Digitale Schaltungstechnik/ Addierer

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Wir haben im Kapitel über die Addition gelernt haben, brauchen wir zu Addition beliebiger Zahlen nur zwei Mechanismen

• Die Addition einstelliger Zahlen
• Die Handhabung der Überträge

Als erstes lernen wir, wie wir in der Digitaltechnik die Addition einstelliger Zahlen realisieren und ihm nächsten Schritt wie wir den Übertrag handhaben.

Halbaddierer

Herleitung

In Kapitel über die Addition von Binärzahlen haben wir diese Beziehungen gelernt:

Addition einstelliger Binärzahlen
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10

Wahrheitstabelle

Diese Beziehung können wir ohne Probleme in eine Wahrheitstabelle übertragen:

Input		Output
A	B	Σ	C
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

Σ ist dabei die erste Stelle des Resultats und C das Carry (also der Übertrag).

Da wir nun die Wahrheitstabelle haben, ist es auch spielend die Gleichung auszulesen:

$\Sigma =A{\overline {B}}\lor {\overline {A}}B$

$C=AB$

Realisierung

Die Realisierung als Schaltung sieht wie folgt aus:

Bei dieser Realisierung wurde genutzt, das $A{\overline {B}}\lor {\overline {A}}B$ sich als A XOR B realisieren lässt.

Blockschaltbild

Da diese Schaltung häufiger verwendet wird, gibt es dafür auch ein Blockschaltbild:

Im weiteren Verlauf des Buches werden wir in der Regel dieses Blockschaltbild einsetzen.

Volladdierer

Herleitung

Für den Fall, dass es einen Übertrag gab, haben wir diese Beziehung ebenfalls angesehen:

Addition einstelliger Binärzahlen
0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 1 = 1 0 + 1 + 0 = 1 0 + 1 + 1 = 10 1 + 0 + 0 = 1 1 + 0 + 1 = 10 1 + 1 + 0 = 10 1 + 1 + 1 = 11

Wahrheitstabelle

Auch diese können wir in eine Wahrheitstabelle übertragen:

Input			Output
$A$	$B$	$C_{i}$	$\Sigma$	$C_{o}$
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Wobei:

A, B und C_i die Eingänge sind

C_o und $\Sigma$ die Ausgänge sind

C_i bedeutet Carry in, also Übertragseingang

C_o bedeutet Carry out, also Übertragsausgang

Die Gleichung die wir auslesen können ist:

$\Sigma ={\overline {A}}\ {\overline {B}}C\lor {\overline {A}}B{\overline {C}}\lor A{\overline {B}}\ {\overline {C}}\lor ABC$

$C_{out}=AB\lor C_{in}{\overline {A}}B\lor C_{in}A{\overline {B}}$

Eine alternative Darstellung mit $\oplus$ für XOR kürzt die Funktion wesentlich:

$C_{out}=AB\lor (C_{in}(A\oplus B))$

$S=(A\oplus B)\oplus C_{in}$

Jedoch ist das nicht unbedingt lesbarer und die Umwandlung ist etwas aufwändig. Deshalb nur der Vollständigkeit wegen.

Realisierung

Wir können die Schaltung nun mit der Schaltgleichung von Oben realisieren:

Eine andere Realisierung die Sich ab und an findet, ist diese:

Blockschaltbild

Auch für den Volladdierer gibt es ein Blockschaltbild:

Alternative Darstellungen

Für die Darstellung der Voll- und Halbaddierer gibt es verschiedene Zeichen:

Volladdierer	c für Carry (Übertrag)	ü für Übertrag	VA für Volladdierer
Halbaddierer	c für Carry (Übertrag)	ü für Übertrag	HA für Halbaddierer

Um international lesbare Schaltungen zu zeichnen, verwenden wir die Darstellung mit Sigma und C für Carry.

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