Diffgeo: Flächentheorie: erste Fundamentalform
Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge / erste Fundamentalform Bearbeiten
Herleitung der klassischen Darstellung Bearbeiten
Für die Parametrisierung einer Flächenkurve nach der Bogenlänge wird derselbe Ansatz gewählt wie im Kapitel Kurventheorie.
unterscheidet sich allerdings, da in Abhängigkeit von u und v gegeben ist und deswegen auch nach u und v abgeleitet wird.
u(t) und v(t) sind die Funktionen (keine Vektoren!) mit denen die Flächenkurve auf der Fläche festgelegt wurde.
Das vollständige Differential in vereinfachter Schreibweise:
Im Integral steht der Betrag des Vektors. Das bedeutet, daß das vollständige Differential im ersten Schritt quadriert werden muß. Dadurch entsteht ein langer Ausdruck:
Üblicherweise werden Abkürzungen eingeführt, die Gaußsche Fundamentalgrößen genannt werden:
Das Integral sieht jetzt so aus:
Durch Ableiten und anschließendes Quadrieren ergibt sich
Multiplizieren mit (steckt in und drin!) ergibt die metrische oder erste Fundamentalform:
Definition der ersten Fundamentalform |
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Neue Darstellung Bearbeiten
Definition der ersten Fundamentalform in neuer Schreibweise |
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Beim Einsetzen der Indizes werden alle möglichen Kombinationen aufaddiert. Dadurch entsteht die klassische Form. |
- Die römische I steht für die 'erste' Fundamentalform
- Die indizierten gs werden als Gaußsche Fundamentalgrößen bezeichnet.
- Die Gaußschen Flächenparameter u und v werden durch und ersetzt.
(D.h. für oder : bedeutet u mit Index 2 und nicht )
erster Fundamentaltensor Bearbeiten
Die neue Darstellung mit den Indizes kommt vom ersten Fundamentaltensor. Der Tensor ist eine Metrik.
Bogenlängen der Parameterlinien Bearbeiten
Die Bogenlängen der Parameterlinien (u=const bzw. v=const) lassen sich einfach mit Hilfe der Fundamentalformen berechnen:
für v=const:
für u=const:
Beispiel für Kugel Bearbeiten
Für die zu Beginn des Kapitels Flächentheorie gegebene Parametrisierung der Kugel wird die erste Fundamentalform berechnet:
Fundamentalgrößen
erste Fundamentalform
Erkenntnisse Bearbeiten
Parameterlinien senkrecht Bearbeiten
Aus der ersten Fundamentalform lässt sich für die Parameterlinien eine Erkenntnis ableiten. Da F, das aus einem Skalarprodukt entsteht, Null ist, stehen alle u-Parameterlinien senkrecht zu den v-Parameterlinien.
Radius der Parameterlinien Bearbeiten
Aus den Wurzeln von E und G lassen sich, da F Null ist, weitere Erkenntnisse ableiten.
u-Parameterlinien
Alle u-Parameterlinien sind Kreise mit dem Radius . Sie entsprechen den Meridianen mit fester Länge (u-Parameter) und variabler Breite (v-Parameter).
v-Parameterlinien
Die v-Parameterlinien haben feste Breite v bzw. . Die Länge u ist variabel. Jede Parameterlinie hat ihren eigenen Radius .