Diffgeo: Flächentheorie: Gaußsches Dreibein

Zurück zu Flächennormale | Hoch zu Inhaltsverzeichnis | Vor zu erste Fundamentalform

Gaußsches Dreibein

Durch die beiden Tangentenvektoren der Parameterlinien, aus denen der Normalenvektor der Fläche berechnet wird und den Flächenvektor n selbst wird das Gaußsche Dreibein gebildet. Das Gaußsche Dreibein bildet nur dann in jedem Punkt ein orthogonales System, wenn die Parameterlinien sich senkrecht schneiden.

${\vec {g}}_{1}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial u}}={\vec {x}}_{u}$

${\vec {g}}_{2}={\frac {\partial {\vec {x}}}{\partial v}}={\vec {x}}_{v}$

${\vec {g}}_{3}={\vec {n}}$

Das gaußsche Dreibein ist wichtig in der gaußschen Flächentheorie. Als Symbole werden indizierte kleine g verwendet.

Darbouxsches Dreibein

Ein weiteres Dreibein ist das Darbouxsche Dreibein für Flächenkurven. Ihm liegen der normierte Flächennormalenvektor n und der nach der Bogenlänge abgeleitete Tangentenvektor zugrunde.

${\vec {w}}_{1}={\vec {x}}'$

${\vec {w}}_{2}={\vec {w}}_{3}\times {\vec {w}}_{1}$

${\vec {w}}_{3}={\vec {n}}$

Das Darbouxsche Dreibein ist orthogonal.

Zusammenhang mit Frenetschen Dreibein

Das für flächenunabhängige Raumkurven vorgesehenen Frenetsches Dreibein v_x hat mit dem Darbouxsche Dreibein w_x den Vektor v₁ gemeinsam. Durch eine Drehung um diese gemeinsame Achse können die beiden Beine ineinander überführt werden.

${\begin{pmatrix}{\vec {v}}_{1}\\{\vec {v}}_{2}\\{\vec {v}}_{3}\end{pmatrix}}=\mathbf {R} _{1}(\phi )\cdot {\begin{pmatrix}{\vec {w}}_{1}\\{\vec {w}}_{2}\\{\vec {w}}_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {w}}_{1}&0&0\\0&sin{\phi }\cdot {\vec {w}}_{2}&cos{\phi }\cdot {\vec {w}}_{3}\\0&cos{\phi }\cdot {\vec {w}}_{2}&sin{\phi }\cdot {\vec {w}}_{3}\end{pmatrix}}$

Zurück zu Flächennormale | Hoch zu Inhaltsverzeichnis | Vor zu erste Fundamentalform