Diffgeo: Flächentheorie: zweite Fundamentalform

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Zweite Fundamentalform

Fortführung der ersten Form

Wir haben gesehen, wie aus einer Überlegung zur Parameterisierung nach der Bogenlänge über die erste Ableitung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge s die erste Fundamentalform entstanden ist. Wir haben auch gesehen, dass Teile der der ersten Fundamentalform durch Abkürzungen dargestellt werden. Wir wollen in Zukunft die neue Darstellung der gaußschen Fundamentalgrößen verwenden.

Wir haben auch gesehen, dass mit der ersten Fundamentalform jede Menge nützlicher Werte bestimmt werden können. Was bei Flächen auch sehr interessant ist, sind Krümmungen. Im entsprechenden Abschnitt der Kurventheorie haben wir gesehen, dass die Krümmung aus der zweiten Ableitung nach der Bogenlänge hervorgeht. Dieses werden wir nun aufgreifen und zur zweiten Fundamentalform entwickeln. Mit ihr werden wir die Krümmungen bestimmen.

Herleitung

Der Krümmungsvektor lautet

${\vec {x}}''={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}}{\mathrm {d} s^{2}}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}'}{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}({\vec {x}}_{u}\cdot u'+{\vec {x}}_{v}\cdot v')=u''{\vec {x}}_{u}+v''{\vec {x}}_{v}+u'{\frac {d}{ds}}{\vec {x}}_{u}+v'{\frac {d}{ds}}{\vec {x}}_{v}={\vec {x}}_{u}\cdot u''+{\vec {x}}_{v}\cdot v''+{\vec {x}}_{uu}\cdot u'^{2}+2{\vec {x}}_{uv}\cdot u'v'+{\vec {x}}_{vv}\cdot v'^{2}$

dabei wurde die Kettenregel zweimal angewendet:

${\frac {d}{ds}}={\frac {du}{ds}}{\frac {d}{du}}+{\frac {dv}{ds}}{\frac {d}{dv}}$

Aufgrund der Normierung des Tangentialvektors ergibt das Skalarprodukt:

${\vec {x}}'\cdot {\vec {x}}'=1$

Daraus folgt für die Ableitung des Skalarprodukts:

${\vec {x}}''\cdot {\vec {x}}'+{\vec {x}}'\cdot {\vec {x}}''=2({\vec {x}}'\cdot {\vec {x}}'')=0$

Das bedeutet, dass der Krümmungsvektor senkrecht auf dem Tangentialvektor steht!

Wir teilen den Krümmungsvektor in zwei Anteile auf. Einen Anteil in Richtung der Flächennormalen, Normalkrümmung $\kappa _{n}$ genannt sowie einen Anteil parallel zur Tangentialebene der Fläche im Punkt P. Das Krümmungsmaß, wie sehr sich die Fläche relativ zur Tangentialfläche verändern wird, nennen wir geodätische Krümmung, logischerweise mit einem g indiziert: $\kappa _{g}$. Später wollen wir diese Krümmungen noch eingehend geometrisch untersuchen, jetzt aber weiter in der Herleitung.

Aufteilung

${\vec {x}}''=\kappa _{g}\cdot {\vec {s}}+\kappa _{n}\cdot {\vec {n}}$

Uns interessiert für die zweite Fundamentalform nur die Normalkrümmung, nach der wir nun umgestellt haben:

$\kappa _{n}={\vec {x}}''\cdot {\vec {n}}=Lu'^{2}+2Mu'v'+Nv'^{2}$

Wer das Umstellen nicht nachvollziehen kann: Zwei miteinander skalarmultiplizierte normierte identische Vektoren ergeben 1.

Die Abkürzungen sind:

Definition der zweiten Fundamentalgrößen
$L={\vec {n}}\cdot {\vec {x}}_{uu}$ $M={\vec {n}}\cdot {\vec {x}}_{uv}$ $N={\vec {n}}\cdot {\vec {x}}_{vv}$

Berechnung

• n berechnet sich wie hier beschrieben.
• x_uu ist die zweifache Ableitung der Flächengleichung nach u.
• x_uv ist die Ableitung der Flächengleichung entweder erst nach u und dann nach v oder anders herum.
• x_vv ist die zweifache Ableitung der Flächengleichung nach v.

Neue Schreibweise

Definition der zweiten Fundamentalform
$II=\kappa _{n}=b_{\alpha \beta }\mathrm {d} u^{\alpha }\mathrm {d} u^{\beta }$ Umbenennung der gaußschen Flächenparameter wie in der ersten Fundamentalform. $b_{\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}{\vec {x}}}{\partial u^{\alpha }\partial u^{\beta }}}\cdot {\vec {n}}$

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