen des Wasserstoffatoms folgen mit $n=1,2,3,...$ der Formel $\nu _{n}={\frac {\nu _{1}}{n^{2}}}$, wo $\nu _{1}$ die höchste vorkommende Frequenz ist. Die Bindungsenergien des Atoms werden negativ gemessen in Bezug auf ein ungebundenes Paar aus Elektron und Proton. Die Folge lautet $E_{n}=-h\cdot \nu _{n}$. Wieder zieht die Planck'sche Konstante ein. Die tiefste Energie $E_{1}=-13,6{\text{ eV}}$ (Die Energieeinheit eV steht für Elektronenvolt) gehört zur kugelförmigen stehenden Welle, in der keine "Knoten" vorkommen. Die angeregten Energien $E_{n}$ haben eine symmetrische räumliche Struktur mit Knotenflächen, welche die Wellenform in eine Anzahl von 'Keulen' oder 'Bäuchen' aufteilen. Beispiele hier zu den Hauptquantenzahlen n von 1 bis 4.

Zustandsbasis Wasserstoffatom

Die Quantenmechanik erklärt, wie das Wasserstoffatom leuchtet. Es geht vom Zustand $E_{m}$ in den tieferen Zustand $E_{n}$ mit $m>n$ über. Die Energie $\Delta E=E_{m}-E_{n}$ wird dabei an ein Photon übergeben, dessen Frequenz in der Spektralserie liegt und die mit der folgenden Rydberg-Formel bestimmt werden kann:

$\Delta E=h\cdot \nu _{m,n}=|E_{1}|\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)$

Zu den Methoden der Physik gehört eine Störungsrechnung, wonach bereits eine klassisch gedachte elektrische Schwingung die stimulierten Quantenübergänge des Wasserstoffs hervorruft, und zwar genau mit dem experimentell bestätigten Spektrum von Frequenzen. Aber um die spontane Emission von Lichtquanten zu erklären, musste eine gründliche teilchenartige Behandlung des Lichtfeldes her: die Quantenfeldtheorie. Mit deren Rechenmethoden kommt dann korrekt heraus, dass die angeregten Zustände des Atoms nicht ganz stabil sind. Aus dem Vakuum können die Photonen auftauchen, die an die passenden Zustände von Elektronen ankoppeln.

Eine tiefschürfende Deutung des Wasserstoff-Spektrums verdanken wir dem österreichischen Physiker Wolfgang Pauli (* 1900; † 1958), der mit den Physikern Niels Bohr (* 1885; † 1962) aus Dänemark, Werner Heisenberg (* 1901; † 1976) aus Deutschland, dem oben bereits erwähnten Erwin Schrödinger und anderen maßgeblich zur wissenschaftlichen Revolution der Quantenmechanik beitrug. Ihm gelang eine algebraische Formulierung des Wasserstoff-Modells dank einer in sich geschlossenen Gruppe von Symmetrie-Operatoren. Er konnte das Spektrum ganz ohne die lästigen Schrödingerschen Differenzialgleichungen herleiten. Die spezielle Form der Coulomb-Anziehung zwischen Elektron und Proton erlaubt einen hohen Grad von Symmetrie.

Seither spielten die Symmetriegruppen eine steigende Rolle in der Physik. Häufig werden solche Gruppen in der Natur dargestellt in Verbindung mit Serien von ganzen Quantenzahlen. Symmetrie und Harmonie sind offenbar eng miteinander verbunden.

-- Gluedrop 11:46, 18. Mär. 2021 (CET)

Welch eine schöne Überraschung ! Wo kommt der Text her ? Könnte der eventuell einfach so wie er ist als Abschnitt vor dem Nachwort eingefügt werden ? -Bautsch 11:58, 18. Mär. 2021 (CET)

Danke für die schnellen Verbesserungen am frisch gebackenen Text. Kann so vor dem Nachwort einfließen. Schön, die Genies von Kunst und Wissenschaft mit vollen Namen und Daten zu würdigen! --Gluedrop 15:23, 18. Mär. 2021 (CET)

Ich will mich nicht mit fremden Federn schmücken und würde mich freuen, wenn Du das einbaust :-) -Bautsch 16:13, 18. Mär. 2021 (CET)

Herzlichen Dank für die umgehende Erledigung. Habe mir erlaubt, auch noch kurz auf Materiewellen einzugehen, weil der Absatz dadurch aus historischer Sicht und für Einsteiger noch ein wenig runder wird. -Bautsch 12:03, 19. Mär. 2021 (CET)

Gut. Fast alle 'Gründerväter' sind genannt (wichtig noch Dirac, Born und der mathematisch strenge Von Neumann). Habe noch die praktische Anwendung der Formeln auf unser Einheitensystem erwähnt. -Gluedrop 09:07, 20. Mär. 2021 (CET)

Damals wurde unvoreingenommen und konstruktiv zusammengearbeitet - und schön, dass dies hier und heute auch möglich ist. Danke ! --Bautsch 09:50, 20. Mär. 2021 (CET)

Dank und Hinweis

Hallo zusammen! Eine kleine Randbemerkung, wenn ich darf: Herzlichen Dank für dieses vorbildliche Wikiverhalten! Ich habe unter anderem die Gespräche dieser Diskussionsseite zum Anlass genommen, das zugrundeliegende Buch als exzellentes Buch vorzuschlagen: Wikibooks:Kandidaten für exzellente Bücher#Quadriviale_Kuriositäten_18.03.2021. Eine Beteiligung dort würde mich sehr freuen. Viele Grüße --HirnSpuk 16:42, 18. Mär. 2021 (CET)

Ich freue mich über diese Initiative sehr, werde aber wegen Befangenheit lieber nicht abstimmen, obwohl ich freilich nichts gegen eine entsprechende Attributierung einzuwenden hätte :-) -Bautsch 17:00, 18. Mär. 2021 (CET)

Drei mögliche Deutungen der Tonfolge

Erlaube mir Pädagogisches? zum Kernthema des Aufsatzes

Das Motiv C-F-G-Gis-A kann auf 3 Arten schmackhaft gemacht werden.

• Die Folge von konsonanten Intervallen zum Grundton
• Die Teilmenge der Obertonreihe mit Quadratzahlen
• Die Balmer-Serie von Frequenzen

Fangen wir an mit einer elementaren Auffrischung zu Intervallen von Tönen. Benutzt wird reine Stimmung und Bruchrechnung nach dem Vorbild von Pythagoras.

Ein Grundton der Frequenz $f$ hat eine Folge von Obertönen mit den Vielfachen $f_{n}=n\cdot f,\quad n=2,3,4...$

Die Intervalle zwischen benachbarten Obertönen haben das Frequenzverhältnis $I_{n}={\frac {f_{n}}{f_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}$ und sie tragen schöne Namen. Nennen wir es die Intervallfolge von Pythagoras. Hier der Anfang:

$I_{2}=2/1\quad$ Oktave

$I_{3}=3/2\quad$ Quinte

$I_{4}=4/3\quad$ Quarte

$I_{5}=5/4\quad$ Große Terz

$I_{6}=6/5\quad$ Kleine Terz

[ wir lassen zwei weg mit der bösen Sieben, der Hexenzahl ]

$I_{9}=9/8\quad$ Ganzer Ton oder Sekunde

Obacht. Für die Intervalle von Tönen, so wie das Ohr sie wahrnimmt, kommt es auf den Quotienten der zwei Frequenzen an, nicht auf ihre Differenz. Zwei Intervalle hintereinander zu setzen ist keine Addition, sondern bedeutet die Multiplikation der Frequenz-Verhältnisse.

Zwei Töne klingen dann 'harmonisch' zusammen, wenn ihr Frequenzverhältnis kleine ganze Zahlen hat. Der Übergang von Wohlklängen zu Missklängen ist erstens fließend und zweitens subjektiv. Grob gesehen, man stempelt zu Dissonanzen alle Brüche, in denen eine Zahl größer als 9 vorkommt. Umgekehrt sind zu kleine Zahlen wie die Oktave auch langweilig, die leere Quinte wirkt auch nicht so berückend.

Eine diatonische Skala kann mit den ersten drei Sprüngen gebaut werden. Zum Grundton C nehme man die goße Terz E, die Quarte F und die Quinte G. Von der Quinte G nun eine Quarte runter nach D und eine große Terz rauf nach H. Schließlich die große Terz A auf der Quarte F.

Die ganze Dur-Tonleiter mit der Oktave C' lautet: C D E F G A H C'.

Es gibt ganze Töne und Halbtöne als benchbarte Paare. Daher die Bezeichnung diatonisch, im Gegensatz zu chromatisch.

Ein ähnliches, molliges Rezept nimmt kleine Terzen statt der großen. Die Quinte und Quarte sind die Eckpfeiler, Dominante G und Subdominante F.

Sind alle Paare aus der diatonischen Leiter harmonisch, zumindest wenn man Sekunden und Septimen ausklammert? Nein, es gibt einen Exoten. Der Sprung von F nach H ist ein Ganzton plus große Terz mit dem Faktor

$(9/8)\cdot (5/4)=45/32=1,406.$

Keine wirklich kleinen Zahlen im Bruch. Der Tritonus klingt etwas schräg. Seine Umkehrung von H zum F' der nächsten Oktave hat den Faktor

$(2\cdot 32)/45=64/45=1,422.$

Zwei reine kleine Terzen aufeinander ergeben andererseits den Faktor

$(6/5)\cdot (6/5)=36/25=1,440.$

Alle drei Zahlen sind sehr ähnlich und die Zweiklänge wirken auch so. Sie riechen nach der Quadratwurzel aus Zwei, geometrisches Mittel der Oktave:

${\sqrt {2}}=1,414.$

Aus vier ganz leicht gequetschten kleinen Terzen ergibt sich daher ein Vierklang, der eine Oktave gleichmäßig füllt und in allen Umkehrungen zu sich selbst ähnlich ist. Es ist der verminderte Septakkord in der gleichschwebenden Stimmung. Wohl kein Musiker kann sich verkneifen, ihn zu dramatischen Effekten einzubauen.

A. Die Folge von konsonanten Intervallen zum Grundton

Das Motiv C F G Gis A wurde ausgesucht, denn es ist eine Folge von 'wohlklingenden' Intervallen zum Grundton C:

Quarte, Quinte, kleine und große Sexte.

Die Intervalle (Frequenz-Verhältnisse) in reiner Stimmung sind

1/1, 4/3, 3/2, 8/5, 5/3.

Das Intervall C-Fis kommt nicht vor. Diese übermäßige Quarte ist der Tritonus und klingt nicht ganz so butterweich. Diabolus in musica hieß er ja im Mittelalter.

B. Die Teilmenge der Obertonreihe mit Quadratzahlen

Der Ganzton (Sekunde) $I_{9}=I_{3}/I_{4}$ ist gleich dem Intervall, das zwischen einer Quarte und Quinte über dem gleichen tiefen Ton vorkommt.

Verallgemeinert ergeben die Intervalle "zweiter Ordnung" dies:

${\frac {I_{n}}{I_{n+1}}}=\left({\frac {n}{n-1}}\right)/\left({\frac {n+1}{n}}\right)={\frac {n^{2}}{(n-1)(n+1)}}={\frac {n^{2}}{n^{2}-1}}=I_{n^{2}}.$

Es handelt sich um die Teilfolge der Pythagoras-Intervalle, die mit Quadratzahlen nummeriert sind. Sie misst den Betrag, um den die Ausgangsreihe von Term zu Term schrumpft.

Zum Beispiel gilt auch $I_{4}=I_{2}/I_{3},$ von Quinte zu Oktave geht eine Quarte.

Zwischen Großer Terz und Quarte kommt es zum Schritt $I_{4}/I_{5}=I_{16}=16/15,$ eine Form des Halbtons.

Von einer Kleinen zur Goßen Terz geht der Schritt $I_{5}/I_{6}=I_{25}=25/24,$ etwas engerer Halbton.

Die Leiter C F G Gis A reiht nun aneinander die ersten quadratischen Intervalle:

$I_{4}\;I_{9}\;I_{16}\;I_{25}=\;$ Quarte Ganzton Halbton Enger-Halbton.

Es sind die Intervalle, die den Unterschied benachbarter Obertonsprünge ausmachen. Die Folge ist sozusagen die erste Ableitung der Pythagoras-Serie.

Hier eine geschlossene Formel der Intervalle, bezogen auf den Grundton:

$g(m)=\{2/2,\;4/3,\;6/4,\;8/5,\;10/6\}=2\cdot {\frac {m-2}{m-1}};\;m=3,4,5,6,7.$

Zum Beweis bemerken wir $g(3)=1$ (trivial) und berechnen die Teilintervalle

${\frac {g(m+2)}{g(m+1)}}={\frac {m}{m+1}}\cdot {\frac {m}{m-1}}={\frac {m^{2}}{m^{2}-1}}=I_{m^{2}}\quad (m=2,3,4...).$

Sie kommen richtig als die quadratischen Intervalle heraus.

${\begin{array}{lll}C:&g(3)=&1\\F:&g(4)=I_{4}=&4/3\\G:&g(5)=g(4)\cdot I_{9}=(4/3)\cdot (9/8)=&3/2\\Gis:&g(6)=g(5)\cdot I_{16}=(3/2)\cdot (16/15)=&8/5\\A:&g(7)=g(6)\cdot I_{25}=(8/5)\cdot (25/24)=&5/3\\\end{array}}$

C. Die Balmer-Serie von Frequenzen

Behauptung: Die obige Funktion $g(m)=2\cdot {\frac {m-2}{m-1}}$ der Töne in reiner Stimmung ist bis auf ein Prozent identisch mit der Funktion

$f(m)={\frac {b(m)}{b(3)}}\;{\text{ wo }}\;b(m):={\frac {(m^{2}-4)}{m^{2}}}\quad (m=3,4,5,6,7).$

$b(m)$ ist die Folge von Frequenz-Faktoren der Balmer-Serie, $b(3)=5/9.$

Zum Beweis listen wir mit etwas Python die Fehlerfunktion

$z(m)={\frac {f(m)}{g(m)}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {(m+2)(m-1)}{m^{2}}}.$

for m in range(3,8) :
    g=2*(m-2)/(m-1.0)
    f=9*(m+2)*(m-2)/(5.0*m*m) 
    z=0.9*(m+2)*(m-1)/(m*m+0.0)
    print(str([m,g,f,z]))

m   g      f      z
------------------------
3   1.0    1.0    1.0
4   1.333  1.35   1.0125
5   1.5    1.512  1.008
6   1.6    1.6    1.0
7   1.667  1.653  0.9918

Damit wird klar, dass das sichtbare Wasserstoff-Spektrum und die Tonfolge des Eulenspiegel-Motivs gleich aussehen. Witzig, dass $g(\cdot )$ gebrochen rational erster Ordnung, aber $f(\cdot )$ von zweiter Ordnung ist.

Eine für Interessierte sehr kurzweilige und lehrreiche Betrachtung. Ich konnte alles nachvollziehen, könnte mir aber vorstellen, dass die vielschichtige Komplexität etliche Leser etwas überfordert. Vielleicht könnten diese an der einen oder anderen Stelle noch ein wenig mehr abgeholt werden...

Wie auch immer, der Inhalt könnte sowohl ein Abschnitt im Text werden, als auch als Unterseite mit "Bonus-Material" angelegt werden. Ich denke, dass ich eher zu ersterem neigen würde... --Bautsch 21:13, 22. Mär. 2021 (CET)

Ein Hinweis: ein Prozent entspricht zirka 17 Cent, und das ist ungefähr ein sechstel Halbton (100 Cent). Siehe auch w:Cent_(Musik) --Bautsch 21:23, 22. Mär. 2021 (CET)

Wie wäre es mit drei zusätzlichen Abschnitten, wie zum Beispiel "Der musiktheoretische Hintergrund", "Mathematische Betrachtungen" und "Weitere Aspekte" (für die Synästhesie) ? --Bautsch 07:20, 23. Mär. 2021 (CET)

Wie kam der Komponist auf die Töne?

Durchtrainierte Musiker:innen hören im Geiste eine ganze Partitur, wenn sie sie lesen. Wie sonst könnten sie sich an ein Dirigentenpult wagen. Kaum schwerer wird es gut veranlagten Leuten fallen, hinter anderen visuellen Mustern die Klänge zu 'hören'. Der Komponist bekam ein Bild des Spektrums vom Wasserstoff zu sehen und hatte sofort im inneren Ohr die entsprechende Tonfolge. Er brauchte nicht unbeholfen mit m und n herumzurechnen wie dieser unbegabte Schreiberling. Belanglos ist, ob man die Folge der Frequenzen oder der Wellenlängen malt. Die eine zeigt gewissermaßen das Spiegelbild der anderen. Strauss hörte, was er sah, und das Motiv vom Till Eulenspiegel war fertig. Synästhesie heißt diese Fähigkeit. Es gibt eine Ton-Farb-Synæsthesie (siehe Wikipedia), die bei manchen Komponisten dokumentiert wurde. -Gluedrop 15:22, 22. Mär. 2021 (CET)

Farbige Klaviatur des Synästhetikers Alexander Skrjabin

Soweit ich weiß, hat Richard Strauss absolut gehört. Das heißt allerdings nicht unbedingt, dass er wie Alexander Skrjabin auch eine Farb-Tonhöhen-Synästhesie hatte. Ferner haben Betroffene wohl auch sehr individuelle Zuordnungen - zumindest bei den wenigen Personen, die ich kenne, ist das so. Die Farbzuordnungen von Skrjabin sind zwar überliefert, würden aber beispielsweise nicht zum Wasserstoffspektrum passen... --Bautsch 21:13, 22. Mär. 2021 (CET)

Klar hatte R.Strauss kein Farbfoto. Am einfachen Linienbild hat er sich vorgestellt, wo der Finger auf einem Saiteninstrument ist. Eine hypothetische Gitarrensaite sei 1000 mm lang und schwinge auf Ton C. Ein Schwarzweiß-Bild der Balmer-Wellenlängen sei auf genau 400 mm gespreizt.

            0 250 332 370 405  Saite. Bund für den Ton (mm, für:  C F G Gis A)
            0 262 342 379 400  Balmer-Wellenlänge (längste bei 0, kürzeste bei 400)

Da der Abstand der Halbtöne 30 mm und größer ist, passen die Balmer-Linien eindeutig zur diskutierten Tonfolge.-Gluedrop 12:10, 23. Mär. 2021 (CET)

Nette Idee. Wenn ich das richtig verstanden habe, würde ich am Monochord allerdings eher die frei schwingenden Saitenlängen 1000, 750, 667, 625 und 600 Millimeter nennen, bei denen die reinen Intervalle erklingen. Die Balmer-Serie wäre dann durch die Saitenlängen 1000, 740,7, 661,4, 625 und 604,9 Millimeter repräsentiert. --Bautsch 10:02, 24. Mär. 2021 (CET)

Eine Bildmontage (kann jemand Gimp oder Photoshop?) könnte eine Gitarre unter dem Spektrum so zoomen, dass die Linien auf die korrekten Bünde zeigen. Die Naturlehre käme ohne Rechnen/Tabellen rüber: Wenn hier Wellenlängen zu Saitenlängen proportional sind, dann gilt dasselbe für die Kehrwerte, folglich die Frequenzen. --Gluedrop 16:20, 24. Mär. 2021 (CET)

Ohne Gitarre, mit Monochord:

Die Töne der Balmer-Serie auf dem Monochord.

--Bautsch 11:01, 26. Mär. 2021 (CET)

Anbei noch grafisch Balmer versus Tonfolge, als .svg in Textform um die Koordinaten zu retten. Zu klobig beschriftet, nicht publikationsreif. Diskussion:Till Eulenspiegels lustige Serie/ Vergleichsbild --Gluedrop 11:25, 27. Mär. 2021 (CET)

Das gibt es zum Anschauen jetzt in der Datei "Balmer-Serie.Gitarre.svg" auch visuell (siehe rechts).

. --Bautsch 23:46, 28. Mär. 2021 (CEST)

Bonusmaterial

Diskussion:Till Eulenspiegels lustige Serie/ Stimmung

Als vorläufige Unterseite noch was zu den Stimmungen, mit einer Analyse der Schwebung. Es wird etwas(?) gerechnet, um formal zu zeigen, dass Instrumente mit Schwebungen zu stimmen sind. (Auf de.wikipedia nichts Handfestes.) Die Idee wäre, die anderen oben angefangenen Zugaben auch dahin zu packen, dann die Unterseite zu verschieben/verlinken. Doch jede zusätzliche Gleichung in einem Buch halbiert die Leserschaft, so geht das Gerücht. --Gluedrop 15:32, 31. Mär. 2021 (CEST)

Ich selbst habe freilich keine Furcht vor Formeln und finde das sehr gut als Ergänzung zum Thema, weiß allerdings noch nicht, wann ich in den nächsten Tagen dazu komme, das alles im Detail durchzulesen. Spontan fiel mir zu diesem Kontext hier übrigens folgende Veröffentlichung von 1893 ein, die ich vor mehreren Jahren einmal entdeckt hatte:

• Max Planck: Die natürliche Stimmung in der modernen Vokalmusik, Vierteljahrsschrift für Musikwissenschaft, 1893, Seiten 418 bis 440

Sehr schöne Quelle. Habe jetzt eine Art Executive Summary davon versucht. --Gluedrop 13:57, 3. Apr. 2021 (CEST)

• Siehe auch w:Modulation bei reiner Stimmung

--Bautsch 16:27, 31. Mär. 2021 (CEST)

Nach einiger Überlegung würde ich vorschlagen, ein völlig eigenständiges Wikibook daraus zu machen, auf das dann natürlich ganz genauso verwiesen werden kann. --Bautsch 22:10, 31. Mär. 2021 (CEST)

Übrigens auch sehr wissenswert: w:en:Tritone paradox. --Bautsch 22:37, 31. Mär. 2021 (CEST)

Schwingungen,Wellen

Eine weitere Unterseite lege ich hier in Form eines Verschiebe-Kandidaten an. Das Publikum wird da mit Physik belästigt und dem Drum und Dran, wie die Dinge harmonisch und nicht so harmonisch schwingen.

Diskussion:Till Eulenspiegels lustige Serie/ Schwingende Objekte

-- Gluedrop 15:48, 1. Jun. 2021 (CEST)

Klasse, wenn das in den Wikibook-Namensraum verschoben wurde, verlinke ich das auch von hier aus: Pythagoras in der Schmiede#Widersprüche :-) --Bautsch 18:38, 1. Jun. 2021 (CEST)